4. RUDAK IGÉNYBEVÉTELEI, IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI 4.1. Rudak igénybevételeinek értelmezése a) Alapfogalmak: Rúd: olyan test, amelynek egyik mérete lényegesen nagyobb, mint a másik kettő. Rúd modell: a rudat egy vonallal helyettesítjük és mechanikai viselkedésére jellemző menynyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük. Keresztmetszet: a rúd legnagyobb méretére merőleges metszet. Középvonal / súlyponti szál: a keresztmetszetek S pontjai által alkotott vonal. Egyenes rúd: a rúd középvonala egyenes. Görbe rúd: a rúd középvonala görbe. Prizmatikus rúd: keresztmetszetei azonos alakúak és térbeli elhelyezkedésűek (a keresztmetszetek állandók és a rúd középvonala mentén párhozamos eltolással egymásba tolhatók). Feszültség: a felületen megoszló belső erőrendszer sűrűségvektora: G ρ ⎡⎣ N/m 2 = Pascal = Pa ⎤⎦ (a Pascal kiejtése: paszkál). b) Az igénybevételek értelmezése: Értelmezés: a rúd keresztmetszetén megoszló belső erőrendszer S pontba redukált vektorkettősének skaláris koordinátái. A fogalomalkotás gondolatmenete:
y
- a rúd átmetszése ⇒ keresztmetszet,
G FS
- a keresztmetszeten (felületen) megoszló belső erőrendszer ébred ⇒ feszültség,
x S
z G MS
- a keresztmetszet felületén megoszló belső erőrendszer redukálása a keresztmetszet. S G G pontjába ⇒ FS , M S .
Megjegyzések: - A feszültségek (a felületen megoszló belső erőrendszer ≡ feszültségek) statikai módszerekkel nem határozhatók meg. - Az igénybevételek (a feszültségek eredői) azonban statikai módszerekkel meghatározhatók. G G G G - Jelölés:az FS , M S a rúd +ez normálisú keresztmetszetének igénybevételei, a −ez G G normálisú keresztmetszeten − FS , − M S lép fel. G G - Az FS , M S vektorkettősnek általános esetben 6 skaláris koordinátája van.
38
c) Az eredő vektorkettős összetevői: G G T y FS
G Mh
y
G MS
x
S
x z
G N
S
z
G Mc
G G G M S = Mh + Mc .
G G G FS = T + N .
G M h - hajlító nyomaték, G M c - csavaró nyomaték.
G T - nyíróerő vektor, G N - rúderő vektor.
d) Az eredő vektorkettős skaláris koordinátái:
Igénybevétel: a keresztmetszeten megoszló belső erőrendszer eredő vektorkettősének skaláris koordinátái. Az igénybevételek (a skaláris koordináták) előjelének értelmezése:
y
y x
S
N >0
Tx > 0
x S
z
M hx > 0 Mc > 0
Ty > 0
M hy > 0
G G G G FS = −Tx ex − Ty e y + N ez .
(
z
G G G G M S = M hx ex − M hy e y + M c ez .
)
(
)
M c - csavaró nyomaték, M hx , M hy - hajlító nyomatékok.
N - rúderő, Tx , Ty - nyíróerők. Az előjelek szemléltetése elemi rúdszakaszon:
x, y
x, y N >0 dz
z
Mc > 0
z
dz
39
y
y
Ty > 0
z
dz
x
M hx > 0
z
dz
x
Tx > 0
z
dz
M hy > 0
z
dz
Az igénybevételek előjelét elemi rúdszakaszhoz kötötten értelmezzük és nem koordinátarendszerhez kötötten.
( yz ) sík: ( xz ) sík:
Igénybevételek síkbeli terhelés esetén:
Ty , M hx ,
Tx , M hy ,
( N, ( N,
Mc ) .
Mc ) .
4.2. Rudak igénybevételeinek meghatározása a) Az igénybevételek bevezetésének gondolatmenete: Átmetszés: a rudat a K keresztmetszettel (síkmetszettel) két részre, az I. és II. részre bontjuk.
K K
I.
II . S
z
( Ek ) I ( Ek ) II
( Ek )
( Ek ) - egyensúlyi külső erőrendszer. Az egyensúlyi külső erőrendszert is két részre bontjuk: ( Ek ) I , ( Ek ) II . A rúd tartós nyugalomban van.
⇒
A külső erőrendszer egyensúlyi: M
M
( Ek ) = ( Ek ) I + ( Ek ) II = ( 0 )
⇒
M
( Ek ) I = − ( Ek ) II .
Az egyenlőségjel fölötti M betű arra utal, hogy az egyenlőség a nyomatéki tér vonatkozásában áll fenn. 40
G G FSI = FS
S
G G M SII = − M S
S
z
z
S
G G G G M SI = M S FSII = − FS
Eb ) I Eb ) II ( (
( Eb ) Jelölés: ( Eb ) - a belső erőrendszer, G G G G FS = FSI , M S = M SI , a belső erőrendszer redukált vektorkettőse. A két rúdrész külön - külön is egyensúlyban van:
M
( Ek )I + ( Eb ) I = ( 0 ) , M
( Ek ) II + ( Eb )II = ( 0 ) . b) Az igénybevételek meghatározásának módszerei: - A megtartott (vizsgált) rész egyensúlyából: M G G M FS , M S = ( Eb ) I =− ( Ek ) I ,
( G (F
)
M G II M II S , M S = ( Eb ) II =− ( Ek ) II .
)
- Az elhagyott részre működő külső erőrendszer redukciójával M M G G M FS , M S = ( Eb ) I =− ( Ek ) I = ( Ek ) II ,
( G (F
)
G
II II S ,MS
) =(E ) M
b II
M
M
=− ( Ek ) II = ( Ek ) I .
Pl. az első egyenletből következően az I. rúdrész + z normálisú keresztmetszetén fellépő redukált vektorkettős egyenértékű a II. rúdrészre ható külső erőrendszerrel.
