Diplomová práce. Návrh konstrukce kytary na základě vlastních tvarů ozvučné desky

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě

Diplomová práce Návrh konstrukce kytary na základě vlastních tvarů ozvučné desky

2006

Ondřej Jäger

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma: Návrh konstrukce kytary na základě vlastních tvarů ozvučné desky zpracoval sám a uvedl jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s § 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy zemědělské a lesnické univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MZLU o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. 2

Úvodem bych rád vyjádřil poděkování osobám, které mi byli během zpracování diplomové práce ochotni pomáhat. Jedná se především o vedoucího tohoto projektu Ing. Petra Koňase PhD, který svými cennými radami přispěl k dohotovení práce. V neposlední řadě chci poděkovat profesionálnímu kolektivu Ústavu nauky o dřevě, který mi poskytl výtečné zázemí a rady pro práci. Poděkovat též musím své rodině, přítelkyni a kamarádům, kteří mi byli v těžkých chvílích oporou. 3

Abstrakt Cílem diplomové práce je vytvořit nový návrh kytary z hlediska statického (dlouhodobá kvalita), tak i z hlediska akustického. Hlavním cílem práce bylo dosažení minimalizace napětí vzniklého napnutím strun. Pomocí programového balíku ANSYS byl zjištěn vliv jednotlivých žeber na mechanické vlastnosti celé soustavy. Na základě vyhodnocení výsledků můžeme odstranit žebra neplnících mechanickou funkci. Nová poloha žeber je navržena podle míst statického zatížení, přičemž jsou umístěna do uzlových čar vlastních kmitů celé kytary bez žeber, které vypočteme modální analýzou.

Klíčová slova kytara, akustika, modální analýza, strukturální analýza, ANSYS, metoda konečných prvků (MKP)

Abstract This diploma thesis is result of research project focused on formation of more effective design of guitar from static point of view (longterm quality) and acoustic point of view. Main goal of the thesis origins from idea of minimization of stress derived from strings tightening. Evaluation of influence of size of individual braces on mechanical characteristics of the complete structure was carried out by software application ANSYS. After detailed evaluation we are able to remove and/or simplify braces which don’t have significant importance for mechanical characteristics of guitar. New proposed position of braces reflexes the position of points of static stress. So the braces are placed in order to respect calculated mode shapes and frequencies of complete guitar without braces, which we gain through modal analysis.

Keywords guitar, acoustics, modal analysis, structural analysis, ANSYS, finite element method (FEM)

4

Anotace Hlavním přínosem práce bylo vyhotovení výkresové dokumentace ke kytaře s vykrojením. Vytvoření konečně prvkového modelu daného nástroje, na kterém byla provedena strukturální a modální analýza. Na základě vyhodnocení výsledků byl provedeno nové konstrukční řešení vnitřních žeber nástroje. Dále byly připraveny podklady pro experimentální měření chladniho obrazců na rezonanční desce.

5

Obsah ÚVOD ..................................................................................................................................................... 7 ÚVOD DO HISTORIE KYTAR ................................................................................................................. 7 Moderní kytara „klasická“............................................................................................................. 8 Moderní akustická kytar ................................................................................................................. 9 Po stopách Orvilla Gibsona ......................................................................................................... 10 TEORIE AKUSTIKY ............................................................................................................................. 14 STRUNA ............................................................................................................................................. 19 REZONANČNÍ VLASTNOSTI DŘEVA PRO VÝROBU HUDEBNÍCH NÁSTROJŮ......................................... 22 ZVUKOVÉ SPEKTRUM ........................................................................................................................ 24 Výška tónu..................................................................................................................................... 25 Barva tónu .................................................................................................................................... 26 Náběh a doznívání zvuku hudebního nástroje .............................................................................. 26 MENZURA .......................................................................................................................................... 27 METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - THE FINITE ELEMENT METHOD – FEM.......................................... 28 POUŽITÁ TEORIE PROGRAMEM ANSYS ............................................................................................ 31 Strukturální analýza ..................................................................................................................... 31 Modální analýza ........................................................................................................................... 32 Harmonická analýza..................................................................................................................... 32 Energetická kritéria porušení ....................................................................................................... 34 MATERIÁL A METODIKA ............................................................................................................. 36 SYSTÉM ANSYS ............................................................................................................................... 36 Tvorba modelu, sítě a okrajové podmínky .................................................................................... 36 TVORBA MODELU .............................................................................................................................. 37 Struktura maker (*.mac)............................................................................................................... 38 Geometrický model ....................................................................................................................... 38 Konečněprvkový model................................................................................................................. 40 Použité typy elementů ................................................................................................................... 42 Definice okrajových podmínek ..................................................................................................... 44 Parametrizace............................................................................................................................... 46 Řešič.............................................................................................................................................. 47 Postprocessor ............................................................................................................................... 47 VÝSLEDKY......................................................................................................................................... 48 Modální analýza ........................................................................................................................... 48 Strukturální analýza ..................................................................................................................... 54 Nový návrh.................................................................................................................................... 55 VÝROBA KYTARY .............................................................................................................................. 59 Výroba masivní kytarové vrchní desky ......................................................................................... 59 Výroba spodní masivní desky........................................................................................................ 62 Výroba věnce ................................................................................................................................ 62 Výroba korpusu............................................................................................................................. 64 Vyložení kytarového korpusu........................................................................................................ 65 Broušení korpusu .......................................................................................................................... 66 Výroba krku .................................................................................................................................. 66 Povrchová úprava a dokončovací práce ...................................................................................... 69 DISKUZE ............................................................................................................................................. 70 ZÁVĚR................................................................................................................................................. 72 POUŽITÁ LITERATURA ................................................................................................................. 74 PŘÍLOHA ............................................................................................................................................ 75

6

Úvod

Obr. 1. Popis jednotlivých částí kytary

Úvod do historie kytar Kytara je drnkací strunný nástroj, který má „vypasované“ tělo s boky prohnutými dovnitř. Takový nástroj vznikl podle znalců až někdy v 15. století. Vzdáleně podobné strunné nástroje existovaly již dávno předtím, ale měly však matoucí názvy s neurčitými historickými údaji. První kytary byly opatřeny čtyřmi „běhy“ (jednoduché, zdvojené nebo ztrojené struny). Přestože byl tento čtyřsborový nástroj překonán pětisborovou kytarou, byl používán ještě i v sedmnáctém století. Pětisborová kytara se objevila v polovině 16. století a hrálo se na ni až do konce 18.století. Podle dochovaných skladeb lze usoudit, že se užívaly různé druhy ladění.

7

Také párové struny se ladily do unisono i do oktávy. Několik málo takových kytar vyrobil i proslulý italský houslař Antonio Stradivari. Objevují se i první rarity, jako například lyrová kytara. Ta byla v duchu dobového návratu ke klasicismu, který probíhal především ve Francii, provedena se značnou dávkou obrazotvornosti ve tvaru staré řecké lyry, jejíž obrys bývá často na Západě používán jako symbol hudby. Existuje domněnka, že obrovská popularita, které se tento nástroj těšil zvláště u amatérských hráčů, přispěla na počátku devatenáctého století k orientaci nástrojařů na šestistrunnou kytaru. [2] V polovině

šestnáctého

století

začali

výrobci

kytar

přecházet

z původních

diskantových čtyřsborových kytar na výrobu pětisborových, celkově rozměrnějších nástrojů. Ladění „barokních“ kytar se značně lišilo, ale v polovině osmnáctého století se začalo standardizovat směrem k A / D / G / H / E – jinými slovy k ladění vrchních pěti strun moderní kytary. Přibližně v období módní obliby některých neobvyklých nástrojů s kytarou spřízněných se začala na kytarách objevovat šestá struna laděná na spodní E. V následujícím období doznávaly tyto nástroje hlavně v Itálii a ve Francii různá jednoduchá zlepšení, až vznikl nástroj, který se vzhledem i zvukem přiblížil moderní kytaře. Ten se pak rozšířil i do ostatních zemí. Moderní kytara „klasická“ V průběhu devatenáctého století se kytara začal vyvíjet do nástroje, který je dnes obecně nazývaný „klasická“ kytara. Nástrojařem, který se o tento vývoj nejvíce zasloužil, byl Antonio de Torres. Kolem roku 1800 nahradilo na evropské kytaře šest strun původních pět. První šestistranné nástroje měly často poměrně malá těla s příčným žebrováním na vnitřní straně vrchní desky, jako například kytara z roku 1830, kterou postavil Francouz René Lacôte. Torres zavedl větší, přesto však stejně těžký korpus s vyššími luby a vějířovité žebrování na spodní části vrchní desky, které se na španělské kytaře osvědčilo jako nejúčinnější. Torresovy postupy vedly ke vzniku nástroje s širším tónovým rozsahem (zvláště v basech) a jeho pojetí kytary jako nedílného celku bylo široce přejímáno ve Španělsku i daleko za jeho hranicemi. Torre ovlivnil celé Španělsko i ostatní evropské státy. Madrid se stal centrem umění stavby kytar. Po nějakou dobu na počátku dvacátého století byla plamencová kytara nejpopulárnějším typem španělské kytary. Pojem „klasická“ kytara se začal vžívat až po sérii koncertů fenomenálního Andrése Segovii ve dvacátých a třicátých letech. Od té doby se

8

„klasická“ kytara stala dominantním typem španělské kytary. Významní nástrojáři působili i mimo Španělsko; například v Německu a ve Francii. Ve 20. století došlo k změnám uvnitř kytary, především v uspořádání žeber na spodní straně rezonanční desky, která má rozhodující vliv na celkový tón a hlasitost nástroje. Právě snaha o dosažení silnějšího zvuku, ve kterém by zároveň kvalita tónu zůstala zachována nebo byla zdokonalena, rozvinula myšlení řady nástrojařů. Roku 1960 Segovia řekl: „Když jsem vstoupil do světa vážné hudby, začal jsem hrát ve velkých sálech; a od té doby se všichni nástrojaři pokoušeli postavit kytaru s lepším a silnějším zvukem. To, že takové nástroje se silným a lahodným zvukem vznikly, představuje velký úspěch stavitelů kytar.“ [2] Moderní akustická kytar Už více jak 150 let vyrábí firma Martin jedny z nejdokonalejších akustických kytar s plochou rezonanční deskou na světě. Pojetím tvaru korpusu, systém vnitřního žebrování a dekorativním vykládáním, ovlivnily kytary Martin přímo či nepřímo prakticky každého výrobce kytar. Rodina Martinů řídila společnost od samého vzniku, kdy si německý emigrant Christian Frederick Martin otevřel v roce 1833 v New Yorku obchod s hudebními nástroji. Brzy poté se přestěhoval do Nazaretu v Pensylvánii, kde sídlí továrna Martin i jejich vedení dodnes. Dalo by se namítnout, že skutečný úspěch začaly mít kytary Martin až ve třicátých letech, a že teprve v letech druhé světové války dostal tento úspěch trvaly charakter. Ale celá řada prvků klasické konstrukce Martin vznikla už dlouho předtím a objevila se na vynikajících kytarách vyrobených ještě před začátkem dvacátého století. Na konci devatenáctého století se kytary Martin začaly zbavovat nápadných evropských vlivů, jako byla například hlavice ve Staufferově stylu. Firma si začala vytvářet svůj vlastní design a konstrukce včetně slavného vzoru žebrování X. Označuje se tak uspořádání dřevěných výztuh uvnitř korpusu, které přispívá k osobitosti tónu akustické kytary. Martin vyvinul tento vzor X v roce 1850. Používal ho od té doby stále – stejně jako většina ostatních výrobců akustických kytar. Ve 20. a 30. letech byly na kytarách Martin provedeny dvě významné změny. Kytary byly přizpůsobeny pro používání kovových strun, které vystřídaly struny střevové. Aby odolaly většímu tahu, byly ve 20. letech kytary Martin osazeny pevnějším žebrováním. Okolo roku 1930 byla přidána odolnější kobylka a v polovině 30. let byl zesílen krk. Druhou změnu představovalo vysunutí krku ven z korpusu, což usnadňovalo hru na vysokých pražcích. 9

Zlepšená konstrukce s napojením korpusu na čtrnáctém pražci se poprvé objevila na modelech OM (1929) a v zápětí i na ostatních Martinech. Stala se standardním prvkem akustických kytar. Akustická kytara Dreadnought patří k nejslavnějším modelům Martina a stejně jako početná zdokonalení Martina značně ovlivnilo ostatní výrobce kytar. Pro její vzhled jsou charakteristická nápadně hranatá ramena korpusu a široký pás. Výrazný basový zvuk určený k doprovodu vokálu jí získal širokou oblibu mezi countryovými a blubrassovými hráči.

Po stopách Orvilla Gibsona První hudební nástroje, které začal Orville Gibson vyrábět ke konci devatenáctého století, měly klenuté vrchní rezonanční desky. Ladně řezané víka, které Gibson vytvářel, měla dlouhotrvající vliv na pozdější produkci společnosti Gibson, která pak po celá desetiletí zůstala prvořadým výrobcem kytar s klenutými víky. Klasické „gibsonky“ L5 a Super 400 byly původně navrženy pro dosažení silného zvuku. Ale poptávka po akustických jazzových kytarách opadla a s nástupem elektrické a modely Super 400 a L5 bez výřezu se v průběhu padesátých let přestaly vyrábět. Verze opatřené výřezem byly v malých sériích vyráběny až do počátku osmdesátých let. 1903 – 1939 Po zavedení výroby v roce 1903 byl Styl 0 špičkovým modelem kytar Gibson s klenutým víkem. Přibližně v roce 1923 ho nahradil model L5. Neobvyklá zavinutá dekorace a plochý výřez se objevil kolem roku 1907. Značka „The Gibson“ na hlavici byla připojena po roce 1916. Model L4 se podobá modelům počátečního stylu O bez „ulity“. Byl zaveden po roce 1910; oválný rezonanční otvor byl poznávací značkou Orvilla Gibsona. V polovině 20. let byl model L4 opatřen hlavicí ve tvaru „hadí hlavy“. Přibližně v roce 1937 zvětšil Gibson velikost horní části korpusu beztak již objeveného modelu Super 400. Na tomto exempláři jsou rovněž patrné změny designu struníku provedené v roce 1939. Zde uvedená přírodní světlá povrchová úprava byla zavedena jako volitelná varianta v roce 1939, ale většina modelů Super 400 byla nadále vyráběna v tradičním hnědém zabarvení „sunburst“. Tradice Gibsonu je založena na výrobě kytar s klenutým víkem. O akustických kytarách s plochým víkem začala společnost uvažovat vážně až na konci dvacátých let. Nepochybně ji k tomu přiměl i rostoucí úspěch značky Martin, jejíž nástroje typu „Dreadnought“ se objevily v polovině 30. let. První model „rovného“ Gibsonu Nick Lucas z roku 1928 byl i jednou z prvních kytar pojmenovaných po nějakém hudebníkovi. Model SJ200 (nebo J200) byl okázaný nástroj zaměřený na countryové hráče. Vedle něj vyráběl

10

Gibson i prostší kytary buď pod vlastní značkou nebo pod značkou Kalamazoo, kterou používal pro levné nástroje. 1950 – 1977 Kytara J160E, kterou vlastnil Georgie Harrison, byla v průběhu šedesátých let použita při nahrávání řady desek Beatles. Stejný model vlastnil i John Lennon. Tento model byl zaveden v roce 1954 jako amplifikovaná verze akustické kytary. Na vrchní desce měl jednocívkový snímač a příslušné ovládání. Nástroj bylo možné samozřejmě používat i akusticky. Často byl přitom snímán mikrofonem, aby se akustický zvuk spojil se zvukem snímače. Tento model byl vyřazen z výroby v roce 1977. Dalším modelem kytary byl Everly Brothers pojmenovaný po vokálním popovém duu, které se jen málokdy objevilo na pódiu bez speciálních akustických kytar Gibson. Tyto nástroje, sériově vyráběné od roku 1962 do roku 1973, jsou snadno rozpoznatelné podle zakřivených ochranných krytů. Na pozdějších modelech byly kryty menší. Ve třicátých letech začali někteří hráči potřebovat hlasitější zvuk. Řada z nich dokonce sáhla po bendžu, které se zvláště ve studiích prosazovalo v hlasitém zvuku orchestru lépe než kytara. A tak nehledě na oblibu „lap steel“ kytar s vysoko posazenými strunami, která tehdy v USA panovala, začala řada výrobců testovat trh s avantgardní elektroakustickou kytarou. Byla to běžně tvarovaná akustická kytara s normální výškou strun, ale s elektrickým snímačem a ovládáním, vestavěný do korpusu. Rickenbacker uvedl na trh svůj elektroakustický model Electro Spanish asi v roce 1932, ale prodala se jen hrstka těchto nástrojů. Gibson se přiblížil novému elektrickému nástroji v polovině 30. let modelem ES150, který představoval jeho první „elektrickou španělskou kytaru“. 1936 – 1956 Kytara ES150 je výborný příklad prvního elektrického modelu Gibsonu, který byl uveden na trh kolem roku 1936. Struník bez ozdob a jednoduché vykládání puntíky na hmatníku přispívají k prostému vzhledu, který byl inspirován levnou Gibbonovou akustickou kytarou L50 z níž byl model ES150 odvozen. Tyčinkový snímač byl kolem roku 1940 nahrazen obdélníkovým snímačem standardnějšího vzhledu. Je zde výrazný ochranný kryt a knoflíky korekcí s šipkovými ukazateli. Když byla po skončení II. světové války výroba obnovena, byl model ES150 nabízen s objemnějším korpusem. Výroba ES150 skončila v roce 1956. Elektrická kytara ES300, která pochází přibližně z roku 1941, patřila k prvním modelům s diagonálně osazeným snímačem. Tento konstrukční prvek, jehož cílem bylo zvýšit citlivost snímače na vysoké tóny, se stal populární až téměř o deset let později na prvních plných elektrických kytarách Fender. V následujícím roce bylo v tomto provedení postaveno jen 300 kytar; po roce 1945 se objevily verze s tradičněji uspořádanými snímači. Model byl vyráběn do roku 1952. 11

