DIPLOMOVÁ PRÁCE Výpo et dráhových element planetek a výpo et efemerid

MASARYKOVA UNIVERZITA P°írodov¥decká fakulta Ústav teoretické fyziky a astrofyziky

DIPLOMOVÁ PRÁCE Výpo£et dráhových element· planetek a výpo£et efemerid

Bc. Michaela Honková

Vedoucí diplomové práce: Ing. Jana Tichá

2008

Zde bych ráda pod¥kovala vedoucí práce Ing. Jan¥ Tiché z Observato°e Kle´ za pomocnou ruku p°i záv¥re£ných korekturách práce a panu Milo²i Tichému z téºe observato°e za neocenitelné rady, vst°ícný p°ístup i £etné konzultace, které umoºnily napsat tuto práci tak, jak ji nyní p°edkládám.

Prohla²uji, ºe jsem svou diplomovou práci napsala samostatn¥ a výhradn¥ s pouºitím citovaných pramen·. Souhlasím se zap·j£ováním práce a jejím zve°ej¬ováním.

V Brn¥ dne

Bc. Michaela Honková

2

Abstrakt: Tato práce se zabývá výpo£tem dráhových element· planetek a výpo£tem efemeridy tedy pozice t¥lesa na obloze v p°edem stanovený okamºik. Zmi¬uje vývoj porozum¥ní pojmu planetka. Dále za£íná p°edb¥ºným ur£ením dráhy, provedeným metodou Väisäla, a popisuje a aplikuje Gaussovu metodu pro ur£ení denitivní dráhy. Poukazuje na problémy provázející Gaussovu metodu, zejména její citlivost v·£i nep°esnostem ur£ení dráhy Zem¥, vstupující do výpo£tu. Navrhuje moºné dal²í kroky pro zp°esn¥ní dráhy. Pozorování provedená v rámci této práce byla odeslána Minor Planet Center a p°isp¥la k zp°esn¥ní drah pozorovaných t¥les. Klí£ová slova: planetka, dráha, efemerida

Abstract: This work deals with computation of orbital parameters of minor planets and computation of ephemerides - the position of the body on sky in given time. Also, development of understanding of a term 'minor planet' is mentioned. Then the work begins with preliminary orbit determination carried out by method of Väisäla and describes and applies Gauss method to determine nal orbital parameters. It points out weak points of method of Gauss, especially its great sensitivity to accuracy of Earths orbit parameters entering the calculations. The work suggests possible further steps to enhance the methods performance. The observations of minor planets carried out within this work were sent to Minor Planet Center and helped to rene the orbit parameters of the observed bodies. Keywords: asteroid, minor planet, orbit, ephemeris

3

Obsah 1 Úvod

6

2 Vývoj pojmu planetka

8

3 Uºité metody

12

3.1

asy a sou°adnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

Korekce

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1

Planetární aberace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2.2

Paralaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2.3

Precese a Nutace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3

Výpo£et efemerid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.4

Metoda Väisäla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.5

Gaussova metoda výpo£tu dráhy ze t°í pozorování . . . . . .

21

3.5.1

Výpo£et pomocných veli£in

. . . . . . . . . . . . . .

22

3.5.2

Aproximace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5.3

Zlep²ení aproximace

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.5.4

Ur£ení element· dráhy . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4 Vlastní realizace

33

4.1

Výpo£tový program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2

Dostupná vstupní data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3

Výpo£et dráhy vybraných t¥les

. . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3.1

Vzorové t¥leso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3.2

Planetka 2008 CN1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.3.3

Planetka 2008 CK70

39

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Shrnutí

42

Literatura

44 4

A Soupis provedených pozorování

5

45

Kapitola 1 Úvod Tato práce se zabývá výpo£tem dráhových element· planetek a výpo£tem efemerid. Ve svém úkolu tak navazuje na bakalá°skou práci [3], jejímº úkolem bylo získat metodu vhodnou k ur£ení p°edb¥ºné dráhy, umoº¬ující sledovat t¥leso dostate£n¥ dlouho pro pouºití d·kladn¥j²í metody výpo£tu dráhy, kterou se zabývám v této práci. Samotná práce je rozd¥lena do t°í hlavních celk·. Jelikoº se v této práci zabývám planetkami, první kapitola objas¬uje, co se v pr·b¥hu £asu pod pojmem planetka rozum¥lo, a zahrnuje náhled od dob objevu Ceres aº po velká transneptunická t¥lesa jako je Eris. Druhá kapitola je v¥nována teoretickým znalostem, na nichº je práce vystav¥na, a objas¬uje pouºité postupy. Za£íná letmou zmínkou £asto pouºívaných £as· a sou°adnic a pokra£uje p°es r·zné typy korekcí - objas¬uje, které z nich a pro£ je t°eba do této práce zahrnout. Popisuje pouºitý zp·sob výpo£tu efemerid, zmi¬uje metodu Väisäla a v¥nuje se zevrubnému matematickému postupu Gaussovy metody, a to dostate£n¥ podrobn¥, aby ji bylo moºno následováním o£íslovaných vzorc· pouºít k vlastním výpo£t·m. V t°etí £ásti je zmi¬ován program, vytvo°ený pro ú£ely této práce, a provedená pozorování malých t¥les slune£ní soustavy. Program je otestován na vzorovém t¥lese a následn¥ pouºit pro výpo£et drah dvou z pozorovaných t¥les. Výsledné dráhy jsou srovnány s drahami spo£tenými JPL [7].

6

Vzhledem k rozsahu této práce nebylo moºno se zabývat poruchovými drahami, v záv¥ru je v²ak krom¥ shrnutí základních poznatk· práce nastín¥n také dal²í postup, kterým je moºné se ubírat.

7

Kapitola 2 Vývoj pojmu planetka Od dávných dob lidé rozli²ovali na obloze hv¥zdy, a pohybující se M¥síc, Slunce a planety. Komety byly pod vlivem aristotelovského u£ení v Evrop¥ povaºovány za atmosférický jev, a jako takovým jim nebyla v¥nována pat°i£ná pozornost. Prvním, kdo tyto názory zpochybnil, byl Tycho Brahe, kterému se nepoda°ilo zm¥°it paralaxu komety v roce 1577. Proto konstatoval, ºe kometa musí být alespo¬ dv¥st¥krát dále, neº M¥síc, a nem·ºe tedy jít o atmosférický úkaz. O tém¥° dv¥ století pozd¥ji Edmund Halley rozli²il t°i zaznamenané komety jako r·zné návraty stejného t¥lesa a p°edpov¥d¥l její dal²í návrat na rok 1758, kterého se bohuºel nedoºil. O jedno desetiletí pozd¥ji, v roce 1766, p°i²el Titius s my²lenkou matematické °ady pro vyjád°ení vzdáleností planet od Slunce, známé jako TitiusBodeova °ada. Následný Herschel·v objev Uranu se zdál platnost této °ady potvrzovat, a tak na jejím základ¥ astronomové usoudili, ºe mezi Marsem a Jupiterem se nachází dal²í, dosud neobjevená planeta, kterou tato °ada p°edpovídá. Za ú£elem nalezení nové planety zorganizovali v roce 1800 první astronomický mezinárodní projekt. Planeta byla objevena italským astronomem Giuseppem Piazzim v lednu roku 1801, a sám Piazzi její velikost odhadoval na srovnatelnou s velikostí Zem¥. Asi m¥síc po objevu byla planeta ztracena. Její nalezení umoºnil aº geniální matematik Gauss, který vytvo°il vhodnou metodu k výpo£tu drah planetek a p°edpov¥d¥l polohu Ceres pro leden následujícího roku. Planetka byla na p°edpokládaném míst¥ skute£n¥ nalezena, a Gaussova metoda se s drobnými obm¥nami úsp¥²n¥ pouºívá dodnes.

8

B¥hem dal²ích padesáti let vzrostl po£et objevených planet o 16, v£etn¥ objevu planety Neptun výpo£tem zaloºeným na jeho gravita£ním p·sobení na Uran. Do roku 1855 byly planety mezi Marsem a Jupiterem povaºovány za velikostí srovnatelné s ostatními terestrickými planetami slune£ní soustavy, a byly jim také p°id¥lovány p°íslu²né gracké symboly. Jejich po£et v²ak nar·stal a s pokrokem v technice bylo moºné získat lep²í odhad jejich rozm¥r· - zmen²ily se na velikost ned·stojnou i pro tehdy známé m¥síce, a proto byla tato t¥lesa p°e°azena - za£ala být ozna£ována jako asteroidy

2

1

(hv¥zdám

podobné) £i planetky . O p·l století a víc jak £ty°i stovky objevených plane-

Obrázek 2.1: Symboly 'planet' mezi Marsem a Jupiterem

tek pozd¥ji astronomové za£ali spekulovat o moºném nalezení dal²í planety, nacházející se za Neptunem, práv¥ z gravita£ního p·sobení 'Planety X' na Uran - vliv Neptunu totiº nebyl schopen zcela vysv¥tlit pozorovanou dráhu

3

Uranu .

1 Název

asteroidy byl poprvé pouºit Herschelem jiº v roce 1802, v astronomické komu-

nit¥ se v²ak zpo£átku neuchytil.

2 Název

poprvé pouºit roku 1841 v britském 'The Nautical Almanac and Astronomical

Ephemeris' pro rok 1845.

3 Tomu

bylo tak proto, ºe hmotnost Neptunu nebyla známa dostate£n¥ p°esn¥. Opravy

se do£kala aº v roce 1989, kdy pomocí pozorování dráhy kosmické sondy Voyager 2 byla stanovena p°esn¥j²í hodnota.

9

Planetu se v²ak nepoda°ilo nalézt aº do roku 1930, kdy v únoru americký astronom Clyde W. Tombaugh objevil Pluto. B¥hem následujících let byla opakovan¥ odhadovaná hmotnost Pluta zmen²ována. Roku 1992 bylo po n¥kolikaletém hledání Davidem Jewittem a Jane Luu objeveno dal²í t¥leso za drahou Neptunu - planetka (15760) 1992 QB1. Situace, do které se o jeden a p·l století d°íve dostala planetka Ceres se opakovala, astronomové za£ali nabývat p°esv¥d£ení, ºe Pluto by se m¥lo p°esunout do kategorie planetek - p°esto v²ak z·stávalo dále planetou. Dal²í objevy vzdálených planetek v²ak následovaly a v roce 2003 byla za Neptunem objevena planetka Eris, t¥leso v¥t²í neº samotné Pluto. Situace Pluta byla nadále neudrºitelná a v srpnu roku 2006 se v Praze konal kongres Mezinárodní Astronomické Unie, který m¥l rozhodnout o jeho dal²ím osudu. Výnosem kongresu IAU 2006 je nov¥ denován pojem planetka i planeta, je

Obrázek 2.2: Nejv¥t²í známá t¥lesa za drahou Neptunu

zavedena nová kategorie trpasli£í planeta. Podle této nové denice je planeta t¥leso, které obíhá kolem Slunce a není satelitem, je dostate£n¥ hmotné na zaujmutí hydrostatické rovnováhy a také je ve svém okolí gravita£n¥ dominantní - svojí gravitací vy£istilo okolí své dráhy. Pokud je t¥leso dostate£n¥ hmotné na zaujetí hydrostatické rovnováhy, ale nikoliv jiº gravita£n¥ do-

10

minantní ve svém okolí, nazýváme jej trpasli£í planeta, a pokud nemá ani hmotnost pot°ebnou pro zaujetí hydrostatické rovnováhy, tak planetka. Tuto novou denici spl¬uje osm planet slune£ní soustavy. Ceres, Eris a Pluto byly za°azeny jako trpasli£í planety, a o umíst¥ní dal²ích t¥les do této kategorie se jedná.

11

Kapitola 3 Uºité metody 3.1

asy a sou°adnice

Sv¥tový £as. Je £asem £asto uºívaným v astronomii, a odpovídá £asu na nultém (Greenwichském) poledníku. B¥ºn¥ se zna£í jako GMT (Greenwich Mean Time) nebo UT (Universal Time). V zimním období je tento £as jednu hodinu pozadu oproti SE (st°edoevropskému £asu), v letním období pak o dv¥ hodiny pozadu (oproti SEL, st°edoevropskému letnímu £asu). Juliánské datum. Pohyb Zem¥ je do zna£né míry nepravidelný, a proto bylo zavedeno juliánské datum (JD), jako pravideln¥ plynoucí £as od jistého v minulosti dostate£n¥ vzdáleného £asového okamºiku (z denice poledne UT 1.1. 4713 p°. n. l.). Dny juliánského data mají p°esn¥ 86400 sekund. Krom¥ toho bylo zavedeno také Modikované juliánské datum (MJD), bez prvních dvou £íslic juliánského data a posunuté na p·lnoc:

M JD = JD − 2400000.5

UT.

Epocha. as udávaný u parametr· dráhy. Jde o £as, pro který má t¥leso zapsané parametry dráhy, v£etn¥ st°ední anomálie

M.

St°ední anomálie totiº ur£uje

polohu t¥lesa na dráze v dob¥ zapsané epochy. Epocha bývá uvád¥na ve sv¥tlovém £ase UT nebo v juliánském datu.

12

Ekvinokcium. Je £as, pro jehoº polohu jarního bodu platí n¥které typy sou°adnic. Parametry dráhy t¥lesa i rovníkové sou°adnice II. druhu (rektascenze a deklinace) jsou vztahovány k poloze jarního bodu, a jelikoº se poloha jarního bodu m¥ní (viz precese a nutace), je nutné uvést £as, pro který uvedené sou°adnice platí. Tímto £asem je práv¥ ekvinokcium. Heliocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice. St°edem sou°adnic tohoto systému je st°ed Slunce a hlavním sm¥rem sm¥r k jarnímu bodu. T°i sou°adné osy sledné hodnoty

X, Y, Z

x, y, z

jsou na sebe vzájemn¥ kolmé a vý-

jsou uvád¥ny v astronomických jednotkách (AU).

Sférické rovníkové sou°adnice II. druhu. Nejznám¥j²í z astronomických sou°adnic. V krátkém £asovém horizontu v °ád· m¥síc· mají hv¥zdy pozice v t¥chto sou°adnicích nem¥nné, coº byl hlavní d·vod k jejich zavedení. Hlavním sm¥rem je sm¥r k jarnímu bodu, v °ádu let £i déle se tedy bude projevovat efekt nepravidelnosti zemské rotace v pohybu jarního bodu, tedy i celého sou°adného systému. Délkovou sou°adnicí je rektascenze (R.A.,

α), po£ítána obvykle v hodinové mí°e od jarního bodu

v matematicky záporném sm¥ru, £ili sm¥rem východním. Rektascenze nabývá hodnot 0 aº 24 hodin. í°kovou sou°adnicí je deklinace (Decl.,

δ ),

po-

£ítána ve stupních. Deklinace m·ºe nabývat hodnot v rozmezí +90 aº -90 stup¬·.

3.2 3.2.1

Korekce Planetární aberace

Planetární aberace je zap°í£in¥na kone£nou rychlostí sv¥tla a pohybem planetky - v dob¥, kdy sv¥tlo od planetky cestuje k pozorovateli, se planetka mezitím posunula na své dráze dále. Pro zapo£tení planetární aberace pot°ebujeme znát vzdálenost od pozorovatele k planetce jednotkách (AU) v dob¥ pozorování

t.

