Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol řešte ve skupince 2-3 studentů. Den narození zvolte dle jednoho člena skupiny. Řešení odevzdejte svému cvičícímu. Na symetrické prosté krokevní hambalkové soustavě je zadána její geometrie a průřezy prvků. Pro výpočet vnitřních sil použijte libovolný konečněprvkový software, který zvládne lineární statickou analýzu pro 2D prutové konstrukce, například • OS Windows s grafikou ◦ Analysis – http://www.cuylaerts.net/ ◦ Lisa – http://www.lisa-fet.com/ • Všechny OS, grafický pre/postprocessor, Python ◦ EduBeam - http://www.oofem.org/wiki/doku.php?id=edubeam:edubeam • Všechny OS, nutná kompilace v C++, lze pustit s grafickým preprocesorem Salome a postprocesorem Paraview ◦ OOFEM – http://www.oofem.org/ Ve výpočtu uvažujte pouze jeden zatěžovací stav, který je tvořen z charakteristických účinků třech zatížení; tíhu dřeva krovu uvažujte 6 kN/m3, tíhu střešní krytiny 0,5 kN/m2 a zatížení sněhem dle obrázku. Osová vzdálenost krokví z roviny je 1,1 m. Použijte výpočet s dílčími součiniteli zatížení 1,0. Materiálové parametry pro dřevo a zdivo jsou zadány v obrázku. Pro dřevo použijte model isotropního materiálu. Ve výpočtu uvažujte dvě statická schémata krovu, spoje dřevěných prvků modelujte pomocí kloubu. Můžete uvažovat pouze polovinu konstrukce díky symetrii, pokud víte jak. Vyhodnoťte rozdílné chování dvou schémat: 1. Pozednice jsou dostatečně kotveny do stropní desky pomocí ocelových pásků. Ve statickém modelu krovu proto uvažujte pevné kloubové podpory nad pozednicemi. Pro tento model vykreslete deformovaný tvar krovu a průběhy vnitřních sil N(x) a M(x). Určete vodorovné reakce. Vypočtěte největší tahové a tlakové napětí na dřevěných prvcích krovu a porovnejte s dovoleným namáháním dřeva ±8 MPa. 2. Pozednice nejsou kotveny do stropní desky. Vodorovné síly se přenáší nadezdívkou. Ve statickém modelu krovu proto uvažujte nadezdívku jako prutový prvek, který je vetknutý do stropní desky. Zanedbejte vlastní tíhu zdiva. Pro tento model vykreslete deformovaný tvar krovu ve vhodném zvětšení a průběhy vnitřních sil N(x) a M(x). Určete vodorovné reakce. Na svislém řezu nadezdívky vykreslete její jádro a tlakovou čáru. Vypočtěte největší tahové a tlakové napětí v nadezdívce. Posuďte zdivo pro dovolené namáhání v tlaku 1,3 MPa a v tahu 40 kPa.
1/7
Nejčastější chyby při odevzdání úkolu: • Chybně vypočtené zatížení na krokev a na hambalek. Na hambalek sníh nepadá. Zatěžovací šířka vazby krovu je 1.1 m. Zatížení sněhem je zadáno na vodorovnou plochu, zatížení krokví a tíhou střechy je naopak na metr délky krokve. • Chybně vložené klouby do modelu. V každém styčníku je některý prvek připojen kloubově, jiný probíhá. • Průřez nadezdívky je 0.3 x 1.1 m, nikoliv 0.3 x 0.8 m. Ohyb vlivem vodorovných sil nastává kolem poddajnějšího směru hlavních os setrvačnosti. • Chybí vykreslení jádra nadezdívky a tlakové čáry.
2/7
Vzorové řešení úlohy (použit program EduBeam ver. 2.2.6) 1. Geometrie krovu Uvažuji rozpětí krovu 6 m. Krokve jsou v osové vzdálenosti 1,1 m. Na řezu jsou vyznačeny souřadnice uzlů pro konečněprvkový prutový model a relevantní kóty. Dva rozdílné modely krovu (různé kotvení pozednic) namodeluji na jedné geometrii. Rozdílné modely vzniknou uvalením kinematických podmínek na společných uzlech nadezdívek a krokví.
2. Zatížení Krokev - přepočteno na metr délky krokve, zatěžovací šířka 1,1 m.
0.116
Tíha střešní krytiny 0.5*1.1=
0.550
Sníh 0.75*1.1*cos(40)=
0.632
Celkem na krokev
1.298
Návrhové zatížení [kN/m]
Nepočítáme
Vlastní tíha krokve 0.12*0.16*6=
γf
Nepočítáme
Charakteristické zatížení [kN/m]
γf
Návrhové zatížení [kN/m]
Hambalek - přepočteno na metr délky hambalku Charakteristické zatížení [kN/m] Vlastní tíha hambalku 0.12*0.12*6= 0.086 Celkem na hambalek
0.086
3/7
3. Průřezy Krokev 120/160
y
z
160 mm
2
120 mm
A=0.12⋅0.16=0.0192 m 1 3 4 I y = 0.12⋅0.16 =4.096e-5 m 12 1 2 3 W y.el = 0.12⋅0.16 =5.12e-4 m 6
y
z 120 mm
120 mm
Hambalek 120/120 2
2
A=0.12 =0.0144 m 1 4 4 I y = 0.12 =1.728e-5 m 12 1 3 3 W y.el = 0.12 =2.88e-4 m 6
Nadezdívka 300/1100
1100 mm
2
z
A=0.3⋅1.1=0.33 m 1 3 4 I y = 1.1⋅0.3 =2.475e-3 m 12 1 2 3 W y.el = 1.1⋅0.3 =1.65e-2 m 6
y 300 mm
4/7
4. Krov s kotvenými pozednicemi Následující obrázky ukazují prutový model: geometrie, zatížení, reakce, deformace, normálové síly, ohybové momenty.