Na počátku 50. let si velmi konzervativní společnost Gibson uvědomila rostoucí popularitu avantgardních elektrických kytar Fender. Rozhodla se proto navázat spolupráci s Les Paulem, který byl nejen jedním z nejlepších kytaristů té doby, ale i horlivým vynálezcem. Nástroj, který z této spolupráce vznikl, nesl jeho jméno a mnoho jeho nápadů. První verze byla uvedena na trh v roce 1952. Stylové provedení odpovídalo tradici kytar Gibson. Výrazně vykrojená vrchní deska a klasická symetrický hlavice byly převzaty z již osvědčených klenutých „gibsonek“, stejně jako zmenšený, ale přesto mnohem těžší masivní korpus. Tyto znaky designu kytar Les Paul, včetně takových prvků jako lepený krk a zdobené vykládání hmatníku, měly nepochybně tvořit kontrast k sériovému vzhledu nástrojů Fender. Les Paul byl vlastně jen prvním opatrným krokem Gibsonu k modernímu nástroji s masivním korpusem, ale jeho design přetrval prakticky beze změn dalších čtyřicet let. Společně s Fenderovými designy Telecasteru a Stratocesteru patří Les Paul mezi nejpopulárnější a nejnapodobovanější elektrické kytary, které kdy byly vyrobeny. 1952 – 1984 Gold Top je kytara vyráběná od roku 1952. Krk a zadní strana jsou z přírodního mahagonu. Kryty uzavírají šachty pro ovládání a páčkový přepínač. Z bočního pohledu je vidět zahnutá hlavice a vyklenutí vrchní strany korpusu. Model Delux byl vyráběn v období mezi roky 1970 a 1984; zvláštní snímače, kterými je osazen, mu dodávají jasnější zvuk než mají normální humbuckery. 1958 - současnost V roce 1958 nahradila firma Gibson model Les Paul Gold Top modelem Standard; jednalo se vlastně o stejnou kytaru, která se lišila jen konzervativnějším provedením sunberst. Tato úprava konečně dala vyniknout javorovému dřevu vrchní desky, někdy až s ohromujícím efektem. Poptávka po Les Paulech klesala a je možné, že Standard měl přitáhnout zákazníky s konzervativnějším vkusem, které odrazovalo zlaté lakování předcházejícího modelu. Výrobu kytar Standard ukončil Gibson v roce 1961 a uvedl místo nich na trh model SG. Ale na konci téhož desetiletí hráči objevili, že Les Paul při velkém zesílení dává hutný táhlý zvuk, ideální pro hudbu s bluesovými kořeny. Tato nová vlna zájmu vedla v roce 1968 k obnovení výroby některých modelů, ale Standarde překvapivě objevil až v roce 1975. Od té doby už tvoří trvalou součást produkce Gibsonu. Variace Les Paulů Standard, Cystom a Gold Top se staly mezi kytaristy pojmem. Gibsonu to nicméně nezabránilo v tom, aby nepoužil slavné jméno Les Paul pro nepřehlednou řadu dalších modelů. Ne všechny byly úspěšné a žádný z nich nedosáhl tak trvalého ohlasu jako původní trio. Gibson například vyrobil celou řadu reedicí, které zahájil v roce 1968 znovu vzkříšeným Gold Top. Následovaly Heritage Standard (1980 – 82), Pro Felixe (1977 – 83), 54 Limited Edition Cystom (1972 – 73), 57 Gold Top (od roku 1987) a 58 Standard (od 12

roku 1985). Společnost rovněž oslavila tři výročí zahájení výroby limitovanými edicemi výročních kytar, z nichž první byl v roce 1974 model 20th Anniversary Custom. Za ní následoval o pět let později speciál 25/50 a v roce 1982 30th Anniversary Gold Top. Čas od času uváděl Gibson různé zvláštní variace Les Paulu, jako např. Recording (1971 – 79) s kompletním zapojením pro používání ve studiu, baterií oživovaný Artist (1980 – 81) a LP XR2 (1981 – 82), který neměl kryt a byl osazen neobvyklými snímači. [2] Z výše uvedeného je zřejmé, že kytara prošla nemalou vývojovou řadou a tento řetězec nebyl a v blízké budoucnosti ani nebude přerušen. I přes všechny možnosti moderní výpočetní techniky je tento vývoj směřován stále k experimentů na nástrojích samotných. Dozvěděli jsme se, že jeden z hlavních faktorů ovlivňující kvalitu zvuku hudebního nástroje je žebrování na spodní ploše rezonanční desky. K naší práci jsme vybrali kytaru od firmy BSG, která nám poskytla všechny potřebné informace týkající se konstrukce nástroje. I tato firma použila již osvědčený model kytary Gibson L4A se stejným rozmístěním žeber. Následným úkolem bylo vytvořit nový model kytary, u kterého změnou polohy a tvaru žeber dosáhneme jiných akustických vlastností. Počáteční model vycházel z poskytnuté dokumentace a byl vytvořen pro pracovní prostřední programu ANSYS. Software byl vyvinut pro výpočtové postupy využívající metody konečných prvků. Cílem je vytvořit dostatečně parametrizovaný model, abychom mohly jeho dílčí parametry měnit v numerické podobě. Model jsme zatížily napětím strun a dynamickým napětím přenesené jejich kmitáním. Problematiku jsme rozdělily do tří kategorií. Jednalo se o strukturální analýzu, modální analýzu, od které jsme získali rezonanční frekvenci vlastních kmitů a konečně frekvenční analýzu, což je unifikace předešlých analýz. Snažíme se tedy minimalizovat statické napětí uvnitř materiálu způsobené strunami a zároveň umožnit co možná nejúčinnější kmitání rezonační desky. V řadě budeme modelovat kmitání jednotlivých strun konkrétními frekvencemi, které odpovídají frekvencím jednotlivých tonů.

13

Teorie akustiky Akustika je rozsáhlý vědní obor zabývající se komplexně zvukem od jeho vzniku, přenosu prostorem až po vnímání lidskými smysly. Má celou řadu poddisciplín, např. hudební akustika zkoumá fyzikální základy hudby, hudebních nástrojů a prostorů. Stavební akustika zase zvukové jevy a souvislosti v uzavřeném prostoru, budovách a stavbách, prostorová akustika šíření zvuku v obecném prostoru, fyziologická akustika vznikem zvuku v hlasovém orgánu člověka a jeho vnímáním v uchu, psychoakustika vnímání zvuku v mozku atd. Kmitáním je označován pohyb hmotného bodu, nebo celé soustavy hmotných bodů, střídavě se pohybujících kolem své rovnovážné – klidové polohy. Kmitání však označuje i každý fyzikální děj, u něhož se v závislosti na čase střídavě mění velikost některé charakteristické veličiny. Rozlišujeme dva základní druhy pohybu: po přímce (přímočarý) a po křivce (kruhový, eliptický aj.). Vzdálenost bodu o své klidové polohy můžeme vyjádřit pohybovou rovnicí

y( t ) = A sin( ωt + ϕ 0 ) Kmitání můžeme rozdělit na tlumené a netlumené, ty se však v přírodě nevyskytují, protože při každém pohybu se uplatňuje tření, kterým se pohybová energie mění postupně na teplo. Volné kmitání je vždy třením tlumeno až zcela ustane. Tlumící síla je přímo úměrná rychlosti kmitavého pohybu a odporu bodu nebo soustavy proti tomuto pohybu. Pro tlumené kmitání nabývá pak pohybová rovnice tvar

d2y dy + 2δ + ω2 y = 0 2 dt dt B , δ ..konstanta tlumení, B…odpor proti pohybu, m…hmotnost soustavy následně 2m dostaneme výraz y ( t ) = Ae − δt sin( ω t + ϕ)

kde δ =

d

kde

ωd = ω 2 − δ 2

Amplituda tlumených kmitů klesá exponenciálně tím rychleji, čím je konstanta tlumení větší. Frekvence tlumených kmitů téže soustavy je menší než frekvence kmitů netlumených. Frekvence ω d klesá od hodnoty pro netlumené kmity při δ=0 až na nulu při tzv. kritickém tlumení – mezi aperiodicity, kdy soustava přestává kmitat.

14

Obr. 2. Tlumený kmitavý pohyb [12] Působí-li na hmotný bod nebo soustavu bodů vnější periodická (i neperiodická) síla, koná soustava nucené kmity. Vnější síla zpravidla kmitá jinou frekvencí než je vlastní frekvence soustavy. Poměr po sobě jdoucích amplitud λ je konstantní a jeho přirozený logaritmus se nazývá logaritmický dekrement, který označujeme jako ϑ γ − t

γ

T A Ae 2 λ= n = = e2 γ − ( t +T ) A n +1 Ae 2

ln λ =

γ γ T= =ϑ 2 2f

Činitel γ se nazývá koeficient útlumu. Další případ nastane, když na hmotný bod působí jednak elastická síla, ale také další vnější síly. Jedná se o nucené kmitání. Systém, který energii odevzdává, nazýváme oscilátor a systém, který energii přijímá, rezonátor. Amplitudu můžeme vyjádřit [10]:

A (ω) =

F0

(

)

2

m ω02 − ω2 + γ 2 ω2

Její maximum je v případě kdy ω = ω 0 (v těsné blízkosti pod ω 0 - vlastní frekvencí). Dá se odvodit rovnice pro logaritmický dekrement útlumu:

ϑ=

π f 2 − f1 3

f0

kde f2 a f1 jsou frekvence odpovídající úhlovým rychlostem, které mají velikost amplitudy poloviční proti amplitudě rezonanční.

15

Graf. 1. Rezonanční křivka a příslušné frekvence. Mechanické vlnění je zvláštním případem kmitavého pohybu pružného prostředí. V takovém prostředí jsou částice mezi sebou vázány pružnými vazebními silami. Rozkmitá-li se některá částice prostředí, pak se postupně rozkmitávají prostředím zmíněných pružných sil sousední částice, které zase rozkmitají další a rozruch se šíří prostředím. Rychlost šíření rozruchu závisí na fyzikálních vlastnostech prostředí. Vlnění je charakterizováno šířením vln, které přenášejí zvukovou energii. Charakteristickou veličinou je vzdálenost, kterou vlna urazí za dobu jedné periody a která je nazývána vlnovou délkou.

λ = cT -1

kde c …rychlost šíření [m.s ], T..doba periody [s]. Dosazením výrazu f =

1 se dostane vztah mezi frekvencí, vlnovou délkou a rychlostí příční T

příčných vln:

λf = c

V pevných látkách se může šířit vlnění příčné i podélné, v kapalinách a plynech se šíří pouze vlnění podélné. Pro vlnění v bodové řadě odvodíme pohybovou diferenciální rovnici ∂2y 1 ∂2y = ∂x 2 c 2 ∂t 2

kde c …rychlost šíření vlnění

16

Šíří-li se bodovou řadou dvě různá vlnění, pak se skládají – interferují v jedno vlnění výsledné. Toto vlnění má stejnou rychlost šíření jako vlnění dílčí, která se šíří v téže bodové řadě stejnou rychlostí. Nejdůležitější případ interference vlnění nastává, když dvě postupná vlnění o stejné amplitudě, frekvenci a směru kmitání bodů na téže řadě jdou proti sobě stejnou rychlostí. V tom případě vznikne vlnění stojaté. Body s maximální amplitudou kmitání jsou označovány jako kmitny, body s nulovou amplitudou kmitání jako uzly stojatého kmitání. Dvě sousední kmitny i sousední uzly jsou vzdáleny od sebe vždy polovinu vlnové délky. Stojaté vlnění, při kterém uzly vůbec nekmitají se nazývá úplným. U izotropního prostředí se rozruch šíří všemi směry stejnou rychlostí. Místa, do nichž se rozruch rozšíří v různých směrech za tutéž dobu, leží na spojité ploše, která je nazývána vlnoplochou. Vlnoplocha je geometrické místo bodů, do kterých dospělo vlnění ze zdroje za stejnou dobu. Všechny body vlnoplochy kmitají se stejnou fází. Vlnoplochy mohou mít libovolný tvar, zvlášť důležitými jsou pak kupová a rovinná vlnoplochy. Kulové vlny se v přírodě vyskytují nejčastěji. Vznikají, je-li zdroj podstatně menší než vlnová délka vzniklého vlnění, v opačném případě mají vlnoplochy spíše rovinný tvar. Rovinné vlnoplochy se početně zpracovávají jednodušeji než vlny kulové, proto je snaha převést většinu úvah o vlnění na rovinné vlny. Převzato z [12] Vlnová rovnice prostorového vlnění v plynu či kapalině má tvar

∂ 2p ∂ 2p ∂ 2p 1 ∂ 2p = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2 kde p..akustický tlak, c …rychlost šíření vlnění Šíření prostorového vlnění je zejména charakteristické svojí rychlostí, která je závislá nejenom na typu prostředí (pevné, kapalné, plynné), ale i na typu vlnění (podélné, příčné). V případě kapalin a plynů se prostorem šíří ve formě podélného vlnění střídavé zhuštění a zředění resp. proměnná tlaková složka superponovaná na statický tlak dané kapaliny či plynu. Tato složka je označována jako akustický tlak p. p = −K

∂y ∂x

kde K..modul objemové pružnosti, y ..složka výchylky kmitajících částic ve tvaru x.

17

Pro rovinné podélné vlnění v kapalinách a plynech lze odvodit vlnovou rovnici ve tvaru

K ∂2y ∂2y = ρ ∂x 2 ∂t 2

kde ρ …hustota kapaliny či plynu Rychlost šíření vlnění c v kapalinách a plynech lze zapsat jako K ρ

c=

V pevných látkách platí pro rychlost šíření příčných vln vzorec G ρ

cT =

kde G…modul pružnosti ve smyku Rychlost šíření zvuku je závislá nejenom na typu prostředí, ale také na teplotě. Teplota ovlivňuje nejen hustotu prostředí, ale v případě plynů i objemový modul pružnosti. c t = c 0 + 0,607 T kde c0…rychlost šíření vzduchu při teplotě t=0°C (c0 = 331,8 m.s-1), T…teplota ve °C. Pro teplotu 20°C je rychlost šíření zvuku 343,9 m.s-1 Akustická intenzita I je u rovinné vlny definována jako velikost energie prošlé jednotkovou plochou kolmou na směr šíření zvuku za jednotku času. I = pv cos ϕ

Akustický výkon P je dán jako součin síly a akustické rychlosti, přičemž síla je součin akustického tlaku a plochy, na kterou tlak rovnoměrně působí. P = pSv cos ϕ

kde p...akustický tlak, S..uvažovaná plocha, v…akustická rychlost, φ..úhel mezi normálou k ploše S a vektorem rychlosti v. Akustické pole lze popsat nejenom akustickými veličinami (výchylkou, rychlostí, tlakem), ale také měrnou impedancí, kterou je definována jako podíl akustického tlaku a akustické rychlosti.

z=

p v

S rostoucí intenzitou vzrůstá i její subjektivní protějšek – hlasitost. Hlasitost však není úměrná intenzitě jednotlivých vzruchů, protože nervové buňky reagují při překročení prahu plnou intenzitou vzruchu. Na lidský sluchový orgán působí zvuk s kmitočtem v rozmezí přibližně od 16 Hz do 20 kHz a vyvolává v něm subjektivní sluchový vjem. 18

Hladina akustického tlaku v decibelech L p = 20 log

p p0

kde p..daný akustický tlak a p0 =2.10-5Pa…referenční (prahový) akustický tlak

Graf 2. Křivky stejné hlasitosti, hladina akustického tlaku. Z grafu je patrné, že hodnoty intenzity v [dB] a hlasitosti ve fónech [Ph] si odpovídají jen pro frekvenci 1 kHz, pro nízké a vysoké frekvence je při stejné intenzitě vjem hlasitosti nižší (pro stejnou hlasitost je nutná vyšší intenzita zvuku), pro frekvence do cca 5 kHz naopak vyšší. Prohnutí křivek okolo 3 kHz je způsobeno deformací zvukového pole hlavou posluchače. Pro vyšší intenzity zvuku jsou křivky plošší, frekvenční závislost se zmenšuje.

Struna Základním kmitajícím elementem – oscilátorem strunných nástrojů je struna, jednoduchá či opředená, kovová, střevová nebo z plastové hmoty. V prvním přiblížení představuje struna pružné prostředí, ve kterém se šíří příčné vlnění, tj. v kolmém směru k převažujícímu rozměru struny – délce. Pro příčnou netlumenou vlnu platí pohybová diferenciální rovnice.

∂2y 1 ∂2y = ∂x 2 c 2 ∂t 2

19

Rychlost příčných vln je dána vztahem:

c=

F d

kde F…tahová síla struny, d…hmotnost struny na jednotku délky. Řešením pohybové diferenciální rovnice je pak součtem dvou vln šířících se po struně proti sobě. Na dokonale tuhém upevnění struny dochází k úplnému odrazu vlny. Od pevného konce se odráží vlna s opačnou fází (v teoretickém případě by se od volného konce vlna odrážela se stejnou fází). Pro harmonický pohyb struny, resp. její volné netlumené kmity platí řešení:

y = ∑ ( A n sin ωn t + B n cos ωn t ) sin k n x n

kde k n =

ωn , ω n …frekvence vlastních kmitů c

při drnknutí v 1/5 délky struny se formuje výsledný asymetrický tvar kmitů struny s typickým cyklickým spektrem s minimy na násobcích frekvence 5. harmonické. Vlnová délka základního módu kmitání je rovna dvojnásobku délky struny.

Obr. 3. Spektra kmitů struny s buzením v 1/5 délky. [12] U skutečné struny dochází také k „rozladění“, tj. neharmonicitě, v tom případě posuvu harmonických složek kmitání směrem k vyšším frekvencím vlivem ohybové tlumenosti struny. Akceptování této vlastnosti struny rozšiřuje pohybovou diferenciální rovnici ještě o další členy. Neharmonicitu, především známou u pianových strun, si lze představit jako důsledek reálné tloušťky struny. Kmitající struna klade v místě upnutí ohybu reakci přímo úměrnou průměru (tuhosti) struny a frekvenci jejího kmitání. V důsledku toho se poloměr 20

ohybu zvětšuje a účinná (akustická) délka struny se zkracuje. Skutečná frekvence f n´ u n-té harmonické složky je dána Youngovým vzorcem: f = fn ´ n

n 2π3  D 2  1+ 64  l

2

 E   F

kde l…délka struny, E…Youngův modul pružnosti materiálu struny, D…průměr struny, F…tahová síla struny, ρ…hustota materiálu

Obr. 4. Vznik příčných kmitů struny při buzení drnknutí v 1/5 délky. [12]

21

Ke kvalitě tónu přispívají rezonanční vlastnosti skříňky jak svojí frekvenční strukturou, tak úrovní jednotlivých vlastních rezonančních módů. Při zvláště výrazné rezonanci může dojít k zpětnému ovlivnění kmitů kobylky a struny módem skříňky. Je-li frekvence tohoto módu blízká frekvenci hraného tónu, dochází ke „strhávání“ kmitů struny do frekvence módu rezonační skříňky a tím i k štěpení základního tónu na dvojici kmitů. Rázující rozdílové součtové produkty vedou ke vzniku tzv. vlčího tónu, který vykazuje ve všech svých vlastnostech silnou nestabilitou. Vlčí tón, který obecně představuje nesoulad mezi volnými a nucenými kmity skříňky, lze potlačit změnou rezonančních vlastností skříňky nástroje, např. zatlumením vrchní desky. Převzato z [12] Rezonanční módy mají nejen svoji typickou frekvenční polohu, ale také charakteristické uzlové čáry. Módy kmitů vrchní desky kytary jsou v nižších frekvencích a jim odpovídající interferogramy jsou v souladu s konstrukcí nástroje. Jako důležité se projevují dvě rezonanční oblasti mezi 100 až 280Hz, které mohou být vzájemně v oktávovém vztahu a které představují rezonance vzdušného objemu a vlastní ozvučné skříňky kytary.

