1 TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :
f ' ( x) lim h 0
f ( x h) f ( x ) y dy df = lim = x 0 x h dx dx
f ’(x) merupakan fungsi baru disebut turunan fungsi f atau perbandingan diferensial, proses mencarinya disebut menurunkan / mendifferensialkan, bagian kalkulus yang berhubungan dengan itu disebut kalkulus differensial. f ’(x) dapat ditulis dengan notasi lain : y’ atau
df dy atau ( 2 notasi yang terakhir disebut notasi dx dx
Leibnitz). RUMUS-RUMUS TURUNAN RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. Turunan fungsi konstan: f (x) = k , maka f ‘(x)= lim
h 0
f ( x h) f ( x ) k k lim 0 h 0 h h
Jadi f (x) = k maka f ‘(x)= 0 2. Turunan fungsi Pangkat
f ( x h) f ( x ) h 0 h n ( x h) x n = lim h 0 h n(n 1) n 2 2 nx n-1 h x h ............. 2 . 1 = lim h 0 h n(n 1) n 2 = lim nx n 1 x h .................... h 0 2.1 f ‘ (x ) = nx n1 n(n 1) n 2 2 f(x+h)=(x+h) n x n nx n 1 h x h ............ 2. 1 n
f (x)= x maka f ' ( x) lim
f(x)
=x
f(x+h)-f(x)
=
n
nx n 1 h
n(n 1) n 2 2 x h ............ 2. 1
Rumus tsb dibuktikan berlaku untuk n bulat positif ,tetapi ternyata berlaku juga untuk n bulat negatif dan n pecah. Jadi rumus berlaku untuk n rasional. 3. Turunan Hasil Kali Konstanta Dengan Fungsi
f ( x ) k .u ( x ) maka
f ( x h) f ( x ) h k .u ( x h) k .u ( x ) lim h 0 h k .u ( x h) u ( x) lim h 0 h .u ( x h) u ( x ) k. lim h 0 h k .u ' ( x )
f ' ( x) lim
h 0
= = =
f ' ( x) =
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
2 4. Turunan Jumlah /Selisih Fungsi Fungsi
f ( x h) f ( x ) h u ( x h) v ( x h ) u ( x ) v ( x ) = lim h 0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x) lim lim h0 = h 0 h h
f ( x) u ( x) v ( x) maka f ' ( x) lim
h 0
f ‘(x) = u ‘(x) + v ‘(x) 5. Turunan Hasil Kali Fungsi Fungsi
f ( x ) u ( x).v( x) maka
f ( x h) f ( x ) h 0 h u ( x h)v( x h) u ( x).v( x ) = lim h 0 h u ( x h)v ( x h) u ( x ).v ( x h) u ( x)v ( x h) u ( x).v( x) = lim h 0 h v( x h)u ( x h) u x u ( x)v( x h) v( x ) = lim lim h 0 h 0 h h = v( x).u ' ( x) u ( x )v' ( x) = u ' ( x).v ( x) u ( x )v' ( x)
f ' ( x) lim
6. Turunan Hasil Bagi Fungsi Fungsi Jika f (x) =
u ( x) maka u(x) = f (x) v(x) v( x)
Menurut rumus sebelumnya u ‘(x) = f ‘(x) v(x) + f (x)v ‘(x) f ‘(x). v (x) = u’ (x) - f (x) v ‘(x)
u ( x) v' ( x) v( x ) v( x)
u ' ( x) f ‘(x) =
f ' ( x)
u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) v( x) 2
7. Turunan Fungsi Komposisi ( Dalil Rantai ) Jika F ( x ) g ( f ( x)) maka F ' ( x) g ' ( f ( x )) f ' ( x)
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
3 Tabel Rumus Turunan dan Contoh: No
f(x)
Contoh
f ’(x) = y’ = = (turunan pertama dari f(x))
1
f(x) = a dengan a adalah konstanta
Turunan Fungsi Konstan f ’(x) = 0
f(x) = a f (x) = 0 f(x) = 2 f (x) = 0 f(x) = -100 f (x) = 0 f(x) = f (x) = 0
2
f(x) = x
Turunan Fungsi Identitas f ’(x) = 1
f(x) = 2x f (x) = 2 . (1) = 2 f(x) = -35x f (x) = -35. (1) = -35 f(x) = f (x) = . (1) =
3.
