MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
IDENTITAS MAHASISWA
NAMA
: …………………………………
NPM
: …………………………………
KELOMPOK
: …………………………………
DAFTAR ISI
Kata Pengantar …………………………………………………………………………………………… Daftar Isi …………………………………………………………………………………………………… BAB I Bilangan Kompleks A. Sistem Bilangan Kompleks ……………………………………………………………………5 B. Geometri Bilangan Kompleks…………………………………………………………………12 BAB II Fungsi Peubah Kompleks A. Fungsi Peubah Kompleks …………………………………………………………………….17 B. Fungsi Elementer ………………………………………………………………………………18 BAB III Turunan Fungsi Peubah Kompleks ………………………………………………………20 BAB IV Pengintegralan Fungsi Peubah Kompleks ……………………………………………..22
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga modul pembelajaran matakuliah Analisis Variabel Kompleks ini selesai disusun. Modul ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Analisis variable kompleks Mata kuliah Analisis Variabel Kompleks diberikan kepada mahasiswa jurusan pendidikan matematika setelah mereka menyelesaikan matakuliah prasyarat yaitu kalkulus I dan kalkulus II . Mata kuliah analisis variable kompleks ini merupakan lanjutan dari matakuliah kalkulus yang sudah ditempuh mahasiswa pada semester sebelumnya. Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas, contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk penyusunan modul berikutnya.
Malang, Februari 2012
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
BILANGAN KOMPLEKS A. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang bilangan kompleks yang merupakan perluasan dari system bilangan real. Munculnya bilangan kompleks ini dikarenakan muncul beberapa permasalahan misalnya penyelesaian dari persamaan yang bukan merupakan anggota dari bilangan real. Oleh karena itu diperlukan bilangan baru yang dinamakan bilangan kompleks
DEFINISI 1.1 Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk
dengan
dan
adalah satuan khayal dengan
Misalkan dari
maka
adalah bagian riil dari
dan berturut-turut dinyatakan dengan
disebut bilangan imajiner/khayal murni jika jika
dan
maka
dan
dan
adalah bagian khayal . Bilangan kompleks
dan
. Sedangkan
disebut satuan imajiner/khayal. Kompleks
sekawan atau kawan dari bilangan kompleks Kompleks sekawan suatu bilangan kompleks
adalah bilangan
.
dinyatakan dengan
Diskusi Coba diskusikan, 1. Bagaimana jika
?
2. Apakah setiap bilangan real memuat bilangan kompleks? Apakah berlaku sebaliknya? Jelaskan!
Bentuk operasi dengan bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada aljabar bilangan dengan menggantikan
bilamana ia muncul.
OPERASI-OPERASI DASAR BILANGAN KOMPLEKS 1. Penjumlahan 2. Pengurangan
3. Perkalian
4. Pembagian
Himpunan semua pasangan terurut
dengan operasi tertentu yang sesuai didefinisian
sebagai system bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks tersebut dinotasikan dengan
TEOREMA 1.1 Sistem bilangan kompleks
merupakan suatu lapangan (field) sehingga
mempunyai sifat komutatif, assosiatif, distributive perkalian terhadap penjumlahan, mempunyai unsur identitas, dan mempunyai unsure balikan/invers
Diskusi
Buktikan teorema 1.1 dengan menggunakan sifat-sifatt operasi dasar bilangan kompleks yang sudah Anda pahami!
Operasi konjuget (bilangan kompleks sekawan) pada system bilangan kompleks disajikan pada teorema berikut.
TEOREMA 1.2 Diberikan bilangan
. Operasi konjuget pada system bilangan kompleks
antara lain sebagai berikut. a. b. c. d. e. f. g. h.
Diskusi Buktikan teorema 1.2 dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks sekawan dan operasi dasar bilangan kompleks yang sudah Anda pahami!
Latihan Soal 1. Nyatakan dalam bentuk a. b. c. 2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit satu dari dua bilangan itu adalah nol
B. GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks
dapat dikaitkan dengan titik
datar dan sebaliknya. Dalam prakteknya antara bilangan kompleks titik
tidak dibedakan, sehingga dapat menyatakan bilangan
di bidang dan dengan titik
. Dalam hal ini bidang datar tersebut diberi nama bidang kompleks atau bidang
. Sumbu
dan sumbu
masing-masing disebut sumbu real dan sumbu
imajiner. Selain itu, bilangan kompleks
dapat pula dipandang sebagai
vector pada bidang datar yang berpangkal di titik pusat . Argumen
yang kemudian ditulis dengan
satu sudut yang manapun yang dibentuk oleh vector Sehingga
adalah suatu sudut
Bilangan kompleks
dan berujung pada titik didefinisikan sebagai salah
dengan sumbu nyata positif.
sedemikian rupa sehingga
pada bidang kompleks dapat digambarkan
seperti di bawah ini
Sumbu Imajiner
Gambar 1.1
dan
Latihan Soal
1. Carilah
sehingga
2. Carilah
sehingga
dan dan
SIFAT-SIFAT Untuk setiap dua bilangan kompleks dan , berlaku sifat-sifat berikut: 1. 2.