4.3. Igénybevételi ábrák, igénybevételi függvények Az N ( z ) , Tx ( z ) , Ty ( z ) , M c ( z ) , M hx ( z ) , M hy ( z ) függvényeket igénybevételi függvényeknek nevezzük. a) Megoszló terhelés hatása az igénybevételi ábrákra: Az f y = f y ( z ) a vizsgált tartóra (rúdra) ható ismert vonal mentén megoszló terhelés. Az f y = f y ( z ) mértékegysége: N/m.
41
y fy (z)
A
z
B ∆z
z
A tartó AB elemi rúdszakaszának egyensúlyát vizsgáljuk: f yk - az f y ( z ) függvény ∆z szakaszra vo-
f yk
Ty
natkozó (integrál) középértéke.
Ty + ∆Ty
fy
Gondolatmenet: - egyensúlyi egyenlet felírása, - a ∆z → 0 határátmenet képzése.
z A M hx
B
∆z
M hx + ∆M hx
Az y irányú vetületi egyenlet:
(
Fy = 0 = Ty + f yk ∆z − Ty + ∆Ty
∆Ty
) dTy
= fy (z) . ∆z dz A B ponton átmenő, rajz síkjából kifelé mutató tengelyre felírt nyomatéki egyenlet: = f yk ,
M b = 0 = M hx
∆ z → 0,
a megoszló terhelés eredője
− Ty ∆ z − f yk ∆z ( λ ∆z ) − ( M hx + ∆M hx ) , ahol 0 < λ < 1 .
∆M hx = −Ty − f yk ( λ ∆z ) , ∆z
dM hx = −Ty ( z ) . dz
∆ z → 0,
Ez a két differenciálegyenlet a rúd két egyensúlyi egyenlete. b) Koncentrált erő hatása az igénybevételi ábrákra:
y
y F0
fy
Fy = f y ∆z F0
z
z
∆z Ty F0
42
Ty f y ∆z
Fy z
F0
z
A koncentrált erőt a ∆z → 0 szakaszon megoszló terhelésnek is tekintjük. A koncentrált erő hatását a megoszló terhelés hatásának ismeretére vezetjük vissza. Az Fy koncentrált erő a Ty ( z ) nyíróerő ábrában (balról jobbra haladva) Fy nagyságú és irányú ugrást (szakadást) okoz. c) Koncentrált nyomaték hatása az igénybevételi ábrákra: A koncentrált nyomaték két, ∆z → 0 távolságú, párhuzamos és ellentétes irányú erő. A koncentrált nyomaték hatását a koncentrált erő hatásának ismeretére vezetjük vissza. y
y F1
z
F1
F1
F1
z
z
∆z
z
Ty
Ty
M 1 = F1∆z
M1
F1 z M hx
z M hx
z
z
M1
F1∆ z
- Az M 1 koncentrált nyomaték a nyíróerő ábrában egy M 1 területvektort eredményez. A területvektor nagysága megegyezik a koncentrált nyomaték nagyságával, a területvektor irányát pedig a koncentrált nyomatékot helyettesítő (függőleges erőkből álló) erőpár bal oldali erővektorának iránya adja meg. - A koncentrált nyomaték az M hx ( z ) nyomatéki ábrában (balról jobbra haladva) M 1 nagyságú, a területvektorral ellentétes irányú ugrást (szakadást) okoz. d) Az egyensúlyi egyenletek integrál alakja: - Első egyensúlyi egyenlet: Differenciális alak:
dTy ( z ) dz
= fy (z) .
Integrál alak: Ty ( z ) − Ty ( 0 ) =
z
∫ f (ζ ) d ζ . y
ζ =0
A nyíróerő ábra < 0, z > szakaszon történő megváltozása egyenlő az f y (ζ ) terhelésábra integráljával.
43
- Második egyensúlyi egyenlet: dM hx ( z )
Differenciális alak:
dz
= −Ty ( z ) . Integrál alak: M hx ( z ) − M hx ( 0 ) = −
z
∫ T (ζ ) d ζ . y
ζ =0
A nyomatéki ábra < 0, z > szakaszon történő megváltozása egyenlő a Ty (ζ ) nyíróerő ábra negatív integráljával. e) Az eredmények általánosítása térbeli esetre: Az előző gondolatmenet az xz síkba eső terhelésre is elvégezhető. A térbeli terhelés mindig felbontható egy yz síkba és egy xz síkba eső részre. Az yz síkba eső erőrendszer esetén: Ty ( z ) − T y ( 0 ) =
z
z
M hx ( z ) − M hx ( 0 ) = −
∫ f (ζ ) d ζ , y
∫ T (ζ ) d ζ . y
ζ =0
ζ =0
Az x z síkba eső erőrendszer esetén: Tx ( z ) − Tx ( 0 ) =
z
∫ f (ζ ) d ζ ,
M hy ( z ) − M hy ( 0 ) = −
x
ζ =0
z
∫ T (ζ ) d ζ . x
ζ =0
f) Igénybevételi ábrák megrajzolásának gondolatmenete: - A támasztó erőrendszer meghatározása. - Minden terhelés redukálása a tartó középvonalába. - A középvonalba redukált erőrendszer felbontása xz és yz síkba eső részekre - Az N ( z ) és M c ( z ) ábrák megrajzolása (ezek függetlenek az erőrendszer felbontásától).
- Az yz síkbeli terheléshez tartozó Ty ( z ) , M hx ( z ) igénybevételi ábrák megrajzolása. - Az xz síkbeli terheléshez tartozó Tx ( z ) , M hy ( z ) igénybevételi ábrák megrajzolása.
4.4. Gyakorló feladatok rúdszerkezetek igénybevételeinek meghatározására és igénybevételi ábráinak megrajzolására 4.4.1. feladat: Befalazott tartó megadott keresztmetszeteinek igénybevételei
y
Adott: A tartószerkezet méretei és terhelése.
2 kN K A
2m
2m
5 kN 4 kNm C B D 2m 2m
Kidolgozás: a) A K keresztmetszet igénybevételei:
44
Feladat:
z
- A K, B − , B + , C − , C + és D keresztmetszetek igénybevételeinek meghatározása. - A támasztó erőrendszer meghatározása.