Obr. 5. Interferogramy kmitů vrchní desky kytary

Rezonanční vlastnosti dřeva pro výrobu hudebních nástrojů Pod názvem rezonanční dřeva rozumíme určité druhy dřevin s dobrou rezonanční schopností, která se používají k výrobě ozvučných rezonančních desek hudebních nástrojů. Rezonanční schopnost dřeva je jeho schopnost zesilovat zvuk bez skreslení tónu. Někdy se k tomuto účelu používal výhradně smrk. Byl těžený z poloh od 700 do 1300 m. Dodává-li se 2 až 4 m dlouhé nadzemní části kmene bez suků a jiných viditelných chyb. Rezonanční smrk je typický strom náhorních plošin anebo mírných svahů severně exponovaných. Nachází se spíše na chudších půdách než na bohatých, které způsobují rychlejší přírůstek, a tím i širší

22

letokruhy. Letokruhy musí být jemné a jejich optimální šířka pro rezonanční smrkové dřevo by měla být v rozmezí 1 – 4 mm. Optimální podíl letního dřeva má být na hranicích 5 až 20%. Energie odevzdávaná ozvučnici strunou se však ztrácí na okrajích jejího upnutí a vnitřním tření ozvučnice a zčásti se přenáší ve formě zvukové energie do okolí. Vyzařování zvuková energie je užitečnou částí energie. Aby se odevzdalo co nejvíce energie vzduchu, musí být ztráty na vnitřním tření co nejmenší a koeficient vyzařování co největší. Ukazatelem rezonanční schopnosti dřeva je výraz

K=

E

ρ

3

kde K – konstanta vyzařování, nebo akustická konstanta, E – dynamický modul pružnosti, ρ – hustota dřeva Akustické konstanty některých dřevin jsou uvedené v tabulce Tab. 1. Akustické konstanty vybraných dřevin Dřevina Rezonanční smrk Borovice Jasan Buk Bříza Javor

Vlhkost w (%) 10 10 10 10 10 12

Modul Akustická Hustota konstanta dřeva pružnosti E -3 (Mpa) K (kg-1.m4.s-1) (kg*m ) 420 11 000 12 500 15 000 11 700 15 000 6,5 750 14 000 6 630 14 000 7,5 700 11 000 5,8

Z výsledků vyplývá, že nejvhodnější dřevinou je rezonanční smrk a borovice. Nejnižší konstantu vyzařování prokázal javor, buk a jasan. Mezi bělovým a zralým dřevem smrku z hlediska akustických vlastností je nevýznamný rozdíl. Reakční dřevo snižuje konstantu vyzařování z důvodu zvýšené hustoty a snížení modulu pružnosti. Negativně ovlivňuje konstantu vyzařování nepravidelné uspořádání vláken (točitost). Při točitosti 7% se snižuje konstanta vyzařování o cca 6% v důsledku snížení modulu pružnosti. Kromě smrku se používá na dna hudebních nástrojů, především houslí a kytar, javorové dřevo. Za účelem čistě estetickým se vybírá dřevo s bohatou kresbou – fládrem.

23

Místo smrku se používá jedlové dřevo. Vždy jsou vyhledávané radiálně řezané desky. Pro zlepšení akustických vlastností (vysoké intenzity vyzařování zvuku) se desky musí přirozeně vysušit delší dobu 3 až 5 let. Převzato z [11] Rychlost šíření zvuku v materiálu závisí na odporu prostředí; zvuk se tlumí vnitřním třením a vyzařováním zvuku radiací. Odpor prostředí proti šíření zvukové vlny – vnitřní tření – se vyjadřuje akustickým vlnovým odporem Z, který závisí na rychlosti šíření zvuku a hustotě materiálu

Z = ρc = ρ

E ρ

kde Z – akustický vlnový odpor (kg.m-2.s-1), E – modul pružnosti (Pa), ρ – hustota dřeva (kg.m-3) Tlumení zvuku je způsobené radiací γ (m2.s.kg-1) je možné vyjádřit podle vztahu λ=

c E = ρ −1 ρ ρ

Závislost intenzity vyzařování zvuku – tlumení způsobené radiací – na akustickém vlnovém odporu Z určuje dobré akustické vlastnosti dřeva. Tlumení zvuku třením je sice u dřeva větší než u kovů, ale ve schopnosti zvuk vyzařovat radiací je dřevo nepřekonatelné. Vnější mechanická energie způsobující rozkmitání tělesa se tedy ve dřevě částečně vnitřním třením mění na teplo a z části se vyzařování do okolí ve formě zvukové energie. Za rezonanční považujeme takové dřevo, ve kterém dochází k nízkému tlumení vnitřním třením a naopak k vysoké radiaci zvukové energie. Převzato z [4]

Zvukové spektrum Základem každého zvuku je tón, neboť každý zvuk se skládá jen z různých a různě uspořádaných jednoduchých sinusových tónů. Časový průběh každého zvuku je dán střídavým proměnlivým akustickým tlakem (rychlá oscilace tlaku nad a pod jeho atmosférickou hodnotou mnohokrát za sekundu), který lze v závislosti na čase znázornit křivkou rozvinutou podél časové osy. Tento průběh může být analyzován a rozložen do harmonických (sinusových) komponent (složek) s určitými frekvencemi. Jim odpovídající amplitudy dávají takzvané amplitudové spektrum. Bude tedy správné se na každý zvuk dívat jako na spektrum tónů. (Matematik Fourier dokázal, že každou periodickou funkci je možné

24

rozvinout a vyjádřit řadou jednoduchých sinusových funkcí; považujeme-li nějaký neperiodický zvuk, třeba plesknutí, za jednu periodu opakovaného děje, můžeme jej rozložit stejným způsobem; pozn.: funkcí matematik vyjadřuje tvar křivky). Je-li časový průběh akustického tlaku neperiodický, odpovídající zvuk označujeme jako hluk nebo šum a jeho spektrum je spojité. Je-li tento průběh periodický, je spektrum čárové (diskrétní) a odpovídající zvuky vnímáme jako tóny. Je-li vlnění monofrekvenční (odpovídající jediné frekvenci), je tón čistý. Takový zvuk, absolutně monochromatický, vlastně ani nemůže existovat. Už jeho konečná délka trvání vede ke konečné šířce spektra frekvencí. Tóny hudební jsou tóny složenými. Obsahují vedle své základní frekvence i mnoho harmonických tónů vyšších frekvencí a tudíž každý tón má svou výšku i barvu.

Výška tónu Hudebníci rozdělili tóny po určitých intervalech a každý z nich dostal své pojmenování a značku (puntík v notové osnově). Nejslavnější a nejznámější tón komorní a (a', A4) je v celé plejádě not jakýmsi základem, pevným bodem, od něhož se odvozují a "odměřují" všechny další. Technici si zvolili k přesnému určení výšky tónu číslo, které udává počet kmitů za sekundu neboli kmitočet (frekvenci) [jednotka: Hertz (Hz)]. Řekneme-li, že tón komorní a má frekvenci 440 Hz, znamená to, že například struna nebo ladička naladěná na tento tón kmitne 440krát za sekundu tam a zpět a ve stejném rytmu rozkmitá částečky zvuku ve svém okolí. Při stejné intenzitě je pak rozkmit (amplituda) struny hluboko naladěné větší než struny vysoko laděné. Stejně, pokud jde o amplitudu, se chovají i částečky vzduchu, které tón přenášejí a šíří do okolí. (Tato skutečnost působí nemalé obtíže při konstrukci reproduktorů, protože má-li reproduktor vyzářit hluboký tón ve stejné intenzitě jako tón vysoký, musí jeho membrána mít mnohonásobně větší rozkmit.) Řekne-li hudebník, že druhý tón je o oktávu vyšší než první, řekne technik, že druhý tón má dvojnásobnou frekvenci. Má-li následující tón frekvenci poloviční, řekne o něm hudebník, že je o oktávu nižší. Vzdálenost mezi dvěma tóny se nazývá interval. Mezi nejznámější intervaly patří oktáva, která se skládá ze 12 půltónů. Mezi dvěmi frekvencemi platí následující vztah:

kde n je počet oktáv.

25

Barva tónu Tóny různých hudebních nástrojů mohou být stejné, tedy pokud jde o jejich výšku, a přece se od sebe odlišují rozličným zabarvením. Kmitání struny klavíru nebo jiného hudebního nástroje totiž není tak jednoduché, jak by se na první pohled zdálo. Struna jako celek sice kmitá svou základní frekvencí, ale některé její části kmitají navíc ještě dvojnásobnou i vícenásobnou frekvencí. Tak se vedle základního tónu objeví i harmonické neboli alikvotní tóny. Jejich frekvence je vždy celočíselným násobkem frekvence základní. Harmonické frekvence, jejich množství, rozložení a intenzita pak určují zabarvení základního tónu. Tak například sudé (2., 4., 6. atd.) harmonické tóny dávají měkkou, příjemnou barvu, kdežto liché (zejména sedmý) dávají zvuku tvrdý, pronikavější charakter. Vznik harmonických tónů závisí například na místě a způsobu, kde a jak strunu rozechvějeme (úder kladívka, tření smyčcem), na rezonanci tělesa a dutin nástroje, na materiálu, ze kterého je nástroj zhotoven apod. Jestliže nejvyšší tóny používané v hudbě málokdy přesáhnou frekvenci 4 kHz, neznamená to ještě, že pro snímání, záznam či reprodukci hudby vystačíme se zařízením, které je schopno přenášet nejvýše tuto frekvenci. Některé nástroje jsou totiž tak bohaté na vyšší harmonické frekvence, že jejich skutečný rozsah, tedy včetně barvotvorných složek, značně převyšuje vlastní hudební rozsah. Kromě základních tónů vyluzovaných hudebními nástroji musí být zařízení schopno zpracovat ještě co nejvíce tónů harmonických, které dodávají nástrojům "barvu", "lesk", prostě "šťávu", jinak bude reprodukce nedokonalá. Nejnáročnějším nástrojem, pokud jde o šířku přenášeného pásma, jsou varhany. Ale ani mnohem běžnější nástroj, bicí souprava, není o mnoho skromnější. Jedním z mála nástrojů, které jsou poměrně chudé na harmonické tóny, je saxofon.

Náběh a doznívání zvuku hudebního nástroje Charakter zvuku hudebního nástroje není dán jen obsahem harmonických, ale také způsobem, jakým zvuk nabíhá (i když hlavním orientačním prvkem pro sluch jsou převážně harmonické frekvence). Některé nástroje mají nasazení tónu tvrdé jiné měkčí, pomalejší. Přestože jde o velmi krátké časové úseky, přece jen je lidské ucho schopné postřehnout rozdíly v náběhu tónu. Když nahrajeme dva stejné tóny dvou různých nástrojů a pomocí elektroakustického filtru odstraníme z jejich zvuku všechny harmonické frekvence a začátek (nasazení) tónu, nikdo jejich zvuk od sebe nerozliší. Podobně jako v nabíhání tónu se nástroje mohou odlišovat i v jeho doznívání. Doznívání zvuku hudebního nástroje však nelze 26

zaměňovat s chováním akustických prostorů, které mají podobné vlastnosti. Než v nich zvuk dosáhne plné intenzity, určitou dobu nabíhá a obdobně nějakou dobu, často i několik sekund, doznívá. Průběh intenzity jediného tónu u různých hudebních nástrojů zajímá zvukaře i z hlediska správné úrovně signálu. Rovněž subjektivní pocit hlasitosti je tímto parametrem značně ovlivněn. Tak například klavír jakoby vystřelí tón v intenzívní krátké špičce v okamžiku úderu kladívka. Pak už struna zní poměrně slaběji a v klesající intenzitě. Naproti tomu tón některého dechového nástroje je co do své intenzity mnohem vyrovnanější. Ještě jinak je tomu třeba u klarinetu, jehož plátek nasazuje nejprve několika slabými kmity, jejichž intenzita postupně narůstá.

Menzura Nejprve musíme věnovat patřičnou pozornost přípravě šablon a výpočtu cenzury. Dopředu se tedy stanoví základní délka strun, od které se odvodí i další rozměry nástroje. Menzura je tedy rozměr mezi sedlovým pražcem a hranou kobylky. U klasických kytar je v přesné polovině dvanáctý pražec a zároveň je v této vzdálenosti i hrana korpusu. Jumba mají tuto hranu pod čtrnáctým pražcem. Výpočet menzury podle vzorce [14]:

kde

M = p 1 k M je základní menzura (délka struny v mm) k je konstanta

2 =1,059463094 p1 je poloha prvního pražce od kobylky v mm 12

Ze základního vzorce vypočítáme polohu prvního pražce. Tento výsledek se dosadí do základního vzorce namísto hodnoty M, tím vypočítáme polohu dalšího pražce [14].

p

1

k

=

p

2

Takto se postupně vypočítá i vzdálenost všech polohových pražců na hmatníku. Pátý pražec by měl být třemi čtvrtinami menzury, dvanáctý polovinou a dvacátý čtvrtý čtvrtinou.

27

Tab.2: Menzura při délce struny 650 mm Menzura 650 mm vzdálenost k č. vzdálenost ke sedlovému pražce kobylce [mm] pražci [mm] p1 613,518 36,482

p12

325,000

vzdálenost k sedlovému pražci [mm] 325,000

vzdálenost ke kobylce mm

č.pražce

p2

579,084

70,916

p13

306,759

343,241

p3

546,583

103,417

p14

289,542

360,458

p4

515,905

134,095

p15

273,291

376,709

p5

486,950

163,050

p16

257,953

392,047

p6

459,619

190,381

p17

243,475

406,525

p7

433,823

216,177

p18

229,810

420,190

p8

409,474

240,526

p19

216,911

433,089

p9

386,492

263,508

p20

204,737

445,263

p10

364,800

285,200

p21

193,246

456,754

p11

344,326

305,674

p22

182,400

467,600

Ukázky jiných menzur: 24.00" = 609.60mm (Fender Duo-Sonic/Jazzmaster/Jaguar) 24.75" = 628.65mm (Gibson or Rickenbacker) 25.00" = 635.00mm (PRS) 27.67" = 702.82mm (Baritone) 30.00" = 762.00mm (Short scale bass) 32.50" = 825.50mm (Medium scale Rickenbacker bass) 34.00" = 863.60mm (Long scale Fender bass)

Metoda konečných prvků - The Finite Element Method – FEM Metoda konečných prvků představuje moderní vysoce efektivní numerickou metodu pro řešení technických a vědeckých úloh. V současnosti je považována za jednu z nejúčinnějších přibližných metod pro řešení problémů popsaných diferenciálními rovnicemi. Metodu konečných prvků navrhl v roce 1943 Richard Courant, americký matematik německého původu. Zhruba o deset let později byla znovu objevena americkými inženýry při provádění pevnostních výpočtů leteckých konstrukcí. Systematické teoretické studium MKP (FEM) začalo až v šedesátých letech. V roce 1968 dokázal jako první konvergenci MKP brněnský profesor Miloš Zlámal (1924 - 1997). Základní myšlenkou metody je, že se nejprve trianguluje vyšetřované těleso, tj. rozdělí se na konečný počet jednotlivých oblastí, což jsou pro rovinnou úlohu většinou trojúhelníky či čtyřúhelníky a pro prostorové úlohy čtyřstěny, pětistěny, kvádry a podobně. Poté se minimalizuje odpovídající potenciální energie na množině spojitých a po částech

28

polynomických funkcí nad již vytvořenou triangulací. Vhodnou volbou bázových funkcí lze tuto úlohu převést na řešení soustavy lineárních (popř. nelineárních) algebraických rovnic, jejíž matice je řídká, tj. obsahuje většinou nulové prvky. Řídkost matice snižuje nároky na paměť počítače a počet prováděných aritmetických operací. To nám již v současnosti umožňuje řešit obrovské soustavy a. o miliónech rovnic a milionech neznámých na počítačích s paralelní architekturou. Pokud je úloha nelineární, její řešení se většinou převádí na posloupnost lineárních rovnic. Hlavní výhodou MKP je, že umožňuje dokonale aproximovat vyšetřované těleso, a že celý výpočtový proces lze na počítačích zautomatizovat: • Interpolace vstupních dat • Generování triangulí • Sestavení soustavy algebraických rovnic • Vyřešení soustavy algebraických rovnic • Vyhlazení numerického řešení • Aposteriorní odhady chyby • Grafické znázornění výsledků Těchto sedm bodů je implementováno v nepřeberném množství souborů programů, které vytvářejí uživatelsky příjemné prostředí pro zadání úlohy spolu s kontrolou vstupních údajů. Zjemňování sítě probíhá buď interaktivně, kdy si uživatel sám volí oblasti, kde chce získat lepší aproximaci řešení, nebo adaptivně (tj. bez zásahu člověka). V tomto druhém případě počítač sám vyhodnocuje velikost chyby na jednotlivých prvcích, které pak případně dále rozděluje. Příslušná výstupní data jsou pak ve formě izolinií, různě obarvených, stínovaných či vyšrafovaných ploch. Minimum celkové potenciální energie soustavy hledáme pomocí Lagrangeova variačního principu. Při variaci složek posunutí, splňujících geometrické podmínky uvnitř oblasti Ω i na její hranici Γ, je variace potenciální energie systému nulová. Ze všech kinematicky přípustných stavů (t.j. stavů, které vyhovují okrajovým podmínkám) u(x) nastane ten, pro který je nabývá potenciální energie minimální hodnoty. To znamená, že funkcionál je stacionární.

δΠ = δU + δW = 0 Vztah mezi napětím a přetvořením je u lineárního elastického materiálu dán rozšířeným Hookeovým zákonem, jenž je z teorie pružnosti znám ve tvaru: Tyto rovnice se dají jednoduše zapsat pomocí maticového zápisu ve tvaru: 29

{ε} = [C]{σ}

ε = Cσ

kde [C] je matice poddajnosti pro obecně anizotropní materiál. Inverzí předešlého vztahu získáváme vztah pro výpočet vektoru napětí, ve kterém [D] je matice tuhosti materiálu:

{σ} = [D]{ε}

kde σ je vektor napětí, [D ] matice elasticity a ε je vektor poměrné deformace Platí, že [D]-1 = [C]. Matici poddajnosti (izotropní materiál) [6]

[C] = [D ]=1

 1   Ex  µ yx −  Ex  µ zx − =  Ex   0   0    0 

−

−

µ xy Ey 1 Ey µ zy Ey

− −

µ xz Ez µ yz Ez 1 Ez

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G yz

0

0

0

0

1 G xz

0

0

0

0

 0    0    0    0   0   1   G xy 

Neznámou je vektor poměrné deformace. Po dosazení do energetické rovnice rovnováhy dostáváme:

r

{∂ur ∫ [B]T [D ][B]dΩ e ⋅ur }+ {∂ur ⋅ k ∫ [N n ]T [N n ]dS1Ω ⋅ur } = ∂ur ∫ [N n ]T PdS 2 Ω e

Ωe

S1Ωe

e

S 2 Ωe

kde [N n ] je matice tvarových funkcí pro pohyb kolmý k ploše, k je koeficient základní tuhosti, r P vektor působícího tlaku, Ω e je objem elementu, S Ω1 e je plocha působící proti akční r veličině, S Ω2 e je plocha, na kterou působí tlak P .

