Wigner FK RMI, Budapest

Home Page

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

T´ erelm´ eletek kvant´ al´ asa go att´ eren ¨rbu ¨ lt fix h´ R´acz Istv´an Wigner FK RMI, Budapest

Page 1 of 39

Go Back

Full Screen

Szeged

2012. szeptember 28. Close

Quit

Home Page

Title Page

A h´ att´ err˝ ol: • Nincs olyan v´ egleges elm´elet, amit a gravit´aci´o kvantumelm´elet´enek nevezhetn´enk →

Contents

JJ

II

J

I

Page 2 of 39

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Mondhat´o-e b´armi a gravit´aci´o kvantumos jelens´egekre gyakorolt hat´as´ar´ol? • Olyan, mint amikor a ku ¨ls˝o elektrom´agneses teret klasszikusan kezelju ¨k az atomi gerjeszt´esek vizsg´alata sor´an. → QED ut´ani id˝oszakban is hasonl´o eredm´enyek ´erv´enyesek

az atomok sug´arz´asa ´es f´enyelnyel´ese kapcs´an. • F´ el-klasszikus elm´elet, amelyben a gravit´aci´ot klasszikus mez˝ok´ent kezelju ¨k, m´ıg az

anyagmez˝ok kvantumos viselked´es´et ezen – az egyszer, s mindenkorra adott – fix h´att´eren vizsg´aljuk. – Az anyagmez˝oket mindenu ¨tt line´arisnak, azaz ¨onk¨olcs¨onhat´ast´ol mentesnek tekintju ¨k. → Most csak a gravit´aci´o hat´as´ara koncentr´alunk. • A hetvenes ´ evek elej´en felismert´ek a feketelyukak dinamik´aj´ara vonatkoz´o klasszikus

to¨rv´enyek ´es a termodinamika f˝o t´eteleinek meglep˝o hasonl´os´ag´at. A megfeleltet´es l´enyegesen megalapozottabb´a v´alt Hawking 1973-as felfedez´ese ut´an. Hawking eredm´enye azt mutatta, hogy a klasszikus ´ertelemben z´erus h˝om´ers´eklet˝ u (mindent elnyel˝o) feketelyuk a f´el-klasszikus elm´eletben r´eszecsk´eket kelt, ´es a kialakul´o termikus ´allapot h˝om´ers´eklete ´eppen – az anal´ogi´aknak teljesen megfelel˝o m´odon – a h˝om´ers´eklet szerep´et j´atsz´o “felu ¨leti gravit´aci´o”-val ar´anyos.

Home Page

Title Page

(Az eredeti) Tervek ´ es c´ elok: A r´eszecskekelt´esi folyamat pontos le´ır´as´ara alkaContents

JJ

lmas elm´elet alapjainak bemutat´asa, valamint a Hawking-f´ele eredm´eny (valamint az Unruheffektus) min´el pontosabb megfogalmaz´asa.

II

• Glob´ alisan hiperbolikus t´erid˝ok J

I

• Konstrukt´ıv kvant´ al´as g¨orbu ¨lt h´att´eren (Irving Segal ´es m´asok 60’-as ´evek v´ege) • Kvantumt´ erelm´elet stacion´arius t´erid˝ok¨on

Page 3 of 39

• Unit´ er (in)ekvivalencia • Unruh-effektus s´ık ´ es g¨orbu ¨lt t´erid˝ok¨on

Go Back

Full Screen

• Hawking-sug´ arz´as (r´eszecskekelt´es feketelyuk t´erid˝ok ´altal)

Az algebrai le´ır´ as: Vecserny´es P´eter besz´el majd az algebrai meg(´at)fogalmaz´asr´ol. (Haag ´es Kastler, valamint m´asok 60’-as ´evek k¨ozepe)

Close

Quit

Home Page

Title Page

T´ erid˝ o: T´erid˝on egy olyan (M, gab ) p´art ´ertu ¨nk, ahol M o¨sszefu ¨gg˝o, n´egydimenzi´os, Hausdorff, ∞ parakompakt, ir´any´ıthat´o C differenci´alhat´o sokas´ag, gab pedig egy Lorentz-szignat´ ur´aj´ u metrika M -en. A t´erid˝or˝ol feltesszu ¨k, hogy id˝oir´any´ıthat´o, ´es egy id˝oir´any´ıt´ast ki is v´alasztottunk rajta.

Contents

• A kozmol´ ogiai ´alland´oval b˝ov´ıtett Einstein-egyenlet: JJ

II

J

I

Rab −

1 2

gab R + Λ gab = 8πTab

anyagmez˝okre vonatkoz´o
LA = LA g ab , ψ(1) ... ... , ∇e ψ(1) ... ... , . . . , ψ(N ) ... ... , ∇e ψ(N ) ... ... .

Page 4 of 39

Lagrange-fu ¨ggv´enyb˝ol sz´armaztatott Euler–Lagrange-egyenletek: Go Back

δ SA := δψ(i) ... ...

∂ LA ∂ψ(i) ... ...

− ∇e

h

∂ LA ∂ [∇e ψ(i) ... ... ]

i

=0

Full Screen

• A tov´ abbiakban a geometria fix ´es csak a szabad skal´armez˝o evol´ uci´oj´at is le´ır´o Close

g ab ∇a ∇b ψ + Aa ∇a ψ + Bψ + C = 0 Quit

t´ıpus´ u line´aris hull´amegyenletekkel foglalkozunk.

(1)

Home Page

Glob´ alisan hiperbolikus t´ erid˝ ok: • Valamely Σ ⊂ M hiperfelu alis”-nak nevezu ¨letet “akron´ ¨nk, ha 6 ∃p, q ∈ Σ : p ´es q ¨osszek¨ot-

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 5 of 39

het˝o egy mindenu ultir´any´ u id˝oszer˝ u g¨orb´evel. (Megj.: Az ilyen felu ¨tt j¨ov˝o-, vagy m´ ¨letek lok´alisan t´erszer˝ uek, vagy f´enyszer˝ uek.) • Legyen Σ ⊂ M akron´ alis hiperfelu os´ egi tartom´ any”¨let. Ekkor a Σ-hoz tartoz´o “fu ¨ gg˝ on M azon, D[M ]-val jel¨olt r´eszhalmaz´at ´ertju ¨k, amelyre D[Σ] := {p ∈ M |

∀ p-re illeszked˝ o, m´ ult-, illetve j¨ov˝oir´anyban egyar´ant kiterjeszthetetlen kauz´alis g¨orbe valahol metszi Σ-t }

• Az (M, gab ) t´ erid˝ot “glob´ alisan hiperbolikus”-nak nevezzu ¨k, ha tal´alhat´o hozz´a olyan Σ ⊂ M z´ art akron´alis hiperfelu ¨let, amelyre M = D[Σ]. Ekkor Σ-t az (M, gab ) t´erid˝o

Cauchy-felu ¨let´enek nevezzu ¨k. Go Back

Full Screen

Close

• R. Geroch (1970), Dickmann (1988): Legyen (M, gab ) glob´ alisan hiperbolikus valamely Σ ⊂ M hiperfelu ¨letre vonatkoz´oan. Ekkor M topol´ogiailag szorzat, azaz M = R × Σ, tov´abb´a megadhat´o M -en olyan sehol el nem t˝ un˝o gradiens˝ u (∇a t 6= 0) t : M → R sima (C ∞ ) glob´alis id˝ofu alland´ o szintfelu ¨ggv´eny, amelyhez tartoz´o t =´ ¨letek mind Cauchyfelu ¨letei az (M, gab ) t´erid˝onek. • Mi´ ert ´erdekesek a glob´alisan hiperbolikus t´erid˝ok? Mert a g ab ∇a ∇b ψ + Aa ∇a ψ + Bψ + C = 0

Quit

t´ıpus´ u egyenletekre vonatkoz´o Cauchy-probl´ema j´ol kezelhet˝o.

Home Page

Id˝ ofejl˝ od´ es: • Az ¨ osszes lehets´eges megfigyel˝o a´ltal regisztr´alt v´altoz´ast szeretn´enk megjelen´ıteni.