N (K ) = 0 ,
2 kN K
z
Ty ( K ) = 2 kN
,
M hx ( K ) = −4 kN
4 kNm
.
b) A B − (a B mellett közvetlenül balra levő) keresztmetszet igénybevételei: N (B− ) = 0 ,
2 kN
Ty ( B − ) = 2 kN
z
8 kNm
B−
,
M hx ( B − ) = −8 kN
.
c) A B + (a B mellett közvetlenül jobbra levő) keresztmetszet igénybevételei:
z
8 kNm
N (B+ ) = 0 , Ty ( B + ) = −3 kN
B+ 3 kN
,
M hx ( B + ) = −8 kN
.
d) A C − (a C mellett közvetlenül balra levő) keresztmetszet igénybevételei:
C
2 kNm
z
−
3 kN
N (C − ) = 0,
Ty (C − ) = −3 kN
,
M hx (C − ) = −2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 =
= −12 + 10 = −2 kN
.
+
e) A C (a C mellett közvetlenül jobbra levő) keresztmetszet igénybevételei:
C+
6 kNm
z
N (C + ) = 0,
Ty (C + ) = −3 kN
,
M hx (C + ) = −2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 − 4 =
= −12 + 10 − 4 = −6 kN
3 kN f) A D keresztmetszet igénybevételei:
D
z
N ( D) = 0,
Ty ( D ) = −3 kN
,
M hx ( D ) = −2 ⋅ 8 + 5 ⋅ 4 − 4 = = −16 + 20 − 4 = 0 .
3 kN g) A támasztó erőrendszer:
M Dx FDz z
D
3 kN
FDy
FDz = 0 , FDy = 3 kN ↑ ,
M Dx = 0 .
45
4.4.2. feladat: Elágazásos tartó megadott keresztmetszeteinek igénybevételei
K2 K4 s
K1
3kN/m s
2m
K3 s
4 kN
K5
Feladat: A K1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 keresztmetszetek igénybevételeinek meghatározása.
R = 3m 60D
2 kN 2m
2m
Adott: Az ábrán látható elágazásos rúdszerkezet méretei és terhelései.
6 kN
Kidolgozás: a) A K1 keresztmetszet igénybevételei:
3kN/m s
K1
N K1
TK 1
M hK 1
N ( K1 ) = 4 kN
,
T ( K1 ) = 6 − 2 + 3 ⋅ 2 = 10 kN
,
M h ( K1 ) = −2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 1 ⋅ 6 =
= −8 + 30 + 6 = 28 kNm
.
b) A K 2 keresztmetszet igénybevételei:
3kN/m
K1
K2
s
TK 2
NK 2 M hK 2
N ( K 2 ) = 4 kN
,
T ( K 2 ) = 6 − 2 = 4 kN , M h ( K 2 ) = −2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 6 = = −8 + 4 + 18 = 14 kNm
.
c) A K 3 keresztmetszet igénybevételei:
3kN/m s
K1
K2 K4 s K5 K3
N ( K 3 ) = −2 kN
TK 3 M hK 3 NK 3
T ( K3 ) = −4 kN , M h ( K 3 ) = −2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 =
60D
6 kN d) A K 4 keresztmetszet igénybevételei:
46
,
= −8 + 4 = −4 kNm
.
3kN/m
N (K4 ) = 0 ,
K4
K1
K2
NK 4
K3
s
M hK 4
TK 4
2m
T ( K 4 ) = 6 kN
,
M h ( K 4 ) = 3 ⋅ 6 = 18 kNm
.
s
4 kN 2 kN
e) A K 5 keresztmetszet igénybevételei: 3kN/m
K 2 K 4 s K5
K1
N ( K 5 ) = 6cos 60o = 3 kN
K3
s
2m
TK 5 M hK 5
s
4 kN
NK 5
T ( K 5 ) = 6sin 60o = 3 3 kN
,
M h ( K 5 ) = 6 R(1 − cos 60 ) = o
60D
2 kN
,
⎛ 1⎞ = 6 ⋅ 3 ⎜ 1 − ⎟ = 9 kNm ⎝ 2⎠
.
4.4.3. feladat: Térbeli tartó megadott keresztmetszeteinek igénybevételei
z
G F1 K1
1m
x
1m
1m
1m
G F2
1m
y
K2
1m 1m
G G G G Adott: A tartó méretei és terhelései. F1 = (4 e y ) kN , F2 = (−2 ez ) kN .
Feladat: A K1 és K 2 keresztmetszet igénybevételeinek meghatározása. Kidolgozás: a) A K1 keresztmetszetek igénybevételeinek meghatározása: z
ξ M hzK 1 s K1
x
N ( K1 ) = 4 kN , Tx ( K1 ) = Tη ( K1 ) = 0 ,
η
TzK 1
Tz ( K1 ) = Tξ ( K1 ) = 2 kN ,
M hxK 1 TxK 1
N K1
M cK 1
ζ y
M c ( K1 ) = 4 kNm , M hx ( K1 ) = M hη ( K1 ) = 2 kNm , M hz ( K1 ) = M hξ ( K1 ) = 0 .
47
b) A K 2 keresztmetszetek igénybevételeinek meghatározása:
z
s
ξ M hzK 2
x
η NK 2 M cK 2
s
K2
y
TyK 2 M hyK 2 TzK 2
ζ N (K2 ) = 0 ,
Tz ( K 2 ) = Tξ ( K 2 ) = 2 kN ,
Ty ( K 2 ) = Tη ( K 2 ) = 0 ,
M c ( K 2 ) = 6 kNm
M hy ( K 2 ) = M hη ( K 2 ) = 2 kNm ,
M hz ( K 2 ) = M hξ ( K 2 ) = 0 .
