Digitális véletlen és fekete sugárzás.
Varró Sándor MTA WIGNER FK SZFI, Budapest
A Planck-formula származtatása a Gauss (exponenciális) eloszlásból az energia törtrészének kivonásával [ „A Gauss-fény sötét része és korlátlan oszthatósága” (SzFKI, 2006) ].
GAUSS
[] {}
SÖTÉT PLANCK
8 2 h u ( ,T ) Z h 3 h / kT c e 1 [1] S. V., Einstein’s fluctuation formula. A historical overview. Fluctuation and Noise Letters, 6 , No.2, R11-R46 (2006). [2] S. V., A study on black-body radiation: classical and binary photons. Acta Physica Hungarica B: Quantum Electronics 26, Nos. 3-4., 365-389 (2006). [3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Energy : Planck [Bose] Distribution : Integer part of the integer part of the Gauss2 variable)
1 n n f (n) pn P( n) (1 b)b 1 n 1 n
be
n
n
2
n n n n n 2
Particle
2
2
E h E E / M 2
e h / kT 1
E h h n
h / kT
Einstein’s fluctuation formula 2
1
Wave
Yves Tanguy, Infinite divisibility. = Planck [ Bose ] Energia: KORLÁTLAN OSZTHATÓ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ.
A de Broglie – féle „fotomolekulák” xi és a „bináris fotonok” ui származtatása a korlátlanul osztható ( ! ) Planck [ Bose ] eloszlásból. A Planck-változó (energia) felosztható a x1, x2, ... részekre, vagy az u1, u2, ... részekre. é k
Classical (Poisson) Photo-Molecules [ de Broglie, Bothe ] Monochromatic black-body radiation (in a narrow spectral range) can be considered as a mixture of thermodynamically independent photo-multiplet classical gas components consisting of photomultiplets of energies mh where m=1,2,3,… .
+ 3h● 3h● + + 6h● 6h● h● + 2h● 4h● 5h● h● 2h● h● 4h● 5h● h● h● 3h● h● 6h● 1 2 h● h● h● h● h● 4h● m h● h● 2h● h● h● 5h● h● h● h● h● 3h● particle-like h● h● 6h● Only fluctuations ! 4h● h● h● h● h● h● h● 2h● h● h● 5h● h● ‘Wien entropies’ Planck entropy py h● h● 3h● h● h● 6h● h● h● 4h● h● h● 4h● h● h● h●S S k [( 1 n ) log ( 1 n ) n log n ] m h● 2h● h● 5h● h●
x x ... x ...
m 1
h●
h●
lm m b m e mh / kT pl (m) P ( xm l m) e ,l 0 , 1, 2 , ... , m m m l!
Louis de Broglie, Comptes Rendus 175, 811-813 (1922)
( E ) h E 2
(1)
2 h E
( 2)
3h E
( 3)
...
„foto-molekulák”
Infinite Divisibility: New Sceene; Binary Photo-Molecules or “BINARY PHOTONS” 1 2s (1 z ) 1 z s 0
( | z | 1 )
b exp( h / kT )
A Planck [ Bose ] eloszlás karakterisztikus függvényét a küvetkező (abszolut konvergens) végtelen szorzatra bontjuk:
1 b 1 b e (t ) it 2s 1 be 1 b s 0
2s
2 s it
1 beit 1 b 2 e 2it 1 b 4 e 4it ... 2 4 1 b 1 b 1 b
u0 u1 u2 ... us ...
1 p0 (s) P(us 0) 2s 1 b
2s
b p1 ( s) P(us 2 ) 2s 1 b s
Binary distributions: Fermions [3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Bináris (“Fermion” ) Fotonok h●
+
2h●
+ 4h●
8h●
+
+
16h●
32h●
u0 u1 u2 ... u s ... Minden 2sh energiájú komponensből maximum csak egy lehet (az adott spektrális tartományban). Egész számok (fotonbetöltöttség) diadikus kifejtése: n = 1:
1.
n = 5:
101.
n = 2: n = 6:
10.
n = 3:
11.
n = 4:
100.
