VYUZˇITI´ MATEMATICKE´HO PROGRAMU SAGE V ANALY´ZE REDISTRIBUCˇNI´CH SYSTE´MU˚ ´ , Karolı´na, (SK) MUZˇI´KOVA Abstrakt. Matematicky´ program Sage je volneˇ dostupny´ software, ktery´ je urcˇeny´ pro matematicke´ vy´pocˇty a graficka´ zna´zorneˇnı´. Pomocı´ graficke´ho rozhranı´ v internetove´m prohlı´zˇecˇi je nabı´zeno interaktivnı´ graficke´ uzˇivatelske´ prostrˇedı´, ve ktere´m lze s vyuzˇitı´m programovacı´ho jazyka Python rˇesˇit rˇadu matematicky´ch u´loh. Hlavnı´m na´meˇtem te´to pra´ce je rozbor fungova´nı´ a aplikace programu Sage prˇi analy´ze redistribucˇnı´ch syste´mu˚. Teorie redistribucˇnı´ch syste´mu˚ spada´ pod oblast teorie her a zkouma´ rozdeˇlova´nı´ vy´plat v syste´mech s vı´ce hra´cˇi. Pra´ce je zameˇrˇena na rozbor redistribuce vy´plat v syste´mu se trˇemi hra´cˇi, cozˇ lze s vyuzˇitı´m programu Sage prˇehledneˇ zna´zornit v trojrozmeˇrne´m prostoru.
1
´ vod U
Tento cˇla´nek seznamuje s matematicky´m softwarem Sage, ktery´ je volneˇ sˇirˇitelny´ pod vsˇeobecnou verˇejnou licencı´ GNU (GNU General Public License). Vy´voj tohoto open source programu probı´ha´ od roku 2005. Jde o software, ktery´ lze vy´hodneˇ vyuzˇ´ıt prˇi matematicky´ch vy´pocˇtech a jejich graficke´m zna´zorneˇnı´. Prˇedstavuje tak konkurenci drahy´m komercˇnı´m programu˚m jako je naprˇ´ıklad Matlab, Maple a Mathematica [2]. V soucˇasne´ dobeˇ je k dispozici pro veˇtsˇinu platforem vcˇetneˇ Linux nebo Microsoft Windows. S programem Sage lze pracovat bud’ v textove´m okneˇ termina´lu nebo pouzˇ´ıvat interaktivnı´ graficke´ rozhranı´ zobrazene´ v internetove´m prohlı´zˇecˇi. Program Sage je tvorˇeny´ v programovacı´m jazyce Python. Jde o dynamicky´, interaktivnı´, objektoveˇ-orientovany´ programovacı´ jazyk, ktery´ byl prvneˇ publikova´n v roce 1991. Python je vyvı´jen jako open-source projekt, stejneˇ tak jako samotny´ Sage [4].
