keywords: varia/rivier/rivier.tex
1
Efficient oversteken van een stromende rivier
Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De vraag is hoe kom hij zo vlug mogelijk aan de overkant. Voor we de oplossing geven, schematiseren we eerst het probleem. De rivier is recht en heeft overal een breedte L. De aanlegplaatsen bevinden zich recht tegenover elkaar. We nemen het coordinatenstelsel zo dat de stroom in de y-richting is en de dwarscoordinaat in de x-richting. De ene aanlegplaats bevindt zich op het punt (−L/2, 0) en de andere op (L/2, 0). Voor de stroming in de rivier nemen we een parabolisch profiel aan ! 4x 2 . (1) vs (x) = vm 1 − L In Fig. 1 is het profiel van de stroming in de rivier geschets. We nemen voorts aan dat de veerpont smal is ten opzichte van de rivier. De pont kan dus willekeurig dicht langs de oever varen, waar de stroming praktisch nul is. Dat betekent dat er altijd een oplossing is hoe snel ook de rivier stroomt. De veerpont heeft een maximumsnelheid v en als je vlug aan de overkant wilt komen zal je altijd op maximumsnelheid varen. Het heeft dus alleen zin om de vaarrichting te kiezen. We geven die aan door een hoek θ met de x-as. Het probleem is nu: welke functie θ(x) geeft de snelste overtocht? Men zou kunnen denken dat het verstandig is om steeds zo recht mogelijk over te steken. Dus dat θ(x) = 0 de beste oplossing is. Dan is men inderdaad snel aan de overkant, maar niet bij de aanlegplaats! Want de pont wordt met de stroom mee gesleurd. Men moet daarna nog een stukje langs de oever terugvaren. We noemen dit de triviale overtocht en berekenen de duur hiervan, omdat het een referentiepunt, ten opzicht waarvan men een verbetering kan meten. Bij de triviale overtocht is de pont in de tijd t0 = L/v aan de overkant. Ondertussen is de pont de afstand A afgedreven. A volgt als ! Z Z t0 Z L/2 vm L/2 4x 2 2 vm dt dx = 1− dx = L. (2) A= vs dt = vs (x) dx v −L/2 L 3 v 0 −L/2 De totale tijd van deze trivial overtocht is dus L+A 2 vm ttr = = t0 1 + . v 3 v
(3)
Om de optimale θ(x) te berekenen gaan we over op dimensieloze grootheden. Dat betekent dat we variabelen delen door de karakteristieke grootheid van het probleem. Wiskundig is het correcter om daarvoor nieuwe variabelen in te voeren. We geven de voorkeur er aan dezelfde symbolen te gebruiken, zodat hun betekenis duidelijk blijft. Dus we maken de vervangingen 2x t vm → x, → t, q= . (4) L t0 v 1
y
x Stroomsnelheid van de rivier
Figure 1: Stroomprofiel van de rivier
q is de basis parameter van het probleem; het is de verhouding van de maximum stroomsnelheid vm van de rivier tot de maximum snelheid v van de veerpont. Voor q = 0 (geen stroming) is de triviale overtocht optimaal. In deze gereduceerde grootheden zien de triviale overtochtstijd en het stromingsprofiel er uit als vs (x) = q(1 − x 2 ).
ttr = (1 + 2q/3),
(5)
De componenten van de snelheid van de veerpont worden vx = cos θ(x),
vy = sin θ(x) + vs (x).
De overtochtstijd wordt bepaald door vx en luidt Z1 Z1 dx dx tov = = . −1 vx −1 cos θ(x)
(6)
(7)
We moeten aan de eis voldoen dat de pont bij de aanlegplaats van de overkant uitkomt en dus netto geen verplaatsing in the y-richting heeft ondergaan. Dit geeft de conditie Z Z1 sin θ(x) + vs (x) vy dt = dx = 0. (8) cos θ(x) −1 2
Het probleem is de minimale tov te vinden door variatie van de functie θ(x) onder de bijvoorwaarde (8).
2
Oplossing van het variatie probleem
Variatie problemen van het bovengenoemde type worden opgelost met behulp van een Lagrange multiplier λ. In plaats van het minimaliseren van de integraal (7) varieren we de integraal Z1
1 sin θ(x) + vs (x) I= dx +λ . cos θ(x) cos θ(x) −1
(9)
onafhankelijk naar θ(x) én naar λ. Variatie naar θ(x) geeft de vergelijking Z1
sin θ(x)[sin θ(x) + vs (x)] sin θ(x) +λ 1+ δθ(x). (10) δI = dx cos2 θ(x) cos2 θ(x) −1
Variatie van I naar λ levert natuurlijk de bijvoorwaarde (8). Omdat de variatie δθ(x) willekeurig en nu ook onafhankelijk is, moet de integrand van (10) nul worden voor ieder punt x, wil I optimaal zijn. De variatie vergelijking luidt dus sin θ(x) + λ[1 + vs (x) sin θ(x)] = 0, (11) ofwel sin θ(x) =
−λ . 1 + λ vs (x)
(12)
Dit moet in de integraal (8) gesubstitueerd worden en dan hebben we een vergelijking voor λ, die λ geeft als functie van q. De functie λ(q) is de essentie van het probleem. De waarde van λ kan direct gerelateerd worden aan de hoek θ voor x = 1. Dan is immers de rivierstroming 0 en (12) reduceert tot sin θ(1) = −λ,
of wel
λ = (− arcsin θ(1)).