110.
n = 7:
111.
n = 8:
1000.
Etc…
p0 (s) P(us 0)
b e h / kT
1
p1 ( s) P(u s 2 ) s
1 b
2s
b
2s
1 b
2s
Statistical and thermodynamical y independence p
Es h us 2 h
1
s
ns
exp(2 h / kT ) 1
1 exp( 2 s h / kT ) 1
2 h ns s
s
Fermions with zero chemical potential
S s k[(1 ns ) log(1 ns ) ns log ns ]
Teljes Planckentrópia
S k[(1 n) log(1 n) n log n] S s
Fermion entrópiák
s 0
n n u (2 u s u ) 2
2
s 0
2 s
s
s 0
2 s
Diadic expansion of the “ordinary” photon excitation by „binary photon” excitations. excitations Composed Boolean events. events
9 1 2 0 0 21 0 2 2 1 2 3
B9 A0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ...
P( A0 ) P( A3 ) P( B9 ) P( A0 ) P( A1 ) P( A 2 ) P( A3 ) P( A s ) P( A s ) P( A 0 ) P( A 3 ) s 0 s 4 20
23
b b (1 b) (1 b)b 9 Second example: Non-exclusive OR: s=1 or s=3 or both of them
( A0 A3 ) A1 A 2 A 4 A 5 ... A s ... A0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ... A0 A1 A 2 A 3 A 4 A 5 ... A s ... A0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ... A 0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ... A0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ... A0 A1 A 2 A 3 A 4 A 5 ... A s ... A 0 A1 A 2 A3 A 4 A 5 ... A s ... B9 B1 B8
Diadic expansion of the “ordinary” photon excitation by „binary photon photon” excitations. Connection with the usual photon number (orthogonal) projectors.
P (( A0 A3 ) A1 A 2 A 4 A 5 ... A s ...)) (1 b)(b b 8 b 9 ) P ( B1 B8 B9 )
P ( B1 B8 B9 ) P ( B1 ) P ( B8 ) P ( B9 ) (1 b)(b b 8 b 9 )
P ( B1 B8 B9 ) Tr 1 8 9
n 0
n 0
n (1 b)b n n n
n n n
n
n n n 1 (1 n)
b exp( h / kT )
The mutually orthogonal projectors represent the mutually independent events Bn . S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Summary of the first part Wave
2
E2 E / M
2
GAUSS :
E2 h E E / M PLANCK : Boson Wave-Particle
DARK : 2
E2 2nh E E / M h E Dark Fluctuation
CLASSICAL ( POISSON ) : xm (m)
BINARY ( Fermion ) : us
(E( m ) ) 2 mh E
(E( s ) ) 2 2 s h E [ E ]2 / M
Particle
Fermion Wave-Particle
(s)
(s)
A bozontér fermionfelbontásáról. „Fermionizáció”; A fény neutrinó elmélete. P. Jordan [ 1935 ]
2 const N (1 N )
Pascual Jordan [ in 1960 ]
