25. előadás: BIZONYTALANSÁG

25. előadás: BIZONYTALANSÁG Kertesi Gábor – Muraközy Balázs – Varró László

Varian 12. fejezete átdolgozva

25.1 Bevezető –

A bizonytalanság az élet velejárója. A jövő nem látható előre. Gazdasági döntéseinket is annak tudatában kell meghoznunk, hogy a véletlen szeszélye folytán – vagy más, általunk nem befolyásolható folyamatok eredményeként – jövedelmünk és fogyasztási lehetőségünk a tervezetthez képest megváltozhat. Gyakran megeshet velünk az, hogy rosszabb helyzetbe kerülünk, mint amire számítunk. Számos esetben hozhatunk azonban olyan gazdasági döntést – a lottószelvény-vásárlásától a balesetbiztosításig –, melynek révén megváltoztathatjuk a dolgok kimenetelét. A bizonytalan körülmények között hozott döntések és az azokra épülő piacok elemzése a mikroökonómia egyik legizgalmasabb területe. 25.1 fólia

–

Az előző órán azt vizsgáltuk, milyen következményekkel jár döntési modelljeinkre nézve az idő múlása, ha pontosan tudjuk, hogy mire számíthatunk a jövőben. A döntéshozókról feltételeztük, hogy pontosan ismerik döntéseik következményeit. Ezt a helyzetet szemlélteti a 25.1. fólián látható A eset.

–

A mai előadáson olyan szituációkat fogunk elemezni, ahol a döntés meghozatalakor nem ismerjük pontosan döntésünk következményeit. Az egyszerűség kedvéért viszont most az idő múlásától tekintünk el. Ezt a helyzetet szemlélteti a 25.1. fólián látható B eset. Azt tudhatjuk esetleg, hogy milyen lehetséges kimenetelekre számíthatunk ( c1 , c 2 , c 3 ), de hogy e lehetséges kimenetelek közül végül is melyik fog realizálódni, azt előzetesen (ex ante) nem tudhatjuk. Utólag (ex post) persze okosak lehetünk, de ezzel többnyire nem megyünk sokra. Ha nem készültünk fel előre a többféle lehetséges kimenetelre, akkor semmilyen mértékben sem kezeltük a bizonytalanságot. Utólag, a bizonytalan kimenetelű esemény bekövetkezése után – ex post – már nem tudjuk magunkat a kedvezőtlen körülményektől megóvni, illetve nem tudjuk a kedvező körülményekben rejlő lehetőségeket kiaknázni. A bizonytalan kimenetelű eseményekre mindig előzetesen – ex ante – kell felkészülni. A mai előadás tárgya az, hogy a gazdasági döntések meghozatalánál miként lehet ez megtenni.

–

A probléma komplett tárgyalása az volna, ha egyszerre vennénk figyelembe az idő múlását és a bizonytalanságot is. Ezt az helyzetet szemlélteti a C eset. Erre azonban – az ilyen jellegű modellek bonyolultsága miatt – egy alapozó árelméleti kurzus keretei között aligha kerülhet sor. Mindazonáltal az A és B típusú panelekből – kellő kreativitással – összerakhatók ilyen jellegű, komplettebb modellek is.

25.2 Néhány valószínűségszámítási fogalom –

Mielőtt belekezdenénk a bizonytalanság melletti döntések elméletének kifejtésébe, ismételjünk át röviden néhány valószínűségszámítási fogalmat!

–

Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét a következőképpen definiálhatjuk: 25.2 fólia

2 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

–

A mellékelt példa a félévi mikroökonómia jegy várható értékére ad becslést a számtani átlag formulájának felhasználásával.

–

Egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját a következőképpen definiálhatjuk: 25.3 fólia

–

A varianciára is adunk egy becslést a szórásnégyzet formulájának segítségével. A variancia a valószínűségi változó változékonyságát méri.

25.3 Véletlentől függő feltételes fogyasztás –

A bizonytalanság melletti döntések megértéséhez be kell vezetnünk egy új fogalmat: a természeti állapot fogalmát. Egy természeti állapot (világállapot) nem más, mint egy véletlenszerű esemény lehetséges kimenetele. Egy lehetséges természeti állapot lehet például egy farmer számára az, amikor az időjárás kedvező. Egy másik természeti állapot lehet ennek az ellenkezője: az, ha az időjárás kedvezőtlen. Egy tőzsdei spekuláns számára az árfolyamok növekedése vagy csökkenése, illetve egy nyersolajfelhasználó számára az iraki válság gyors és békés rendeződése vagy annak harci cselekményekkel is járó tartós megoldatlansága lehet egy-egy világállapot. A természeti állapotok száma természetesen nem csak kettő lehet. A kimenetelek száma a szituációtól függ. Kockadobás esetén például hat, egyforma valószínűséggel bekövetkező, egymástól különböző kimenetelre számíthatunk.

–

Feltesszük, hogy a döntéshozónak nincs befolyása arra, hogy melyik természeti állapot milyen valószínűséggel következik be. Ezt a kikötést a mai előadás során mindvégig fenntartjuk. Az információ közgazdaságtanának alapelemeit ismertető jövő heti előadás során azonban lesz olyan eset, amikor feloldjuk.

–

Az egyszerűség kedvéért induljunk ki egy olyan esetből, amelyben mindössze két természeti állapot lehetséges: leég a házunk vagy nem ég le. Legyen π annak valószínűsége, hogy leég, (1 − π ) pedig annak valószínűsége, hogy nem ég le. Ha leég a házunk, azzal K értékű kár ér bennünket. Amennyiben y jövedelemmel rendelkezünk, fogyasztási lehetőségeinket a különböző természeti állapotokban a következő ábrán foglalhatjuk tömören össze. 25.4 fólia

– Ha leég a ház, akkor fogyasztásra költhető jövedelmünk nagysága ( y − K ) értékűre csökken; ha sikerül a tűztől házunkat megóvni, akkor jövedelmünk y marad. – Most tételezzük fel, hogy γΚ biztosítási díj ellenében bárki köthet olyan biztosítást, amely a kár bekövetkezése esetén teljes fedezetet nyújt egy esetleges tűz során bekövetkezett kárra. γ az egységnyi megtérített kárra jutó biztosítási díjtétel, azaz a kárelhárítás egységára. Normál körülmények között γ < 1 . Ha biztosítást kötünk, fogyasztásunk a két világállapotban azonos: akár bekövetkezik a szerencsétlenség, akár nem, ( y − γK ) a jövedelmünk.