2
Za´klady pra´ce v matematicke´m programu Sage
Prˇi zpracova´va´nı´ tohoto cˇla´nku bylo pouzˇ´ıva´no graficke´ rozhranı´ programu Sage zobrazene´ v internetove´m prohlı´zˇecˇi (prˇ´ıkazem sage -notebook v okneˇ termina´lu). Pouzˇita byla
136
Konferencia OSSConf 2010
´ vodnı´ uzˇivatelska´ nabı´dka po prˇihla´sˇenı´ do programu je uka´za´na na Obr. 1. verze 4.4.2. U ´ Uvodnı´ strana nabı´zı´ mozˇnost vy´beˇru existujı´cı´ch pracovnı´ch sesˇitu˚ (Active Worksheets)
´ vodnı´ strana programu Sage Obra´zek 1: U
nebo zalozˇenı´ nove´ho sesˇitu (New Worksheet). Celkova´ nabı´dka je uzˇivatelsky velmi prˇehledna´ a nabı´zı´ standardnı´ volby (ukla´da´nı´ a nahra´va´nı´ souboru˚, odstranˇova´nı´ souboru˚, prˇejmenova´nı´ na´zvu˚ souboru˚, prˇevod souboru˚ do textove´ podoby, mozˇnosti sdı´lenı´ souboru˚, aj.). V pracovnı´m sesˇiteˇ (Obr. 2) se prˇ´ıkazy zada´vajı´ do jednotlivy´ch fialovy´ch obde´lnı´kovy´ch polı´. V kazˇde´ bunˇce mu˚zˇe by´t i neˇkolik prˇ´ıkazu˚ za´rovenˇ. Je mozˇne´ psa´t kazˇdy´ novy´ prˇ´ıkaz na novy´ rˇa´dek dane´ bunˇky nebo jednotlive´ prˇ´ıkazy na jednom rˇa´dku oddeˇlovat strˇednı´kem. Hotovy´ prˇ´ıkaz se spustı´ volbou evaluate nebo kombinacı´ kla´ves Shift + Enter. Tı´m se pod polem s prˇ´ıkazem zobrazı´ bud’ vy´sledek konkre´tnı´ho vy´pocˇtu nebo se vygeneruje obra´zek. Pro ukla´da´nı´ se pouzˇ´ıva´ prˇ´ıkaz Save v prave´ hornı´ lisˇteˇ, prˇ´ıpadneˇ prˇ´ıkaz Save & quit, ktery´
Obra´zek 2: Novy´ pracovnı´ sesˇit
konkre´tnı´ pracovnı´ sesˇit ulozˇ´ı a uzavrˇe. Prˇi ukoncˇenı´ pra´ce je nutne´ odhla´sˇenı´ z programu Sage (Sign out) a na´sledne´ pouzˇitı´ kla´ves Ctrl + C v termina´lu. Program Sage nabı´zı´ velmi podrobnou na´poveˇdu, a to v ru˚zny´ch podoba´ch. Uzˇivatelsky nejvhodneˇjsˇ´ı a nejprˇehledneˇjsˇ´ı je Sage Tutorial a Sage´s Reference Manual, ktere´ obsahujı´ vsˇeobecne´ informace o jednotlivy´ch funkcı´ch a velke´ mnozˇstvı´ prˇ´ıkladu˚ [6]. V samotne´m programu lze vyuzˇ´ıt znak otaznı´ku umı´steˇny´ za neˇjaky´ na´zev objektu, ktery´ vypı´sˇe o dane´m objektu za´kladnı´ informace, vcˇetneˇ informace o typu funkce, jejı´ syntaxi a uva´dı´ prˇ´ıklad pouzˇitı´. Prˇ´ıklad fungova´nı´ te´to na´poveˇdy je uka´za´n na Obr. 3 pro funkci implicit plot3d, ktera´ byla v analy´ze redistribucˇnı´ho syste´mu take´ pouzˇita.
Karolína Mužíková: Využití matematického programu SAGE
137
Obra´zek 3: Na´poveˇda k funkci implicit plot3d
3
Teorie redistribucˇnı´ch syste´mu˚