f(x) = axn
Turunan Fungsi Pangkat f ’(x) = n . a xn-1
f(x) = axn f ’(x) = n . a xn-1 f(x) = x2berarti a = 1, n = 2 f (x) = 2. (1) x2-1 = 2x1 = 2x f(x) = -8x3berarti a = -8, n = 3 f (x) = 3. (-8) x3-1 = -24x2 f(x) = x4berarti a = , n = 4
Ingat:
f (x) = 4. ( ) x4-1 = 3x3 =
=
√ √
f(x) = 2√ = 2 berarti a = 2, n = f (x) = . 2
= = .
f(x) =
√
=
= 1. =3.
=
= =
√
berarti a = 3, n = − f (x) = (- ). 3
= -2.
=
=
4.
f(x) = u(x) Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi v(x) f ’(x) = u (x) v (x)
5.
f(x) = u(x) . Turunan Hasil Kali Dua Fungsi v(x) f(x) = u(x). v(x) + u(x).v (x)
f(x) = u(x) v(x) f ’(x) = u (x) v (x) f(x) = -3x+ 4 f (x) = -3 (1) + 0 = -3 f(x) = 12x - 2 f (x) = 12 (1) - 0 = 12 f(x) = 7x2 +3x - 6 f (x) = 2 (7)x2-1 + 3(1) – 0 = 14x+ 3 f(x) = - 10x4 + x3 - 2000 f (x) = 4 (-10)x4-1 + 3x3-1 – 0 = - 40x3 + 3x2 f(x) = x5 - 6 x3 + x f (x) = 5x4 - 18x2 + 1 f(x) = 2x2 - 4 f (x) = 4x f(x) = u(x).v(x) f(x) = u (x).v(x) + u(x).v(x) f(x) = (x+ 4)(3x-2) berarti u(x) = x+ 4 dan v( x) = 3x- 2 u (x) = 1 , v (x) = 3 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f(x) = 1(3x- 2) + (x+4)3 = 3x – 2 + 3x +12 =6x + 10 Cara lain: f(x) = (x+ 4)(3x-2) = 3x2 + 10x – 8 = 6x + 10 f(x) = (x2+ 2x + 1)(x-1) berarti u(x) = x2+ 2x +1 dan v( x) = x- 1 u (x) = 2x+2 , v (x) = 1 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = (2x+2 )(x-1) + (x2+ 2x + 1) 1 = 2x2 - 2+ x2+ 2x + 1=3x2+ 2x - 1
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
4 No
6.
f(x)
f(x) =
Contoh
f ’(x) = y’ = = (turunan pertama dari f(x))
( )
( )
Turunan Hasil Bagi Dua f(x) = Fungsi ( ). ( ) ( ) . ( ) f(x) = f (x) =
( )
( )
( )
( ). ( ) ( ) . ( ) ( )
f (x) =
berarti u(x) = 2x dan v( x) = x+3
u (x) = 2 , v (x) = 1 ( ). ( ) maka f (x) = f (x) =
(
) (
f(x) =
( ) )
=
(
f (x) = 7.
f(x) = a.(u(x))
Turunan Aturan/Teorema/Dalil Rantai f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x)
=
)
berarti u(x) = x - 4 dan v( x) = x+1
u (x) = 1 , v (x) = 1 ( ). ( ) maka f (x) = n
( ) . ( ) ( )
(
) ( (
)( ) )
( ) . ( ) ( )
=
(
=
)
5
f(x) = (4x – 3) berarti a = 1, n = 5, u(x) = 4x – 3 u (x) = 4 maka f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x) f (x) = 5 . 1 (4x – 3)5-1. 4 = 5 . 1. 4 (4x – 3)4 = 20 (4x – 3)4 f(x) = 2(3 + 1) berarti a = 2, n = , u(x) = 3x+ 1 u (x) = 3 maka f (x) = n. a. (u(x))n-1 . u (x) f (x) = .2(3 + 1) . 3 = 1. 3(3 + 1)
=
= (
√
)
5
f(x) = (x+1)(4x – 3) berarti u(x) = x+ 1 dan v( x) = (4x – 3)5 u (x) = 1 , v (x) = 20 (4x – 3)4 maka f (x) = u (x) . v(x) + u(x) . v (x) f (x) = 1(4x – 3)5 + (x+1) (20 (4x – 3)4) = (4x – 3)4 (( 4x – 3) + 20(x+1)) = (4x – 3)4 ( 4x – 3 + 20x+20) = (4x – 3)4( 24x + 17) (
– )
f(x) = berarti u (x) = (4x – 3)5 dan v(x) = x +1 u (x) = 20 (4x – 3)4 , v (x) = 1 ( ). ( ) ( ) . ( ) maka f (x) = ( )
–
f (x) = = = = =
– –
.( ((
–
(
–
(
.(
) (
(
)
– ) .
