20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastností afinních prostorů, avšak s tím rozdílem, že místo obecného vektorového prostoru budeme uvažovat prostor unitární. Proto bude v dalším výkladu T značit těleso reálných čísel. Naším cílem bude studium tzv. metrických vlastností, tj. vzdáleností, úhlů apod., což je umožněno právě přítomností skalárního součinu na unitárním prostoru. 20.1. Definice. Afinní prostor A((Vn  g )) nad n-rozměrným unitárním prostorem

(Vn  g ) nazýváme n-rozměrným eukleidovským prostorem a značíme En nebo E (Vn ) . Ve smyslu poznámky 14.13 budeme v dalším výkladu zpravidla předpokládat, že skalární součin g na prostoru Vn je pevně dán, a tedy budeme místo

g (u  v ) psát jen uv. 20.2. Definice. Soustava souřadnic S  {a u1  u2 …  un } eukleidovského prostoru

E (Vn ) , kde {u1  u2 …  un } je ortonormální báze unitárního prostoru Vn , se nazývá kartézská soustava souřadnic. Úhlem dvou nenulových vektorů u v Vn rozumíme ostrý úhel  takový, že cos  

 uv   u v

Vzdáleností dvou bodů a b  E (Vn ) rozumíme číslo a  b , tj. normu vektoru

ab. 20.3. Poznámka. Abychom si co nejvíce zjednodušili zápis, učiníme úmluvu, že místo u Vn budeme prostě psát u  En . Z kontextu je totiž vždy zcela zřejmé,

kdy jde o body a kdy o vektory. Uvědomme si, že podle Cauchyovy nerovnosti 14.14 (a) je vždy cos   1 , takže každé dva nenulové vektory svírají nějaký ostrý úhel. Nakonec poznamenejme, že je-li S nějaká kartézská soustava souřadnic v En a b c  En jsou dva body o souřadnicích {b}S  ( x1  x2 … xn ) ,

Eukleidovský prostor

{c}S  ( y1  y2 … yn )

207

vzhledem

k

soustavě

S,

je

podle

věty

19.11

{b  c}S  ( x1  y1  x2  y2 … xn  yn ) , a tedy vzdálenost b  c bodů b a c je podle poznámky 14.19 rovna



n i 1

( xi  yi ) 2 .

20.4. Definice. Buď S kartézská soustava souřadnic v eukleidovském prostoru E3 a buďte u  v  E3 dva vektory. Jestliže {u}S  ( x1  x2  x3 ) , {v }S  ( y1  y2  y3 ) ,

pak vektor w  E3 takový, že {w }S  ( x2 y3  x3 y2  x3 y1  x1 y3  x1 y2  x2 y1 ) , nazýváme vektorovým součinem vektorů u,v (v tomto pořadí!) a značíme u  v . 20.5. Poznámka. Vektorový součin vektorů v eukleidovském prostoru E3 jsme

definovali pomocí jeho souřadnic vzhledem k předem dané kartézské soustavě souřadnic S. Aby takto zavedený pojem měl vůbec nějaký praktický význam, je zapotřebí, aby se choval ,,rozumně“ při přechodu od dané soustavy S k jiné kartézské soustavě souřadnic. V následující části si předně ukážeme, že vektorový součin se sice při změně kartézské soustavy souřadnic změní, ale tak, že nejvýše změní znaménko. To tedy v podstatě znamená, že předchozí definicí je jednoznačně určen směr u  v  vektorového součinu vektorů u,v a jeho velikost. Nicméně je tento pojem v praxi velmi důležitý, neboť jak brzy uvidíme, vektor u  v je buď vektor nulový, nebo je kolmý k oběma vektorům u a v. Přitom u  v  0 , právě když u   v  , takže pro lineárně nezávislé vektory u, v je u  v  ortogonální doplněk podprostoru u , v  ve V3 . 20.6. Poznámka. Vraťme se ještě jednou k definici vektorového součinu 20.4 a podívejme se, jak si lze snadno výraz pro souřadnice vektorového součinu zapamatovat. Buď a  (a1  a2  a3 )  R 3 vektor a vyšetřujme determinant

x1  x2  x3

{u}S {v }S  a  

y1 y2  y3  a1 a2  a3

Bezprostředně je patrné, že i-tá souřadnice wi , i  1 2 3, vektorového součinu u  v je rovna algebraickému doplňku i-tého prvku třetího řádku. Odtud pak plynou dvě skutečnosti. Předně determinant {u}S {v}S  a   a1w1  a2 w2  a3 w3 