Teorie redistribucˇnı´ch syste´mu˚ je aplikacı´ a rozsˇ´ırˇenı´m oblasti teorie her. Redistribucˇnı´ syste´m je takovy´ syste´m, ve ktere´m docha´zı´ k neˇjake´mu prˇerozdeˇlenı´ odmeˇn oproti vy´konu˚m, ktere´ podali cˇlenove´ tohoto syste´mu. Pokud docha´zı´ v syste´mu k redistribuci prostrˇedku˚ mezi cˇleny, kterˇ´ı tento syste´m vytva´rˇejı´, a tato redistribuce neodpovı´da´ vy´konu˚m, ktere´ jednotlivı´ cˇlenove´ vykonali, snizˇuje se tı´m vy´kon cele´ho syste´mu. Vy´zkumu te´to oblasti se velmi intenzivneˇ veˇnuje veˇdecky´ kolektiv na Vysoke´ sˇkole financˇnı´ a spra´vnı´ v Praze [1]. Model elementa´rnı´ho redistribucˇnı´ho syste´mu, jak ho navrhuje Valencˇ´ık a Budinsky´ [1], zahrnuje pouze trˇi hra´cˇe A, B, C. Kazˇdy´ z teˇchto hra´cˇu˚ ma´ stejny´ vliv na dany´ syste´m, libovolnı´ dva hra´cˇi mohou vytvorˇit koalici, vsˇechny koalice jsou mozˇne´ a rovnopra´vne´ a vsˇichni hra´cˇi jsou informova´ni o tom, jaka´ je jejich vy´konnost. Vy´konnost hra´cˇu˚ A, B, C je ve stejne´m porˇadı´ oceneˇna hodnotami 6 :4:2 (jednotka nenı´ pro u´cˇel zkouma´nı´ redistribucˇnı´ho syste´mu exaktneˇ dana´, mu˚zˇe jı´t naprˇ. o tisı´ce peneˇzˇnı´ch jednotek). Tento za´kladnı´ model popisuje redistribucˇnı´ rovnice, ktera´ vyjadrˇuje snı´zˇenı´ efektivnosti syste´mu v du˚sledku odchylky vy´plat od vy´konnosti. Rovnice popisujı´cı´ vsˇechny mozˇnosti rozdeˇlenı´ vy´plat je q x + y + z = 12 − η (x − 6)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 (1) kde x + y + z prˇedstavuje soucˇet skutecˇny´ch vy´plat, hodnota 12 vyjadrˇuje maxima´lnı´ mozˇnou vy´platu (6 + 4 + 2), koeficient η je koeficient snı´zˇenı´ vy´konnosti syste´mu (pouzˇ´ıva´ se hodnota η = 0.5; pokud je η = 0, tak redistribucı´ nedocha´zı´ ke snı´zˇenı´ efektivnosti). Vy´raz pod druhou odmocninou prˇedstavuje funkci prostorove´ vzda´lenosti rozdeˇlenı´ skutecˇny´ch vy´plat od vy´plat podle vy´konnosti hra´cˇu˚. Uvedenou elementa´rnı´ redistribucˇnı´ rovnici lze zna´zornit v trojrozmeˇrne´m prostoru. Vznikne tı´m redistribucˇnı´ plocha. Na te´to plosˇe lezˇ´ı dva vy´znamne´ body, a to bod V rozdeˇlenı´
138
Konferencia OSSConf 2010
vy´plat podle vy´konu (s hodnotou sourˇadnic [6, 4, 2]) a tzv. rovnosta´rˇsky´ bod R (s hodnotou sourˇadnic po zaokrouhlenı´ [3,51; 3,51; 3,51]), ktery´ popisuje takove´ rozdeˇlenı´ vy´her, kdy vsˇichni trˇi hra´cˇi dostanou stejnou odmeˇnu. Model elementa´rnı´ho redistribucˇnı´ho syste´mu umozˇnˇuje popis ru˚zny´ch typu˚ vyjedna´va´nı´ a vy´sledky tohoto vyjedna´va´nı´ zobrazovat jako vyjedna´vacı´ trajektorie na redistribucˇnı´ plosˇe. Z pohledu teorie her je vy´sˇe popsana´ situace v redistribucˇnı´m syste´mu hrou s nekonstantnı´m soucˇtem trˇ´ı inteligentnı´ch hra´cˇu˚, ve ktery´ch lze vytva´rˇet koalice a je mozˇne´ hra´t hru opakovaneˇ.
4
Pouzˇitı´ programu Sage v analy´ze redistribucˇnı´ho syste´mu
Pro zobrazenı´ redistribucˇnı´ plochy, jejı´ analy´zu a vy´pocˇet vy´znamny´ch bodu˚ redistribucˇnı´ho syste´mu byl pouzˇit matematicky´ program Sage. Sage zna´zornˇuje obra´zky programem Jmol [3], ktery´ je v programovacı´m jazyce Java, a dı´ky tomu lze pomocı´ mysˇi obra´zky ru˚zneˇ ota´cˇet a prˇiblizˇovat, a tı´m le´pe analyzovat cely´ objekt.
