3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE
V této kapitole se dozvíte: •
jak p opsat kružnici a kruh v rovině;
•
jak u rčit vzájemn ou polohu b odu n ebo a kružnice, resp. bodu a k ruhu ;
•
jaký mi metodami u rčit vzájemn ou polohu p římk y a k ružn ice;
•
jak p opsat kulov ou p lo chu a kouli v prostoru;
•
jak určit vzájemnou polohu bodu a kulové plochy, resp. bodu a k oule;
•
jaký mi metodami u rčit vzájemnou polohu přímky nebo roviny a kul ov é ploch y.
Klíčová slova této kapitoly: středová rovnice, obecná rovnice, parametrická rovnice, kružnice, k ruh, kulová plocha, koule, vzájemná poloha.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Kružnice v rovině. Kružnice se středem v bodě S = [ s1 , s2 ] a poloměrem r je dána rovnicí
( x − s1 ) + ( y − s2 ) 2
2
= r2 .
Jedná se o tzv. středovou rovnici kružnice. Obecnou rovnicí kružnice je x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kružnice (s reálným poloměrem). Parametrickou rovnicí kružnice je vyjádření x = s1 + r cos t , y = s1 + r sin t , kde reálný parametr t probíhá hodnoty 0 ≤ t < 2π . Kruh v rovině. Kruh v rovině je analyticky vyjádřen nerovnicí
( x − s1 ) + ( y − s2 ) 2
2
≤ r 2 nebo x 2 + y 2 + ax + by + c ≤ 0 ,
kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kružnice. Vzájemná poloha bodu a kružnice, resp. kruhu. Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp. nerovnici tohoto útvaru. Vzájemná poloha přímky a kružnice. Nechť je dána kružnice k ( S; r ) a přímka p : ax + by + c = 0 . Mohou nastat tři případy: 1. Přímka p je sečnou kružnice k ⇔ d ( S, p ) < r ; 2. Přímka p je tečnou kružnice k ⇔ d ( S, p ) = r ; 3. Přímka p je nesečnou kružnice k ⇔ d ( S, p ) > r . Je zřejmé, že vzájemnou polohu přímky a kružnice vyšetříme nejjednodušeji pomocí vzdálenosti d ( S, p ) středu kružnice S = [ s1 , s2 ] od přímky p . Druhou možností, jak zjistit polohu přímky a kružnice, je nalézt průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic.
Rovnice kulové plochy v prostoru. Kulová plocha v prostoru je analogií kružnice v rovině. Kulová plocha se středem v bodě S = [ s1 , s2 , s3 ] a poloměrem r je dána rovnicí
( x − s1 ) + ( y − s2 ) + ( z − s3 ) 2
2
2
= r2 .
Jedná se o tzv. středovou rovnici kulové plochy. Obecná rovnice kulové plochy má tvar x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 , ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kulové plochy (s reálným poloměrem). Koule v prostoru. Koule v prostoru je analogií kruhu v rovině. Analyticky je koule vyjádřena nerovnicí
( x − s1 ) + ( y − s2 ) + ( z − s3 ) 2
2
2
≤ r 2 nebo x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d ≤ 0 ,
kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kulové plochy. Vzájemná poloha bodu a kulové plochy, resp. koule. Bod je prvkem kulové plochy, resp. koule, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp. nerovnici tohoto útvaru. Vzájemná poloha přímky a kulové plochy. Nechť je dána kulová plocha ϕ ( S; r ) a přímka p : r = a + tu , t ∈ R . Mohou nastat tři případy: 1. Přímka p je sečnou kulové plochy ϕ ⇔ d ( S, p ) < r ; 2. Přímka p je tečnou kulové plochy ϕ ⇔ d ( S, p ) = r ; 3. Přímka p je nesečnou kulové plochy ϕ ⇔ d ( S, p ) > r . Veličina d ( S, p ) představuje vzdálenost středu kulové plochy S = [ s1 , s2 , s3 ] od přímky p. Vypočítat vzdálenost bodu od přímky v prostoru není sice obtížné, je ale třeba znát příslušný vzorec (viz kapitolu „Analytická geometrie přímky“). Pokud ho neznáme, můžeme jako obvykle u tohoto typu úloh, použít průniku obou útvarů. Postup řešení pomocí průniku spočívá v dosazení za souřadnice x , y , z z parametrického vyjádření přímky p . do rovnice kulové plochy ϕ . Tím dostaneme kvadratickou rovnici pro reálný parametr t, která může mít, jak víme, dvě řešení (sečna), jedno řešení (tečna) nebo žádné řešení (nesečna).