25.5 fólia

– A biztonságnak ára van: γK értékben akkor is kevesebb lesz a jövedelmünk, ha nem ég le a ház. Cserébe viszont, a káresemény bekövetkezése után nem ( y − K ) , hanem ennél nagyobb, ( y − γK ) lesz a jövedelmünk ( 0 < γ < 1 ). – Mielőtt továbblépnénk, ismerkedjünk meg egy újabb fogalommal: a véletlentől függő, feltételes fogyasztási terv (contingent consumption plan) fogalmával. Egy feltételes fogyasztási terv a véletlenszerű események minden kimenetelére, azaz minden egyes természeti állapotra tartalmazza azt, hogy mennyit fogunk fogyasztani. A biztosítás vásárlásának esetében a feltételes fogyasztást biztosítási szerződés formájában írjuk le: mennyi pénzünk lenne, ha a veszteség bekövetkezik, és mennyi, ha nem. – Ha a véletlentől függő, feltételes fogyasztási tervet közönséges fogyasztási kosárnak fogjuk fel, akkor ugyanabban a fogalmi keretben tudunk dolgozni, mint amelyet a fogyasztási elméletben megszoktunk. A bizonytalan kimeneteleket úgy illesztjük be a standard fogyasztási elmélet megszokott keretei közé, hogy a termékek terét a bizonytalan kimenetelek számától függően kitágítjuk. Ha például determinisztikus (bizonytalanságot nem tartalmazó) közegben egy kéttermékes modellben gondolkodunk, akkor abban az esetben, ha a bizonytalanság körülményei között – mondjuk – tíz lehetséges kimenetelre számíthatunk, akkor a bizonytalanságot is tartalmazó (szochasztikus) modellt úgy tudjuk a bizonyosság melletti döntés (determinisztikus) modelljének analógiájára elképzelni, mintha egy kétszer tíz termékből álló determinisztikus modellel lenne dolgunk. Ez a mély gondolat – amelynek első megfogalmazása Kenneth Arrow1, amerikai közgazdász nevéhez fűződik –, tette lehetővé a közgazdászok számára azt, hogy a bizonytalanságot az árelmélet szokásos eszközeivel kezelni tudják. – Ez az eljárás ugyan nem küszöböli ki a véletlen szerepét, mégis azzal, hogy elgondolhatóvá teszi a különböző természeti állapotok fennállása esetén rendelkezésünkre álló termékekkel való "kereskedést", olyan piacok létesítésének teremti meg az elvi alapját, amelyek a bizonytalan kimenetelekből adódó kedvezőtlen következmények hatását képesek enyhíteni. – "Kereskedés" (trading) az, ha a feltételes fogyasztó tervek közti választás révén jövedelmet csoportosítunk át egy adott természeti állapotból egy másik természeti állapotba. A farmer megteheti, hogy burgonyát termel, ami jó és rossz időben egyaránt megterem, de nem túl jövedelmező. Az eper sokkal nagyobb jövedelmet hoz jó idő esetén, de szinte semmit sem hoz, ha kedvezőtlenek az időjárási viszonyok. Ha a farmer az eper mint feltételes fogyasztási terv mellett dönt, akkor a burgonytermelés esetéhez képest jövedelmet csoportosít át a kedvezőtlen időjárás természeti állapotából a kedvező időjárás természeti állapotába.

1

Kenneth J. Arrow (1921-), Nobel-díjas amerikai közgazdász. A véletlentől függő, feltételes fogyasztással kapcsolatos gondolatait Arrow egy ötven évvel ezelőtt megjelent, korszakalkotó tanulmányában fejtette ki először: Le rôle des valeurs boursières pour la répartition la meilleurre des risques. Ėconometrie (Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique), 1953, 11. évfolyam, 41-47. old. A tanulmány ismertebb forrása: The role of securities in the optimal allocation of risk-bearing. Review of Economic Studies, 1963, 31. évfolyam, 91-96. old. 4 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

– A spekuláns dönthet arról, hogy bankszámlán tartja-e a pénzét, ahol csak állandó kamatot kap, vagy részvényeket vesz inkább, melyeknek az ára jelentősen ingadozik. Gazdasági fellendülések idején a részvényvásárlás a bankbetétnél magasabb hozammal (nagyobb fogyasztással) kecsegtet, gazdasági visszaesések ide-jén azonban alacsonyabb hozammal (kevesebb fogyasztással) jár. – A lehetséges feltételes fogyasztási tervek és természeti állapotok eredményeit a kifizetési mátrixba sűríthetjük. A mátrix oszlopai a különböző természeti állapotokat jelentik: a T természeti állapot azt jelenti, hogy tűz lesz és leég a házunk, az N természeti állapot pedig azt, hogy nem ég le a házunk. A sorokban a fogyasztási tervek szerepelnek: az A terv azt jelenti, hogy nem kötünk biztosítást, a B terv pedig azt, hogy teljes biztosítást kötünk. A mátrix elemei a fogyasztást jelentik: pl. cTA azt jelenti, hogy mennyit fogyasztunk, ha leég a házunk és nem kötöttünk biztosítást. 25.6 fólia