208

Eukleidovský prostor

a  {u  v }S je roven skalárnímu součinu vektorů a a {u  v }S v unitárním prostoru ( R 3   ) (viz poznámku 14.2). Dále, zvolíme-li za a postupně jednotkové vektory e1  e2  e3 , je uvedený determinant postupně roven složkám w1  w2  w3 souřadnic vektorového součinu {u  v }S . Jinými slovy wi  {u}S {v }S  ei  , i  1 2 3. 20.7. Definice. Buďte S  {a u1  u2 …  un } a S   {a u1 u 2 …  un } dvě (kartéz-

ské) soustavy souřadnic v eukleidovském prostoru En . Maticí přechodu od soustavy S k soustavě S  rozumíme matici přechodu od báze {u1  u2 …  u n } k bázi {u1 u2 …  u n } . 20.8. Definice. Čtvercová matice A  (aij )  Rn se nazývá ortogonální, jestliže

její řádkové vektory tvoří ortonormální bázi unitárního prostoru ( R n   ) . 20.9. Poznámka. Připomeňme si, že v poznámce 14.2 jsme ověřili, že zobrazení  , definované pro u  ( x1  x2 … xn ) a v  ( y1  y2 … yn ) z R n předpisem

 (u  v )   i 1 xi yi je skalární součin na aritmetickém vektorovém prostoru R n . n

Ortogonálnost matice A ve smyslu předchozí definice neznamená tedy nic jiného, než že její řádkové vektory jsou navzájem kolmé a mají normu 1 v unitárním prostoru ( R n   ) . Jak uvidíme, ortogonální matice jsou právě matice přechodu mezi ortonormálními bázemi unitárního prostoru. Zároveň ukážeme, že sloupce ortogonální matice tvoří rovněž ortonormální bázi prostoru ( R n   ) , tj. že matice transponovaná AT je rovněž ortogonální a rovná se A–1. 20.10. Věta. Buď A  Rn ortogonální čtvercová matice stupně n. Pak

det A  1 , matice A je regulární, A 1  A T a matice AT je ortogonální. Důkaz. Označíme-li C  (cij )  AAT , je cij  k 1 aik akjT  k 1 aik a jk  (ai  a j )  ij , n

n

kde a1  a2 …  an jsou řádkové vektory matice A. Vidíme tedy, že C  E je jednotková matice. Podle důsledku 8.5 je matice A regulární a A 1  A T . Dále podle věty 7.3 a podle věty o násobení determinantů 7.21 máme 1  det E 

det A  det A T  (det A ) 2 , takže det A  1 . Nakonec z rovnosti A T A  E

Eukleidovský prostor

209

dostáváme  ij   k 1 aikT akj   k 1 aki akj , což znamená, že matice AT je n

n



ortogonální.

20.11. Věta. Buď (Vn  g ) unitární prostor a M  M  buďte dvě ortonormální

báze tohoto prostoru. Pak matice přechodu od báze M k bázi M  je ortogonální. Obráceně, je-li M  {u1  u2 …  un } ortonormální báze unitárního prostoru (V n  g )

a A  ( a ij )

je ortogonální matice, pak množina M  

{u1, u2 …  un } , kde ui   j 1 a jiu j , i  1 2… n , je ortonormální báze prostoru n

(Vn  g ) .