ρ

v astronomických

Pak £as, ve kterém sv¥tlo planetku

opustilo, je

t◦ = t − Aρ, kde

A = 0.005772

dne je £as, po který sv¥tlo letí 1 AU.

13

(3.1)

Planetární aberace je v této práci v pr·b¥hu ur£ování parametr· dráhy zapo£ítávána. Krom¥ planetární aberace existují i jiné typy aberací, nejv¥t²í efekt z nich má ro£ní (hv¥zdná) aberace. Jelikoº je v²ak pozice t¥lesa na obloze ur£ována vzhledem k pozici okolních hv¥zd, na které hv¥zdná aberace také p·sobí, není t°eba ji zapo£ítávat. Ostatní typy aberací nemají v na²em p°ípad¥ rozeznatelný efekt a budou proto zanedbány.

3.2.2

Paralaxa

Paralaxa je efekt zp·sobený promítáním polohy blízkého t¥lesa na pozadí vzdálených hv¥zd, kdy pozorovatel v r·zných polohách zm¥°í jiné sou°adnice blízkého t¥lesa. Pozorování planetek jsou v¥t²inou provád¥na ze zemského povrchu - jsou tedy topocentrická, ale výpo£ty drah i efemerid se obvykle provád¥jí pro st°ed Zem¥ - tedy geocentricky. Oprava o efekt paralaxy daný posunem pozorovatele ze st°edu Zem¥ do místa pozorování je obvykle ponechán samostatnému °e²ení. Do výpo£tu parametr· dráhy vstupuje pozice Zem¥, kterou je moºno zredukovat na pozici pozorovatele. Pozici Zem¥ je moºno ur£it z parametr· dráhy Zem¥. Ve v¥t²in¥ dostupných katalog· ale pod parametry dráhy Zem¥ nenajdeme skute£n¥ parametry dráhy Zem¥, místo toho uvádí pro jednoduchost parametry barycentra Zem¥-M¥síc. Jelikoº aplikovat posun ze st°edu Zem¥ k pozorovateli na st°ed soustavy Zem¥-M¥síc postrádá smysl, rozhodla jsem se v této práci paralaktickou korekci zanedbat. Takovéto zjednodu²ení je moºno aplikovat pro v¥t²inu pozorovaných planetek. Pro blízkozemní t¥lesa, nacházející se v £ase pozorování poblíº Zem¥, v²ak zp·sobuje nep°ípustn¥ velké chyby.

3.2.3

Precese a Nutace

Precese. Zemská osa provádí tzv. precesní pohyb, kdy opisuje s periodou asi 26 000 let pomyslný kuºel. Kaºdý siderický rok, tedy kdyº bude Zem¥ znovu ve stejné poloze v·£i hv¥zdám, proto bude zemská osa nato£ená trochu jiným sm¥rem, práv¥ v d·sledku precesního pohybu. Zvolme si za sledovaný okamºik jarní rovnodennost - dobu, p°i které se Slunce nachází nad sv¥tovým rovníkem, a posunuje se k severní polokouli. Jelikoº kaºdý siderický rok bude zemská osa nato£ená trochu jinak, Slunce se bude na pozemské obloze

14

nacházet trochu jinde. A protoºe poloha Slunce na obloze v £ase jarní rovnodennosti ur£uje jarní bod, bude se posouvat také jarní bod. K jarnímu bodu ale vztahujeme parametry dráhy t¥lesa, ur£ující orientaci dráhy na obloze (argument ²í°ky perihélia

i),

ω,

délku výstupného uzlu

Ω,

sklon dráhy

takºe tyto parametry dráhy se také budou díky precesi m¥nit. Proto je

nutné uvád¥t u parametr· dráhy Ekvinokcium, tedy £as, pro jehoº polohu jarního bodu uvedené parametry dráhy t¥lesa platí. Ekvinokcium je také uvád¥no u nejpouºívan¥j²ího sou°adného systému v astronomii - sférických rovníkových sou°adnic II. druhu (α,

δ ),

jelikoº jejich po£átek je souhlasný

s jarním bodem. Nutace. Zemská osa neopisuje p°esný kuºel, ale je periodicky vychylována slapovými jevy. Toto vychylování se ozna£uje nutace a s precesním pohybem se s£ítá. Pozorování pro tuto diplomovou práci byla provád¥na pouze po n¥kolik m¥síc·, proto efekt precese a nutace není podstatný a nebyl brán v úvahu.

3.3

Výpo£et efemerid

Efemeridou se rozumí výpis poloh t¥lesa na obloze v zadaných £asových okamºicích. Pro t¥lesa slune£ní soustavy je výpo£et efemerid neodd¥litelnou sou£ástí p°ípravy pro pozorování t¥lesa, bez niº bychom nev¥d¥li, kde na obloze dané t¥leso hledat. Základem pro získání efemeridy je znalost parametr· dráhy t¥lesa (pro epochu

δ)

JD

parametry

a, M0 , e, ω , i, Ω

a

n)

a £asu

t,

pro který polohu (α,

ur£ujeme. Jelikoº parametry dráhy Zem¥ známe, získáme snadno polohu

t¥lesa na pozemské obloze. P°i výpo£tu pouºíváme velkou poloosu z°ejmé, ºe musí jít o uzav°ené dráhy (e (e

< 1).

a, je tedy

Efemeridu pro parabolickou

= 1) a hyperbolickou (e > 1) dráhu tímto zp·sobem nejsme schopni ur£it.

Planetky mají dráhy obecn¥ eliptické, pro ú£ely této práce tedy tato metoda výpo£tu efemerid posta£uje. P°i výpo£tu je nutné dbát na správný formát vkládaných úhl· - ideáln¥ pouºíváme radiány, pouze výsledky p°evedeme na stupn¥. Vyhneme se tak omyl·m, které vznikají, kdyº se pokou²íme se£ítat £íselné hodnoty se stupni místo radiány a podobn¥. asy jsou uvád¥ny v juliánském datu. Jelikoº po-

15

stup tohoto výpo£tu je tém¥° notoricky známý, vzorce nebudou odvozovány, a£koliv jejich vysv¥tlení chyb¥t nebude. P°edpokládejme eliptickou dráhu

(a) Kruhová a st°ední anomálie

t¥lesa s ob¥ºnou dobou

P,

(b) Excentrická anomálie

v jejímº jednom ohnisku je Slunce

je t¥leso nejblíºe ke Slunci pojmenováváme perihélium

ph.

S.

Bod, kdy

Jelikoº je dráha

eliptická, t¥leso se pohybuje podle druhého Keplerova zákona nestejn¥ velkou rychlostí. Pojmenujme úhel mezi pr·vodi£em t¥lesa a perihéliem pravá anomálie

ν.

P°edstavme si kruhovou dráhu o stejné dob¥ ob¥hu

P.

T¥leso se po ní bude

pohybovat konstantní velikostí rychlosti. Z toho plyne, ºe za jeden den urazí ◦ úhel n = 360 /T , st°ední denní pohyb. T¥leso nemá perihélium, je stále stejn¥ daleko od Slunce - prodluºme si tedy spojnici Slunce a perihélia ph ph0 . Za stejnou dobu t, za kterou

a pr·se£ík s kruhovou drahou ozna£me opí²e první t¥leso úhel

ν,

urazí toto t¥leso úhel

Posu¬me nyní kruºnici tak, aby body

ph

a

ph0

M

zvaný st°ední anomálie.

splynuly. Tímto bodem ob¥

T , v £ase pr·chodu perihéliem. Protoºe jsme kruhovou S 0 , kolem kterého t¥leso 2 obíhá a není jiº 0 dále totoºný se Sluncem. Úhel mezi sm¥rem z S k perihéliu a t¥lesem 2, 0 obíhajícím konstantní rychlostí po dráze s dobou ob¥hu P , nazýváme excentrickou anomálií E . t¥lesa prochází v £ase

dráhu posunuli, posunul se i bod

16

Vzájemný vztah mezi t¥mito veli£inami °e²í Keplerova rovnice 3.3. Nejprve spo£teme st°ední anomálii

Mt ,

kde

t0

je epocha, pro kterou máme vstupní

elementy dráhy - ur£uje tedy, kdy t¥leso m¥lo v elementech dráhy uvedenou st°ední anomálii

M0 . as t je okamºik, pro který nás poloha t¥lesa na obloze

zajímá.

Mt = M0 + n(t − t0 )

(3.2)

Keplerova rovnice nemá sama o sob¥ analytické °e²ení, je nutné ji °e²it numericky pomocí itera£ního postupu. V prvním p°iblíºení p°edpokládejme

M = E . Spo£teme nové E , znovu jej dosadíme a zísE . Obvykle po 2-3 iteracích je p°esnost E dostate£ná,

kruhovou dráhu, takºe káme zase p°esn¥j²í tedy

En+1 − En < ε. E = M + e sin E

(3.3)

Pravá anomálie je pak

s

ν = 2 arctan 



1+e E · tan  . 1−e 2

(3.4)

Navíc m·ºeme snadno spo£íst délku pr·vodi£e, která udává vzdálenost t¥lesa od Slunce (£i p°esn¥ji od gravita£ního st°edu soustavy).

r = a(1 − e cos E) [AU ] Dále spo£teme heliocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice t¥lesa (XT ,

YT , Z T )

a Zem¥ (XZ ,

YZ , ZZ ),

které jsou v astronomických jednotkách. Je-

jich rozdílem pak získáme sou°adnice t¥lesa v·£i Zemi, které p°evedeme na sférické rovníkové sou°adnice II. druhu - rektascenzi

α

a deklinaci

δ.

Heliocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice t¥lesa:

X = R(cos Ω cos L − sin Ω sin L cos i) Y = R(sin Ω cos L + cos Ω sin L cos i) Z = R sin L sin i √ a a+b = 1 + 1 − e2 R= 2 2 L=ω+ν−Ω 17

(3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

Elementy dráhy Zem¥ pro ur£itý £as jsou v¥t²inou pro zjednodu²ení vypo£ítány pro barycentrum Zem¥-M¥síc, takºe zapo£ítávat topocentrickou korekci nemá smysl. Pro t¥lesa v blízkosti Zem¥ je ale t°eba po°ídit si p°esn¥j²í elementy dráhy, p°ímo pro Zemi, a topocentrickou korekci zapo£ítat. Heliocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice Zem¥ získáme znovu pouºitím rovnic 3.5 aº 3.9. Geocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice t¥lesa, které mají st°ed posunut od Slunce do Zem¥

1

spo£teme

X = XT − XZ Y = YT − YZ Z = Z T − ZZ

(3.10) (3.11) (3.12)

Geocentrické sférické ekliptikální sou°adnice p°evedou na²i soustavu do sférického systému s ekliptikální délkou

λ

a ekliptikální ²í°kou

β.

Základní ro-

vinou této soustavy je rovina ekliptiky a základním sm¥rem sm¥r k jarnímu bodu.

λ = arctan(Y /X) β = arctan(Z/∆) √ ∆ = X2 + Y 2 + Z2

(3.13) (3.14) (3.15)

Sférické rovníkové sou°adnice II. druhu α, δ jsou naklon¥ny o sklon zemské ◦ rota£ní osy k ekliptice ε = 23.438641 . Od ekliptiky nahoru a dol· po£ítáme

δ =< +90, −90 >, od jarního bodu v matematicky kladném sm¥ru2 h h rektascenzi α =< 0 , 24 ).

deklinaci

δ = arcsin(sin β cos ε + cos β sin ε sin λ) ! cos β cos λ α = arccos cos δ Sou°adnice

α, δ

(3.16) (3.17)

p°evedeme z radián· na stupn¥ a rektascenzi vyd¥líme pat-

nácti, abychom ji m¥li v hodinové mí°e. Standartní zápis efemerid je pouºíván ve tvaru

1 resp.

od gravita£ního st°edu slune£ní soustavy do barycentra Zem¥-M¥síc, u p°esn¥j-

²ích element· dráhy Zem¥ pak do st°edu Zem¥

2 tedy

proti sm¥ru hodinových ru£i£ek

18

03337 Date 2008 2008 2008 2008

06 06 06 06

10 11 12 13

UT h m s 000000 000000 000000 000000

R.A. (J2000) Decl. 17 17 17 17

39 38 37 36

22.2 29.0 35.7 42.1

-20 -20 -20 -20

22 21 21 20

29 50 11 32

Delta

r

El.

Ph.

V

1.980 1.978 1.976 1.975

2.991 2.990 2.989 2.989

173.5 174.5 175.4 176.2

2.2 1.9 1.5 1.3

16.6 16.6 16.6 16.5

Sky Motion "/min P.A. 0.52 273.0 0.52 273.0 0.52 272.9 0.52 272.9

(03337) je £íslo planetky, pro které jsou efemeridy zapsány. Jako první údaj

rrrr mm dd hhmmss, a to deklinace δ pro uvedené ekvi-

ke kaºdé efemerid¥ zapisujeme £as ve formátu ve sv¥tovém £ase. Následuje rektascenze nokcium, v ukázce

J2000. Delta

α

a

je vzdálenost t¥lesa od pozorovatele v as-

El., Elongace, je úhel mezi sm¥rem pohledu ke Slunci a k t¥lesu ve stupních. P h.

tronomických jednotkách (AU),

r

vzdálenost t¥lesa od Slunce, v AU.

je Fáze, obdobná, jakou jeví nap°íklad Venu²e. P°i výpo£tu fáze se p°edpokládá t¥leso kulovitého tvaru. Fáze je m¥°ena od st°edu kotou£ku t¥lesa jako nejv¥t²í úhel ve stupních mezi dv¥ma sm¥ry k terminátoru t¥lesa, tedy linií mezi osv¥tlenou a neosv¥tlenou stranou. Fáze m·ºe nabývat hodnot ◦ ◦ mezi 0 a 180 . V ozna£uje p°edpov¥zenou jasnost ve V fotometrickém ltru v magnitudách.

SkyM otion: ”/min P.A.

udává rychlost pohybu po obloze

a pozi£ní úhel. Pozi£ní úhel po£ítáme od severu ve stupních sm¥rem k východu. R·zní auto°i mohou v efemeridách udávat r·zné veli£iny, podle toho,

Obrázek 3.1: Pozi£ní úhel

které se jim zdají vhodné vypo£ítat. V této práci se soust°e¤uji p°edev²ím na výpo£ty drah planetek, a proto výpo£et ostatních veli£in pro stru£nost zanedbám.

