Desain Cover : Sandi Agus & Yoyok Yulianto

Desain Cover : Sandi Agus & Yoyok Yulianto

Seminar Nasional Matematika ( 2009 : Jember) Prosiding seminar nasional matematika, Jember 28 Pebruari 2009 Penyunting, Kiswara A Santoso. - - Jember : Jurusan Matematika 1104 hlm; ilus.;. 27 cm Termasuk Bibliografi dan Indeks ISBN : 979-8176-66-9 I. II. III. IV.

MATEMATIKA – KONGRES DAN KONVENSI Seminar Nasional Matematika 2009 SANTOSO, Kiswara Agung Universitas Jember, Fakultas MIPA, Jurusan Matematika

510 SEM s

Seminar Nasional Matematika 2009

i

PRAKATA

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmatNya Prosiding Seminar Nasional Matematika 2009 dapat diterbitkan. Prosiding ini merupakan

kumpulan dari sebagian besar artikel ilmiah yang disajikan pada

Seminar Nasional Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember pada tanggal 28 Pebruari 2009.

Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada editor prosiding dan seluruh panitia seminar yang telah bekerja keras menyusun prosiding Seminar Nasional Matematika 2009. Semoga dokumentasi yang terdapat didalamnya dapat bermanfaat bagi para pembaca

Jember, Maret 2009 Ketua Panitia,

Kosala Dwidja Purnomo, S.Si, M.Si

Prakata : i


ii

DARI EDITOR Untuk menghasilkan penelitian yang baik perlu adanya konsep dan teori yang jelas serta dukungan dari penelitian-penelitian yang telah ada sebelumnya. Buku ini merupakan hasil penelitian dari sebagian besar makalah yang disajikan dalam Seminar nasional Matematika 2009 yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Bidang-bidang khusus yang menjadi topik bahasan dalam seminar ini adalah Matematika Terapan, Analisis, Kombinatorik, Statistika, dan Keguruan. Artikel yang disajikan dalam prosiding ini diharapkan dapat menjadi sumbangan pengetahuan bidang Matematika bagi masyarakat pada umumnya dan para peneliti pada khususnya. Prosiding ini selain dicetak dalam bentuk hardcopy juga diberikan kepada para peserta yang berminat dalam bentuk CD dengan file yang berupa pdf. Selanjutnya buku ini diharapkan dapat menjadi acuan pengembangan maupun peningkatan kualitas penelitian ke depan. Jember, Maret 2009 Editor

Dari Editor : ii


iii

DAFTAR ISI Halaman PRAKATA............................................................................................................. i DARI EDITOR ..................................................................................................... ii DAFTAR ISI ......................................................................................................... iii BIDANG ANALISIS Studi Komprehensif Terhadap Sebuah Bukti Tidak Langsung Dari Teorema Basis Hilbert Adi Mesya ............................................................................................................... 1 Karakteristik Transmisi Gelombang Optik Pada Grating Linear Sinusoidal Tak-Homogen Agus Suryanto ........................................................................................................ 7 Algoritma Kode Grup Pada Gaussian Channel Dengan Pemrograman Geometrik Agustina Pradjaningsih ........................................................................................... 19 Sistem Persamaan Linear Overdetermined Alfanuha Yushida, Irawati ...................................................................................... 30 Pelabelan Graceful pada Graph Bintang Rangkap dan Tp Trees Budi Rahadjeng, Inung Auliya ............................................................................... 44 Grup Homologi Pada Simplicial Complex Ema Carnia, Sri Wahyuni, Irawati, Setiadji ........................................................... 50 Kajian Perkalian Antara Dua Matriks Alternating Hendarto, Irawati .................................................................................................... 60 Magic Square Dan Dekomposisi Jumlah Langsung Magic Square And Direct Sum Decomposition Nurul Afifah, Irawati .............................................................................................. 69 Himpunan Kritis Pada Graf Cycle Caterpillar Chairul Imron.......................................................................................................... 78 Kajian Seputar N -Homomorfisma Indah Emilia Wijayanti .......................................................................................... 91