Důkaz. Je-li M  {u1  u2 …  un } a M   {u1, u 2 …  u n } , pak ui   k 1 akiu k . n

Dále je g (u i u j ) = g

  n

n

k 1

l 1

aki alj kl =





n k 1

n k 1

a kiu k   l 1 alj u l n

=

n k 1



n l 1

aki alj g (u k  u l ) =

aki akj   (bi  b j ), kde b1  b2 … bn jsou sloupcové

vektory matice A. Je-li nyní M  ortonormální báze ve (Vn  g ) , je g (ui u j ) 

 (bi  b j )   ij a matice A T , a tedy podle předchozí věty i matice A jsou ortogonální. Obráceně, je-li matice A ortogonální, je ortogonální i transponovaná matice A T , takže  (bi  b j )  g (ui u j )   ij a M  je ortonormální báze unitárního prostoru (Vn  g ) .



20.12. Poznámka. Ve větě 4.10 a poznámce 4.11 jsme ukázali, že násobit matici B maticí A zleva znamená totéž, jako provádět lineární kombinace na řádky matice B, a to tak, že i-tý řádek součinu AB dostaneme jako lineární kombinaci řádků matice B s koeficienty v i-tém řádku matice A. Vzhledem k tomu, že této skutečnosti použijeme dvakrát v následujícím důkazu, proveďme tuto úvahu poněkud podrobněji. Buď tedy A  (aij ) matice typu (m n) s řádkovými vek-

tory ai, i  1 2… m, a B  (bij ) matice typu (n k ) s řádkovými vektory bj,

j  1 2… n. Pak C  AB  (cij ) je matice typu (m k ) s řádkovými vektory ci, i  1 2… m. Pohlížíme-li, jako obvykle, na vektor ai  T n jako na matici typu

(1 n) , je součin matic aiB roven i-tému řádku ci matice C  AB . Jinými slovy, matice AB má řádky a1B a2B…  amB . Speciálně, jsou-li A, B čtvercové matice

210

Eukleidovský prostor

stupně n, můžeme větu o násobení determinantů 7.21 interpretovat také takto: det C= c1  c2 … cn   a1B a2B… anB =  a1 a2 … an  det B  det A det B . 20.13. Věta. Buďte S  {a u1  u2  u3 } a S   {a  u1 u2  u3 } dvě kartézské sou-

stavy souřadnic v eukleidovském prostoru E3 , u v  E3 buďte dva vektory. Označíme-li w vektorový součin vektorů u, v vzhledem k soustavě S a w  jejich vektorový součin vzhledem k S  , pak w  w  det B , kde B je matice přechodu od soustavy S k soustavě S  . Důkaz. Označíme-li {w }S  ( w1  w2  w3 ) a {w }S   ( w1 w2  w3 ) a uvědomíme-li si, že {ui }S  ei , i  1 2 3, dostaneme podle poznámky 20.6, že wi =

{u}S {v }S  ei 

=

{u}S {v }S {ui }S  .

Použitím věty 10.14 (a), předchozí

poznámky, věty o násobení determinantů 7.21 a věty 7.3 postupně máme wi  {u}S {v }S {ui }S  = {u}S  BT {v }S  BT {ui }S  BT = {u}S  {v }S  {u i }S  det B T  {u}S  {v }S   {ui }S  det B . Nyní podle vět 10.14 (b) a 20.10 je BT matice přechodu od soustavy souřadnic S  k soustavě S, a tedy {ui }S   (b1Ti  b2Ti  b3Ti )  (bi1 bi 2  bi 3 ) , odkud podle poznámky 20.6 plyne wi  (bi1 w1  bi 2 w2  bi 3 w3)det B , neboli {w }S  {w }S  BT det B podle předchozí poznámky. Na druhé straně věta 10.14