19

3.4

Metoda Väisäla

Pro výpo£et dráhových element· jsou dosta£ující t°i pozorování (p°edpokládáme-li naprostou p°esnost m¥°ení), poskytují nám totiº ²est údaj·, ze kterých je moºno spo£íst ²est pot°ebných parametr· dráhy. Metoda Väisäla po£ítá dráhu pouze ze dvou pozorování, je tedy z°ejmé, ºe ostatní "chyb¥jící" data musí n¥£ím nahradit - a to p°edpoklady. P°i výpo£tu dráhy touto metodou p°edpokládáme, ºe (1) t¥leso se p°i druhém pozorování nachází ve svém perihéliu. Jelikoº pouºíváme p°edpoklady, které jsou vºdy více £i mén¥ spln¥ny, tato metoda není vhodná k ur£ení denitivní dráhy. Uºite£ná je ale kdekoliv, kde nemáme je²t¥ dost dlouhý oblouk dráhy k pouºití jiných metod výpo£tu a pot°ebujeme pouze p°edpov¥d¥t polohu t¥lesa pro nejbliº²í dny a týdny, abychom prodlouºili pozorovaný oblouk dráhy t¥lesa. Taková situace nastává p°edev²ím t¥sn¥ po objevu t¥lesa, a jelikoº bývají nové planetky objevovány £asto poblíº perihélia, je tento p°edpoklad oprávn¥ný. (2) známe vzdálenost t¥lesa od pozorovatele. Tento p°edpoklad je jiº h·°e splnitelný, ale znovu je moºno vyuºít statistického p°ístupu a nastavit vzdálenost t¥lesa p°i objevu na rozumných 2.6 AU, p°ípadn¥ je moºno vzdálenost kvalikovan¥ odhadnout z rychlosti pohybu t¥lesa po obloze - t¥lesa poblíº Zem¥ budou velmi rychlá (i 100/min), planetky hlavního pásu pomalej²í ( 0.7/min), a t¥lesa Kuiperova pásu je²t¥ pomalej²í (0.04/min i mén¥). Krom¥ toho i objevová pozorování mívají více neº dva snímky - takºe n¥kolika výpo£ty pro r·zné geocentrické vzdálenosti se m·ºeme docela úsp¥²n¥ p°iblíºit hodnot¥, která bude pro výpo£et nepouºitých pozic lépe vyhovovat. Snaºit se za kaºdou cenu nalézt co nejp°esn¥j²í vzdálenost je zbyte£né, metoda je natolik hrubá, ºe dráhu tímto zp·sobem nejde p°íli² zp°esnit. Navíc pro blízkozemní £i velmi vzdálená t¥lesa, pro planetky, jejichº dráha je ru²ená gravitací jiných objekt·, stejn¥ jako pro t¥lesa, u nichº nejsou dob°e spln¥ny vý²e uvedené dva p°edpoklady, dostaneme nejspí²e velmi nep°esnou, £i zcela chybnou, dráhu. Pro podrobn¥j²í popis metody Väisäla v£etn¥ jejího matematického popisu doporu£uji literaturu [3].

20

3.5

Gaussova metoda výpo£tu dráhy ze t°í pozorování

V této £ásti je stru£n¥ uvedená Gaussova metoda tak, jak jsem ji ve své práci vyuºila. Pro podrobn¥j²í a rozsáhlej²í výklad této metody doporu£uji knihu [1]. Pro samotný výpo£et slouºí pouze o£íslované vzorce. B¥hem výpo£tu musí veli£iny spl¬ovat také dal²í vztahy v samotném výpo£tu nepouºité tyto vztahy slouºí jako kontrola správnosti výpo£tu. Vstupními údaji Gaussovy metody jsou t°i pozorování. Kaºdé z pozorování sestává z £asu pozorování

t uvedeném v UT, rektascenze α a deklinace δ

po-

zorované planetky uvedené vzhledem k ekvinokciu roku pozorování a opravené o paralaxu - tedy vztaºené vzhledem ke st°edu Zem¥. Navíc je t°eba mít ke kaºdému £asu pozorování heliocentrické pravoúhlé ekliptikální sou°adnice Slunce

X, Y

a

Z , a to ke stejnému ekvinokciu, jako sou°adnice planetky.

P°i výb¥ru pozorování je vhodné uváºit, ºe tato metoda není primárn¥ ur£ena pro výpo£et drah p°i velmi krátkém sledovaném oblouku dráhy p°esnost metody je v p°iblíºení úm¥rná plo²e, vyty£ené na obloze t°emi pouºitými polohami planetky. P°i krátkém oblouku dráhy doporu£uji vyuºití väisälovské metody, rozebrané v [3]. Gaussova metoda výpo£tu dráhy nejprve vykreslí ze t°í pozic pozorovatele (tj. z pozice v £asech

t1 , t2

a

t3 )

sm¥ry pohledu k t¥lesu. Pak je protne ro-

vinou, procházející st°edem Slunce (p°esn¥ji gravita£ním st°edem slune£ní soustavy); a to tak, aby po vykreslení kuºelose£ky, procházející pr·se£íky sm¥r· pohledu a roviny, v jejímº ohnisku je st°ed Slunce (resp. gravita£ní st°ed slune£ní soustavy), spl¬ovaly dvojnásobky ploch mezi 1. a 2. pr·vodi£em

[r1 r2 ],

a 2. a 3. pr·vodi£em

[r2 r3 ],

Keplerovy zákony. Gauss ukázal, ºe

plochy mezi pr·vodi£i m·ºeme spo£íst p°esn¥ i bez p°edchozí znalosti parametr· dráhy a ob¥ºné doby t¥lesa, a proto tato metoda výpo£tu nese jeho jméno. Tak získáme t°i polohy t¥lesa v prostoru a ur£ení parametr· dráhy se stává triviálním problémem.

21

3.5.1

Výpo£et pomocných veli£in

Geocentrické a heliocentrické sou°adnice t¥lesa jsou spolu sp°aºeny vztahy:

ρi cos δi cos αi = xi + Xi ρi cos δi sin αi = yi + Yi ρi sin δi = zi + Zi pro i = 1, 2, 3, kde

ρi

je neznámá vzdálenost t¥lesa,

δi

a

αi

ze snímku zm¥°ené sou°adnice

t¥lesa, známé heliocentrické sou°adnice Slunce jsou heliocentrické sou°adnice t¥lesa

xi , yi

a

zi .

Xi , Yi

a

ai = cos δi cos αi bi = cos δi sin αi ci = sin δi pro i = 1, 2, 3, kde

ai , bi , ci vyty£ují sm¥r a2i + b2i + c2i = 1

Zi a neznámé ρi , získáme

Pod¥líme-li rovnice

(3.18) (3.19) (3.20)

pohledu k t¥lesu.

Kontrola:

Pak také platí pro heliocentrické sou°adnice t¥lesa vztahy 3.42, 3.51 a 3.44. Vyjdeme z obecné rovnice roviny

Ax + By + Cz + D = 0,

a napí²eme ji

pro kaºdé pozorování. Pro netriviální p°ípady, se zahrnutím ploch trojúhelník· vyty£ených pr·vodi£i, a substitucí t¥chto ploch za a

n3 = [r1 r2 ]/[r1 r3 ]

3

n1 = [r2 r3 ]/[r1 r3 ]

získáme rovnice

n1 x1 − x2 + n3 x3 = 0 n1 y1 − x2 + n3 y3 = 0 n1 z1 − x2 + n3 z3 = 0 a dosazením heliocentrických sou°adnic t¥lesa pak

a1 n1 ρ1 − a2 ρ2 + a3 n3 ρ3 = n1 X1 − X2 + n3 X3 b1 n1 ρ1 − b2 ρ2 + b3 n3 ρ3 = n1 Y1 − Y2 + n3 Y3 c 1 n 1 ρ1 − c 2 ρ2 + c 3 n 3 ρ3 = n 1 Z 1 − Z 2 + n 3 Z 3 . 3 podrobn¥j²í

výklad jejich odvození viz [1]

22

(3.21) (3.22) (3.23)

n 1 ρ1 D, d1 , d2

Tato soustava rovnic je numericky °e²ena tak, ºe

a

eliminovány a dostaneme °e²ení s koecienty

a

n3 ρ3 jsou z rovnic d3 , r·znými podle

zvoleného postupu numerického °e²ení, v rovnici ve tvaru

−Dρ2 = d1 n1 − d2 + d3 n3 3.5.2

(3.24)

Aproximace

Nyní je pot°eba zjistit pom¥ry ploch mezi pr·vodi£i, vyjád°ené veli£inami

n1 a n3 . P°edpokládejme obecný dvoudimenzionální p°ípad, pak bude pohyb t¥lesa vyjád°en vztahy

2 d2 x 2 x d y 2 y = −k , = −k . dt2 r3 dt2 r3 Je vhodné zvolit novou £asovou jednotku nováno, tedy

τ = kt.

τ

tak, aby

k

bylo z rovnic elimi-

Pro t°i m¥°ení ve výpo£tu bude

τ1 = k(t3 − t2 ), τ2 = k(t3 − t1 ), τ3 = k(t2 − t1 ) k = 0.01720210

(3.25)

Encke ukázal, ºe

τ

τ

1 + τ21 1 + τ32 τ3 1 τ1 1 + τ1 τ3 3 , n 3 = + τ1 τ 3 3 . n1 = τ2 6 r2 τ2 6 r2 Ozna£me si

n◦1 = ν1 = 61 τ1 τ3 (1 + Kontrola: Kontrola:

τ1 , τ3 n◦1 ),

n◦3 = ν3 =

τ3 τ2 1 τ τ (1 6 1 3

(3.26)

+ n◦3 ),

(3.27)

n◦1 + n◦3 = 1 ν1 + ν3 = 21 τ1 τ3

pak získáme rovnici 3.36. K jejímu výpo£tu ale pot°ebujeme je²t¥ pr·vodi£

r2 .

4

Dosazením rovnice 3.26 do 3.24 získáme rovnici

−Dρ2 = d1 n◦1 − d2 + d3 n◦3 + 4 pokud

d1 ν1 + d3 ν3 r23

dráha t¥lesa leºí v rovin¥ ekliptiky, nelze získat

r2 ,

a je nutné uchýlit se k

metod¥ výpo£tu dráhy ze £ty° pozorování. Zárove¬, £ím men²í je sklon dráhy t¥lesa k

i

rovin¥ ekliptiky ( ), tím nep°esn¥j²í hodnotu

r2

23

je moºno touto rovnicí získat.

a po vytknutí

ρ2

rovnici 3.31, kde

k0 = Kontrola:

d1 n◦1 − d2 + d3 n◦3 d1 ν1 + d3 ν3 , l0 = −D D

k0 = l0 : R23

(3.28)

(p°ibliºn¥)

Nyní jsme vyjád°ili pr·vodi£

r2

pouze pomocí jedné neznámé,

ρ2 . Z geome-

Obrázek 3.2: Geometrické uspo°ádání problému

trie problému, viz 3.2 vyplývá vztah 3.32, kde

2Ri cos θi = −2(ai Xi + bi Yi + ci Zi ) Ri2 = Xi2 + Yi2 + Zi2 . Kontrola:

(3.29) (3.30)

(Xi − ai )2 + (Yi − bi )2 + (Zi − ci )2 = Ri2 + 2Ri cos θi + 1

Zbývá vy°e²it následující dv¥ rovnice

l0 r23 = R22 + 2R2 ρ2 cos θ2 + ρ22 ,

ρ2 = k 0 −

(3.31)

r22

(3.32)

a to itera£ní metodou. V prvním p°iblíºení pro planetky je

ρ2 = k 0 .

Tak

r2 , s kterým spo£teme p°esn¥j²í ρ2 , a tak dále. Konvergenci je moºno k0 = ρ2 = ρ2,i , a hodnotu získanou z aproximace ρ2,f 1 = ρ2,i + ∆1 . Pak druhá hodnota, získaná aproximací, bude ρ2,f 2 = ρ2,f 1 + ∆2 a t°etí hodnota p°i lineárním p°iblíºení bude

získáme

urychlit. Ozna£me si první hodnotu

∆1 = ρ2,f 1 − ρ2,i ∆2 = ρ2,f 2 − ρ2,f 1 ∆21 ρ2,f 3 = ρ2,i + ∆1 − ∆2 24

(3.33) (3.34) (3.35)

Kone£n¥ se tedy m·ºeme pustit do °e²ení rovnic

n1 = n◦1 + Z rovnic 3.23 získáme a

n 1 ρ1

a

ν1 ν3 , n3 = n◦3 + 3 . 3 r2 r2

n 3 ρ3 ,

(3.36)

abychom je mohli pouºít pro výpo£et

ρ1

ρ3 : 1 (n1 X1 − X2 + n3 X3 + a2 ρ2 ) a3 1 = (n1 X1 − X2 + n3 X3 + a2 ρ2 − a3 n3 ρ3 ) a1 n1 ρ1 n 3 ρ3 , ρ3 = . = n1 n3

n 3 ρ3 =

(3.37)

n 1 ρ1

(3.38)

ρ1

(3.39)

Tyto hodnoty, spolu s p°edchozími výpo£ty z 3.29 a 3.30 umoº¬ují spo£íst zbylé dva pr·vodi£e

r12 = R12 + 2R1 ρ1 cos θ1 + ρ21 r32 = R32 + 2R3 ρ3 cos θ3 + ρ23 .

(3.40) (3.41)

Pak jsou heliocentrické sou°adnice t¥lesa

xi = ai ρi − Xi yi = bi ρi − Yi zi = ci ρi − Zi , kde i = 1, 2, 3. Kontrola:

3.5.3

(3.42) (3.43) (3.44)

x2i + yi2 + zi2 = ri2 . Zlep²ení aproximace

Nyní jiº známe vzdálenost t¥lesa v kaºdém ze t°í okamºik· pozorování, takºe m·ºeme opravit pozorování o planetární aberaci.

t◦i = ti − Aρi ; A = 0.005772dne S opravenými £asy p°epo£teme

τi , n 1

a

n3 :

τ1 = t◦3 − t◦2 ; τ2 = t◦3 − t◦1 ; τ3 = t◦2 − t◦1 n1 = ττ12 ; n3 = ττ32 25

(3.45)

(3.46) (3.47)

Dále nás bude zajímat pom¥r plochy opsané pr·vodi£em k plo²e vyty£ené trojúhelníkem s vrcholy ve dvou heliocentrických sou°adnicích t¥lesa a ohnisku opisované elipsy. T¥leso se nachází v bod¥ x, y, z v £ase t a v bod¥ x0 , y 0 , z 0 v £ase t0 . Tedy za £as t0 −t se posune o úhel mezi pr·vodi£i v 0 −v = 2f . 0 0 0 0 Pak z geometrie problému vidíme, ºe platí rr cos 2f = xx + yy + zz . √ 0 Ozna£me si κ = 2 rr cos f , takºe

κ21 = 2(r2 r3 + x2 x3 + y2 y3 + z2 z3 ), κ22 = 2(r1 r3 + x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 ), κ23 = 2(r1 r2 + x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ). Ozna£me si dvojnásobky plochy opsané mezi kaºdými dv¥ma pr·vodi£i

(3.48) (3.49) (3.50)

(r1 r2 ),

(r2 r3 ) a (r1 r3 ). Pom¥r t¥chto ploch k plochám trojúhelník·, které pr·vodi£e vyty£ují, nech´ jsou

y¯1 =

(r2 r3 ) (r1 r3 ) (r1 r2 ) , y¯2 = , y¯3 = . [r2 r3 ] [r1 r3 ] [r1 r2 ]

Od prvního °e²ení podaného Gaussem vyvinulo mnoºství dal²ích autor· metody, jak pom¥ry t¥chto ploch spo£íst, mezi nejznám¥j²í bude jist¥ pat°it Encke. V této práci se °e²ením úlohy pom¥r· uvedených ploch pro stru£nost zabývat nebudeme, a uvedeme jen vzorce nutné k výpo£tu. Hansen také ukázal, jak je moºno

y¯i

získat:

y¯i =

1+

kde

h1 = h2 = h3 =

10 11

11 h 9 i 11 h 1+ 911 i hi 1+ 9...

