KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut : a. (A ∩ B) – C b. (A ∩ B) ᴜ (B ∩ C) Jawab : Diketahui :
A = {1,2,3,4,5,6,7}
(A ∩ B) – C
(A ∩ B) ᴜ (B ∩ C)
B = {1,2,3,5,6,12}
C = {2,4,8,12,20}
(A ∩ B)
= {1,2,3,5,6}
{x|x ϵ A dan x ϵ B}
(A ∩ B) – C
= {1,3,5,6}
{x|x ϵ A dan x ϵ B}
(A ∩ B)
= {1,2,3,5,6}
(B ∩ C)
= {2,12}
(A ∩ B) ᴜ (B ∩ C)
= {1,2,3,5,6,12}
2. Misalkan, jumlah mahasiswa pada suatu kelas adalah 60 orang. 20 orang mahasiswa menyukai kalkulus, 30 menyukai matematika diskrit, dan 10 orang menyukai aljabar linier. 7 orang menyukai kalkulus dan matematika diskrit, 5 orang menyukai matematika diskrit dan aljabar linier, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu. a. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah ! b. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut ! Jawab : Diketahui :
U = {1,2, ... 60} Jumlah Kelas A = {1,2, ... 20} Suka Kalkulus B = {1,2, ... 30} Suka Matematika Diskrit C = {1,2, ... 10} Suka Aljabar Linier
(A ∩ B)
= {1,2,3,4,5,6,7} = |7| suka kalkulus dan matematika diskrit |a|
(B ∩ C)
= {1,2,3,4,5} = |5|
(A ∩ B ∩ C)
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = |10| tidak suka ketiga mata kuliah |c|
suka matematika diskrit dan aljabar linier |b|
A - (A ∩ B)
= {8,9, ... 20} = |13| suka kalkulus |d|
C - (B ∩ C)
= {6,7, ... 10} = |5| suka aljabar linier |e|
B – ((A ∩ B) ᴜ (B ∩ C)) = {13, ... 30}
= |18| suka matematika diskrit |f|
|U| - |a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f| = |60|-|58| = |2| suka ketiga mata kuliah 3. Jika suatu relasi R disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Periksa apakah relasi tersebut merupakan relasi terurut! Jawab : Relasi Terurut jika relasi tersebut bersifat refleksif, antisimentri dan transitif.
Reflektif = jika (a,a) ϵ R untuk setiap a ϵ A Jika disajikan dalam matriks mempunyai unsur diagonal utamanya semua bernilai 1.
Jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka ditemukan loop setiap simpulnya.
A
B
C
D
Berarti relasi R bersifat Refleksif. Antisimetri Jika disajikan dalam graf berarah maka tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. Berarti relasi R bersifat Antisimentri. Transitif jika disajikan dalam graf berarah maka jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. Berarti relasi R bersifat tidak Transitif
Sehingga relasi R Bukan Relasi Terurut karena bersifat Refleksif, Antisimetri dan tidak Transitif.
4. Diketahui himpunan universal yang berisi himpunan A,B dan C (pada soal no. 1), carilah f yang merupakan fungsi kuadrat dari himpunan universal tersebut. Jawab : Diketahui : U = {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} f adalah fungsi kuadrat pada {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} maka :
f = {(2,4)} f(x)=x2 f(2)= 22 = 4 function kuadrat (x:integer): integer; begin x := sqr(x) end;
KELAS B =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut : a. (A – B) ∩ (B – C) b. (A ᴜ C) ∩ (B ᴜ C) Jawab : Diketahui :
A = {1,2,3,4,5,6,7}
(A – B) ∩ (B – C)
(A ᴜ C) ∩ (B ᴜ C)
B = {1,2,3,5,6,12}
C = {2,4,8,12,20}
(A – B)
= {4,7}
{x|x ϵ A dan x ϵ B}
(B – C)
= {1,3,5,6}
{x|x ϵ B dan x ϵ C}
(A – B) ∩ (B – C)
={}
(A ᴜ C)
= {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20}
(B ᴜ C)
= {1,2,3,4,5,6,8,12,20}
(A ᴜ C) ∩ (B ᴜ C)
= {1,2,3,4,5,6,8,12,20}
2. Misalkan, jumlah mahasiswa pada suatu kelas adalah 50 orang. 15 orang mahasiswa menyukai kalkulus, 25 menyukai matematika diskrit, dan 10 orang menyukai aljabar linier. 7 orang menyukai kalkulus dan matematika diskrit, 5 orang menyukai matematika diskrit dan aljabar linier, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu. a. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah ! b. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut ! Jawab : Diketahui :
U = {1,2, ... 50} Jumlah Kelas A = {1,2, ... 15} Suka Kalkulus B = {1,2, ... 25} Suka Matematika Diskrit C = {1,2, ... 10} Suka Aljabar Linier
(A ∩ B)
= {1,2,3,4,5,6,7} = |7| suka kalkulus dan matematika diskrit |a|
(B ∩ C)
= {1,2,3,4,5} = |5|
(A ∩ B ∩ C)
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = |10| tidak suka ketiga mata kuliah |c|
A - (A ∩ B)
= {8,9, ... 15} = |8| suka kalkulus |d|
suka matematika diskrit dan aljabar linier |b|
C - (B ∩ C)
= {6,7, ... 10} = |5| suka aljabar linier |e|
B – ((A ∩ B) ᴜ (B ∩ C)) = {13, ... 25}
= |13| suka matematika diskrit |f|
|U| - |a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f| = |50|-|48| = |2| suka ketiga mata kuliah 3. Periksa apakah relasi yang direpresentasikan dalam bentuk matriks di bawah ini merupakan relasi ekivalen :
Jawab : Relasi Terurut jika relasi tersebut bersifat refleksif, simentri dan transitif.
