3.2.7
Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky
Předpoklady: 3204, 3206 Pedagogická poznámka: U následujících příkladů (a u mnoha dalších příkladů z geometrie) platí, že nedílnou součástí řešení je nápad (který se také nemusí dostavit). Proto v průběhu přemýšlení o příkladu postrkuji třídu pomocí návodných otázek. Př. 1:
V kružnici o poloměru r = 10 cm urči vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv o délkách 12 cm a 18 cm.
12 cm 18 cm
r=10 cm
V obrázku není nic, co by umožňovalo spočítat jakoukoliv vzdálenost. Musíme „dostat známé vzdálenosti k sobě“, nebo vytvořit trojúhelníky, je třeba využít vlastnosti kružnice ⇒ dokreslíme do obrázku další poloměry tak, aby končily u krajních bodů obou tětiv. 12 cm 18 cm r=10 cm r=10 cm r=10 cm
Vzdálenost obou tětiv získáme jako rozdíl délek odvěsen ve vyznačených pravoúhlých trojúhelnících s přeponou r = 10 cm . Zelený trojúhelník (kratší tětiva): a1 = c12 − b12 = 102 − 62 = 64 = 8 Modrý trojúhelník (delší tětiva): a2 = c22 − b22 = 102 − 92 = 11 Vzdálenost obou tětiv? d = a1 − a2 = 8 − 19 cm ≐ 3, 64 cm Př. 2:
V pravoúhlém trojúhelníku ABC ( ∢ACB = 90° ) je dáno: ta = 4 , tb = 19 . Urči délky stran trojúhelníka.
Nakreslíme obrázek:
1
A
ta
B1
tb B C A1 Hledáme trojúhelníky, u kterých známe dva údaje (a třetí můžeme zjistit), těžnice vycházejí ze středů stran ⇒ A
b
B1
c
ta
0,5 b tb C
B
A1 0,5 a
a Dvakrát můžeme využít Pythagorovu větu: 2
•
b trojúhelník CBB1 : t = a + ´ 2 2 b
2
2
a trojúhelník CAA1 : ta2 = b 2 + ´ 2 ⇒ získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých 2 b2 2 19 = a + 4 2 a 42 = b 2 + 4 Substituce: a 2 = x , b 2 = y y y x + = 19 x + = 19 4 4 ⇒ ⇒ y = 12 x 15 + y = 16 y = 45 4 4 Dosadíme do první rovnice a vypočteme x: 12 x + = 19 ⇒ x = 16 4 Návrat k původní proměnné: a 2 = x = 16 ⇒ a = 16 = 4 •
( )
2
b 2 = y = 12 ⇒ b = 12 = 2 3
(
Určíme stranu c: c = a 2 + b 2 = 4 2 + 2 3
)
2
= 28 = 2 7
Trojúhelník ABC má strany o délkách a = 4 cm , b = 2 3 cm , c = 2 7 cm .
Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu studenti většinou nejdříve zkouší spočítat příklad dělením těžnic na části. Hlavním problém při řešení příkladu je pro studenty fakt, že sestavení jedné rovnice pro jeden z pravoúhlých trojúhelníků jim neumožní cokoliv dopočítat. Musí mít obě rovnice najednou, ale většina z nich příklad vzdá ve chvíli, kdy zjistí, že použít jeden z trojúhelníků k vyřešení příkladu nestačí. Př. 3:
Je dán rovnostranný trojúhelník ABC se stranou délky a. Urči: a) výšku v b) poloměr kružnice opsané c) poloměr kružnice vepsané
a) výšku v
C
a
v
a
A
B C1 0,5a a Výška je v rovnostranném trojúhelníku zároveň těžnicí ⇒ rozdělí trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. a V trojúhelníku CBC1 platí: a = v + 2 2 a 3 v2 = a2 − = a2 4 4 3 v= a 2 2
2
2
b) poloměr kružnice opsané střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran
3
C
a
v
a
S r A
B
C1 a
osy stran jsou u rovnostranného trojúhelníku zároveň výškami i těžnicemi ⇒ střed kružnice je v těžišti trojúhelníka a jeho poloměr je roven vzdálenosti SA , tedy dvěma třetinám výšky 2 3 2 3 r= a= a 3 2 6 c) poloměr kružnice vepsané střed kružnice vepsané leží na průsečíku os úhlů C
a
a
v S
A
B C1 a osy úhlů jsou u rovnostranného trojúhelníku zároveň výškami i těžnicemi ⇒ střed kružnice vepsané je v těžišti trojúhelníka a jeho poloměr je roven vzdálenosti SC1 , tedy třetině výšky r=
1 3 3 a= a 3 2 6
Př. 4:
Do rovnostranného trojúhelníka ABC o straně a je vepsán čtverec. Urči délku strany čtverce.
Nakreslíme si obrázek:
4
C v-x 0,5x
a
a
v x A
B C1 0,5a a V obrázku můžeme najít dva podobné trojúhelníky. Z poměru vyznačených stran vyplývá: x a x a 2 = 2 = v−x v v−x v vx = av − ax av vx + ax = av ⇒ x = v+a 3 3 3 a a a2 a 3 3 2 2 2 =a Dosadíme v = a: x = = = 2 3 3 3+2 3+2 a + a a + 1 2 2 2
Vepsaný čtverec musí mít délku strany x = a
Př. 5:
3 . 3+2
V ostroúhlém trojúhelníku ABC je vedena kolmice z bodu B na stranu AC s patou B0 a kolmice z bodu A na stranu BC s patou A0 . Dokaž, že platí △ ABC ∼△ A0 B0C .
Obrázek:
C B0 b
a A0
A B c Trojúhelníky ABC a A0 B0C se shodují v úhlu γ . Další úhel nemůžeme najít. Zkusíme postupovat jiným způsobem. Ještě jsme nevyužili pravých úhlů u vrcholů A0 B0 :
5
C B0 b
a A0
A B c Podle věty uu jsou podobné trojúhelníky AA0C a BB0C (pravý úhel a úhel γ ) ⇒ musí platit AA0 AC A0C i rovnosti poměrů stran: = = . Druhý a třetí zlomek v rovnosti obsahují strany BB0 BC B0C BC AC AC A0C trojúhelníků ABC a A0 B0C ⇒ upravíme s vztah: = ⇒ 0 = 0 = poměr BC B0C BC AC odpovídajících stran u trojúhelníků ABC a A0 B0C je stejný ⇒ platí △ ABC ∼△ A0 B0C podle věty sus. Pedagogická poznámka: Samozřejmě, že předchozí příklad samostatně neudělá. Těm lepším trocha zkoušení neuškodí. Jak je zmíněno i v textu příkladu, důležité je, aby si studenti uvědomili, že v beznadějných situacích je možné postupovat i naslepo tak, že se snažíme využít informací o speciálních vlastnostech ze zadání. Př. 6:
Petáková: strana 87/cvičení 41 c) e) strana 88/cvičení 44 strana 88/cvičení 45
Shrnutí:
6