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 6 of 39

– Legyen ta ∈ T M : ta ∇a t = 1 ku uci´os vektormez˝o M -en. ¨l¨onben tetsz˝oleges evol´ Ekkor a t : M → R glob´alis id˝ofu ¨ggv´ennyel vannak param´eterezve ta integr´alg¨orb´ei. – Bontsuk fel ta -t a t=´ alland´ o Σt -szint(Cauchy)felu ¨letekre mer˝oleges, na , ´es azzal a p´arhuzamos, N , komponensekre. ta = N n a + N a N → ‘laps’, N a → ‘shift’ ´ es p´eld´aul gab = hab −

1 N2

Φ˙ := Lt Φ = ta ∇a Φ = N (na ∇a Φ) + LN Φ

(ta − Na ) (tb − Nb )

• A Φ val´ os Klein–Gordon-mez˝ore vonatkoz´o hat´ast – a korrespondencia elv alapj´an – az Go Back

S = Full Screen

1 2

R t nR  t◦

Σt

√

Close

Quit

(na ∇

2

a Φ)

− hab (∇

a Φ) (∇b

Φ) − m2 φ2

√

 √ N

hdx3

o

dt

alakban ´ırhatjuk fel N h = g , amib˝ol ad´odik, hogy a φ = Φ|Σt konfigur´aci´os v´altoz´ohoz a Σt felu ur˝ us´eg ¨leten kanonikusan konjug´alt π impulzuss˝ π=

δS ˙ δΦ

√ = (na ∇a Φ) h

Home Page

Title Page

Contents

JJ

A Cauchy-probl´ ema j´ ol kezelhet˝ o: • Legyen (M, gab ) glob´ alisan hiperbolikus t´erid˝o, Σ ⊂ M pedig egy C ∞ t´erszer˝ u Cauchy∞ ˙ felu u C◦ (Σ) fu ¨let. Legyen, tov´abb´a a [φ, φ] kompakt tart´oj´ ¨ggv´enyp´ar Σ-n. Ekkor:

– Az (1) egyenletnek l´etezik olyan M eg´esz´en ´ertelmezett olyan Φ megold´asa, amelyre Φ|Σ = φ

II

J

I

Page 7 of 39

&

(na ∇a Φ)|Σ = φ˙ ,

ahol na a Σ felu u egys´egnorm´alis´at jel¨oli. ¨let j¨ov˝oir´any´ – B´armely S ⊂ Σ z´art r´eszhalmaz eset´en Φ-nek a D[S] halmazra vett megszor´ıt´asa ˙ kompakt tart´ csak a [φ, φ] oj´ u fu ¨ggv´enyp´aros S -re vett megszor´ıt´as´at´ol fu ¨gg, azaz a megold´as kauz´alis. ˙ 7→ Φ hozz´ – A [φ, φ] arendel´es folytonos a kezd˝o´ert´ekek ´es megold´asok ter´en alkalmasan v´alasztott Sobolev-t´erbeli norm´akra n´ezve.

Go Back

Full Screen

+ D [Σ]

p

+ J [S] kezdõadatok tere

J−(p)

Close

FOLYTONOS MEGFELELTETÉS

S J −(p)

U

Σ Quit

EVOLÚCIÓ

Σ

megoldások tere

Home Page

• Konfigur´ aci´os t´er:

Q := {φ(~x) | φ : Σ0 → R (∈ C◦∞ (Σ0 )}

Title Page

• Impulzus f´ azist´er:

M := {[φ, π] | φ, π : Σ0 → R (∈ C◦∞ (Σ0 )}

Contents

JJ

II

J

I

Page 8 of 39

• Megold´ ast´er: (∇e ∇e Φ − m2 Φ = 0 [esetleg “+αR”] egyenlet megold´asainak tere)

n S := Φ | Φ|Σ = φ & (na ∇a Φ)|Σ = φ˙ (=

o

√π ) h

• Az alaptereink kiv´ alaszt´asa sor´an a Σ-´an ´ertelmezett C◦∞ (Σ) kompakt tart´oj´ u sima fu ¨gg-

v´enyeket v´alasztottuk, mert a Minkowski-t´erid˝ovel ellent´etben (Schwartz-fu ¨ggv´enyek) a´ltal´aban nem lehet az o¨sszes lehets´eges aszimptotikus viselked´est (felt´eve, hogy van aszimptotika) figyelembe venni a fu ¨ggv´enyterek kiv´alaszt´as´aban. • Megfelel˝ o Cauchy-kompaktifik´aci´o alkalmaz´asa eset´en nem l´enyeges a C◦∞ (Σ) fu ¨ggv´enyek

Go Back

Full Screen

Close

Quit

alkalmaz´as´ab´ol ad´od´o megszor´ıt´asa. Fontos! A k´es˝obbiekben alkalmazott integr´alkifejez´esek ´ertelmezhet˝os´ege.

Home Page

Title Page

A line´aris dinamikai rendszerek eset´en a (M, Ω) ´es (S, Ω) p´arosok szimplektikus vektort´er jellege alapvet˝o szerepet j´atszik ezen rendszerek kvantumelm´elet´enek megalkot´asa sor´an. • Szimplektikus sokas´ ag:

Ω[φ,π] ([φ˙ 1 , π˙ 1 ], [φ˙ 2 , π˙ 2 ]) =

Contents

JJ

II

J

I

Page 9 of 39

(M, Ω, H), ahol Ω : T M × T M → R



R Σ◦

π˙ 1 φ˙ 2 − π˙ 2 φ˙ 1 dx3 ,



˙ π] – A [φ, ˙ p´ aros elemei is Σ◦ -on ´ertelmezett kompakt tart´oj´ u fu ¨ggv´enyek, mivel M pontjait is ilyen p´arosokb´ol ´ep´ıtju k fel, ∀ r o gz´ ıtett [φ, π] ∈ M eset´en ∃ egy ter¨ ¨ m´eszetes megfeleltet´es T[φ,π] M ´es M pontjai k¨oz¨ott · · · emiatt M szimplektikus vektort´er szerkezetet nyer. • Szimplektikus vektort´ er:

(M, Ω), ahol Ω : M × M → R

• Mik legyenek az O klasszikus megfigyelhet˝ oink??? P´eld´aul az Go Back

Ω([φ1 , π1 ], .) : M → R : Ω([φ1 , π1 ], [φ, π]) =

R Σ◦

[π1 φ − πφ1 ] dx3

Full Screen

rel´aci´oval ´ertelmezett val´os fu ¨ggv´enyek az impulzus f´azist´eren. Close

• Speci´ alisan Quit

Ω([0, f1 (~x)], .) =

cializ´aci´o mellett

R

f φ Σ◦ 1

, illetve (a felt´eteleink miatt kiz´art) extr´em spe-

Ω([0, δ(~x − ~x1 )], .) = φ(~x1 ) .

Home Page

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 10 of 39

Go Back

Full Screen

Close

Quit

A Poisson-z´ ar´ ojelek: •

{., .} : O × O → O

{f, g} = −Ω(hf , hg ) =

h

R Σ◦

δf δg φ δπ

−

δg δf δφ δπ

i

dx3 ,

δf ahol hf az f : M → R fu , − δf ot jelo¨li. ¨ggv´enyhez tartoz´o hf = [ δπ φ ] Hamiltoni-vektormez˝

• Az Ω([φ1 , π1 ], .) : M → R v´ alaszt´as mellett

´es ´ıgy

h Ω([φ1 ,π1 ],.) = [−φ1 , −π1 ]

{Ω([φ1 , π1 ], .), Ω([φ2 , π2 ], .)} = −Ω([φ1 , π1 ], [φ2 , π2 ])

– Speci´alisan, amikor [φ1 ≡ 0, π1 = f1 (~x)] ´es [φ2 = −f2 (~x), π2 ≡ 0] {Ω([φ1 , π1 ], .), Ω([φ2 , π2 ], .)} =

nR

f φ, Σ◦ 1

R

f π Σ◦ 2

– Az fk = δ(x − xk ) extr´em specializ´alts´ag mellett {φ(x1 ), π(x2 )} = δ(x1 − x2 )

o

=

R

f f Σ◦ 1 2

Home Page

Title Page

Contents

Az (S, Ω) p´ aros szimplektikus vektort´ er jellege: • Szimplektikus vektort´ er:

(M, Ω), ahol Ω : M × M → R

• Mivel glob´ alisan hiperbolikus t´erid˝okben a kezd˝o´ert´ekprobl´ema j´ol kezelhet˝o, az M JJ

II

J

I

Page 11 of 39

Go Back

f´azist´er pontjait k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u m´odon meg tudjuk feleltetni az S megold´ast´er pontjainak. ´ • Ertelmezhet˝ o a megold´asok S(t) := Ω(Φ1 , Φ2 ) szimplektikus szorzata is S(t) :=

R Σt

[π1 (t)φ2 (t) − π2 (t)φ1 (t)] dx3 =

R Σt

√ [(na ∇a φ1 )(t)φ2 (t) − (na ∇a φ2 )(t)φ1 (t)] hdx3 ,

mely – felt´eve, hogy a t´eregyenletek teljesu ¨lnek – ´alland´o, azaz S = S(6 t). • Az S megold´ ast´er is szimplektikus vektort´err´e v´alik

Full Screen

Close

Quit

(S, Ω), ahol Ω : S × S → R • Sokszor felv´ altva hivatkozunk majd (M, Ω) ´es (S, Ω) szimplektikus vektort´er jelleg´ere.

