DISTRIBUSI PROBABILITAS DARI TOTAL BIAYA PERAWATAN KOMPONEN Suyono1 ABSTRACT Article discusses the probability distribution of the total maintenance cost of a component over a finite time horizon. The maintenance cost is assumed to be a function of the component lifetime. The marginal distribution of the total maintenance cost is presented in the form of Laplace transform. Article also presents the mean and second moment of the total maintenance cost. Keywords: Laplace transform, renewal process, total maintenance cost.
ABSTRAK Artikel membahas distribusi probabilitas dari total biaya perawatan komponen pada interval waktu berhingga. Biaya perawatan dianggap sebagai fungsi dari waktu hidup komponen. Distribusi probabilitas dari total biaya perawatan komponen, beserta mean dan momen keduanya disajikan dalam bentuk transformasi Laplace. Kata Kunci: transformasi Laplace, proses renewal, biaya maintenance total
1
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Jakarta, Jl.Pemuda Rawamangun, Jakarta
[email protected]
Distribusi Probabilitas … (Suyono)
165
PENDAHULUAN Perhatikan sebuah komponen yang merupakan elemen dari sebuah sistem. Agar sistem dapat bekerja dengan baik maka komponen tersebut harus dirawat. Perawatan dapat dilakukan secara preventif, yakni perawatan yang dilakukan sebelum komponen tersebut rusak, atau dilakukan penggantian ketika komponen sudah rusak. Dalam makalah ini dianggap kedua macam perawatan ini akan membuat komponen dapat bekerja kembali sebagaimana komponen yang baru. Terkait dengan perawatan komponen, salah satu kuantitas yang penting untuk dianalisa adalah total biaya perawatan (life-cycle cost) pada suatu interval waktu, lihat Wagner (1975). Beberapa peneliti telah membahas total biaya perawatan komponen. Harga harapan rata-rata biaya per satuan waktu dalam interval waktu [0,∞) telah dibahas oleh Noortwijk dan Frangopol (2004). Dalam makalah yang lain Noortwijk (2003) membahas sifat asimtotik dari variansi total biaya perawatan. Dalam makalah ini akan dibahas total biaya perawatan pada interval waktu berhingga [0,t], t ≥ 0. Susunan makalah ini adalah sebagai berikut. Di Bagian 2 dibahas model matematika untuk total biaya perawatan komponen. Selanjutnya di Bagian 3 dibahas distribusi probabilitas total biaya perawatan komponen yang disajikan dalam bentuk transformasi Laplace. Mean dan momen kedua total biaya perawatan disajikan pada Bagian 4. Bagian terakhir berisi sebuah contoh aplikasi.
MODEL TOTAL BIAYA PERAWATAN KOMPONEN Misalkan 0 = S0 < S1 < S2 < … adalah waktu-waktu dilakukannya perawatan (baik perawatan preventif maupun penggantian) suatu komponen dari sebuah sistem. Perawatan dilakukan sedemikian hingga akan menjadikan komponen dapat bekerja kembali sebagaimana komponen yang baru. Dengan asumsi ini barisan waktu-waktu perawatan dari komponen, yakni (Sj, j ≥ 1), dapat dimodelkan dengan proses renewal. Ini berarti bahwa waktu-waktu antar perawatan, yakni Tj = Sj – Sj-1,
j = 1, 2, 3, …,
merupakan variabel-variabel acak non-negatif, saling independen dan berdistribusi identik. Banyaknya perbaikan komponen yang dilakukan pada interval waktu [0,t], t ≥ 0, adalah N(t) = max{j ≥ 0 : Sj ≤ t}. Notasikan dengan Cj biaya perawatan yang dilakukan pada waktu Sj. Maka total biaya perawatan komponen pada interval waktu [0,t] dapat dinyatakan sebagai
⎧⎪ N ( t ) C , K (t ) = ⎨ ∑ j =1 j ⎪⎩0,
jika T1 ≤ t jika T1 > t
(1)
Selanjutnya akan diasumsikan ((Tj, Cj), j ≥ 0) merupakan barisan vektor acak non-negatif, saling independen dan berdistribusi identik dengan fungsi distribusi kumulatif bersama H(x,y) = P(Tj ≤ x, Cj ≤ y).
166
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 165-170
Secara khusus, jika barisan-barisan (Tj) dan (Sj) saling independen maka (K(t), t ≥ 0), merupakan proses renewal reward, lihat Ross (2003). Notasikan F dan G fungsi-fungsi distribusi kumulatif dari Tj dan Cj , yakni F(x) = H(x,∞) = P(Tj ≤ x) dan G(y) = H(∞,y) =P(Cj ≤ y). Transformasi Laplace Stieltjes dari F dan H masing-masing akan dinotasikan dengan ∞
F ( β ) = ∫ e − βx dF ( x) = E[e *
− βT j
]
0
dan ∞∞
H * ( β , α ) = ∫ ∫ e − βx −αy dH ( x, y ) = E[e
− βT j −αC j
]
0 0
dimana α, β ≥ 0.
