DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN

2003.10.30.

Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet

1

Differenciálegyenlet megoldása u(t)

diff. egyenlet

v(t)

dnv dv du dm u a n⋅ n a 1⋅ a 0⋅v  t =b0⋅u  t b1⋅ b m⋅ m dt dt dt dt MEGOLDÁS: homogén általános + inhomogén partikuláris magára hagyott rendszer

2003.10.30.

gerjesztett rendszer


2

Harmonikus jelek u(t)

Y(jω )

harmonikus

u harmonikus  t =U 0⋅e

v(t) harmonikus

j⋅ω⋅t

v harmonikus  t =V 0  ω ⋅e

j⋅ ω⋅t ϕ  ω  

v harmonikus  t =Y  jω ⋅u harmonikus  t  Y  jω =

2003.10.30.

v harmonikus  t  u harmonikus  t 

=

b 0 b1⋅ jω b m⋅ jω  a 0 a 1⋅jωa n  jω 


m

n

3

Harmonikus válasz meghatározása u(t)

diff. egyenlet

u(t)

v(t)

v(t)

Y(jω )

harmonikus

harmonikus

dnv dv du dm u a n⋅ n a 1⋅ a 0⋅v  t =b0⋅u  t b1⋅ b m⋅ m dt dt dt dt

Y  jω =


=


m

n

v harmonikus  t =Y  jω ⋅u harmonikus  t  2003.10.30.


4

Megoldási lehetőségek u(t)

diff. egyenlet

u(t)

v(t)

harmonikus

harmonikus

időtartománybeli megoldás

differenciál-egyenlet

időtartomány

TRANSZFORMÁCIÓ INVERZ TRANSZFORMÁCIÓ

operátoros tartomány

operátoros tartománybeli megoldás

algebrai egyenlet

U(s) 2003.10.30.

Y(jω )

v(t)

Y(s)

V(s)


5

Ismeretelméleti alapok • harmonikus analízis • periodikus jelek leképezése harmonikus jelekkel: Fourier-sor • periódusidő kiterjesztése: Fouriertranszformáció • alkalmazás korlátai • Laplace-transzformáció alapgondolata 2003.10.30.


6

Periodikus jelek

periodikus jel közelítése: harmonikus komponensek összege (Fourier-sorba fejtés) 2003.10.30.


7

Fourier-sor ∞



f  t = A0  ∑ A k⋅cos  kω 0 t B k⋅sin  kω 0 t  k =1

T



T 2

1 A 0 = ⋅ ∫ f  t  dt T −T

T 2

2 A k = ⋅ ∫ f  t ⋅cos kω 0 t dt T −T

2

2π ω0 = T





2

2 B k = ⋅ ∫ f  t ⋅sin kω 0 t dt T −T

2

∞

2



f  t = A0  ∑ C k sin ϕ k⋅cos  kω 0 t cos ϕ k⋅sin  kω 0 t  k =1

∞

f  t = A0  ∑ C k sin  kω 0 tϕ k  k =1

2003.10.30.





k=1,2,3 ,





C k = A 2k B 2k ϕ k =arctg


Ak Bk 8

A Fourier-sor komplex alakja ∞

 C k⋅e

j kω 0 tϕ k

f  t = ∑

k =−∞



T 2

− j⋅k⋅ω 0⋅t 1 C k = ⋅∫ f  t ⋅e dt T T −

2

Ck az f(t) függvény vonalas frekvenciaspektruma

2003.10.30.


9

T periódus =150

T periódus =300 2003.10.30.


10

Fourier-transzformáció periodikus függvényből nem periodikus függvény Tperiódus határátmenettel képezhető

ω0  0

T periódus  ∞

a vonalas spektrum folytonossá válik ∞

F { f  t  }=F  jω = ∫ f  t ⋅e− j⋅ω⋅t dt −∞

F

−1

∞

1 j⋅ω⋅t { F  jω  }= f  t = ⋅∫ F  jω ⋅e dω 2 π −∞

2003.10.30.


11

Az alkalmazás korlátai Fourier transzformáció

∞

F { f  t  }=F  jω = ∫ f  t ⋅e

− j⋅ω⋅t

dt

−∞

F

−1

∞

inverz Fourier transzformáció

1 j⋅ω⋅t { F  jω  }= f  t = ⋅∫ F  jω ⋅e dω 2 π −∞

f(t)-nek ki kell elégítenie a Dirichlet-feltételeket és abszolút integrálhatónak kell lennie 2003.10.30.

∞

∫ ∣ f  t ∣ dtK ∞

−∞


12

1(t) transzformáltja ∞

∫ ∣1  t ∣ dt=?

1

−∞

t e-σ t

NEM ABSZOLÚT INTEGRÁLHATÓ!!!

(σ > 0)

ABSZOLÚT INTEGRÁLHATÓVÁ ALAKÍTÁS

1 t

∞

−σ⋅t ∣1 t ∣ ⋅e dtK ∞   ∫ 0

2003.10.30.

0

13

Laplace transzformáció féloldalas súlyozott Fourier transzformáció ∞

∫ f  t ⋅e

− j⋅ω⋅t

⋅e

−σ⋅t

dt

0

∞

F  s =∫0 f  t ⋅e

− j⋅ω⋅t

−σ⋅t

⋅e

∞

dt=∫0 f  t ⋅e

−s⋅t

dt=L { f  t  }

s=σ  jω 2003.10.30.


14

Mintapélda 1. 1 t

∞

F  s =∫0 1  t ⋅e

2003.10.30.

−s⋅t

[ ]   −s⋅t

e dt= −s

∞

1 1 =0 − = −s s 0


15

Mintapélda 2. e-at t>0 1 t

∞

F  s =∫0 e

2003.10.30.

−a⋅t

−s⋅t

⋅e

[

− as ⋅t

e dt= − as 

]  ∞



1 1 =0 − = sa − as  0


16

Néhány függvény Laplace-transzformáltja

2003.10.30.


17

Laplace-transzformációs szabályok 1. Laplace transzformált jelölése:

L { f  t  }=F  s  Lineáris kombináció: L {c 1⋅f 1  t c 2⋅f

2

 t  }=c1⋅F 1  s c 2⋅F 2  s 

Eltolás: ∞

∞

0

0

− τ T  s

L { f  t−T  }=∫ f  t−T ⋅e−ts dt=∫ f  τ ⋅e

dτ= e−sT⋅F  s 

τ =t−T 2003.10.30.


18

Laplace-transzformációs szabályok 2. Differenciálás:

{}

∞ ∞ df −s⋅t ∞ df −s⋅t −s⋅t L =∫0 e dt=[ f  t  e ]0 s∫0 f  t  e dt=sF  s − f  0  dt dt

L

∫

{ } dn f n

∞ ' u vdt = 0

[ uv ] ∫

=s ⋅F  s −s n

dt Integrálás:

L 2003.10.30.

∞ ∞ ' − u v dt 0 0

{∫

t

0

⋅f  0 −s

n−1

⋅f  0 −− f

n−2

'

 n−1 

F  s f  τ  dτ = s

}


19

0 

Laplace-transzformációs szabályok 3. Hasonlósági tétel:



1 s L { f  a⋅t  }= F a a Konvolúció: −1

L

2003.10.30.

{F 1  s ⋅F 2  s }= f 1  t ∗ f 2  t  Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet

20

Kezdeti- és végértéktétel lim f  t = lim  s⋅F  s   t 0

s∞

lim f  t =lim  s⋅F  s  

t ∞

2003.10.30.

s0


21

A Laplace-transzformáció alkalmazásai • differenciálegyenlet megoldása • átviteli függvény definíciója • s-operátor értelmezése

2003.10.30.


22

Az átviteli függvény származtatása u(t)

v(t)

diff. egyenlet

dnv

dv du dm u a n n a 1 a 0 v  t =b0 u  t b1 b m m dt dt dt dt

A differenciálegyenlet zérus kezdeti feltételek melletti Laplacetranszformálásával:







V  s  a n s n a 1 sa 0 =U  s  b m s m b1 sb0

Y  s =

L {v  t  }

L {u  t  }

U(s) 2003.10.30.