Daftar isi : i-x


iv

Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup Yang Dibangun Oleh Subhimpunan Fuzzy Karyati , Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji ................................................ ..... 103 Dekomposisi Qr Dengan Menggunakan Eliminasi Gauss Marhayati, Irawati................................................................................................... 112 Identifikasi Operator Linear Yang Dapat Didiagonalkan Michrun Nisa Ramli , Irawati ................................................................................. 122 Teorema Spektral Tanpa Determinan Nabilah Faizah, Irawati .......................................................................................... 133 Kaitan Antara Nilai Singular Dan Nilai Eigen Dari Suatu Matriks Persegi Pesma Diana, Irawati .............................................................................................. 149 Analisis Kinerja Algoritma Matching Maksimum Dan Aplikasinya Pada Masalah Penugasan (Assignment Problem) Sapti Wahyuningsih ................................................................................................ 155 Aplikasi Metode Faktorisasi Masalah Cauchy Degenerate Pada Masalah Sistem Control Abstrak Degenerate Susilo Hariyanto, Salmah ....................................................................................... 166 The Super Edge-Magic Deficiency Of Disconnected Complete Bipartite Graphs A.A.G. Ngurah ........................................................................................................ 177 Sobolev Spaces of Functions on the Unit Square Abdul Rouf Alghofari ............................................................................................. 182 BIDANG STATISTIKA Memprediksi Interval Reliabilitas Produk Dengan Metode Bootstrap Persentil Akhmad Fauzy ........................................................................................................ 188 Ketakonvergenan Dalam Model Log-Binomial: Regresi Risiko Relatif Dengan Pendekatan Poisson Dan Metode Copy Alfian Futuhul Hadi, Netti Herawati ...................................................................... 195 Negative-Binomial Regression In The Prespective Of Generalized Linear Models: Canonical Link Vs Logaritmic Link Function Alfian Futuhul Hadi, Khairil Anwar Notodiputro .................................................. 206

Daftar isi : i-x


v

Teknik Pemulusan Log-Spline : Suatu Pendekatan NonParametrik Pada Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang Aunuddin, Alfian Futuhul Hadi .............................................................................. 216 Spline Estimator In Multi-Response Nonparametric Regression Model Budi Lestari, I Nyoman Budiantara, Sony Sunaryo, Muhammad Mashuri ........... 226 Model Thin Plate Spline (Tpspline) Dan Perbandingannya Dengan Model Alternating Conditional Expectations (Ace) Untuk Menduga Fungsi Respon Pergerakan Nilai Tukar Dollar Dewi Retno Sari Saputro, Winita Sulandari ........................................................... 238 Pengaturan Kedatangan Eksternal Optimal Pada Antrian Jaringan Jackson Gumgum Darmawan ............................................................................................... 250 Indeks Stabilitas Ammi Untuk Penentuan Stabilitas Genotipe Pada Percobaan Multilokasi Halimatus Sa‘diyah, Ahmad Ansori Mattjik .......................................................... 259 Transformasi Box-Cox Pada Kasus Distribusi Heavy-Tailed Herni Utami, Subanar, Dedi Rosadi ....................................................................... 275 Visualisasi Data Melalui Analisis Komponen Utama (Pca) Dibandingkan Dengan Analisis Komponen Utama Kernel (Kpca) Ismail Djakaria, Suryo Guritno, Sri Haryatmi Kartiko........................................... 289 Model Probit Pada Respons Biner Multivariat Menggunakan Smle Jaka Nugraha, Suryo Guritno, Sri Haryatmi ........................................................... 302 Similarity Based On Entropy For Binary Data Kariyam ................................................................................................................. 315 Metode Statistik Pada Pengukuran Aktivitas Ilmiah Indonesia Dekade Terakhir Sebagai Aplikasi Dari Metode Bibliometrik Sri Rahayu, Prakoso Bhairawa Putera ................................................................... 323 Pendeteksian Outlier Model Linear Multivariat Pada Produksi Gula Dan Tetes Tebu Makkulau, Susanti Linuwih, Purhadi, dan Muhammad Mashuri ........................... 334 Interpolasi Spasial Cokriging bagi Pemetaan Fosfor Tanah Sawah Mohammad Masjkur ............................................................................................... 351 Perbandingan Model Respon Pemupukan Nitrogen Pada Padi Sawah Mohammad Masjkur, Maman Rusman ................................................................ 368

Daftar isi : i-x


vi

Estimasi Parameter Dan Pengujian Hipotesis Model Linier Spatial Univariat Dengan Metode Maksimum Likelihood Terboboti Sri Harini, Purhadi, Muhammad Mashuri, Sony Sunaryo ......................................385 Value at Risk pada Varianasi Minimum dengan Volatilitas tak Konstan Sukono, Subanar, Dedi Rosadi ............................................................................... 393 Volatilitas Model FIGARCH Untuk Perhitungan Value at Risk Sukono, Subanar & Dedi Rosadi ............................................................................ 405 `OLS, LASSO and PLS Methods on Correlated Data Yuliani Setia Dewi .................................................................................................. 417 Analisis Ragam Peubah Ganda (Manova) Pada Rancangan Acak Lengkap(Ral) Pola Faktorial Yuliani S.Dewi , Kensiwi Atiulloh ......................................................................... 432 BIDANG TERAPAN Peredaman Getaran Bereksitasi Sendiri Menggunakan Eksitasi Parametrik Abadi....................................................................................................................... 443 Algoritma Untuk Membangkitkan Data Sensor Kanan Aceng Komarudin Mutaqin .................................................................................... 454 Peramalan Tingkat Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia Berdasarkan Data Fuzzy Time Series Multivariat