30

Použitá teorie programem ANSYS Strukturální analýza Po rozčlenění modelu na konečný počet idealizovaných částí, elementů, lze výsledné působení sil vypočítat užitím rovnic platných pro uzly, které definují jednotlivé elementy. Pro každý z těchto elementů musíme znát odpovídající pozice uzlů v prostoru, poté již můžeme pokračovat standardním postupem výpočtu pro konečněprvkové řešiče. Pro výpočty deformační analýzy se používá souhrnného vzorce [1]:

kde [M]= matice hmotnosti, [C] = matice tlumení, [K] = globální matice elasticity, { }= vektor uzlových zrychlení, { }= vektor uzlových rychlostí, {u}= vektor posunutí, {Fa}=výsledný vektor deformace Pokud na objekt nepůsobí setrvačné síly a zanedbáme tlumící vlastnosti, použijeme zjednodušenou rovnici ve tvaru:

[K]{∆} = {F}

kde [K] je reálná matice tuhosti řešeného systému (globální), která je symetrická, pásová, positivně definitivní a obvykle řídká, (∆) vektor neznámých deformačních parametrů systémů, {F} ... vektor celkového (globálního) zatížení. Rozepsáním výše uvedené maticové rovnice dostaneme systém lineárních rovnic pro neznámé hodnoty deformačních parametrů ∆1 až ∆n . Převzato z [6].

Počtem neznámých je určen řád úlohy, v našem případě n, a matice tuhosti [k] bude mít řád n × n. Po vyřešení neznámých (v praktických úlohách se jejich počet pohybuje kolem stotisíc až do několika milionů), se zpětným výpočtem určují pro jednotlivé prvky vnitřní silové účinky (osové a posouvající síly, kroutící a ohybové momenty) a napětí.

31

Modální analýza Modální analýza je moderní obor dynamiky, který k popisu kmitavých vlastností a kmitavého chování konstrukcí užívá možnosti rozkladu složitého kmitavého procesu na dílčí, tzv. modální příspěvky. Každý příspěvek je charakterizován modální frekvencí a modálním tvarem kmitu. Při matematickém modelování spočívá takový rozklad v náhradě soustavy vzájemně vázaných diferenciálních rovnic popisujících kmitavé chování uvažované konstrukce soustavy nezávislých, izolovaně řešitelných diferenciálních rovnic pomocí, tzv. modální transformace. [8] Základní rovnice pro elementární těleso vypadá takto [1]:

kde {φ}i je eigenvector reprezentující amplitudu i-té vlastní frekvence, ωi úhlová rychlost, t čas, ω je 2πf, f je frekvence kmitání

je i-tá vlastní

Modální analýza není určena pro výpočet napětí a deformace v tělese. Získáme pouze rezonanční frekvence odpovídající modům při napětí vzniklém od strun. Z takto definovaného zadání můžeme získat pouze rezonanční frekvence odpovídající jednotlivým modům kmitání.

Harmonická analýza Aplikací Hamiltonova principu dojdeme k výchozím rovnicím pro řešení jednotlivých druhů kmitání. Kmitání můžeme rozdělit do čtyřech skupin: na kmitání vlastní netlumené, vlastní tlumené, vynucené netlumené a vynucené tlumené. Jednoduchou analogií k pseudostatickým podmínkám rovnováhy dospějeme k základním rovnicím pro jednotlivé typy kmitání. [6] Kmitání vlastní netlumené: [M ]{&u&} + [K ]{u} = {0} vlastní tlumené: [M ]{&u&} + [K ]{u& } + [K ]{u} = {0} vynucené netlumené: [M ]{&u&} + [K ]{u} = {F1}sin ω1t vynucené tlumené: [M ]{&u&} + [K ]{u& } + [K ]{u} = {F1}sin ω1

32

kde [M] matice hmotnosti, {&u&} vektor uzlových zrychlení, [C] matice tlumení, {u& } vektor uzlových rychlostí, {F1} vektor amplitud budících sil, ω1 kruhová frekvence budící síly Jedná se o speciální typ strukturální analýzy, kdy požadujeme především vlastní frekvence kmitání soustavy způsobené nuceným kmitáním a rozložení napětí uvnitř tělesa závisejícího nejen na statickém namáhání, ale také na dynamické odezvě nuceného kmitání. Uvažujme vynucené tlumené kmitání. Toto kmitání je určené pohybovou rovnicí:

[M ]{&u&}+ [K ]{u& }+ [K ]{u} = {F(t )} Kde [C] je matice viskózního tlumení. Obecně by se konzistentní matice tlumení elementu dala získat obdobně jako konzistentní matice hmotnosti pomocí vztahu:

C = ∫ N T µNdV V

V praxi se však tento vztah nevyužívá, neboť koeficienty lineárního tlumení µ je velmi složité získat, ale protože vliv tlumení je obecně menší než vliv setrvačnosti a tuhosti, je možné matici tlumení určit ve tvaru lineární kombinace matice hmotnosti a tuhosti:

[C] = α[M] + β[K ] kde α a β jsou proporciální koeficienty zohledňující vliv rychlosti uzlových bodů a rychlosti deformace. Tyto proporcionální koeficienty získáme pomocí experimentálního měření. Tomuto typu tlumení se říká Rayleighovo tlumení.

Při požadavku výpočtu napětí je to metoda řešení full (úplná), tedy výpočet nejen frekvencí kmitání. Pro výpočet se použije stejného postupu jako ve strukturální analýze. V harmonické analýze vyvolávají největší změny kinetické energie frekvence nuceného kmitání, které jsou velmi blízko vlastním frekvencím tělesa. Blízkost frekvence nuceného kmitání a vlastní frekvence závisí na koeficientu útlumu, v případě snižování útlumu dochází k zužování rezonanční křivky. Tato veličina je závislá na několika faktorech, jak bylo popsáno v teoretickém úvodu. Výsledkem nejsou pouze vlastní frekvence odpovídající jednotlivým modům kmitání, ale také rozložení napětí uvnitř a na povrchu tělesa.

33

Výsledkem strukturální analýzy a frekvenční analýzy je rozložení napětí uvnitř a na povrchu definovaného tělesa, resp. v každém uzlu konečněprvkové sítě. Toto napětí může představovat napětí v tahu, tlaku, smyku, krutu… Absolutní hodnota těchto napětí však nemá jasnou interpretaci. Pokud známe napětí v každém uzlu, můžeme také vypočítat energetická kritéria. Jsou to vlastně bezrozměrné veličiny hodnotící stavy deformace.

Energetická kritéria porušení Základním je Von Misesovo energetické kritérium:

kde: εx.. příslušná deformace, γxy.. příslušná smyková deformace a

kde el…deformace způsobená elastickým namáháním, Jelikož nepředpokládáme žádnou z těchto veličin, je výsledná rovnice:

ε eq =

1 1+ ν

(

1 (ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 3 γ 2xy + γ 2yz + γ 2xz 2 2

)

kde ν = poissonovo číslo Výsledné ekvivalentní napětí se pak vypočítá:

kde E = Youngův modul pružnosti Pokud je výsledné napětí σeq>σp (napětí odpovídající mezi pevnosti), dojde k porušení. Nevýhodou tohoto energetického kritéria je, že je plně použitelné pouze pro

34

isotropní materiály, nezahrnuje smykové složky napětí a nerozlišuje mezi vlastnostmi v různých směrech namáhání. [1] Dalším energetickým kritériem, které budeme používat je Hoffmanovo 3D kritérium. Analyticky se vypočítá dle: 2 2 1 = A (σ 2 − σ 3 ) + B(σ 3 − σ1 ) + C (σ1 − σ 2 ) + D σ12 + E σ 22 + Fσ 32 + 2 G σ 223 + 2 H σ 31 + 2 Iσ12 2

2

2

P P P ) kde A,B,…,I = f (σ LC , σ LT , σ RC , σ RT , σ TC , σ TT , σ LR , σ RT , σ LT

Hoffmanovo energetické kritérium vyjadřuje energii, kterou musíme dodat celému systému, aby došlo k porušení. K porušení dojde v případě

hoff3d > 1. Výstupem je

normovaný skalár. Výhodou je, že zahrnuje i smykové složky napětí (u dřeva je mez pevnosti ve smyku nejnižší) a rozlišuje mezi vlastnostmi v různých směrech namáhání (tahu a tlaku). [1]

35

Materiál a metodika Na matematických modelech je stále co zlepšovat. Mělo by zde platit pravidlo, že teorie s praxí si jde ruku v ruce. Proto je důležité stále se obracet na odborníky z praxe a konzultovat s nimi naše poznatky.

Systém ANSYS ANSYS je programový balík obsahující celou řadu podprogramů (Multiphysics, Mechanical, Structural, Electromagnetical. . .). Základní část softwaru - ANSYS University high - zahrnuje celou škálu fyzikálních problémů, které jsou popsatelné metodou konečných prvku: strukturální analýzy (statika a dynamika), teplotní analýzy, proudění, akustiku, nízko a vysokofrekvenční elektromagnetismus, přičemž vše je v jednom programovém prostředí. Program je obecně nelineární a nestacionární, je možné zadávat veličiny jak skalární, tak vektorové povahy. Umožňuje současně řešit problémy, tzv. sdružených úloh. Jednotné grafické prostředí GUI (Graphics User Interface) provázející práci uživatele od preprocessingu přes solvery až po postprocessing je logické, jasné a přehledné. GUI zahrnuje širokou škálu výpočtů, včetně nelineárních modelů výpočtů, stejně jako modely materiálu, tranzientní úlohy nebo parametrické modely pro optimalizaci.

Tvorba modelu, sítě a okrajové podmínky Struktura programu je složena z několika částí, z nichž za klíčové lze považovat: ¾

Preprocessor

¾

Solution

¾

General Postprocessor

V Preprocessingu probíhá zadávání vstupních dat jako je například tvorba geometrie modelu, volba typu elementu, zadávání vlastností jednotlivých materiálu, tvorba sítě a okrajové podmínky. Tvorba sítě zde probíhá pomocí automatického generátoru, který dodržuje hlavní zásady, mezi které patří: rozdělení konstrukce na prvky beze zbytku, bez překrývání se navzájem, prvky se striktně stýkají pouze na hranách, a to vždy v jednom

36

vrcholovém uzlu, a nedochází ke styku prvku, které mají jiný stupeň interpolačních polynomů. Do generátoru sítě se zadává pouze tvar, typ prvku a jeho velikost. Hustota dělení konstrukce závisí na typu (tvaru) prvku, na typu interpolačního polynomu, na tvaru konstrukce, a také na požadované přesnosti řešení, neboť se zhušťováním dělení roste i zvyšování přesnosti výpočtu. Každému uzlu sítě je přiřazeno číslo z množiny přirozených čísel { 1. . .MAX } , kde MAX je počet uzlů v síti. Toto číslování se nazývá globálním a souřadnice uzlu se vztahují ke globálnímu souřadnému systému. V dalším kroku (Solution) probíhá vlastní výpočet metodou konečných prvků a zde se nastavují především parametry související se samotným výpočtem jako je velikost časového kroku, počet iterací do konce testování konvergence, ale i počáteční podmínky. Vlastní výpočet MKP je rozdílný podle typu úlohy. Poslední ze tří základních částí je postprocessing, ve kterém probíhá zpracování (zobrazení) výsledku. Výstupem z výpočtu MKP jsou hodnoty neznámých v uzlech sítě konečných prvků, popřípadě další veličiny z nich vypočtené. Hlavní část postprocessingu tvoří bezesporu grafické zobrazení výsledku. ANSYS umožňuje kreslení ve dvou a třech dimenzích, kreslení vybraných částí konstrukce, volbu měřítek, natáčení, přibližování konstrukce a atd..

Tvorba modelu Model byl vytvořen na základě výkresové dokumentace, která byla vyhotovena po přeměření vybraného typu kytary firmy BSG. Jedná se o mírně pozměněný nástroj vyráběný firmou Gibson. Materiálové charakteristiky byly převzaty z odborné literatury [11]. Jedná se o částečně parametrický model vytvořený v programovacím jazyce APDL ANSYS Parametric Design Language. Cílem bylo vytvoření takového modelu, u kterého by se daly měnit vstupní veličiny ve formě proměnných a tím mohlo docházet k optimalizování modelu za přispění výpočtového programu ANSYS. Byla vytvořená jednotlivá makra, *.mac, která v dané posloupnosti tvoří jeden celek. Jednotlivé skripty jsou samostatnými celky a umožňují tak lepší orientaci při změnách v modelu.

37

Struktura maker (*.mac) model

spouštěcí makro telo

korpus kytary tvar

horní deska

luby

vytažení lubů

spodni deska

spodní deska

spalik

přední a zadní špalík

krk

definování krku, kobylky a hmatníku krk

krk

hmatnik

hmatník

kobylka

kobylka s pražci

struna

definice strun

zebra

žebrováni

sou_system

definování souřadných systémů elementů

sit

rozsíťování modelu

cpkontakt

kontakt jednotlivých elementů

Geometrický model Geometrie modelu byla vytvořena podle výkresové dokumentace, jenž je součástí přílohy. Úkolem bylo vytvořit zjednodušený model, který by byl co nejbližší skutečnosti. Simplifikace modelu je ovlivněna požadavky na přesnost modelu. Přesnost je přímo úměrná významu prvků vstupujících do výpočtu. Zjednodušený je především krk, tělo naopak co nejdůvěryhodnější. Prvořadým bylo vytvoření tvaru těla kytary. Tato operace byla provedena pomocí souřadnicového nadefinování 73 bodů ležících na obvodu kytary, které byly následně spojeny segmentovanou křivkou. Z jednotlivých křivek byla vytvořena plocha a posléze do ní vyříznut rezonanční otvor skládající se ze čtyřech čtvrtkruhů. Konečné fázi byla vytažena ploch do objemu, a to na tloušťku 3,1mm, která odpovídá skutečné tloušťce rezonanční desky. Luby byly vytvořeny pomocí vytažení segmentované křivky tvořící ohraničení rezonanční desky podle předem vytvořené čáry odpovídající výšce lubu v místě rolny (110 mm). Vzhledem k rozdílným výškám lubu v místě styku s krkem a rolny je potřeba luby

38

seříznout pomocí nadefinované pracovní roviny a to tak, aby u krku byla výška lubu 95 mm a u rolny 110 mm. Po oříznutí lubů jsme již mohli vytvořit ze vzniklé křivky plochu spodní desky a následně ji vytáhnou do tloušťky 2,8 mm opět odpovídající skutečnosti.

Obr. 6. Korpus kytary Další operací bylo vytvoření krku. Ten jsme mohli zjednodušit, protože není pro vlastí výpočet příliš důležitý. U krku je vynechána jeho sbíhavost směrem k hlavici a zaoblení. I patka modelu byla zjednodušena na 6 objemů přibližné kopírující složitou plochu skutečné patky. Pomocí nadefinování souřadnic bodů se zetovou hodnotou 0, jsme vytvořily plochy náležící nultému pražci, hmatníku a kobylce, které jsme posléze vytáhli do tloušťky odpovídající jejich skutečným hodnotám. V této fázi bylo poslední operací vytvoření strun, a to pomocí nadefinování bodů tvořící začátek a konec struny a jejich propojení čarou.

Obr. 7. Patka kytary

39

Nyní se může přistoupit k další fázi při konstrukci modelu, a to je vytvoření vnitřních žeber a špalíků, které jsou hlavním předmětem optimalizace. Poloha a rozměry všech žeber jsou přesně podle výkresové dokumentace. Žebra jsou konstruovány pomocí nadefinování střednic bodů, které budou vytvářet plochu přicházející do kontaktu s vnitřní plochou horní či spodní desky. Vytvořené plochy jsou tak vytaženy do tloušťky odpovídající danému žebru. Po vytvoření objemů byla všechna žebra ořezána příslušnou plochou lubů, popřípadě žeber samotných (křížová žebra). Pro jednoduché vytvoření konečněprvkové sítě je výhodná jednoduchost navazování sousedících objemů na sebe, žebra – desky. Proto jsou desky rozřezány podle polohy žeber, jak je vidět na obrázku č. . Pro vytvoření spojité konečněprvkové sítě je potřeba všechny plochy slepit. To provedeme booleovskou operací slepení (glue). Výsledkem je odstranění zdvojených čar a bodů na hranici geometrických objektů.

Obr. 8. Celkový model kytary V posledním stádiu tvorby modelu jsou napnuty struny a to od nultého pražce, přes sedlový pražec na kobylce až do rezonanční desky.

Konečněprvkový model Geometrický model je nyní potřeba transformovat do konečněprvkového modelu. Základním prvkem takto transformovaného modelu je element, kterým jsou nahrazeny objemy stávající kytary. Volbou elementu přiřadíme modelu dané vlastnosti, především se jedna o materiálové charakteristiky a stupně volnosti. Vzhledem k různorodosti materiálů potřebných k výrobě kytary musíme zvolit i vhodný typ elementu. Elementy rozdělujeme podle dimenze, a to pro 1D, 2D nebo 3D. Dále pak podle modelovaného fyzikálního děje. U dřeva předpokládáme pouze elastické chování materiálu a ortotropii vlastností. Dále musíme

40

zahrnout smykové složky napětí a možnost použití pro harmonickou a frekvenční analýzu, tedy možnost definovat hustotu materiálu a koeficient útlumu. V tomto modelu byli luby modelovány jako 2D entity, načež byl vybrán z knihovny programového balíku ANSYS element s označením SHELL99. Ten nabízí celou řadu možností nadefinování parametrů potřebných pro přesné nadefinování vlastností zmíněných lubů. Další části kytary s výjimkou strun jsou pojaty jako 3D entity. Jedná se tedy o spodní a horní desku, krk a žebrování. Pro nadefinování vlastností reprezentující tyto části padla volba na typ elementu SOLID92. Posledním potřebným nadefinováním materiálu je u strun. Zde jsou hlavní požadavky především na kmitání, tedy hustota a koeficient útlumu. Dále pak potřebujeme nadefinovat samotné napnutí strun, tedy jejich přepětí v klidovém stavu. Zde bylo využito elementu označovaném jako LINK10. Přistoupíme k vytvoření vlastní sítě modelu. Program ANSYS umožňuje několik variant pro tvorbu právě této sítě (mesh). Můžeme rozdělit síť na trojúhelníkovou nebo čtyřúhelníkovou. V našem případě jsme přistoupili k trojúhelníkovému dělení, protože typ elementu SOLID92 umožňuje používat pouze tuto možnost. Dále jsou nabídnuty postupy volného, mapovaného nebo tažené sítě. Výběr padl na sweep, tedy tažená síť. Pro přesnější výpočet statického zatížení může v rámci jedné desky lokálně zjemnit síť. Toho bylo využito u horní desky, v části pod kobylkou a okolo rezonančního otvoru, pomocí rozřezání desky rovinnou žeber, jak je vidět na obrázku číslo 8. Ještě před tvorbu konečněprvkového modelu jsme si předefinovali lokální souřadnicové systémy prvků, skripty s jednotlivými materiálovými charakteristikami, případně potřebné reálné konstanty. Při tvorbě sítě jsme nejprve vybrali typ elementu, příslušný souřadnicový systém, materiálovou charakteristiku a reálnou konstantu. Dále si nastavíme globální velikost elementu. I zde je možnost volby, můžeme zvolit maximální počet použitých elementů na hraniční čáře nebo v celém objemu či ploše. Zvolíme členění sítě, u tohoto modelu již zmíněné trojúhelníkové, a postup rozsíťování (sweep). Teď už zbývá pouze vybrat prvek, který chceme takto vysíťovat. Stejně postupujeme u všech částí kytary.