(a) dává {w }S  {w }S  BT , odkud porovnáním a vynásobením zprava maticí B inverzní k BT podle věty 20.10 dostaneme {w }S   {w }S  det B  {w  det B}S  . Protože podle věty 10.2 (b) je zobrazení w  {w }S  izomorfismus, je w  w  det B .  20.14. Věta. Buď S  {a u1  u2  u3 } kartézská soustava souřadnic v eukleidov-

ském prostoru E3 a buďte u v  E3 dva vektory. Označíme-li u  v vektorový součin těchto vektorů vzhledem k soustavě S, platí: a) u  v  (v  u )  (v )  u  v  (u ) ; b) u  v  0 , právě když jsou vektory u a v lineárně závislé; c) (u  v )  u , (u  v )  v ; d) u  v  u v sin  , kde  je úhel vektorů u a v, pokud u a v jsou nenulové; e) {u}S {v }S {u  v }S   0 , přičemž rovnost nastává, právě když u  v  0 , tj. právě když vektory u a v jsou lineárně závislé.

Eukleidovský prostor

211

Důkaz. Nechť {u}S  ( x1  x2  x3 ) , {v }S  ( y1  y2  y3 ) a {u  v }S  ( w1  w2  w3 ) . a) Podle poznámky 20.6 wi  {u}S {v }S  ei  , kde ei  R 3 je jednotkový vektor, i  1 2 3. Označíme-li {v  u}S  ( w1 w2  w3 ) , je wi  {v }S {u}S  ei  =

 {u}S {v }S  ei  =  wi podle věty 7.6 a zbytek tvrzení je zřejmý. b) Jsou-li vektory u, v lineárně závislé, jsou lineárně závislé i vektory {u}S , {v }S a wi  {u}S {v }S  ei   0 pro každé i  1 2 3 podle věty 7.18. Předpokládejme tedy naopak, že u  v  0 a ukažme, že vektory u, v jsou lineárně závislé. Zvolme libovolně vektor z  u  v  . Podle poznámky 20.6 je

{u}S {v }S {z}S   {z}S  {u  v }S  0 ,

takže vektory {u}S , {v }S a {z}S jsou

lineárně závislé podle věty 7.18. Protože zobrazení u  {u}S je podle věty 10.2 (b) izomorfismus, jsou vektory u, v, z lineárně závislé podle věty 9.20, takže existuje netriviální lineární kombinace ru  sv  t z  0 . Pro t  0 dostáváme r s z   u  v  u  v  , což jest spor s volbou vektoru z. Je tedy nutně t  0 , t t lineární kombinace ru  sv  0 je netriviální a vektory u, v jsou tudíž lineárně závislé. c) Podle poznámky 20.6 a věty 7.8 je {u}S  {u  v }S  {u}S {v }S {u}S   0 a {v }S  {u  v }S  {u}S {v }S {v }S   0 . Podle věty 14.18 je zobrazení  (u )  {u}S unitární, takže u (u  v )  v (u  v )  0 . d) Podle poznámky 14.19 je u  v

x1 y3 ) 2  ( x1 y2  x2 y1 ) 2 = u 2 x2 x3 y2 y3 = u

u

2

2

v

2

2

v

2

2

 w12  w22  w32 = ( x2 y3  x3 y2 )2  ( x3 y1 

 x12 y12  x22 y22  x32 y32  2 x1 x2 y1 y2  2 x1 x3 y1 y3 

 (uv ) 2 = u

2

 (uv )2  2 v 1  2 2  = u  u v  

2

2

v (1  cos2  ) =

2

v sin 2  , a tedy u  v  u v sin  .

e) Podle poznámek 20.6 a 14.19 je {u}S {v }S {u  v }S  = {u  v}S {u  v}S  u v

2

= w12  w22  w32 a jsme hotovi.



