Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k prednaskam

Geometrická zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině: identita, posunutí, rotace, středová souměrnost osová souměrnost posunutá souměrnost Podobná zobrazení v rovině: stejnolehlost

Mozaika z Efesu

ORNAMENT Různá dělení: Motivy, původ, struktura 1.Rozety (mandaly) 2.Frýzy (vlysy) 3.Tapety (rovinné mozaiky)

Hledání symetrie

Z hlediska struktury různé vzory, které vznikly ze stejného základu

Arabský ornament – typ p6

S

Dělení tapetových vzorů dle struktury 17 tapetových vzorů Krystalograf E. Fedorov poprvé v roce 1891 publikoval důkaz, že rovinných krystalografických grup je právě 17 Teprve později se danou problematikou zabývají matematici např. Pólya (1924)

Nejmenší úhel rotace

žádný rovnoběžník

180 o

120 o

90o

obdélník

šestiúhelník

čtverec

60 o šestiúhelník

Arabský ornament – typ p6m

Parkety ze zámku Valtice – typ p4m

Nejmenší úhel rotace žádný rovnoběžník osová souměrnost ne

ano posunutá souměrnost s jinou osou než byla osa souměrnosti ano cm

ne pm

posunutá souměrnost ano pg

ne p1

Nejmenší úhel rotace 180 o obdélník osová souměrnost ne

ano

posunutá souměrnost

druhá osa souměrnosti ano středy rotace leží jen na ose souměrnosti ano cmm

ne pmm

ne pmg

ano pgg

ne p2

Který je navíc?

Nejmenší úhel rotace 120 o šestiúhelník osová souměrnost ne

ano středy rotace leží jen na ose souměrnosti ano p3m1

ne p31m

p3

Nejmenší úhel rotace 90o čtverec osová souměrnost ne

ano

p4

osa souměrnosti ve 4 směrech ano p4m

ne p4g

Nejmenší úhel rotace 60 o šestiúhelník osová souměrnost ano p6m

ne p6

OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ

Osová afinita v rovině je geometrické zobrazení v E2, pro které platí, že je jednoznačně určeno osou o a dvojicí odpovídajících si vlastních bodů A, A´ (neležících na ose o) a platí: • Spojnice odpovídajících si bodů jsou vzájemně rovnoběžné (určen směr afinity) • Všechny body osy jsou samodružné

Osová souměrnost je specielní případ osové afinity.

Vlastnosti afinity: • • • •

Samodružné body, samodružné přímky Charakteristika afinity Vlastnosti incidence Zachování rovnoběžnosti (zobrazení nevlastního bodu) • Zachování dělicího poměru • Obraz rovinných útvarů

Kuželosečky Kuželosečky jsou křivky, ve kterých rovina protíná kuželovou plochu Z této definice plyne, že kuželosečky jsou rovinné křivky. Podle polohy roviny vzhledem ke kuželové ploše vznikají různé druhy kuželoseček. Rozlišujeme: kuželosečky regulární – elipsa (kružnice), hyperbola, parabola Kuželosečky singulární – bod, přímka, dvě přímky

Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy

Regulární kuželosečky

http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html

ELIPSA • Elipsa je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní součet vzdáleností, větší než je vzdálenost daných dvou bodů. • Body E, F nazýváme ohniska elipsy.

Elipsa

C

M N

a b

A

E

S

A,B hlavní vrcholy elipsy D C,D vedlejší vrcholy elipsy /EM/+/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa elipsy b = /CS/ =/SD/ CD je vedlejší osa elipsy e = /ES/ =/SF/ excentricita

e

F

B

Ohniskové vlastnosti elipsy V1: Tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála elipsy půlí vnitřní úhel průvodičů bodu elipsy. Vrcholová kružnice elipsy V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska elipsy k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice elipsy V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a. Sdružené průměry V5: Tečny elipsy sestrojené v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým.

Ovál

Rys z reálného gymnázia v Praze (kuželosečky mají společná ohniska)

HYPERBOLA • Hyperbola je množina všech bodů roviny, které mají od dvou pevných, navzájem různých bodů E, F této roviny, konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost daných dvou bodů. • Body E, F nazýváme ohniska hyperboly.

a1

Hyperbola

a2

M Q

e b a

E

A

S

B

F

A,B hlavní vrcholy hyperboly a asymptoty hyperboly /EM/-/MF/ = 2a EM,MF jsou průvodiče bodu a = /AS/ =/SB/ AB je hlavní osa hyperboly b je vedlejší osa hyperboly e = /ES/ =/SF/ excentricita

Ohniskové vlastnosti hyperboly V1: Tečna hyperboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála hyperboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová kružnice hyperboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska hyperboly k jejím tečnám je kružnice se středem S a poloměrem a. Řídící kružnice hyperboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly podle jejich tečen je kružnice se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a.