41

Použité typy elementů SOLID92

3D element pro modelování všech 3D částí, především žeber a krku.

Obr. 10. Element SOLID92 (I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R = uzly) Element je definován 10 uzly I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R v prostoru. V každém tomto uzlu mohou být vázány 3 stupně volnosti UX, UY, UZ. Element má ortotropní charakter, můžeme definovat hustotu materiálu a koeficient útlumu. Zatížení můžeme definovat na všech 4 plochách. [1] SHELL99

2D element pro modelování deskových materiálů – korpusu kytary.

Obr. 11. Element SHELL99 (I, J, K, L, M, N, O, P = uzly) Element je definován 8 uzly I, J, K, L, M, N, O, P v prostoru, avšak M, N, O, P jsou ve středech hran. V každém tomto uzlu může být vázáno 6 stupňů volnosti, 3 posunutí UX, UY, UZ, a 3 stupně rotace ROTX, ROTY, ROTZ. Element je určen pro modely vrstvených

42

deskových materiálů. Každá vrstva může mít svůj definovaný odklon elementové souřadné soustavy a materiálových vlastností. Element má ortotropní charakter, dále můžeme definovat hustotu materiálu a koeficient útlumu. Zatížení můžeme definovat na všech 6 plochách. To je velmi důležité, jelikož obvyklé 2D elementy neumožňují definici napětí v ploše. Pomocí těchto elementů by nebylo dosaženo přenosu napětí na přechodu přední (zadní) desky a lubu. [1] LINK10

1D element pro modelování strun.

Obr. 9. Element LINK10 (I, J = uzly) Pro definice postačují 2 uzly I, J v prostoru. Důležitou vlastností je možnost definice počátečního napětí ISTRN = ∆x / l0 a definice plochy průřezu. Z materiálových vlastností to jsou modul pružnosti, hustota a koeficient útlumu. Navíc můžeme zvolit zda bude element pouze tlačen nebo tažen. To je velmi výhodné pro zjednodušení výpočtu strun, potažmo celého modelu. Ve struně můžeme zadat i větší hodnotu počáteční deformace než 2% (orientační maximum pro Hookův zákon). [1] Všechny vybrané typy elementů navíc umožňují výpočet plastického chování, tečení, boulení a některé další vlastnosti, které nejsou pro naši úlohu podstatné.

43

Definice okrajových podmínek V této fázi přípravy modelu je věnována zvýšená pozornost, protože i při malé chybě může být ovlivněn celkový výsledek. Jedná se zejména o zafixování kytary v prostoru. Je potřeba zadat minimální množství stupňů volnosti, aby se dostalo statické určitosti celého systému, a řešení množství stupňů volnosti, aby se dosáhlo statické určitosti celého systému, a řešení mohli správně konvergovat. Majoritní důraz je též kladen na celkový počet uzlů. V tomto modelu jich je vygenerováno na 171 543 uzlů. Čím je vetší počet uzlů, tím je přesnější výsledek, ale zároveň jsou vyšší požadavky na výpočetní zařízení. Jak již bylo výše zmíněno je třeba všechny prvky k sobě přilepit. V některých částech však slepení bylo neúčinné. V další fázi tvorby modelu je tamto nastolený problém vyřešit. Program ANSYS nabízí širší řadu vypořádání se s problémem. Jedním z řešení je provázání stupňů volnosti mezi zvolenými uzly pomocí vazebných rovnic. Principem těchto rovnic je, že výsledné posunutí z prvního uzlu se přenese jako vstupní posunutí uzlu druhého. Touto možností jsme „přilepili“ horní (spodní) desku k lubu, přední a zadní špalík k lubu. Dále pak vazební rovnice bylo použito pro uchycení strun k sedlovému a nultému pražci a zároveň k uchycení struny k rezonanční desce. Ukotvení celého systému bylo pro výpočet statického zatížení na spodní ploše patky, a to ve všech směrech. Pro výpočet modální analýzy nebylo použito žádného ukotvení, protože úkolem bylo získat výsledné kmitání samotné kytary a z výsledku pak vytvořit nový návrh konstrukce kytary, resp. vnitřního žebrování. V případě výpočtu skutečných kmitů by bylo třeba zakomponovat do výpočtu i hráče samotného. Tento problém by však nevyřešilo pouze ukotvení kytary, ale úkol byl celkově složitější.

Obr. 12. Ukotvení kytary v prostoru pro strukturální analýzu

44

Pro strukturální analýzu je postačující, když nadefinujeme zatížení jako počáteční přepětí strun. Veličina se zadává jako poměrné zkrácení struny. Zadávání veličin je popsáno u elementu LINK10. Tab. 3. Počáteční poměrné zkrácení jednotlivých strun Struna E A D g h e Počáteční poměrné zkrácení 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Pro frekvenční analýzu je potřeba definovat nucené kmitání budícími frekvencemi. Místo buzení je v jedné polovině struny. Ve skutečnosti by se toto místo mělo při každém tónu posunout do jiného místa, protože při hře se pohybujeme nad úrovní rezonančního otvoru. V případě, že bychom hráli na prázdné struny jedná se o 1/5 délky struny. V následující tabulce jsou vypsané frekvence nuceného kmitání odpovídajícím jednotlivým tónů v hratelném rozsahu kytary. Tab. 4. Frekvence kmitání odpovídající jednotlivým tónům kytary Oktáva Tón c cis,des d dis,es e f fis,ges g gis,as a ais,hes h

C1

C 32,7 34,64 36,7 38,9 41,2 43,66 46,26 49 51,92 55 58,28 61,74

65,4 69,28 73,4 77,8 82,4 87,32 92,52 98 103,84 110 116,56 123,48

c

c1 c2 c3 f [Hz] 130,8 261,6 523,2 1046,4 138,56 277,12 554,24 1108,48 146,8 293,6 587,2 1174,4 155,6 311,2 622,4 1244,8 164,8 329,6 659,2 1318,4 174,64 349,28 698,56 1397,12 185,04 370,08 740,16 1480,32 196 392 784 1568 207,68 415,36 830,72 1661,44 220 440 880 1760 233,12 466,24 932,48 1864,96 246,96 493,92 987,84 1975,68

Definice použitých materiálů Pro každý typ elementu nadefinujeme osobité materiálové charakteristiky. Jejich hodnoty jsou zachyceny v následující tabulce [3]:

45

Tab. 5. Fyzikální a mechanické vlastnosti použitých materiálů Druh dřeviny Ex L [Pa] Ey T [Pa] Ez R [Pa] Gxy LT [Pa] Gyz TR [Pa] Gxz LR [Pa] µxy LT µyz TR µxz LR ρ [kg/m3] Koeficient útlumu L

sm_rezo Smrk 1,50E+10 5,00E+08 7,40E+09 8,20E+08 6,20E+07 7,50E+08 0,47 0,25 0,2 440 0,021

jv Javor 1,10E+10 8,00E+08 2,00E+09 1,70E+09 8,90E+07 1,34E+09 0,48 0,37 0,47 670 0,037

br Bříza 1,63E+10 6,20E+08 1,11E+09 9,20E+08 1,90E+08 1,18E+09 0,43 0,38 0,49 620 0,046

exot matst Eben Struny 1,68E+10 200E6 3,00E+09 3,00E+09 4,74E+08 5,30E+08 5,73E+08 0,51 0,3 0,595 0,45 1025 525 0,018

Zadávání těchto materiálových vlastností je popsáno kapitole Konečněprvková síť. Další veličinou, kterou budeme potřebovat pro výpočet Hoffmanova kritéria, jsou jednotlivé pevnosti v různých směrech a při různém namáhání pro všechny materiály. Souhrnně jsou uvedeny v následující tabulce: Tab. 6. Pevnosti použitých materiálů [9] sm_rezo Smrk

Druh dřeviny pevnost v tahu ve směru x L pevnost v tahu ve směru y T pevnost v tahu ve směru z R pevnost v tlaku ve směru x pevnost v tlaku ve směru y pevnost v tlaku ve směru z pevnost ve smyku v rovině xy pevnost ve smyku v rovině yz pevnost ve smyku v rovině xz

SxT= SyT= SzT= SxC= SyC= SzC= SSxy= SSyz= SSxz=

7,90E+07 2,50E+06 1,70E+06 3,77E+07 3,20E+06 3,20E+06 4,40E+06 4,40E+06 4,10E+06

Každý materiál má své makro s dovětkem _s, tedy makra sm_rezo_s.

Parametrizace Předmětem parametrizace je vytvořit model pomocí parametrů, které můžeme během různých fází výpočtů měnit. V tomto modelu bylo především použito parametrů týkajících se geometrie hudebního nástroje. V dalším textu jsou vypsané nejdůležitější parametry v posloupnosti jak vstupují do tvorby nového modelu.

46

tlhornidesky – definuje tloušťku horní desky r – poloměr rezonančního otvoru tloustka_spodni_desky – definuje tloušťku spodní desky delkakrku – zadává délku krku od těla po nultý pražec tl_stredniho_zebra – tloušťka podélného žebra na spodní desce v_stredniho_zebra – výška podélného žebra na spodní desce zacatek_napojenych_zeber – zadává místo spojení napojení žeber na spodní desce v_napojeneho_zebra – definuje jejich výšku v_podel_zeber – definuje výšku podélných žeber na horní desce tl_podel_zeber – definuje tloušťku podélných žeber na horní desce

Řešič Jak je výše uvedeno, tak program ANSYS využívá velkou škálu metod řešení. Jejich používání závisí na námi požadovaných výstupech a tím je i dána potřeba správné volby metody řešení pro časovou náročnost. Technické parametry výpočetního zařízení: procesor AMD Opteron 64 bit, RAM 1GB Strukturální a modální analýza Doba výpočtu cca: 40 min Minimální volné místo na HDD: 10GB Metoda výpočtu:

Sparse Direct method

Postprocessor Tento modul slouží k zobrazování výsledků. I zde je možnost několika voleb jejich zobrazování. Především se jedná o grafické vyobrazení, grafy a animace. U grafického vyobrazení lze přesně nadefinovat co chceme zobrazit. Možnosti jsou v napětí v tahu, smyku, nebo Von Misesovo energetické kritérium. Přesné hodnoty se nám vyobrazí na spodní části grafického výstupu a to pomocí odstupňované barevné škály. Další možností výstupu je vektorový graf. Ten určuje nejen velikost napětí, ale i jeho směr. Další možností je animace jednotlivých kroků řešení. Před samotným řešením musíme zadat počet kroků a čas.

47

Výsledky Modální analýza Byly počítány a následně získány tři výsledkové soubory pro vlastní kmitání. Do výpočtu se zahrnul interval frekvencí od 16 Hz (což odpovídá mezi slyšitelnosti) až po frekvenci 1320 Hz, která reprezentuje nejvyšší možný hratelný tón na nástroji. Kompletní výsledky jsou uloženy na přiloženém CD. V prvním souboru jsou výsledky z kytary bez vnitřního žebrování, jinak je kytara kompletní. Na spodní desce jsou vidět vlastní kmity ovlivněné pouze přilepením k přednímu a zadnímu špalíku. Horní deska je již ovlivněna více, a to jednak špalíky, ale i přilepením hmatníku, kobylky a napnutím strun. V následující tabulce je přehled vypočtených vlastních kmitů. Tab. 7. Vlastní frekvence podle modů – model bez žeber. MOD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f [Hz] 32,760 40,315 70,764 88,231 99,701 110,14 113,30 147,41 157,10 180,75 186,50 192,42 220,75 252,41 256,53 267,52 273,00 287,38 309,37 318,51

MOD 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

f [Hz] MOD f [Hz] 342,22 41 610,61 359,03 42 624,86 383,40 43 635,59 387,44 44 655,34 388,12 45 675,01 405,55 46 676,93 415,43 47 683,89 433,86 48 700,88 440,83 49 707,93 471,43 50 711,73 494,10 51 730,86 497,62 52 756,20 515,06 53 769,06 521,25 54 774,45 531,48 55 787,81 538,93 56 791,60 565,08 57 798,75 568,87 58 807,13 573,75 59 814,32 602,37 60 842,29

48

MOD 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

f [Hz] MOD 81 850,84 82 859,79 83 870,97 84 887,54 85 899,17 86 904,00 87 910,19 88 926,52 89 932,94 90 942,67 91 948,51 92 958,51 93 969,37 94 972,49 95 990,73 96 994,51 97 997,61 98 1005,4 99 1008,4 1010,8 100

f [Hz] 1034,2 1048 1052,8 1054,3 1065,5 1072,6 1083,7 1090,3 1105,6 1108,5 1113,9 1125,6 1134,3 1141,1 1143,2 1150 1157,6 1165,6 1190,2 1199,6

Na následujících obrázcích je zachycen grafický výstup z výpočtu. Zabarvení výstupu vyjadřuje celkové posunutí bodů. Můžeme zde porovnávat jednotlivé mody. Z tohoto výpočtu vychází návrh nového modelu žebrování kytary.

Obr. 13. Mod 4 kytary bez žeber (88,231 Hz).

Obr. 14. Mod 6 kytary bez zeber (110,142 Hz) Velmi podobné tvary vlastního kmitání na zádech odpovídá frekvence 70,714 Hz pro tvar uzlů 0,0 a 99,701 Hz pro tvar uzlů 0,1. Tímto výpočtem nebylo prokázáno používání křížového žebrování jako je tomu u symetrických kytar. Nebyl nalezen žádný mod, který by reprezentoval stávající žebrování. A to ani u spodní desky, u které se jisté tvary očekávaly. To bylo potvrzeno i výpočtem modální analýzy samostatné rezonanční desky. Tento výpočet byl proveden pro vstupní údaje k připravovanému experimentu. Jako výchozí tvary pro volbu nového žebrování bylo zvoleno pro horní desku modů 19,20,27 a 28 a pro zadní desku 15,16,17,30 a 39. Tyto mody se zdánlivě přibližují stávajícímu rozmístění žeber, nebo se vyskytují i při jiných frekvencích. Na několika následujících obrázcích lze porovnat tvary kmitání kytary bez žeber a kytary se standardním rozmístěním žebr.

49

Obr. 15 Mod 20 (318,5Hz) je stejný jako mod 19 a členění odpovídá i vyšším frekvencím.

Obr. 16. Mod 28 (433,857 Hz) odpovídá křížovému žebrování.

Obr.17. Mod 39 (573,7 Hz) odpovídá umístění 3 žeber, stejně jako mod 30.

Obr. 18. Mod 18 (557,0 Hz) záda u kytary se standardním žebrováním

50

Obr. 19. Mod 16 (267,5 Hz) výchozí tvar pro nový návrh.

Obr. 20. Mod 20 (273,0 Hz) výchozí tvar kmitů pro nový návrh konstrukce.

Rozdíly frekvencí mezi půltóny a vlastními kmity 80 70

Půltóny Vlastní frekvence

60

∆

50 40 30 20 10 0 0

150

300

450

600

750

900

1050

1200

frekvence [Hz]

Graf 3. Rozložení rozdílů ∆ vlastních frekvencí a půltónů temperovaného ladění

51

Rozvoj hudebních nástrojů, zejména varhan a klavíru, si vynutil tzv. temperované ladění takovýchto hudebních nástrojů. Toto ladění spočívá v tom, že se při něm oktáva dělí na

12 stejných intervalů určených poměrem kmitočtů

, které představují

temperovaný půltón, zatím co čistý půltón je určen poměrem frekvencí 16 : 15 = 1,066 666. Dva temperované půltóny tvoří temperovaný celý půltón atd. Hra na nástroji s temperovaným laděním nedosahuje lahodnost čistého ladění i tehdy, pokud se temperované ladění s laděním čistým dost dobře shoduje. Ukazuje to tabulka 8, ve které jsou uvedeny logaritmy jednotlivých intervalů tvrdé hudební stupnice v čistém a temperovaném ladění, přičemž za základ logaritmů byla zvolena relativní výška dvou tónů tvořících malý temperovaný půltón. Tab. 8. Vztah mezi temperovaným a čistým laděním Ladění Čisté Temperované

1. 0 0

2. 2,04 2

3. 3,86 4

4. 4,98 5

5. 7,02 7

6. 8,84 9

7. 10,88 11

8. 12 12

Závislost frekvencí na modech

1200

Frekvence [Hz]

1000 800 600 400

Půltóny Vlastní frekvence

200 0 0

20

40

60

80

100

Mody

Graf 4. Závislost vlastních frekvencí na modech a závislost frekvence temperovaného ladění na půltónech. Dalším předmětem modální analýzy byla pouze horní deska ukotvená po svém obvodu. Tento výpočet se prováděl na základně zjištění předběžných výsledků 52

z připravovaného experimentu na zjišťování Chladniho obrazců. Chladniho obrazce ukazují geometrii různých druhů kmitání horní desky kytary. Tyto obrazce se vytvoří prostřednictvím jemného písku, který na se při určitých frekvencích, kterými desku rozkmitáváme, ustálí v obraz stojatého vlnění v desce. Symetrické desky dávají symetrické obrazce a nesymetrické obecně symetrické obrazce nevytvářejí jako je tomu právě u této kytary.