20.15. Poznámka. Přihlédneme-li k poznámce 20.6, můžeme pojem vektorového součinu rozšířit na eukleidovské prostory En pro n  2 . Buď S kartézská sou-

stava souřadnic v eukleidovském prostoru En . Jsou-li u1  u2 … un 1 vektory

212

Eukleidovský prostor

{u1}S {u2 }S …{un1}S  a  , kde n a  ( a1  a2 … an )  R n , podle posledního řádku dostaneme číslo  i 1 ai wi . Vek-

z En ,

pak

rozvojem

determinantu

tor w takový, že {w }S  ( w1  w2 … wn ) se nazývá vnější součin vektorů u1  u2 … un 1 . Analogicky jako u vektorového součinu čtenář snadno sám ověří, že platí: a) při změně kartézské soustavy souřadnic změní vnější součin nejvýše znaménko; b) je-li   Sn 1 libovolná permutace, pak vnější součin vektorů u (1)  u (2) … u ( n 1) dostaneme z vnějšího součinu vektorů u1  u2 … un 1 vynásobením číslem zn  ; c) vnější součin je roven nulovému vektoru, právě když jsou vektory u1  u2 … un 1 lineárně závislé; d) vnější součin je kolmý ke všem vektorům u1  u2 … un 1 ; e)

{u1}S {u2 }S …{un1}S {w }S   0 ,

přičemž rovnost nastane, právě když

vnější součin w je roven nulovému vektoru. 20.16. Věta. Buď S kartézská soustava souřadnic v eukleidovském prostoru E3

a buďte u  v  u  v  čtyři vektory z E3 . Pak platí: (u  v )(u   v )  (uu )(vv )  (vu )(uv ) 

uu  vu   uv  vv 

Důkaz. Jsou-li vektory u, v lineárně závislé, v  ru , pak podle věty 20.14 (b) je u  v  0 , takže (uu )r (uv )  r (uu )(uv ) 

uu  ruu  0. uv  ruv 

Nechť tedy vektory u, v jsou lineárně nezávislé. Z věty 14.8 plyne, že můžeme zvolit kartézskou soustavu souřadnic S   {a u1 u2  u3 } tak, aby u  u1 a v  u1 u2  . Přitom vhodnou volbou znaménka u vektoru u3 můžeme dosáhnout toho, aby determinant matice přechodu od soustavy S k soustavě S  byl roven jedné. Podle věty 20.13 jsou pak vektorové součiny u  v a u   v  vzhledem k oběma soustavám souřadnic S a S  stejné. Přitom {u}S   ( x1  0 0) ,

Eukleidovský prostor

213

{v }S   ( y1  y2  0) , {u }S   ( x1, x2 , x3 ) , {v }S   ( y1, y2 , y3 ) , {u  v }S   (0 0 x1 y2 ) , a tedy (u  v )(u   v )  x1 y2 ( x1 y2  x2 y1 ) . Na druhé straně máme uu   x1 x1 , vv   y y1  y2 y22 , uv   x1 y 1 , vu   y1 x1  y2 x2 , odkud dostáváme (uu )(vv ) 

(vu )(uv )  x1 x1 ( y1 y1  y2 y2 )  x1 y1( y1 x1  y2 x2 )  x1 y2 ( x1 y2  x2 y1 ) a jsme 

hotovi.

20.17. Definice. Buď   a  W nadrovina eukleidovského prostoru En . Podle

věty 14.7 je ortogonální doplněk podprostoru W ve Vn jednorozměrným podprostorem u  ve Vn . Směr u  (nebo pro jednoduchost stručně každý nenulový vektor z u  ) nazýváme směrem normály nadroviny  . Každou přímku v En o směru u  nazýváme normálou nadroviny  .



20.18. Věta. Buď

n i 1

ai xi  b rovnice nadroviny  eukleidovského prostoru

En vzhledem k nějaké kartézské soustavě souřadnic S (viz věta 19.15). Pak směr u  , kde {u}S  (a1  a2 … an ) , je směrem normály nadroviny  . Důkaz. Buď v libovolný vektor z nadroviny  a a   buď libovolný bod. Položme c  a  v a nechť {a}S  ( x1  x2 … xn ) , {c}S  ( y1  y2 … yn ) . Podle věty 19.11 je {v }S  {c  a}S  ( y1  x1  y2  x2 … yn  xn ) . Přitom podle věty 19.15 je



n i 1

ai xi  b ,



n i 1

ai yi  b , takže



n i 1

ai ( yi  xi )  0 . To však znamená, že

uv  0 , vektor u je kolmý ke každému vektoru nadroviny  a u je tedy vektor

normály této nadroviny.