A kvant´ al´ as: Home Page

A klasszikus elm´ elet: Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 12 of 39

Go Back

A kvantumelm´ elet:

´ Allapotok: M impulzus f´azist´er pontjai Megfigyelhet˝ o mennyis´ egek: O := {f : M → R (C ∞ )} fu ¨ggv´enyek

Valamely F Hilbert-t´er pontjai o¨nadjung´alt line´aris oper´atorok F -en b := {fb : F → F } O

Dinamika: b Hamilton-oper´ator a´ltal gener´alt, Kanonikus transzform´aci´ok egy egyparam´eteres A H F -en hat´o egyparam´eteres unit´er transzcsal´adja M-en, amelyet a rendszert jellemz˝o form´aci´ok jelen´ıtik meg. kitu ¨ntetett H : M → R Hamilton-fu ¨ggv´eny a ab a´ltal meghat´arozott h = Ω ∇b H Hamiltoni-vektormez˝o jelen´ıt meg. Leegyszer˝ us´ıtve: Valamely klasszikus dinamikai rendszert kvant´alni annyit tesz mint megadni b megfeleltet´est. A “hogyan?” a kvant´al´as alapprobl´em´aja. az F Hilbert-teret ´es egy b : O → O • Chernoff (1981), Gotay (1980): Ha valamely v´ eges dimenzi´os dinamikai rendszer ese-

t´en a szok´asos hely ´es impulzus operatorokat haszn´aljuk, akkor ez a megfeleltet´es nem terjeszthet˝o ki az o¨sszes megfigyelhet˝o mennyis´egre. Full Screen

• A klasszikus megfigyelhet˝ ok Poisson-algebr´aj´ab´ol kiv´alasztunk egy “elegend˝oen gazdag”

r´eszalgebr´at, m´ıg a megfelel˝o kvantum-megfigyelhet˝oink kommut´atoraira kir´ojuk a Close

[ [fb, b g ] = i {f, g} Quit

¯ = 1). rel´aci´okat (h

A kinematikai keret: Home Page

• A szimmetrikus Fock-t´ er n F = Fs (H ) = ⊕∞ n=0 (⊗s H ) = C ⊕ H ⊕ (H ⊗s H ) ⊕ . . .

Title Page

Contents

JJ

II

Ψ = (ψ, ψ a , ψ a1 a2 , . . . , ψ a1 ...an , . . .) ∈ Fs (H ) ,

ha ψ a1 ...an = ψ (a1 ...an ) ∀n-re

• Legyen χa ∈ H , jelo ¨lje χa a χa -nek megfelel˝o H komplex konjug´alt t´erbeli elemet. • A χa ∈ H a ´ltal meghat´arozott a(χ) : Fs (H ) → Fs (H ) eltu ¨ntet˝o oper´ator hat´asa:

J

I

Page 13 of 39

Go Back

Full Screen

√ √ a(χ)Ψ = (χe ψ e , 2 · χe ψ ea1 , . . . , n · χe ψ ea2 ...an , . . .) • A χa ∈ H a ´ltal meghat´arozott a+ (χ) : Fs (H ) → Fs (H ) kelt˝o oper´ator hat´asa: √ √ a+ (χ)Ψ = (0, χa ψ, 2 · χ(a1 ψ a2 ) , . . . , n · χ(a1 ψ a2 ...an ) , . . .) • Jel¨ olje F◦ ⊂ Fs (H ) azt a mindenu ur˝ u alter´et Fs (H )-nak, amelynek elemei ¨tt s˝

olyanok, hogy csak v´eges sok komponensu unik el azonosan. Ekkor ¨k nem t˝ Close

a(χ) : F◦ → F◦

adjung´altja a+ (χ) : F◦ → F◦ ,

Quit

[a(χ), a(χ)] = 0

&





a(χ), a+ (η) = (χe η e ) I

Home Page

A Weyl-rel´ aci´ ok: Title Page

Contents

• Ismert, hogy a nem korl´ atos o¨nadjung´alt oper´atorok kompoz´ıci´oja ´es ´ıgy kommut´atora

nem szu ¨ks´egk´eppen j´ol defini´alt – mivel esetleg mindketten csak egy-egy, mindenu ¨tt s˝ ur˝ u line´aris alt´eren ´ertelmezettek – ez´ert az {Ω(ψ, .) | ψ ∈ S} klasszikus megfigyelhet˝ok helyett a nekik megfelel˝o exponencializ´alt kifejez´eseket ´erdemes haszn´alni. • Legyen

JJ

II

J

I

Page 14 of 39

W (ψ) := exp [ i Ω(ψ, .)]

´es keressu ¨k azt a

b (ψ) W (ψ) 7→ W b (ψ) unit´er, valamint az er˝os oper´atortopol´ogi´ara megfeleltet´esi szab´alyt, amelyre n´ezve W n´ezve folytonosan fu ¨gg ψ megv´alaszt´as´at´ol, azaz b´armely ψ ´es ψ -hez tart´o {ψk } → ψ b (ψ) − W b (ψk )k → 0, tov´abb´a teljesu sorozat v´alaszt´asa eset´en kW ¨lnek a “Weyl-rel´aci´ok”:

Go Back

b (ψ1 )W b (ψ2 ) = exp W

i 2




b (ψ1 + ψ2 ) Ω(ψ1 , ψ2 ) W

Full Screen

b + (ψ) = W b (−ψ) W Close

• Weyl-rel´ aci´ok kirov´asa, a Stone-Neumann-t´etel ´ertelm´eben, v´eges dimenzi´os esetben, Quit

unit´er ekvivalencia erej´eig egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a kvantumelm´eletu ¨nket.

A KG-mez˝ o kvantumelm´ elete s´ık Minkowski-t´ erid˝ o felett: Home Page

• Olyan irreducibilis a ´br´azol´ast keresu ¨nk, amelyre

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 15 of 39

i \ \ Ω(Φ1 , .), Ω(Φ2 , .) = − i Ω(Φ1 , Φ2 )I ,

\.)}) elk´esz´ıt´ese a megold´ast´er “+”-frekvenci´as r´esz´ere alapozva: (F , {Ω(Φ, e= 1◦ Φ → Φ 2◦ SC+

√1 2π

&

3◦ H = SC+

R∞ −∞

e− i ωt Φ(t, ~x) → Φ = Φ+ + Φ− : Φ+ =

√1 2π

R∞ 0

e ~x) e i ωt Φ(ω,

+ + + (Φ+ 1 , Φ2 )KG := − i Ω(Φ1 , Φ2 ) (.,.)KG

, j´ol defini´alt, de (!) SC+ 6⊂ SC , hiszen S elemei kompakt tart´oj´ u kezd˝oadatokhoz tartoznak.

( . , . )KG pozit´ıv definit H -n, SC

Go Back

Full Screen

h

\.)} (S, {Ω(Φ, .)}) → (F , {Ω(Φ,

(.,.)KG

= H ⊕ H , (Φ, Φ)KG = 0 ∀ Φ ∈ H , Φ ∈ H -re.