DISTRIBUSI PROBABILITAS TOTAL BIAYA PERAWATAN Distribusi probabilitas dari total biaya perawatan K(t) yang disajikan pada persamaan (1) diberikan pada teorema berikut dalam bentuk transformasi Laplace. Teorema 1. Untuk α, β > 0 ∞
−αK ( t ) − βt ∫ E[e ]e dt = 0
1 − F * (β ) . β [1 − H * ( β , α )]
Bukti: Dengan mengkondisikan pada kejadian {T1 = s, Y1 = y} diperoleh, untuk α >0,
E[ e
−αK ( t )
∞
]=
t
∫ ∫ E[ e
−αK ( t )
| T1 = s, Y1 = y ]dH ( s, y )
y =0 s =0 ∞
+
∞
∫ ∫ E[ e
−αK ( t )
| T1 = s, Y1 = y ]dH ( s, y )
y = 0 s =t ∞
=
t
∫ ∫ E[ e
−α [ y + K ( t − s )]
]dH ( s, y ) + [1 − F (t )]
y =0 s =0
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan di atas diperoleh, untuk β > 0,
Distribusi Probabilitas … (Suyono)
167
∞
−αK ( t ) − βt ∫ E[e ]e dt = 0
∞
−α [ y + K ( t − s )] ]e − βt dH ( s, y )dt + ∫ [1 − F (t )]e − βt dt ∫ E[ e
∫ ∫
∞
∫ ∫
∞
t =0
∞
y =0 s =0
=
∞
t
t =0 y =0 s =0 ∞
=
∞
e −αy ∫ e − βt E[e −αK (t − s ) ]dtdH ( s, y ) +
∞
t =s
∫ ∫ e ∫e −αy
y =0 s =0 ∞
=
∞
∞
∫ ∫e
− β [ s +u ]
E[e
−αK ( u )
1
β
]dudH ( s, y ) +
u =0
−αy − βs
y =0 s =0
∞
dH ( s, y ) ∫ E[e −αK (u ) ]e − βu du + u =0
∞
= H * ( β , α ) ∫ E[e −αK (u ) ]e − βu du + u =0
1
β
∞
− ∫ F (t )e − βt dt 0
∞
1
[1 − ∫ e − βt dF (t )]
β 1
β
0
[1 − F * ( β )]
[1 − F * ( β )]
Sebagai akibatnya ∞
−αK ( t ) − βt ∫ E[e ]e dt = 0
1 − F * (β ) . β [1 − H * ( β , α )]
●
Untuk mendapatkan distribusi probabilitas dari K(t) transformasi Laplace di atas pada umumnya harus diinversi secara numerik yang algoritmanya dapat dilihat pada, misalnya Abate and Whitt (1992). Jika biaya perawatan Cj merupakan fungsi dari waktu hidup komponen, Tj, yakni jika Cj = c(Tj) untuk suatu fungsi Borel c, maka diperoleh teorema berikut. Teorema 2. Jika Cj = c(Tj) untuk suatu fungsi Borel c maka, untuk α, β > 0, diperoleh ∞
−αK ( t ) − βt ∫ E[e ]e dt = 0
1 − F * (β ) ∞
β [1 − ∫ e −αc ( s )− βs dF ( s )]
.
(2)
0
Bukti: Langkah-langkah pembuktian teorema ini serupa dengan bukti Teorema 1, hanya saja pada langkah pertama untuk menghitung transformasi Laplace dari K(t) dikondisikan pada kejadian {T1 = s} yang menghasilkan, untuk α >0,
E[e
−αK ( t )
t
] = ∫ E[e −α [ c ( s ) + K ( t − s )] ]dF ( s ) + [1 − F (t )] . 0
Selanjutnya dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan di atas bukti selesai. ●
MEAN DAN MOMEN KEDUA DARI TOTAL BIAYA PERAWATAN KOMPONEN Mean dari total biaya perawatan komponen K(t) sebagaimana disajikan pada persamaan (1) dengan biaya perawatan Cj = c(Tj) untuk suatu fungsi Borel c disajikan dalam teorema berikut. Teorema 3. Untuk β > 0, ∞
∫ E[ K (t )]e 0
168
− βt
∫ dt =
∞
0
c( s)e − βs dF ( s )
β [1 − F * ( β )]
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 165-170
Bukti: Dengan mengambil turunan pertama terhadap α pada kedua ruas persamaan (2) diperoleh ∞
∞
∫ E[− K (t )e
−αK ( t )
]e − βt dt =
[1 − F * ( β )][− ∫ c( s )e −αc ( s )− βs dF ( s)] 0
∞
β [1 − ∫ e −αc ( s ) − βs dF ( s )]2
0
.