Vodorovné reakce v místě kloubových podpor jsou 4.443 kN. Svislé reakce v místě kloubových podpor jsou 6.202 kN. Největší posun vzniká uprostřed hambalku 0.361 mm. Výpočet napětí na nejvíce namáhaných průřezech (kombinace normálové síly a prostého ohybu): Krokev nad uzlem 2, Nx = -1.92 kN, My = -0.42 kNm. x=
−1.92 −0.42 720.3kPa ± =−100±820.3= 0.0192 5.12e-4 −920.3 kPa
8000 kPa VYHOVUJE −8000 kPa VYHOVUJE
Krokev pod uzlem 2, Nx = -4.78 kN, My = -0.42 kNm. x=
−4.78 −0.42 571.3kPa ± =−249.0±820.3= 0.0192 5.12e-4 −1069.3 kPa
8000 kPa VYHOVUJE −8000 kPa VYHOVUJE
Krokev nad uzlem 3, Nx = -6.74 kN, My = -0.30 kNm. x=
−6.74 −0.30 234.9 kPa ± =−351.0±585.9= 0.0192 5.12e-4 −937.0 kPa
8000kPa VYHOVUJE −8000kPa VYHOVUJE
Hambalek uprostřed rozpětí, Nx = -3.65 kN, My = 1/8·0.086·2.42 = 0.062 kNm. x=
−3.65 0.062 −38.2 kPa ± =−253.5±215.3= 0.0144 2.88e-4 −468.8 kPa
8000kPa VYHOVUJE −8000kPa VYHOVUJE
Největší tahové napětí 720.3 kPa vzniká na krokvi v průřezu nad uzlem 2, nejmenší tlakové napětí -1069.3 kPa pod uzlem 2. Napětí na hambalku jsou ještě menší. Obě napětí na krokvi vyhoví na dovolené namáhání dřeva 8 MPa.
5/7
5. Krov bez kotvených pozednic Následující obrázky ukazují prutový model: geometrie, zatížení, reakce, deformace, normálové síly, ohybové momenty.
Vodorovné reakce v patě nadezdívky jsou 4.432 kN (předešlý model 4.443 kN). Svislé reakce v patě nadezdívky 6.202 kN (stejné s předešlým modelem díky symetrii zatížení). Momenty v patě nadezdívky 3.55 kNm. Největší posun vzniká uprostřed hambalku 0.455 mm (předešlý model 0.361 mm). Vnitřní síly a reakce na dřevěných prvcích se liší oproti předešlému modelu do 1% relativních hodnot, nebylo by nutné dřevěné prvky znovu posuzovat na pevnost. Výpočet napětí v patě levé nadezdívky (kombinace normálové síly a prostého ohybu, pozor na orientaci os): Pata levé nadezdívky, Nx = -6.20 kN, My = 3.55 kNm. x=
−6.20 3.55 196.4 kPa ± =−18.8±215.2= 0.33 1.65e-2 −234.0 kPa
40 kPa NEVYHOVUJE −1300 kPa VYHOVUJE
Dovolené napětí v tahu zdiva překročeno, dojde ke vzniku trhlin. V extrémním případě přestane nadezdívka přenášet vodorovnou sílu a z 1x staticky neurčité konstrukce se stane konstrukce staticky určitá. Z tlačeného hambalku vznikne tažený prvek a může dojít ke kolapsu krovu, pokud spoj hambalku nepřenese tah. Vykreslíme ještě tlakovou čáru a jádro průřezu nadezdívky ve svislém řezu. Jádro obdélníkového průřezu má vrchol ve vzdálenosti 1/6 příslušného rozměru průřezu. Pro šířku 300 mm je tedy šířka jádra 50 + 50 = 100 mm. Tlakovou čáru vypočteme nalezením excentricity z ohybového momentu. V patě nadezdívky bude excentricita e=3.55/6.20=0.573 m. Tlaková čára opustí jádro průřezu ve vzdálenosti 50/573·800=70 mm. Tato vzdálenost je měřena od konce prutu, v detailu tedy padne nanejvýše do pozednice, která přestane spolupůsobit v tahu s nadezdívkou. 70
300 100
573
[mm]
6/7
6. Závěr Uvedený příklad ilustruje poměrně častou havárii při nerespektování vodorovných sil krovu. Obrázky níže dokumentují chování nadezdívek při chybějícím vodorovném kotvení věnců. Podobné poruchy se často projevují i na starších objektech vznikem trhlin v okolí pozednic.
Vznik trhlin ve štítové zdi od nezachycených vodorovných sil. Foto Ing. Petráček.
7/7
