p12 – 1
12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže – jsou splněny prutové předpoklady, – příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí kolem střednice prutu, – jedinou nenulovou složkou VVÚ je kroutící moment Mk , – deformace prutu jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné, – příčný průřez je kruhový nebo mezikruhový. Poznámky k definici
prostá pružnost prutové předpoklady
Na počátku vývoje pružnosti se neomezoval tvar příčného průřezu u prutů zatížených krutem. Se zvyšováním rozlišovací úrovně (rozvoj měření) se ukázalo, že pouze pro kruhový a mezikruhový průřez je s dostatečnou přesností splněn předpoklad o zachování rovinnosti příčných průřezů, u ostatních tvarů příčných průřezů dochází k jejich deplanaci. Vztahy pro prostý krut pak neplatí; nekruhové průřezy můžeme řešit – metodami obecné PP (pruty průřezu tvaru rovnostranného trojúhelníka, elipsy, kruhu s excentrickým kruhovým otvorem), – analyticky (obdélník, čtverec), – metodou konečných prvků (jakékoliv tvary). Na rozdíl od tahu, kdy jsme podle orientace normálové síly N rozlišovali tah a tlak, u krutu na znaménku kroutícího momentu nezáleží, těleso z izotropního materiálu se chová stejně pro obě orientace kroutícího momentu. OBSAH
další
p12 – 2
12.2. Geometrické vztahy Protože vyšetřujeme výhradně pruty rotačně symetrických průřezů, budeme používat válcový souřadnicový systém se souřadnicemi x, r, ϕ v axiálním, radiálním a obvodovém směru. Z hlediska deformace elementárních prvků Ω1 a Ω3 v průběhu zatěžování lze konstatovat: – vzdálenost dx průřezů ψ1 , ψ2 zůstane zachována, délkové přetvoření ve směru střednice prutu je tedy nulové εx = 0 (za předpokladu malých deformací), – příčné průřezy se rozměrově nemění, takže jsou nulová i délková přetvoření v radiálním (εr = 0) a obvodovém směru (εϕ = 0), – v důsledku zachování rovinnosti příčných průřezů zůstává zachován pravý úhel mezi radiálním a axiálním směrem (γxr = 0),
předchozí
OBSAH
prvek přetvoření
další
p12 – 3 – v důsledku rotačně symetrického charakteru deformace jsou nulová úhlová přetvoření γϕr = 0, – čela prvku Ω3 se vzájemně natočí o úhel dϕ, čímž vznikne nenulové úhlové přetvoření γxϕ , jehož rozložení po průřezu d0 obecného bodu A na obeczískáme z vyjádření posuvu AA d0 = dxγ ném válcovém řezu s poloměrem ρ : AA xϕ a při d 0 vyjádření parametry v příčném průřezu: AA = ρdϕ. dϕ ⇒ γxϕ = γ = ρϑ, γxϕ dx = ρdϕ ⇒ γxϕ = ρ dx kde ϑ = dϕ dx je poměrný úhel zkroucení konstantní pro daný průřez. U prostého krutu je jediným nenulovým přetvořením úhlové přetvoření γxϕ = γ, které je po příčném průřezu rozloženo lineárně, s nulovou hodnotou na střednici (γ = ρϑ). V prutu vzniká specifický stav deformace, 0 γ popsaný tenzorem přetvoření Tε = 2 0
předchozí
označovaný jako smyková deformace, γ 0 2 0 0 . 0 0
OBSAH
Tε
další
p12 – 4
12.3. Rozložení napětí v příčném průřezu Rozložení napětí v příčném průřezu získáme pomocí konstitutivních vztahů, které pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) mají tvar σ = Eε pro jednoosou napjatost geometrické a τ = Gγ pro napjatost smykovou. vztahy Pro prostý krut platí εx = εr = εϕ = 0 ⇒ σ = 0, γxr = γϕr = 0 ⇒ τxr = τϕr = 0, γxϕ = γ 6= 0 ⇒ τxϕ (ρ) = τ (ρ) = Gγ = Gρϑ. U prostého krutu vznikají v příčném průřezu smyková napětí, která jsou po průřezu rozložena lineárně, s nulovou hodnotou na střednici prutu. Normálová napětí jsou nulová.
předchozí
OBSAH
další
p12 – 5
Napjatost v bodě tělesa, určená pouze jediným smykovým napětím, se označuje jako smyková napjatost. Smykovému napětí τxϕ v příčném průřezu ψ odpovídá stejně velké smykové napětí τϕx v řezu procházejícím osou prutu (věta o sdruženosti smykových napětí): τxϕ = τϕx = τ Smykovou napjatost lze popsat tenzorem napětí Tσ , znázornit na elementárním prvku a v Mohrově rovině. 0 τ 0 Tσ = τ 0 0 0 0 0
předchozí
OBSAH
napjatost sdruženost smykových napětí
tenzor napětí Mohrova rovina
další
p12 – 6
12.4. Závislost mezi VVÚ a napětím Závislost napětí v příčném průřezu na geometrických charakteristikách průřezu a na VVÚ určíme z jediné použitelné podmínky statické ekvivalence mezi soustavou vnitřních elementárních sil v příčném průřezu danou smykovým napětím τ ~ k: a jejich výslednicí M X
Mx :
Mk =
Z
dMx =
ψ
Z
τ dSρ =
ψ
Z
Gϑρ2 dS = Gϑ
ψ
Z
statická ekvivalence
ρ2 dS = GϑJP ,
ψ
kde JP je polární kvadratický moment.