τ12 r2 +r3 κ1 + ) 3 2 2 τ2 κ r +r κ22 ( 32 + 1 2 3 ) 2 τ3 κ r +r κ23 ( 33 + 1 2 2 ) κ21 (

(3.51)

(3.52) (3.53) (3.54)

Pokud t¥leso prochází více jak 30% oblouku své dráhy, je vhodn¥j²í pouºít p°esn¥j²í Gauss·v postup:

τi2 κ3i 1 r 2 + r3 = −1 2 κ1

mi = l1

26

(3.55)

(3.56)

1 r 1 + r3 −1 2 κ2 1 r 1 + r2 −1 = 2 κ3 mi = − li y¯i 2 mi = 5 , + li + ξi 6

(3.57)

l3

(3.58)

xi hi kde

ξi

l2 =

(3.59) (3.60)

nalezneme v [1] v tabulce VIII a na CD v p°íloze této práce. Následn¥

spo£teme novou hodnotu

y¯i

podle vzorce 3.51.

První Kepler·v zákon °íká, ºe pom¥ry ploch opsaných pr·vodi£em jsou úm¥rné dob¥, po kterou tuto plochu opisovaly, tedy

n1 =

τ3 y¯2 τ1 y¯2 , n3 = . τ2 y¯1 τ2 y¯3

Vyuºijeme-li zna£ení, zavedeného v 3.36, pak

y¯2 y¯2 , n3 = n◦3 . (3.61) y¯1 y¯3 Jestliºe tyto nové hodnoty n1 a n3 jsou dostate£n¥ stejné s hodnotami, získan1 = n◦1

nými vzorci 3.36, je moºné pokra£ovat p°ímo výpo£tem dráhových element·. Jinak p°epo£teme

!

ν1 =

n◦1

!

y¯2 y¯2 − 1 r23 , ν3 = n◦3 − 1 r23 , y¯1 y¯3

(3.62)

a výpo£ty 3.28 aº 3.61 jsou zopakovány. Kontrola po dokon£ení aproximací: Hodnoty

x2 , y2

a

z2 ,

3.42, 3.51 a 3.44 musí souhlasit s hodnotami

x2 = n1 x1 + n3 x3 y2 = n1 y1 + n3 y3 z2 = n1 z1 + n3 z3 . Navíc, dosazením spo£tených údaj· do úvodních rovnic

ρi cos δi cos αi = xi + Xi ρi cos δi sin αi = yi + Yi ρi sin δi = zi + Zi pro i = 1, 2, 3 27

získané z rovnic

je moºno získat spo£tené pozice t¥lesa

(αi , δi ),

které m·ºeme porovnat se

skute£n¥ pozorovanými pozicemi.

3.5.4

Ur£ení element· dráhy

Z geometrie je jasn¥ z°ejmé, ºe druhá mocnina dvojnásobku plochy trojú-

r1

helníku vyty£eného pr·vodi£i

a

r3

je rovna sou£tu druhých mocnin ploch

pr·m¥t· této plochy do sou°adnicových rovin, tedy

[r1 r3 sin(ν3 − ν1 )]2 = (y1 z3 − z1 y3 )2 + (z1 x3 − x1 z3 )2 + (x1 y3 − y1 x3 )2 , nebo také

r1 r3 cos(ν3 − ν1 ) = x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 . Ozna£me si

x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 , r12 x3 − σx1 , y3 − σy1 , z3 − σz1 , x20 + y02 + z02 ,

σ = x0 y0 z0 r02

= = = =

(3.63) (3.64) (3.65) (3.66) (3.67)

pak vý²e uvedené rovnice p°echázejí na tvar

r0 , r3 σr1 x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 cos(ν3 − ν1 ) = = , r3 r1 r3 sin(ν3 − ν1 ) =

který umoº¬uje spo£ítat úhel pro rozdíl pravých anomálií

(3.68) (3.69)

(ν3 − ν1 ), a to tak,

ºe sinus i kosinus musí oba náleºet hledanému úhlu. Zvlá²t¥ je t°eba dát pozor na ur£ení správného kvadrantu. Z denice

zapí²eme indexy pro

√ τ p (rr0 ) = 0 y¯ = [rr0 ] rr sin 2f y¯2

a vytkneme:

√

p=

r1 r 0 y¯2 τ2 28

(3.70)

Rovnice pro popis kuºelose£ky s ohniskem v po£átku sou°adnic je

r=

p . 1 + e cos ν r1

Zapí²eme tyto rovnice pro pr·vodi£e tkneme

q1

a

a

r2 ,

substituujeme

cos ν = q

a vy-

q2 : q1 =

p p − 1, q3 = − 1. r1 r3

(3.71)

q1 umoºe cos ν1 .

Tyto rovnice m·ºeme p°epsat do tvaru, který spolu se substitucí pro

ν1 ,

¬uje získat úhel pro pravou anomálii

a to ze znalosti

e sin ν1

e cos ν1 = q1 , q1 cos(ν3 − ν1 ) − q3 e sin ν1 = . sin(ν3 − ν1 )

a

(3.72) (3.73)

ν3 = ν3 + ν1 − ν1 , m·ºeme hned spo£ítat také pravou ν1 a e sin ν1 excentricitu dráhy e. Excentricita excentricity ϕ jsou navzájem ekvivalentní parametry dráhy,

Jelikoº je z°ejmé, ºe anomálii

ν3 ,

dráhy a úhel

a ze známých

takºe m·ºeme snadno spo£íst i druhý z nich.

ν3 = ν1 + (ν3 − ν1 ) e sin ν1 e= sin(ν1 ) ϕ = arcsin e

(3.74) (3.75) (3.76)

2 Parametr p = b /a. Z geometrie elipsy víme, ºe numerická výst°ednost √ 2 2 e = a − b /a, takºe po vyjád°ení velké poloosy a a dosazení za malou poloosu

b2

dostaneme velkou poloosu

a=

a:

p 1 − e2

(3.77)

Tímto jsme získali tvar dráhy t¥lesa, hodnoty velké poloosy

e.

a a výst°ednosti

Z rozboru problému dvou t¥les, dostupném b¥ºn¥ v literatu°e, nap°. [1],

vyuºijeme rovnice

1 tan E1 = 2

s

1 tan E3 = 2

s

1−e 1 tan ν1 , 1+e 2

1−e 1 tan ν3 . 1+e 2

29

(3.78)

(3.79)

Tak dostaneme hodnoty excentrických anomálií E1 a E3 . √ 1 Kontrola: a cos ϕ sin( (E3 − E1 )) = r1 r3 sin( 21 (ν3 − ν1 )). 2 Z Keplerovy rovnice denní pohyb

E = M + e sin E

spo£teme st°ední anomálie

M . St°ední

µ získáme z rozdíl· st°edních anomálií za rozdíl £asu (ve dnech)

pozorování, tedy z toho, jaký úhel t¥leso urazilo mezi dv¥ma £asy. Zárove¬ st°ední denní pohyb

µ

souvisí díky t°etímu Keplerovu zákonu s velkou po-

loosou.

M1 = E1 − e sin E1 , M3 = E3 − e sin E3 , k 1 = a3/2 µ = Mt33 −M , −t1

(3.80) (3.81)

kde k = 3548.18800 . (3.82) Kontrola: Ob¥ získané hodnoty

µ

musí být shodné.

Epocha pomáhá ur£it polohu t¥lesa na dráze, a to tak, ºe ve zvolenou epochu má t¥leso v parametrech dráhy uvedenou st°ední anomálii pohybuje po dráze st°edním denním pohybem vybranou epochu

t0 ,

µ,

M0 . T¥leso se

a proto nyní musíme pro

pro kterou budou elementy dráhy, p°epo£ítat st°ední

anomálii

M0 = M1 + µ(t0 − t◦1 ) = M3 + µ(t0 − t◦3 ). Kontrola: Ob¥ získané hodnoty

M0

(3.83)

musí být shodné.

Spo£t¥me nyní sm¥rové kosiny dráhy

P

a

Q.

Jde o dva vektory v pro-

storu, celkem tedy ²est údaj·. est parametr· je pln¥ posta£ujících k ur£ení jednozna£né dráhy t¥lesa, takºe tyto vektory jsou ekvivalentní alternativou "klasických" element· dráhy.

sin ν1 sin ν1 cos ν1 cos ν1 − x0 , Qx = x1 − x0 , r1 r0 r1 r0 cos ν1 sin ν1 sin ν1 cos ν1 Py = y 1 − y0 , Qy = y1 − y0 , r1 r0 r1 r0 cos ν1 sin ν1 sin ν1 cos ν1 Pz = z1 − z0 , Qz = z1 − z0 , r1 r0 r1 r0

Px = x 1

(3.84)

(3.85)

(3.86)

Abychom si byli jisti dostate£nou p°esností spo£tených vektor·, vypo£t¥me následující vzorce, a aplikujme níºe vypsané kontrolní vzorce.

Ax = aPx , Bx = a cos ϕ Qx 30

(3.87)

Ay = aPy , By = a cos ϕ Qy Az = aPz , Bz = a cos ϕ Qz

(3.88) (3.89)

Kontrola: A2x + A2y + A2z Bx2 + By2 + Bz2

= a2 = a2 cos2 ϕ Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0. P°ikro£íme k ur£ení orientace roviny dráhy t¥lesa v prostoru. Ozna£me sklon ◦ 0 00 zemské osy = 23 26 46.7 = 0.409215.. rad.

sin i sin ω = Pz cos − Py sin sin i cos ω = Qz cos − Qy sin Argument délky perihelia

(3.90) (3.91)

ω získáme ze znalosti sin i sin ω a sin i cos ω . Pak jej

dosadíme zpátky do obou rovnic a dostaneme sklon dráhy i. Z následujících dvou rovnic obdobn¥ získáme výstupný uzel dráhy

Ω:

sin Ω = (Py cos ω − Qy sin ω) sec , cos Ω = Px cos ω − Qx sin ω.

(3.92) (3.93)

Tím jsme se dobrali ²esti pot°ebných parametr· dráhy, ur£ených pro epochu

t0 : st°ední anomálie velké poloosy excentricity délky výstupného uzlu sklonu argumentu ²í°ky perihélia

M a e Ω i ω

ze vzorce 3.83

n

ze vzorce 3.82

ze vzorce 3.77 ze vzorce 3.75 ze vzorc· 3.92, 3.93 ze vzorc· 3.90, 3.91 ze vzorc· 3.90, 3.91

a navíc jsme také získali st°ední denní pohyb

matematicky ekvivalentní s velkou poloosou úhel excentricity

P ϕ

dobu pr·chodu periheliem

T

dobu ob¥hu v rocích

a

z 3. Keplerova zákona

P 2 /a3 = 1

ze vzorce 3.76 pouºitelný místo excentricity ze vzorce

e

M = n(t0 − T )

ekvivalentní se st°ední anomálií

31

M.

Výsledek výpo£tu je vhodné zapsat v tvaru b¥ºn¥ pouºívaném Minor Planet Center. Tabulka, následující za ukázkou tohoto tvaru zápisu parametr· dráhy osv¥tluje pouºité zna£ení.

(3337) Milos Epoch 2008 May 14.0 TT = JDT 2454600.5 MPC M 227.29091 (2000.0) P Q n 0.20545282 Peri. 217.95569 +0.79696436 -0.60402614 a 2.8444260 Node 179.20263 +0.56230121 +0.74162015 e 0.0789952 Incl. 1.98205 +0.22060180 +0.29180811 P 4.80 H 12.5 G 0.15 U 0

(3337) M ilos Epoch

íslo, p°íp. jméno planetky Epocha

t0 ,

pro kterou jsou uvedeny níºe zapsané

parametry dráhy, následuje také zápis epochy v juliánském datu

(2000.0)

JDT

Ekvinokcium, pro které platí sou°adný systém (ten se totiº posouvá spolu s jarním bodem)

M , n, a, e P eri. N ode Incl. P aQ

spo£tené parametry dráhy Argument ²í°ky perihélia Délka výstupného uzlu Sklon dráhy

ω

Ω

i

T°etí a £tvrtý sloupec uvád¥jí sm¥rové kosiny dráhy, vektory spo£tené v pr·b¥hu výpo£tu dráhy v rovnicích 3.84, 3.85, 3.86

P H

Doba ob¥hu v rocích Absolutní jasnost t¥lesa spo£tená z fotometrického m¥°ení

G

Odrazivost t¥lesa, která je u nových planetek p°edpokládána

G = 0.15

(odpovídá odrazivosti b¥ºné skály)

U

Parametr ur£ující nep°esnost efemeridy t¥lesa po deseti letech

.

U

∆

U

∆

0

< 1.0

5

< 1692

1

< 4.4

6

< 7488

2

< 19.6

7

< 33121

3

< 86.5

8

< 146502

4

< 382

9

> 146502

[/10 let]

32

[/10 let]

Kapitola 4 Vlastní realizace 4.1

Výpo£tový program

Pro ú£ely této práce byl vytvo°en program pro výpo£ty drah planetek. Program je schopen po£ítat dráhy a p°edpov¥di polohy t¥lesa metodou Väisäla popsané v práci [3], a to ze dvou pozorování a zadané vzdálenosti t¥lesa. Dále je schopen po£ítat dráhy Gaussovou metodou ze t°í pozorování, tak, jak je tato metoda popsána v kapitole 3.5 této práce. Program má v sob¥ uloºeny parametry dráhy barycentra Zem¥-M¥síc, které p°i výpo£tu pouºívá. Také je schopen spo£íst efemeridu - tedy pro zadané parametry dráhy a £as ur£it pozici t¥lesa na pozemské obloze.

4.2

Dostupná vstupní data

B¥hem vypracovávání této práce byla samostatn¥ autorkou této práce provád¥na pozorování pomocí 0.57m zrcadlového dalekohledu na Observato°i Kle´. Teleskop je vybaven CCD kamerou SBIG ST-8. T¥lesa byla vybírána pomocí webového rozhraní balíku program· Kle´ Software Package, následn¥ byla zpracována jejich efemerida a ur£ena vhodná doba expozice. Snímky byly ihned po po°ízení zpracovávány pomocí softwaru Astrometry vyvinutého na Observato°i Kle´ [6]. K získání pozic srovnávacích hv¥zd byl uºit USNO-B1.0 katalog. Získané výsledky byly promptn¥ odesílány do Minor Planet Center.

33

Od srpna 2007 do kv¥tna 2008 bylo b¥hem 17 nocí získáno celkem 785 pozic 91 malých t¥les slune£ní soustavy, z toho 630 pozic 69 planetek a 155 pozic 22 komet. Seznam pozic t¥les provedených pozorování je moºno nalézt v dodatku A této práce. Typy drah a po£ty pozorovaných planetek K°íºi£i dráhy Marsu

3

NEA typ Amor

18

NEA typ Apollo

34

NEA typ Aten

6

Kentau°i

1

K°íºi£i drah vn¥j²ích planet

2

1

Zárove¬ z 58 pozorovaných NEAs

2

jich 18 pat°í do skupiny planetek PHAs

a 5 t¥les pat°ilo v dob¥ pozorování zárove¬ mezi Virtuální Impaktory (V.I.), coº jsou t¥lesa s nenulovou pravd¥podobností sráºky se Zemí v p°í²tích sto

3

letech . K pozorování byla vybírána výhradn¥ t¥lesa, u nichº bylo moºno získanými daty p°isp¥t ke zp°esn¥ní jejich drah. Krom¥ toho u planetky s ozna£ením 2005 WJ56 umoºnila p°esná poloha získaná pozorováním zam¥°it planetku radarem a provést radarové pozorování.