Reflektif = jika (a,a) ϵ R untuk setiap a ϵ A Jika disajikan dalam matriks mempunyai unsur diagonal utamanya semua bernilai 1.
Jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka ditemukan loop setiap simpulnya.
A
B
C
D
Berarti relasi R bersifat Refleksif. Simetri Jika disajikan dalam graf berarah maka ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. Berarti relasi R bersifat Simentri. Transitif jika disajikan dalam graf berarah maka jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. Berarti relasi R bersifat Transitif
Sehingga relasi R merupakan Relasi Ekivalen karena bersifat Refleksif, Simetri dan Transitif.
4. Diketahui himpunan universal yang berisi himpunan A,B dan C (pada soal no. 1), carilah f yang merupakan fungsi kuadrat dari himpunan universal tersebut. Jawab : Diketahui : U = {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} f adalah fungsi kuadrat pada {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} maka :
f = {(2,4)} f(x)=x2 f(2)= 22 = 4 function kuadrat (x:integer): integer; begin x := sqr(x) end;
KELAS C =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut : a. (A ∩ B) – C b. (A ᴜ B) – C ∩ (A ᴜ C) – B Jawab : Diketahui :
A = {1,2,3,4,5,6,7}
(A ∩ B) – C
B = {1,2,3,5,6,12}
C = {2,4,8,12,20}
(A ∩ B)
= {1,2,3,5,6}
{x|x ϵ A dan x ϵ B}
(A ∩ B) – C
= {1,3,5,6}
{x|x ϵ A dan x ϵ B}
(A ᴜ B) – C ∩ (A ᴜ C) – B (A ᴜ B)
= {1,2,3,4,5,6,7,12}
(A ᴜ C)
= {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20}
(A ᴜ B) – C
= {1,3,5,6,7}
(A ᴜ C) – B
= {4,7,8,20}
(A ᴜ B) – C ∩ (A ᴜ C) – B = {7} 2. Misalkan, jumlah mahasiswa pada suatu kelas adalah 55 orang. 20 orang mahasiswa menyukai kalkulus, 25 menyukai matematika diskrit, dan 10 orang menyukai aljabar linier. 7 orang menyukai kalkulus dan matematika diskrit, 5 orang menyukai matematika diskrit dan aljabar linier, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu. a. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah ! b. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut ! Jawab : Diketahui :
U = {1,2, ... 55} Jumlah Kelas A = {1,2, ... 20} Suka Kalkulus B = {1,2, ... 25} Suka Matematika Diskrit C = {1,2, ... 10} Suka Aljabar Linier
(A ∩ B)
= {1,2,3,4,5,6,7} = |7| suka kalkulus dan matematika diskrit |a|
(B ∩ C)
= {1,2,3,4,5} = |5|
(A ∩ B ∩ C)
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = |10| tidak suka ketiga mata kuliah |c|
suka matematika diskrit dan aljabar linier |b|
A - (A ∩ B)
= {8,9, ... 20} = |13| suka kalkulus |d|
C - (B ∩ C)
= {6,7, ... 10} = |5| suka aljabar linier |e|
B – ((A ∩ B) ᴜ (B ∩ C)) = {13, ... 25}
= |13| suka matematika diskrit |f|
|U| - |a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f| = |55|-|53| = |2| suka ketiga mata kuliah 3. Jika suatu relasi R disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Tentukan dua matriks yang mempresentasikan relasi R-1 (relasi invers) dan komposisi R.R-1 ! Jawab : Diketahui : Matriks Relasi R adalah MR =
1110 0101 0010 0001
Sedangkan Matriks Relasi R-1 adalah MR-1 = 1 0 0 0 1100 1010 0101 Komposisi R.R-1 adalah = (1ʌ1)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ0) (1ʌ0)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ1) (1ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ0) (1ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ1) (0ʌ1)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ1) (0ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ1) (0ʌ1)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ1) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ1)ᴠ(0ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ0)ᴠ(0ʌ1) (0ʌ1)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ1) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(0ʌ1)ᴠ(1ʌ0) (0ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(0ʌ0)ᴠ(1ʌ1) =
1110 1101 1010 0101
4. Diketahui himpunan universal yang berisi himpunan A,B dan C (pada soal no. 1), carilah f yang merupakan fungsi kuadrat dari himpunan universal tersebut. Jawab : Diketahui : U = {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} f adalah fungsi kuadrat pada {1,2,3,4,5,6,7,8,12,20} maka :
f = {(2,4)} f(x)=x2 f(2)= 22 = 4 function kuadrat (x:integer): integer; begin x := sqr(x) end;