JP
Z rovnice dále plyne
geometrické vztahy
- poměrný úhel zkroucení ϑ - úhlové přetvoření
γ
- smykové napětí
τ (ρ)
předchozí
Mk GJP Mk ρ = ρϑ = GJ P =
= Gγ
⇒
OBSAH
napětí k τ (ρ) = M JP ρ
další
p12 – 7
12.5. Extrémní napětí k Smykové napětí τ (ρ) = M JP ρ bude maximální na největším poloměru příčného průřezu, τ (ρ) Mk Mk Mk tedy na vnějším obvodě: ρex = , τex = = JP JP Wk ρ ex P . kde jsme zavedli modul průřezu v krutu Wk = ρJex
Modul průřezu v krutu pro – kruhový průřez πR4 JP JP πR3 πD3 Wk = = = 2 = = ρex R R 2 16 – mezikruhový průřez " !4 4 # π (R4 − r4 ) 3 3 r πD πR d 1 − 1− = Wk = 2 = R 2 R 16 D
kvadratický moment
POZOR! Wk není aditivní veličina na rozdíl od kvadratických momentů (ve jmenovateli je stále ρex = R, nelze odečíst modul průřezu v krutu Wk2 malého kruhu od Wk1 velkého kruhu).
předchozí
OBSAH
další
p12 – 8
12.6. Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W . lineární pružnost Na trojnásobně elementární prvek Ω3 délky dx působí vnitřní elementární smyková síla τ dS~j, která při natoprvek čení prvku Ω3 o úhel dϕ vykoná práci geometrické 1 1 vztahy d0 = τ dSγdx. Aτ dS = τ dS AA 2 2 Hookův Energie napjatosti WΩ3 prvku Ω3 (po dosazení konstizákon τ ) a měrná energie napjatosti Λ tutivního vztahu γ = G (vztažená na jednotkový objem dSdx): WΩ3 = Aτ dS = Λ=
W Ω3 τ2 = dSdx 2G
⇒
τ2 dSdx, 2G 1 1 Λ = τ γ = Gγ 2 . 2 2
Poznámka: vztah pro měrnou energii napjatosti je analogický vztahu odvozenému u prostého tahu.
předchozí
OBSAH
tah
další
p12 – 9 Vztahy platí obecně pro smykovou napjatost. Energie napjatosti WΩ1 jednonásobně elek mentárního prvku se pak určí integrací přes příčný průřez ψ (a dosazením τ = M J ρ, JP =
RR
P
ρ2 dS) podle vztahu
ψ
W Ω1 =
ZZ ψ
W Ω3 =
ZZ ψ
ZZ ZZ τ2 Mk2 Mk2 2 Mk2 2 ρ dS = dSdx = ρ dxdS = dx dx, 2G 2GJP2 2GJP2 2GJP ψ
ψ
V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti
W (l) =
Zl 0
předchozí
W Ω1 =
Zl 0
Mk2 dx. 2GJP
OBSAH
další
p12 – 10
12.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice Deformace je popsána vzájemným úhlem natočení (zkroucení) dϕ dvou limitně blízkých ϑ(ϕ) příčných průřezů ψ1 a ψ2 elementárního prvku Ω1 Mk dx. ϑ(Mk ) dϕ = ϑdx = GJ P Úhel natočení ϕ průřezu, oddělujícího konečný prvek Ω0 , je dán integrálem po délce tohoto prvku xRR Mk (x) ϕ(xR ) = dx, xm GJP (x) kde xR je souřadnice těžiště průřezu, jehož natočení počítáme, xm je souřadnice těžiště vztažného průřezu (obvykle s nulovým natočením). Je-li v určitém úseku střednice Mk (x) =konst., GJP (x) =konst. a umístíme-li počátek souřadnicového systému do těžiště průřezu s nulovým natočením (xm = 0), pak ϕ(xR ) =
Mk x R , GJP
kde GJP se označuje jako tuhost příčného průřezu v krutu.