1 Near

Earth Asteroids, skupina blízkozemních planetek typu Amor, Aten a Apollo,

podle typu dráhy

2 Potentially

Hazardous Asteroids, ob jekty, které se mohou p°iblíºit k Zemi na <0,05

AU, a mají pr·m¥r nejmén¥ 150 m.

3 lo

o t¥lesa s katalogovým ozna£ením 2007 PA8, 2008 AF4, 2008 BD15, 2008 CK70

a 2008 HR3

34

4.3

Výpo£et dráhy vybraných t¥les

4.3.1

Vzorové t¥leso

Program byl nejprve otestován na datech pouºitých v [1]:

Planet 1933 NA G. N. Neuimin at Simeis (Crimea) UT

a(1933.0)

d(1933.0)

I

No.

day

h

m

h

m

s

deg

min

sec

1

1933 July

1

23

3.0

1.96042

19

28

2.28

-13

52

7.3

29

21

23.3

29.89118

19

3

43.85

-14

7

8.5

27

20

12.6

58.84204

18

59

13.08

-15

14

38.2

2 3

.

Aug.

Planet 1933 NA

Planet 1933 NA

Elementy - Dubyago

Elementy - Vlastní výpo£et

Ekvinokcium 1933.0

Ekvinokcium 1933.0

Epocha 1933 July 27.0 U.T.

Epocha 1933 July 27.0 U.T.

M0 ω Ω i ϕ µ

13

◦

50

◦

09' 10.8"

41' 45.4" ◦ 226 32' 40.7" ◦ 4 20' 55.3" ◦ 8 59' 25.4" 1065.252"

.

M0 ω Ω i ϕ µ

13

◦

05' 07.8"

50

◦

46' 54.6"

226

◦

29' 49.7" ◦ 4 20' 49.4" ◦ 8 59' 23.8" 1065.132"

P°esnost výpo£tu se ukázala dostate£ná, program provádí výpo£et podle Gaussovy metody tak, jak je o£ekáváno. Rozdíl oproti výsledk·m Dubyaga je zap°í£in¥n £ist¥ zaokrouhlovacími chybami.

35

4.3.2

Planetka 2008 CN1

Planetka ze skupiny Aten, která pat°í nejen mezi NEO, ale také k PHA planetkám. T¥leso má 245 metr· v pr·m¥ru a bylo objeveno 2. února 2008. Na Kleti byla planetka pozorována M. Honkovou v pr·b¥hu p¥ti nocí mezi 9. únorem 2008 a 17. únorem 2008, bylo získáno celkem 21 pozic t¥lesa. Vstupní pozorování.

K08C01N C2008 02 09.97341 13 29 12.18 +12 35 45.6 K08C01N C2008 02 12.97985 12 42 56.87 +13 57 56.6 K08C01N C2008 02 17.03728 11 19 40.88 +14 59 49.4

18.6 R

046 046 046

Väisälova metoda. První dv¥ pozorování byla pouºita jako vstup a vzdálenost k t¥lesu

ρ2

byla

nastavena tak, aby p°edpov¥¤ pro £as t°etího pozorování dob°e souhlasila s napozorovanou polohou v dob¥ t°etího pozorování. Výpo£et bylo moºno provést pouze s

ρ2 < 0.358

AU, p°i£emº s rostoucí vzdáleností se vypo£tená

pozice blíºila pozorované. Bylo tedy zvoleno

ρ2 = 0.357

AU. Podle chování

výpo£tu bylo moºné odhadnout, ºe t¥leso se nachází poblíº Zem¥. Spo£tené parametry dráhy dávají smysl pouze pro kometu z vn¥j²í £ásti slune£ního systému, t¥leso totiº bylo pozorováno poblíº Zem¥ a proto s pouºitými nep°esnými parametry dráhy barycentra Zem¥-M¥síc není moºné získat kvalitn¥j²í dráhové elementy.

K08C01N C2008 02 17.03730 11 06 27.87 +15 00 30.7 K08C01N C2008 02 17.03728 11 19 40.88 +14 59 49.4

P°edpov¥¤ Pozorování

2008 CN1 Elementy - Väisäla Ekvinokcium 2000 Epocha 2008 Feb 13.0 U.T.

M0 a e i ω Ω µ

0.001 262.3732 0.9952 44.7041 353.27 328.71 0.00023 36

Gaussova metoda výpo£tu dráhy. Jako vstup do programu slouºily t°i vý²e uvedená pozorování. P°ibliºné parametry dráhy barycentra Zem¥-M¥síc byly p°evzaty z [8]. Výpo£et prob¥hl, ale ur£il excentricitu

e > 1,

coº bylo o£ekáváno - t¥leso se nacházelo poblíº

Zem¥ a proto nep°esná pozice pozorovatele, ur£ená pouze hrubou polohou barycentra Zem¥-M¥síc, pro výpo£et naprosto nedosta£ovala. Proto byl výpo£et proveden znovu, a poloha Zem¥ pro £asy pozorování byla ur£ena pomocí softwaru Observato°e Kle´ matematickým rozvojem. Parametry dráhy byly porovnány s drahou spo£tenou JPL [8]. Jak je vid¥t z následující tabulky, nejvíce se li²í hodnoty u st°ední anomálie

M0 . Jde o rozdíl

pouze zdánlivý, jelikoº ob¥ sady element· drah jsou platné pro jinou epochu - a st°ední anomálie ur£uje pozici t¥lesa na dráze v £ase epochy.

.

2008 CN1

2008 CN1

Elementy - Gaussova metoda

Elementy - JPL

Ekvinokcium 2000.0

Ekvinokcium 2000.0

Epocha 2008 Feb 04.0 U.T.

Epocha 2008 May 14.0 U.T.

M0 a e i ω Ω µ

140.86300 0.7707210 0.3476948 7.19896 7.12054 331.65079 1.45666018

.

M0 a e i ω Ω µ

37

286.687 0.77052 0.34815 7.216 7.0696 331.63365 1.45722

.. Obrázek 4.1: Jeden ze snímk· planetky 2008 CN1. Snímek byl po°ízen 10s expozicí 0.57m zrcadlovým teleskopem na Kleti 17. února 2008.

.. Obrázek 4.2: Planetka 2008 CN1 v dob¥ po°ízení snímku zobrazeného vý²e.

38

4.3.3

Planetka 2008 CK70

Planetka, pat°ící do skupiny Apollo, která byla v dob¥ pozorování M. Honkovou na Kleti také V.I., tedy m¥la nenulovou pravd¥podobnost sráºky se Zemí. Má pouze 30 metr· v pr·m¥ru a objevena byla 9. února 2008. T¥leso bylo sledováno M. Honkovou po t°i noci, od 11. února 2008 do 14. února 2008. Provedené pozorování pomohlo up°esnit dráhu t¥lesa a sníºit tak pravd¥podobnost jeho sráºky se Zemí a pat°í mezi celosv¥tov¥ poslední pozorování tohoto t¥lesa. Vstupní pozorování.

K08C70K C2008 02 12.00641 10 26 59.79 -02 38 56.6 K08C70K C2008 02 12.96653 10 36 02.91 -03 45 07.0 K08C70K C2008 02 13.99094 11 03 32.13 -07 03 15.2

18.6 R

046 046 046

Väisälova metoda. První dv¥ pozorování byla pouºita jako vstup a vzdálenost k t¥lesu

ρ2

byla

znovu nastavována tak, aby p°edpov¥¤ pro £as t°etího pozorování dob°e souhlasila s pozorovanou polohou. Výpo£et bylo moºno provést pouze s hovovala vzdálenost

ρ2 = 0.0004

ρ2 < 0.126

AU, p°i£emº nejlépe vy-

AU. V kaºdém p°ípad¥ ²lo o t¥sný pr·let

t¥lesa v blízkozti Zem¥. Väisälova metoda byla pouºita k získání odhadu parametr· dráhy t¥lesa. Podle spo£tené dráhy je moºno usoudit, ºe m·ºe jít o t¥leso na dráze podobné, jako je dráha Zem¥.

K08C70K C2008 02 13.99090 11 03 47.62 -07 04 16.3 K08C70K C2008 02 13.99094 11 03 32.13 -07 03 15.2

39

P°edpov¥¤ Pozorování

2008 CK70 Elementy - Väisäla Ekvinokcium 2000 Epocha 2008 Feb 14.0 U.T.

M0 a e i ω Ω µ

361.0 0.9962 0.0086 0.1242 297.8 325.5 0.9913

Gaussova metoda výpo£tu dráhy. Vstupem do programu byly t°i vý²e uvedená pozorování. P°ibliºné parametry dráhy barycentra Zem¥-M¥síc byly p°evzaty z [8]. Stejn¥ jako v p°edcházejícím p°ípad¥ výpo£et ur£il excentricitu

e > 1,

a proto byl zopako-

ván s p°esn¥j²í polohou Zem¥ získanou matematickým rozvojem. Parametry dráhy byly porovnány s drahou spo£tenou JPL [8]. St°ední anomálie

M0

se li²í znovu kv·li jiné epo²e, jinak výsledky dob°e souhlasí. JPL má navíc zabudován výpo£et chyby dráhy, takºe jsem uvedla jen platná místa. Oproti p°edcházejícímu t¥lesu je jich mén¥, protoºe t¥leso bylo sledováno pouze p¥t dní, coº znemoº¬uje získat p°esn¥j²í dráhu.

.

2008 CK70

2008 CK70

Elementy - Gaussova metoda

Elementy - JPL

Ekvinokcium 2000.0

Ekvinokcium 2000.0

Epocha 2008 Feb 04.0 U.T.

Epocha 2008 May 14.0 U.T.

M0 a e i ω Ω µ

301.00397 1.1148954 0.4699740 6.01352 104.68577 145.83402 0.83724563

.

M0 a e i ω Ω µ

40

24.85 1.1028 0.4689 6.06 105.792 145.8255 0.851

.. Obrázek 4.3: Jeden ze snímk· planetky 2008 CK70. Snímek byl po°ízen 10s expozicí 0.57m zrcadlovým teleskopem na Kleti 13. února 2008.

.. Obrázek 4.4: Planetka 2008 CK70 v dob¥ po°ízení snímku zobrazeného vý²e.

41

Kapitola 5 Shrnutí V rámci vypracovávání této práce byla autorkou samostatn¥ provád¥na pozorování s 0.57m dalekohledem na Observato°i Kle´, v£etn¥ výb¥ru t¥les, ur£ení efemerid a expozi£ního £asu a zpracování snímk·. Výsledky byly odesílány do Minor Planet Center. Za£átkem kv¥tna 2008 proto pat°il tento dalekohled mezi nejproduktivn¥j²í na sv¥t¥ v po£tu pozic publikovaných v roce 2008 v Minor Planets Daily Orbit Circulars [11]. Celkem bylo získáno 785 pozic 91 malých t¥les slune£ní soustavy. Seznam pozic t¥les se nalézá v dodatku A této práce. Mezi pozorovanými t¥lesy jich 58 pat°ilo mezi NEA, 18 mezi PHA a 5 jich m¥lo v dob¥ pozorování nenulovou pravd¥podobnost sráºky se Zemí - provedená pozorování pomohla zp°esnit dráhu a zmen²it známé riziko sráºky. P°esná astrometrie jedné z pozorovaných planetek také umoºnila zam¥°it planetku radarem a provést radarové pozorování. Pro ú£ely této práce byl autorkou vytvo°en program, umoº¬ující po£ítat dráhy planetek metodou Väisäla a Gaussovou metodou, a základní výpis efemerid tak, jak tyto metody uvádí kapitola 3 této práce. Výpo£et zahrnuje korekci o planetární aberaci. Vzhledem k nízké p°esnosti pouºitých parametr· dráhy Zem¥ (barycentra Zem¥-M¥síc) nezahrnuje paralaktickou korekci. Jelikoº pozorování byla provád¥na po krátkou dobu, nebylo nutné zapo£ítat také korekci o precesi a nutaci. Program byl otestován na n¥kolika planetkách a výsledky byly porovnány s drahami ur£enými JPL [7]. Byl potvrzen záv¥r uvedený jiº v [3] o nevhodnosti metody Väisäla na ur£ení denitivní dráhy. P°esto má tato metoda vyuºití, a to na výpo£et efemerid na nejbliº²í dny a týdny, následující po objevu

42

nového t¥lesa. Tímto väisälovská metoda umoº¬uje získat dal²í pozorování pro ur£ení p°esn¥j²í dráhy planetky Gaussovou metodou. Bylo také zji²t¥no, ºe výpo£et dráhy Gaussovou metodou je nesmírn¥ citlivý k p°esnosti parametr· dráhy Zem¥, vstupujících do výpo£tu. Proto musel být na získání dostate£n¥ p°esné dráhy Zem¥ místo p·vodních parametr· dráhy barycentra Zem¥-M¥síc pouºit matematický rozvoj - pak byly výsledky p°esností srovnatelné s JPL [7]. Dal²í etapou by bylo aplikování katalogu Dynamic Ephemeris 405 (DE405) nebo DE406 a Lunar Ephemeris 405 (LE405) nebo LE406 pro získání p°esn¥j²ích parametr· dráhy Zem¥. Pak by bylo dosaºeno dostate£né p°esnosti, aby m¥lo smysl aplikovat topocentrickou korekci, a zvý²ila by se tak p°esnost celého výpo£tu. Krom¥ toho by umoºnily po£ítat dráhu podstatn¥ spolehliv¥ji p°edev²ím pro blízkozemní t¥lesa. Následn¥ by bylo moºné vytvo°it program pro po£ítání poruchových drah, tedy v podstat¥ °e²ení problému

n t¥les numerickou metodou. Vzhledem k rozsahu této práce nebylo v²ak moºno se problémem poruchových drah zaobírat.

43

Literatura [1] A. D. Dubyago: The Determination of Orbits, The Macmillan Company, New York, 1961. [2] B.A. Gould: On the Symbolic Notation of the Asteroids 1852, Astron. J., 2, 80. [3] M. Honková: Následná astrometrie blízkozemních planetek a její vliv na

p°esnost ur£ení dráhových element· a efemerid, Brno, 2006. [4] Z. Mikulá²ek: Obecná astronomie - skripta k p°edm¥tu, MU Brno. [5] http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html [6] J. Tichá, M. Tichý, M. Ko£er: KLENOT - KLET OBSERVATORY

NEAR EARTH AND OTHER UNUSUAL OBJECTS OBSERVATIONS TEAM AND TELESCOPE , ESA Proceedings, ESA-SP-500, 2002. [7] http://neo.jpl.nasa.gov/orbits/ [8] http://ssd.jpl.nasa.gov/ [9] http://www.planetky.cz/ [10] J.L.