4.4.4. feladat: Térbeli tartó megadott keresztmetszeteinek igénybevételei
G G Adott: R = 0,3 m , F1 = (−2ey ) kN , G G F2 = (ez ) kN .
y x A 30D
R
Feladat: Az A és B keresztmetszetek igénybevételeinek meghatározása.
z
B G F2
G F1
Kidolgozás: a) Az A keresztmetszet igénybevételeinek meghatározása:
N A = F2 = 1 kN ,
y M hx
M hy A
N
Ty
TxA = 0 ,
x
TyA = F1 = 2 kN ,
z Mc
M c ( A) = RF1 = 0,6 kNm ,
M hx ( A) = RF1 = 0,6 kNm , M hy ( A) = − RF2 = −0,3 kNm .
b) A B keresztmetszet igénybevételeinek meghatározása:
48
y
3 kN , 2 Tξ B = F2 sin 30D = 0,5 kN ,
η
N B = F2 cos30D =
x TyA A
Tξ A
B M hy ( A)
Tη B = TyB = F1 = 2 kN ,
M hξ ( A) ξ
NA M c ( A)
G F2
M c ( B ) = R(1 − sin 30D ) F1 = 0,3 kNm ,
z
M hξ ( B ) = R cos30D F1 = 0,3 3 kNm , M hη ( B ) = M hy ( B ) = R cos30D F2 = 015 , 3 kNm .
ζ
4.4.5. feladat: Kéttámaszú konzolos tartó igénybevételi ábrái
y
Adott: a tartószerkezet méretei és terhelése.
1 m 8 kN 12 kN
4 kN m A 2m
z
B 2m
Feladat: az igénybevételi ábrák megrajzolása.
2m
Kidolgozás: A támasztóerők meghatározása: M a = 0 = 1 ⋅ 8 − 2 ⋅ 12 + 4 FB y
⇒
FB y = 4kN ↑ ,
M b = 0 = 5 ⋅ 8 − 4 FA y + 2 ⋅ 12
⇒
FA y = 16kN ↑ .
Az igénybevételi ábrák megrajzolása:
y 12 kN
4 kN m Ty
4 kN
16 kN
[ kN ]
z
8
8
z −8 M hx
[ kNm ]
−4
−4
8 z
−8 49
4.4.6. feladat: Kéttámaszú konzolos tartó igénybevételi ábrái
y
Adott: a tartószerkezet méretei és terhelése. z Feladat: az igénybevételi ábrák megrajzolása.
24kN
A 6 kN/m 2m
10kNm B 2m
8kN
2m
Kidolgozás: A támasztóerők meghatározása: M a = 0 = −2 ⋅ 24 + 10 + 4 FB y + 6 ⋅ 8 ⇒
FB y = −2,5 kN ↓ ,
M b = 0 = −4 FA y + 2 ⋅ 24 + 2 ⋅ 8 + 10 ⇒
FA y = 18,5 kN ↑ .
Az igénybevételi ábrák megrajzolása: Itt az M hx ( z ) hajlító nyomatéki ábra megrajzolásánál két parabolát kell rajzolni azért, mert a koncentrált nyomaték (és az ennek megfelelő területvektor) a nyomatéki ábrában szakadást okoz.
y 6 kN/m 18,5kN Ty 18,5
z
10kNm 2,5kN
[kN ]
8kN
10kNm 6,5
−5,5 M hx
[kNm]
z −8
−8
z −15 −18,5
50
−16 −25
−21,5
4.4.7. feladat: Törtvonalú tartó igénybevételi ábrái Adott: A tartó méretei és terhelése. a = 1 m , F = 10 kN .
y A
x
B
s
a
s
M
F D
s a
a
Feladat: Az igénybevételi ábrák megrajzolása, és a maximális hajlító nyomaték meghatározása.
2F C
Kidolgozás: A támasztóerők meghatározása: Fx = 0 = FA x + 2 F ⇒
A támasztóerők szemléltetése a tartón:
5 kN 20 kN A
FA x = −2 F = −2 ⋅ 10 = −20 kN ← , M a = 0 = 2aFB y + a 2 F − aF − M
⇒
B
s
−2 ⋅ 1 ⋅ 10 + 1 ⋅ 10 + 20 FB y = = 5 kN ↑ , 2 ⋅1 Fy = 0 = FA y + FB y − F ⇒
s
20 kNm
10 kN s
D
FA y = − FB y + F = −5 + 10 = 5 kN ↑ .
5 kN
20 kN C
Az igénybevételi ábrák megrajzolása: A
B
N [kN] 20
T 5
20
[kN]
C
10
10
s 20 kNm s
5
-10
-10 M
hz
[kNm]
s
D
-20
-20
20
20
10 s -10
A tartót egyenesbe terítjük és az egyes keresztmetszeteket az s ívkoordinátával azonosítjuk. A rúderő és a nyíróerő ábrát az igénybevételek értelmezése alapján rajzoljuk meg. 51
A tartó középvonalának töréspontjai előtt és után az N ( s ) és T ( s ) ábrákon az igénybevételek értelmezéséből következően különböző irányú terhelő erőket kell figyelembe venni és ennek következtében még az előjel is megváltozhat. Ezért az N ( s ) és T ( s ) ábrákban a középvonal töréspontjaiban akkor is bekövetkezhet szakadás (ugrás), ha ott nem működik koncentrált külső terhelés. A maximális hajlító nyomaték (az ábrából): | M h z |max = 20 kNm . 4.4.8. feladat: Kéttámaszú, elágazásos tartó igénybevételi ábrái
y
4kN
Adott: A szerkezet méretei és terhelése.
4kN
Feladat: a) A kéttámaszú tartó támasztóerőinek meghatározása. b) A tartó AB szakaszán az igénybevételi ábrák megrajzolása.
1m A
4kN/m 1, 2m
B 0,6 m
z
1,4m
Kidolgozás: a) A támasztóerők meghatározása: Fz = 0 = −4 + FBz ⇒ FBz = 4 kN
(→) .