Ve zbytku tohoto odstavce se budeme věnovat jednak úhlům, jednak dvěma hlediskům vzdálenosti v eukleidovském prostoru. Předně probereme vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a poté se budeme zabývat vzdáleností dvou mimoběžek. Připomeňme, že studium těchto pojmů je umožněno díky skalárnímu součinu a že něco podobného nelze provádět v prostoru afinním. 20.19. Lemma. Buď  úhel dvou nenulových vektorů u a v v eukleidovském prostoru En . Jestliže u   ru a v   sv , kde rs  0 , pak úhel vektorů u  a v 

je rovněž roven  . Důkaz. Označíme-li  úhel vektorů u  a v  , pak podle definice 20.2 je

214

Eukleidovský prostor

cos  

 u v    ( ru )( sv )   rs   uv     cos   u v  ru sv  rs  u v

takže    vzhledem k tomu, že úhly  a  jsou ostré.



20.20. Definice. Úhlem směrů u  , v  eukleidovského prostoru En rozumíme

úhel vektorů u, v. Úhel dvou přímek a  u  a b  v  v En je úhel směrů u  a v  . Úhel přímky a  u  a nadroviny  v En je doplněk úhlu směru u  a směru normály nadroviny  (připomeňme, že úhel  je doplňkem úhlu  , jestliže    

 2

). Konečně úhlem dvou nadrovin rozumíme úhel směrů jejich

normál. 20.21. Věta. Nechť a  W , b  W  , W   W jsou dva rovnoběžné podprostory euklidovského prostoru En . Pak platí:

a) pro každý bod c  b  W  se podprostory c  W  a a  W protínají v jediném bodě; b) označíme-li F (c) průsečík podprostorů z tvrzení (a), je F izometrické afinní zobrazení podprostoru b  W  na podprostor F (b)  W  prostoru a  W vytvořené identickým automorfismem 1W  vektorového prostoru W  ; c) pro každé dva body b1  b2  b  W  je b1  F (b1 )  b2  F (b2 ) ; d) je-li c  F (b)  W  libovolný bod, pak c  b  F (b)  b , přičemž rovnost platí, právě když c  F (b) . Důkaz. a) Podle věty 14.7 (a) je W  W   Vn , takže a  c W  W  a podprostory c  W  a a  W jsou různoběžné podle věty 19.19. Přitom se tyto podprostory protínají v jediném bodě, neboť v opačném případě by existovala přímka d  u   (c  W  )  (a  W ) , což by vedlo ke sporu 0  u W   W  0 . b) Podle (a) existují vektory u1  W  a u2 W takové, že F (b)  b  u1 

a  u2 .

Pro

každé

u W 

pak

je

F (b)  u  b  u1  u  a  u2  u 



((b  u )  W )  (a  W ) , a tudíž F (b  u )  F (b)  u . Vidíme tedy, že F je afinní zobrazení vytvořené identickým automorfismem prostoru W  a zbývá ukázat, že F je izometrie. Jsou-li b1  b  v1 , b2  b  v 2 dva body z b  W , je

Eukleidovský prostor

215

F (bi )  F (b )  v i  b  u1  v i ,

i  1 2

a podle lemmatu 19.6 máme

F (b2 )  F (b1 )  (b  u1  v 2 )  (b  u1  v1 )  (b  v 2 )  (b  v1 )  b2  b1 . c) Při stejném označení jako v předchozí části je

b1  F ( b1 ) 

(b  v1 )  (b  u1  v1 )  u1 a b2  F (b2 )  (b  v 2 )  (b  u1  v 2 )  u1 . d) Buď c  F (b)  u  b  u1  u , kde u1 W  a u W   W . Protože u  u1 , 2

je F (b )  b  u1 u

2

2

 u

2

 u1  u  u

2

2

2

= ((u1  u )  u )((u1  u )  u )  u1  u

2

 u = u1  u  u  u1  u

2

2



2

 c  b . Přitom rovnost nastane,

právě když u  0 , tj. právě když c  F (b) .