4◦ A K : S → H , amelyre KΦ := Φ+ k¨ olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u belek´epez´es u ´gy, hogy K[S] ⊂ H mindenu ur˝ u H -ban. ¨tt s˝

\.)}) : 5◦ (F , {Ω(Φ,

n F = Fs (H ) = ⊕∞ n=0 (⊗s H )

Close

6◦

\.) := i a(KΦ) − i a+ (KΦ) Ω(Φ,

vagy

+ Ω\ H (Φ, .) := i a(KΦt ) − i a (KΦt )

Quit

Φt :

Φ “t”-vel vett id˝ oeltoltja, azaz Φt kezd˝ oadatai a “t” id˝ opillanatban ugyanazok, mint a Φ megold´ as´e a “t = 0”

id˝ opillanatban.

Home Page

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 16 of 39

Go Back

Full Screen

Close

A KG-mez˝ o kvantumelm´ elete g¨ orbu erid˝ o felett ¨ lt t´ A klasszikus megfigyelhet˝oink Poisson-algebr´aj´anak egy \.)} (S, {Ω(Φ, .)}) → (F , {Ω(Φ,

irreducibilis a´br´azol´ast keresu ¨nk egy

1◦ Legyen 2◦ Sµ := S

µ : µ(Φ1 , Φ1 ) =

i \ \ Ω(Φ1 , .), Ω(Φ2 , .) = − i Ω(Φ1 , Φ2 )I

µ:S×S→R

supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

val´os bels˝oszorzatra alapozva.

, ∀Φ1 ∈ S

(*)

µ

3◦ ∃ komplex strukt´ ura Sµ -en.

– (*) ⇒

j : Sµ → Sµ line´ aris lek´epez´es : j+ = −j & j2 = −I

[Ω(Φ1 , Φ2 )]2 ≤ 4kΦ1 kµ kΦ2 kµ , azaz Ω : S × S → R korl´ atos a µ-ho¨z tartoz´o

norm´ara n´ezve. ⇒ kiterjeszthet˝o Sµ -re ´es ott Ω : Sµ × Sµ → R korl´atos line´aris lek´epez´es. – ∀ Φ2 ∈ Sµ -re

Quit

1 4

h

Ω(., Φ2 ) : Sµ → R (∈ S∗µ )

korl´atos line´aris lek´epez´es.

Home Page

– Riesz-lemm´aja ´ertelm´eben Ω(., Φ2 )-ho¨z, ´es ´ıgy mag´ahoz Φ2 -ho¨z is, egy´ertelm˝ uen ∃ jΦ2 ∈ Sµ u ´gy, hogy Ω( . , Φ2 ) = 2µ( . , jΦ2 ) .

Title Page

– Mivel µ, Ω biline´arisak a jΦ2 ∈ Sµ lek´epez´es line´aris, ∀ Φ1 , Φ2 ∈ Sµ Contents

JJ

Ω(Φ1 , Φ2 ) = 2µ(Φ1 , jΦ2 )

II

– J

j+ = −j:

I

Page 17 of 39

Go Back

(**)

Ω antiszimmetrikus, µ szimmetrikus

2µ(Φ1 , jΦ2 ) = −2µ(Φ2 , jΦ1 ) = −2µ(jΦ1 , Φ2 )

–

j2 = −I

⇐⇒ j+ j = I ⇐⇒ kjΦkµ = kΦkµ 2

[µ(Φ0 , jΦ)] kjΦkµ = sup = sup 0 0 Φ0 6=0 µ(Φ , Φ ) Φ0 6=0

norma, (*)

2

0 2 Ω(Φ , Φ) µ(Φ0 , Φ0 )

1

= kΦkµ

Full Screen

• ∃ komplex strukt´ ura Sµ -en.

j : Sµ → Sµ line´ aris lek´epez´es : j+ = −j & j2 = −I

Close

• Ford´ıtva: Ha adott egy j : S → S komplex strukt´ ura Quit

S-en(!)

u ´gy, hogy −Ω(Φ1 , jΦ2 )

egy pozit´ıv definit bels˝oszorz´ast hat´aroz meg S-en, akkor a (**) rel´aci´oval defini´alt µ : S × S → R bels˝ oszorzat eleget tesz az (*) ko¨vetelm´enynek. Kevesebben vannak!

Home Page

3◦ ∃ komplex strukt´ ura Sµ -en. Title Page

Contents

JJ

II

J

I

j : Sµ → Sµ line´ aris lek´epez´es : j+ = −j & j2 = −I

4◦ µ, Ω : S × S → R term´ eszetes m´odon kiterjeszthet˝ok SCµ -re ´es ´ıgy SCµ komplex Hilbertt´err´e v´alik a µ : SCµ × SCµ → C bels˝oszorzatra n´ezve. C onadjung´ 5◦ ∃ az ij : SC alt oper´ator & spektr´al t´etel µ → Sµ ¨

SCµ = H ⊕ H : H az ij : SCµ → SCµ oper´ator “ +1 ” saj´at´ert´ekhez tartoz´o altere (!)

µ pozit´ıv definit H -n, µ(Φ, Φ) = 0 ∀ Φ ∈ H , Φ ∈ H -re.

6◦ ∃ ko u K : S → H lek´epez´es : K[S] ⊂ H mindenu ur˝ u H -ban. ¨lcso¨no¨sen egy´ertelm˝ ¨tt s˝ Page 18 of 39

\.)}) : 7◦ (F , {Ω(Φ,

n F = Fs (H ) = ⊕∞ n=0 (⊗s H ) = C ⊕ H ⊕ (H ⊗s H ) ⊕ . . .

Go Back

8◦

\.) = i a(KΦ) − i a+ (KΦ) Ω(Φ,

vagy

+ Ω\ H (Φ, .) := i a(KΦt ) − i a (KΦt )

Full Screen

•

Az Ω\ atorok ismerete ekvivalens mag´ anak a Heisenberg-oper´ atornak egy konstans szorz´ o erej´eig vett isH (Φ, .) oper´ b b ´es H b 0 ugyanazt az id˝ b Ψ]” b ¨ meret´evel, hiszen amennyiben H ofejl˝ od´est eredm´enyezi, a “ dΨ = i[H, osszef¨ ugg´es ´es Schurdt

Close

Quit

b0 = H b + αI teljes¨ lemm´ aja alapj´ an H ul, valamely val´ os α-ra.

• Fontos: A ku ¨l¨onb¨oz˝o µ bels˝oszorzatokhoz, ku ¨l¨onb¨oz˝o Hµ Hilbert-terek tartoznak. Nincs kitu ¨ntetett µ bels˝oszorzat ez´ert ´altal´aban nincs r´eszecskeinterpret´aci´o sem.

Home Page

\.)} oper´ Mit ´ abr´ azolnak a {Ω(Φ, atorok? • Tesztfu ¨ggv´enyek tere: T := C◦∞ (M )

, m´ıg

Φ ←→ [φ, π] ∈ M, ahol φ, π ∈ C◦∞ (Σ◦ ) .

Title Page

• Legyen f ∈ T ´ es jelo¨lje Af , valamint Rf a Contents

JJ

II

J

I

∇e ∇e φ − m2 φ = 0 ,

KG-egyenletnek az f fu ¨ggv´ennyel, mint forr´assal vett “avanzs´alt” ´es “retard´alt” megold´asait, azaz

+ J [Df ] Σ2 Page 19 of 39

(i) Go Back

(ii)

∇e ∇e − m2






Af Rf

 =f,

Rf 0, (Rf) 0 Df

Af ≡ 0, M \ J − [Df ] , Rf ≡ 0, M \ J + [Df ]

Af 0, (Af) 0 Σ1

Full Screen −

J [Df] Close

• Ef := Af − Rf megold´ asa a KG-egyenletnek, tov´abb´a DEf ∩ Σt kompakt =⇒ Ef ∈ S, azaz ∃ Quit

E : T → S line´ aris lek´epez´es, amelyre

Home Page

\.)} oper´ Mit ´ abr´ azolnak a {Ω(Φ, atorok? Title Page

•

E : T → S line´ aris lek´epez´es tulajdons´agai:

Ef := Af − Rf

Contents

JJ

II

J

I

(1) E[T ] = S, azaz ∀ Φ ∈ S ∃ f ∈ T : Ef = Φ.
(2) Ef ≡ 0 ⇐⇒ ∃ g ∈ T : f = ∇e ∇e − m2 g (3) ∀ Φ ∈ S & f ∈ T R

Φf = Ω(Ef, Φ)