Obr. 21. Mod 2 (131,9 Hz) a mod 7 (317,2 Hz) rezonanční desky

Obr. 22. Mod 9 (397,2 Hz) a mod 36 (1275 Hz) rezonanční desky V následující tabulce jsou uvedeny mody s příslušnými frekvencemi rezonanční desky. Výsledky jsou nyní ukazateli frekvencí při kterých můžeme očekávat vznik Chladniho obrazců. V příloze na CD naleznete veškeré grafické výstupy tohoto výpočtu. Výpočtem bylo překvapivě malé množství modů v zadaném intervalu frekvencí při porovnání s počtem modů u kytary bez žeber (viz. tab. 7.). Z grafických výsledků můžeme výrazné posunutí modů samotné desky. Podobnost tvaru kmitání je zjevná u modu 2 samotné desky a modu 6 kytary

53

bez žeber. Stejné podobnosti nalézáme u modu 7 samostatné desky a modu 28 kytary bez žeber. Tab. 10. Vlastní frekvence podle modů samotné desky MOD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f [Hz] 76.229 131.91 176.22 203.10 236.55 284.39 317.17 346.57 397.20 441.40

MOD 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f [Hz] 450.64 467.25 510.83 550.83 589.29 623.98 647.40 681.88 734.09 760.41

MOD 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

f [Hz] 763.67 816.01 867.53 898.41 917.79 956.47 986.48 1010.1 1038.5 1084.3

MOD 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

f [Hz] 1114.1 1147.8 1169.9 1200.2 1252.1 1274.9 1304.3 1328.4 1362.0 1386.4

Strukturální analýza Aby bylo možné porovnávat výsledky z nového modelu, bylo potřeba nejprve provést výpočet statického zatížení stávajícího modelu s křížovým žebrováním.

min. Obr. 21. Rozložení Von Misesova energetického kritéria na kytaře s žebry.

max.

Z obrázku jsou patrná místa vzniku napětí. Von Misesovo energetické kritérium sice nerozlišuje mezi tahem a tlakem, ale pro určení kritických míst je tento výpočet postačující. Jak je vidět, problematická místa jsou dvě, a to v místě ukotvení strun v místě kobylky a dále je lokální maximum na okrajích rezonačního otvoru desky. Z praxe víme, jaká místa jsou na kytaře během její životnosti nejvíce poškozena. Je to především deformace krku vlivem tahu strun a zborcení rezonanční desky v místě kobylky. Vzhledem k tomu, že žádný z vypočtených modů jednoznačně neprokázal opodstatnění křížového žebrování, další postup 54

byl návrh nového rozmístění žeber na základě Von Misesova energetického kritéria a vybraných modů z modální analýzy. Bylo zapotřebí navrhnout takový model, který by splňoval požadavky na statické zatížení, a zároveň zbytečně neovlivňoval vlastní kmity desky. Zároveň je uveden grafický výstup rozložení Von Misesova energetického kritéria na samotných žebrech. Ta základě tohoto vyobrazení lze určit místa, kde by se dalo použít lokálního zesílení žeber, při zachování stejného rozmístění žeber. V praxi se těchto místních tvarových změn také používá. Tyto místa však jsou určeny dlouholetým pozorováním tvarových změn horní desky.

min.

max. Obr. 22. Rozložení Von Misesova energetického kritéria na žebrech Zde je patrné jak jsou malá žebra v okolí rezonančního otvoru extrémně zatěžována.

Dalším kritickým místem je okolí kobylky. Tento stav se dal předpokládat, protože je zde přenášeno velká tahová síla strun. Tyto žebra jsou také u kytary s největším průřezem a mají velký vliv na pozdější deformace horní desky, ke které velmi často dochází.

Nový návrh Rozmístění nových žeber bylo zvoleno na základě vypočtené statického namáhání desky a modální analýze. Spodní žebra byly rozmístěny podle mod 16 (267,5 Hz) kytary bez žeber jak je vidět na obrázku 23. Spodní deska není moc namáhána a zároveň je dostatečně tuhá díky charakteru používaných materiálů.

55

Obr. 23. Rozmístění nových žeber na spodní desce v modu 16 (267,5 Hz). Volba horního žebrování je dost komplikovaná, protože mimo modální analýzy se musí přihlédnout k statickému namáhání. I zde budeme vycházet z výpočtu strukturální analýzy kytary bez žeber. Na následujícím obrázku jsou barevně členěny místa s jiným stupněm namáhání. Zde si můžeme povšimnout míst kolem rezonančního otvoru a oblasti pod kobylkou, která jsou nejvíce zatěžována. V novém modelu jsou žebra rozmístěna podél tohoto otvoru. Tento typ žebrování již používala již firma Gibson u svých dřívějším modelů.

min

max.

Obr. 24. Rozložení Von Misesova energetického kritéria na kytaře bez žeber.

56

Na základě obrázku 24. by nemělo být složité vytvořit novou konstrukci vnitřních výztuh, ale již je problém rozmístit žebra podle jednotlivých modů. Protože se jedná o asymetrický tvar kytary, uzlové čáry jsou velmi nepravidelného tvaru i s rozmanitě rozmístěné po desce. Na následujícím obrázku je nové rozmístění žeber a na obr. 26 jsou žebra zakomponovaná do modu 39 s frekvencí 573,7 Hz. Žebra podélné byla volena především na základě rozložení Von Misesova energetického kritéria na kytaře bez žeber.

Obr. 25. Návrh nového umístění žeber

Obr. 26. Umístění žeber v mod 39 s frekvencí 573,7 Hz Z modální analýzy nelze zcela jednoznačně přiřadit nejvhodnější polohu žeber a proto vycházíme především ze statického zatížení. Z výsledků,ale víme, že velká část modů v přední části kytary má uzlové čáry podél rezonančního otvoru. V části pod kobylkou se většinu uzlová místa tvoří v podélném směru kytary.

57

Při opětovné strukturální analýze byla zjištěna opět kritická místa namáhání. Můžeme potvrdit, že ze statického hlediska jsme poloha žeber byla správná, protože vliv strun působících na desku jsme přenesli do nově rozestavěných žeber.

min

max. Obr. 25. Rozložení Von Misesova energetického kritéria na kytaře s žebry.

min.

max

Obr. 26. Rozložení Von Misesova energetického kritéria na žebrech. Je na místě poznamenat, že výsledky tohoto projektu nemusí odpovídat skutečnosti. Řešení takto složitých úloh je časově náročné a pokud během výpočtu nastala chyba, je potřeba celý proces výpočtu opakovat. Nebylo proto v časových možnostech všechny výpočty ověřovat. Tento projekt je však součástí dlouhodobého výzkumu Ústavu nauky o dřevě v oboru akustiky a bude se na něm i nadále pracovat. Autor by se chtěl této rozsáhlé a komplikované problematice dále věnovat na navazujícím doktorandském studiu a přenést tak cenné poznatky získané při vypracování diplomové práce do běžné praxe.

58

Výroba kytary Výroba masivní kytarové vrchní desky Hlavní důraz se klade na vlhkost (maximálně 8% absolutní vlhkosti, ale spíš méně). Jen tak je zaručeno, že materiál nebude příliš pracovat u uživatele nástroje [14]. Vrchní kytarovou desku zhotovíme z přířezu, které řežeme radiálně. Po rozříznutí následuje slícování. Při srovnávání musíme udržet pravý úhel. Dokonalé srovnání poznáme, když po sloužení obou dílů není vidět žádná štěrbina. Je možné dílce mírně podhoblovat, aby nám při slepení vzniklo v desce přepětí.

Obr. 27. Lepení rezonanční desky. Následuje slepení obou polotovarů. Každý kytarář má vlastní způsob jak si postupuje při této operaci. V podstatě jsou některé kroky shodné a to: dílce lepíme na rovné desce, abychom měli zaručenou rovinu. Mezi deskou a dílci je ještě igelit, aby se nám vyráběný kus nepřilepil k podkladní desce. Musíme dát pozor, aby se igelit nedostal při klížení do spáry. V dřívější době se používalo glutinového klihu, ale v současné době se používají speciální disperzní lepidla na hudební nástroje. Výhodou je, že nejsou tak velké požadavky na klima v místnosti při klížení. Na stahování se může použít ztužidel nebo předem vyrobeného klížícího přípravku. V další fázi můžeme vyrobenou desku zeslabit na požadovanou tloušťku viz. výše. V dřívější době se vše provádělo ručně a to pomocí hoblíků a speciálně vyrobených škrabek a 59

cidlin. Deska se upevní na rovnou desku a nejprve se opracuje hoblíkem cidičem popř. uběrákem. Při broušení kvůli zachování roviny musíme použít špalík větších rozměrů a podlepený plstí. Dnes se však na tuto operaci využívá širokopásových kalibračních brusek a ten využívají i menší firmy. Na takto připravenou desku přerýsujeme tvar kytary podle šablony a zároveň opíšeme fixační body, které po sléze odvrtáme. Musíme pracovat na rovné a čisté desce, aby nedošlo k poškození desky. Určíme rubovou stranu a podle šablony vyznačíme střed ozvučného otvoru. Poté na strojní lupénkové pile vyřízneme tvar kytary, a to asi dva centimetry vně od rysky. Při řezání musíme zabezpečit, aby nedošlo k vytrhání otvoru.

Obr. 28. Lepení žeber k horní desce. Rozměříme vnitřní a venkovní poloměr rosety. Do stolní vrtačky se upne seřiditelný výkružník a upraví se požadovaná vzdálenost nože od středového hrotu. Na vrtačce seřídíme doraz na požadovanou hloubku. Odvrtáme první poloměr rosety, změníme nastavení výkružníku na druhý poloměr rosety a opět odvrtáme. Tím nám vznikly dva vykroužené zářezy přesně podle průměru ozdobné výložky. Následuje odebrání materiálu pro rosetu. Používá se ploché dláto potřebné šířky. Deska je upevněná na podložce, aby se sní lépe pracovalo. Po odstranění materiálu se roseta vlepí na připravené místo. Používá se korková podložka obalená igelitem a ztužidel. Po odstranění podložky se škrabkou odebere přebytečná část rosety přečnívající nad rovinou desky. Deska již s vlepenou rosetou je připravena 60

k vyříznutí vlastního ozvučného otvoru. K této operaci použijeme opět výkružníku a na stavíme na něm poloměr 50 mm. Ozvučný otvor může mít různé tvary a velikosti. Pokud se nám bude zdát, že se může deska poškodit vytrháním dřevních vláken, můžeme vrtat z jedné a pak z druhé strany desky. Ovšem to se dá dělat pouze za přesného přerýsování středu otvoru. V případě, že nám vznikla malá hranka v tloušťce desky, obrousíme ji jemným brusným papírem. Ve velké výrobě se tyto operace můžou vtěsnat do jedné na dřevoobráběcím centru. Jako další operace bude příprava tzv. žeber. Každý výrobce má vlastní rozměry a tvary žeber, a ty se liší podle typu kytary i umístění v rámci jedné kytary. V jedné kytaře se můžeme setkat na horní desce třeba s pěti typy žeber. Na kvalitnějších kytarách si můžeme povšimnout, že i jedno žebro může mít na své v délce několik různých průřezů a tím se stává velmi obtížným na výrobu. Vyrábí se ze stejného materiálu jako rezonanční deska. Výroba začíná rozmítnutím matriálu a tloušťkováním na potřebnou šířku. Následovalo by na opracování přiléhající plochy žebra na desku. Tato plocha opisuje určitý poloměr a to z důvodu vypínání desky, a tak zlepšuje její akustické vlastnosti. Toto zakřivení se provádí tím způsobem, že se polotovar upne do speciální šablony tomu určené a na čelní pásové brusce se odebere nadbytečný materiál. Pokud nám to jednoduchost tvaru umožňuje, pak můžeme profil ještě upravit na spodní frézce. Následuje ruční dodělání a to pomocí hoblíků, pilníků a brusného papíru. Zároveň připravíme i výztuž určenou pod kobylku. Slouží k mechanickému zpevnění tohoto velice namáhaného bodu celé konstrukce kytary. V této fázi výroby je velký podíl ruční práce. Podle objemu výroby je důležité opracování ruční hoblíky nebo na čtyřstranné profilovaní frézce. V případě, že máme vyrobená žebra, můžeme je nalepit na horní desku. K rozmístění žeber na desku nám slouží šablona. Jedná se o plechovou desku s vyříznutými místy pro žebra. Na šabloně je šířka žeber vyříznuta větší (přesný rozměr je asi 30 mm od konců každého žebra). Položíme desku na speciálně upravený stůl, nad kterým je ve vzdálenosti cca 1200 mm strop. Na spole je nalepená plsť, abychom nepoškodili při lepení žeber pohledovou plochu. Na desku položíme šablonu s vyříznutými žebry a zajistíme ve fixačních otvorech. Naneseme lepidlo na plochy žebra a desky, přitiskneme a zajistíme. Podstata zajištění spočívá v tom, že mezi žebro a strop nad stolem rozepřeme pružnou lať. Lať je delší než skutečný rozměr mezi žebrem a stropem, vzniklý tlak je dostatečný na přilepení žebra k desce. Žebra, která jsou až k okraji kytary opět přesahují přes skutečný tvar kytary o 2 cm. Toho se využívá při lepení korpusu. Po odstranění rozpěr dočistíme, popřípadě upravíme tvar žeber. Pokud jsme tak neudělali již při výrobě žeber seřízneme konce žeber a snížíme tak jejich výšku asi na 3,5 mm. Seříznutí provádíme asi 60 mm od okraje. 61

Výroba spodní masivní desky Spodní masivní desku vyrábíme z radiálních přířezů, které v ideálním případě šířkou odpovídají polovině kytary. Jinak podle možností lze desku lepit i z více kusů než ze dvou. Tloušťka přířezu by měla být taková, aby nám umožnila bezpečné slepení desky a následné opracování na požadovanou tloušťku, který se pohybuje okolo 3 mm. Srovnaný materiál slepím v přípravku umožňující spojování tenkých dílců. Takto připravenou desku následně zkalibrujeme na potřebnou tloušťku. Tloušťkování se provádí na širokopásové brusce. Pokud tato možnost není použijeme tloušťkovací frézku. Vzhledem k tomu, že výsledný materiál je příliš tenký musíme protahovat s pomocí přípravku. Na desku přeneseme tvar kytary a s cca 15mm nadmírou vyřízneme požadovaný tvar. V dalším procesu nalepíme předem vyrobená žebra na desku. Počet žeber je dán výrobcem, většinou jsou tři nebo čtyři. Pro zlepšení akustických vlastností kytary jsou žebra prohnutá. Ty pak slouží k vytvoření malé klenby. První dvě žebra jsou dlouhá 320 mm, vysoká 18 mm a spodní plocha opisuje oblouk o poloměru 3415 mm. Zadní dvě žebra jsou dlouhá 420 mm, vysoká 20 mm a poloměr je 3680mm. Žebra lepíme pomocí šablony, stejně jako u horní desky a to pomocí vzpěru. Desku položíme na stůl, přiložíme šablonu, naneseme lepidlo a mezi žebro a snížený strop vzepřeme tyč.

Výroba věnce Věncem označujeme část kytary skládající se z lubů, olubení, předního a zadního špalíku. Nalepením horní a spodní desky na tento věnec dostaneme korpus. Korpus je rozhodujícím činitelem pro akustické kvalitě nástroje. Výškou lubů přímo ovlivníme aktivní obsah amplifikátoru nástroje, a tím v podstatě jeho zvukový výkon. Olubení je část, který má rozšířit plochu vlastní lepení spáry, a tím ovlivní pevnost lepeného spoje. Luby kytary tvoří dva díly, a to pravý a levý lub. Jejich sesazením dostaneme tvar odpovídající zhruba tvaru arabské osmičky. Masivní luby se vyrábí dvěma způsoby. A to za použití ohýbačky, což je ocelová vyhřívaní trubka elipsovitého tvaru, nebo ve vyhřívaných formách. V těchto případech se dřevo nejprve navlhčí a poté se na ohýbačce prohřeje tak, aby došlo k plastifikaci dřeva (140°C). Tlakem se lub zformuje do požadovaného tvaru. Dochází k vysychání dřeva a po

62

ochlazení k jeho stabilizaci. Nutno dodat, že tímto způsobem se vyrábí hlavně kvalitnější nástroje z masivního exotického dřeva, ale i tuzemského.

Obr. 29. Šablony potřebné k výrobě kytar. Výroba lubu z překližovaného materiálu, kytary jsou pak označovány jako polomasivní, je poněkud odlišná než u masivních. Jedná se o soubor vnější, vnitřní a středové dýhy. Vnější dýha je podélného formátu, vysoké kvality a přijatelného vzhledu. Středová vrstva je příčného formátu a vnitřní dýhy je stejně jako vnější podélného formátu a může být už nižší kvality. Po nanesení lepidla na dýhy složíme soubor a vložíme do matrice. Založíme pásy PVC kvůli vyrovnání případných nerovností a patricí zatáhneme. Matrice kopíruje vnější tvar kytary v našem případě je vložen mezi souborem a vnější šablonou jeden pás PVC, také kvůli vyrovnání případné nerovnosti a zabránění případnému poškození vnější dýhy šablonou. Olubení vyrobíme obdobným způsobem jako překližované luby. V podstatě se jedná o vyrobení lubu z dýh podélného formátu. Nesmíme zapomenout na to, že toto olubení je o tloušťku lubu menší než je dáno matricí. Proto při lisování nahradíme tloušťku lubu pásy PVC, a poté už vložíme soubor dýh a zatáhneme. Po vytvrzení lepidla se rozřeže olubení na jednotlivé pásky, protože ho lepíme jako sdružený přířez. Je možné také olubení ohýbat ze smrkového dřeva. V šabloně odpovídající tvaru kytary připravíme luby k sesazení a následnému slepení. Luby zařízneme tak, aby každý z nich odpovídal přesné polovině tvaru šablony. Dopasování se provádí na čelní pásové brusce. Vzhledem k tomu, že tvar odpovídá osmičce je nutné, aby i špalíky kopírovali tvar kytary. Zaoblení provedeme také na brusce. Až když luby zafixujeme přesně v šabloně můžeme je slepit k sobě pomocí předního a zadního špalíku. 63

Olubení k lubům můžeme nalepit v téže šabloně, jakou jsme použili k jejich slepení a to pomocí proti kusů k šabloně.

Obr. 30. Příprava na lepení spodní desky k věnci.

Výroba korpusu Korpus je ta část nástroje, která slouží k zesílení základního tónu a ovlivňuje jeho barvu. Z fyzikálního hlediska je korpus rezonátor schopný kmitat vlastními kmity i kmity vnucenými, pokud na něj působí vnější proměnné síly [14]. Korpus se skládá z vrchní desky, spodní desky a lubů spojených do věnce pomocí špalíků. Na vrchní desce je umístěna kobylka, která přenáší kmitočet struny na desku. Věnec při dalším zpracování se musí upravit na požadovanou výšku a srovnat jeho strany. Tato operace se provede na spodní frézce, nástrojem je pilový kotouč. Vzhledem k bezpečnosti práce a přesnosti práce se věnec vloží do vnější šablony, v které se kytarový věnec zafixuje. Ještě pak musíme odvrtat do předního špalíku otvory pro spojovací šrouby a zapuštění jejich hlav. Následuje proříznutí konců žeber na deskách a celkové nalícování desek na věnec. Žebra se zapouští do olubení. Desky se k věnci lepí pomocí speciálních přípravku a truhlářských svěrek nebo motouzu.