M. Born, W. Heisenberg und P. Jordan, Zur Quantenmechanik II. Zeitschrift für Physik 35, 557 (1926) .
“Dreimaennerarbeit”
P.Jordan und O. Klein, Zum Mehrkörperproblem in der Quantentheory. Zeitschrift für Physik 45, 75 (1927) P.Jordan und E. Wigner, Über das Paulische Aequivalenzverbot. Zeitschrift für Physik 47, 631(1928) P. Jordan und W. Pauli, Zur Quantenelekrodynamik ladungfreier Felder. Zeitschrift für Physik 47, 151 (1928) P. Jordan, J. Neumann and E. Wigner, On an algebraic generalization of the quantummechanical formalism. Annals of Mathematics 35, 29-64 (1934)
P. Jordan, Die Neutrinotheorie des Lichts. Zeitschrift für Physik 93, 464 (1935) P. Jordan, Beitraege zur Neutrinotheorie des Lichts. Zeitschrift für Physik 114, 229 (1937) B. Schroer, Pascual Jordan’s legacy and the ongoing research in quantum field theory. Europian Physical Journal H 35, 377 (2011)
Megjegyzés egy másik példáról. „Bozonizáció”. D. C. Mattis and E. H. Lieb [ 1965 ]
E. H. Lieb [ in 2012]
B. Schroer, Pascual Jordan’s legacy and the ongoing research in quantum field theory. Europian Physical Journal H 35, 377 (2011) D. C. Mattis and E. H. Lieb, Exact solution of a many-fermion system ands its associated boson field. J. Math.Phys. 6, 304-312 (1965)
A de Broglie – féle „fotomolekulák” megfigyelése [ 2009 ] (szerintem)
Eij ( x1 , x 2 , ) Ei ( x1 ,t ) E j ( x 2 ,t )
c / k BT „Surprisingly, the value 2 for of g (2) (=0), interpreted as a bunching of photons, has never been experimentally observed with real blackbody sources.” Femtosecond resolution needed!
Hanbury Brown – Twiss effect with thermal bosons and fermions in beam experiments. experiments g(2)()=< ( )=< N1 N2 >/(
)
Normal izedCoinciidenceRate e
2.0
1 1 1 1 M M xM yM l
1.5
or t
1.0 + bunching : thermal boson g2
- antibunching : thermal fermion g2
0.5
0.0
- 1.5
- 1.0
-0.5
0.0
0.5
x - x0 au
1.0
Spatio-temporal „mismatch” between detections at D1 an D2
1.5
[4] S. V., Correlations in single-photon experiments. Fortschritte der Physik – Progr. Phys., 56, No. 1, 91-102 (2008). [5] S. V., The role of self-coherence in correlations of bosons and fermions in linear counting experiments. Notes on the wave-particle duality; Fortschritte der Physik – Progr. Phys.; 59, No. 3 – 4, 296 – 324 (2011)
Overlap; relevant spatio – temporal modes. The number of relevant modes depends on the coherence properties of the wave-particle beam, polarization AND on detector dead time, shaping-up time, sampling frequency, gate… . Here we assume cross-spectral cross spectral purity and thermal source.
1 1 1 1 M M xM yM l tD
t' + t D
tinteraction = t + t D
tD
or t
2M M 1 Pol
Mt
2D 1 2 c
1 / 2 x w x2 w x 2x 2 1 exp 2 Mx erf w x x x wx
1
F. Boitier, A. Godard, E. Rosencher and C. Fabre, NatPhys. March [ 2009 ] de Broglie [ Poisson ] fotomolekulák ( my interpretation )
(b 2 ) n b 2 p n ( 2) e n!
b e h / kT
See [1], [2]
lm m b m e mh / kT pl (m) P ( xm l m) e ,l 0 , 1, 2 , ... , m m m l!
A klasszikus [ Poisson ] fotomolekulák számának megmaradása kétszintes rendszerrel lévő termikus egyensúlyban. Az ASE-nél ~ csak indukált. B
A
m=1 B
B
m=2 B
B
m=3 B
B
m=4 B
B
ETC…
[1] S. V., Einstein’s fluctuation formula. A historical overview. Fluctuation and Noise Letters, 6 , No.2, R11-R46 (2006).
F. Boitier, A. Godard, E. Rosencher and C. Fabre, NatPhys March [ 2009 ]
Az ASE “bin-eloszlása” Poisson, de a másodrendű korrelációja termikus. A két lát látszólag ól ellentmondó ll t dó viselkedés i lk dé a de d Broglie B li „fotomolekulák” f t l k lák” figyelembevételével megérthető, midössze a „termikusság” alapján.