(1) ⇒ A klasszikus megfigyelhet˝oink: {Ω(Φ, .) | Φ ∈ S} = {Ω(Ef, .) | f ∈ T } Page 20 of 39

(3) ⇒ Form´alisan Go Back

\ b ) = Ω(E(f ), Φ(t, Φ(f ~x)) =

R

b, \ f · Φ(t, ~x) ∈ O

=⇒

b \ Φ(t, ~x) : T → O

oper´ator ´ert´ek˝ u disztrib´ uci´o. \ \ b ) m´ Φ(t, ~ x) nem, de Φ(f ar j´ ol defini´ alt oper´ ator Fs (H )-n(!), melyre u ´gy gondolhatunk mint a Φ(t, ~ x) kifejez´es f s´ ulyf¨ ugg-

Full Screen

v´ennyel vett t´erid˝ oa ´tlag´ ara.

b ) disztrib´ (2) ⇒ Φ(f ucion´alis ´ertelemben eleget tesz a KG egyenletnek Close







2 b = Φ( b ∇e ∇e − m2 g) = Ω((∇e ∇\ ∇e ∇e − m2 Φ(g) e − m ) g, .) = 0 Quit

Home Page

Title Page

• Az (1) tulajdons´ ag igazol´asa: Legyen Φ ∈ S, tov´abb´a .... Contents

• A fundament´ alis megfigyelhet˝oinkre vonatkoz´o kommut´aci´os rel´aci´ok u ´j alakja JJ

II

J

I

h

i

\ \ Ω(Φ 1 , .), Ω(Φ2 , .) = − i Ω(Φ1 , Φ2 )I

=⇒

h

i

d), Φ(g) d = − i Ω(Ef, Eg)I , Φ(f

d ´es Φ(f d) oper´atorokat, valamint Fs (H ) Hilbert-t´er | 0i-val jel¨olt v´akuum´allapot´at • A Φ(g) Page 21 of 39

Go Back

Full Screen

Close

Quit

felhaszn´alva megmutathat´o: d) Φ(g) d | 0i = (KEf, KEg)H = µ(Ef, Eg) − i Ω(Ef, Eg) , h 0 | Φ(f 2 azaz a kvantumelm´eletu ¨nk megalkot´asa sor´an alkalmazott µ : S × S → R val´os bels˝oszorzat ´es az Ω : S × S → R szimplektikus forma direkt m´odon kapcsol´odnak a d [ h 0 | Φ(~ x) Φ(~ x0 ) | 0i k´ etpont-fu ¨ggv´eny val´os ´es k´epzetes r´esz´ehez.

A KG-mez˝ o kvantumelm´ elete g¨ orbu erid˝ o felett: ¨ lt t´ Home Page

\.)} (S, {Ω(Φ, .)}) → (F , {Ω(Φ, Title Page

\.)} elk´esz´ıt´ese egy µ : S × S → R val´os bels˝oszorzatra alapozva: {Ω(Φ, Contents

1◦ Legyen JJ

II

J

I

Page 22 of 39

2◦ Sµ := S

µ : µ(Φ1 , Φ1 ) =

1 4

supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

, ∀Φ1 ∈ S

µ

3◦ ∃ komplex strukt´ ura Sµ -en, azaz

j : Sµ → Sµ line´ aris lek´epez´es : j + = −j & j 2 = −I

4◦ µ, Ω : S × S → R term´ eszetes m´odon kiterjeszthet˝o µ, Ω : SCµ × SCµ → C. C 5◦ J : SC al t´etel µ → Sµ & spektr´

Go Back

SCµ = H ⊕ H : H 7→ J : SCµ → SCµ oper´ator “ +i ” saj´at´ert´ekhez tartoz´o altere Full Screen

6◦ ∃ k¨ olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u K : S → H lek´epez´es : K[S] ⊂ H mindenu ur˝ u H -ban. ¨tt s˝ Close

\.)}) : 7◦ (F , {Ω(Φ,

n F = Fs (H ) = ⊕∞ n=0 (⊗s H ) = C ⊕ H ⊕ (H ⊗s H ) ⊕ . . .

Quit

8◦

\.) = i a(KΦ) − i a+ (KΦ) Ω(Φ,

vagy

+ Ω\ H (Φ, .) := i a(KΦt ) − i a (KΦt )

Home Page

A KG-mez˝ o kvantumelm´ elete stacion´ arius t´ erid˝ ok felett: Title Page

Contents

JJ

II

• L´ attuk, hogy tetsz˝oleges glob´alisan hiperbolikus t´erid˝ok eset´en fel´ep´ıthet˝o a KVTE 2 1 ,Φ2 )] konstrukci´onk, ha S-en ∃ egy µ : µ(Φ1 , Φ1 ) = 14 supΦ2 6=0 [Ω(Φ , ∀Φ1 ∈ S bels˝ oszorzat. µ(Φ2 ,Φ2 ) • L´ etezik-e ilyen egy´altal´an? Amikor a t´erid˝o m´eg stacion´arius is, akkor biztosan. (M, gab ) stacion´ arius, ha l´etezik egy ξ a mindenu u Killing vektormez˝o (KVM) M -en ¨tt id˝oszer˝

u ´gy, hogy J

Lξ gab = 2∇(a ξb) = 0

I

Page 23 of 39

Ekkor a ξ a -hoz tartoz´o egyparam´eteres αt : M → M diffeomorfizmusok minden egyes t = t¯-ra, izometriatranszform´ aci´ok is, azaz αt∗¯ gab = gab

Go Back

Full Screen

Close

Quit

• Term´ eszetesnek

t˝ unne a klasszikus megold´asok t-param´eter szerinti Fouriertranszform´altjait tekinteni, ´es a “+” ´es “−”-frekvenci´as r´eszekkel ´ep´ıtkezni.

• Ehhez szu ¨ks´egu ¨nk lenne a pontos aszimptotikus viselked´esek ismeret´ere ´es szeretn´enk

akkor is haszn´alni a KVTE-ket, amikor nem csengenek le a mez˝ok, vagy nincs is aszimptotika, mert pl. kompaktak a Cauchy-felu ¨leteink.

Home Page

Bernard Kay konstrukci´ oja (1978):

Title Page

• Felt.: ∃ Σ◦ Cauchy-felu ¨let, ε1 , ε2 , ε3 > 0 Contents

m > ε1

&

−ξ a ξa ≤ −ε2 · na ξa > ε2 ε3

Konstrukci´o: 1◦ S → SC

JJ

II

J

2◦ Energia-bels˝ oszorzat SC -n:

h Φ1 , Φ2 i :=

R Σt

Tab na ξ b ,

ahol Σt := αt [Σ◦ ] &

I

Tab (Φ1 , Φ2 ) := ∇(a Φ1




∇b) Φ2 − 21 gab g ef ∇e Φ1












∇f Φ2 + m2 Φ1 Φ2



Page 24 of 39

3◦ h Φ1 , Φ2 i ´ ert´eke fu ¨ggetlen a t-param´eter ´ert´ek´et˝ol. ⇐= Φ1 , Φ2 ∈ SC & ∇a Tab = 0 Go Back

4◦ A Full Screen

Close

Quit

Tt : SC → SC : Tt (Φ) := Φ ◦ αt “id˝ofejleszt˝o” lek´epez´es line´aris & megold´asokat

megold´asokra k´epez. – Tt (Φ) := Φ, ha t = 0, vagy Lξ Φ = 0 – h Tt (Φ1 ), Tt (Φ2 ) iΣ◦ = h Φ1 , Φ2 iΣt = h Φ1 , Φ2 iΣ◦ 5◦ SC →

f := SC h .,. i H

(!) M´eg nem a KVTE konstrukci´onk Hilbert-tere.