Agus Maman Abadi, Subanar, Widodo, Samsubar Saleh ............................ 462 Penentuan Waktu Awal Tercepat Pada Jaringan Kabur Dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo .................................. 475 Simulasi Penyebaran Aliran Debris 1 Dimensi Dengan Metoda Beda Hingga Bandung Arry Sanjoyo, Dieky Adzkiya,Lantip Trisunarno ................................... 485 Penerapan Model Kriging Untuk Memodelkan Fenomena Teknik Aerodinamika Budhi Handoko ....................................................................................................... 496 Analisis Terhadap Tingkat Kepuasan Pelanggan Restoran ―Dundee‖ Delta Plaza Surabaya Destri Susilaningrum ............................................................................................ 505

Daftar isi : i-x


vii

Penentuan Rute Terpendek Pada Traveling Salesmen Problem Dengan Simulated Annealing Dian Savitri ............................................................................................................. 519 Pemanfaatan Fungsi Spline Linear Pada Stereo Vision Dwiretno Istiyadi Swasono, Handayani Tjandrasa ................................................ 530 Factors That Influenced To The Satisfaction Of Skin Treament Services To Customers Edy Widodo, Dewi Suryaningrum ......................................................................... 545 Analysis Value At Risk (Var) Of Portofolio With Variance Covariance Methode Edy Widodo & Halimatus Sa‘adah........................................................................ 560 Estimasi Penyebaran Polutan Di Udara E. Apriliani, L. Hanafi, N. Wahyuningsih .............................................................. 574 The Application Of Gap Analysis In Improving The Quality Of Transportation Services Trans Jogja Kariyam, Ramdhani, B.E. , Wahyuni, A.T, Iswahyudi, H. .................................... 587 Penentuan Kriteria Sistem Persediaan Dengan Pelayanan Dan Retrial Of Customers Pada Current Inventory Level Soehardjoepri .......................................................................................................... 599 Perancangan Dan Simulasi Sistem Kontrol Posisi Panel Surya Dengan Metode Sliding Mode Control (Smc) Mardlijah, M Arif Junaidi ....................................................................................... 612 Model Inflasi Nasional Dengan Peredaran Mata Uang Dan Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Nuri Wahyuningsih, Fitri Meita Sari ...................................................................... 624 Optimasi Pemilihan Tanaman Atau Ikan Yang Sesuai Dengan Potensi Suatu Daerah Sulistiyo, Anisah ..................................................................................................... 644 Manajemen Traffic Light Berdasarkan Panjang Antrian Menggunakan Algoritma Genetik Kiswara Agung S, Subanar ..................................................................................... 657 Valuation Of Health Insurance Products Under Market-Consistent Approach Adhitya Ronnie Effendie ........................................................................................ 670

Daftar isi : i-x


viii

Pemodelan Dampak Tumbuhan Beracun Pada Dinamika Tumbuhan Herbivora Nur Kolis ................................................................................................................ 674 BIDANG KEGURUAN Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika Melalui Kolaborasi Lesson Study Dan Metakognitif Akhsanul In‘am ...................................................................................................... 684 Proses Berpikir Analogi Siswa Dalam Memecahkan Masalah Matematika Tatag Yuli Eko Siswono, Suwidiyanti.................................................................... 696 Karakteristik Penanaman Nilai Disiplin Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika Bambang Suharjo.................................................................................................... 714 Karakteristik Abstraksi Reflektif Dalam Pemecahan Masalah Matematika Binur Panjaitan, M .................................................................................................. 728 Penerapan Pendekatan Open-Ended untuk meningkatkan hasil belajar Edy Wihardjo, Christine Wulandari, Yulianti ........................................................ 743 Penggunaan Kriptografi Pada Pembelajaran Matriks Di Kelas XII Ella Nurfalah, Intan Muchtadi ................................................................................ 755 Praktikum Untuk Kalkulus Endah Asmawati, Joice Ruth Juliana...................................................................... 766 Wacana Pengembangan Profesi Guru Matematika Gerzon Seran, Santje M. Salajang .......................................................................... 775 Aktivitas Siswa dalam Pembelajaran Matematika menurut Model STAD Gerzon Seran & Santje M. Salajang ....................................................................... 787 karakteristik Pemahaman Konsep Mahasiswa Fi Herry Agus Susanto ................................................................................................ 799 Konstruktivisme Dan Pemahaman Konsep Herry Agus Susanto ................................................................................................ 813