) (
– )
)
–
)
) )
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
5 Latihan 1 : Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut: Untuk soal no 1 – 3 tentukan juga turunan kedua fungsi f (x) atau f (x)! f (x) adalah turunan kedua fungsi f(x) , dapat dicari dengan mencari turunan dari f(x) 1. f (x) = 4x5 - 2x4 + 5x2 – x 2.
( )=
−
+ 3 + 15
3. f(x) = 4x + 4x − 1000 4. f(x) = (4x − 1)(2x + 3) 5. ( ) = (2 + 1)( + 2) 6.
( )=
7. f (x) =
x2 2x 3
) = (3 − 4) ) = ( − 12) ) = (2 − 3)( − 5) ) =√ +2 12. ( ) = √2 − 8. 9. 10. 11.
( ( ( (
13. ( ) =
√
1 2x 2 7 x2 3 x
14. f (x) = x2 + 15. f (x) =
3
16. f(x) = 17. f(x) = √ 18. g(x) =
+ 5
−7
√
19. f(x) = ( √ + (√ − 1) 20. f(x) =
21. g(x) = 22. g(x) =
(
) √
√
1 + √
23. g(x) =
3
24. g(x) =
2 2 2
25. g(x) = (3x2+5)3 (3x - 1)2 2
26. f(x) =
√
2
3 2
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
6 Persamaan Garis Singgung di Suatu Titik pada Kurva Ingat: Pada titik (x, y), x adalah absis dan y adalah ordinat. Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah: =
Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x1, y1) adalah: y – y1 = m (x – x1) Diketahui persamaan garis k: y = m1x + p dan persamaan garis : y = m2x + p a. Jika garis k (saling sejajar) maka m1 = m2 b. Jika garis k (saling tegak lurus) maka m1 . m2 = -1 Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (x1, y1) adalah turunan pertama kurva y = f(x), yaitu m = f ’(x). Persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah : y – y1 = m (x – x1). Contoh: 1. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi kuadrat y = 2 + x - x2 yang a. melalui titik (0, 2)
b. sejajar pada garis y + 3x - 3 = 0
c. tegak lurus pada garis 6y = -3x + 10
2. Tentukan persamaan garis singgung dari y = x2 – 4x + 8, di titik dengan absis x = -1!
Latihan 2: Buku paket Latihan halaman 76 -77 no 1.c,e, 2, 3, 13, 14, dan 15 Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
7
Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi : Fungsi Naik : Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2 pada interval itu, berlaku jika x1<x2 maka f(x1)
f(x2)
Fungsi Naik, Fungsi Turun & Turunan Pertama : Perhatikan gambar:
Dari gambar terlihat bahwa Jika fungsi naik, gradien garis singgung positif turunan pertama positif. Jika fungsi turun, gradien garis singgung negatif turunan pertama negatif. Jadi turunan pertama dapat dipakai untuk melihat apakah sebuah fungsi (sedang) naik atau turun. Contoh : 1. Tentukan interval dimana fungsi : ( ) = ′( ) Jawab : ( ) = 2 − 8 + 2, = Fungsi naik:
2
− 8 + 2 naik dan turun Fungsi turun :
Jadi fungsi naik dalam interval : dan turun dalam interval : 2. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = Jawab :
′(
3
−
3 2
2
naik dan dimana turun!
