DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN

2003.11.06.

Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet

1

Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t)

diff. egyenlet

v(t)

• zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet kapcsolja össze v(t)-t és u(t)-t • az összetett rendszer belső mozgásáról nincs információ

2003.11.06.


2

Több bemenetű, több kimenetű rendszerek u1(t) un(t)

diff. egyenletek

v1(t) vk(t)

• vektoriálisan megadható bemenetek /u(t)/ és kimenetek /v(t)/

2003.11.06.


3

Több bemenetű, több kimenetű rendszerek u(t) x(t)

• a rendszer viselkedésének követése belső állapotváltozók segítségével: – állapotváltozók választása – állapotváltozók dinamikai vizsgálata

• a módszer előnyei: – az állapotváltozókat fizikai megfontolások alapján választhatjuk – a belső állapotok követhetők – a numerikus megoldás egyszerűbb 2003.11.06.


4

Differenciál-egyenlet módszer és állapottér numerikus megoldásának összehasonlítása • n-edrendű diff. egyenlet • deriváltak meghatározása

2003.11.06.

• n darab elsőrendű diff. egyenlet • könnyen algoritmizálható


5

Az állapottér modell felépítése 1. előrecsatolás

u(t)

x(t)

v(t)

u(t), x(t) és v(t) oszlopvektorok

x˙  t = f  x  t  , u  t  ,t  2003.11.06.


6

Az állapottér modell felépítése 2. általános nemlineáris

x˙  t = f  x  t  , u  t  ,t  [ [ x t  , x

]  t  ,t ]

x˙1 = f 1 x 1  t  , x 2  t  , , x n  t  , u 1  t  , u 2  t  , , u m  t  ,t x˙2 = f 2

1

2

 t  , , x n  t  , u1  t  , u 2  t  , , u m

⋮ x˙n = f n x 1  t  , x 2  t  , , x n  t  , u1  t  , u 2  t  , , u m  t  ,t

[

]

lineáris időfüggő x˙1 =a 11  t  x 1  t a 12  t  x 2  t ⋯a 1 n  t  x n  t b11  t  u1  t b12  t  u 2  t ⋯b1 m  t  u m  t 

x˙2 =a 21  t  x 1  t a 22  t  x 2  t ⋯a 2 n  t  x n  t b 21  t  u 1  t b 22  t  u 2  t ⋯b2 m  t  u m  t  ⋮ x˙n =a n1  t  x 1  t a n2  t  x 2  t ⋯a nn  t  x n  t b n1  t  u 1  t b n2  t  u 2  t ⋯b nm  t  u m  t 

x˙  t =A  t ⋅x  t B  t ⋅u  t  2003.11.06.


7

Állapottér modell megoldásának hatásvázlata . x

u

x˙ =A⋅xB⋅u

x dt

B

v=C⋅xD⋅u

A

D

. x

u B

dt

x

v C

A 2003.11.06.


8

Hidraulikai rendszer modellje 1. C1 be1

be2

h1 C1

1

R1

be3

h2 C2

2 R2

C2

C3

vízszint: h(t) [m] térfogatáram: (t) [m3/s] tartály keresztmetszete: C [m2] 2 hidraulikai ellenállás: R [s/m ]

2003.11.06.

ki

h3 R3

C3

dh1 dt

=Φ be 1 −Φ 1

dh 2 dt dh 3 dt

Φ1 =

=Φ 1 Φ be 2 −Φ 2 =Φ 2 Φ be 3 −Φ ki

1 h1 −h 2   R1

1 h 2 −h3   R2 1 Φ ki = h 3 R3 Φ2=


9

Hidraulikai rendszer modellje 2. dh1

1 1 1 =− ⋅h1  ⋅h 2  ⋅Φ be 1 dt R1 C 1 R1 C 1 C1 dh 2 dt dh3 dt

 

 

=

1 1 1 1 1 ⋅h1 −  ⋅h 2  ⋅h3  ⋅Φ be 2 R1 C 2 R1 C 2 R 2 C 2 R2 C 2 C2

=

1 1 1 1 ⋅h 2 −  ⋅h3  ⋅Φ be 3 R2 C 3 R 2 C 3 R3 C 3 C3

Φ1 =

1 1 ⋅h1 − ⋅h 2 R1 R1

Φ2=

1 1 ⋅h 2 − ⋅h3 R2 R2

Φ3 =

1 ⋅h3 R3 2003.11.06.


10

Hidraulikai rendszer állapottér modellje

[ ][ [ ] [ ][ ] [ dh1

dt dh 2

dt dh3

−

1 = R1 C 2

1 R1

Φ2 = 0

Φ ki

1 R1 C 1



1 1 −  R1 C 2 R 2 C 2 1 R2 C 3

0

dt

Φ1

1 R1 C 1

0

−

1 R1

0





−

1 R2

1 − R2

0

1 R3

h1

0 h2  0 0 h3

0 0 0

h2  0

1 1  R 2 C 3 R3 C 3

0 0 0

][

Φ be 1 Φ be 2 Φ be 3

[ ] h1

1 R2 C 2

0

h3

0

0

0

1 C2

0

0

1 C3

[ ] Φ be 1

Φ be 2

Φ be 3

]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] h1

1 h2 = 0 0 h3

2003.11.06.