Daftar isi : i-x


ix

Desain Pembelajaran Matematika Realistik (Pmri) Dengan Setting Cooperative Learning Serta Pengaruhnya Terhadap Aktivitas Dan Hasil Belajar Siswa Sltp Kelas I, II, Dan III Di Kabupaten Jember Hobri ...................................................................................................................... 823 Penghalusan Pertanyaan Mahasiswa Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah I Nengah Parta ........................................................................................................ 866 Tanggapan Siswa Terhadap Kegiatan Lesson Study Tahap Do (Pelaksanaan) Indriati Nurul Hidayah ............................................................................................ 877 Pemecahan Masalah Matematika Oleh Siswa Janet Trineke Manoy .............................................................................................. 888 Metode Belajar Semi-Mandiri Berbasis Kombinasi Belajar Individu Dan Kerja Kelompok Dalam Praktek Dan Teori Joice Ruth Juliana, Endah Asmawati ..................................................................... 899 Identifikasi Proses Berpikir Anak Autis Dalam Menyelesaikan Soal Matematika Kamid ..................................................................................................................... 907 Aktifitas Metakognisi Dalam Memecahkan Masalah Matematika Formal Dan Kontekstual Mustamin Anggo, Mikarna Haryani ....................................................................... 921 Alur Berpikir Mahasiswa Berkemampuan Sedang Dalam Memecahkan Masalah Matematika Berdasarkan Langkah-Langkah Polya Nurdin .................................................................................................................... 935 Cara Mengetahui Metakognisi Siswa Dalam Menyelesaikan Soal Pemecahan Masalah Matematika Pradnyo Wijayanti .................................................................................................. 944 Kemampuan Siswa ―Camper” Di Kelas VII Sekolah Menenga Pertama Dalam Menyelesaikan Masalah Matemátika Sudarman, Akina .................................................................................................. 963 Peningkatan Kemampuan Koneksi Matematika Mahasiswa Program Studi Fisika Tahun Pertama dengan Model Pembelajaran Pendekatan Open Ended pada Matematika Dasar Suharto, Arika, Susanto ......................................................................................... 976

Daftar isi : i-x


x

Proses Kognitif Pada Anak Tunanetra Dalam Menyelesaikan Permasalahan Persegi Panjang Susanto .................................................................................................................... 987 Proses Metakognisi Siswa Sma Dalam Menyelesaikan Masalah Matematika Ditinjau Dari Perbedaan Gender Theresia Kriswianti Nugrahaningsih .................................................................... 1001 Pembelajaran Aljabar Linier Elementer Dengan Problem Posing Tri Hapsari Utami, Indriati Nurul Hidayah .......................................................... 1021 Visualisasi Ungkapan Geometris Siswa Smp I Wayan Ponter ..................................................................................................... 1030 Profil Proses Kognitif Siswa Sd Dalam Pemecahan Masalah Matematika Yang Terkait Dengan Sifat Komutatif Penjumlahan Bilangan Cacah Wilmintjie Mataheru ............................................................................................. 1045 Strategi Bermain Dengan Alam Dalam Pembelajaran Konsep Geometri Dimensi Tiga Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Dan Soft Skillss Siswa Kelas X MM SMK Negeri 1 Jember Priwahyu Hartanti

1060

Membelajarkan Matematika Untuk Membangun Bangsa Unggulan Dalam Sains, Teknologi, Dan Industri Abdur Rahman As‘ari ........................................................................................... 1072 INDEKS PENULIS .............................................................................................. 1083 INDEKS SUBYEK ............................................................................................... 1087

Daftar isi : i-x


166

APLIKASI METODE FAKTORISASI MASALAH CAUCHY DEGENERATE PADA MASALAH SISTEM CONTROL ABSTRAK DEGENERATE 1

Susilo Hariyanto, 2Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro; (Mahasiswa Universitas Gadjah Mada) 2 Jurusan Matematika FMIPA UGM

1

ABSTRAK Dalam artikel ini, akan diteliti penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy degenerate pada masalah sistem kontrol abstrak degenerate. Permasalahan yang dibahas diformulasikan dalam ruang Hilbert H yang dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan langsung dari Ker M dan Ran M * . Dengan menggunakan beberapa asumsi dimungkinkan mereduksi permasalahan tersebut ke masalah Cauchy non-degenerate di ruang faktor H/Ker M. Akhirnya diperoleh beberapa konsekuensi dalam menyelesaikan masalah sistem kontrol degenerate. Kata Kunci : Degenerate Chaucy problem, Degenerate control system.