(13)
Omdat het verstandig is om bij de wal tegen de stroom in te sturen (een negatieve θ) zal λ positief uitvallen. Ook volgt hier direct uit dat λ ≤ 1. Dus de Lagrange multiplier λ ligt in het interval 0 ≤ λ ≤ 1. Met λ kennen we θ(x) en daarmee de baan door integratie van de snelheid met (6). Met (7) wordt de duur tv van de overtocht gegeven. De uitwerking van conditie (8) met de vorm (11) is niet eenvoudig. Er is één vereenvoudiging: θ(x) is een even functie van x. We kunnen ons dus beperken tot de halve integraal van 0 tot 1 omdat de andere helft hetzelfde bijdraagt.
3
De integraal voor λ
De integraal (8) wordt met substitutie van de oplossing (12) Z1 J(λ, q) = 0
−λ + vs (x)[1 − λvs (x)] dx. [(1 − λvs (x))2 − λ2 ]1/2 3
(14)
λ als functie van q 1
optimalisatie parameter λ
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1 0.5 verhouding q van maximum stroomsnelheid tot veerpontsnelheid
Figure 2: λ als functie van q.
λ en q worden als parameters gegeven, omdat de integraal alleen hiervan afhangt. J(λ, q) is een elliptische functie, maar dat is weinig behulpzaam in het vinden van de waarde van λ die J(λ, q) = 0 maakt. Het nulpunt geeft de waarde van λ als functie van q. Het is nuttig op te merken dat er een 1-op-1 relatie is tussen q en λ. De conditie J(λ, q) = 0 definieert ook hoe q afhangt van λ. Er zijn twee manieren om een beeld te krijgen van λ(q). De eerste is de integrand te ontwikkelen naar machten van q, of wat hetzelfde is, naar machten van vs (x). We vinden voor sin θ(x) de ontwikkeling sin θ(x) = −λ + λ2 vs (x) − λ3 vs3 (x) + · · ·
(15)
Dit geeft voor cos θ(x) p λ3 vs (x) · · · cos θ(x) = 1 − λ2 − √ 1 − λ2 In laagste orde krijgen we dus van (8) de vergelijking Z1 1 0= dx √ [−λ + vs (x) + · · ·]. 1 − λ2 0
(16)
(17)
Aangezien de integraal over vs (x) de waarde 2q/3 geeft hebben we als eerste term λ = 2q/3 + O[q3 ]. (18) We zien dus dat q = 0 (geen stroming) inderdaad θ(x) = 0 oplevert. Omdat λ in laagste orde als 2q/3 gaat is het geoorloofd om de machten λ als 4
hogere orde te beschouwen. Om de term q3 te berekenen moeten we al verschillende contributies in rekening brengen. Hogere orden worden al gauw uitzichtloos. De andere methode is gewoon numerieke integratie. Dat gaat goed voor niet al te grote q. Numeriek blijkt dat J(2q/3) > 0, dus λ moet groter zijn dan de lage q limiet (18). Anderzijds zagen we al dat λ niet groter dan 1 kan worden. Voor q > 1 komt de oplossing voor λ akelig dicht bij 1 te liggen. Het is dan voordeliger om het zoeken om te keren en bij een λ vlak onder 1 een bijbehorende waarde van q te vinden. Op die manier is het zoeken uit te breiden tot waarden van q < 1.5. Daarboven komt het zoeken weer in nieuwe numerieke moeilijkheden, omdat de integrand erg snel varieert met x in de buurt van x = 1. In Fig. 2 is λ als functie van q getekend voor q < 1.1 getekend. In Fig. 3
Optimale overtochtspaden
q=0.25 q=0.50 q=0.75 q=1.00
0.2
y
0.1
0
-0.1
-0.2
-1
-0.75
-0.5
0 -0.25 0.25 positie x in de rivier
0.5
0.75
1
Figure 3: Optimale banen als functie van q. zijn een aantal overtochts banen getekend voor een aantal waarden q. Voor q = 1 begint de baan een scherpe bocht langs de wal te vertonen. Dit wordt uitgesprokener naarmate de waarde van q toeneemt. In de laatste, Fig. 4, geven we de relatieve winst ten opzichte van de triviale overtocht als functie van q.
J.M.J. van Leeuwen, Leiden, december 2012
5
Relatieve winst van optimale t.o.v. triviale overtocht 1
efficientie van overtocht t.o.v de triviale
0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6
0
1 0.5 verhouding q van stroomsnelheid tot veerpontsnelheid
1.5
Figure 4: Relatieve tijdwinst ten opzichte van de triviale overtocht als functie van q.
6