Hilton

When

did

the

asteroids

become

http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/minorplanets.php [11] http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html

44

minor

planets?,

Dodatek A Soupis provedených pozorování Pozorování planetek a komet provedená M. Honkovou na Kleti v dob¥ vypracovávání práce

K08H03R K08H03R K08H03R K08H03R K08H03R K08H03R K08H03R K08H03S K08H03S K08H03S K08H03S K08H03S K08H03S K08H03S K08H01W K08H01W K08H01W K08H01W K08H01W K08H01W K08H01W K08H01W K08H04V CK02V94Q CK02V94Q

C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008

05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05

08.86978 08.87060 08.87119 08.87169 08.87228 08.87295 08.87391 08.88068 08.88164 08.88257 08.88311 08.88378 08.88542 08.88594 09.02247 09.02337 09.02382 09.02422 09.02465 09.02520 09.02560 09.02600 08.92325 08.99233 08.99427

12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11 17 17 17 17 17 17 17 17 15 14 14

53 53 53 53 53 53 53 38 38 38 38 38 38 38 00 00 00 00 00 00 00 00 02 04 04 45

45.41 44.37 43.99 43.31 42.50 41.76 40.77 18.30 18.79 19.13 19.26 19.60 20.28 20.53 46.41 46.31 46.28 46.28 46.26 46.20 46.17 46.14 29.18 08.13 08.12

-09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -03 -03 -03 -03 -03 -03 -03 +45 +45 +45 +45 +45 +45 +45 +45 -12 +15 +15

11 11 11 11 11 11 10 05 05 05 05 05 04 04 21 21 21 21 21 21 21 22 27 50 50

50.1 39.3 36.3 24.4 15.5 05.9 53.8 25.4 18.5 12.2 07.7 03.9 53.2 49.0 03.4 19.6 27.7 35.1 42.7 52.6 59.7 07.0 47.2 38.5 39.1

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

CK02V94Q CK02V94Q CK02V94Q CK02V94Q CK02V94Q CK05L030 CK05L030 CK05L030 CK05L030 CK05L030 CK05L030 CK05L030 CK08H010 CK08H010 CK08H010 CK08H010 CK08H010 CK08H010 CK08H010 PK08G020 PK08G020 PK08G020 PK08G020 PK08G020 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 02998 K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L

C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008

05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 05 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03

08.99507 08.99605 08.99683 08.99759 08.99858 08.97897 08.98110 08.98163 08.98204 08.98245 08.98287 08.98396 09.01029 09.01174 09.01269 09.01363 09.01473 09.01564 09.01654 08.97032 08.97144 08.97339 08.97431 08.97527 08.89728 08.90034 08.90140 08.91245 08.91566 08.91714 08.91801 08.91887 08.91969 08.92054 08.92161 08.92325 08.93101 08.93155 10.02206 10.02389 10.02457 10.02502 10.02544 10.02589 10.02745 10.02788

14 14 14 14 14 16 16 16 16 16 16 16 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 10 10 09 09 09 09 09 09 09 09

04 04 04 04 04 22 22 22 22 22 22 22 10 10 10 10 10 10 10 48 48 48 48 48 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 04 04 45 45 45 45 45 45 45 45 46

08.14 08.07 08.07 07.94 08.05 45.02 44.88 44.84 44.81 44.76 44.73 44.66 23.54 23.12 22.93 22.48 22.39 21.75 21.47 53.59 53.53 53.51 53.38 53.37 33.84 33.75 33.62 32.98 32.81 32.70 32.67 32.62 32.54 32.46 32.45 32.36 26.32 25.81 39.78 37.62 36.83 36.35 35.83 35.33 33.44 32.96

+15 +15 +15 +15 +15 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +19 +75 +75 +75 +75 +75 +75 +75 +12 +12 +12 +12 +12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -02 -02 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -01

50 50 50 50 50 32 32 32 32 32 32 32 26 26 26 26 26 26 26 35 35 35 35 35 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 14 14 23 23 22 23 22 22 22 22

38.1 39.1 38.9 38.4 38.4 36.6 37.8 37.7 38.4 38.5 38.2 39.0 41.4 39.8 37.8 37.2 35.0 34.7 32.8 03.8 03.0 03.3 02.9 02.1 49.7 49.2 48.7 45.7 43.8 43.3 43.9 44.0 42.8 43.1 43.4 43.1 56.4 55.4 09.7 04.1 59.9 00.2 58.9 58.1 53.2 51.2

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08E00K K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08D05K K08D05K K08D05K K08D05K K08D05K K08D05K K08D05K K08D05K K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D

C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 rC2008 C2008 C2008 C2008 rC2008 rC2008 C2008 rC2008 rC2008 rC2008 rC2008

03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03

10.02829 10.02876 10.02917 10.02978 10.03031 10.03106 10.04935 10.05020 10.05073 10.05127 10.05175 10.05222 10.05266 10.05310 10.05355 10.05405 10.05453 10.05608 10.06692 10.06825 10.06916 10.07005 10.07093 10.07183 10.07278 10.08359 10.08501 10.08571 10.08639 10.08704 10.08770 10.08836 10.08957 09.98514 09.98545 09.99188 09.99212 09.99237 09.99263 09.99296 09.99333 09.99363 09.99428 09.99450 09.99472 09.99492

09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09

45 45 45 45 45 45 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 35 35 35 35 35 35 35 30 30 30 30 30 30 30 30 56 56 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 47

32.64 31.91 31.44 30.73 30.25 29.04 11.16 10.61 10.32 10.01 09.73 09.36 08.99 08.80 08.42 08.14 07.86 06.89 04.46 05.01 05.61 06.05 06.36 06.77 07.27 27.89 27.35 27.05 26.83 26.45 26.22 25.94 25.53 31.10 35.49 07.26 10.82 14.48 18.17 22.88 28.19 32.51 41.78 45.03 48.17 51.15

-01 -01 -01 -01 -01 -01 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +45 +45 +45 +45 +45 +45 +45 -06 -06 -06 -06 -06 -06 -06 -06 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02

22 22 22 22 22 22 20 20 19 19 19 19 19 19 19 19 18 18 48 48 48 48 48 49 49 51 51 51 51 51 51 51 51 36 37 43 44 44 44 45 45 45 46 46 46 47

50.9 48.3 47.2 45.1 43.8 41.0 17.7 05.4 55.7 48.8 40.2 33.1 26.7 19.7 14.0 04.8 56.6 34.2 51.6 53.8 55.9 57.4 59.8 01.3 03.4 30.2 27.4 26.4 25.5 25.5 23.8 23.1 20.7 52.7 11.7 53.3 09.2 25.0 40.8 01.8 24.5 44.4 24.8 38.5 52.4 05.2

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K08E08D K08E08D K08E08D K08E08D

0124P 0124P 0124P 0124P 0124P 0124P 0124P 0124P 0124P CK07W010 CK07W010 CK07W010 CK07W010 CK07W010 CK07W010 K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K07R19X K07R19X K07R19X K07R19X K07R19X K07R19X K07R19X 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620 01620

rC2008 rC2008 rC2008 rC2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008

03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03

09.99517 09.99540 09.99565 09.99586 09.91998 09.92190 09.92338 09.92479 09.93035 09.93204 09.93396 09.93568 09.93772 09.96278 09.96408 09.96533 09.96754 09.96893 09.96965 09.84857 09.84937 09.84996 09.85054 09.85114 09.86347 09.86457 09.86534 09.86587 09.86641 09.86697 09.86757 09.90946 09.91093 09.91144 09.90946 09.91093 09.91144 09.90946 09.91093 09.91144 09.90946 09.91093 09.91144 09.90946 09.91093 09.91144

09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 12 12 12 12 12 12 09 09 09 09 09 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08

58 58 59 59 39 39 39 39 39 39 39 39 39 41 41 41 41 41 41 05 05 05 05 05 31 31 31 31 31 31 31 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 48

54.66 58.02 01.60 04.67 40.11 39.89 39.68 39.51 38.81 38.63 38.38 38.15 37.91 55.16 55.07 55.05 54.94 54.93 54.87 11.24 11.18 11.20 11.17 11.16 00.79 00.81 00.79 00.92 00.92 00.95 00.96 44.12 43.40 43.15 44.12 43.40 43.15 44.12 43.40 43.15 44.12 43.40 43.15 44.12 43.40 43.15

+02 +02 +02 +02 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 +50 -14 -14 -14 -14 -14 -14 -01 -01 -01 -01 -01 +54 +54 +54 +54 +54 +54 +54 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02 +02

47 47 47 48 54 54 54 54 53 53 53 53 53 15 15 15 15 15 15 41 41 41 41 41 57 56 56 56 56 56 56 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04

20.7 35.2 51.5 04.3 18.8 14.3 11.0 07.6 54.8 51.0 46.5 42.6 37.6 13.1 13.6 14.4 15.7 16.5 16.8 40.2 39.8 39.4 39.2 38.5 01.6 50.1 42.8 36.7 31.9 27.3 19.8 43.7 36.4 33.9 43.7 36.4 33.9 43.7 36.4 33.9 43.7 36.4 33.9 43.7 36.4 33.9

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 8E2FB55 K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08E00L K08D00J K08D00J K08D00J K08D00J K08D00J K08D00J K08E01K K08E01K K08E01K K08E01K K08E01K K08E01K K08E01K BJ19400 BJ19400 BJ19400 BJ19400 BJ19377 BJ19377 BJ19377 BJ19377 BJ19377 BJ19377 BJ19377 K08CB6R K08CB6R K08CB6R K08CB6R K08CB6R K08CB6R K08CB6R


03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 03 02 02 02 02 02 02 02

09.88215 09.88368 09.88500 09.88691 09.88818 09.88943 09.89093 09.89258 08.94494 08.94557 08.94619 08.94670 08.94724 08.94775 08.94828 08.88281 08.88426 08.88541 08.88765 08.88894 08.89008 08.90333 08.90435 08.90528 08.90608 08.90686 08.90769 08.90854 08.91521 08.91752 08.92061 08.92147 08.86367 08.86415 08.86448 08.86482 08.86516 08.86547 08.86578 17.05040 17.05122 17.05179 17.05237 17.05298 17.05358 17.05416

08 08 08 08 08 08 08 08 10 10 10 10 10 10 10 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 09 07 07 07 07 07 07 07 11 11 11 11 11 11 11

57 57 57 57 57 57 57 57 04 04 04 04 04 04 04 24 24 24 24 24 24 46 46 46 46 46 46 46 42 42 42 42 32 32 32 32 32 32 32 36 36 36 36 36 36 36 49

54.70 54.65 54.64 54.49 54.37 54.30 54.23 54.03 13.10 12.46 11.92 11.43 10.90 10.39 09.92 46.54 46.68 46.81 47.11 47.25 47.41 44.08 44.10 44.13 44.19 44.21 44.23 44.20 23.77 23.43 22.70 22.56 50.28 51.81 52.93 54.03 55.08 56.12 57.16 30.49 30.07 29.74 29.46 29.14 28.83 28.50

+40 +40 +40 +40 +40 +40 +40 +40 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 +04 +04 +04 +04 +04 +04 +15 +15 +15 +15 +15 +15 +15 +29 +29 +29 +29 -07 -07 -07 -07 -07 -07 -07 +34 +34 +34 +34 +34 +34 +34

55 55 55 55 55 55 55 55 14 14 14 14 14 14 14 20 20 20 20 20 20 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 23 23 23 23 23 23 23 27 27 26 26 26 26 26

47.6 45.9 45.6 42.6 40.1 39.7 38.3 34.4 22.0 20.8 18.9 17.6 16.6 14.3 13.0 12.6 12.3 11.8 10.6 09.7 09.1 20.8 26.7 33.8 40.2 46.2 51.1 58.6 20.2 37.3 05.2 07.3 35.5 28.7 24.2 19.7 14.5 10.5 06.2 08.2 01.4 57.7 51.8 46.6 41.4 37.4

15.5 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C06C K08C06C K08C06C K08C06C K08C06C K08C06C K08C06C K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z K05B02E K05B02E K05B02E K05B02E K05B02E K05B02E K05T45U K05T45U


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

17.06074 17.06155 17.06233 17.06317 17.06380 17.06450 17.06516 17.01830 17.01895 17.01961 17.02029 17.02094 17.02162 17.02939 17.03017 17.03077 17.03135 17.03194 17.03251 17.03307 17.03728 17.03795 17.03834 17.03875 17.03916 17.03956 17.03997 16.99944 17.00050 17.00138 17.00322 17.00509 09.80277 09.80383 09.80778 09.80866 09.80949 09.81022 10.02417 10.02524 10.02596 10.02669 10.02749 10.02823 09.81731 09.81887

14 14 14 14 14 14 14 08 08 08 08 08 08 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 09 09 09 09 09 06 06 06 06 06 06 11 11 11 11 11 11 06 06

13 13 13 13 13 13 13 48 48 48 48 48 48 15 15 15 15 15 15 15 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 09 09 09 09 09 09 13 13 13 13 13 13 41 41 50

24.53 24.21 23.98 23.63 23.41 23.13 22.87 16.90 17.00 17.28 17.46 17.69 17.81 43.51 43.18 42.86 42.63 42.30 41.97 41.68 40.88 39.95 39.38 38.80 38.23 37.67 37.10 46.75 46.70 46.70 46.48 46.34 24.31 24.56 25.36 25.66 25.75 25.92 55.65 55.62 55.66 55.68 55.62 55.65 57.08 56.73

+32 +32 +32 +32 +32 +32 +32 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +39 +39 +39 +39 +39 +11 +11 +11 +11 +11 +11 +21 +21 +21 +21 +21 +21 +45 +45

57 57 57 57 57 57 57 35 35 35 35 35 35 22 22 22 22 22 22 22 59 59 59 59 59 59 59 07 07 07 07 07 59 59 59 59 59 59 00 00 00 00 00 00 19 19

32.5 31.2 29.4 28.0 26.4 24.9 24.0 21.1 26.5 29.8 34.2 39.4 43.1 02.1 07.3 10.2 13.5 17.1 20.6 24.5 49.4 49.6 49.1 49.1 50.3 49.8 49.7 45.2 44.9 44.8 44.8 43.1 51.0 49.7 44.3 43.9 42.6 41.9 49.5 50.8 52.3 53.3 54.1 55.1 12.6 20.7

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K05T45U K05T45U K05T45U K07T24U K07T24U K07T24U K07T24U K07T24U K07T24U K07Y00K K07Y00K K07Y00K K07Y00K K07Y00K K08A00E K08A00E K08A00E K08A00E K08A00E K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K02C26F K02C26F K02C26F K02C26F K02C26F


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

09.81948 09.82013 09.82082 09.95903 09.95997 09.96058 09.96119 09.96186 09.96271 09.90463 09.90588 09.90682 09.90753 09.90828 09.95278 09.95378 09.95439 09.95503 09.95565 09.89301 09.89422 09.89523 09.89606 09.89683 09.89757 09.87242 09.87302 09.87393 09.87444 09.87490 09.87490 09.83972 09.84026 09.84098 09.84142 09.84187 09.97127 09.97201 09.97248 09.97295 09.97341 10.01435 10.01544 10.01628 10.01715 10.01809

06 06 06 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 09 09 09 09 09 09 08 08 08 08 08 08 09 09 09 09 09 13 13 13 13 13 11 11 11 11 11