4.1
Zna´zorneˇnı´ elementa´rnı´ redistribucˇnı´ plochy
Pro zna´zorneˇnı´ plochy v trojrozmeˇrne´m prostoru se obvykle pouzˇ´ıva´ funkce plot3d. To lze vyuzˇ´ıt pouze tehdy, jestlizˇe je hodnota z funkcı´ dvou promeˇnny´ch x a y, tedy z = f (x, y). Tuto podmı´nku bohuzˇel nesplnˇuje rovnice elementa´rnı´ho redistribucˇnı´ho syste´mu, protozˇe jde o funkci trˇ´ı promeˇnny´ch x, y, z. V du˚sledku toho se pro zna´zorneˇnı´ redistribucˇnı´ plochy musı´ pouzˇ´ıt funkce implicit plot3d, ktera´ zobrazuje rovnici ve tvaru f (x, y, z) = 0 [5]. Povinny´mi vstupnı´mi argumenty prˇ´ıkazu je samotna´ zna´zornˇovana´ funkce a take´ rozmeˇr os x, y, z. Rozmeˇr os lze zapsat bud’ trojicı´ u´daju˚ (x, xmin, xmax) nebo postacˇuje uvedenı´ minima´lnı´ a maxima´lnı´ hodnoty na konkre´tnı´ ose naprˇ. (xmin, xmax). Da´le je mozˇne´ doplnit dalsˇ´ı pozˇadavky na podobu zobrazovane´ho objektu, a to naprˇ. barvu, zobrazenı´ os, velikost a pru˚hlednost objektu. Zobrazenı´ popisku˚ os v 3D prostoru ovsˇem nenı´ u´plneˇ nejsnazsˇ´ı. Prvnı´ mozˇnostı´, ktera´ je uvedena i v na´sledujı´m prˇ´ıkladeˇ je, zˇe se popisky trˇ´ı os zna´zornı´ jako textova´ pole, ovsˇem kazˇde´ toto textove´ pole se musı´ prˇesneˇ umı´stit v sourˇadnicove´m syste´mu. Tento zpu˚sob nenı´ prˇ´ılisˇ prakticky´, protozˇe prˇi jake´koliv zmeˇneˇ v obra´zku se mohou popisky skry´t a znova se musı´ hledat sourˇadnice, ve ktery´ch je popisek osy videˇt. Druhou mozˇnostı´ je po vygenerova´nı´ obra´zku pouzˇ´ıt prave´ tlacˇ´ıtko mysˇi a zvolit Style/Axes. Tı´m se uprostrˇed na´kresu barevneˇ zobrazı´ trˇi pomocne´ osy s popiskem. Prˇestozˇe lze meˇnit barvu tohoto pomocne´ho u´tvaru, tak velmi snizˇuje prˇehlednost cele´ho obra´zku. Pro zobrazenı´ popisku˚ bodu˚ v sourˇadnicove´m syste´mu jsem take´ pouzˇ´ıvala popisek typu textove´ pole, pro jehozˇ umı´steˇnı´ se musı´ rovneˇzˇ urcˇit sourˇadnice. Na Obr. 5 jsou kromeˇ samotne´ redistribucˇnı´ plochy a popisku˚ os zna´zorneˇny i dva vy´znamne´ body. Bod oznacˇeny´ pı´smenem V je bod rozdeˇlenı´ vy´plat podle vy´konnosti, kdy kazˇdy´ u´cˇastnı´k syste´mu zı´ska´ prˇesneˇ tolik, kolik odpovı´da´ jeho uskutecˇneˇne´mu vy´konu. V tomto bodeˇ je soucˇet vy´plat
Karolína Mužíková: Využití matematického programu SAGE
139
Obra´zek 4: Prˇ´ıkaz pro zna´zorneˇnı´ redistribucˇnı´ plochy, popisku˚ os, bodu˚ V a R
vsˇech hra´cˇu˚ nejveˇtsˇ´ı. Cˇ´ım da´le od tohoto bodu, tı´m vı´ce hodnota soucˇtu vy´plat klesa´. Bod oznacˇeny´ pı´smenem R je bod rovnosta´rˇske´ho rozdeˇlenı´ vy´plat, kdy vsˇichni u´cˇastnı´ci dane´ho syste´mu zı´skajı´ stejnou vy´platu. Teˇmito dveˇma body musı´ procha´zet kazˇda´ redistribucˇnı´ plocha.
Obra´zek 5: Redistribucˇnı´ plocha
4.2
Vy´pocˇet du˚lezˇity´ch bodu˚ redistribucˇnı´ plochy
Elementa´rnı´ rovnice redistribucˇnı´ plochy obsahuje odmocninu, cozˇ prˇedstavuje vy´znamny´ proble´m prˇi matematicky´ch vy´pocˇtech v aplikaci Sage. Dosud jsem neobjevila jinou mozˇnost rˇesˇenı´, nezˇ si rovnici pro konkre´tnı´ prˇ´ıklad umocnit a azˇ potom zada´vat upraveny´ tvar rovnice. Tento zpu˚sob nenı´ vu˚bec prakticky´ a mu˚zˇe s sebou ne´st i chyby vznikle´ v pru˚beˇhu rucˇnı´ho vy´pocˇtu, vcˇetneˇ prˇ´ıpadne´ chyby zaokrouhlovacı´. Celkem jsem analyzovala a hledala sourˇadnice na´sledujı´cı´ch bodu˚ redistribucˇnı´ plochy: • bodu R, ktery´ popisuje rovnosta´rˇske´ rozdeˇlenı´ vy´plat v syste´mu,
140
Konferencia OSSConf 2010
• trˇ´ı pru˚secˇ´ıku˚ redistribucˇnı´ plochy s osami sourˇadnic x, y, z (body Px, Py, Pz), • trˇ´ı du˚lezˇity´ch bodu˚ lezˇ´ıcı´ch v jednotlivy´ch sourˇadnicovy´ch plocha´ch (body X,Y, Z).
Analy´za bodu R, ktery´ popisuje rovnosta´rˇske´ rozdeˇlenı´ vy´plat v syste´mu Tento bod popisuje takove´ rozdeˇlenı´, kde vsˇichni trˇi u´cˇastnı´ci dostanou stejnou vy´platu (x = y = z). Redistribucˇnı´ rovnice se proto vyja´drˇ´ı jako funkce jedine´ promeˇnne´ x. Na Obr. 6 je videˇt, zˇe si Sage neporadil s vyrˇesˇenı´m rovnice obsahujı´cı´ odmocninu. Tvar rovnice pouze cˇa´stecˇneˇ upravil, ale ponechal ve vy´razu druhou odmocninu a take´ nezna´mou promeˇnnou x. Na´sledneˇ jsem jizˇ zada´vala umocneˇny´ a upraveny´ forma´t rovnice. Umocneˇnı´m se bohuzˇel vzˇdy zı´ska´ druhy´ korˇen rovnice, ktery´ z hlediska jeho interpretace ve vztahu ke zkoumane´mu objektu nenı´ spra´vny´. Spra´vny´m korˇenem rovnice je prˇiblizˇna´ hodnota x = 3, 51. Sourˇadnice bodu R jsou tak [3, 51; 3, 51; 3, 51]. Druhy´ korˇen rovnice nenı´ spra´vny´, protozˇe suma sourˇadnic by prˇevysˇovala hodnotu 12, ktera´ je maxima´lnı´ mozˇna´, a korˇen by nevyhovoval pu˚vodnı´ redistribucˇnı´ rovnici.