=

Y(s)



b m s m b1 sb0

V  s = U  s  a s n a sa n 1 0

V(s)

V  s =Y  s ⋅U  s 


23

Az átviteli függvény alkalmazása 1. dv 10⋅ v  t =3 ⋅u  t  dt

v  0 =0

10⋅s⋅V  s V  s =3 ⋅U  s  V  s ⋅ 10⋅s1 =3 ⋅U  s  V  s 3 Y  s = = U  s  10⋅s1 Feladat: v(t) meghatározása különböző u(t) gerjesztések esetén.

2003.10.30.


24

Az átviteli függvény alkalmazása 2. V  s 3 Y  s = = U  s  10⋅s1

1 U  s = s

u  t =1  t 

a1 a 2 a 1⋅sa 2⋅ 10⋅s1   a 1 10 a 2 ⋅sa 2 3 1 V  s = ⋅ =  = = 10⋅s1 s 10⋅s1 s s⋅ 10⋅s1  s⋅ 10⋅s1  a 2 =3 a 1 10⋅3=0 a 1 =−30

−30 3 1 1 V  s =  =−3 ⋅ 3 ⋅ 10⋅s1 s s0 .1 s −a⋅t

e

−1

=L

v  t =L {V  s  }=−3 ⋅e −1

2003.10.30.

{ } 1 sa

1  t =L

−1

−0 .1 ⋅t

{} 1 s

 

3=3 ⋅ 1 −e


t − 10

25

Az átviteli függvény alkalmazása 3. u  t =δ  t 

V  s 3 Y  s = = U  s  10⋅s1

U  s =1

3 1 V  s = ⋅1=0 .3 ⋅ 10⋅s1 s0 .1

−a⋅t

e

−1

=L

{ } 1 sa

v  t =L−1 {V  s  }=0 . 3 ⋅e−0 . 1 ⋅t =0 . 3 ⋅e 2003.10.30.

t − 10


26

Kifejtési tétel F  s =

b m s m b1 sb 0 n

a n s a 1 sa 0

=

b m s m b1 sb 0

 s−s1  s−s2 ⋯ s−sn 

si egyszeres gyök! n

Ai

i=1

s−si

F  s =∑

 ss

A i = lim F  s ⋅ s−si 



i

2003.10.30.


27

Y(s) és Y(j) kapcsolata b 0 b1 sb m s m

L {v  t  }

V  s Y  s = = = L {u  t  } U  s  a 0 a 1 sa n s n

s= jω Y  jω =

2003.10.30.


=

helyettesítéssel



m

n

28

Súlyfüggvény információtartalma u(t)

u(τ )

t

v  t =∫ u  τ ⋅w  t−τ  dτ 0

w(τ ) w(t-τ )

dτ τ

δ (t) L {v  t  }

L {w  t  } W  s  Y  s = = = 1 L {u  t  } L { δ  t  }

τ

t diff. egyenlet

U(s)=1

w(t)

V(s)=W(s)

Y(s) 2003.10.30.


29

Átviteli függvények alkalmazása U(s) Y1 (s)

V1(s)=U2(s)

V(s) Y2 (s)

Y2 (s)

U1 (s) -

V2(s)

Y1 (s)

V(s)

Y2 (s)

Y negatív 2003.10.30.

+

V(s) +

V2 (s)

Y párhuzamos  s =Y 1  s Y 2  s 

Y soros  s =Y 1  s ⋅Y 2  s  U(s) +

Y1 (s)

U(s)

V1(s)

U 1  s =U  s −V 2  s =U  s −V  s ⋅Y 2  s 

  s  =U  s ⋅Y



V  s =U 1  s ⋅Y 1  s = U  s −V  s ⋅Y 2  s  ⋅Y 1  s 



V  s ⋅ 1Y 1  s ⋅Y 2

visszacsatolás

 s =

1

 s

Y 1  s 1Y 1  s ⋅Y 2  s 


30

Összetett rendszerek ábrázolása b

b

a

Y3

Y1

d

c

hatásvázlat

e

f

Y2

e

d

Y3 a

1

b

Y1

1

c

1

f

Y2

e

jelfolyamábra

-1 2003.10.30.


31

Hatásvázlatok egyszerűsítése

2003.10.30.


32

Hatásvázlatok egyszerűsítése - példa 1. azonos átalakítás = változatlan jeltartalom

2003.10.30.


33

Hatásvázlatok egyszerűsítése - példa 2.

2003.10.30.


34

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Recommend Documents