– A kockázatot matematikailag úgy ragadhatjuk meg, mint fogyasztási lehetőségeink szóródását a különböző természeti állapotokban. Vannak kockázatmentes fogyasztási tervek, mint a krumpli vetése vagy a bankbetét. Minél változékonyabb az egyes természeti állapotokban a lehetséges fogyasztás, annál kockázatosabb az adott fogyasztási terv. Rulettezéskor például tehetünk egy színre, ahol 50 százalékos valószínűséggel duplázunk2 vagy tehetünk számra, ahol kis valószínűséggel nyerhetünk sokat. Ha a kaszinó tisztességes szabályokat alkalmaz, akkor e két fogyasztási terv várható értéke azonos ugyan, szórása azonban biztosan különböző. Az utóbbi stratégia sokkal kockázatosabb. Egy fogyasztási terv nemcsak attól lehet kockázatosabb, ha nagyon alacsony kifizetések is lehetségesek, hanem attól is, ha nagyon magas kifizetések is vannak (például ha számra teszünk a ruletten, akkor ennek nagyon magas a kockázata: sok 0 kifizetés van és csak egy 36-szoros. Ha ez az egy kifizetés 72-szeres lenne, akkor a várható érték duplájára, a szórás pedig 2szeresére nőne: ez egy kockázatosabb termék, bár köznapi értelemben nem neveznénk annak). – A hasonlóság mellett van egy fontos különbség a bizonyosság, illetve a bizonytalanság körülményei között hozott fogyasztói döntések között. Bizonyosság esetén a választott optimális jószágkombináció valamennyi elemét elfogyasztja a fogyasztó, bizonytalanság esetén azonban a feltételes fogyasztási terv csak előzetesen (ex ante) értelmezhető jószágkombinációként, utólag (ex post) abból ténylegesen csak a valóban bekövetkezett természeti állapotnak megfelelő fogyasztás valósul meg. – A bizonytalanság melletti fogyasztói döntés feltételes fogyasztási tervek közötti optimalizálást jelent. A gazdasági szereplők bizonytalanság jelenlétében ugyanúgy racionálisan hozzák meg döntéseiket, mint amikor a bizonyosság körülmé-nyei között tevékenykednek. Ez annyit jelent, hogy úgy igyekeznek megtalálni a számukra legkedvezőbb alternatívát, hogy közben figyelembe veszik döntéseik korlátozó feltételeit.

2

Ha eltekintünk a 0-tól 5 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

– A fogyasztói döntések standard elméletének két meghatározó fogalma volt a költségvetési korlát és a hasznossági függvény. Némi változtatással ezek a fogalmak jól alkalmazhatók a bizonytalanság melletti döntések elemzésekor is.

25.4 Költségvetési korlát: a fogyasztási lehetőségek átcsoportosíthatósága a különböző természeti állapotok között – A bizonytalanság melletti fogyasztói döntés modelljét a biztosítás példáján fogjuk bemutatni. A korábbi példát felelevenítve, tegyük fel, hogy fogyasztónk y jövedelemmel rendelkezik, ám π valószínűséggel K nagyságú tűzkár érheti. Lehetősége van azonban arra, hogy a tűzkárra biztosítást kössön, Ez a biztosítás γ * X forintnyi biztosítási díj fejében ( 0 < γ < 1 ) tűzkár esetén X forintnyi kártérítést fizet. A fogyasztó maga dönti el, hogy milyen összegre (mekkora X-re) kíván biztosítást kötni. (Ez a valóságban nincs így. A biztosítók a fogyasztók választási lehetőségeit nagyon is bekorlátozzák. Ennek ellenére, most a modell kifejtése során az egyszerűség kedvéért ezt tesszük fel.) 25.7 fólia

– A problémát a 25.7. ábrán látható koordinátarendszerben ábrázoljuk. A vízszintes tengely mentén a T ("tűz lesz, és leég a házunk") világállapotban realizálható fogyasztást, illetve jövedelmet mérjük ( cT ), a függőleges tengelyen pedig az N ("nem lesz tűz") világállapotban realizálható fogyasztást , illetve jövedelmet ( cN ). A releváns síknegyed bármely pontja egy feltételes fogyasztási tervet reprezentál. Ha nem kötünk biztosítást, akkor az ( y − K , y ) koordinátákkal jelölt pontban vagyunk. Ha tökéletes biztosítással kiegyenlítettük a két természeti állapot fogyasztási lehetőségeit, akkor egy origóból kiinduló 45 fokos egyenesre kerülünk; pontosabban a szóban forgó egyenesnek a ( y − γK , y − γK ) koordinátájú pontjába. Ezt az egyenest bizonyossági egyenesnek nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy ha az egyenesen vagyunk, akkor a két eltérő világállapot ellenére ugyanarra a jövedelemre számíthatunk. – A biztosítás lehetővé teszi, hogy az eredeti ( y − K , y ) készletpontból elmozduljunk. Ha K értékre kötünk biztosítást, akkor is le kell mondanunk γK értékű fogyasztásról, ha nem következik be a káresemény. Cserébe viszont, ha leég a házunk, nem kell y − K jövedelemmel (fogyasztással) megelégednünk. Ha van biztosításunk, akkor kár esetén fogyasztásunk pontosan ( K − γK ) értékkel lesz nagyobb annál a jövedelemnél, amivel biztosítás hiányában kellene beérnünk. A kedvező természeti állapotbeli fogyasztásunk egy részét egyszerűen elcseréltük a kedvezőtlenebb természeti állapotbeli fogyasztásunkra. A káresemény nélküli állapotban rendelkezésünkre álló fogyasz-tásból γK mennyiségről lemondunk annak érdekében, hogy a kár bekövetkezése esetén rendelkezésünkre álló fogyasztási lehetőséget (1 − γ ) K mennyyiséggel növeljük. 25.8 fólia


– A két természeti állapot közti csere aránya: −

γ 1− γ

.