0,6 ⋅ 4,8 + 3, 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 4 = 3,65 kN (↑) . 3, 2 1 ⋅ 4 + 2,6 ⋅ 4,8 M b = 0 = 1 ⋅ 4 + 2,6 ⋅ 4,8 − 3, 2 FAy ⇒ FAy = = 5,15 kN (↑) . 3, 2 A terhelés redukálása az AB szakasz középvonalába: G G G G G F0 = ( −4ez − 4ey ) kN , M 0 = M 0 x ex , M 0 x = −1 ⋅ 4 + 1, 4 ⋅ 4 = 1,6 kNm . M a = 0 = −0,6 ⋅ 4,8 − 3, 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 4 + 3, 2 FBy ⇒ FBy =
b) Az igénybevételi ábrák:
y
4 kN
5,15kN N
Ty
B 4 kN
4 kN
A
1,6 kNm 4,8kN
[ kN]
4
z
3,65kN 4
z
[ kN ]
5,15 0,35
1,6 kNm
z −3,65
M hx
[ kNm ]
−3,09 −3,3 −3,51
52
M hx
−5,11
max
z
A hajlító nyomatéki ábrából: M hx
= 5,11 kNm .
max
4.4.9. feladat: Befogott tartó igénybevételi ábrái
y
Adott: A szerkezet méretei és terhelése. Feladat: a) A befogott tartó támasztóerőinek meghatározása. b) Az igénybevételi ábrák megrajzolása és a M hx max meghatározása.
4 kN 3kN
1kN/m A
1m
2m
B
z
4 kN
Kidolgozás: a) A támasztóerők meghatározása: Fz = 0 = FAz − 3 ⇒ FAz = 3kN (→) .
Fy = 0 = FAy − 4 − 3 + 4 ⇒ FAy = 4 + 3 − 4 = 3kN (↑) . M a = 0 = −1 ⋅ 4 − 1,5 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 − M Ax
⇒ M Ax = −1 ⋅ 4 − 1,5 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 = 3,5kNm
b) Az igénybevételi ábrák:
y 3,5kN/m 3kN 3kN N
1kN
2 kN
4 kN
3kN z
1kN/m A
B 4 kN
[ kN ]
z
−3 Ty [ kN ] 3
.
−3
3,5kNm 2
z
−2 M hx
−4
[ kNm ]
M hx
z
max
−3,5
−4 −5
A maximális hajlítónyomaték (az ábrából): M hx
−6 max
= 6 kNm .
53
4.4.10. feladat: Törtvonalú elágazásos tartó igénybevételi ábrái
Adott: A szerkezet méretei és terhelése.
2 kN/m
y
3m
4 kN s A
2m
3kN/m B
2m
Feladat: a) A törtvonalú elágazásos tartó támasztóerőinek meghatározása. b) A függőleges szakaszon megoszló terhelés redukálása a B keresztmetszetbe. c) A tartó ACD szakaszán az igénybevételi ábrák megrajzolása.
6 kN
C
H 10 kNm
D
M Dx
1,5m 1,5 m FDy
z
Kidolgozás: a) A támasztóerők meghatározása: Fz = 0 = 2 ⋅ 3 − 6 + FDz ⇒ FDz = 0 . Fy = 0 = −4 − 2 ⋅ 3 + FDy
⇒
FDy = 10 kN (↑) .
M d = 0 = −4 ⋅ 4 + 4, 5 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 3 ⋅ 6 + 10 + M Dx
⇒ M Dx = 3 kNm
.
b) A függőleges szakaszon megoszló terhelés redukálása a B pontba: M Bx = 2 ⋅ 3 ⋅ 1, 5 = 9 kNm c) Az igénybevételi ábrák:
. A N
[ kN ]
−4
−4
Mh
[ kNm]
s s
−10 9 kNm
13 8
−1 A maximális hajlítónyomaték (az ábrából): | M h |max = 13 kNm .
54
D
[ kN ] −6
T
C
B
−10 s −10
13
3
3
s
4.4.11. feladat: Kéttámaszú törtvonalú tartó igénybevételi ábrái y
Adott: A szerkezet méretei és terhelése. 2 MN/m B
C
5 MN D s
E
2m
FEy
A FAz
Feladat: a) A törtvonalú tartó támasztóerőinek meghatározása. b) Az igénybevételi ábrák megrajzolása
2m
z
G
FAy
4m
2m
Kidolgozás: a) A támasztóerők meghatározása: M a = 0 = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 4 ) − 2 ⋅ 5 − 6 FEy ⇒ M g = 0 = −4 ⋅ ( 2 ⋅ 4 ) − 2 ⋅ 5 + 6 FAy
FEy = 1 MN,
⇒
Fz = 0 = FAz − 5
⇒
FAy = 7 MN, FAz = 5 MN.
Az igénybevételi ábrák megrajzolása (az igénybevételeket az ábrán az A kezdőpontú s ívkoordináta függvényében ábrázoltuk az egyenesbe terített tartó mentén): b) Az igénybevételi ábrák: s C A B D E N
[ kN ]
−7
T
−7
[ kN ]
−5 Mh
s
[ kNm]
−1 −5
−5
7
5
−1
5
− 1 −1
−5 20 14 10
s
−1
8
6
s
−2 Az N ( s ) rajzolásánál arra kell ügyelni, hogy az N rúderő az AB és CD szakaszon az y irányú, a BC és DE rúdszakaszon pedig a z irányú terhelésekből származik. 55
A T ( s ) ábránál azt kell figyelembe venni, hogy a T nyíróerő az AB és CD szakaszon a z irányú, a BC és DE rúdszakaszon pedig az y irányú terhelésekből adódik. Az N ( s ) , T ( s ) ábrákon a töréspontokban általában szakadás lép fel az előjelszabály változása miatt.
Az M h hajlítónyomatéki ábrát a T nyíróerő ábra negatív előjellel vett grafikus integrálásával kapjuk. 4.4.12. feladat: Hajtóműtengely igénybevételi ábrái
y
egyenes fogazású fogaskerék
ferde fogazású fogaskerék
G F2
golyóscsapágy
hengergörgős csapágy
tengely
y
G F2 z
x
G F1 a
G F1 b
c
D1 D2
Adatok: A tengely hosszméretei: a = 100 mm, b = 160 mm, c = 80 mm. A fogaskerekek gördülőkör átmérői: D1 = 120 mm , D 2 = 160 mm . G G G G G G G A fogaskerekekre ható erők: F1 = (10ex − 40ey + 8ez ) kN , F2 = ( 30ex − 6ey ) kN . Feladat: A tengely igénybevételi ábráinak megrajzolása. Kidolgozás: A megoldás gondolatmenete: a) a mechanikai modell megrajzolása, b) a támasztóerők meghatározása, c) a terhelések redukálása a tengely középvonalába, d) a középvonalba redukált erőrendszer felbontása xz és yz síkbeli részre, e) az N ( z ) és M c ( z ) megrajzolása (ezek függetlenek a felbontástól), f) az yz síkbeli terheléshez tartozó igénybevételi ábrák:
Ty ( z ) , M hx ( z ) g) az xz síkbeli terheléshez tartozó igénybevételi ábrák: Tx ( z ) , M hy ( z ) a) Mechanikai modellezés: - tengely – egyenes rúd, - fogaskerék – merev tárcsa, vagy rúdelágazás, - golyóscsapágy – csuklós megtámasztás, - hengergörgős csapágy – görgős megtámasztás, - csapágyerők – támasztóerők. 56
y FAz
60
A
x FAx
8 kN E FAy 100 10 kN 40 kN
6 kN
30 kN
H C
FBx
80
D
B
160
80
z
FBy
b) A támasztóerők meghatározása:
G G G G G G G G Az A pontra felírt nyomatéki egyenlet: M A = rA1 × F1 + rA 2 × F2 + rAB × FB = 0. G G G G G G G G rA1 = ( −0,06ex + 0,1ez ) m, rA 2 = ( 0,08ey + 0, 26ez ) m, rAB = (0,34ez ) m . G ex G G rA1 × F1 = −0, 06
G ey 0
G G / ⋅ex / ⋅e y
G ez
G G G G G G 0,1 = ex ( 0,1 ⋅ 40 ) − e y ( −0, 48 − 1) + ez ( 0, 06 ⋅ 40 ) = (4ex + 1, 48e y + 2, 4ez ) ,
10 −40 8 G G G ex ey ez
G G rA 2 × F2 = 0
30 G ex
G G rAB × FB = 0 FBx
G G G G G G 0, 08 0, 26 = ex ( 6 ⋅ 0, 26 ) − e y ( −30 ⋅ 0, 26 ) + ez ( −0, 08 ⋅ 30 ) = (1,56ex + 7,8ey − 2, 4ez ) , −6 G ey
0 FBy
Skaláris egyenletek:
0 G ez
G G G G 0,34 = ex ( −0,34 FBy ) − ey ( −0,34 FBx ) = (−0,34 FBy ex + 0,34 FBx e y ) . 0
4 + 1,56 − 0,34 FBy = 0
⇒
FBy = 16,35 kN,
1, 48 + 7,8 + 0,34 FBx = 0 ⇒ FBx = −27, 29 kN. G G G G G G G G G G / ⋅ex / ⋅ey A B pontra felírt nyomatéki egyenlet: M B = rB1 × F1 + rB 2 × F2 + rBA × FA = 0 G G G G G G G G rB1 = ( −0,06ex − 0, 24ez ) m, rB 2 = ( 0,08ey − 0,08ez ) m, rBA = (−0,34ez ) m G G G ex ey ez G G G G G rB1 × F1 = −0,06 0 −0, 24 = ex ( −0, 24 ⋅ 40 ) − e y ( −0, 48 + 2, 4 ) + ez ( 0,06 ⋅ 40 ) = −40 10 8 G G G = ( −9,6ex − 1,92ey + 2, 4ez ) , G G G ex ey ez G G G G G rB 2 × F2 = 0 0,08 −0,08 = ex ( −6 ⋅ 0,08 ) − e y ( 30 ⋅ 0,08 ) + ez ( −0,08 ⋅ 30 ) = 30 −6 0 G G G = ( −0, 48ex − 2, 4e y − 2, 4ez ) ,
57
G ex G G rBA × FB = 0 FBx
G ey 0 FBy
G ez G G G G −0,34 = ex ( 0,34 FBy ) − e y ( 0,34 FBx ) = (0,34 FBy ex − 0,34 FBx ey ) . 0
Skaláris egyenletek:
−9,6 − 0, 48 − 0,34 FAy = 0
⇒
FAy = 29,65 kN,
−1,92 − 2, 4 − 0,34 FAx = 0
⇒
FAx = −12,71 kN.
A z tengely irányú vetületi egyenlet: Fz = 0 = FAz + 8 ⇒ FAz = −8 kN . Fx = 0 = −12,71 + 10 + 30 − 27, 29 ,
Ellenőrzés:
Fy = 0 = 29,65 − 40 − 6 + 16,35 . c) A terhelések redukálása a tengelyközépvonalába: G G G G G - Az F1 redukciója: F1 = (10ex − 40e y + 8ez ) kN ,. G G G G G G G G G M 1 = rCE × F1 = (−0,06ex ) × (10ex − 40ey + 8ez ) = (0, 48ey + 2, 4ez ) kNm . G G G G - Az F2 redukciója: F2 = ( 30ex − 6e y ) kN , G G G G G G G M 2 = rDH × F2 = (0,08ey ) × (30ex − 6ey ) = (−2, 4ez ) kNm . y FAx
FAz
0, 48 kNm
x
10 kN
40 kN A
C
FAy
A redukált nyomatékok koordinátái:
8 kN
6 kN
30 kN FBx
2, 4 kNm 2, 4 kNm D
B
z FBy
M 1x = 0,
M 2 x = 0,
M 1 y = 0,06 ⋅ 8 = 0, 48 kNm,
M 2 y = 0,
M 1z = 0,06 ⋅ 40 = 2, 4 kNm,
M 2 z = 0,08 ⋅ 30 = 2, 4 kNm.