M. Blazek and W. Elsaesser, “Hybrid light”. PRA 84, 063840 [ 2011 ]
M. Blazek and W. Elsaesser, “Hybrid light”. PRA 84, 063840 [ 2011 ]
M. Blazek and W. Elsaesser, “Hybrid light”. PRA 84, 063840 [ 2011 ]
1.33 4 / 3 1 / N [4] S. V., Correlations in single-photon experiments. Fortschritte der Physik – Progr. Phys., 56, No. 1, 91-102 (2008). S. V., Entangled photon-electron states and the number-phase minimum uncertainty states of the photon field. New Journal of Physics, 10, 053028 (35 pages) (2008). S. V., Entangled states and entropy remnants of a photon-electron system. Physica Scripta T140 (2010) [5] S. V., The role of self-coherence in correlations of bosons and fermions in linear counting experiments. Notes on the wave-particle duality; Fortschritte der Physik – Progr. Phys.; 59, No. 3 – 4, 296 – 324 (2011)
A sötét ötét rész é [ az energia gi Boltzmann-eloszlása B lt l lá törtrészének tö t é é k ] „digitális statisztikája”
[6] S. V., Digital randomness and black-body radiation. International Laser Physics Workshop (LPHYS’12, 23-27. July 2012. Calgary, g y Canada), ) Seminar 7: Quantum Information. Abstracts . Invited talk 7.13.2 and P.7.7 ((2012). )
The dark part and the zero-point energy
2 e h / kT h c (T ) h k 1 2 h / kT T 1 kT e
1 0 c (T )dT 2 h
A sötét rész [ az energia Boltzmann-eloszlása törtrészének ] digitális statisztikája statisztikája” „digitális
Fejtsük j ki az x ( 0 < x < 1 ) számot 2 ( negatív g ) hatványai y szerint. Ez a diadikus kifejtés.
k ( x) x k k 1 2
k ( x) 0 vagy 1
x 0.010011101...
Ha az x mennyiség véletlen változó, akkor a hozzátatrozó k(x) – ek is véletlen változók, amelyek természetesen x-től függnek. Legyen x sűrűségfüggvénye fa(x) a ( 0, 1 ) intervallumon. Milyen alakú lehet ez az fa(x) ha az k(x) –k egymástól függetlenek? Vagyis milyen eloszlású x, ha diadikus alakjának különböző helyiértékein szereplő 0-k és 1-ek teljesen függetlenül változnak „egy méréssorozat” méréssorozat során?
Indukált valószínűségi mértékek. S. D. Chatterji [ 1963 ]
[6] S. V., Digital randomness and black-body radiation. International Laser Physics Workshop (LPHYS’12, 23-27. July 2012. Calgary, Canada), Seminar 7: Quantum Information. Abstracts . Invited talk 7.13.2 and P.7.7 (2012).
A sötét rész [ az energia Boltzmann-eloszlása törtrészének ] „digitális statisztikája”.. Chatterji (1963) matematikai eredményének alkalmazása. statisztikája Fejtsük ki az x ( 0 < x < 1 ) számot 2 ( negatív ) hatványai szerint. Ez a diadikus kifejtés.
k ((xx) x k k 1 2
k ( x) 0 vagy 1
x 0.01001110101000100101101...
Ha az x mennyiség y g véletlen változó, akkor a hozzátatrozó k((x)) –ek is véletlen változók, amelyek y természetesen x-től függnek. Legyen x sűrűségfüggvénye fa(x) a ( 0, 1 ) intervallumon. Milyen alakú lehet ez az fa(x) ha az k(x) –k egymástól függetlenek? Vagyis milyen eloszlású x, ha diadikus alakjának különböző helyiértékein szereplő 0-k és 1-ek teljesen függetlenül változnak „egy méréssorozat” során?
1, ha a 0 ax f a ( x ) ae e a 1 , ha a 0
e y f ( y) 1 e 1
See [6]. And the last formula for the dark distribution. On page 4 of the Appendix to this talk.