0
Bukti selesai dengan mengambil α = 0 pada persamaan di atas.
●
Transformasi Laplace untuk momen kedua dari K(t) diberikan dalam teorema berikut. Teorema 4. Untuk β > 0, ∞
∞
∫ E[ K
2
(t )]e − βt dt =
∞
[1 − F * ( β )]∫ c 2 ( s )e − βs dF ( s ) + 2[ ∫ c( s )e − βs dF ( s )] 2 0
0
β [1 − F * ( β )]2
0
Bukti: Ambil turunan kedua terhadap α pada kedua ruas persamaan (2) dan selanjutnya ambil α = 0.
●
APLIKASI Anggap waktu-waktu antar perawatan komponen, Tj, saling independen dan berdistribusi identik dengan mean 1/2, yakni F ( x) = 1 − e −2 x , x ≥ 0 . Di sini barisan waktu-waktu perawatan (Sj, j ≥ 0) merupakan proses Poisson dengan laju (rate) 2. Untuk β ≥ 0,
F * (β ) =
2 . β +2
Anggap biaya perawatan komponen Cj = c(Tj) dengan c(s) = es, s ≥ 0. Maka
∫
∞
0
∞
c( s )e − βs dF ( s ) = ∫ e s e − βs 2e − 2 s ds = 0
2 β +1
Dan
∫
∞
0
∞
2
0
β
c 2 ( s )e − βs dF ( s ) = ∫ e 2 s e − βs 2e − 2 s ds =
.
Dengan menggunakan hasil-hasil pada Teorema 3 dan Teorema 4 diperoleh ∞
∫ E[ K (t )]e
− βt
0
dt =
2( β + 2) β 2 ( β + 1)
dan ∞
− βt 2 ∫ E[ K (t )]e dt = 0
Distribusi Probabilitas … (Suyono)
8( β + 2) 2 2( β + 2) + 3 2 β ( β + 1) β3
169
Kedua transformasi Laplace ini dapat diinversi secara analitik dan masing-masing menghasilkan
E[ K (t )] = 4t − 2(1 − e − t ) dan
E[ K 2 (t )] = 16t 2 + 36t + 6 − 38e − t + 8te − t . Dengan menggunakan Teorema 2 diperoleh ∞
∫ E[e 0
−1
−αK ( t )
]e
− βt
∞ ⎡ ⎤ (−α ) i dt = ( β + λ ) ⎢1 − λ ∑ ⎥ . + − ( β λ iA ) i ! = i 1 ⎣ ⎦ −1
Untuk mendapatkan distribusi probabilitas dari total biaya perawatan komponen transformasi Laplace ini harus diinversi secara numerik.
PENUTUP Dalam makalah ini telah dibahas model matematika untuk total biaya perawatan komponen pada interval waktu berhingga [0,t], t ≥ 0. Waktu-waktu perawatan komponen dimodelkan dengan proses renewal. Biaya perawatan komponen dianggap hanya bergantung pada lama waktu hidup komponen. Dengan asumsi-asumsi tersebut telah diperoleh hasil berupa distribusi probabilitas total biaya perawatan dalam bentuk transformasi Laplace ganda. Selain itu dalam makalah ini juga disajikan transformasi Laplace dari mean dan momen kedua total biaya perawatan. Sebagai kelanjutan dari hasil-hasil yang telah diperoleh dalam makalah ini kiranya menarik dan penting untuk dikaji sifatsifat asimtotik dari total biaya perawatan yang sampai sejauh ini belum penulis dapatkan.
DAFTAR PUSTAKA Abate, J. and Whitt, W. (1992), The Fourier-series method for inverting transforms of probability distributions, Queuing Systems 10, pp. 5 – 88. Ross, H.M. (2000), Introduction to Probability Models; Seventh Edition, Academic Press, San Diego. Van Noortwijk, J.M. and Frangopol, D.M. (2004), Two probabilistic life-cycle maintenance models for deteriorating civil infrastructures, Prob. Eng. Mech. 19, pp. 354-359. Van Noortwijk, J.M. (2003), Explicit formulas for the variance of discounted life-cycle cost, Reliability Engineering and System Safety 80, pp. 185 – 195. Wagner, H.M. (1975), Principle of Operations Research; Second Edition, Englewood Cliffs, New Jersey.
170
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 165-170