PENDAHULUAN Perhatikan masalah Cauchy abstrak, d Mz(t ) dt

Az (t )

f (t ),

z (0)

z0

(1)

dengan operator M tidak harus mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak disebut masalah Cauchy abstrak degenerate jika M tidak mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak disebut masalah Cauchy abstrak nondegenerate jika M mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak dalam kasus dimensi berhingga telah dibahas secara lengkap beserta contoh dan aplikasinya dalam teori control (Dai, L. 1980). Masalah Cauchy dalam kasus dimensi berhingga dapat dibahas dan dipahami secara lengkap, karena dimungkinkan membawa matrik M dan A dalam (1) ke bentuk normal bersama yang mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap nilai awal yang diberikan. Sedangkan dalam kasus dimensi takhingga diantaranya dibicarakan oleh Carrol dan Showalter (1976). Dalam pembahasannya diasumsikan bahwa operator M

Susilo, dkk : 166-176 Aplikasi Metode Faktorisasi ...................................................


167

self adjoint dan nonnegative. Selain itu masalah Cauchy dalam ruang ruang Banach juga telah dibahas (Favini, 1985). Metode faktorisasi untuk menyelesaian masalah Cauchy abstrak degenerate dalam ruang Hilbert melalui penyelesaian masalah Cauchy abstrak nondegenerate dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu telah dibahas oleh Susilo(2002). Diantara asumsi-asumsi tersebut adalah diasumsikannya A, M operator-operator linier tertutup yang terdefinisi dense. Ruang Hilbert H dinyatakan sebagai hasil tambah langsung dari Ker M dan RanM * . Selain itu juga diasumsikan pembatasan operator A pada Ker M, yaitu

A | KerM : KerM

D( A)

KerM *

mempunyai invers. Untuk

mengawankan setiap penyelesaian nondegenerate ke degenerate didefinisikan suatu operator tertentu, sehingga penyelesaian masalah Cauchy abstrak degenerate dapat diperoleh dari penyelesaian nondegenerate. Metode faktorisasi dan pendekatan solusi masalah Cauchy degenerate dibahas oleh Thaller di tahun 1996 [16,17,18] dengan mengasumsikan operator A1, A2 merupakan generator dari semigrup kontinu kuat dibahas oleh Kappel, Pazy [12,14]. Dalam artikel ini akan dibicarakan penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy degenerate pada masalah sistem kontrol abstrak degenerate. Konsep Dasar Dalam menyelesaikan

masalah Cauchy

menyelesaikan kasus homogen terlebih dahulu ( f (t ) d Mz(t ) dt

Az (t ),

z (0)

z0

abstrak

degenerate

diawali

0 ), yakni:

(2)

dengan asumsi-asumsi berikut. Asumsi 2.1: Operator A,M tertutup dan terdefinisi secara dense di ruang Hilbert H dan dipetakan ke ruang Hilbert K. Karena M operator tertutup, maka Ker M merupakan ruang bagian tertutup dari H. Misalkan P proyeksi ortogonal pada Ker M, akibatnya PT

1 P juga merupakan

proyeksi ortogonal pada (Ker M) . Karena M tertutup dan terdefinisi dense dalam H, maka M* tertutup dan terdefinisi dense dalam K. Untuk selanjutnya misalkan pula



168

Q proyeksi ortogonal pada Ker M* , akibatnya Q T = 1 - Q juga merupakan proyeksi ortogonal pada (Ker M*) . Dengan demikian dapat dituliskan : PH= Ker M, P T H= ( Ran M * ) , QK= Ker M* dan Q T K= (Ran M ) . Definisi 2.2: Suatu penyelesaian strict dari degenerate Chauchy problem adalah suatu fungsi

z : [0, )

H sehingga z(t)

D(M) untuk semua t 0 , Mz continuosly

D(A)

differentiable dan memenuhi persamaan (2). Setiap penyelesaian strict masalah Cauchy abstrak degenerate pasti memenuhi z(t) DA untuk semua t 0 , dengan DA = { z(t)

D(A)| Az(t)

( Ran M ) }

Lemma 2.3: Dengan asumsi 2.1 operator A |D tertutup. A

Operator M injektif jika dan hanya jika Ker M={0}. Oleh karena itu agar dimungkinkan mereduksi operator M yang belum tentu mempunyai invers ke operator yang mempunyai invers terlebih dahulu didefinisikan operator pembatasan dari M pada (Ker M)

D(M) sebagai berikut:

Mr = M |D ( M ) , dengan D(Mr)= (ker M) r

D(M).

Operator M |D ( M ) =Mr mempunyai invers . r

Misalkan P T

1

{x(t)} merupakan bayangan invers dari x(t)

proyeksi P T yaitu

PT

1

{x(t)}={ x(t)

Apabila diperhatikan himpunan P T

1

( Ker M )

y(t) | y(t) Ker M}, x(t )

terhadap ( Ker M ) .

{x(t)} belum tentu merupakan singelton.