64

Obr. 31. Slepení korpusu

Vyložení kytarového korpusu Po montáži jednotlivých dílů se kytarový korpus dokončuje v následující operacích. Přesahující části desek a žeber se odfrézují na spodní frézce. Na hřídel stroje se nasadí vodící ložisko a válcovou frézou stejného průměru. Podle typu nástroje se volí výložka dřevěná nebo z celuloidu, popř. kombinace několika výložek. Je nutné do předu znát její rozměry a podle nich seřídit stroj pro vyfrézování polodrážky do okraje desky, popř. i lubu. Přitažení ke korpusu po dobu potřebnou k vytvrzení lepidla zabezpečíme nejspolehlivěji pomocí provazu omotaným kolem korpusu. Znamená to ovšem vyložit jen polovinu, po vytvrdnutí sejmout provaz a celou operaci opakovat na druhé půlce. Výhodou je dokonalé přitažení a vytvoření pouze nepatrné spáry. Podle nepřesnosti se volí počet obtočení a tah provazu. Vyložení korpusu může zvýšit estetickou úroveň nástroje jen v případě dokonalého provedení. Proto se musí maximálně přesně napojovat díly výložky a vybírat takové kombinace barev a materiálu, které se hodí k danému nástroji.

65

Broušení korpusu Provádíme ruční excentrickou bruskou. Nejprve použijeme hrubší brusný papír zrnitosti 80 a potom 120. Pokud máme luby lepené z překližky, musíme dát pozor, abychom krycí dýhu neprobrousili. Po broušení můžeme korpus navlhčit a po zaschnutí znova přebrousit. Pokud musíme brousit ručně vždy musíme použít podložku. Během broušení musíme dávat pozor, abychom již hotový korpus nepoškodili.

Obr. 32. Ruční broušení korpusu kytary.

Výroba krku Krk slouží k ovládání nástroje a to zpravidla levou rukou. Je na něm nalepen hmatník a ladící mechanika. Hmatník je rozdělen pražcovým drátem na jednotlivé tóny. Umožňuje přitisknutí struny prstem ruky, tím dochází ke zkrácení struny, a tak dosáhneme vyššího kmitočtu. Vzhledem k tomu, že při natažení strun dochází k deformaci krku vkládá se do něj kovové táhlo, které vzniklý tah vyrovnává. U profesionálních kytar je krk vyroben z jednoho kusu. Pro méně náročné hráče se na vlastní krk nalepí hlavice pod úhlem 12 – 14° a patka.

66

Přířez na krk nejprve srovnáme. Kalibrace se neprovádí přesně na tloušťku krku, což je asi 18mm, ale s nadmírou na opracování patky. Rozměříme si místa, kam přijde nalepit blok na patku a hlavici, a přilepíme je. Vhodné je lepení v přípravku, aby nedošlo k posunutí částí a tím ztrátě přesnosti. Po zaschnutí lepidla seřízneme hlavici pod úhlem a vyřízneme na pásové pile tvar kytary. V případě, že jsme použily užší přířez než je rozměr hlavice nalepíme nákližky. Srovnáme horní stranu hlavice a přilepíme horní vrchní dýhu. Takto připravený krk vložíme do přípravku a na horní frézce odfrézujeme krk na požadovaný rádius. Vzhledem k tomu, že krk není v celé délce stejně široký je i při takovéto výrobě velký podíl ruční práce.

Obr. 33. Nahrubo ručně opracovaný krk.

Obr. 34.Vyrobený krk.

Obr. 35. Osazení pražcového drátu do hmatníku. Vzhledem k napětí, kterému je krk vystaven se musí do něj vložit táhlo vyrovnávající napětí. Táhlo je umístěno v drážce hned pod hmatníkem, kterou za pomoci přípravku vyfrézujeme. Těchto táhel je celá řada. Společný mají jeden znak a to ten, že při vzniklé

67

deformaci vlivem tahu strun se musí pomocí matice utahovat. Matice je buď přístupná na hlavici nebo ze vnitřku kytary. V případě, že máme matici pod hlavicí, musíme pro ni ještě vyfrézovat žlábek, aby se mohla volně otáčet. V případě, že krk spojujeme pomocí šroubů, odvrtáme do patky ještě otvor pro spojovací váleček. Taky vyvrtáme do patky otvory pro šrouby a vložíme spojovací váleček i táhlo. Nařežeme, srovnáme a otloušťkujeme materiál hmatníku. U sedlového pražce může mít menší tloušťku, aby se zajistil lepší dohmat. Připravený hmatník nalepíme na krk. Ve speciální šabloně ofrézujeme hlavici do požadovaného tvaru. Nástroje pro džezovou hudbu mají v příčném směru hmatník klenutý. Tato úprava umožňuje lepší ovládání nástroje při hraní akordů, kdy jeden prst položený napříč tiskne současně několik strun. Toto zaoblení provedeme na pásové brusce. Rozdělení pražců a označení jejich polohy se usnadňuje šablonou. Hmatník se pro nožku pražcového drátu nařízne do hloubky 2mm; tloušťka zářezu odpovídá použitému pražcovému drátu. Používá se čepovací pila bez rozvodu zubů s příslušnou tloušťkou listu. V průmyslové výrobě se hmatník nařezává na menzurovačce. V podstatě jde o vícekotoučovou pilu. Počet pilových kotoučů odpovídá počtu pražců. Vzájemná vzdálenost kotoučů na hřídeli je vymezena distančními kroužky. Rozměří se vzdálenosti intervalů, vrtákem upraveným pro dřevo se vrtají otvory a intervaly se vlepí. Nejčastěji se používají perleťová očka. Následuje ruční dodělání krku a patky pomocí pilníků a brusných přípravků. Do hlavice vyvrtáme otvory pro ladící mechaniku a celý krk přebrousíme. Nakonec natlučeme pražcový drát do hmatníku. Přelepíme hmatník lepicí paskou a můžeme lakovat.

Obr. 35. Uchycení krku k tělu kytar pomocí šroubů. U velkosériové výrobě kytar se používá s velkou výhodou CNC strojů. 68

Povrchová úprava a dokončovací práce Dříve než začneme korpus i krk lakovat, musíme na korpusu na horní desce odměřit místo, kam přijde po nalakování nalepit kobylka a zakryjeme kruhový otvor v horní desce. Kytary povrchově upravujeme stříkáním. Po dokonalém vytvrzení laku odstraníme lepicí pásku z místa styku kobylky s deskou a škrabkou odstraníme lak zabraňující dokonalému přilepení. Přeměříme místo kam přijde kobylka nalepit, naneseme na ni lepidlo a zatáhneme. Pomocí šablony vyvrtáme do kobylky otvory pro kolíky držící struny. Dalším krokem je upevnění ladící mechaniky.

69

Diskuze V práci je jsou popsány postupy při tvorbě modelu v programovém prostředí ANSYS a na jakém základě byla provedena změna konstrukce kytary. Výsledky potvrdili, že celá problematika je daleko složitější a nelze jednoznačně potvrdit, že právě toto řešení je jediné správné. Dalším postupem v pokračování práce bude zahrnout do výpočtu i hráče samotného, který se svým tělem velkou měrou podílí na zmiňovaných akustických vlastnostech nástroje. V takovéto problematice je důležité své poznatky převádět do praxe a podle návrhu kytary vyrobit a jejich vlastnosti přeměřit na speciálních zařízeních. Až poté lze vyhodnotit skutečný přínos výpočtu. Vlivem statického zatížení je nejčastější poškození kytary v místě pod kobylkou. Hlavní vinu nese hráč, protože používá špatný tyt strun. Například na španělskou kytaru pro kterou se používají pouze nylonové struny používá kovové. Zde

musíme nalézt určitý

kompromis u rozmístění žeber, protože přenos rezonance je v této části nejintenzivnější a žebry bychom desku pouze utlumili. Výrobci tento problém řeší lokálním zesílením rezonanční desky, ale ze statického pohledu je toto opatření nedostačující. Naopak v místech kde žebra neplní žádnou mechanickou funkci se stále používají. Za největší přínos autor považuje zjištění, tvary vlastních kmitů u kytary s vykrojením a bez vykrojení na ruku jsou naprosto rozdílné. V případě symetrické kytary (bez vykrojení na ruku) byly modální analýzou zjištěny tvary kmitů symetrické (z dřívějších výpočtů), kdežto pro kytaru s výkrojem jsou stejné tvary asymetrické. Potom je zarážející proč výrobci stále používají stejné rozmístění žeber u obou typů kytar. Otázka je sice jednoduchá a odpověď také: protože to takto dělá každý. Jediný rozdíl v žebrování u asymetrické kytary je mírným odklonem žebra pod hmatníkem, ale to je dáno hlavně vykrojením nikoliv žádnou podrobnější studií nastoleného problému. Již teď lze říci, že konstrukce těchto kytar je daleko méně propracovaná než u kytar symetrických i přesto, že jsou kytary s výkrojem velmi žádaným zbožím. Nutno podotknout, že jsme se zaobírali pouze změnou počtu a polohy žeber. Každý výrobce má své „osvědčené“ tvary, které nehodlá měnit. Je to především způsobeno zastoupením velkých výrobců kytar na trhu, které obecně považujeme za nejlepší. Jedná se především o firmy Tailor, Martin a Gibson a většina menších výrobců je snaží zprvu napodobovat. Stejně tak i mi jsme použili jeden z osvědčených modelů firmy Gibson a konstrukci jejich kytar jsme získali díky firmě BSG, který si vzala také jejich model za vzor. Dalším důvodem proč jsme se nepokoušeli změnit tvar jsou nemalé náklady na výrobu šablon

70

potřebných k výrobě kytar. V posledních letech se mezi velkými výrobci vede boj právě v oblasti optimalizace z důvodu marketingových záměrů a zvýšení podílu na trhu. Jednou z firem která vynakládá značné částky na výzkum a vývoj je např. firma Taylor. Metoda konečných prvků je dnes velice módní a ve výsledném efektu poskytuje i nezanedbatelné marketingové využití. Na výstupu mají majoritní podíl vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání kytary. Prakticky se výpočty provádějí již několik let, jsou však časově a finančně náročné. Tato práce nastínila jak je velký rozdíl ve tvarech kmitání u kytary s napnutými strunami a pouze rezonanční deskou. Kolik dalších faktorů vstupuje do problematiky akustických vlastností kytar. Pro volbu rozmístění žeber na spodní desce jsme zvolili mod 16 (267,5 Hz). To znamená, že jsme nejen zredukovali původní 4 žebra na tři, ale především jsme změnili způsob uložení a to z příčného směru na podélný. Další variantou je uložení žeber na spodní desce do modu 30, kde by jsme změnili také počet na 3 žebra, ale směr uložení by zůstal zachován.

71

Závěr Byla provedena modální analýza celé konstrukce bez žeber a samotné desky. Výsledkem je přehled vlastních frekvencí kmitání. Tah strun způsobuje nejenom mechanické namáhání materiálu, ale také posun vlastních frekvencí kmitání. Ze znalosti vlastních tvarů pro řešený interval frekvencí byl vybrán jeden mod a do něj navrhnuto rozložení žeber na spodní desce. Návrh žeber horní desky byl vytvořen především na základě výsledků ze strukturální analýzy. Vlastní tvary kmitání u asymetrické kytary jsou velmi rozmanité. Žebra proto nemohou být jednoznačně rozmístěna. Rozmístění byli zvoleno podle modu, který svým charakterem vyhovuje i výsledkům ze strukturální analýzy a žebra, která neplní mechanickou funkci byla odstraněna. Výsledky nebylo možno porovnat s literaturou, protože zatím vlastní tvary kmitání asymetrických kytar nejsou zaznamenány, nebo přístupny. Z výsledků modální analýzy kytary s původními žebry víme, že jejich poloha je nevyhovující, protože výrazně snižuje počet nalézaných frekvencí s vlastními tvary kmitání. Díky různorodosti tvarů kmitání nelze jednoznačně navrhnout optimální typ žebrování pouze na základě modální analýzy. Tvar kytary, resp. asymetričnost desky způsobuje výrazné změny ve tvarech kmitání v porovnání se symetrickou kytarou. Jsou připraveny podklady pro nová praktická měření Chladniho obrazců. Provádět zpětnovazební regresi je velmi náročný úkol pro který v této práci nebylo dostatek prostoru. V tomto ohledu je problém značně neznámým a je otevřenou otázkou. V tomto duchu se k této problematice musí i přistupovat a tato oblast bude i nadále zkoumána.

Summary As part of the research project we carried out modal analysis of the guitar construction without braces and sole guitar plate either. The result is an overview of typical frequencies of mode shapes. The tension of strings causes not only mechanical static strain of material, but also shift in eigenmodes and natural frequencies. With knowledge of soluted spectrum we chose one particular mode and suggested new composition of braces on the back plate. For the optimized composition of braces on a top plate of guitar we used results of structural analysis. Typical mode shapes of asymetric guitar are varied. So the braces cannot be placed definitely. The composition of braces was carried out according to mode with characteritics conforming to the results of structural analysis. Braces that do not fulfill mechanical function were removed. The outcome cannot be compared with relevant literature dealing with mode 72

shapes of asymetric guitars, because such works are not available at the time of the reasearch project. Comparing the results of modal analysis with original position of braces we conclude that the original position of braces is not satisfactory, because significantly decreases number of frequencies with own mode shapes. Because of large variety of mode shapes it is not possible to propose optimal composition of braces using modal anylisis only. The shape of guitar and typical asymetry of the plate causes strong changes of mode shapes comparing to those of symetric guitar. However, results of this project represents good base for new practical research on Chladni patterns. It is a very difficult task to make a regenerative regression, which was not possible to complete in this research project. Regarding this, such a topic still offers new challenges for researchers. In respect of such situation we must consider results of this project as a contribution to the permanently developing discussion.

73

Použitá literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]

ANSYS Theory reference, manuál k programu.001099.SAS IP, Inc Bacon, T. (1991): The ultimate Guitar book, Dorling Kondersley Ltd, London Bucur, V. (1995): Acoustics of Wood, Nancy, France, Institut National de la Recherche Agronomique Centre de Recherches Forestieres, Horáček, P. (2001): Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, Brno, Mendelova zemědělská a lesnická universita Irman K., Prach J., Švagr J., Vimr V., Pavelek S., (1968): Praha, Stavba hudebních nástrojů, Státní pedagogické nakladatelství Jirouška, O. (2006): Metoda konečných prvků www.fdmech.fd.cvut.cz/predmet/K618YMKP/download/fem-2pages.pdf Koňas, P. (1997): Úvod do programu ANSYS 5.4. Brno, Mendelova zemědělská a lesnická universita Miláček, S. (2001): Modální analýza mechanických kmitů, Praha, Vydavatelství ČVUT Požgaj A. , Chovanec D. , Kurjatko S. , Babiak M. (1997) : Štruktúra a vlastnosti dreva, Bratislava, Príroda Rajčan, E. (1998): Akustika I, Technická univerzita vo Zvolene Regináč, L. (1990): Náuka o dreve II., Zvolen, Vysoká škola lesnícka a drevarska Zvolen Syrový, V. (2003): Hudební akustika, Akademie múzických umění v Praze Šlezingerová, J., Gandelová L. (1994): Stavba dřeva, Brno, Mendelova zemědělská a lesnická universita Zadina Z., Celý P.,(1987): Praha, Technologie výroby strunných hudebních nástrojů Státní pedagogické nakladatelství

74

PŘÍLOHA

75

model.mac /prep7 ! ! telo krk zebra sou_system sit cpkontakt ! LSEL,S,,,580 LSEL,A,,,587 nsll,s D,all,all /nerr,1,1000000, alls,all ! telo.mac /prep7 ! tlhornidesky=0.0031 tloustka_spodni_desky=0.0028 ! ! tvar X1=0 y1=0 z1=0 k,1,x1,y1,z1 ! x2=0 y2=0.0275 k,2,x2,y2,z1 ! x3=0 y3=0.041 k,3,x3,y3,z1 ! x4=0.0014 y4=0.0558 k,4,x4,y4,z1 ! x5=0.0067 y5=0.079 k,5,x5,y5,z1 x6=0.0184 y6=0.1064 k,6,x6,y6,z1 ! x7=0.0339 y7=0.1266 k,7,x7,y7,z1 ! x8=0.0503

y8=0.1382 k,8,x8,y8,z1 ! x9=0.0669 y9=0.144 k,9,x9,y9,z1 ! x10=0.0862 y10=0.1458 k,10,x10,y10,z1 ! x11=0.1066 y11=0.1423 k,11,x11,y11,z1 ! x12=0.1262 y12=0.1334 k,12,x12,y12,z1 ! x13=0.1468 y13=0.1217 k,13,x13,y13,z1 ! x14=0.1670 y14=0.12 k,14,x14,y14,z1 ! x15=0.1870 y15=0.1306 k,15,x15,y15,z1 ! x16=0.2062 y16=0.1471 k,16,x16,y16,z1 ! x17=0.2267 y17=0.1618 k,17,x17,y17,z1 ! x18=0.2456 y18=0.1731 k,18,x18,y18,z1 ! x19=0.2666 y19=0.1830 k,19,x19,y19,z1 ! x20=0.2862 y20=0.1905 k,20,x20,y20,z1 ! x21=0.3067 y21=0.1961 k,21,x21,y21,z1 ! x22=0.3267 y22=0.2009 k,22,x22,y22,z1 ! x23=0.3471

y23=0.2028 k,23,x23,y23,z1 ! x24=0.3674 y24=0.2022 k,24,x24,y24,z1 ! x25=0.3867 y25=0.1988 k,25,x25,y25,z1 ! x26=0.4061 y26=0.1930 k,26,x26,y26,z1 ! x27=0.4271 y27=0.1829 k,27,x27,y27,z1 ! x28=0.4497 y28=0.1668 k,28,x28,y28,z1 ! x29=0.4669 y29=0.1490 k,29,x29,y29,z1 ! x30=0.4853 y30=0.1197 k,30,x30,y30,z1 ! x31=0.4962 y31=0.0901 k,31,x31,y31,z1 ! x32=0.5020 y32=0.0608 k,32,x32,y32,z1 ! x33=0.5055 y33=0.0301 k,33,x33,y33,z1 ! x34=0.507 y34=0 k,34,x34,y34,z1 ! k,35,x33,-y33,z1 k,36,x32,-y32,z1 k,37,x31,-y31,z1 k,38,x30,-y30,z1 k,39,x29,-y29,z1 k,40,x28,-y28,z1 k,41,x27,-y27,z1 k,42,x26,-y26,z1 k,43,x25,-y25,z1 k,44,x24,-y24,z1 k,45,x23,-y23,z1 k,46,x22,-y22,z1 k,47,x21,-y21,z1

k,48,x20,-y20,z1 k,49,x19,-y19,z1 k,50,x18,-y18,z1 k,51,x17,-y17,z1 k,52,x16,-y16,z1 k,53,x15,-y15,z1 k,54,x14,-y14,z1 k,55,x13,-y13,z1 k,56,x12,-y12,z1 k,57,x11,-y11,z1 ! x58=0.0778 y58=0.1451 k,58,x58,-y58,z1 ! x59=0.0670 y59=0.1418 k,59,x59,-y59,z1 ! x60=0.0563 y60=0.1322 k,60,x60,-y60,z1 ! x61=0.0511 y61=0.1200 k,61,x61,-y61,z1 ! x62=0.0506 y62=0.1105 k,62,x62,-y62,z1 ! x63=0.0532 y63=0.1005 k,63,x63,-y63,z1 ! x64=0.0578 y64=0.0913 k,64,x64,-y64,z1 ! x65=0.0616 y65=0.0783 k,65,x65,-y65,z1 ! x66=0.0622 y66=0.0650 k,66,x66,-y66,z1 ! x67=0.0569 y67=0.0502 k,67,x67,-y67,z1 ! x68=0.0516 y68=0.0422 k,68,x68,-y68-0.0005,z1 ! x69=0.0480 y69=0.0385 k,69,x69,-y69-0.001,z1 ! x70=0.0430