20.22. Definice. Nechť a  W , b  W  , W   W , jsou dva rovnoběžné podprostory eukleidovského prostoru En . Vzdáleností těchto podprostorů rozumíme

číslo b  F ( b ) , kde F je zobrazení z předchozí věty. 20.23. Věta. Buď r  c  w  příčka mimoběžek p  a  u  a q  b  v 

v eukleidovském prostoru E3 . Pak r je nejkratší příčka mimoběžek p a q, právě když w  u a w  v , tj. právě když u  v    w  . Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že r  p  a , r  q  b . Buď w  u , w  v . Protože u   v  , je u  v    w  podle věty 14.7 (b), takže příčka r  c  w  mimoběžek p a q ve směru w existuje podle věty 19.26. Abychom dokázali, že tato příčka je nejkratší, potřebujeme zjevně ověřit, že pro každou příčku r   c  w  mimoběžek p, q takovou, že p  r   a ,

q  r   b je a  b  a  b , přičemž rovnost nastává, právě když a  a a b  b . Protože a  p , b  q , je a  a   u a b  b   v pro nějaká reálná čísla    . Dále vektor a  b leží ve w  , tedy a  b   w , odkud vzhledem k tomu, a  b 2

že 2

w u ,

w v ,

2

lemmatu 2

 (a   u ) 

 w  u   v

pomocí

19.6

(b   v )   w   u   v

dostáváme 2

=

2

 a  b . Přitom rovnost zřejmě platí, právě když

 u   v  0 , tj. právě když     0 vzhledem k tomu, že vektory u, v jsou lineárně nezávislé. To je však ekvivalentní s tím, že a  a a b  b .



216

Eukleidovský prostor

20.24. Definice. Buďte p  a  u  a q  b  v  dvě mimoběžky v eukleidov-

ském prostoru E3 . Je-li r  c  w  nejkratší příčka mimoběžek p a q taková, že r  p  a a r  q  b , pak číslo a  b se nazývá vzdálenost mimoběžek p a q. 20.25. Příklady. 1. V eukleidovském prostoru E3  E ( R 3 ) nalezněme nejkratší

příčku a spočtěme vzdálenost mimoběžek p

x  1 y  8 z  11   2 3 6

a

q

x  8 y  3 z  13    6 12 1

Ř e š e n í: Podle poznámky 19.12 je p  a  u  a q  b  v  , kde a  (1 811) , u  (2 3 6) , b  (8 313) a v  (6 112) . Snadno se ověří, že vektory a  b , u, v jsou lineárně nezávislé, takže přímky p a q jsou skutečně mimoběžné podle důsledku 19.20. Směr w kolmý k oběma vektorům u, v můžeme podle věty 20.14 (c) nalézt pomocí vektorového součinu w   u  v  (30 60 20) . Musíme tedy nejprve nalézt příčku mimoběžek p a q o směru w  (3 6 2) . Podobně jako v odstavci 19.28 proložíme rovinu  přímkou p a směrem w. Směr normály roviny  je určen vektorovým součinem u  w  (42 14 21) , takže rovina  má podle věty 20.18 rovnici 6 x  2 y  3 z  k , kde pravou stranu k spočteme dosazením složek bodu a , k  23 . Dále, průsečík c přímky q  b  t v s rovinou  spočteme opět dosazením. Máme 6(8  6t )  2(3  t )  3(13  12t )  23 , 48  36t  6  2t  39  36t  23  0 , odkud t  1 a c  (2 41) . Hledaná příčka tedy je r  c  w   (2 41)   (3 6 2) . Ke stanovení vzdálenosti mimoběžek p a q potřebujeme ještě spočítat průsečík d  r  p a poté vzdálenost c  d . Pro průsečík d musí platit (1 811)  t (2 3 6)  (2 41)  s (3 6 2) při vhodných hodnotách parametrů t  s . Po rozepsání do složek dostaneme soustavu tří rovnic, která, jak se snadno zjistí, má řešení t  2 , s  1 . Tedy d  (5 2 1) a

c  d  (3 6 2) 

9  36  4  7, což je vzdálenost mimoběžek p a q.