Selanjutnya didefinisikan operator A0 yang merupakan operator pembatas dari operator A pada ( Ker M ) sebagai berikut: A0{x(t)} = A P T

1

{x(t )} DA

(Ran M ) , untuk setiap x(t) D(A0)



169

dengan, D(A0)= x( t ) ( Ker M ) | P T

1

Operator A0 bernilai tunggal jika P T

1

1

lain himpunan P T

{ x( t )}

DA

{x(t )} DA merupakan singelton. Disisi

{x(t)} belum tentu merupakan singelton Untuk itu diperlukan

asumsi dan lemma berikut: Asumsi 2.4: PDA

DA dan operator (QAP)|PDA mempunyai invers yang terbatas.

Lemma 2.5: Dengan asumsi 2.1 dan 2.4 , maka vektor z(t) H merupakan anggota ruang bagian DA apabila z(t)

(QAP) 1 QAP T z (t ) .

D(A), Pz (t )

Menurut lemma 2.5 setiap x(t ) z (t )

P T DA

(ker M )

menyatakan dengan tunggal

DA sehingga x(t) = P T z(t) dan z(t) = (1-(QAP)-1QA) x(t). Selanjutnya dapat

didefinisikan operator ZA yaitu sebagai berikut: ZA

PT

(QAP) 1 QAP T

Operator ZA terdefinisi pada D (ZA) 1 (QAP) 1 QA pada P T DA yang

dalam arti: Z A P T

P T DA. Pembatasan Z A |

adalah

proyeksi P T |DA

merupakan invers dari

1 pada DA dan P T Z A

T

P DA

T 1, pada P DA

Jadi operator A0 dapat dinyatakan menjadi A0=A ZA ,

pada D(A0)= P T DA

dan untuk setiap z(t) Az

(2.2)

DA diperoleh A0x(t )= Az(t) dengan x(t )

Q T Az untuk semua z

P T z (t ). Karena

DA, maka operator A0 dapat ditulis dalam bentuk yang

simetrik yaitu: A0= QT AP T

QT AP(QAP) 1 QAP T .

Untuk memfaktorkan A0 didefinisikan operator YA karena Y A AP

0 , maka

YA AP T

QT

Q T AP(Q A P) 1 Q . Oleh

YA A dan A0= Y A A pada D(A0)= P T DA.

(2.3) Susilo, dkk : 166-176 Aplikasi Metode Faktorisasi ...................................................


170

Asumsi 2.6: Operator A tertutup dan mempunyai invers terbatas Dengan asumsi 2.1,ini ekuivalen dengan operator A injektif dengan Ran A= K. Hal ini berakibat A |D mempunyai invers terbatas yaitu : A

A |DA : DA

( A |D )-1 : Q T K A

QT K

DA

Dengan demikian operator A0-1 = (A ZA)-1 = P T A 1 |Q T K terbatas dan terdefinisi pada QT K .

Lemma 2.7: Dengan asumsi 2.1, 2.4, dan 2.6 operator A0 tertutup pada D(A0)= P T DA. Dengan mengkonstruksikan, untuk semua z x(t )

P T z (t ). Lebih lanjut untuk z

DA, diperoleh Az= A0x, dengan

D(M), Mz

M r x , dengan M r operator

mempunyai invers. Jadi, degenerate Chauchy problem (2) dapat direduksi ke permasalahan:

d M r x(t ) dt

A0 x(t ),

x(t )

PT z0

(2.4)

Bagaimana proses selanjutnya tergantung pada asumsi operator M. Asumsi 2.8: DA

D(M) dan memenuhi paling sedikit satu dari pernyataan berikut:

Kasus (a) Operator M mempunyai range tertutup. Kasus (b) Operator M mempunyai domain tertutup. Jika asumsi 2.8, kasus (a) dipenuhi, dimungkinkan mendefinisikan operator A1=A0 ( M r )

1

pada domain alamiah T

T

D(A1)={y Q K| ( M r ) 1 y D(A0)}= M r P DA=MDA.



171

Operator A1 tertutup karena operator ini merupakan komposisi dari operator tertutup A0 dan operator terbatas ( M r ) 1 . Operator A1 terdefinisi secara dense di ruang Hilbert K0= ( MD A ) Jika asumsi 2.8, kasus (b) dipenuhi, maka didefinisikan operator A2= ( M r ) 1 A0 . Operator ini tertutup pada

D(A2)={x

PT DA|A0x Ran M}= A0 1 Ran M , karena merupakan komposisi dari

operator invers terbatas ( M r )

1

dengan operator tertutup A0. Operator A2 terdefinisi

secara dense di ruang Hilbert H0= ( P T D A ) . Asumsi 2.9: Operator A1 membangun semigrup kontinu kuat di K0. Operator A2 membangun semigrup kontinu kuat di H0. Teorema 2.10: Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8 dan 2.9 berakibat pernyataan-pernyataan berikut: Kasus (a) untuk setiap nilai awal z 0 mempunyai solusi strict tunggal z (t ) Kasus (b) untuk setiap awal z 0

D A degenerate Cauchy problem (2)

Z A ( M r ) 1 e A1t Mz 0 .