– A standard fogyasztói elméletben a költségvetési korlát bármely pontját választhatja elvileg a fogyasztó. Bizonytalansági modellünk eddigi kifejtése során csak két fogyasztási tervet és két – természeti állapottól függő – fogyasztási szint kombinációt ad-tunk meg. A biztosítás mértékének megválasztásával azonban el tudunk jutni az A és B pontot összekötő szakasz tetszés szerinti pontjába. A biztosítás hiánya és a teljes biztosítás között végtelen egyéb – kisebb-nagyobb mértékű, részleges ( 0 < k < K ) – biztosítás megkötésére adódik lehetőség. 25.9 fólia

– Az ily módon definiált költségvetési korlát azonban nem ér el a tengelyekig, ami felveti nagyon furcsa sarokmegoldások veszélyét. Ez a probléma is kezelhetővé válik azonban, ha megengedjük azt, hogy a ház értékénél nagyobb összegre ( k > K ) is köthessünk biztosítást. Ekkor el tudjuk érni a bizonyossági egyenes alatti régiót, azaz meg tudunk adni olyan feltételes fogyasztási tervet is, mely szerint fogyasztásunk akkor nagyobb, amikor leég a házunk. 25.10 fólia

– A gondolatmenet teljessé tétele érdekében vizsgáljuk meg ezek után azt, hogy hová kerülnénk az adott fogyasztási térben, ha nemhogy biztosítást nem kötünk, de még TV-t vagy egyéb vagyontárgyakat is kölcsön kérünk lakásunk komfortosabbá tétele érdekében. Ha nincs tűz (az N természeti állapot áll fenn), akkor fogyasztásunk ettől még magasabb, mert – például – TV-t is nézhetünk. Ha tűz pusztít, akkor viszont nem csak a lakást magát éri kár, hanem az elégett kölcsön TV-t is pótolnunk kell. Ekkor tehát az A pontból a balra felfelé, a függőleges tengely felé mozdultunk el. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel – bár erre nincs garancia –, hogy ezen elmozdulás áraránya megegyezik a biztosításéval, azaz nincs törés a költségvetési korlátban. A költségvetési egyenes szaggatott része tehát arra utal, hogy itt nem nyilvánvaló, hogy mekkora annak meredeksége, inkább csak feltételezzük az átváltási arány fennmaradását. 25.11 fólia

– A 25.11 ábrán a folytonossá tett költségvetési halmazt – a költségvetési egyenest – látjuk. Amint most megmutattuk: a kiinduló készletpont adta fogyasztási lehetőségeinkből, megfelelő (biztosítási) piac kialakulása esetén, elmozdulhatunk az imént meghatározott költségvetési egyenes mentén.

25.5 Várható hasznosság – A fogyasztói döntés standard modelljéhez hasonlóan a bizonytalanság esetén is hasznossági függvény segítségével jelenítjük meg a fogyasztó preferenciáit. A döntéshozó preferenciáit is a természeti állapotok által meghatározott fogyasztási térben értelmezzük.


– Egy kockázatos döntés mérlegelésekor nyilvánvalóan tekintettel vagyunk a "nyeremény" nagyságára és a nyerés (a kimenetelek bekövetkezésének) valószínűségére is. Ezért a hasznossági függvényt az egyes természeti állapotok valószínűségeinek (π 1 , π 2 ,..., π n ) és a bekövetkezésük esetén lehetséges fogyasztás értékeinek (c1 , c2 ,..., cn ) függvényében írjuk fel. Ha csak két természeti állapot van, akkor az egyik a másikat nyilvánvalóan kizárja: π 1 = 1 − π 2 . A hasznossági függvény ilyenkor egyszerűbben is felírható. 25.12 fólia

– E hasznossági függvény konkrétabb formáját illetően az elemzésekhez a legalkalmasabbnak az úgynevezett Neumann3–Morgenstern-féle hasznossági függvény bizonyult, mely szerint a hasznosság mértéke az egyes természeti állapotokban elérhető hasznosságok várható értéke. 25.13 fólia

– A várható hasznosság koncepciója ésszerű, mert a bizonytalanság melletti döntés során az egyik természeti állapotban realizálható fogyasztási lehetőséget nem befolyásolhatja az, hogy mekkora (vagy mekkora lenne) a fogyasztási lehetőségünk egy másik természeti állapot bekövetkezésekor. Azaz eleget tesz a függetlenségi feltételnek. 25.14 fólia

– Mennyire realisztikus ez a feltevés? A legtöbb ember valójában bosszankodna azon, ha tízévi lottózás után éppen akkor nem venne lottószelvényt, amikor a kedvenc számait kihúzzák. Ez ugyan gyakori, mégis irracionális szerencsejátékosi attitűd: a számok kihúzásának valószínűsége nem függ attól, hogy előtte mi azokat mennyi ideig játszottuk. Korábbi példánkhoz visszatérve: normál körülmények között a racionális döntéshozókat nem az érdekli, hogy mi lett volna, ha nem ég le a ház, hanem az, hogy előretekintve mennyit lennének hajlandók áldozni az esetleges kár mértékének csökkentése érdekében, ha mégis leégne a ház. A várható hasznosság éppen ennek a gondolkodásmódnak a matematikai megfogalmazása. – A hagyományos hasznossági függvényhez hasonlóan értelmezhetjük a Neumann– Morgenstern-féle hasznossági függvényt, illetve a hozzá tartozó közömbösségi görbéket. A fogyasztó számára mindegy, hogy egy számot vagy egy színt tesz-e meg a ruletten, ha ez a két különböző eloszlású feltételes fogyasztási terv azonos hasznosságot képvisel számára, azaz ha a fogyasztási lehetőségek terében ábrázolva ugyanazon a közömbösségi görbén fekszik. 25.15 fólia 2