Obra´zek 6: Prˇ´ıkaz pro zjisˇteˇnı´ sourˇadnic rovnosta´rˇske´ho bodu
Analy´za pru˚secˇ´ıku˚ redistribucˇnı´ plochy s osami sourˇadnic Pro pru˚secˇ´ık redistribucˇnı´ plochy s osou z (bod Pz) platı´, zˇe ostatnı´ sourˇadnice tohoto pru˚secˇ´ıku jsou nulove´ (x = y = 0). Tyto hodnoty se dosadı´ do rovnice redistribucˇnı´ plochy a opeˇt tı´m vznikne rovnice o jedne´ nezna´me´. Rovnice se musela nejprve umocnit a azˇ potom vyrˇesˇit programem Sage. Umocneˇnı´m rovnice vzniknou opeˇt dva korˇeny rˇesˇenı´, ale jeden z korˇenu˚ nevyhovuje pu˚vodnı´ elementa´rnı´ redistribucˇnı´ rovnici, cozˇ lze v programu Sage oveˇrˇit. Stejny´ postup vy´pocˇtu byl pouzˇit i pro zbyle´ dva pru˚secˇ´ıky Px a Py.
Karolína Mužíková: Využití matematického programu SAGE
141
Obra´zek 7: Prˇ´ıkaz pro vy´pocˇet pru˚secˇ´ıku redistribucˇnı´ plochy s osou z
Analy´za du˚lezˇity´ch bodu˚ lezˇ´ıcı´ch v jednotlivy´ch sourˇadnicovy´ch plocha´ch Jde o velmi vy´znamnou skupinu bodu˚, ktere´ jsou du˚lezˇite´ prˇi analy´ze vyjedna´va´nı´ v redistribucˇnı´ch syste´mech. Na Obr. 8 je uveden prˇ´ıkaz pro vy´pocˇet sourˇadnic bodu Z, ktery´ lezˇ´ı v rovineˇ xy, a tak je jeho z-ova´ sourˇadnice nulova´. Promeˇnna´ y se vyja´drˇ´ı pomocı´ promeˇnne´ x (naprˇ. z rovnice y = ax a dosazenı´m sourˇadnic bodu V = [6, 4, 2]; 4 = 6a; a = 2/3; y = 2/3x). Elementa´rnı´ redistribucˇnı´ rovnice se vyja´drˇ´ı jako rovnice jedine´ promeˇnne´ x. Vypocˇ´ıtane´ hodnoty x1, x2 a y1, y2 se dosadı´ do pu˚vodnı´ elementa´rnı´ redistribucˇnı´ rovnice, a tı´m se zjistı´ spra´vne´ korˇeny dane´ rovnice, ktere´ jsou potom hledany´mi sourˇadnicemi bodu Z. Vsˇechny tyto vypocˇtene´ du˚lezˇite´ body lze zna´zornit na redistribucˇnı´ plosˇe (prˇ´ıkaz pro
Obra´zek 8: Prˇ´ıkaz pro vy´pocˇet sourˇadnic bodu Z, lezˇ´ıcı´ho v rovineˇ xy
142
Konferencia OSSConf 2010
zobrazenı´ Obr. 9, zna´zorneˇnı´ Obr. 10). Pru˚secˇ´ıky s osami sourˇadnic jsou zobrazeny modrou barvou, du˚lezˇite´ body v jednotlivy´ch sourˇadnicovy´ch plocha´ch zelenou barvou.