(0 y 1) See [6].
Vagy exponenciális, exponenciális szóról-szóra megegyezik a fentebb használt tört résszel résszel. Vagy egyenletes, egyenletes és ekkor az átlaga pont a zérusponti energia. Hová, mihez tartozik a zérusponti energia?
k ( x) 0 vagy 1
x 0.0100111010 0000011000 1010101111 0000000110 0100010...
x 0.10001010101100011010101110111101100001100110011... x 0.0110111011 1001111000 1010101111 0100000110 0111010...
x 0.01111110100001011000101010111101110001100110011... x 0.1100111011 1100000000 1000101111 0000100110 0101110...
x 0.01001110100000011000101010111100000001100100010... x 0.0100111010 0000011000 1010101111 0000000110 0100010...
x 0.01011110000000010000100010111111100001100100011... x 0.1010111011 0000011000 1010101111 1100001110 0100110...
x 0. 0 0100111010 00 0 000000 0000011000 0001010101111 0 0 0 0000000110000100010 0000000 000 0... x 0.1111111010 0000011000 1010101111 0111100110 0111011... x 0.1100111010 0111011000 1010101101 1100000110 0111010... x 0.01001110100000011000101010111100000001100100010... x 0.11001110100000011000101010111100000001100100011... k ( x) 0 vagy 1
„Digitális Szintézis”. A Haar – féle ortogonális rendszer [ 1909 ].
A Rademacher – féle rendszer [ 1922 ].
A Rademacher – féle rendszer nem teljes.
A Haar – féle ortogonális rendszer [ 1909 ]. A Walsh – féle ] rendszer [ 1922 ].
A Haar – féle ortogonális rendszer [ 1909 ]. A Walsh – féle ] A Rademacher – féle rendszer [ 1922 ] rendszer [ 1922 ].
A Walsh – féle rendszer d i is teljes. [ A Haarrendszerre van visszavezetve. i ]
B. Jacoby, Walsh functions: a digital Fourier series. (Az ábra csak illusztráció, célja pusztán érzékeltetés!)
Scattering of a p-polarized wave; TM; Transverse Magnetic, Surface current Ky of graphene z Ey , z
Bx
Ky
x [7] S. V., Linear and nonlinear absolute phase effects in interactions of ulrashort laser pulses with a metal nano-layer or with a thin plasma layer Laser and Particle Beams 25, layer. 25 379 379–390 390 (2007) (2007). [8] S. V., Graphene-based carrier-envelope phase difference meter. In AIP Conf. Proceedings 1462, 128-131 (2012). [ Light at Extreme Intensities (LEI-2011, 14-18. November 2011. Szeged, Hungary), Book of Abs. p. 43 (2011). ]
y
Generation of rectangular sequence of reflected optical pulses at Brewster angle. ‘R l ti i ti clipping’ ‘Relativistic li i ’ : The Th scattered tt d E field fi ld ~ velocity, l it and d this thi saturates t t att c.
E sc ~ f1 (t ) (1 / (c1 c3 ))[(c3 c1 ) F (t ) c3 (4 / c) K 2 y (t )]
Ascatt ( y ) 4 e dG ( y x ( )) u ( )
~ Velocity of the charge element
[8] S. V., Graphene-based Graphene based carrier-envelope carrier envelope phase difference meter. In AIP Conf. Proceedings 1462, 128-131 128 131 (2012). [9] S. V., Generation of rectangular optical waves from strong laser pulses through ‘relativistic clipping’. International Laser Physics Workshop (LPHYS’12, 23-27. July 2012. Calgary, Canada), Seminar 2: Srong-field Phenomena. Talk. 2.7.5 (2012).
Generation of rectangular g sequence q of reflected optical p p pulses at Brewster angle. g ‘Relativistic clipping.’ The rectangular structure follows the ABSOLUT phase.