Cathedral of Brasilia, Oscar Niemeyer, 1958

Karel Hubáček, Ještěd, 1973

Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002

PARABOLA • Parabola je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu F a od dané přímky d této roviny stejné vzdálenosti, bod F neleží na přímce d. • Bod F nazýváme ohniskem paraboly a přímku d řídící přímkou paraboly. • Vzdálenost ohniska od řídící přímky se nazývá parametr paraboly.

Parabola d

v M

Q

V

F

o

QM,FM jsou průvodiče bodu V je vrchol paraboly o = VF je osa paraboly

Ohniskové vlastnosti paraboly V1: Tečna paraboly půlí vnější úhel průvodičů dotykového bodu. V2: Normála paraboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Vrcholová tečna paraboly V3: Množinou všech pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly k jejím tečnám je vrcholová tečna. Řídící přímka paraboly V4: Množinou všech bodů souměrně sdružených s ohniskem paraboly podle jejich tečen je řídící přímka. Subtangenta V5: Subtangenta paraboly je půlena vrcholem.

Barcelona

Strauss, Golden Gate Bridge, San Francisco

Sarinen, Gateway Arch, St. Louise, 1987

• http://15122.fa.cvut.cz/?page=cz,nekterezakladni-konstrukce-a-navody

Deskriptivní geometrie Promítací metody

Definice promítání • Promítání je zobrazení prostoru na rovinu, popřípadně na jinou plochu (například válcovou nebo kulovou)

Promítání na rovinu • Je dán bod S, který se nazývá střed promítání a rovina ρ , která se nazývá průmětna. Bod S neleží v průmětně. • Zobrazení, které každému bodu v prostoru různému od bodu S přiřadí průsečík přímky AS s průmětnou, se nazývá promítání.

• Nevlastní bod • Nevlastní přímka • Nevlastní rovina

• Je-li střed promítání S vlastní bod, nazýváme promítání středové. • Je-li střed promítání S nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné. (tj. „bod S posuneme do nekonečna“)

Promítání • Rovnoběžné promítání Rozlišujeme pravoúhlé a kosoúhlé

• Středové promítání specielní případ je lineární perspektiva

Rovnoběžná promítání • Pravoúhlá promítání: Kótované promítání Mongeovo promítání Pravoúhlá axonometrie

• Kosoúhlá promítání Kosoúhlé promítání, specielní případ Vojenská perspektiva

Vlastnosti rovnoběžného promítání • Rovnoběžným průmětem bodu je bod. • Rovnoběžným průmětem přímky rovnoběžné se směrem promítání je bod, rovnoběžným průmětem přímky, která nemá směr promítání je přímka. • Rovnoběžným průmětem roviny, která je rovnoběžná se směrem promítání je přímka, rovnoběžným průmětem roviny, která nemá směr promítání je celá průmětna. • Rovnoběžné promítání zachovává incidenci. • Rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost. • Rovnoběžné promítání zachovává dělicí poměr. • …

Metrické vlastnosti • Průmět úsečky • Průmět pravého úhlu • Průmět mnohoúhelníku, kružnice

Kótované promítání

Mongeovo promítání

Pravoúhlá axonometrie

Č. 5

SCHODIŠTĚ

VOJTĚCH DVOŘÁK

2000/01

FA ČVUT

Kosoúhlé promítání

Vojenská perspektiva

Vojenská perspektiva

Lineární perspektiva

z Z

O

X x

Y y

z Z

O

X x

Y y

z

z

Z

Z

S

O

O

Y

X

y

x S=S1

X x

S1

Y y

120 q=32 nadhled

z

O

x

y

120 q=32 nadhled

z

O

x

y

120 q=32 nadhled

z

O

x

y

z

V

O

x Q

R

y

ŘEZY TĚLES

Kaplička v Bílce

Valencie, oceánografické muzeum

Singulární kuželosečky Rovina řezu prochází vrcholem kuželové plochy

Regulární kuželosečky

Ch. Taylor, Canada Place, Londýn, 2002

S

S

DG I, 13. přednáška

ZRCADLENÍ ZRCADLENÍ ÍNELDACRZ ZRCADLENÍ

ZRCADLENÍ


ZRCADLENÍ


Bod, ve kterém se světelný paprsek odráží od zrcadla lze najít podle principu úhel odrazu = úhel dopadu.