Obra´zek 9: Prˇ´ıkaz pro zna´zorneˇnı´ redistribucˇnı´ plochy a du˚lezˇity´ch bodu˚
Obra´zek 10: Redistribucˇnı´ plocha a du˚lezˇite´ body
4.3
Zna´zorneˇnı´ pomocny´ch vyjedna´vacı´ch rovin
Prˇi analy´ze redistribucˇnı´ch syste´mu˚ je velmi du˚lezˇite´ sledovat ru˚zne´ typy vyjedna´va´nı´ jednotlivy´ch hra´cˇu˚. Na redistribucˇnı´ plosˇe lze jednotlive´ vyjedna´vacı´ trajektorie zna´zornit. Za´kladnı´ jsou trˇi vyjedna´vacı´ trajektorie prˇi dohodeˇ dvou hra´cˇu˚ o rozdeˇlenı´ svy´ch odmeˇn podle jejich vy´konu. V te´to situaci si dva hra´cˇi deˇlı´ vy´platu v pomeˇru ke svy´m vy´konu˚m
Karolína Mužíková: Využití matematického programu SAGE
143
Obra´zek 11: Prˇ´ıkaz pro zna´zorneˇnı´ redistribucˇnı´ plochy a jedne´ z pomocny´ch rovin
a trˇetı´mu zu˚stane jen tolik, kolik mu ostatnı´ dva ponechajı´. Trajektorie tohoto vyjedna´va´nı´ se protı´najı´ v jednom bodeˇ, a to v bodeˇ V se sourˇadnicemi [6, 4, 2]. Trajektorie zacˇ´ınajı´ v bodech X,Y, Z, ktere´ byly vypocˇteny, a koncˇ´ı v pru˚secˇ´ıcı´ch redistribucˇnı´ plochy s osami sourˇadnic, tedy v bodech Px, Py, Pz. Pomocna´ rovina byla zna´zorneˇna s vyuzˇitı´m funkce
Obra´zek 12: Redistribucˇnı´ plocha a jedna z pomocny´ch rovin
polygon3d. Za´kladnı´m argumentem te´to funkce jsou body, ktere´ se majı´ spojit do jednoho u´tvaru. Prˇi zpracova´nı´ te´to cˇa´sti jsem zjistila, zˇe podoba vy´sledne´ho u´tvaru za´lezˇ´ı na porˇadı´ bodu˚ v zada´nı´ prˇ´ıkazu, cozˇ mu˚zˇe by´t vy´znamna´ komplikace prˇi rˇesˇenı´ matematicky´ch u´loh. Vyjedna´vacı´ trajektorii tvorˇ´ı spolecˇne´ body te´to pomocne´ roviny a redistribucˇnı´ plochy. Vsˇechny trˇi pomocne´ roviny rozdeˇlı´ redistribucˇnı´ plochu na sˇest dı´lcˇ´ıch oblastı´. Kazˇda´ pomocna´ rovina procha´zı´ bodem V , urcˇujı´cı´m rozdeˇlenı´ podle vy´konu, a pocˇa´tkem sourˇadnicove´ho syste´mu. Vyjedna´vacı´ trajektorie popisujı´cı´ situaci deˇlenı´ podle vy´konu jsou celkem trˇi. Kazˇdou z trajektoriı´ lze zı´skat jako pru˚secˇnici redistribucˇnı´ plochy a pomocne´ roviny tak, jak je uka´za´no na Obr. 14.
144
Konferencia OSSConf 2010
Obra´zek 13: Prˇ´ıkaz pro zobrazenı´ vyjedna´vacı´ch trajektoriı´
Obra´zek 14: Vyjedna´vacı´ trajektorie na redistribucˇnı´ plosˇe
Za´veˇr Matematicky´ program Sage se uka´zal by´t velmi vhodny´m softwarem pro graficke´ zna´zorneˇnı´ redistribucˇnı´ch syste´mu˚. Pra´ce v graficke´m rozhranı´ je uzˇivatelsky velmi prˇ´ıjemna´. Syntaxe prˇ´ıkazu˚ je logicka´. Realizace neˇktery´ch matematicky´ch operacı´ a popisku˚ graficky´ch objektu˚ nebyla uzˇivatelsky u´plneˇ jednoducha´, ale to mu˚zˇe by´t i tı´m, zˇe jsem doposud mozˇna´ neobjevila vsˇechny dostupne´ funkce a mozˇnosti programu. Rovneˇzˇ se na vy´voji programu Sage neusta´le pracuje, a tak je pravdeˇpodobne´, zˇe se syste´m stane jesˇteˇ dokonalejsˇ´ım. V prˇ´ıpadeˇ redistribucˇnı´ch syste´mu˚ je tato pra´ce pouhy´m u´vodem k jejich rozboru. S vyuzˇitı´m programu Sage je vhodne´ zkoumat ru˚zne´ typy vyjedna´vacı´ch trajektoriı´, vliv tvorby koalic mezi u´cˇastnı´ky na mozˇnost ovlivneˇnı´ redistribuce a hleda´nı´ rovnova´zˇny´ch situacı´.