[8] S. V., Graphene-based carrier-envelope phase difference meter. In AIP Conf. Proceedings 1462, 128-131 (2012). Li ht att E Light Extreme t IIntensities t iti (LEI-2011, (LEI 2011 14 14-18. 18 N November b 2011 2011. S Szeged, d H Hungary), ) B Book k off Ab Abs. p. 43 (2011) (2011).
Haar, Walsh vagy Rademacher rendszer az optikai tartományban ? [9] S. V., Generation of rectangular optical waves from strong laser pulses through ‘relativistic clipping’. International Laser Physics Workshop (LPHYS (LPHYS’12 12, 23-27. 23 27 July 2012. 2012 Calgary, Calgary Canada), Canada) Seminar 2: Srong-field Srong field Phenomena Phenomena. Abstr. Abstr 2.7.5 2 7 5 (2012). (2012)
■ A de Broglie – féle fotomolekulák segítségével a korábban kidolgozott [klasszikus valószínűségszámításon alapuló] formalizmus keretében az ASE renszerekből származó, nemrég felfedezett „hibrid-fény” paradox statisztikus tulajdonságai kielégítően megérthetők. ■ A Planck [ Bose ] eloszlás egyértelműen felbontható bináris fotonokra, ez a fotongerjesztések természetes fizikai diadikus bázisának megtalálását jelenti. A Haar és a Walsh rendszerek segíségével egyértelmű é ű megfeleltetés é létesíthető é í ő a diszkrét é fotongerjesztések é é és tetszőleges folytonos időfüggvéyek között. Egy új elméleti eredményünk szerint grafénen szóródó lézerimpulzusokkal Rademacher – Walsh négyszögimpulzusok generálhatók az optikai tartományban. tartományban ■ Az energia kerekítési értékének [ törtrészének, „sötét részének” ] bináris reprezentációjában a digitek függetlenül változnak, akkor két l h tő é van: 1) a mérőeszköz lehetőség é ő kö hő hőegyensúlyba úl b került k ült valamilyen l il véges hőmérsékletű fekete sugárzással. 2) Ha a digitek eloszlása még ezenfelül azonos is, akkor ez csak a counter kerekítési hibájának egyenletes eloszlásából jöhet. Az átlag = zérusponti energia. Ez a tökéletes véletlenszám véletlenszám-generátor, generátor, a „digitális sivatag sivatag”..
Appendix p1 : Transformation of a Random Variable
x
y=t(x)
A
B
A = { x : t ( x ) B }: “stem stem set set” of B [3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Appendix p. 2 : Probability measure, distribution function
Q ( B ) = P ( A ) Probability measures. G ( y ) = Q ( ( -inf, inf y ) ) = P ( Ay ), ) where Ay is the “stem set” of (-inf, y) Ay = { x : t ( x ) < y } is the niveau set of the function t ( x ) belonging to y, because y t ( x ) < y equivalent with : t ( x ) ( -inf, -inf y ). ) [3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Appendix p. 3 : Fractional Part Transformation : y = t(x) = {x} 1 y
-1 1
I-1(y) ( )
0 I0(y) ( )
1 I1(y) ( )
O if y 0 Ay I k ( y ) if 0 y 1 k 1 R if 1 y
2 I2(y) ( )
3 I3(y) ( )
4
0 if y 0 G ( y ) PI k ( y ) if 0 y 1 k 1 if 1 y
PI k ( y ) P[k , k y ) F (k y ) F (k ) [3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
Appendix p. 4 : Fractional Part of the Exponential [ Boltzmann ] Distribution
Original distribution function
Transformed distribution function
F ( x) 1 e x 1 e
G( y)
( k y )
k 0
e
k
k 0 Transformed probability density function
f ( y)
1 e
y
e y 1 e
1 e k
1 e y 1 e
(0 y 1)
[3] S. V., Irreducible decomposition of Gaussian distributions and the spectrum of black-body radiation.Physica Scripta, 75, 160-169 (2007)
