´ 0. UVOD - matematick´ e symboly, znaˇ cen´ı, ˇ c´ıseln´ e mnoˇ ziny V´ yroky V´yrok je kaˇzd´e sdˇelen´ı, u kter´eho lze jednoznaˇcnˇe rozhodnout, zda je ˇci nen´ı pravdiv´e. Kaˇzd´emu v´ yroku lze proto pˇriˇradit jedinou pravdivostn´ı hodnotu, ’ v´ yrok je vˇzdy bud pravdiv´ y, nebo nepravdiv´ y. Znaˇc´ıme je napˇr. V , V1 , V2 .
Nov´e sloˇzitˇejˇs´ı v´ yroky (tzv. sloˇzen´e v´yroky) se tvoˇr´ı z dan´ ych v´ yrok˚ u pomoc´ı logick´ych spojek a pˇr´ıp. z´avorek jako pomocn´ ych znak˚ u.
Z´ akladn´ı logick´ e spojky: Negace v´yroku ¬V, V¯ , non V ”nen´ı pravda, ˇze V ”, ”neplat´ı V ”, ”ne...” Konjunkce (logick´ y souˇcin) V1 ∧ V2 , V1 &V2 ”V1 a z´aroveˇ n V2 ”, ”V1 a souˇcasnˇe V2 ”, ”V1 a t´eˇz V2 ”, ”V1 i V2 ” Disjunkce (logick´ y souˇcet) V1 ∨ V2 ”V1 nebo V2 ”(nevyluˇcuje se pˇritom souˇcasn´a platnost obou spojovan´ ych v´ yrok˚ u) Implikace V1 =⇒ V2 ”jestliˇze V1 , potom V2 ”, ”z V1 plyne V2 ”, ”V1 implikuje V2 ”, ”V1 je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro V2 ”, ”V2 je nutnou podm´ınkou pro V1 ” V´ yrok V1 se naz´ yv´a pˇredpoklad, v´ yrok V2 z´ avˇer implikace (tvrzen´ı). Ekvivalence V1 ⇐⇒ V2 ”V1 pr´avˇe tehdy, kdyˇz V2 ”, ”V1 tehdy a jen tehdy, kdyˇz V2 ”, ”V1 je ekvivalentn´ı s V2 ”, ”V1 je nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro V2 ”
Tvrzen´ı vˇetˇsiny matematick´ ych vˇet lze vystihnout pomoc´ı tzv. kvantifikovan´ych v´yrok˚ u, jsou to obvykle sloˇzen´e v´ yroky obsahuj´ıc´ı kromˇe logick´ ych spojek nav´ıc jeˇstˇe kvantifik´ atory: 1
1. Obecn´y kvantifik´ator ∀x ∈ M : V (x) ”pro kaˇzd´ y prvek x ∈ M je pravdiv´ y v´ yrok V (x) ”, ”pro libovoln´ y prvek x ∈ M plat´ı v´ yrok V (x) ”, ”kaˇzd´ y prvek x ∈ M m´a vlastnost V (x) ” 2. Existenˇcn´ı kvantifik´ator ∃x ∈ M : V (x) ”existuje prvek x ∈ M s vlastnost´ı V (x) ”, ”lze naj´ıt prvek x ∈ M , pro kter´ y je pravdiv´ y v´ yrok V (x) ” (a) speci´alnˇe: ∃!x ∈ M : V (x) ”existuje pr´ avˇ e jeden prvek x ∈ M s vlastnost´ı V (x) ”
Mnoˇziny a operace s nimi Mnoˇzina ... soubor, shrnut´ı r˚ uzn´ ych objekt˚ u; tyto objekty se naz´ yvaj´ı prvky mnoˇ ziny. Znaˇcen´ı: mnoˇziny - velk´a p´ısmena (napˇr. A, B, M , Ω ) prvky mnoˇziny - mal´a p´ısmena (napˇr. x, y, a1 , a2 ) x ∈ M ... objekt x je prvkem mnoˇziny M y ̸∈ M ... objekt y nen´ı prvkem mnoˇziny M
Necht’ d´ale A, B jsou libovoln´e mnoˇziny. Rovnost mnoˇzin A = B znamen´a, ˇze mnoˇziny A, B obsahuj´ı tyt´eˇz prvky; symbolicky zaps´ano A = B ⇐⇒ (x ∈ A ⇔ x ∈ B) . Mnoˇzinov´a inkluze A ⊆ B : mnoˇzina A je podmnoˇzinou mnoˇziny B, pokud kaˇzd´ y prvek mnoˇziny A je t´eˇz prvkem mnoˇziny B ; symbolicky A ⊆ B ⇐⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) . Pro libovoln´e dvˇe mnoˇziny A, B je zˇrejm´a platnost n´asleduj´ıc´ı ekvivalence: A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) . 2
Mnoˇzina A je vlastn´ı podmnoˇzinou mnoˇziny B (symbolick´ y z´apis A ⊂ B), pokud je A ⊆ B a existuje alespoˇ n jeden prvek b ∈ B takov´ y, ˇze b ̸∈ A, neboli A ⊂ B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ A ̸= B) .
Pr´azdn´a mnoˇzina je mnoˇzina, kter´a neobsahuje ˇz´adn´ y prvek, znaˇc´ıme ji symboly ∅ nebo {}.