A 1 Ran M dengan tunggal solusi strict (2) adalah

z (t ) Z A e A2t P T z 0 Selanjutnya diperhatikan masalah Cauchy degenerate nonhomogen berikut: d Mz(t ) dt

Az (t )

f (t ),

z (0)

z0

(2.5)

Asumsi 2.11: Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8, 2.9, 2.10 dan M r terbatas dan mempunyai invers terbatas. Lebih lanjut A0 terdefinisi secara dense di P T H.



172

Syarat perlu z adalah solusi dari (2.5) adalah z(t)=ZA P T z(t)-(QAP)-1Qf(t), untuk semua t 0. Sebagai konsekuensi dari syarat bahwa Az(t)+f(t) Ran M, dapat dengan mudah membatasi masalah (2.5) ke

d M r x(t ) dt

A0 x(t ) (QT

QT AP (QAP ) 1 Q) f (t )

(2.6)

=A0 x(t)+YA f(t) dengan A0=AZA=YA A seperti di persamaan (2.2) dan (2.3). Dengan asumsi 2.11, masalah (2.6) menurut kasus (a) dan kasus (b) dapat ditranformasi ke d y(t ) dt

A1 y(t ) YA f (t ) atau

d x(t ) dt

A2 x(t ) ( M r ) 1 YA f (t )

Dengan A1

A0 ( M r )

1

dan A2

(2.7)

( M r ) 1 A0 .

Karena A-1 terbatas, dapat didefinisikan g (t )

P T A 1 f (t ) dan menyatakan (2.7)

ke d x(t ) dt

g (t )) .

A2 ( x(t )

(2.8) T

Jika g(t) didalam D(A2)= P D A , maka solusi dari persamaan (2.8) adalah

x(t)=

t

e A2t P T z 0

e A2 (t

s)

A2 g ( s )ds

0 t

=e

A2t

T

P z0

A2 e A2 (t

s)

g ( s )ds

0

Adapun solusi dari masalah originalnya adalah z(t)=ZA x(t)-(QAP)-1Q f(t)



173

PEMBAHASAN Dalam bagian ini dibahas penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy abstrak degenerate dalam teori kontrol dengan menggunakan beberapa asumsi. Diperhatikan masalah sistem kontrol degenerate berikut: d Mz(t ) dt

(3.1)

Az (t ) Bu (t )

v(t)= Cz(t)

(3.2)

Operator B memetakan dari ruang kendali U ke K dan operator C memetakan dari H ke ruang output V, dengan U dan V masing-masing ruang Hilbert. B: U

K

dan

C: H

V

Untuk selanjutnya sistem 3.1 dan 3.2 dinotasikan (M,A,B,C). Selain asumsi 2.11, diasumsikan pula operator B dan C terbatas dan memenuhi kondisi bahwa:

Ran B

( Ran M ) dan Ker C

Ker M .

(3.3)

Dengan menggunakan teorema 2.12, masalah 3.1 mempunyai solusi strict tunggal z(t , u, z 0 ) , bilamana Bu continuosly differentiable dan z 0

D A . Fungsi

output v(t)=Cz(t) well defined dan kontinu di t untuk semua nilai awal z 0

H. Ini

berakibat Cz=Cx untuk setiap z dan x= PT z , karena: Cz=C(Pz+ PT z )=C PT z =Cx, untuk setiap z dan x= PT z Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8, 2.9, sistem 3.1 dan 3.2 dapat direduksi ke bentuk nondegenerate ( M r mempunyai invers): d M r x(t ) dt

A0 x(t ) Bu (t )

v(t)=Cx(t)

(3.4) (3.5)

Dengan asumsi 2.11, formulasi kasus (a) dan kasus (b) adalah ekuivalen dan diperoleh 2 metode ekuivalen untuk menentukan penyelesaian masalah (3.4), yaitu:



174

Metode (a), menunjukkan bahwa masalah kendali (M,A,B,C) dalam H dapat direduksi ke (1,A1,B1,C1) dalam Q K, dengan A1=A0 ( M r ) (M r )

1

1

,

B1=B, C1=C

.