][ ] 1 C1

0 1 0

0 0 1


h1

0 h2  0 0 h3

0 0 0

0 0 0

Φ be 1

Φ be 2

Φ be 3 11

Fázistér modell x [m]

m⋅x¨ d⋅x˙ c⋅x=F  t 

m [kg] c [N/m] F(t) [N] d [Ns/m]

x˙1 ¿ x˙2 2003.11.06.

d c 1 x˙ − x F  t  m m m x 1 =x x 2 = x˙

x¨ =−

x2

c d 1 ¿ − x1 − x2  F t  m m m Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet

12

Jelfolyamgráf

[ ][

0 = −c

x˙1

x˙2

v=[ 1

u(t)

1/m

x2

0]



1 −d m

m

[] x1

x2

][ ] [ ] x1

x2

0  1 u m

0 u

x2  x1



x1

1

v(t)

-d/m -c/m

2003.11.06.


13

Átviteli függvény és állapottér modell 1/1. Y  s =

b0 a 3⋅s 3 a 2⋅s 2 a 1⋅sa 0

d3 v d2v dv a 3⋅ 3 a 2⋅ 2 a 1⋅ a 0⋅v  t =b0⋅u  t  dt dt dt

x 1 =v x 2 = v˙ x 3 = v¨ v = 2003.11.06.

b0 a3

⋅u  t −

a2 a3

⋅v− ¨

a1 a3

⋅v− ˙

a0 a3


⋅v 14

Átviteli függvény és állapottér modell 1/2. v =

u

b0/a3

b0 a3

⋅u  t −

... v

a2 a3

integrálás

⋅v¨ −

.. v

a1 a3

⋅v˙ −

integrálás

a0 a3

⋅v

. v

integrálás

v

a2/a3 a 1/a 3

a0/a3

2003.11.06.


15


[ ][

0 x˙1 0 x˙2 = −a 0 x˙3 a

v=[ 1

b0 a 3⋅s 3 a 2⋅s 2 a 1⋅sa 0

1 0 −a 1

0 1 −a 2 a3

3

[]

][ ] [ ] x1

a3

0 0

x2  b 0 x3 a

u

3

x1

0

0 ] x 2 0 ⋅u x3

2003.11.06.


16


b 0 b1⋅sb 2⋅s 2 3

a 3⋅s a 2⋅s a 1⋅sa 0 U

Y 1=

2

X1

Y1

Y2

1 3

2

a 3⋅s a 2⋅s a 1⋅sa 0

=Y 1⋅Y 2

V

=

X 1  s U  s

V  s Y 2 =b0 b1⋅sb 2⋅s = X 1  s 2

2003.11.06.


17

Állapottér modell és átviteli függvény 2/2. Y 1=

1 a 3⋅s 3 a 2⋅s 2 a 1⋅sa 0

=

X 1  s

U

U  s

Y1

d 3 x1 d 2 x1 dx 1 a 3⋅ 3 a 2⋅ 2 a 1⋅ a 0⋅x 1  t =u  t  dt dt dt

X1

Y2

V

x 2 = x˙1 x 3 = x˙2

a2 a1 a0 1 x˙3 = u  t − ⋅x 3 − ⋅x 2 − ⋅x 1 a3 a3 a3 a3

[ ][

0 x˙1 0 x˙2 = −a 0 x˙3 a 2003.11.06.

1 0 −a 1 3

0 1 −a 2 a3

][ ] [ ] x1

x2

a3

x3

0 0  u 1 a3


18

Állapottér modell és átviteli függvény 2/3. V  s Y 2 =b0 b1⋅sb 2⋅s = X 1  s 2

dx 1 d 2 x1 v  t =b0⋅x 1  t b1⋅ b 2⋅ 2 dt dt

U

Y1

X1

Y2

V

x 2 = x˙1 x 3 = x˙2

v  t =b0⋅x 1 b1⋅x 2 b 2⋅x 3

[

v= b0

b1

2003.11.06.

]

[] x1

b 2 ⋅ x 2 0 ⋅u x3


19

Állapottér modell és átviteli függvény 2/4.

[ ][

0 0 x˙2 = −a 0 x˙3 a

1 0 −a 1

x˙1

3

0 1 −a 2 a3

][ ] [ ] x1

x2

a3

x3

0 0  u 1 a3

[

v= b 0

]

[] x1

b 2 ⋅ x 2 0 ⋅u

b1

x3

b2 v

u

1/a3

. x3

. x3= x2 integrálás

b1

. x2= x1 integrálás

x1 integrálás

b0

a2/a3 a 1/a 3

a0/a3

2003.11.06.


20

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Recommend Documents