Home Page

f -ra, ahol a T ft : H f→ 6◦ Tt : SC → SC korl´ atos & meg˝orzi a norm´at =⇒ kiterjeszthet˝o H Title Page

f kiterjeszt´ese unit´er oper´atorok egy egyparam´eteres er˝osen folytonos csal´adj´at adja. H

ft -hez ∃ olyan e f →H f ¨onadjung´alt oper´ator, T ft infinitezim´alis gener´atora, 7◦ (Stone) T h:H amelyre Contents

ft = exp[− i e T ht] JJ

II

J

I

– (4◦ & 7◦ ⇒ ) B´armely Φ ∈ SC -re Lξ Φ = − i e hΦ

[◦]

f →H f o¨nadjung´alt oper´atorra vonatkoz´o 8◦ Tekintsu h:H ¨k a e

e at´ert´ekprobhΦ = λΦ saj´

l´em´at. Megmutathat´o, hogy Page 25 of 39

e h b´ armely λ saj´at´ert´ek´ere |λ| > [min{ε1 , ε2 , ε3 }]2 > 0 Go Back

Full Screen

9◦ Mivel e h spektruma m´ eg torl´od´asi pontk´ent sem tartalmazhatja a z´erust =⇒ l´etezik −1 f f e a h : H → H oper´ator, mely korl´atos, hiszen saj´at´ert´ekei e h saj´ at´ert´ekeinek re-

ciprokak´ent kaphat´ok. Close

Quit

10◦ Jel¨ olje

f+ H

ae h-hoz tartoz´ o pozit´ıv spektr´alteret. [◦] miatt Lξ Φ = − i e hΦ = − i λΦ

f “+”-frekvenci´as alter´enek is tekinthet˝o. ´es ´ıgy H

Home Page

Title Page

f →H f + term´eszetes projekci´o, ´es ´ıgy a K (:= K| f + val´os line´aris e :H e S) : S → H 11◦ ∃ K f + -ba u f + -ban. be´agyaz´asa S-nek H ´gy, hogy K[S] s˝ ur˝ uH 12◦ Legyen a µ : S × S → R val´ os bels˝oszorzat

h

Contents

i

µ(Φ1 , Φ2 ) = 2< h KΦ1 , e h−1 KΦ2 i

JJ

II

f → H f (= SC h .,. i ), lek´epez´es, melyet a jΦ = i (KΦ − KΦ) hozz´arendel´esi 13◦ A j : H f szab´allyal ´ertelmezu ur´at hat´aroz meg H ¨nk, µ-re vonatkoz´oan, komplex strukt´

J

I

14◦ µ-r˝ ol a j komplex strukt´ ura felhaszn´al´as´aval megmutathat´o, hogy

Page 26 of 39

Go Back

Full Screen

Close

µ(Φ1 , Φ1 ) =

1 4

supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

, ∀Φ1 ∈ S .

R´eszecskeinterpret´aci´o: B´armely (M, gab ) glob´alisan hiperbolikus stacion´arius t´erid˝oben a f + Hilbert-t´erre alapozva elk´esz´ıthet˝o a “szok´asos” KVTE modellu H ¨nk. Az ehhez csatolt stacion´ariusan mozg´ast v´egz˝o kvantummechanikai rendszer, mint detektor ´es a KG mez˝o k¨olcs¨onhat´asak´ent induk´al´od´o ´atmenetek lehet˝ov´e teszik azt, hogy a Fs (H ) Fock-teru ¨nk + f H = H alapter´ere u ´gy gondolhassunk, mint a KG mez˝o egyr´eszecsk´es ´allapotainak megjelen´ıt´es´ere. Fs (H ) := C ⊕ H ⊕ (H ⊗s H ) ⊕ . . .

Quit

Csak id˝oeltol´asi invariancia eset´en van r´eszecskeinterpret´aci´o! Ha a detektor gyorsul ...

R´eszecskeinterpret´aci´o adhat´o a m´ ultban, illetve jo¨v˝oben stacion´arius t´erid˝okre is. Home Page

Title Page

• Az (M, gab ) glob´ alisan hiperbolikus t´erid˝o stacion´arius a m´ ultban, ha tal´alhat´o hozz´a 0 0 olyan (M , gab ) glob´alisan hiperbolikus stacion´arius t´erid˝o, valamint (m, gab |m ) ´es 0 |0 ) izometrikus r´ eszt´erid˝ok u ´gy, hogy Σ ⊂ m, illetve Σ0 ⊂ m0 C ∞ Cauchy-felu (m0 , gab ¨letek m 0 0 0 az (m, gab |m ) ´es (m , gab |m ) r´eszt´erid˝okben.

Contents

(M’,g’ab) globálisan stacionárius

(M,gab) stacionárius a múltban

JJ

II

J

I

Σ’ Σ

m’

Page 27 of 39

m izometria Go Back

Full Screen

• Ekkor l´ etezik egy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es a Σ-´an, illetve Σ0 -¨on ´ertelmezett 0 0 {[φ, π]}, illetve {[φ , π ]} kezd˝ oadatok, ´es ´ıgy a nekik megfelel˝o megold´asterek k¨oz¨ott. • ´Igy, a csak a m´ ultban stacion´arius (M, gab ) glob´alisan hiperbolikus t´erid˝on a KG-mez˝o

Close

klasszikus megold´asainak S ter´en a

Quit

val´os bels˝oszorzatra

µ(Φ1 , Φ1 ) =

1 4

µ(Φ1 , Φ1 ) = µ0 (Φ01 , Φ01 ) supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

´ertelmezett µ : S × S → R

, ∀Φ1 ∈ S

\.), ..... → H , K, Ω(Φ,

Home Page

Title Page

Contents

Hasonl´oan, r´eszecskeinterpret´aci´o adhat´o a m´ ultban, illetve j¨ov˝oben aszimptotikusan stacion´arius t´erid˝okre is. • Az (M, gab ) glob´ alisan hiperbolikus t´erid˝o aszimptotikusan stacion´arius a m´ ultban, ha 0 0 tal´alhat´o hozz´a olyan (M , gab ) glob´alisan hiperbolikus stacion´arius t´erid˝o, valamint olyan {Σt }, illetve {Σ0t } egyparam´eteres C ∞ Cauchy-felu ¨letseregek – (M, gab )-ben, illetve 0 0 0 0 0 (M , gab )-ben – u ´gy, hogy Σt = αt [Σ◦ ] valamely Σ◦ ⊂ M 0 -re, tov´abb´a a Σt felu ¨leteken (t) 1 induk´alt h(t) es χ(t) ¨ls˝o g¨orbu ¨let a t → −∞ hat´aresetben a Σ0t ab metrika ´ ab = 2 Ln(t) hab ku felu ¨letek megfelel˝o mennyis´egeihez tartanak

JJ

II

J

I

• Hat´ aresetben ekkor is megadhat´o egy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es a Σt ⊂ M 0 0 0 0 n, illetve Σt ⊂ M -¨on ´ertelmezett {[φt , πt ]}, illetve {[φt , πt ]} kezd˝oadatok k¨oz¨ott, mely 0 )-n nyerhet˝ o megold´asterek ko¨zo¨tt egy lehet˝ov´e teszi, hogy az (M, gab )-n, illetve (M 0 , gab

k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est l´etes´ıtsu ¨nk.

Page 28 of 39

• A szok´ asos KVTE konstrukci´o ekkor is v´egigvihet˝o, hiszen a µ(Φ1 , Φ1 ) = µ0 (Φ01 , Φ01 )

Go Back

rel´aci´oval ´ertelmezett µ : S × S → R val´os bels˝oszorzatra a Full Screen

µ(Φ1 , Φ1 ) =

1 4

supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

, ∀Φ1 ∈ S

Close

Quit

tulajdons´ag biztos´ıtott

\.), ..... → H , K, Ω(Φ,

\.)} (S, {Ω(Φ, .)}) → (F , {Ω(Φ,

Home Page

R´ eszecskekelt´ es a m´ ultban ´ es a j¨ ov˝ oben (aszimptotikusan) stacion´ arius t´ erid˝ ok felett: Title Page

• A m´ ultban ´es j¨ov˝oben stacion´arius (vagy csak aszimpContents

JJ

II

J

I

totikusan stacion´arius) t´erid˝okre egy teljesen hasonl´o elj´ar´assal elk´esz´ıthet˝ok az egyr´eszecsk´es

stacionárius a jövöben

Hin ´es Hout

(M,gab) Hilbert-terekre ´ep´ıtett \.)} ´es (Fs (Hout ), {Ω(Φ, \.)} (Fs (Hin ), {Ω(Φ,

Page 29 of 39

stacionárius a múltban

KVTE konstrukci´ok is. Go Back

• Amennyiben ezek a konstrukci´ ok unit´er-ekvivalensek, akkor az Fs (Hin ) ´es Fs (Hout ) Hilbert-terek k¨oz¨ott k¨ozvet´ıt˝o U : Fs (Hin ) → Fs (Hout ) unit´er transzform´aci´o (S-

m´atrix), Full Screen

−1 = Ω \ U Ω\ out (Φ, .) ∀Φ ∈ S-re, in (Φ, .) U Close

Quit

arr´ol hordoz inform´aci´ot, hogy a kvant´alt KG-mez˝o az (M, gab ) glob´alisan hiperbolikus “dinamikus” go¨rbu ¨lt h´att´eren to¨rt´en˝o “keresztu ¨lfejl˝od´ese” sor´an milyen r´eszecskekelt´esi ´es sz´or´asi folyamatokon ment keresztu ¨l.