Diskusi
Carilah sifat-sifat yang lain dari
, kemudian buktikan sifat-sifat tersebut!
Argumen bilangan kompleks bukanlah besaran yang tunggal. Setiap mempunyai takhingga banyaknya argumen yang berbeda antara satu dengan yang lain dengan kelipatan
. Dengan demikian argument suatu bilangan kompleks
didefinisikan
Sebarang bilangan kompleks
dapat ditulis dalam bentuk
yang sering ditulis dengan bilangan kompleks
dan bentuk kutub
FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS A. FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS Definisi fungsi kompleks mirip dengan definisi fungsi real, yaitu dengan menggantikan peubah bebas lambang misalnya
dengan
dan peubah tak bebas
dengan
. Suatu
yang dapat mempunyai arti sesuatu unsur dari suatu himpunan
bilangan kompleks dinamakan suatu peubah kompleks. Jika pada setiap nilai yang merupakan suatu peubah kompleks diandaikan terdapat satu atau lebih nilai peubah kompleks bahwa
adalah suatu fungsi dari
dan ditulis
dinamakan suatu peubah bebas sedangkan suatu fungsi di
ditulis
dapat
, kita mengatakan
atau
. Peubah
dinamakan peubah tak bebas. Nilai
. Jadi jika
, maka
Dalam fungsi kompleks itu terdapat fungsi bernilai tunggal dan fungsi bernilai banyak. . Jika hanya satu nilai bahwa
dikaitkan pada setiap nilai dari , kita mengatakan
adalah suatu fungsi bernilai banyak dari .
DEFINISI 2.1 (Fungsi Bernilai Tunggal) Diberikan himpunan
dan
. Fungsi kompleks bernilai tunggal
adalah suatu aturan yang memasangkan setiap satu
yang dinotasikan dengan
Contoh fungsi bernilai tunggal adalah
dengan
dengan tepat
DEFINISI 2.2 (Fungsi Bernilai Banyak) Diberikan himpunan
dan
. Fungsi kompleks bernilai banyak
adalah suatu aturan yang memasangkan setiap paling sedikit satu
dan terdapat
dengan
yang di dua pasangkan dengan
paling sedikit dua
Contoh:
.
B. FUNGSI ELEMENTER
Selanjutnya akan dibicarakan berbagai macam fungsi elementer. Dasar permbicaraan yang digunakan adalah memperluas fungsi elementer real yang telah dikenal dalam kalkulus sehingga berlaku untuk fungsi kompleks. Fungsi Linear Fungsi yang berbentuk dan
dengan
, fungsi
disebut fungsi linear. Jika
disebut fungsi konstan, jika
disebut
fungsi identitas.
Fungsi Bilinear Fungsi yang berbentuk negative dan dan
dengan
bilangan bulat tak
konstanta kompleks disebut fungsi suku banyak. Jika adalah fungsi suku banyak, maka fungsi yang berbentuk
disebut fungsi rasional. Jika
dan
maka fungsi rasional dan
disebut fungsi bilinier
Fungsi Eksponen Fungsi yang berbentuk eksponen
disebut fungsi eksponen. Fungsi
dapat ditulis dalam bentuk
,
TURUNAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS Pada bagian ini dibicarakan definisi fungsi kompleks yang pembahasannya serupa dengan definisi turunan untuk fungsi real yang telah dikenal baik pada kalkulus. Oleh karena itu, akan dimulai dengan turunan fungsi kompleks di satu titik yang sudah disajikan pada definisi berikut
DEFINISI 3.1 Diberikan fungsi
terdefinisi pada
dan
. Turunan fungsi
di
Didefinisikan dengan
Jika limit ini ada
Misalkan
maka
, maka didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI 3.2 Diberikan fungsi
terdefinisi pada
Didefinisikan dengan
Jika limit ini ada
. Turunan fungsi
di pada
Latihan soal Misalkan fungsi
terdefinisikan dengan
, carilah
PENGINTEGRALAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
Sebelum mempelajari pengintegralan kompleks, terlebih dahulu diperkenalkan konsep dasar yang akan dipergunakan dalam pengintegralan kompleks. Konsep-konsep topologi elementer seperti kurva mulus, lintasan dan orientasi suatu lintasan; definisi dan cara-cara menghitung integral garis yang merupakan dasar dalam penghitungan integral kompleks. LINTASAN Kurva
di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu: dengan
dan
dan
kontinu pada
. Kurva
bagian jika di dalam
dan
,
disebut kurva mulus jika
dan
kontinu pada selang
tertutup berlaku
dan
kontinu bagian demi bagian pada
. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan
INTEGRAL GARIS Misalkan
,
adalah kurva mulus dan
yaitu paling sedikit terdefinisi pada kurva . Kontruksi integral garis 1. Buatlah partisi
2. Kurva
untuk selang
terbagi atas
3. Pilih 4. Definisikan 5. Tentukan
bagian yaitu
dengan titik pembagian
permukaan terbatas
Jika limit ini ada, maka
terintegralkan pada . Dalam kasus
integral garis dari
pada
Tuliskan sifat-sifat
didefinisikan dengan
terintegralkan pada ,