2. V eukleidovském prostoru E4  E ( R 4 ) určeme vzdálenost rovnoběžných rovin

  (1 2 01)   (41 1 1) (4 2 2 1) a

  (6 7 3 4)  (8 11 2) (01 1 0)

Eukleidovský prostor

217

Ř e š e n í : Nejprve ověřme, že roviny  a  jsou skutečně rovnoběžné, tj. že při našem obvyklém značení je W  W . Protože zřejmě dim W  dim W   2 , stačí nám ukázat, že dim (W  W )  2 . Jest

 4   4  8   0

1 2 1 1

1 2 1 1

1   4 1   1  0 3     2 0 3   0  0 1

1 3 3 1

1  0  0  0

odkud je již rovnoběžnost rovin  a  zřejmá. Podle věty 20.21 nyní potřebujeme nalézt ortogonální doplněk W  a spočítat průsečík F (b)  (b  W  )  (a  W ) . Uvědomíme-li si, že W  W  , tvoří poslední dva řádky matice vlevo matici homogenní soustavy rovnic, jejíž řešení je W  . Vidíme tedy ihned, že W    (1 0 0 4) (011 0)  . Z rovnosti (6 7 3 4)   (1 0 0 4)   (011 0)  (1 2 01)   (4111)   (42 21) dostaneme nehomogenní soustavu lineárních rovnic a máme  1   0  0   4

0 1 1 0

4 1 1 1

4 5   1   2 5  0    0 2 3    1 3   0

0 1 0 0

4 1 2 17

4 5   1   2 5   0  4 2   0   17 17   0

0 1 0 0

4 1 1 0

4 5   2 5   2 1   3 0

Tedy   0 ,   1 ,   4 ,   1 a F (b)  (5 3 1 0) . Nakonec spočteme vzdálenost rovin  a  . Jest b  F (b)  (1 4 4 4)  1  16  16  16  7 . 3. Určeme úhel přímky

p

dané soustavou rovnic

x  y  3z  0 ,

x  y  z  0 s rovinou  danou rovnicí 2 x  y  z  1 . Ř e š e n í: Řešením soustavy rovnic, které určují přímku p, dostaneme, že p má směr u  , kde u  (1 2 1) , a prochází bodem (0 0 0) . Podle věty 20.18 je vektor v  (211) vektorem normály roviny  . Pro úhel  vektorů u  v platí cos  

 2  2 1 1  , takže   60o a hledaný úhel je podle definice 20.20 2 6 6

  30o .

218

Eukleidovský prostor

Metodami popsanými v tomto odstavci můžeme řešit nejrůznější další geometrické úlohy. Pro ilustraci uvedeme následující příklad. 4. Bodem b  (11 1) veďme v rovině  o rovnici x  y  z  1 přímku kolmou k přímce p dané soustavou rovnic y  z  1 , x  2 y  0 . Ř e š e n í: Dosazením složek bodu b do rovnice roviny  snadno ověříme, že bod b v rovině  leží, a úloha má tedy smysl. Hledaná přímka q  b  u  musí procházet daným bodem b a vektor u musí být kolmý ke směrovému vektoru v přímky p, a protože přímka q má ležet v rovině  , musí být vektor u kolmý k vektoru normály w roviny  . Řešením soustavy rovnic pro p dostaneme

p  (0 01)   (211) , takže v  (211) a w  (111) podle věty 20.18. Vektor u kolmý jak k v, tak k w dostaneme jako vektorový součin u = v  w  (0 3 3) . Hledaná přímka tedy je q  (11 1)   (01 1) nebo parametricky

x 1 y 1 z 1 .   0 1 1