A µ : S × S → R val´ os bels˝ oszorzat l´ etez´ es´ er˝ ol: Home Page

• Eml´ ekeztet˝o: Az ´altal´anos (M, gab ) glob´alisan hiperbolikus t´erid˝on defini´alt KVTE-i Title Page

modellu ¨nk l´etez´ese egy µ : S × S → R, a

µ(Φ1 , Φ1 ) =

1 4

supΦ2 6=0

[Ω(Φ1 ,Φ2 )]2 µ(Φ2 ,Φ2 )

, ∀Φ1 ∈ S

felt´etelnek eleget tev˝o val´os bels˝oszorzat l´etez´es´en nyugszik. Contents

• L´ etezik-e egy´altal´an ilyen bels˝oszorzat az ´altal´anos esetben? JJ

II

(M*,g*ab) globálsan stacionárius

izometria Σ

J

(M’,g’ab)

(M,gab)

Σ1’

I Σ2’

Page 30 of 39 stacionárius a múltban

Go Back

Full Screen

Σ* izometria

0 ) glob´ • Az (M 0 , gab alisan hiperbolikus t´erid˝o stacion´arius m´ ult r´esz´eben a KG-egyenletet

egy alkalmas, csak ott nem z´erus potenci´altag hozz´av´etel´evel u ´gy m´odos´ıtjuk, hogy a sta0 ) ´ ∗ ) cion´arius esetre kir´ott technikai felt´etelek teljesedjenek, amikor az (M 0 , gab es (M ∗ , gab t´erid˝okh¨oz tartoz´o megold´astereket azonos´ıtjuk.

• A szok´ asos KVTE konstrukci´o ekkor is elk´esz´ıthet˝o, hiszen a Close

µ(Φ1 , Φ1 ) = µ0 (Φ01 , Φ01 ) = µ∗ (Φ∗1 , Φ∗1 ) Quit

rel´aci´oval ´ertelmezett val´os bels˝oszorzat rendelkezik a (*) tulajdons´aggal.

Unit´ erekvivalencia ´ es az S-m´ atrix Home Page

• Legyen (S, Ω) tetsz˝ oleges val´os szimplektikus vektort´er, valamint µ1 , µ2 : S × S → R a

(*) tulajdons´aggal rendelkez˝o val´os bels˝oszorzatok S-en. Ekkor k´et Title Page

(Fs (H1 ), {Ω\ es (Fs (H2 ), {Ω\ 1 (Φ, .)} ´ 2 (Φ, .)} Contents

KVTE-i konstrukci´o adhat´o meg a kor´abbiakban ismertetett m´odon. JJ

II

A Probl´ ema: – Mikor l´etezik olyan U : Fs (H1 ) → Fs (H2 ) unit´er transzform´aci´o, hogy ∀Φ ∈ S-re

J

I −1 = Ω\ U Ω\ 1 (Φ, .) U 2 (Φ, .)

Page 31 of 39

– Ha l´etezik, hat´arozzuk meg annak explicit alakj´at. Go Back

µ

• A KVTE konstrukci´ onk els˝o l´ep´ese: S → Sµ := S K´ erd´ es: Full Screen

?

– L´eteznek olyan c, c0 > 0 sz´amok u ´gy, hogy ∀Φ ∈ S-re c · µ1 (Φ, Φ) ≤ µ2 (Φ, Φ) ≤ c0 · µ1 (Φ, Φ)

Close

Quit

Sµ1 = Sµ2

– Nem l´eteznek ilyen c, c0 > 0 sz´amok. Ha pl. 6 ∃c > 0 : µ1 (Φ, Φ) ≤ µ2 (Φ, Φ)/c, akkor ∃ {Φn } ⊂ S sorozat : |Φn |µ1 ≡ 1, m´ıg |Φn |µ2 → 0 az n → ∞ hat´ aresetben. ⇒

a k´et modell nem lehet unit´erekvivalens.

Home Page

• A tov´ abbiakban feltesszu ¨k, hogy Sµ1 = Sµ2 ´es ´ıgy SCµ1 = SCµ2 , azaz H1 ´es H2 ugyanazon SCµ Hilbert-t´er ku ¨l¨onb¨oz˝o altereik´ent kezelhet˝o. Mikor l´etezik olyan U unit´er transz-

form´aci´o, hogy ∀Φ ∈ S-re

−1 = i a (K Φ) − i a+ (K Φ) U i a1 (K1 Φ) − i a+ 2 2 2 1 (K1 Φ) U 2









Title Page

Contents

JJ

II

J

I

Page 32 of 39

Go Back

Full Screen

• µ1 . . . K1 : SC µ → H1 C K1 : S µ → H 1 K1 + K1 = I

H2

• µ2 . . . K2 : SC µ → H2 C K2 : S µ → H 2 K2 + K2 = I • ∀Φ ∈ S-re Kj Φ = Kj Φ, de ...

K1Φ

K1Φ

• AΦ = K1 Φ BΦ = K1 Φ ∀Φ ∈ H2 -re

Sµ

• CΦ = K2 Φ DΦ = K2 Φ ∀Φ ∈ H1 -re

H1

• A k´ et modell unit´erekvivalens, ha az A, B, C, D oper´ atorok eleget tesznek a

H2

Bogoljubov-transzform´aci´onak: Close

H1

Φ

A+ A − B + B = I ´ es A+ B = B + A, ahol A : H2 → H1 : AΦ := AΦ

Quit

+

C + C − D+ D = I ´ es C + D = D+ C , tov´abb´a A+ = C ´es B = −D

Home Page

Title Page

• Mivel az A, C projektorok megszor´ıt´ as´ab´ol sz´armaznak, tov´abb´a ker(A) = ker(C) = {0} az A, C oper´atorok korl´atos, ¨onadjung´alt, k¨olcso¨n¨osen egy´ertelm˝ u r´ak´epez´esek, ´es ´ıgy −1 −1 l´eteznek az A , C korl´atos oper´atorok. • Ezek seg´ıts´ eg´evel meghat´arozhatjuk az Fs (H1 ) Hilbert-t´er | 0i1 v´akuum´allapot´anak U

a´ltali k´ep´et, melyet az Contents

Ψ := U | 0i1 JJ

II

J

I

alakban ´ırhatunk fel. • Azt kapjuk, hogy

( ψna1 ...an =

Page 33 of 39

Go Back

Full Screen

∈ Fs (H2 ) Ψ = c(1, ψ a , ψ ab , ψ abc , ...)

0q

n! E (a1 a2 2n [(n/2)!]2

. . . E an−1 an )

, ha n p´aratlan , ha n p´aros

ahol E ab az E = D ·C −1 : H2 → H2 line´aris lek´epez´es absztrakt vektorindexekkel t¨ort´en˝o r¨ovid´ıtett megjelen´ıt´es´ere szolg´al. • A ψna1 ...an -ek seg´ıts´ eg´evel fel´ırt Ψ := U | 0i1 kifejez´es csak akkor lesz Fs (H2 )-beli vektor,

ha tr(E + E ) < ∞ ⇐⇒ tr(D+ D) < ∞ ⇐⇒ tr(B + B) < ∞.

Close

Quit

• Indukci´ oval U : Fs (H1 ) → Fs (H2 ) hat´asa az Fs (H1 ) Hilbert-t´er tetsz˝oleges elem´ere

meghat´arozhat´o

Home Page

T´ etel: Legyen (S, Ω) tetsz˝oleges val´os szimplektikus vektort´er, valamint µ1 , µ2 : S × S → R Title Page

a (*) tulajdons´aggal rendelkez˝o val´os bels˝oszorzatok S-en. Pontosan akkor l´etezik olyan U : Fs (H1 ) → Fs (H2 ) unit´ er transzform´aci´o, hogy ∀Φ ∈ S-re −1 = Ω\ U Ω\ 1 (Φ, .) U 2 (Φ, .)