Karolína Mužíková: Využití matematického programu SAGE
145
Literatura [1] BUDINSKY´, P. – VALENCˇ´IK, R.: Teorie redistribucˇnı´ch syste´mu˚. In: Politicka´ ekonomie, rocˇ. 13, 2009, cˇ. 5, s. 644 – 659 [2] HAUPT, M.: Syste´m pocˇ´ıtacˇove´ algebry Sage. Bakala´rˇska´ pra´ce. Brno, 2009. Dostupne´ na internetu [cit. 2010-06-08]: http://www.math.muni.cz/~{}plch/diplomky/ Sage.pdf [3] Jmol. Dostupne´ na internetu [cit. 2010-06-10]: http://jmol.sourceforge.net/ [4] PYTHON – programovacı´ jazyk. Dostupne´ na internetu [cit. 2010-06-08]: http://sk. wikipedia.org/wiki/Python_%28programovac%C3%AD_jazyk%29 [5] SAGE. Oficia´lnı´ stra´nka. Dostupne´ na internetu [cit. 2010-06-08]: http://sagemath. org/ [6] SAGE Reference Manual, 3D Graphics. Dostupne´ na internetu [cit. 2010-06-08]: http: //www.sagemath.org/doc/reference/plot3d.html Kontaktnı´ adresa ˇ I´KOVA ´ (Ing.), Karolı´na MUZ Katedra manazˇe´rskych teo´riı´ FRI ZˇU v Zˇiline, Univerzitna´ 8215/1, 010 26 Zˇilina,
[email protected]
Otvorený softvér vo vzdelávaní, výskume a v IT riešeniach 1.–4. júla 2010, Žilina, Slovensko Organizátori:
Miloš Šrámek, Spoločnosť pre otvorené informačné technológie Tatiana Šrámková, Katedra fyziky, FEI STU Bratislava Michal Kaukič, Aleš Kozubík, Tomáš Majer, Žilinská univerzita Lýdia Gábrišová, Ľubica Michálková, Žilinská univerzita Juraj Bednár, Digmia, Slovensko Miloslav Ofúkaný, GeoCommunity, Slovensko Peter Mráz, Kremnica Slavko Fedorik, SOŠ elektrotechnická, Poprad Peter Štrba, Spojená škola/Gymnázium M. Galandu, Turčianske Teplice Ladislav Ševčovič, FEI, Technická univerzita v Košiciach
Editori:
Michal Kaukič Miloš Šrámek Slavko Fedorik Ladislav Ševčovič
Recenzenti:
Mgr. Juraj Bednár Mgr. Rudolf Blaško, PhD. RNDr. Ján Buša, CSc. Ing. Slavko Fedorik Ing. Karol Grondžák, PhD. Mgr. Michal Kaukič, CSc. Ing. Tomáš Kliment RNDr. Aleš Kozubík, PhD. Mgr. Juraj Michálek doc. RNDr. Štefan Peško, CSc. Ing. Pavel Stříž, PhD. RNDr. Ladislav Ševčovič Ing. Michal Žarnay, PhD.
Vydavateľ:
Spoločnosť pre otvorené informačné technológie – SOIT, Bratislava
ISBN 978-80-970457-0-8 Sadzba programom pdfTEX Ladislav Ševčovič c 2010 autori príspevkov. Príspevky neprešli redakčnou ani jazykovou úpravou. Copyright Ktokoľvek má dovolenie vyhotoviť alebo distribuovať doslovný opis tohoto dokumentu alebo jeho časti akýmkoľvek médiom za predpokladu, že bude zachované oznámenie o copyrighte a o tom, že distribútor príjemcovi poskytuje povolenie na ďalšie šírenie, a to v rovnakej podobe, akú má toto oznámenie.