S A

A’

S’ ³

ZRCADLENÍ


Místo konstrukce bodu odrazu světelného paprsku zobrazujeme bod souměrný s daným bodem podle roviny zrcadla. Bodem vedeme kolmici k rovině zrcadla. Sestrojíme průsečík kolmice s rovinou zrcadla. Naneseme vzdálenost bodu od roviny zrcadla na kolmici za průsečík.  Obraz přímky rovnoběžné s rovinou zrcadla je rovnoběžný s rovinou zrcadla.  Průsečík přímky různoběžné s rovinou zrcadla a jejího obrazu leží v rovině zrcadla.   

S A

A’

S’ Az

³

ˇ VUT, ZS 2012/13 Deskriptivnı´ geometrie I, FA C

13. prˇedna´sˇka – str. 1

Zrcadlenı´ S – oko A – osvětlený bod

A′ S′ ζ – rovina zrcadla

Az

1

MP Je dána úsečka AB (A[0 ; 6 ; 7], B[−3 ; 6 ; 6]) a rovina zrcadla ζ(4 ; 3 ; 5). Zobrazte zrcadlení úsečky AB, tj. sestrojte obraz úsečky v rovinné souměrnosti podle roviny ζ.

nζ2 A2

x12

B2

O12

A1

B1 pζ1

x

nα

D

L

A

I

C

K

B

J

z 2

y

mα

V PA je zobrazena krychle ABCDIJKL, jejíž stěna ABCD leží ve vodorovné rovině α. Zobrazené části nárysné a bokorysné stopy roviny α ohraničují roh bazénu. Břeh je v rovině α, hladina leží v půdorysně π(x,y). Sestrojte zrcadlový obraz krychle a břehu.

ˇ VUT, ZS 2012/13 Deskriptivnı´ geometrie I, FA C 13. prˇedna´sˇka – str. 2

x = ζ1

xo

X

A

B

O

Z

z 3

C

Y y

yo

V PA je zobrazena židle se čtvercovým půdorysem ABCD, která stojí na půdorysně π(x,y). Rovina zrcadla je nárysna ν(x,z). Sestrojte zrcadlový obraz židle.

ˇ VUT, ZS 2012/13 Deskriptivnı´ geometrie I, FA C 13. prˇedna´sˇka – str. 3


4


A4 na výšku Pozn.: Zadání příkladu je předtištěno na str. 5. LP: H[9 ; 18], vh = 12, d = 26 Zobrazte krychli ABCDIJKL, v jejíž stěně BCJK je vepsána kružnice. Dále zobrazte zrcadlení krychle, rovina zrcadla ζ je kolmá k základní rovině π. (Stačí viditelné čáry.) R1 R∈π Q∈π |ZR| = 20 ABCD ⊂ π

Q1 ζ1 C 1 = K1

D1 = L1

10

16

10

B1 = J1

A1 = I1 z1 = σ1

3 8

2

8

Z1 = H1 5

A4 na šířku Pozn.: Zadání je předtištěno na str. 6. LP: H[16 ; 14], vh = 7, d = 26 Je dána krychle ABCDIJKL (drátěný model); stěna ABCD leží v rovině α, která je rovnoběžná se základní rovinou π a je 3 cm nad π. V rovině α je okraj bazénu, přímka b; stěna bazénu je svislá. Rovina vodní hladiny je 2 cm nad π. Zobrazte krychli, okraj bazénu, čáru vodní hladiny ve svislé stěně bazénu a zrcadlové obrazy. C 1 = K1

D1 = L1

b1

10

B1 = J1 10

4

30◦

6 7

Z1 = H1 A1 = I1 1

z1 = σ1



Ro

Qo ζ1o

Do

Co H h L

K

I

J

R Q C

D

ζ1 Bo

Ao

B

A Z d

D/2

z


Ao1 z

U

D

L

d

D/2

Z

H

I

A

K

C

V

J

B

h



Jz Lz

Dz

z

U

b

D

L

d

D/2

Z

H

I

A

Az

Cz

C

K

Kz

V

J

B

Bz

h



6


A3 na šířku LP: H[16 ; 18], vh = 8, d = 26 Je dána místnost tvaru krychle ABCDIJKL o straně 40, čtvercové podlaze je vepsána kružnice k(R,20). A CDLK je zrcadlo. Pozorovatel stojí ve dveřích, šířka dveří je 10, výška je 15. Ve stěně Zobrazte část místnosti a kružnice. Dále zobrazte zrcadlové obrazy objektů. D1 = L1

C 1 = K1

40

k1 14 Z1 = H1 z1 = σ1

R1 26

A1 = I1

10

5

S1 5

20

Pozn.: Předtisky na stranách 9 a 10 jsou zmenšeny pro tisk na formát A4.

B1 = J1


h

z Z

Do

d

D/2

Ro

ko

H

Co



Do

D

D/2 d

Z

H

T

To

Ro

R

k

ko

C

z

h

Co


Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

Recommend Documents