Contents

JJ

II

ha: (i) l´eteznek olyan c, c0 > 0 sz´amok u ´gy, hogy ∀Φ ∈ S-re

J

I

c · µ1 (Φ, Φ) ≤ µ2 (Φ, Φ) ≤ c0 · µ1 (Φ, Φ)

Page 34 of 39

(ii) az E = D · C −1 : H2 → H2 line´aris lek´epez´es nyoma v´eges, azaz Go Back

tr(E + E ) < ∞ ⇐⇒ tr(D+ D) < ∞ ⇐⇒ tr(B + B) < ∞.

Full Screen

Close

• A t´ etel egy ´erdekes speci´alis esete az, amikor a dinamikai rendszer v´eges szabads´agi fok´ u,

Quit

hiszen ekkor mindk´et felt´etel teljesu ¨l, ami a Stone-Neumann-t´etellel ¨osszhangban azt jelenti, hogy ekkor b´armelyik, a felt´eteleinknek megfelel˝o val´os bels˝oszorzatra ´ep´ıthetju ¨k a kvantumelm´eletu nket. ¨

Home Page

• Ekkor az Fs (H1 ) Hilbert-t´ er | 0i1 v´akuum´allapot´anak U a´ltali k´ep´ere Title Page

 Ψ := U | 0i1 = c 1, 0,

q

1 ab 2 E , 0,

q



3·1 (ab cd) E , ... 4·2 E

.

Contents

JJ

II

J

I

Page 35 of 39

• Mivel E = D ·C −1 o ¨nadjung´alt ´es tr(E + E ) < ∞ ∃ olyan {ψj } ortonorm´alt b´azisa H2 -nek, ´es {cj } val´os sz´amsorozat u ´gy, hogy (a b) j cj ψj ψj ,

E ab =

P

azaz “a r´eszecsk´ek mindig p´arban keletkeznek” • A

Go Back

Ψ := U | 0i1 = c · exp

h P 1 2

i

+ + j cj a2 (ψj )a2 (ψj ) | 0i2 ∈ Fs (H2 )

Full Screen

a´llapotot sokszor, mint a leg´altal´anosabb “squeezed” v´akuum´allapotot szok´as emlegetni. Close

Quit

• Mi van ´ altal´anos esetben? Tal´alhat´o-e egy´altal´an egy adott µ1 (*) tulajdons´aggal rendelkez˝o val´os bels˝oszorzathoz olyan µ2 val´os bels˝oszorzat, amelyre a (*) ´es a fenn´all, de tr(E + E ) 6< ∞ ? Igen, v´ egtelenu ¨l sok ilyen l´etezik !!!

Home Page

Unruh-effektus Minkowski-t´ erid˝ oben: Title Page

• A Minkowski-t´ erid˝o (R4 , ηab ): Contents

ds2M = −dT 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 JJ

II

• Glob´ alisan hiperbolikus J

I

ξa =


∂ a ∂T

glob´alis id˝oszer˝ u KVM rajta u ´gy, hogy a B.Kay

a´ltal t´amasztott ¨osszes technikai felt´etel teljesu ¨l. =⇒ elk´esz´ıthet˝o a (Fs (HM ), {Ω\ M (Φ, .)})

Page 36 of 39

Go Back

KVTE-i konstrukci´o a kor´abbiakban ismertetett m´odon, ahol Full Screen

f+ HM = H

(.,.)

f + csak s˝ (! H ur˝ u HM -ban.) • A Minkowski-t´ erid˝o t´ uls´agosan is szimmetrikus. A konstrukci´onkhoz szu ¨ks´eges ξ a id˝o-

Close

Quit

szer˝ u KVM egy h´aromparam´eteres csal´adb´ol v´alaszthat´o. Melyiket? Mindegy: B´armely a ξ -ra is alapozzuk a konstrukci´ onk a µ val´os bels˝oszorzat mindig ugyanaz.

• Vannak tov´ abbi szimmetri´ak, p´eld´aul a ba Lorentz-forgat´as “boost-KVM” Home Page

h

ba = a X


∂ a ∂T

+T


∂ a ∂X

i

Title Page

T

r=áll. Contents

JJ

II

– MI Rindler-t´erid˝o (t, x, Y, Z) : 0 < x√< ∞, −∞ < t < ∞ x = X 2 − T 2 , t = arctgh(T /X) ds2MI = −x2 dt2 + dx2 + dY 2 + dZ 2

T−X=0

MII p

M III

MI X

J

I

Page 37 of 39

– ba id˝oszer˝ u a “Rindler-wedge” felett. – elk´esz´ıthet˝o a (Fs (HI ), {Ω\ I (Φ, .)})

MIV r=áll.

T+X=0

Go Back

Full Screen

Close

Quit

KVTE-i konstrukci´o a kor´abbiakban ismertetett m´odon (!) ba f´enyszer˝ u az x → 0 hat´aresetben. √ • ba → ua = ba /|b| ahol |b| = (−be be )1/2 = a X 2 − T 2 ´ es a ba a´ltal kirajzolt Killing-p´aly´at b e b e 1/2 ko¨vet˝o megfigyel˝o a = u ∇e u gyorsul´as´ara (ae a ) = √X 21−T 2 ad´odik. • ba √saj´ atid˝o-param´eterezett valamely Killing-p´alya ment´en, ha ott |b| = 1 vagy a = 2 1/ X − T 2 . De ekkor (´ es csak ekkor) (ae ae )1/2 = a, amit u ´gy szok´as interpret´alni, hogy “a a´lland´o gyorsul´assal mozog” a k´erd´eses megfigyel˝o.

Home Page

Title Page

Contents

• Fontos ezt ´ eszben tartani, amikor azt mondjuk, hogy ...“az I-es r´egi´ohoz tartoz´o, ott id˝oszer˝ u ba KVM-re alapozott KVTE-i konstrukci´o r´eszecsketartalma ´eppen az, amit a Rindler-wedgeben a a´lland´o gyorsul´assal mozg´o megfigyel˝o ´erz´ekel” • Unruh k´ erd´ese: Milyen r´eszecsketartalma van a | 0iM v´akuum´allapotnak a a´lland´o gyor-

sul´assal mozg´o megfigyel˝o sz´am´ara? JJ

II

• Probl´ em´ak: Az J

I

(Fs (HM ), {Ω\ es (Fs (HI ), {Ω\ M (Φ, .)}) ´ I (Φ, .)})

KVTE konstrukci´ok

nem unit´erekvivalensek! Csak form´alis kifejt´esre van lehet˝os´eg. • Val´ oj´aban egy

Page 38 of 39

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Fs (HM ) → Fs (HI ⊗ HII ) → Fs (HI ) ⊗ Fs (HII ) lek´epez´es form´alis kifejt´esre van m´od, amib˝ol az ad´odik, hogy E ab = (D · C −1 )ab =

P∞

πωj j=0 exp − a




ψj aI ψj bII + ψj aII ψj bI




ahol {ψj aI } ´es {ψj aII } az ωj frekvenci´ara f´okusz´alt olyan hull´amcsomagok, amelyek ON b´azisai HI -nek ´es HII -nek.

Home Page

Title Page

Contents

JJ

II

J

I

• V´ egu ¨l a | 0iM v´akuum´allapotnak megfelel˝o Ψ ∈ Fs (HI )⊗ Fs (HII ) a´llapot a´ltal induk´alt 1 an s˝ ur˝ us´egm´atrixot – Dirac-f´ele jel¨ol´esben, ahol | nj I i ↔ ψj (a I . . . ψj I – a ρ=

Q

j

⊗

hP

∞ n=0 ⊕ exp



j − 2πnω a



i

| nj I i ⊗ h nj I |

kifejez´essel adhatjuk meg. • nωj az | nj I i a ´llapothoz tartoz´o energia

Page 39 of 39

• Unruh-effektus: Termikus a ´llapot ρ = exp − HTI , ahol T =




Go Back

Full Screen

T /[K] ≈ Close

Quit

a 1021 cm/s

a 2π