)=
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
8 3. Tentukan interval dimana fungsi ini f (x) = 3 x – 5 naik dan dimana turun! Jawab : f (x) = 3 x – 5 f ‘(x) = 3 > 0 f ‘(x) positif untuk semua interval fungsi monoton naik 3
4. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 2 - x naik dan dimana turun Jawab: f ‘(x) = - 3 x 2 0 turunan fungsi ini negatif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah naik). 3
5. Tentukan interval dimana fungsi f (x) = x + 3 naik dan dimana turun! Jawab: f ‘(x) = 3 x 2 0 turunan fungsi ini positif atau nol untuk semua interval (fungsi tidak pernah turun)
Catatan Jika f ‘(x) > 0 disemua interval : fungsi monoton naik (selalu naik) f ‘(x) < 0 disemua interval : fungsi monoton turun (selalu turun) f ‘(x) 0 disemua interval : fungsi tidak pernah turun f ‘ (x) 0 disemua interval : fungsi tidak pernah naik f ‘ (x) = 0: fungsi diam atau fungsi tidak naik dan tidak turun, atau fungsi stasioner. Latihan 3: Latihan hal 81 no. 4, 5, 7, 9
Kecekungan kurva dan Turunan kedua Sebuah kurva disebuat cekung keatas/kebawah apabila bentuknya sebagai berikut
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
9 Hubungan Kecekungan Kurva dan Turunan Kedua: Kurva cekung keatas:
f ’ (x)
x< a -
x =a 0
x>a +
Sketsa gambar
Jika x < a ; f ‘(x) <0 x = a ; f ‘(x)= 0 x > a ; f ‘(x) >0
f ‘(x) naik f ‘’(x) > 0
Kurva cekung kebawah: f ’ (x)
x< a +
x =a 0
x>a -
Sketsa gambar
Jika x < a : f ‘(x) > 0 x = a : f ‘(x) = 0 x > a : f ‘(x) < 0
f ‘(x) turun
f “(x) < 0
Kesimpulan : Jika kurva cekung keatas maka f “(x) >0 Jika kurva cekung kebawah maka f “(x) < 0
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
10
Nilai Stasioner Perhatikan grafik y = f ( x ) berikut :
di x = a ; f ‘ (x) = 0 , grafik tidak sedang naik dan juga tidak sedang turun , fungsi mencapai keadaan kritis, nilai fungsi di x = a disebut nilai stasioner ( critical value / stasionery value ) di x = b ; dan juga di x = c terjadi hal yang sama.
Jenis Nilai Stasioner Jadi jika f ’(x) = 0 terdapat nilai stasioner , nilai stasioner tsb ada 4 jenis : 1. Nilai ( Balik ) Maksimum Pada x < a ; f ‘(x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘(x) < 0 di x = a mengalami perubahan dari naik menjadi turun. f (a) nilai ( balik ) maksimum (a , f(a) ) : titik balik maksimum.
x< a
x=a
x>a
f ’ (x) Sketsa gambar
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
11
2.
Nilai (balik ) minimum Pada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘ (x) =0 x > a ; f ‘ (x) > 0 di x =a fungsi mengalami perubahan dari turun menjadi naik. f (a ) : nilai (balik) minimum. ( a , f(a) ) : titik balik minimum x< a
x=a
x>a
f ’ (x) Sketsa gambar
3. Ordinat titik belok horizontal (nilai belok positif) Pada x < a : f ‘(x) > 0 x = a ; f ‘ (x) = 0 x > a ; f ‘(x) > 0 f (a)= ordinat titik belok horisontal. (a , f(a)): titik belok horisontal. Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari konkaf (cekung) ke bawah ke ke atas atau sebaliknya. x< a
x=a
x>a
f ’ (x) Sketsa gambar
4. Ordinat titik belok horisontal (nilai belok negatif) Pada x < a ; f ‘ (x) < 0 x = a ; f ‘(x) = 0 x> a ; f ‘(x) < 0 f ( a ) : ordinat titik belok horisontal ( a , f(a) ) : titik belok horisontal.
x< a
x=a
x>a
f ’ (x) Sketsa gambar
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
12
Menentukan Jenis Nilai Stasioner dengan “Uji Turunan Kedua “ Jika : Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’ (a) > 0 Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’ (a) < 0
f (a) : nilai balik minimum f (a) : nilai balik maksimum
Jika f ‘ (a) = 0 f ‘’(a) = 0 mungkin ( a , f(a) ) ; berupa titik belok horizontal (apabila tanda f “(x) dikiri dan kanannya berbeda tanda )
Latihan 4 : Tentukan nilai stasioner fungsi –fungsi berikut, stasionernya :
titik stasioner dan tentukan pula jenis nilai
1. f(x) = x2 - 4x - 5
6.