Neumann János (1903-1957), magyar matematikus a 20. század egyik legjelentősebb tudósa volt. Gondolatai jelentős mértékben hatottak nemcsak a matematika és a fizika, de a társadalomtudományok (mindenekelőtt a közgazdaságtan) fejlődésére is. Oskar Morgensternnel (1902-1977) közösen írt, korszakos jelentőségű könyvükben (Theory of Games and Economic Behavior, 1944) javasolták a várható hasznossági függvény használatát bizonytalanság által jellemzett döntési helyzetekben. Neumann legjelentősebb hozzájárulása a közgazdaságtanhoz a játékelmélet matematikai kifejlesztése volt. 8 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

– A fogyasztási elméletben kritikus fontossága van a helyettesítési határrátának, amely megmutatja nekünk, hogy fogyasztó milyen arányban lenne hajlandó a rendelkezésére álló termékeket egymásra cserélni. Jól emlékszünk rá, hogy ez egyben a közömbösségi görbe meredeksége is. A közömbösségi görbe meredekségét a Neumann– Morgenstern-féle hasznossági függvény esetében is totális differenciálással számíthatjuk. – A kaszinózás és lottózás kivételével az emberek normál körülmények között nem kedvelik a bizonytalanságot. Előfordulhatnak olyan helyzetek, amikor szeretjük a kockázatot, és vannak olyan emberek, akik általában keresik a kockázatos, bizonytalan kimenetelű helyzeteket. De inkább ez a kivétel. Az emberek többsége általában azt szereti, ha a különböző természeti állapotokban lehetséges eltérő fogyasztási lehetőségeit képes kiegyenlíteni. – Ezt a magatartási sajátosságot, melyet a közgazdászok kockázatkerülő magatartásnak neveznek, az árelmélet nyelvén úgy írhatjuk le, hogy a Neumann–Morgenstern-féle hasznossági függvény konkáv. A kockázatkerülő fogyasztó számára bizonytalan kimenetelű fogyasztási alternatíváinak várható értéke kisebb értéket képvisel, mint amit számára egy ugyanolyan várható értékű, de biztos alternatíva jelentene. 25.16 fólia

– A kockázatkedvelő ezzel szemben szereti a kockázatot. Az ő számára a nagyobb szórású feltételes fogyasztási terv nagyobb hasznosságot jelent, mint az azonos várható értékű, kisebb szórású vagy kockázatmentes alternatívák. Az ő várható hasznossági függvénye konvex. 25.17 fólia

– A kockázatsemleges fogyasztót a fogyasztási tervek szórása nem érdekli, egyedül a fogyasztás várható értéke. Ennek az esetnek a lineáris várható hasznossági függvény felel meg. 25.18 fólia

– Két lehetséges természeti állapot esetében a preferenciákat leíró közömbösségi görbék ábrázolhatók. Kockázatkerülő fogyasztó preferenciáinak jól viselkedő, konvex közömbösségi görbék felelnek meg. Ez tartalmilag azt jelenti, hogy a fogyasztó nem kedveli a szélsőségeket, vagyis nem kedveli azt, ha bizonytalan helyzetekben arra számíthat, hogy az egyik világállapotban sokat, a másikban pedig keveset fogyaszthat. Ha helyzetét mégis ez jellemezné, akkor törekedni fog rá, hogy a különböző világállapotokbeli fogyasztását kiegyenlítse. 25.19 fólia


25.6 Fogyasztói optimum – Akárcsak a standard fogyasztói elméletben, az optimumot itt is egy feltételes szélsőértékfeladat megoldása révén kapjuk meg. A fogyasztó az egyes természeti állapotokhoz tartozó fogyasztá-sának várható hasznosságát maximalizálja a kiinduló állapot (mint készletpont), valamint az esetleges biztosítási vagy szerencsejáték-piacok által diktált átváltási arány által meghatározott költségvetési korlát figyelembevételével. 25.20 fólia

– A Lagrange-függvény felírása után, az elsőrendű feltételek meghatározása révén olyan egyenletrendszerhez jutunk, melyből meghatározható a bizonytalanság melletti optimális fogyasztói döntés kritériuma:

π

u ' (c1 ) γ = . 1 − π u ' (c2 ) 1 − γ – Szavakkal megfogalmazva: a fogyasztó optimumában a két természeti állapot fogyasztása közti helyettesítési határarány egyenlő lesz a két természeti állapot közti jövedelemátcsoportosítások piaci cserearányával. Vagyis a fogyasztó a különböző természeti állapotokbeli fogyasztását egymáshoz képest pontosan annyira értékeli, mint amennyiért át tudná csoportosítani fogyasztását vagy jövedelmét az egyik természeti állapotból a másikba a biztosítási vagy szerencsejáték-piacon. – A költségvetési korlát és az optimumfeltétel segítségével meghatározható az optimális döntés, vagyis a kimenetelektől függő feltételes fogyasztási lehetőségeknek az a kombinációja, mely a fogyasztót a számára elérhető legmagasabb hasznossági szintre képes eljuttatni. – A feltételes fogyasztási lehetőségek optimális kombinációja azt is meghatározza, hogy a kiinduló állapothoz (készletponthoz) képest milyen irányú és mértékű változtatásra van szükség. Az optimális fogyasztói döntés meghatározása révén a fogyasztási lehetőségek közötti átcsoportosítás optimális nagyságát is meghatározzuk. 25.21 fólia

– A 25.21. ábra a döntési probléma grafikus megoldását mutatja. Jól viselkedő (konvex) preferenciák esetén az optimumpontban teljesül az érintőfeltétel: az egyes természeti állapotbeli fogyasztási lehetőségek közötti átváltási arány meg kell hogy egyezzen a határhasznok bekövetkezési valószínűséggel súlyozott arányával. 25.22 fólia

– A költségvetési korlát elemzésekor megmutattuk, hogy a biztosítási díj határozza meg a költségvetési egyenes meredekségét. Méltányos biztosításról beszélünk akkor, ha a biztosítási díj nagysága éppen egyenlő a kár várható értékével4, azaz ha γK = πK , 4

A biztosító várható profitja ekkor éppen nulla. 10 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

vagyis ha γ = π . 5 Méltányos (fair) biztosítás esetében a fogyasztó optimális döntése az alábbi lesz: 25.23 fólia

– Vegyük észre: abban a pontban, ahol a közömbösségi görbe a bizonyossági egyenest metszi, a közömbösségi görbe meredeksége éppen megegyezik az egyes kimenetelekhez tartozó valószínűségek arányával. Ebből levonhatunk egy fontos következtetést: Ha egy kockázatkerülő fogyasztónak lehetősége van méltányos biztosítás kötni, akkor teljes mértékű biztosítást fog kötni. Ez azt jelenti, hogy fogyasztása a természeti állapotoktól függetlenedik. Ez az eredmény nem függ attól, hogy a kezdeti készletpont hol helyezkedett el. Lehetséges továbbá az is, hogy a fogyasztó nem köznapi értelemben vett biztosítással, hanem szerencsejátékkal jut el a bizonyossági egyenesre. 25.24 fólia

– A méltányos biztosítás a gyakorlatban nagyon ritka. Általános esetben a költségvetési korlát meredeksége eltér a valószínűségek arányától. A biztosítótársaságoknak ugyanis vannak működési költségei, melyeket abból finanszíroznak, hogy a kár várható értékénél magasabb díjat szednek be. (Ekkor viszont γ > π , hiszen: γK > πK .) Mint a 25.24. ábrán látható, a kár várható értékénél nagyobb biztosítási díj miatt azonban a fogyasztó csak részleges biztosítást köt. Fogyasztási lehetőségeinek szórását csökkenti ugyan, de azt teljes mértékben nem küszöböli ki. 25.25 fólia

– Elképzelhető az is, hogy a biztosítás valamilyen oknál fogva – például az állam aktív szerepvállalása miatt – túl olcsó. A kockázatkerülő fogyasztó ilyenkor „túlbiztosítja” magát. Ezt az esetet látjuk a 25.25. ábrán.

25.6 A kockázat szétterítése – A kockázatkerülő döntéshozók szeretnék biztosítással csökkenteni kockázatukat; méltányos biztosítás esetében pedig még arra is módjuk van, hogy teljesen kiküszöböljék a kockázatot. Hogyan lehetséges ez? Ki áll majd a tranzakció másik oldalán? Milyen elven működnek a kockázatot csökkentő intézmények? – A legősibb elvek egyike a kockázat szétterítése, melyet, szervezett keretek között, – tudomásunk szerint – már az ókori Babilonban is alkalmaztak. Elmondunk ezzel kapcsolatban egy érdekes példát. – A kereskedőkaravánok indítása az ókori Babilonban a zűrzavaros politikai állapotok miatt igen kockázatos vállalkozás volt. Ha a karaván sikerrel visszaért, akkor a kereskedő óriási haszonra tett szert, ha viszont nem járt szerencsével, akár a teljes vagyonát is elveszíthette. Hogy a kockázatot csökkentsék, a kereskedők társulásokat szerveztek. A társulások a kockázatmegosztás elvén működtek. Ha hatvan kereskedője 5

Emlékeztetőül:

γ

a biztosítási egységdíj, míg

π

a kár bekövetkezésének valószínűsége.


volt egy közösségnek, akkor minden egyes karavánt úgy indítottak útnak, hogy minden kereskedő egyhatvanad résszel vett részt a finanszírozásban. Ennek megfelelően a majdani haszonból egyenlően (egyhatvanad) arányban részesedtek. Könnyen belátható, hogy ezzel a technikával voltaképpen egy méltányos biztosítási konstrukciót hoztak létre. A 25.26. fólia segítségével megmutatjuk, hogy miként. 25.26 fólia

– Induljunk ki abból az esetből, hogy mekkora kockázatot vállaltak volna egyenként, ha külön-külön indították volna útnak karavánjaikat: ki-ki a magáét. Jelöljük az i-edik kereskedő jövedelmének varianciáját Var ( yi ) -vel! Feltesszük, hogy kereskedők egyéni jövedelmei egymástól független és azonos eloszlású valószínűségi változók. A jövedelmek függetlensége miatt az n kereskedőből álló babiloni kereskedőközösség együttes jövedelmének varianciája az egyedi jövedelmek varianciáinak összege lesz, vagyis: nVar ( y ) . – Mi változik meg attól, ha a kereskedők összeállnak, és megállapodnak abban, hogy mindegyikük a közösség átlagos jövedelmét kapja meg? A közösség mint egész jövedelmének varianciája ugyan változatlan marad, de az egy kereskedőre jutó jövedelem varianciája jelentősen lecsökken. A korábbiakkal ellentétben már csak Var ( y ) / n lesz. A kereskedők a kockázat szétterítésével jelentős mértékben tudták a jövedelmüket érintő bizonytalanságot csökkenteni. – A kölcsönös biztosítás gyökerei, ha nem is az ókori keletre, de a középkorba nyúlnak vissza. Képzeljük el, hogy tűz következtében egy háztulajdonost 1% valószínűséggel ér 100 arany kár. Amennyiben 100 háztulajdonos megállapodik, hogy mindannyian fizetnek egy közös kasszába évi egy aranyat, amelyből kifizetik a tűzkárokat, ugyanazt a várható értéket kapják, de mindannyian a bizonyossági egyenesen, azaz a fogyasztói optimumban vannak. Ez kölcsönös kassza is egy fair biztosítás.

25.7 Záró megjegyzések – Ebben a fejezetben végig azt feltételeztük, hogy az egyes természeti állapotok valószínűsége és a gazdasági szereplők magatartása független egymástól. Ezzel kapcsolatban nagyon izgalmas kérdéseket lehet feltenni. Növekszik-e a tűz valószínűsége, ha a fair biztosítás elkényelmesít és gondatlanná tesz? Nem éppen azok akarnake síbaleset ellen biztosítást kötni, akik túlontúl vakmerően síelnek? Ezek a kérdések átvezetnek minket a következő fejezethez, az információs problémák közgazdaságtanához.


Függelék: A variancia két tulajdonsága Ha ξ egy véletlen valószínűségi változó, melynek varianciája (szórásnégyzete) Var (ξ ) , valamint a és b tetszőleges konstansok, akkor igaz, hogy: Var (aξ + b) = a 2Var (ξ ) . Ha ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n független valószínűségi változók, és varianciáik léteznek, akkor létezik összegük varianciája is, melyre igaz, hogy: Var (ξ1 + ξ 2 + ... + ξ n ) = Var (ξ1 ) + Var (ξ 2 ) + ... + Var (ξ n ) . A bizonyítást tanulták valószínűségszámításban.


Neumann János (1903–1957)

Kenneth J. Arrow (1921–)


25. előadás BIZONYTALANSÁG MELLÉKLET Kertesi Gábor – Muraközy Balázs – Varró László


25.1 A döntések időhorizontja és a bizonytalanság


25.2 Várható érték Ha a ξ (diszkrét) valószínűségi változó π1 , π 2 , … , π n valószínűségekkel az x1 , x 2 , … , xn értékeket

veszi fel, akkor várható értéke az alábbi lesz: E(ξ ) =

n

∑ πi xi ;

i =1

n

( ∑ π i = 1). i =1

Példa: ξ a mikroökonómia tárgyból elért jegy, mint valószínűségi változó. Föltesszük, hogy π i (i=1,2,3,4,5) értékek a következők: xi

πi

π i xi

1

0,00

0,00

2

0,25

0,50

3

0,25

0,75

4

0,25

1,00

5

0,25

1,25

∑

1,00

3,50 =

5

∑ πi xi

i =1

= E(ξ )


25.3 Variancia Egy ξ valószínűségi változó varianciája nem más, mint a várható értéktől való négyzetes eltérések várható értéke, vagyis: Var(ξ ) = E((ξ − E(ξ ))2 ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ )

Példa: A mikroökonómia jegy varianciája, mint a várható érték körüli szóródás mérőszáma xi

πi

π i xi

π i x i2

1

0,00

0,00

0,00

2

0,25

0,50

1,00

3

0,25

0,75

2,25

4

0,25

1,00

4,00

5

0,25

1,25

6,25

∑

1,00

3,50

13,50

=

5

∑ πi xi

=

5

∑ π i x i2

i =1

i =1

= E(ξ )

= E(ξ 2 )

Var(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 13,5 − ( 3,5 ) 2 = 13,5 − 12,25 = 1,25


25.4 Fogyasztási lehetőségek biztosítás nélkül


25.5 Fogyasztási lehetőségek teljes biztosítással


25.6 A kifizetési mátrix: fogyasztási lehetőségek a természeti állapotok (világállapotok) és a fogyasztási tervek függvényében

Természeti állapot (világállapot) Fogyasztási terv Leég a ház (T)

Nem ég le a ház (N)

Nem köt biztosítást (A)

c TA = y − K

A cN =y

Biztosítást köt (B)

c BT = y − γK

c BN = y − γK


25.7 A rendelkezésünkre álló fogyasztási lehetőségek megjelenítése az egyes természeti állapotokhoz tartozó fogyasztási változók terében


25.8 A két természeti állapotbeli fogyasztás közti átváltási arány meghatározása A káresemény nélküli természeti állapotban lemondok A (c N − c BN ) mennyiségű fogyasztásról annak érdekében, hogy a kár bekövetkezése esetén (c TA − c BT ) értékkel nőjön a fogyasztásom. Az átváltási arány: A cN − c BN

c TA − c BT

=

y − ( y − γK ) ( y − K ) − ( y − γK )

=

γK − K + γK

=−

γ 1− γ


25.9/1 A (folytonos) költségvetési korlát meghatározása részleges biztosítás (0 < k < K) esetén


25.9/2 A (folytonos) költségvetési korlát meghatározása részleges biztosítás (0 < k < K) esetén (folytatás) X terv esetén a káresemény nélküli állapotban rendelkezésemA = y mennyiségű fogyasztásból lemondok γk menyre álló c N nyiségről (0 < k < K) annak érdekében, hogy kár esetén rendelkezésemre álló (y-K) mennyiségű fogyasztási lehetőségemet (1 − γ )k mennyiséggel∗ növeljem. Vagyis: dc N y − ( y − γk ) = dc T ( y − K ) − (( y − K ) − γk + k ) =

γk γk − k

=−

∗

γ 1− γ

(1 − γ )k = k − γk = k összegű kártérítés − γk biztosítási befizetés


25.10 A (folytonos) költségvetési korlát meghatározása a vagyontárgy értékét meghaladó összegű (k > K) biztosítás esetén


25.11 Költségvetési korlát biztosítás vásárlása esetén


25.12 Hasznossági függvény bizonytalanság esetén U = U( π1 , π 2 , … , π n ; c1 , c 2 , … , cn ) .

Két természeti állapot esetén π1 = π és π 2 = 1 − π .

Így: U = U( π, c1 , c 2 ) .


25.13 A Neumann−Morgenstern-féle hasznossági függvény

N−M hasznosságfüggvény: az egyes természeti állapotokban elérhető hasznosságok várható értéke: U( π1 , π 2 , … , π n ; c1 , c 2 , … , cn ) = = E( U(c1 , c 2 , … , cn )) =

n

∑ π i u( c i ) .

i =1

Két természeti állapot esetén: π1 = π és π 2 = 1 − π . Így: U( π, c1 , c 2 ) = E( U(c1 , c 2 )) = π ⋅ u(c1 ) + (1 − π ) ⋅ u(c 2 ) .