Metode (b) menunjukkan bahwa masalah kendali (M,A,B,C) dalam H dapat direduksi ke (1,A2,B2,C2) dalam P T H, dengan A2= ( M r ) 1 A0, B2= ( M r ) 1 B, C2=C. Untuk membentuk kendali umpan balik dalam sistem 3.1 terlebih dahulu didefinisikan operator kendali K dengan D(K)

H dan dipetakan ke ruang kendali

U. Sehingga sistem kendali umpan balik degenerate didefinisikan sebagai: d Mz(t ) dt

(3.6)

( A BK ) z (t )

Diasumsikan bahwa D( K )

D( A) , sehingga operator BK terbatas relatif terhadap

A. Kita dapat memfaktorkan (3.6) seperti pada konsep dasar. Kondisi (3.3) mengakibatkan QB=0 dan DA+BK=DA. Kita definisikan (A+BK)0=(A+BK)ZA+BK pada

P T D A , dengan ZA+BK = 1-(Q(A+BK)P)-1Q(A+BK)

= 1- (QAP)-1QA=ZA

T

pada P D A

Dengan metode (a) diperoleh A1+B1K1 sebagai generatornya dengan K1=KZA ( M r )

1

.

Dan dengan metode (b) A2+B2K2 sebagai generatornya dengan K2=K. Penyelesaian dari sistem umpan balik degenerate (3.6) adalah z(t)=SA+BK(t) z0, dengan SA+BK(t)=ZA e ( A2

B2 K 2 ) t

P T = ZA e

( A1 B1K1 ) t

M r PT



175

KESIMPULAN Masalah sistem kontrol abstrak degenerate (3.1) - (3.2) dengan asumsiasumsi tertentu dapat direduksi ke sistem kontrol abstrak non degenerate (3.4)-(3.5), sehingga lebih mudah untuk diselesaikan. Jika sistem (3.1) dilakukan kendali umpan balik, maka sistem (3.1) berubah menjadi (3.6) masalah Cauchy abtrak degenerate homogen. Dengan asumsi tertentu masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi pada Cauchy abstrak degenerate. Selanjutnya dengan operator tertentu solusi masalah Cauchy abstrak degenerate homogen dapat ditranformasi ke solusi masalah semula/original (3.6).

DAFTAR PUSTAKA 1. Carroll, R.W & Showalter,R.E, 1976, Singular and Degenerate Cauchy Problems, Math. Sci. Engrg., Vol. 127, Academic Press, New York-San Fransisco-London. 2. Dai, L., 1989, Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Inform, Sci., Vol.118, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. 3. Favini, A, 1979, Laplace Tranform Method for a Class of Degenerate Evolution Problems, Rend. Mat. Appl. (2) 12 4. Favini, A, 1980, Controllability Condition of Linier degenerate Evolution Systems, Appl. Math. Optim. 5. Favini, A., 1981, Abstract Potential Operator and Spectral Method for a Class of Degenerate Evolution Problems, J. Differential Equations, 39.Favini, A.,1985, Degenerate and Singular Evolution Equations in Banach Space, Math. Ann., 273.

6. A., Plazzi, P.,1988, On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-1 the Linear Case, Nonlinear Analysis, 12 7. Favini, A., Plazzi, P.,1989, On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-2 theNonlinear Case, Nonlinear Analysis, 13.



176

8. Favini, A., Plazzi, P.,1990 On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-3 Applications to Linear and Nonlinear Problems, Osaka J. Math. 27. 9. Favini, A., Yagi, A.,1992, Space and Time Regularity for Degenerate Evolution Equations, J. Math. Soc. Japan,44. 10. Hernandez M, 2005, Existence Result For Second-Order Abstract Cauchy Problem With NonLocal Conditions, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2005. 11. Kappel, F. & Schappacher, W., 2000, Strongly Continuous Semigroups, An Introduction. 12. L. Byszewski, V. Lakshmikantham, 1991, Theorem About the Existence and Uniqueness of Solutions of A Semilinear Evolution Nonlocal Abstract Cauchy Problem in A Banach Space. 13. Pazy, A., 1983, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York. 14. Susilo, H & Lina, A, 2002, Metode Penyelesaian Masalah Cauchy Degenerate Melalui Masalah Cauchy Nondegenerate, Majalah Teknosains, Vol. 15 No.8, PascaSarjana UGM. 15. Thaller, B.: 1992, The Dirac Eqution, Text and Monographs in Physics, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg-New York 16. Thaller, B. & Thaller, S., 1996, Factorization of Degenerate Cauchy Problems : The Linear Case, J. Operator Theory, 121-146. 17. Thaller, B. & Thaller, S., 1996, Approximation of Degenerate Cauchy Problems, SFB F0003 ‖Optimierung und Kontrolle‖ 76, University of Graz.

18. Weidman, J., 1980, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg- New York


Desain Cover : Sandi Agus & Yoyok Yulianto

Recommend Documents