12.8. Deformace příčného průřezu U prostého krutu se rozměry ani tvar příčných průřezů nemění. Pokud by k tomu došlo, prutové jedná se o porušení prutových předpokladů a teorie prostého krutu neplatí (např. zborcení předpoklady příčného průřezu ztrátou tvarové stability při kroucení tenkostěnné trubky). stabilita předchozí
OBSAH
další
p12 – 11
12.9. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných krutem 12.9.1. Volný prut Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformaci a energii napjatosti u prutu namáhaného krutem při splnění prutových předpokladů. prutové Pro pruty s kruhovým a mezikruhovým příčným průřezem platí: předpoklady ZxR Zl Mk (xR ) Mk (xR ) Mk (x) Mk2 (x) τ= ρ; τex = ; ϕ(xR ) = dx; W (l) = dx. JP (xR ) Wk (xR ) GJP (x) 2GJP (x) 0
Je-li Mk (x) a S(x) nebo G podél střednice proměnný (ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté), pak je nutno i u krutu (podobně jako u namáhání tahem) rozdělit střednici prutu na intervaly, v nichž každá veličina je vyjádřena jediným funkčním vztahem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodech střednice, v nichž dochází ke změně materiálových charakteristik nebo funkcí popisujících průběh Mk (x) a příčný průřez. U krutu jsou smyková napětí rozložena po průřezu lineárně s extrémní hodnotou na vnějším obvodě. Nebezpečné body jsou tedy všechny body vnějšího obvodu v nebezpečném průřezu. předchozí
OBSAH
0
τ ϕ W tah střednice τex nebezpečný průřez
další
p12 – 12 Úhel natočení příčného průřezu stanovíme – z odvozeného vztahu pro úhel natočení průřezu, jehož těžiště má souřadnici xR : ϕ(xR ) =
ZxR 0
Mk (x) dx GJP (x)
natočení ~ B v rovině – z Castiglianovy věty – úhel natočení ϕB působiště osamělé silové dvojice M působení této silové dvojice je Castiglianova věta Zl ∂W Mk (x) ∂Mk (x) ϕB = = dx. ∂MB GJP (x) ∂MB 0
∂Mk (x) má obvykle hodnotu ±1, takže výsledky Oba vztahy jsou rovnocenné, derivace ∂M B se mohou lišit pouze znaménkem. Mezní stav deformace je dán dosažením funkčně nepříM pustné hodnoty úhlu natočení ϕM , bezpečnost vůči němu určíme ze vztahu kϕ = ϕϕmax . Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti se určí ze vztahu kK = τK . Zde nemůžeme |τmax | jako mezní hodnotu použít mez kluzu v tahu σK , ale mez kluzu ve smyku. Tato hodnota se v praxi neměří, ale určuje se na základě Trescovy podmínky plasticity (max τ ), ze které plyne τK = σ2K .
předchozí
OBSAH
MS deformace bezpečnost max τ
další
p12 – 13 12.9.2. Vázaný prut Prut namáhaný krutem bude uložen staticky určitě, jestliže je omezeno natočení příčného Příklad 501 průřezu v jednom bodě střednice. statický Z úplného uvolnění (pro oba uvedené případy ulo- rozbor žení prutu je při zatížení pouze silovými dvoji~ i jediným nenulovým vazebným účinkem cemi M ~ A ) vidíme, že je pouze složka stykového momentu M jedna použitelná podmínka statické rovnováhy X
Mx = 0 :
MA −
n X
Mi = 0
i=1
s=µ−ν =1−1=0
⇒ uložení staticky určité.
Ve všech ostatních případech uložení jsou pruty namáhané krutem uloženy staticky neurčitě.
předchozí
OBSAH
další
p12 – 14 K řešení vázaných prutů namáhaných krutem můžeme použít algoritmus uvedený v kapi- algoritmus tole 11.11.2 Vázaný prut. Jen je potřeba si uvědomit, že u tohoto případu – je jedinou použitelnou podmínkou statické rovnováhy momentová podP mínka k ose x, tedy Mx = 0, – vazbová deformační podmínka je určena úhlem natočení příčného průřezu kolem střednice prutu, a to v tolika jejích bodech, kolikrát je uložení staticky neurčité. Deformační podmínka opět může být homogenní, nehomogenní nebo podmíněná.
Příklad 507 Příklad 503 Příklad 505
Poznámka: V případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku. Deformační podmínky vyjadřujeme pouze pomocí silového působení, neobjeví se v nich vliv teploty a obvykle ani výrobních tolerancí. Vyskytne-li se u staticky neurčitě uloženého prutu namáhaného krutem významná změna teploty nebo nepřesnost délky, vyvolá vznik normálové síly a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (krut+tah nebo tlak).
předchozí
OBSAH
další
p12 – 15 – I u prutů namáhaných krutem nesmíme zapomenout na problematiku vrubů, kde dochází ke koncentraci napětí a přetvoření. Extrémní hodnotu napětí v kořeni vrubu určíme ze vztahu τex = ατn ,
Příklad 502 Příklad 504 Příklad 506
kde – α je součinitel koncentrace napětí určený z grafů, které byly vytvořeny pomocí výpočtových (MKP), resp. experimentálních (fotoelasticimetrie) metod pro různé tvary vrubů, – τn je nominální napětí v místě vrubu určené pomocí teorie prostého krutu. α grafy
12.10. Příklady k procvičování látky
předchozí
OBSAH
další
p12 – 16 Řešené příklady Příklad 507
Neřešené příklady Příklad 501
Příklad 502
Příklad 503
Příklad 504
Příklad 505
Příklad 506
předchozí
OBSAH
následující kapitola