d) A középvonalba redukált erőrendszer felbontása xz és yz síkbeli részre: y FAz
FAy
40kN C
A
x D
6kN
z
B
8kN 100
160
80
FBy FAx
e) - g) Az igénybevételi ábrák megrajzolása:
58
A
10 kN
30 kN
C
D
2, 4kNm 0, 48kNm 100 160
B
80
z FBx
y FAz
x
40 kN C
A
D
6 kN
B z
A
8kN FAy
160
100
FBy FAx
80
Mc
[ kN]
N 8
Ty
8
[ kN ]
10kN C
2, 4kNm 0, 48kNm 100 160
−2, 4 Tx
29,65
−16,35
[ kNm]
B z
80
FBx
[ kNm ]
M hy z
−2, 4
[ kN ]
27, 29
0, 48kNm
z
M hx
D
z
z
−10,35
30 kN
[ kNm]
z
−2,71 −12,7 1,75
2,18
1,27
z
−1,31 −2,97 4.4.13. feladat:Dugattyús motor (kompresszor) forgattyús tengelyének igénybevételi ábrái dugattyú
z csapágy
F
hajtórúd
x
csapágy Mt
forgattyús tengely
y
Adott: - a szerkezet geometriája és méretei, - a dugattyúra ható felületi terhelés F eredője. Feladat: a) A szerkezet mechanikai modelljének megrajzolása. b) A forgattyús tengely terhelésének meghatározása. c) Az M t terhelő nyomaték és a csapágyerők (támasztó erők) meghatározása. d) A forgattyús tengely igénybevételi ábráinak megrajzolása. Feltételezve, hogy a szerkezet az adott helyzetben egyensúlyban van. 59
Kidolgozás: a) Mechanikai modellezés - vonalas vázlat: A szerkezet valamennyi elemét rúdnak tekintjük – így a szerkezet vonalas vázlatát kapjuk meg.
F = 12 kN E 1
z
D
Szerkezeti elemek: 1 – dugattyú, 2 – hajtórúd, 3 – forgattyús tengely.
2 90
A 30
3 ⋅
50
α
x
B
C
50
40
Mt
y
A 3 jelű forgattyús tengely mechanikai szempontból egy törtvonalú, térbeli terhelésű, kéttámaszú tartó.
b) A forgattyús tengely terhelésének meghatározása: Az egész szerkezet és a az egyes szerkezeti elemek is egyensúlyban vannak. Külön-külön megvizsgáljuk az egyes szerkezeti elemek egyensúlyát. Helyzetábra z G F
αE 1
x
α
1 GD F21
E
G FE
E
G F12
α12 ≡ α 21 α 23 ≡ α 32 2
2
α 23 ≡ α 32
G F
G F12 D
G FE
D
α12 ≡ α 21
Erőábra
G Mt
C 3 BA
GC F32
C
G F23 3
G Mt BA
α
G F
G F21
G FE
⋅
G G F 12 G G G ⇒ FE = = 4 kN , FE = ( 4ex ) kN , F21 = ( −4ex + 12ez ) kN . FE 3 G G G G G G F32 = − F12 = F21 , F23 = − F32 = − F21 G G G A forgattyús tengelyre ható erő: F23 = ( 4ex − 12ez ) kN . 90 =3= 30 G G F12 = − F21 ,
tgα =
c) Az M t terhelő nyomaték és a támasztóerők meghatározása:
60
12 kN
M t = 0,03 ⋅ 12 ⋅ 103 = 360 Nm = 0,36 kNm .
Mt
4 kN 30
A támasztóerők meghatározása:
z FAy FAx
A
FAz s
50 40
C
csukló
x
s
D 4 kN
G
12 kN s
K
s
50 B
30
E
FBx
FBz
Mt
y
görgő
M Ax = 0 = −0,07 ⋅ 12 + 0,14 ⋅ FBz , ⇒ FBz = 6 kN , M Bx = 0 = 0,07 ⋅ 12 − 0,14 ⋅ FAz , ⇒ FAz = 6 kN , Fy = 0 = FAy , M Az = 0 = −0,07 ⋅ 4 − 0,14 ⋅ FBx , ⇒ M Bz = 0 = 0,07 ⋅ 4 + 0,14 ⋅ FAx , ⇒
FBx = −2 kN , FAx = −2 kN ,
d) A forgattyús tengely igénybevételi ábrái: A törtvonalú tartót (forgattyú tengely középvonalát) egyenesbe terítjük. Az igénybevételi ábrákat az igénybevételek értelmezése alapján rajzoljuk meg. Az igénybevételi ábrák jellemző metszékeinek kiszámítása: - Csavaró nyomatéki ábra: M c ( CD ) = 0,05 ⋅ 6 = 0,3kNm, M c ( DE ) = 0,03 ⋅ 6 = −0,18kNm , M c ( EG ) = −0,05 ⋅ 6 = −0,3kNm,
- Hajlító nyomatéki ábrák: M hx ( C ) = 0,05 ⋅ 6 = 3kNm, M hx ( K ) = 0,07 ⋅ 6 = 0, 42 kNm , M hy ( D ) = 0,03 ⋅ 6 = 0,18kNm , M hz ( C ) = 0,05 ⋅ 2 = 0,1kNm , M hz ( K ) = 0,07 ⋅ 2 = 0,14 kNm .