f(x) = x3 + 2x2 – 6x
2. f(x) = x3 -3x2 +3x +4 3. f(x) = x4 +2x3 - 3x2 - 4x + 4 4. f(x) = - x2 + 8
7. 8. 9.
f(x) = 2 – x3 f(x) = x(x – 6)2 f(x) = 4x3 – 15x2 + 12x + 4
5. f(x) = − x4+ x3 + x2 - 4x - 3
10. f(x) = x3 - 3x2
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
13 Menggambar Grafik Fungsi Dalam menggambar grafik suatu fungsi y = f(x), ada beberapa langkah yang diperlukan, sebagai berikut: 1. Menentukan titik potong dengan sumbu – sumbu koordinat ( sumbu x dan sumbu y ). a. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrim dan jenisnya 3. Menentukan beberapa titik bantu,(jika diperlukan). Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f(x). x y
4. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 5. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus.
Latihan 5 Gambarlah grafik fungsi berikut: 1.
( ) = −
2.
( ) =
+4 −2
3. f(x) = 2x3 + x - 4 4. f(x) = 4x2 - 8x + 5 5. ( ) = − 2
− 12 + 4
6. f(x) =- x3 - 6x2 - 9x +7 7. f (x) = x2 + 4x +8 8. f(x) = x3 +3x2 +6x +14 9. f(x) = 5 - 4x –x2 10.f(x) = x3 – 6
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
14 Nilai Maksimum dan Minimum di Interval Tertutup Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di interval tertutup sebagai berikut: a. Menentukan nilai stasioner fungsi tersebut. b. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval yang diberikan. c. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari hasil (a) dan (b) yang masuk dalam interval. Latihan 6 Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi berikut pada domain yang diberikan: a. f(x) = -x2 + 10x dengan -2 ≤ x ≤ 5 d. y = 2x2 - 4x + 5 dengan -3 ≤ x ≤ 0 b. f(x) = x3 - 6x2 +1 dengan -5 ≤ x ≤ 5 e. y =x2 - x dengan 1 ≤ x ≤ 2 c. f(x) = x3 –x2 -3x dengan -4 ≤ x ≤ 4
f. y = ( ) =
−
dengan 0 ≤ x ≤ 2
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
15 Penggunaan Turunan dalam Permasalahan yang berkaitan bidang Ekonomi Latihan 7 Selesaikan setiap permasalahan berikut: 1. Misalkan biaya produksi dari x unit barang adalah C (x) = 20 x3 – 60x2 + 100. a. Berapa biaya marjinalnya? b. Kapankah biaya marjinalnya merupakan fungsi naik? 2. Hasil penjualan x potong kaos dinyatakan oleh fungsi p(x) = 90 – 3x2 (dalam ribuan rupiah). Tentukan hasil penjualan maksimum yang diperoleh! 3. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 2.500 + 1.000x + 10x2 rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp. 2.000,00 untuk setiap produknya, tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh! 4. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3– 2.000x2 + 3.000.000x) rupiah. Tentukan banyaknya barang per hari yang harus diproduksi untuk mendapatkan biaya produksi per unit barangyang paling rendah! 5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Biaya proyek per hari adalah (4x +
4000
- 64) ribu rupiah.
Tentukanlah besarnya biaya proyek minimumnya! 6. Untuk memproduksi x buah pulpen diperlukan biaya sebesar C (x) = 0,005x2 +20x +150. a. Tentukan biaya marjinal (dlm $) jika dibuat 100 pulpen dan ketika dibuat 1.000 pulpen. b. Jika biaya marjinalnya $1.000, berapa buah pulpen yang diproduksi? Catatan: C(x) = Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi biaya M(x) = biaya marjinal = C’(x) = biaya tambahan produksi setiap penambahan 1 unit produksi R (x) = Total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi pendapatan P(x) = Total keuntungan penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu = fungsi keuntungan Jika semua produk terjual, hubungan fungsi-fungsi itu adalah : P(x) = R(x) – C(x) [Keuntungan] = [Pendapatan] – [ biaya]
Turunan Fungsi XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta
