Betonové konstrukce Přednáška 4
Kazetové desky Kruhové desky
Ing. Pavlína Matečková, Ph.D. 2016
Kazetové desky Plošné betonové konstrukce vylehčené dutinami nebo lehkými vložkami tak, že na spodním povrchu vzniká soustava žeber, křížících se ve dvou (i více) směrech.
Použití kazetových desek Velká rozpětí desek (nad 8 m) Velká zatížení desek Pro velká rozpětí a zatížení jsou plné desky nehospodárné z důvodu velké tloušťky ℎ𝑠 , která ovlivňuje spotřebu materiálu, zatížení desky vlastní tíhou, ale také zatížení podporujících konstrukcí a základové konstrukce. Použití kazetových desek je analogické k trámovým stropům pro desky působící v jednom směru.
Deskové působení Řeší se jako desková (rovinná) konstrukce podepřená lokálně nebo po obvodě za předpokladu, že: Osová vzdálenost žeber 𝑎𝑥 ≤
𝐿min 5
, 𝑎𝑦 ≤
𝐿min 5
Osová vzdálenost žeber 𝑎𝑥 ≤ 2. ℎ𝑠 , 𝑎𝑦 ≤ 2. ℎ𝑠 Tloušťka horní desky ℎ𝑠 ≥
𝑎𝑥 (𝑎𝑦 )
Poměr rozpětí žeber 0,625 ≤
10 𝑎𝑥 𝑎𝑦
≥ 50 mm
≤ 1,6
Zásady pro navrhování kazetových desek: Dimenzuje se odděleně trám (žebro) a horní deska Horní deska vyztužená výztuží ve střednicové rovině Výztuž se navrhuje jako na desce vetknuté po obvodě Horní desku vždy vyztužit! Žebra dostatečně široká pro zajištění bočního krytí výztuže Pozor na křížení výztuže stejně vysokých žeber Smyková výztuž žeber ve formě třmínků
Roštové působení Nepředpokládá se deskové působení, volba 𝑎𝑥 a 𝑎𝑦 je libovolná Velké půdorysy pravidelného i nepravidelného tvaru Souvislé i lokální podepření Trámy se často označují podélníky a příčníky Rošty se souvislým podepřením často také v mostním stavitelství
Doporučení pro roštové stropy: Osová vzdálenost žeber 𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 od 1,0 do 2,5 m ℎ𝑠 = 50 mm do 𝑎𝑥 (𝑎𝑦 ) ≤ 1,0 m ℎ𝑠 = 60 mm do 𝑎𝑥 (𝑎𝑦 ) ∈ (1,0; 1,5) m ℎ𝑠 = 70 mm do 𝑎𝑥 (𝑎𝑦 ) ≥ 1,5 m Výška trámu podle užitného zatížení 1 1 -2 𝑞𝑘 ≤ 8,0 kN.m ℎ = ( ÷ ) 𝐿 m 17
15
8,0 ≤ 𝑞𝑘 ≤ 15,0 kN.m
ℎ=(
𝑞𝑘 ≥ 15,0 kN.m
1
-2
-2
ℎ=(
10
1
1
15
÷
1 10
÷ )𝐿 m 8
)𝐿 m
Kruhové desky Stropní a základové desky, součást konstrukcí s kruhovým půdorysem Stropy a dna kruhových nádrží, zásobníků Základové desky Továrních komínů Televizních vysílačů Rozhleden Vodojemů, nádrží, zásobníků Chladících věží Mezikruhové desky (ochozy komínů, věží, nádrží apod.)
Polární souřadnice U kruhových desek s výhodou zavádíme polární souřadnice 𝑥 = cos𝜑 𝑟 𝑦 = sin𝜑 𝑟
Rovnice desky v kartézských souřadnicích: 𝜕4𝑤 𝜕4𝑤 𝜕 4 𝑤 𝑝𝑧 +2 2 2+ 4 = 4 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝐷 Rovnice desky v polárních souřadnicích: 𝜕 4 𝑤 1 𝜕𝑤 1 𝜕 2 𝑤 2 𝜕 3 𝑤 4 𝜕 2 𝑤 2 𝜕 3 𝑤 + 3 − 2 2+ + 4 − 3 4 3 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟𝜕𝜑 2 2 𝜕4𝑤 1 𝜕 4 𝑤 𝑝𝑧 + 2 2 2+ 4 = 4 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝜑 𝐷
Rotační symetrie:
Rotačně symetrické zatížení Rotačně symetrická konstrukce
Průhyb
desky
se
mění
pouze
v tangenciálním zůstává konstantní, tj.
v radiálním 𝜕𝑤 𝜕𝜑
= 0.
Rovnice desky se pak zjednodušuje: 𝜕 4 𝑤 2 𝜕 3 𝑤 1 𝜕 2 𝑤 1 𝜕𝑤 𝑝𝑧 + − 2 2+ 3 = 4 3 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝐷 Lze zapsat také takto: ′ ′
1 𝑝. 𝑟 ′ ′ {𝑟 [ (𝑟. 𝑤 ) ] } = 𝑟 𝐷
směru,
Výhodou je, že existuje analytické řešení těchto rovnic: 𝑝𝑟 4 𝐶1 . 𝑟 2 𝑤= + + 𝐶2 . ln𝑟 + 𝐶3 64𝐷 4 Integrační konstanty pak odvodíme z okrajových podmínek: Prostě podepřený okraj desky: pro 𝑟 = 𝑎 je 𝑤 = 0 Vetknutý okraj desky: pro 𝑟 = 𝑎 je 𝑤 ′ = 0 Osa symetrie: pro 𝑟 = 0 je 𝑤 ′ = 0
Vnitřní síly pak odvodíme derivacemi: 𝑑2 𝑤 1 𝑑𝑤 𝑚𝑟 = −𝐷 ( 2 + 𝜈 ) 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 1 𝑑𝑤 𝑑2 𝑤 𝑚𝜑 = −𝐷 ( + 𝜈 2) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑚𝑟𝜑 = 𝑞𝜑 = 0 𝑑3 𝑤 1 𝑑2 𝑤 1 𝑑𝑤 𝑞𝑟 = −𝐷 ( 3 + − 2 ) 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟
Vetknutá kruhová deska:
Vetknutá kruhová deska: Maximální průhyb uprostřed desky pro 𝑟 = 0 𝑝𝑎4 𝑤= 64𝐷 Ohybové radiální a tangenciální momenty 𝑝 𝑚𝑟 = − [(3𝑟 2 − 𝑎2 ) + ν(𝑟 2 − 𝑎2 )] 16 𝑝 2 𝑚𝑡 = − [𝑟 (1 + 3𝜈 ) + 𝑎2 (1 + 𝜈 )] 16
Prostě uložená kruhová deska:
Prostě uložená kruhová deska: Maximální průhyb uprostřed desky pro 𝑟 = 0 𝑝𝑎4 5 + 𝜈 𝑤= ( ) 64𝐷 1 + 𝜈 Ohybové radiální a tangenciální momenty (3 + 𝜈 )𝑝𝑎2 𝑟2 𝑚𝑟 = − (1 − 2 ) 16 𝑎 (3 + 𝜈 )𝑝𝑎2 1 + 3. 𝜈. 𝑟 2 𝑚𝑡 = − (1 − ) 2 16 3 + 𝜈𝑎
Radiální a tangenciální výztuž:
Vyztužování kruhové desky:
Výztuž radiální a tangenciální Výztuž pravoúhlá: + Stejné délky prutů - Nehospodárné využití výztuže směrem ke středu rozpětí
+ Možnost použití svařovaných sítí - Nestejná délka prutů
Nahrazení radiální a tangenciální výztuže pravoúhlou výztuží: Je navržena: výztuž ve směru x 𝑎𝑠𝑥 , únosnost 𝑚u𝑥 výztuž ve směru y 𝑎𝑠𝑦 , únosnost 𝑚u𝑦
Stanovme únosnost této výztuže v řezu pootočeném o úhel 𝛼
𝑚u,𝛼 . 𝑑𝑠 = (𝑚u𝑥 . 𝑑𝑠. sin 𝛼 ) sin 𝛼 + (𝑚u𝑦 . 𝑑𝑠. cos 𝛼) cos 𝛼 𝑚u,𝛼 = 𝑚u𝑥 sin2 𝛼 + 𝑚u𝑦 cos 2 𝛼 Předpoklad 𝑚u𝑥 ≅ 𝑚u𝑦 𝑚u,𝛼 = 𝑚u𝑥 (sin2 𝛼 + cos2 𝛼 ) = 𝑚u𝑥