61
A N
D
C
[ kN ]
2
E
2
G
2
s
B
2 s
Mc
[ kNm]
0,3
0,3
s
−0,18 Tz
−0,3
[ kN]
6
−0,36
−0,36
6 s
Tx
−6
[ kN ]
−6
2 −2 M hx
−2
−2
2
2
2
s
−2
[ kNm] s
−0,3 −0,3 M hy
[ kNm]
−0,3 −0,3 0,36
−0, 42
0,18 s
−0,18 M hz
[ kNm] 0,1
62
0,14
0,1
s
4.4.14. feladat: Térbeli tartó megadott keresztmetszeteinek igénybevételei y y G ⋅ F2
α
α
C
R
η
G F1
x
x B
A
A
z
α
ζ ⋅ B z
Adott: Ismertek az ábrán látható, yz síkban fekvő, negyed körív középvonalú, térbeli terheléG G G G sű tartó méretei és terhelései. F1 = ( −2 e y ) kN , F2 = ( 3 ex ) kN , R = 3m , α = 45o . Feladat: A tartó A , B − és B + keresztmetszeteiben az igénybevételek meghatározása. N ( A) = 0 ,
Megoldás:
Tx ( A) = − F2 = −3 kN , Ty ( A) = F1 = 2 kN , M c ( A) = − RF2 = −9 kNm , M hx ( A) = RF1 sin α = 4, 24 kNm , M hy ( A) = − RF2 = −9 kNm . N ( B − ) = − F1 sin α = −1, 41 kN ,
N ( B+ ) = 0 ,
Tx ( B − ) = − F2 = −3 kN ,
Tx ( B + ) = − F2 = −3 kN ,
Tη ( B − ) = F1 cos α = 1, 41 kN ,
Tη ( B + ) = 0 ,
M c ( B − ) = − F2 R (1 − sin α ) = −2,63 kNm ,
M c ( B + ) = − RF2 (1 − sin α ) = −2,63 kNm ,
M hx ( B − ) = 0 ,
M hx ( B + ) = 0 ,
M hη ( B − ) = − RF2 cos α = −6,36 kNm .
M hη ( B + ) = − RF2 cos α = −6,36 kNm .
4.4.15. feladat: Térbeli elágazásos tartó igénybevételei
y
Adott: Az ábrán látható, térbeli terhelésű törtvonalú tartó méretei és terhelései. G G G G F1 = (3 e y ) kN , F2 = ( 2 ez ) kN ,
x
A
G F2
s a b
G F1
a
B1 B 2 B3 s
a = 2 m , b = 4 m.
s z
Feladat: A tartó A , B1 , B2 és B3 keresztmetszeteiben az igénybevételek meghatározása.
a
63
Megoldás: N ( A ) = F2 = 2 kN ,
N ( B1 ) = F2 = 2 kN ,
Tx ( A) = 0 , Ty ( A) = − F1 = −3 kN ,
Tx ( B1 ) = 0 , Ty ( B1 ) = − F1 = −3 kN ,
M c ( A) = − aF1 = −6 kNm , M hx ( A) = aF2 − bF1 = 4 − 12 = −8 kNm , M hy ( A) = 0 kNm .
M c ( B1 ) = − aF1 = −6 kNm , M hx ( B1 ) = aF2 = 4 kNm , M hy ( B1 ) = 0 .
N ( B2 ) = F2 = 2 kN ,
N ( B3 ) = 0 ,
Tx ( B2 ) = 0 , Ty ( B2 ) = 0 ,
Tz ( B3 ) = 0 , Ty ( B3 ) = − F1 = −3 kN ,
M c ( B2 ) = 0 ,
M c ( B3 ) = 0 , M hz ( B3 ) = −aF1 = −6 kNm , M hy ( B3 ) = 0 .
M hx ( B2 ) = aF2 = 4 kNm , M hy ( B2 ) = 0 kNm .
4.4.16. feladat: Befogott tartó igénybevételi ábrái Adott: y A szerkezet méretei és terhelése: G G G M0 M 0 = 80 kNm , F0 = 70 kN , f 0 = 10 kN/m . f0 F0 z Feladat: B C G A D F0 Az igénybevételi ábrák megrajzolása és a 4m 4m 2m legnagyobb hajlítónyomaték meghatározása. Megoldás: 40 kN Az igénybevételi ábrák: y 40 kN 80 kNm
20 kNm
z 10 kN
70kN
70kN
N [ kN ] 70 Ty
70kN 70
[ kN ]
z
40
20 kNm 10
z −30
M hx
[ kNm]
80kNm 80
z −20
64
−40
−60
A maximális hajlítónyomaték (az ábrából): M hx
= 80 kNm .
max
4.4.17. feladat: Síkbeli törtvonalú tartó igénybevételi ábrái y Adott: A szerkezet méretei és terhelése. A FAx 2 kN/m Feladat: B Az igénybevételi ábrák megrajzoláFAy s sa és a legnagyobb hajlítónyomaték meghatározása. s 2m
FDx
D
s
x
C
1kN
3m
Megoldás: Az igénybevételi ábrák:
A
N
s
D
[ kN ]
3
T
C
B
3
−1
[ kN ]
s
−1 −3
−3 s
Mh
[ kNm]
−1 −3
−7,5
−3
s
−6
A maximális hajlítónyomaték: | M h |max = 6, 25kNm .
65
4.4.18. feladat: Hajtómű tengely igénybevételi ábrái y 2m 2m
C
A
y
B M mh
G F
z x
C
D
G F
E
E
G G Adott: Az AB tengely és a rajta lévő fogaskerék geometriája, D = 0, 4 m, M mh = (2ez ) kNm , G G G G F = (−10ex + 10e y + 5ez ) . Feladat: a) A terhelés redukciója a tengely középvonalába, a támasztó erőrendszer meghatározása, a tengelyre ható erőrendszerek felbontása zy és zx síkba eső részekre. b) Az igénybevételi ábrák megrajzolása. Megoldás: a) A terhelés redukciója a tengely középvonalába, a támasztó erőrendszer meghatározása, a tengelyre ható erőrendszerek felbontása zy és zx síkba eső részekre: y A
4,75 kN x
5 kN A
10 kN C
1 kNm
B 2 kNm z
2 kNm 10 kN
5, 25 kN B
C
z
5 kN 5 kN
5 kN
b) Az igénybevételi ábrák: N [ kN ] 5
Ty
[ kN ]
Mc 5
z
−4,75 M hx
[ kNm]
2
z
5, 25
1 kNm
[ kNm]
Tx 5
M hy
10,5 9,5
[ kN]
[ kNm]
2 z
5
−5
−5
z z
−10
66
z