25.14 Függetlenségi feltétel Definiáljuk a fogyasztás határhasznát az i-edik természeti állapot bekövetkezése esetén: n

∂EU(.) = ∂c i

∂ ( ∑ π i u(c i )) i =1

∂c i

= π i u ′( c i ) MU i = π i u′(c i )

A N−M hasznossági függvényt a függetlenségi feltétel teljesülése jellemzi. Azaz: ∂MU(c i ) =0 ∂c j

∀i ≠ j − re .

Egy természeti állapotbeli fogyasztás határhaszna nem függ attól, hogy egy másik természeti állapotban milyen fogyasztási lehetőségünk lett volna. Ez annak következménye, hogy a N−M hasznossági függvény a különböző, előre nem látható fogyasztási kosarakra nézve additív.


25.15 A Neumann–Morgenstern-féle hasznossági függvénynek megfelelő közömbösségi görbe


25.16 Kockázatkerülő fogyasztó


25.17 A kockázatkedvelő fogyasztó


25.18 Kockázatsemleges fogyasztó


25.19 A kockázatkerülő fogyasztó preferenciái


25.20 Fogyasztói optimum bizonytalanság esetén Készletpont: ( ~c1 , ~c2 ) fogyasztási vektor az 1-es és a 2-es természeti állapotban. A két természeti állapot valószínűségei: π és 1 − π . Biztosítási piac: A két természeti állapot fogyasztási lehetőséγ gei „árarány” mellett cserélhetők el 1− γ egymással. A maximalizálási feladat: max E(U(c)) = πu(c1 ) + (1 − π )u(c 2 )

(1)

c1 + (1 − γ ) ~c2 kf: γ c1 + (1 − γ )c 2 = γ ~

(2)

c1 ,c2

L = πu(c1 ) + (1 − π )u(c 2 )

(3)

− λ ( γc1 + (1 − γ )c 2 − ( γ ~c1 + (1 − γ )~c2 ))

ERF: c1 :

πu′(c1 ) = λγ

(4)

c2 :

(1 − π )u′(c 2 ) = λ (1 − γ )

(5)

c1 + (1 − γ ) ~c2 λ : γ c1 + (1 − γ )c 2 = γ ~

(6)


25.20 Fogyasztói optimum bizonytalanság esetén (folytatás) Osszuk el egymással a (4)-es és (5)-ös egyenletet. Így megkapjuk az optimumfeltételt: γ π u′( c 1 ) = ⋅ 1 − π u′( c 2 ) 1 − γ

(7)

Vagyis az optimum ott lesz, ahol a két természeti állapot fogyasztása közti helyettesítési határarány egyenlő lesz két természeti állapot fogyasztása közti cserearánnyal. (6) és (7) együttesen meghatározzák az optimális c1∗ és c∗2 értékét, vagyis azt, hogy a ( ~c1 , ~c2 ) készletpontból kiindulva milyen cseréket kell végrehajtanunk az egyik és a másik természeti állapotbeli fogyasztási lehetőségeink között: dc1∗ = ~c1 − c1∗ dc∗2 = ~c2 − c∗2


25.21 Fogyasztói optimum bizonytalanság esetén (grafikusan)


25.22 A biztosítótársaság várható profitja és a biztosítás „méltányossága” A biztosító várható profitja: E(profit) Természeti állapot

Valószínűség

Bevétel

Kiadás

Leég a ház

π

γK

K

Nem ég le a ház

1− π

γK

0

E(profit ) = bevétel − E(kiadás) = γK − ( πK + (1 − π )0) = γK − πK

Méltányos (fair) biztosítás: Ha a biztosítási díj éppen egyenlő a kár várható értékével. Ha tehát: γK = πK

Vagyis ha:

γ = π.


25.23 Fogyasztói optimum méltányos biztosítás esetén: teljes mértékű biztosítás


25.24 Ha a biztosítási díj nagyobb, mint a kár várható értéke: részleges biztosítás


25.25 Ha a biztosítási díj kisebb, mint a kár várható értéke: túlbiztosítás


25.26 Kockázatközösség∗ n kereskedő; y i : az i-edik kereskedő jövedelme (véletlen valószínűségi változó). Az i-edik és a j-edik kereskedő jövedelme egymástól független és azonos eloszlású valószínűségi változók (minden i , j = 1,2, … , n; i ≠ j esetében). Egy tetszőleges kereskedő jövedelmének eloszlását a várható érték és a variancia jellemzi: y i ∼ (E( y ); Var( y )) i = 1,2, … , n

(1)

Az n kereskedőből álló közösség együttes jövedelmének varianciája nem más, mint az egyedi jövedelmek varianciáinak összege (mivel y i és y j egymástól függetlenek). S mivel az egyedi jövedelmek eloszlása is megegyezik, ezért: Var( y 1 + y 2 + … + y n ) = n ⋅ Var( y ) .

∗

(2)

Az előadás Függeléke feleleveníti a valószínűségszámítási ismereteinket a varianciával való műveletekkel kapcsolatban. 43 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

25.26 Kockázatközösség (folytatás) Ha a kereskedők közösen indítják el az n karavánt, és megállapodnak abban, hogy mindegyikük a közösség átlagos jövedelmét kapja meg, akkor a közösség mint egész jövedelmének varianciája ugyan változatlan marad, de az egy kereskedőre eső jövedelem varianciája jelentősen csökkenni fog. Ugyanis: Var(

y1 y 2 y y + + … + n ) = n ⋅ Var( ) n n n n =

=

n n

2

(3)

Var( y )

Var( y ) n

A szóban forgó variancia határértékben (ha egyre többen fognak össze) nullához tart∗: Var(y) = 0. n→∞ n lim

∗

Ez egyébként nem más, mint a nagy számok törvényének egy megfogalmazása. 44 Kertesi mikro – http://www.econ.core.hu/~kertesi/kertesimikro/

(4)

25. előadás: BIZONYTALANSÁG

Recommend Documents