Vzájemná poloha roviny a kulové plochy. Jedná se o velmi přesnou analogii vzájemné polohy přímky a kružnice. Nechť je dána kulová plocha ϕ ( S; r ) a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0 . Mohou nastat tři případy: 1. Rovina ρ je sečnou kulové plochy ϕ ⇔ d ( S, ρ ) < r ; 2. Rovina ρ je tečnou ke kulové ploše ϕ ⇔ d ( S, ρ ) = r ; 3. Rovina ρ je nesečnou kulové plochy ϕ ⇔ d ( S, ρ ) > r . Veličina d ( S, ρ ) =
as1 + bs2 + cs3 + d a 2 + b2 + c 2
představuje vzdálenost středu kružnice S= [ s1 , s2 , s3 ] od
roviny ρ . Druhou možností, zde méně vhodnou, jak zjistit polohu roviny a kulové plochy, je nalézt průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic a určit vzájemnou polohu podle počtu nalezených společných bodů: ∞ bodů ⇔ sečna, 1 bod ⇔ tečna, 0 bodů ⇔ nesečna.
Shrnutí kapitoly: Kružnici v rovině popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí. Je ovšem také možné popsat kružnici i další útvary parametrickou rovnicí . Kruh v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo obecné rovnice kružnice změnou znaménka = na znaménko ≤ . Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, pokud splňuje její rovnici, resp. jeho nerovnici. Přímka může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kružnice. Nejjednodušeji o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky od středu kružnice nebo také výpočtem průniku obou útvarů. Kulovou plochu v prostoru popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí. Kouli v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo obecné rovnice kulové plochy změnou znaménka = na znaménko ≤ . Bod je prvkem kulové plochy , resp. koule, pokud splňuje její rovnici, resp. nerovnici. Přímka nebo rovina může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kulové plochy . Nejjednodušeji o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky či roviny od středu kulové plochy nebo také výpočtem průniku obou útvarů.
Otázky: •
Jak é znáte způsoby popisu kružnice v rov ině?
•
Formulu jte středo vou, obecnou a p arametrickou rovn ici k ružnice.
•
Jak é znáte způsoby popisu kruhu v rovině? Jak ý je vztah mezi po pisem kružnice a kruhu?
•
Jakou vzájemn o u po loh u mo hou mít b od a k ru žnice, resp. b od a k r u h? Jak j i určíme?
•
Jakou vzájemn o u po loh u mo hou mít p římk a a k ru žnice? Jak ji n ejs nad n ěji určíme?
•
Jaké znáte způso b y p op isu k ulové ploch y v p ro sto ru?
•
Formulu jte středovou a obecn ou ro vnici kulové ploch y.
•
Jaké znáte způsoby popisu koule v rovině? Jaký je vztah mezi po p isem ku lové plochy a koule?
•
Jako u v zájemn o u po loh u mo hou mít bod a kulová plocha, resp. bod a k oule? Jak ji určíme?
•
Jako u v zájemnou polohu mohou mít p římk a nebo rovin a a kulová plocha? Jakými metodami ji u rčíme?
Příklad 1. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kružnice: 2 2 a) x 2 − y 2 = 9 ;.b) x 2 + y 2 = 9 ; c) ( x − 2 ) + ( y + 1) − 4 = 0 ;d) x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 6 = 0 ; e) x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 1 = 0 . Příklad 2. Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k : a) k: ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 , p: x − 1 = 0 ; 2
2
b) k: ( x − 1) + ( y + 2 ) = 92 , p: x − y = 0 ; 2
2
c) k: ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 2 , p: x + 2 y − 6 = 0 . 2
2
Příklad 3. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kulové plochy: a) x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 z + 1 = 0 ; b) x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 8 y + z + 18 = 0 ; c) x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 8 y + z + 17 = 0 .
Příklad 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a kulové plochy ϕ : a) p: x = t , y = t , z = −2t , ϕ : ( x − 3) + y 2 + ( z − 4 ) = 25 ; 2
2
b) p: x = 4t , y = t , z = −3t , ϕ : ( x − 3) + y 2 + ( z − 4 ) = 25 . 2
2
Příklad 5. Určete vzájemnou polohu roviny ρ a kulové plochy ϕ : a) ρ : x + y − z + 1 = 0 , ϕ : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3 ; 2
2
2
b) ρ : y − z + 1 = 0 , ϕ : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 0, 01 ; 2
2
2
c) ρ : 2 x + 1 y − 2 z + 3 = 0 , ϕ : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 2
2
2
4 . 9
Řešení příkladů: 1a) ne; 1b) ano, S = [0, 0], r = 3 ; 1c) ano, S = [2, −1], r = 2 ; 1d) ne; 1e) ano, S = [−1, 2], r = 2 . 2a) sečna; 2b) tečna; 2c) nesečna. 1 1 3a) ano, S = [ −1, 0, 2], r = 2 ; 3b) ne; 3c) ano, S = −1, 4, − , r = . 2 2 4a) sečna; 4b) tečna. 5a) tečna; 5b) sečna; 5c) tečna.
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