41 41 41 09 09 09 09 09 09 10 10 10 10 10 06 06 06 06 06 31 31 31 31 31 31 16 16 16 16 16 16 14 14 14 14 14 29 29 29 29 29 15 15 15 15 15 51

56.60 56.44 56.28 29.20 29.18 29.16 29.13 29.11 29.08 21.93 21.85 21.77 21.70 21.67 38.75 38.96 39.06 39.19 39.31 34.34 34.20 34.08 33.96 33.89 33.80 14.18 13.95 13.57 13.46 13.16 13.16 46.20 46.36 46.42 46.50 46.57 13.91 13.32 12.93 12.56 12.18 25.38 25.16 25.04 24.96 24.77

+45 +45 +45 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +19 +19 +19 +19 +19 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +55 +55 +55 +55 +55 +55 +16 +16 +16 +16 +16 +12 +12 +12 +12 +12 +25 +25 +25 +25 +25

19 19 19 33 33 33 33 33 33 14 14 14 14 14 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 12 46 47 47 47 47 47 10 10 10 10 11 35 35 35 35 35 01 01 01 01 01

23.8 27.1 30.8 06.2 05.4 04.9 04.2 03.7 03.0 37.3 40.3 42.4 44.2 46.5 01.4 05.9 08.6 11.3 14.1 25.7 26.2 25.9 25.8 26.5 26.6 55.2 00.7 11.6 17.6 22.0 22.0 24.3 33.9 46.1 54.0 01.0 41.8 43.2 44.1 44.8 45.6 29.6 28.9 28.6 27.7 28.6

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

0029P 0029P 0029P 0029P 0029P 0065P 0065P 0065P 0065P 0065P 0065P

K02C26F K02C26F K02C26F K03E16E K03E16E K03E16E K03E16E K03E16E K03E16E K08C00H K08C00H K08C00H K08C00H K08C00H K08C20L K08C20L K08C20L K08C20L K08C20L K08C20L K08C20L K08C20L

K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

10.01899 10.01985 10.02068 10.00514 10.00615 10.00689 10.00763 10.00838 10.00912 09.98900 09.98995 09.99058 09.99123 09.99189 09.91584 09.91640 09.91694 09.91737 09.91784 09.91823 09.91872 09.91913 13.04144 13.04310 13.04397 13.04480 13.04436 13.05965 13.06128 13.06262 13.06326 13.06400 13.06514 13.09361 13.09459 13.09536 13.09612 13.09686 13.09766 13.09844 13.99094 13.99186 13.99231 13.99292 13.99337 13.99373

11 11 11 11 11 11 11 11 11 13 13 13 13 13 11 11 11 11 11 11 11 11 05 05 05 05 05 08 08 08 08 08 08 14 14 14 14 14 14 14 11 11 11 11 11 11

15 15 15 16 16 16 16 16 16 43 43 43 43 43 05 05 05 05 05 05 05 04 48 48 48 48 48 26 26 26 26 26 26 34 34 34 34 34 34 34 03 03 03 03 03 03 52

24.58 24.51 24.33 09.64 09.33 09.14 08.92 08.73 08.47 17.08 16.72 16.56 16.36 16.13 10.28 08.49 06.89 05.46 03.94 02.71 01.17 59.87 09.22 09.16 09.08 09.05 09.24 06.30 06.19 06.13 06.11 06.08 06.08 04.03 03.76 03.55 03.35 03.13 02.89 02.68 32.13 34.80 36.14 37.84 39.21 40.19

+25 +25 +25 +05 +05 +05 +05 +05 +05 +24 +24 +24 +24 +24 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +29 +29 +29 +29 +29 +30 +30 +30 +30 +30 +30 +34 +34 +34 +34 +34 +34 +34 -07 -07 -07 -07 -07 -07

01 01 01 40 40 40 40 40 40 31 32 32 32 32 44 44 43 43 43 43 43 43 46 46 46 46 46 52 52 52 52 52 52 55 55 55 54 54 54 54 03 03 03 03 04 04

27.7 27.3 27.2 30.4 32.3 33.6 34.7 36.1 38.3 55.5 01.2 05.7 09.0 13.0 15.7 03.7 52.0 43.1 32.8 24.2 14.5 05.6 58.1 58.0 58.7 57.8 58.2 25.1 25.0 26.0 25.4 25.0 25.7 03.6 02.0 00.8 59.4 58.9 58.0 56.8 15.2 36.0 46.7 59.0 09.7 17.7

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K08C70K K08B16H K08B16H K08B16H K08B16H K08B16H K08B16H K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K06D62U K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K06J25Y K06J25Y K06J25Y K06J25Y


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

13.99407 13.97637 13.97703 13.97769 13.97834 13.97904 13.97971 14.00292 14.00374 14.00411 14.00453 14.00499 14.00539 14.00591 14.01094 14.01152 14.01190 14.01229 14.01269 14.01308 14.01347 13.89388 13.89480 13.89552 13.89618 13.89720 13.89795 13.89859 13.90759 13.90872 13.90935 13.90997 13.91061 13.91120 13.91182 13.92177 13.92274 13.92367 13.92456 13.92545 13.92633 13.92722 13.93793 13.94024 13.94167 13.94237

11 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 09 09 09 09 09 09 09 08 08 08 08

03 05 05 05 05 05 05 24 24 24 24 24 24 24 23 23 23 23 23 23 23 46 46 46 46 46 46 46 33 33 33 33 33 33 33 24 24 24 24 24 24 24 39 39 39 39 53

41.17 43.09 43.50 43.64 44.09 44.20 44.52 17.71 16.25 15.58 14.81 14.02 13.30 12.38 50.71 50.00 49.54 49.06 48.58 48.12 47.64 22.07 21.56 21.19 20.67 20.20 19.79 19.39 33.08 33.35 33.52 33.64 33.73 33.95 34.09 48.92 48.84 48.73 48.66 48.59 48.49 48.38 12.90 12.52 12.40 12.48

-07 +68 +68 +68 +68 +68 +68 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +14 +66 +66 +66 +66 +66 +66 +66 +07 +07 +07 +07 +07 +07 +07 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +68 +68 +68 +68

04 57 57 57 57 58 58 30 30 30 30 30 30 30 22 22 22 22 22 22 22 23 23 24 24 24 24 24 08 08 08 08 08 08 08 15 15 15 15 15 15 15 20 20 20 20

25.4 27.9 37.0 46.4 55.1 04.2 15.1 52.0 46.4 43.5 40.4 37.0 34.2 30.3 09.5 10.4 11.0 11.5 12.0 12.4 13.1 52.6 59.5 05.4 10.5 18.7 25.1 29.7 07.2 13.2 17.1 20.7 25.0 28.1 32.7 06.0 06.4 06.1 05.9 05.6 05.9 05.4 54.5 36.2 26.1 20.7

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K06J25Y K06J25Y K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P K08C00P CK06S050 CK06S050 CK06S050 CK06S050 CK06S050 CK06S050 CK06S050 CK07B020 CK07B020 CK07B020 CK07B020 CK07B020 CK07B020 CK07B020 8C2197A 8C2197A 8C2197A 8C2197A 8C2197A 8C2197A K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D K08C22D


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

13.94306 13.94306 13.95567 13.95848 13.95916 13.95979 13.96047 13.96111 13.96177 12.99972 13.00071 13.00111 13.00154 13.00197 13.00240 13.00284 13.02362 13.02464 13.02521 13.02576 13.02646 13.02701 13.02757 13.08233 13.08384 13.08459 13.08542 13.08625 13.08701 12.96435 12.96527 12.96586 12.96653 12.96721 12.96774 12.96830 12.97868 12.97941 12.97985 12.98032 12.98079 12.89431 12.89664 12.89769 12.89829 12.89891

08 08 09 09 09 09 09 09 09 07 07 07 07 07 07 07 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 08 08 08 08 08

39 39 32 32 32 32 32 32 32 37 37 37 37 37 37 37 50 50 50 50 50 50 50 07 07 07 07 07 07 36 36 36 36 36 36 36 42 42 42 42 42 29 29 29 29 29 54

12.50 12.50 57.66 58.29 58.41 58.60 58.71 58.87 59.11 40.23 40.23 40.22 40.21 40.22 40.21 40.23 01.93 01.93 01.93 01.93 01.91 01.89 01.88 03.54 02.93 02.60 02.23 01.86 01.53 01.46 02.08 02.49 02.91 03.45 03.83 04.19 58.15 57.35 56.87 56.35 55.84 17.36 17.85 18.09 18.19 18.31

+68 +68 +35 +35 +35 +35 +35 +35 +35 +15 +15 +15 +15 +15 +15 +15 +07 +07 +07 +07 +07 +07 +07 +41 +41 +41 +41 +41 +41 -03 -03 -03 -03 -03 -03 -03 +13 +13 +13 +13 +13 +05 +05 +05 +05 +05

20 20 08 09 09 09 09 10 10 36 36 36 36 36 36 36 14 14 14 14 14 14 14 44 44 44 44 43 43 44 44 45 45 45 45 45 57 57 57 57 57 29 29 29 29 29

16.0 16.0 39.8 23.3 32.5 42.5 53.8 03.1 14.6 49.3 49.2 48.9 48.8 49.0 49.1 49.0 18.7 18.4 18.2 18.1 18.3 18.0 17.9 16.6 08.3 05.0 00.1 55.8 52.1 54.2 59.4 03.1 07.0 11.5 14.6 17.4 54.8 56.0 56.6 57.3 58.0 19.2 32.2 38.9 42.2 45.2

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K08C22D K08C22D K08C22D K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D K08B15D BI55989 BI55989 BI55989 BI55989 BI55989 BI55989 BI55989 K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C01N K08C70K K08C70K K08C70K K08C70K K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L K08C01L 8C2197A 8C2197A 8C2197A 8C2197A


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02

12.89955 12.90086 12.90017 12.92519 12.92625 12.92690 12.92753 12.92819 12.92980 12.93045 12.94314 12.94409 12.94562 12.94634 12.94703 12.94780 12.94845 12.90527 12.90690 12.90879 12.90937 12.91014 12.91087 12.91160 12.02885 12.02951 12.02998 12.03042 12.03086 12.03131 12.03176 12.00311 12.00406 12.00572 12.00641 12.07612 12.07756 12.07850 12.08028 12.08115 12.08204 12.08293 12.01005 12.01113 12.01178 12.01243

08 08 08 09 09 09 09 09 09 09 07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 14 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12

29 29 29 26 26 26 26 26 26 26 54 54 54 54 54 54 54 39 39 39 39 39 39 39 59 59 59 59 59 59 58 26 26 26 26 38 38 38 38 38 38 38 14 14 14 14 55

18.50 18.73 18.56 19.26 19.14 19.09 19.00 18.91 18.77 18.70 23.33 22.70 21.94 21.54 21.39 20.81 20.54 54.49 55.58 56.66 57.02 57.51 58.02 58.41 02.71 02.03 01.55 01.14 00.65 00.21 59.77 58.72 58.97 59.59 59.79 21.98 21.58 21.41 20.93 20.66 20.45 20.27 12.76 12.37 12.18 11.90

+05 +05 +05 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +64 +64 +64 +64 +64 +64 +64 +17 +17 +17 +17 +17 +17 +17 +13 +13 +13 +13 +13 +13 +13 -02 -02 -02 -02 +35 +35 +35 +35 +35 +35 +35 +43 +43 +43 +43

29 29 29 15 15 15 15 15 15 15 12 12 12 12 13 13 13 44 44 44 44 44 44 44 33 33 33 33 33 33 33 38 38 38 38 18 18 18 18 18 18 18 11 11 11 11

48.7 56.8 52.8 52.3 52.5 52.8 52.7 52.4 52.6 52.6 27.7 36.8 49.7 55.9 00.6 08.0 13.3 41.0 36.3 30.4 29.0 27.0 25.2 22.9 05.8 06.9 07.8 08.7 09.4 10.0 11.1 46.2 49.1 54.2 56.6 19.8 17.3 16.4 14.6 13.1 12.4 10.9 19.7 15.3 12.2 09.5

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

8C2197A K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F K08A04F CK08C010 CK08C010 CK08C010 CK08C010 CK08C010 CK08C010 CK08C010 K07Y01X K07Y01X K07Y01X K07Y01X J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z J89A00Z K05X01D K05X01D CK06W030 CK06W030 CK06W030 CK06W030 CK06W030 CK06W030 CK06W030 CK06S050 CK06S050 CK06S050 K07T24U K07T24U 0008P 0008P 0008P 0008P 0008P 0008P 0008P


02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 02 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01

12.01307 11.94441 11.94549 11.94649 11.94865 11.94990 11.95244 11.90087 11.90133 11.90237 11.90284 11.90331 11.90402 11.90471 25.76968 25.77641 25.77740 25.78021 25.79325 25.79475 25.79534 25.79652 25.79776 25.79835 25.79903 25.82190 25.83009 25.86888 25.86972 25.87029 25.87123 25.87175 25.87228 25.87282 25.88561 25.88664 25.88910 25.74372 25.75194 06.84292 06.84344 06.84417 06.84558 06.84637 06.84795 06.84832

12 09 09 09 09 09 09 00 00 00 00 00 00 00 01 01 01 01 04 04 04 04 04 04 04 04 04 03 03 03 03 03 03 03 07 07 07 00 00 01 01 01 01 01 01 01

14 27 27 27 27 27 27 10 10 10 10 10 10 10 36 36 36 36 45 45 45 45 45 45 45 50 50 37 37 37 37 37 37 37 43 43 43 30 30 55 55 55 55 55 55 55 56

11.55 54.16 54.02 53.92 53.67 53.54 53.22 04.58 04.85 05.16 05.39 05.59 05.83 06.09 35.19 36.43 36.53 37.09 02.04 02.77 03.06 03.67 04.28 04.59 04.96 33.93 34.88 04.96 04.95 04.84 04.78 04.71 04.71 04.63 00.79 00.74 00.68 10.82 11.80 53.38 53.52 53.62 53.86 54.00 54.27 54.33

+43 +39 +39 +39 +39 +39 +39 +61 +61 +61 +61 +61 +61 +61 +36 +36 +36 +36 +20 +20 +20 +20 +20 +20 +20 +07 +07 +61 +61 +61 +61 +61 +61 +61 +16 +16 +16 -13 -13 +03 +03 +03 +03 +03 +03 +03

11 15 15 15 15 15 15 21 21 21 21 21 21 21 31 31 31 31 09 09 09 09 09 09 09 06 05 49 49 49 49 49 49 49 33 33 33 54 52 12 12 12 11 11 11 11

06.1 46.5 46.6 46.7 46.6 46.7 47.1 42.7 42.5 42.4 42.3 41.7 41.5 40.9 47.4 48.5 47.7 46.4 53.1 48.3 47.6 43.7 41.4 39.2 37.5 32.5 54.6 16.1 15.9 15.6 15.3 15.1 15.5 14.5 56.6 55.3 54.4 14.4 47.5 20.9 15.2 05.8 47.6 37.2 16.8 11.7