ROLNA (polovina kytary)

77

ADRAG,tvar, , , , , , cara ! seriznuti zad kytary asel,all aslv,u ! pozice WP wpoff,0,0,0.095-tloustka_spodni_desky wpro,,,-1.6800000 ! ASBW,all ! csys,0 wpcsys,-1,0 ! spodni deska asel,s,loc,z,0.095-tloustka_spodni_desky,0.12 adele,all,,,1 alls,all lsel,s,loc,z,0.094-tloustka_spodni_desky,0.12 al,all asel,s,loc,z,0.094-tloustka_spodni_desky,0.12 VEXT,all, , ,0,0,tloustka_spodni_desky,,,, alls,all ! asel,all aslv,u CM,luby,area alls,all ! predni spalik y303=0.04 ! polovina sirka spaliku x304=0.032 ! tloustka spaliku v_p_spaliku=0.094 k,303,x1,y303,z1 k,304,x304,y303,z1 k,305,x304,-y303,z1 a,303,304,305,73 ! asel,s,loc,y,-0.04,0.04 asel,r,loc,x,0,0.032 asel,r,loc,z,z1-0.001,z1+0.001 VEXT,all, , ,0,0,v_p_spaliku,,,, alls,all ! zadni spalik ! y310=0.026 ! polovina sirky spaliku tlspaliku=0.019 ! tloustka spaliku v_z_spaliku=0.108 ! delka, tl. kytary k,310,x34,y310,z1 k,311,x34,-y310,z1 k,312,x34-tlspaliku,-y310,z1 k,313,x34-tlspaliku,y310,z1 a,310,311,312,313 ! asel,s,loc,y,-y310,y310 asel,r,loc,x,x34,x34-tlspaliku asel,r,loc,z,z1-0.001,z1+0.001 VEXT,all, , ,0,0,v_z_spaliku,,,, alls,all ! vsel,s,loc,z,0.01,0.09 csys,0 ! orez spaliku spodni deska wpcsys,-1,0

y70=0.0350 k,70,x70,-y70-0.0015,z1 ! x71=0.0330 y71=0.0310 k,71,x71,-y71-0.002,z1 ! x72=0.0192 y72=0.0281 k,72,x72,-y72-0.002,z1 ! x73=0 z73=0 k,73,x73,-y2-0.002,z1 ! spline,all l,73,1 lglue,all al,all ! ! Stred kruznice x74=0.1430 y74=0 k,74,x74,y74,z1 ! ! polomer rez. otvoru r=0.05 k,75,x74+r,y74,z1 k,76,x74-r,y74,z1 k,77,x74,y74-r,z1 k,78,x74,y74+r,z1 !* LARC,76,77,74,r, LARC,77,75,74,r, LARC,75,78,74,r, LARC,78,76,74,r, AL,74,75,76,77 ! vyriznuti ASBA, 1, 2 ! asel,s,loc,z,-0.001,0.001 VEXT,all, , ,0,0,tlhornidesky,,,, ! luby k,156,x34,y34,0.11 LSTR, 34, 156 ! lsel,s,loc,z,tlhornidesky-0.001,tlhornidesky+0.001 lsel,s,loc,x,0.093,0.193 lsel,r,loc,y,-r,r CM,kruh,line alls,all ! lsel,s,loc,z,tlhornidesky-0.001,tlhornidesky+0.001 cmsel,u,kruh CM,tvar,line ! alls,all lsel,s,loc,z,0.01,0.1 CM,cara,line cmsel,a,tvar

78

tlkrku=0.02 ! k,502,x500,y500,tlkrku k,503,x500,-y500,tlkrku ! delkakrku=0.364458 k,504,-delkakrku,y500,z500 k,505,-delkakrku,-y500,z500 k,506,-delkakrku,y500,tlkrku k,507,-delkakrku,-y500,tlkrku v,500,501,505,504,502,503,507,506 ! nulty prazec tlnultehoprazce=0.004 vyskanultehoprazce=0.007 ! k,508,-delkakrku+tlnultehoprazce,y500,z500 k,509,-delkakrku+tlnultehoprazce,-y500,z500 k,510,-delkakrku,y500,-vyskanultehoprazce k,511,-delkakrku,-y500,-vyskanultehoprazce k,512,-delkakrku+tlnultehoprazce,y500,vyskanultehoprazce k,513,-delkakrku+tlnultehoprazce,-y500,vyskanultehoprazce v,505,509,513,511,504,508,512,510 ! hlavice k,514,-delkakrku-0.168228,y500,z500+0.041944 k,515,-delkakrku-0.168228,-y500,z500+0.041944 k,516,-delkakrku-0.164727,y500,z500+0.056630 k,517,-delkakrku-0.164727,-y500,z500+0.056630 v,514,515,505,504,516,517,507,506 ! pata z518=0.0936 y518=0.013496 x520=0.03 k,518,x500,y518,z518 k,519,x500,-y518,z518 k,520,-x520,-y518,z518 k,521,-x520,y518,z518 ! z522=0.063 y522=0.01425 k,522,x500,y522,z522 k,523,x500,-y522,z522 k,524,-x520,-y522,z522 k,525,-x520,y522,z522 v,521,518,519,520,525,522,523,524 ! z526=0.043 y526=0.016843 x528=0.032868 k,526,x500,y526,z526 k,527,x500,-y526,z526 k,528,-x528,-y526,z526 k,529,-x528,y526,z526 v,525,522,523,524,529,526,527,528 ! z530=0.033 y530=0.0192 x532=0.037578 k,530,x500,y530,z530

wpoff,0,0,0.095-tloustka_spodni_desky wpro,,,-1.6800000 cswpla,11,cart VSBW,all ! vsel,r,loc,z,-0.001,0.05 vdele,all,,,1 alls,all ! csys,0 ! orez spaliku horni deska wpcsys,-1,0 ! vsel,s,loc,z,0.01,0.09 wpoff,0,0,tlhornidesky VSBW,all vsel,r,loc,z,0,0.01 vdele,all,,,1 ! alls,all csys,0 wpcsys,-1,0 ! vsel,s,loc,z,0.01,0.09 vsel,r,loc,x,x34-tlspaliku,x34 cmsel,a,luby VSBA,all,luby, ,DELETE,KEEP vsel,r,loc,x,x34-0.005,x34 vdele,all,,,1 ! oriznuti predniho spaliku alls,all asel,all aslv,u asel,r,loc,z,0.01,0.09 asel,r,loc,x,0,0.35 asel,r,loc,y,-y2-0.001,-y71-0.002 cm,lubI,area alls,all vsel,s,loc,z,0.01,0.09 vsel,r,loc,x,0,x304 cmsel,a,lubI VSBA,all,lubI,,DELETE,KEEP alls,all ! vsel,s,loc,x,-0.001,0.04 vsel,r,loc,y,-0.025,-0.05 vsel,r,loc,z,0.01,0.09 vdele,all,,,1 alls,all ! krk.mac /prep7 ! X500=0 y500=0.0275 z500=0 k,500,x500,y500,z500 k,501,x500,-y500,z500

79

k,607,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65,-s_sedl,tl_kob k,608,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+tl_sedl,s_sedl,tl_kob k,609,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+tl_sedl,s_sedl,-tl_kob a,606,607,609,608 VEXT,304, , ,0,0,-v_sedl,,,, ! ! struny k,700,-delkakrku,y500-0.004,z500vyskanultehoprazce k,701,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+tl_sedl,y5000.004,-tl_kob-v_sedl l,700,701 LGEN,6,676, , , ,-0.0094, , ,0 ! k,702,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+0.02,y5000.004,z500 l,701,702 LGEN,6,682, , , ,-0.0094, , ,0 alls,all !

k,531,x500,-y530,z530 k,532,-x532,-y530,z530 k,533,-x532,y530,z530 v,529,526,527,528,533,530,531,532 ! z534=0.026 y534=0.0225 x536=0.04522 k,534,x500,y534,z534 k,535,x500,-y534,z534 k,536,-x536,-y534,z534 k,537,-x536,y534,z534 v,533,530,531,532,537,534,535,536 ! z538=0.023 y538=0.025265 x540=0.053908 k,538,x500,y538,z538 k,539,x500,-y538,z538 k,540,-x540,-y538,z538 k,541,-x540,y538,z538 v,537,534,535,536,541,538,539,540 ! x540=0.070 k,542,-x540,-y500,tlkrku k,543,-x540,y500,tlkrku v,541,538,539,540,543,502,503,542 ! hmatnik ! x600=0.1 k,600,x600,y500,z500 k,601,x600,-y500,z500 a,509,508,600,601 VEXT,290, , ,0,0,-0.005,,,, ! tl_kob=0.005 ! kobylka y602=0.076 sirka_kobylky=0.036 k,602,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.650.008,y602,z500 k,603,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65-0.008,y602,z500 k,604,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+0.027,y602,z500 k,605,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+0.027,y602,z500 k,599,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+sirka_kobylky,0.0 36,z500 k,598,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+sirka_kobylky,0.036,z500 a,602,603,605,598,599,604 VEXT,296, , ,0,0,-tl_kob,,,, ! v_sedl=0.003 tl_sedl=0.003 s_sedl=0.035 k,606,-delkakrku+tlnultehoprazce+0.65,s_sedl,tl_kob

zebra.mac /prep7 ! csys,0 !zebra na spodni desce wpcsys,-1,0 wpoff,0,0,0.095-tloustka_spodni_desky wpro,,,-1.6800000 csys,4 ! tl_stredniho_zebra=0.0045 v_stredniho_zebra=0.015 k,705,0,-tl_stredniho_zebra,0 k,706,0,tl_stredniho_zebra,0 k,707,0.51,-tl_stredniho_zebra,0 k,708,0.51,tl_stredniho_zebra,0 a,705,706,708,707 VEXT,310,,,0,0,-v_stredniho_zebra,,,, ! zacatek_napojenych_zeber=0.1 v_napojeneho_zebra=0.012 tl_zebra=0.027 !vx k,709,zacatek_napojenych_zeber,0,0 k,710,zacatek_napojenych_zeber,0,v_napojeneho_zebra k,711,0.51,0.16,0 k,712,0.51,0.16,-v_napojeneho_zebra a,709,710,712,711 VEXT,316,,,tl_zebra,0,0,,,, ! FLST,3,2,5,ORDE,2 FITEM,3,180 FITEM,3,-181

80

FITEM,3,217 FITEM,3,-219 VSBA,P51X,P51X, ,DELETE,KEEP ! FLST,2,5,6,ORDE,5 FITEM,2,22 FITEM,2,27 FITEM,2,-28 FITEM,2,30 FITEM,2,-31 VDELE,P51X, , ,1 vglue,all !

VSBA,18,P51X, ,DELETE,KEEP ! VSBA,19,313, ,DELETE,KEEP ! FLST,3,2,5,ORDE,2 FITEM,3,235 FITEM,3,256 VSBA,17,P51X, ,DELETE,KEEP ! FLST,2,4,6,ORDE,3 FITEM,2,18 FITEM,2,-20 FITEM,2,22 VDELE,P51X, , ,1 ! VSYMM,Y,21, , , ,0,0 ! horni- zebra csys,0 !zebra na spodni desce wpcsys,-1,0 v_podel_zeber=0.015 tl_podel_zeber=0.009 vydalenost_od_stredu=0.052 k,703,0,vydalenost_od_stredu,tlhornidesky k,704,0,vydalenost_od_stredu,tlhornidesky+v_pode l_zeber k,705,0.45,vydalenost_od_stredu,tlhornidesky+v_p odel_zeber k,706,0.45,vydalenost_od_stredu,tlhornidesky a,703,704,705,706 VEXT,316,,,0,tl_podel_zeber,0,,,, ! v_sikmych_zeber=0.015 odklon=0.17 tl_sikmych_zeber=0.015 !posunuti v x k,707,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+sirka_kobylky,0,tl hornidesky k,708,delkakrku+tlnultehoprazce+0.65+sirka_kobylky,0,tl hornidesky+v_sikmych_zeber k,709,0.510,odklon,tlhornidesky+v_sikmych_zeber k,710,0.510,odklon,tlhornidesky a,707,708,709,710 VEXT,322,,,tl_sikmych_zeber,0,0,,,, ! VSBA,18,322, ,DELETE,KEEP VSYMM,Y,20, , , ,0,0 VSYMM,Y,19, , , ,0,0 ! FLST,2,4,6,ORDE,3 FITEM,2,18 FITEM,2,-20 FITEM,2,24 FLST,3,11,5,ORDE,8 FITEM,3,155 FITEM,3,-156 FITEM,3,180 FITEM,3,-182 FITEM,3,189 FITEM,3,-191

sou_system.mac /prep7 ! typ elementu ! ET,1,LINK10 ET,2,SHELL99 ET,3,SOLID92 ! sikme zebro horni deska vykroj CSKP,12,0,381,415,413 ! sikme zebro druhe CSKP,13,0,381,411,409 ! zebro podelne CSKP,14,0,417,385,387 ! zebro sikme spodni u vykroje CSKP,15,0,354,359,358 ! zebro zrcadlove CSKP,16,0,367,363,361 ! spalik CSKP,17,0,317,325,304 ! zebro_spodni_podelne CSKP,18,0,370,374,373 ! prazce CSKP,19,0,512,513,511 ! csys,0 wpcsys,-1,0 ! _mat=1 jv _mat=2 sm_rezo _mat=3 exot _mat=4 matst _mat=5 br ! real konstant luby R,3 !* RMODIF,3,1,3,0,0,0,0,0 !* RMODIF,3,13,1,0,0.0006,5,90,0.0012,

81

TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 12 SECNUM, !* ESIZE,0.005,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 20 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! sikme zebro zrcadlove TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 13 SECNUM, !* ESIZE,0.005,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 22 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! spodni deska TYPE, 3 MAT, 1 REAL, ESYS, 11 SECNUM, !* ESIZE,0.006,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 34 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* !

RMODIF,3,19,1,0,0.0006, WPSTYLE,,,,,,,,0 !* ! struny R,2,45e-9,0.1, alls,all ! sit.mac /prep7 ! ! horni deska TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 14 SECNUM, !* ESIZE,0.005,0, MSHAPE,1,3D MSHKEY,0 !* CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 35 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! podelna zebra TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 14 SECNUM, !* ESIZE,0.005,0, FLST,5,2,6,ORDE,2 FITEM,5,25 FITEM,5,32 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! ! sikme u vykroje

82

! kobylka_prazce TYPE, 3 MAT, 3 REAL, ESYS, 19 SECNUM, !* ESIZE,0.005,0, FLST,5,3,6,ORDE,3 FITEM,5,16 FITEM,5,18 FITEM,5,28 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! hmatnik TYPE, 3 MAT, 3 REAL, ESYS, 14 SECNUM, !* ESIZE,0.007,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 30 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! krk TYPE, 3 MAT, 1 REAL, ESYS, 14 SECNUM, !* ESIZE,0.008,0, FLST,5,8,6,ORDE,5 FITEM,5,7 FITEM,5,9 FITEM,5,-13 FITEM,5,19 FITEM,5,31 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X

! spodni zebro podelne TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 18 SECNUM, !* ESIZE,0.006,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 27 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! spodni zebro u vykroje TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 15 SECNUM, !* ESIZE,0.006,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 17 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! zrcadlove k nemu TYPE, 3 MAT, 2 REAL, ESYS, 16 SECNUM, !* ESIZE,0.006,0, CM,_Y,VOLU VSEL, , , , 21 CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !*

83

CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! TYPE, 3 MAT, 1 REAL, ESYS, 17 SECNUM, !* ESIZE,0.009,0, FLST,5,2,6,ORDE,2 FITEM,5,24 FITEM,5,33 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! luby asel,all aslv,u aplo TYPE, 2 MAT, 5 REAL, 3 ESYS, 0 SECNUM, !* ESIZE,0.01,0, FLST,5,23,6,ORDE,11 FITEM,5,7 FITEM,5,9 FITEM,5,-13 FITEM,5,16 FITEM,5,-22 FITEM,5,24 FITEM,5,-25 FITEM,5,27 FITEM,5,-28 FITEM,5,30 FITEM,5,-35 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU'

CMSEL,S,_Y !* MSHAPE,1,2D !* FLST,5,73,5,ORDE,2 FITEM,5,153 FITEM,5,-225 CM,_Y,AREA ASEL, , , ,P51X CM,_Y1,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y !* AMESH,_Y1 !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ! TYPE, 1 MAT, 4 REAL, 2 ESYS, 0 SECNUM, !* ESIZE, ,1, FLST,2,12,4,ORDE,2 FITEM,2,676 FITEM,2,-687 LMESH,P51X

spaliky

struny

cpkontakt.mac /prep7 ! alls,all lsel,all lsla,u nsll,r,1 cm,uzel,node alls,all lsel,s,,,670 nsll,r,1 cmsel,a,uzel CPINTF,ALL,0.0021 alls,all ! struny k hlavice LSEL,S,REAL,,2 nsll,s,1 lsel,all ASEL,S, , , 250 nsla,a,1 NSEL,r,LOC,X,-delkakrku CPINTF,ALL,0.0011 allsel,all ! zadni spalik asel,s,area,,185,186 asel,a,area,,237 asel,a,area,,231

84

aplo nsla,s nplo CPINTF,ALL,0.002, ! predni spalik asel,s,area,,229 asel,a,area,,223, aplo nsla,s nplo CPINTF,ALL,0.003, ! asel,s,area,,153,154 asel,a,area,,395 asel,a,area,,397 asel,a,area,,225 aplo nsla,s nplo CPINTF,ALL,0.002, alls,all !

85