Mnoˇ zinov´ e operace: ’ Necht A, B jsou mnoˇziny (podmnoˇziny vhodn´e z´akladn´ı mnoˇziny U , zvan´e t´eˇz univerzum). Sjednocen´ı mnoˇzin A a B je mnoˇzina vˇsech prvk˚ u, kter´e leˇz´ı alespoˇ n v jedn´e z mnoˇzin A, B: A ∪ B := {x; x ∈ A ∨ x ∈ B} . Pr˚ unik mnoˇzin A a B je mnoˇzina takov´ ych prvk˚ u, kter´e jsou z´ aroveˇ n prvky mnoˇziny A i mnoˇziny B: A ∩ B := {x; x ∈ A ∧ x ∈ B} . Rozd´ıl mnoˇzin A a B je tvoˇren prvky mnoˇziny A, kter´e z´aroveˇ n nejsou prvky mnoˇziny B: A \ B := {x; x ∈ A ∧ x ̸∈ B} . Doplnˇek mnoˇziny A tvoˇr´ı vˇsechny prvky z´akladn´ı mnoˇziny U , kter´e nejsou prvky mnoˇziny A, k definici t´eto operace lze proto uˇz´ıt rozd´ıl mnoˇzin: AC = A¯ = −A := U \ A .
Plat´ı-li pro dvˇe mnoˇziny X, Y , ˇze ˇz´adn´ y prvek nen´ı souˇcasnˇe prvkem obou tˇechto mnoˇzin, tj.: X ∩ Y = ∅, naz´ yv´ame je disjunktn´ı mnoˇziny.
3
Kart´ezsk´y souˇcin mnoˇzin A, B je mnoˇzina (vˇsech moˇzn´ ych) uspoˇ r´ adan´ ych dvojic (a, b) prvk˚ u a ∈ A, b ∈ B (prvn´ı prvek je z prvn´ı mnoˇziny, druh´ y z mnoˇziny druh´e): A × B := {(a, b); a ∈ A, b ∈ B} .
Pozor! Kart´ezsk´ y souˇcin mnoˇzin obecnˇe nen´ı komutativn´ı operace, tj. z´aleˇz´ı na poˇrad´ı n´asoben´ ych mnoˇzin: A × B ̸= B × A pro nepr´azdn´e, r˚ uzn´e mnoˇziny A, B.
ˇ ıseln´e mnoˇziny, re´aln´a ˇc´ısla C´ ˇ ıseln´ C´ e mnoˇ ziny: • Pˇrirozen´a ˇc´ısla
N = {1, 2, 3, 4, . . .} ,
resp. N0 = N ∪ {0} . • Cel´a ˇc´ısla
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} .
• Racion´aln´ı ˇc´ısla
{
Q=
p ; p, q ∈ Z, q ̸= 0 q
}
.
• Re´aln´a ˇc´ısla R. • Komplexn´ı ˇc´ısla
C = {a + bi; a, b, ∈ R} ,
kde i je tzv. imagin´arn´ı jednotka, tj. symbol s vlastnost´ı i2 = −1.
4
Intervaly jsou d˚ uleˇzit´e podmnoˇziny mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel R : Pro a, b ∈ R, a < b, pouˇz´ıv´ame oznaˇcen´ı: uzavˇ ren´ y interval ⟨a, b⟩ := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} , otevˇ ren´ y interval (a, b) := {x ∈ R; a < x < b} , polouzavˇ ren´ e intervaly (a, b⟩ := {x ∈ R; a < x ≤ b} , .. zleva otevˇren´ y, zprava uzavˇren´ y, ⟨a, b) := {x ∈ R; a ≤ x < b} , .. zleva uzavˇren´ y, zprava otevˇren´ y. Pˇritom ˇc´ıslo a se naz´ yv´a poˇc´ateˇcn´ı bod a ˇc´ıslo b koncov´y bod intervalu. Vˇsechny v´ yˇse uveden´e intervaly jsou omezen´e intervaly. Neomezen´e intervaly jsou ⟨a, +∞) := {x ∈ R; x ≥ a} , (a, +∞) := {x ∈ R; x > a} , (−∞, b⟩ := {x ∈ R; x ≤ b} , (−∞, b) := {x ∈ R; x < b} , kde jsou a, b libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla. Zapamatujme si, ˇze +∞ ani −∞ nejsou re´aln´a ˇc´ısla, ale pouze matematick´e symboly (tj. nepatˇr´ı do R).
Pˇ r´ılohy ke kapitole 0: • Pˇr´ıloha 0.1 V´ yroky a mnoˇziny - rozˇs´ıˇren´ı tabulky pravdivostn´ıch hodnot logick´ ych spojek, negace sloˇzen´ ych v´ yrok˚ u a kvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u, pˇr´ıklady kvantifikovan´ ych v´ yrok˚ u, zad´an´ı mnoˇzin, vlastnosti pr´azdn´e mnoˇziny, vlastnosti mnoˇzinov´ ych operac´ı, pozn´amky ke kart´ezsk´emu souˇcinu mnoˇzin, mocnina mnoˇziny ˇ ıseln´e mnoˇziny - rozˇs´ıˇren´ı • Pˇr´ıloha 0.2 C´ vlastnosti operac´ı sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı re´aln´ ych ˇc´ısel, uspoˇr´ad´an´ı re´aln´ ych ˇc´ısel a jeho vlastnosti, omezenost mnoˇzin, maximum a minimum mnoˇziny, absolutn´ı hodnota re´aln´eho ˇc´ısla a jej´ı vlastnosti; komplexn´ı ˇc´ısla v algebraick´em a goniometrick´em tvaru, Gaussova rovina komplexn´ıch ˇc´ısel, operace s komplexn´ımi ˇc´ısly, Moivreova vˇeta a n-t´a odmocnina komplexn´ıho ˇc´ısla
5