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

0017P 0017P 0017P 0017P 0017P 0017P 0017P 0017P CK07W030 CK07W030 CK07W030 CK07W030 CK07W030 CK07W030 CK07W030 CK07W030 K05W56J K05W56J K05W56J K05W56J K05W56J K05W56J H0903 H0903 H0903 H0903 H0903 H0903 K07O06S K07O06S K07O06S K07O06S K07O06S K07O06S PK07S010 PK07S010 PK07S010 PK07S010 PK07S010 PK07S010 PK07S010 PJ98S010 PJ98S010 PJ98S010 0093P 0093P


01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

06.85774 06.85845 06.85910 06.85975 06.86052 06.86130 06.86260 06.86328 06.87793 06.87906 06.88072 06.88343 06.88424 06.88572 06.88654 06.88728 06.90155 06.90209 06.90245 06.90315 06.90350 06.90388 06.83088 06.83243 06.83330 06.83412 06.83497 06.83572 05.77330 05.77413 05.77475 05.77535 05.77660 05.77722 05.75986 05.76123 05.76213 05.76314 05.76402 05.76589 05.76678 05.81835 05.81974 05.82031 05.74185 05.74306

02 02 02 02 02 02 02 02 00 00 00 00 00 00 00 00 06 06 06 06 06 06 01 01 01 01 01 01 02 02 02 02 02 02 00 00 00 00 00 00 00 23 23 23 00 00

59 59 59 59 59 59 59 59 44 44 44 44 44 44 44 44 29 29 29 29 29 29 59 59 59 59 59 59 10 10 10 10 10 10 23 23 23 23 23 23 23 46 46 46 25 25 57

57.45 57.49 57.51 57.51 57.50 57.57 57.53 57.57 18.52 18.14 17.71 16.75 16.27 15.62 15.50 15.21 13.52 12.52 11.83 10.54 09.84 09.14 11.24 10.76 10.53 10.39 10.08 09.86 47.37 47.33 47.25 47.25 47.16 47.13 41.54 41.52 41.51 41.52 41.52 41.54 41.43 12.22 12.20 12.20 39.61 39.61

+43 +43 +43 +43 +43 +43 +43 +43 +77 +77 +77 +77 +77 +77 +77 +77 +53 +53 +53 +53 +53 +53 +12 +12 +12 +12 +12 +12 +13 +13 +13 +13 +13 +13 -05 -05 -05 -05 -05 -05 -05 +02 +02 +02 +24 +24

11 11 11 11 11 11 11 11 07 07 07 07 06 06 06 06 06 05 05 05 05 05 53 53 53 53 53 53 07 08 08 08 08 08 37 37 37 37 37 37 37 45 45 45 58 58

15.0 14.9 14.4 14.1 13.8 13.2 12.1 11.8 05.1 04.0 03.0 00.5 59.6 57.7 57.0 56.4 05.8 53.1 44.4 28.0 19.2 10.2 19.1 19.0 18.6 18.5 18.2 18.5 59.5 00.9 02.5 03.7 05.8 07.5 44.8 44.4 44.8 44.5 43.8 43.8 43.8 59.7 59.4 59.7 57.3 57.7

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

0093P 0093P 0093P

K07T08G K07T08G K07T08G K07T08G K07T08G K07T15G K07T15G K07T15G K07T15G K07T15G CK07N030 CK07N030 CK07N030 CK07N030 CK06O02F CK06O02F CK06O02F CK06O02F CK06O02F K07L32R K07L32R K07L32R K07L32R K07L32R K07L32R K07L32R K07P00R K07P00R K07P00R K07P00R K07S11G K07S11G K07S11G K07S11G K07S11G K07S11G 7T4A171 7T4A171 7T4A171 7T4A171 7T4A171 7T4A171 7T4A171


11 11 11 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

05.74354 05.74401 05.74451 10.87730 10.88000 10.88096 10.88193 10.88287 10.88755 10.88875 10.88966 10.89141 10.89230 10.79909 10.80025 10.80139 10.80260 10.77913 10.78031 10.78141 10.78229 10.78409 08.96823 08.96914 08.97005 08.97101 08.97322 08.97412 08.97528 08.93167 08.93414 08.93505 08.93597 08.89115 08.89178 08.89262 08.89333 08.89440 08.89499 09.76354 09.76406 09.76459 09.76512 09.76565 09.76122 09.76197

00 00 00 23 23 23 23 23 00 00 00 00 00 21 21 21 21 21 21 21 21 21 23 23 23 23 23 23 23 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 17 17 17 17 17 17 17

25 25 25 29 29 29 29 29 18 18 18 18 18 17 17 17 17 14 14 14 14 14 00 00 00 00 00 00 00 28 28 28 28 23 23 23 23 23 23 18 18 18 18 18 18 18 58

39.58 39.58 39.56 30.65 30.18 30.00 29.90 29.74 45.67 45.65 45.66 45.60 45.62 58.45 58.38 58.37 58.30 30.93 30.92 30.90 30.89 30.87 06.14 06.34 06.35 06.50 06.69 06.74 06.89 01.87 02.03 02.06 02.12 56.36 56.04 55.59 55.21 54.62 54.33 03.49 03.46 03.43 03.40 03.38 03.60 03.58

+24 +24 +24 +18 +18 +18 +18 +18 +23 +23 +23 +23 +23 -15 -15 -15 -15 -07 -07 -07 -07 -07 +31 +31 +31 +31 +31 +31 +31 +06 +06 +06 +06 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09 -09

58 58 58 08 08 08 08 08 26 26 26 26 26 19 19 19 19 48 48 48 48 48 37 37 37 37 37 37 37 39 39 39 39 24 24 24 24 24 25 52 52 52 52 52 51 52

57.7 57.6 57.9 34.7 37.5 39.0 39.7 40.4 15.2 16.1 17.0 17.6 17.4 08.5 08.5 09.0 08.7 58.7 58.9 58.4 58.3 58.4 57.1 56.6 55.2 54.0 52.4 51.4 50.2 08.5 10.6 11.0 11.2 17.4 24.2 34.8 43.0 56.2 02.6 04.2 05.7 06.6 08.0 09.6 58.0 00.1

17.0 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

02060 02060 02060 02060 02060 02060 02060

7T4A171 7T4A171 N4108 N4108 N4108 N4109 N4109 N4109 N4109 K03Q33E K03Q33E K03Q33E K03Q33E K03Q33E K03Q33E

K07P28F K07P28F K07P28F K07P28F K07P28F K07P28F K07P09P K07P09P K07P09P K07P09P K07P09P K07P09P K07P27V K07P27V K07P27V K07P27V K07P08B K07P08B K07P08B K07P08B K07D08K K07D08K K07D08K K07D08K


10 10 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08

09.76250 09.76303 18.93652 18.93740 18.93843 18.98126 18.98247 18.98481 18.98627 18.88836 18.88933 18.89020 18.89108 18.89196 18.89282 18.88836 18.88933 18.89020 18.89108 18.89196 18.89282 18.89370 18.90056 18.90161 18.90296 18.90367 18.90503 18.90578 18.91174 18.91225 18.91282 18.91336 18.91392 18.91450 18.93843 18.93988 18.94052 18.94182 18.96203 18.96278 18.96365 18.96441 18.97306 18.97383 18.97444 18.97508

17 17 21 21 21 00 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 23 23 23 23 23 23 21 21 21 21 22 22 22 22 00 00 00 00

18 18 00 00 00 28 28 28 28 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 40 40 40 40 40 40 25 25 25 25 25 26 00 00 00 00 38 38 38 38 03 03 03 03 59

03.54 03.52 31.73 31.70 31.65 43.90 43.85 43.83 43.80 46.03 45.96 45.87 45.84 45.77 45.71 34.86 34.84 34.83 34.82 34.81 34.80 34.79 47.46 47.09 46.60 46.35 45.86 45.58 59.09 59.25 59.42 59.60 59.78 00.03 42.84 42.37 42.14 41.70 55.80 55.53 55.25 54.89 03.20 03.18 03.17 03.06

-09 -09 -21 -21 -21 +26 +26 +26 +26 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 +11 +11 +11 +11 +11 +11 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -21 -21 -21 -21 +00 +00 +00 +00 +04 +04 +04 +04

52 52 16 16 16 02 02 02 02 15 15 15 15 15 15 11 11 11 11 11 11 11 40 40 40 40 40 41 46 46 45 45 45 45 13 13 13 13 24 24 24 24 52 52 52 52

01.9 02.9 25.6 25.9 26.2 05.6 05.6 03.1 04.2 44.8 44.3 44.3 43.6 43.9 43.2 53.7 53.8 53.8 53.5 53.8 53.8 54.3 41.3 45.2 50.1 52.8 57.8 00.6 03.2 01.5 57.5 54.2 51.8 48.3 58.9 54.0 50.7 46.7 25.0 25.7 27.1 29.2 24.8 19.7 15.0 11.2

17.1 R 18.5 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

K07D08K K07P11U K07P11U K07P11U K07P11U K07P11U K07P11U K07H15E K07H15E K07H15E K07H15E K07H15E K07H15E K07H15E CK07N030 CK07N030 CK07N030 CK07N030 CK07N030 CK07N030 98I001 98I001 98I001 98I001 98I001 K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B K05A63B


08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08

18.97575 18.98126 18.98247 18.98329 18.98406 18.98481 18.98627 19.00017 19.00120 19.00208 19.00297 19.00383 19.00471 19.00558 18.92626 18.92838 18.92926 18.93014 18.93102 18.93189 18.86469 18.86575 18.87142 18.87234 18.87525 18.83672 18.83758 18.83876 18.83939 18.84016 18.84139 18.84607 18.84707 18.84776 18.84835 18.84896 18.85071 14.89038 14.89235 14.89350 14.89438 14.89617 14.89711 14.89898 14.90086 14.90171

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 22 22 22 22 22 22 21 21 21 21 21 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

03 28 28 28 28 28 28 19 19 19 19 19 19 19 04 04 04 04 04 04 47 47 47 47 47 09 09 09 09 09 09 39 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 60

02.99 38.65 38.78 38.86 38.96 39.03 39.19 40.12 40.00 39.82 39.68 39.59 39.52 39.42 20.39 20.29 20.20 20.17 20.15 20.08 24.64 24.63 24.56 24.51 24.50 33.53 33.59 33.68 33.74 33.81 33.90 06.05 06.35 06.56 06.73 06.93 07.46 22.69 22.64 22.58 22.56 22.49 22.43 22.32 22.30 22.24

+04 +26 +26 +26 +26 +26 +26 +33 +33 +33 +33 +33 +33 +33 -11 -11 -11 -11 -11 -11 -12 -12 -12 -12 -12 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -14 -14 -14 -14 -14 -14 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17

52 08 08 08 08 08 08 43 43 43 43 43 43 43 28 28 28 28 28 28 14 14 15 15 15 05 05 05 05 05 06 20 20 20 20 20 20 48 48 48 48 48 48 48 48 48

06.1 39.1 39.8 40.5 41.1 41.4 42.4 54.7 54.4 54.9 55.1 55.5 55.1 54.8 38.3 39.0 39.1 39.2 39.5 39.4 56.1 59.1 00.9 04.0 06.5 27.5 33.1 43.1 47.5 53.3 03.8 36.6 32.5 29.7 26.9 24.5 17.5 25.0 26.1 27.5 27.8 28.3 29.2 28.9 29.2 29.8

17.4 T

18.6 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

02060 02060 02060 02060 02060

K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07P08A K07P08A K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E K07P08E BE25728 BE25728 BE25728 BE25728 BE25728 BE29710 CK07M010 CK07M010 CK07M010 CK06O02F CK06O02F 02060 02060 02060 02060 02060 02060 02060 26761 26761 26761 26761 26761 26761 CK06O02F CK06O02F


08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08

14.86204 14.86294 14.86439 14.86566 14.86648 14.88014 14.88068 14.88124 14.88177 14.88229 14.88284 14.88337 14.89997 14.90171 14.90910 14.91163 14.91270 14.91322 14.91429 14.91481 14.85524 14.85600 14.85636 14.85749 14.85785 13.94897 13.85041 13.85676 13.85808 13.99613 13.99845 13.92735 13.92828 13.92911 13.92986 13.93089 13.93171 13.93249 13.99188 13.99274 13.99332 13.99613 13.99845 13.99980 13.99188 13.99274

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 00 19 19 19 21 21 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21

51 51 51 51 51 03 03 03 03 03 03 03 40 40 15 15 15 15 15 15 07 07 07 07 07 19 58 58 58 46 46 51 51 51 51 51 51 51 46 46 46 46 46 46 46 46 61

23.58 23.56 23.55 23.54 23.53 26.54 26.59 26.68 26.69 26.75 26.81 26.80 07.23 07.07 43.21 44.14 44.53 44.72 45.12 45.32 45.91 44.87 44.50 43.00 42.54 48.71 01.76 01.48 01.40 06.43 06.34 35.04 34.98 34.97 34.95 34.94 34.93 34.92 44.03 44.00 43.95 43.87 43.75 43.75 06.59 06.56

-10 -10 -10 -10 -10 +08 +08 +08 +08 +08 +08 +08 -17 -17 -19 -19 -19 -19 -19 -19 -10 -10 -10 -10 -10 +25 +00 +00 +00 -08 -08 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -08 -08 -08 -08 -08 -08 -08 -08

07 07 07 07 07 19 19 19 19 18 18 18 47 47 20 20 20 20 20 20 44 44 44 44 44 10 14 14 14 34 34 07 06 06 06 07 07 07 35 35 35 35 35 35 34 34

55.5 55.7 55.6 55.6 55.7 18.2 13.5 07.9 03.2 58.2 53.6 47.9 32.5 34.3 59.8 47.5 42.4 39.6 34.3 32.0 17.3 18.8 21.0 21.6 22.3 05.7 08.0 07.4 07.2 36.5 36.4 01.1 59.7 59.8 59.7 00.0 00.1 00.2 37.2 38.0 37.5 39.1 39.4 39.6 36.6 36.7

17.9 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

CK06O02F CK06O02F CK06O02F BE29710 BE29710 BE29710 BE29710 BE29710 BE29710 K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07C26K K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A K07P08A

C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007 C2007

08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08 08

13.99332 13.99388 13.99442 13.94295 13.94418 13.94498 13.94572 13.94662 13.94741 13.83165 13.83318 13.83392 13.83458 13.83528 13.83599 13.89042 13.89150 13.89241 13.89537 13.89626 13.89807 13.89898 13.90094 13.90211

21 21 21 00 00 00 00 00 00 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

46 46 46 19 19 19 19 19 19 01 01 01 01 01 01 41 41 41 41 41 41 41 41 41

62

06.54 06.52 06.49 48.11 48.21 48.30 48.36 48.47 48.54 46.62 46.70 46.78 46.85 46.89 46.95 28.39 28.31 28.28 27.99 27.91 27.81 27.75 27.51 27.49

-08 -08 -08 +25 +25 +25 +25 +25 +25 +11 +11 +11 +11 +11 +10 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17 -17

34 34 34 10 10 10 10 10 10 00 00 00 00 00 59 41 41 41 41 41 41 41 41 41

36.6 36.5 36.8 01.1 02.1 02.5 02.8 04.2 04.6 36.5 21.6 14.9 08.3 01.8 55.1 40.9 41.2 41.4 41.9 41.8 43.8 42.8 45.3 45.7

17.8 R

17.0 R

046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046 046

DIPLOMOVÁ PRÁCE Výpo et dráhových element planetek a výpo et efemerid

Recommend Documents