DEFINICE A PŘÍKLAD NA MEDIÁN Definice: MEDIÁNU Medián je hodnota prostředního znaku souboru, jsou-li znaky uspořádané dle velikosti. ~ • Značí se vlnkou: X • Nezávisí na všech hodnotách znaku. Příklad 1: Vlastním s.r.o. o 7 zaměstnancích. Pracovníky i sebe jsem odměnil takto (hrubé mzdy v tis. Kč): 20, 18, 17, 17, 18, 49, 20. Otázky a) Vytvoříme uspořádanou řadu hrubých mezd dle velikosti. b) Jaká je průměrná hrubá mzda? c) Jaká je prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd? d) Porovnejme průměrnou hrubou mzdu a medián mezd. Vysvětlete rozdíl mezi hodnotami průměru a mediánu. Co charakterizuje úroveň odměňování?
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení a) Vytvoříme uspořádanou řadu hrubých mezd dle velikosti. Původní řada mezd: 20, 18, 17, 17, 18, 49, 20 Hrubé mzdy v tis. Kč uspořádané dle velikosti: 17, 17, 18, 18, 20, 20, 49 b)
Jaká je průměrná hrubá mzda? 4
k
∑ X =
∑
X i .n i
i =1
n
=
X i .n i
i =1
=
4
∑
ni
2 . 17 + 2 . 18 + 2 . 20 + 1 . 49 159 = = 22 , 7 tis . K č 2 + 2 + 2 +1 7
i =1
Průměrná hrubá měsíční mzda je 22,7 tis. Kč.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení c) Jaká je prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd. Hrubé mzdy v tis. Kč uspořádané dle velikosti: 17, 17, 18, 18, 20, 20, 49. Označíme prostřední hrubou mzdu v uspořádané řadě: 17, 17, 18, 18, 20, 20, 49. Prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd je 18 tis. Kč.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení d) Porovnejme průměrnou hrubou mzdu a medián mezd. Vysvětlete rozdíl mezi hodnotami průměru a mediánu. Co charakterizuje úroveň odměňování? Průměrná hrubá měsíční mzda je 22,7 tis. Kč. Prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd je 18 tis. Kč. Průměr je vyšší, neboť je ovlivněn extrémně vysokou mzdou 49 tis. Kč. Průměr nevystihuje úroveň odměňování ve firmě. Obyčejní pracovníci nemají hrubou mzdu přes 20 tis. Kč. Úroveň odměňování lépe vystihuje medián.
STANOVENÍ MEDIÁNU Zobecnění stanovení mediánu Stanovíme medián z n = 7 znaků. Medián je prostřední hodnota uspořádané řady dle velikosti. Prostřední hodnotou je 4. člen, k čemuž se dojde tímto postupem: Máme-li soubor n = 7 znaků (n liché), jak spočítáme prostřední člen?
7 +1 8 = =4 2 2 Obecně máme-li soubor n znaků, kde n je liché, pak prostřední člen uspořádané řady je:
n +1 2
PŘÍKLAD NA MEDIÁN Příklad 2: Ve firmě z předešlého příkladu dal další měsíc jeden zaměstnanec s nejnižší mzdou výpověď dohodou. Hrubé mzdy zůstaly stejné (v tis. Kč): 20, 18, 17, 18, 49, 20. Otázky a) Vytvoříme uspořádanou řadu hrubých mezd dle velikosti. b) Jaká je průměrná hrubá mzda? c) Jaká je prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd? d) Porovnejme průměrnou hrubou mzdu a medián mezd. Vysvětlete rozdíl mezi hodnotami průměru a mediánu. Co charakterizuje úroveň odměňování?
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení a) Vytvoříme uspořádanou řadu hrubých mezd dle velikosti. Původní řada mezd: 20, 18, 17, 18, 49, 20 Hrubé mzdy v tis. Kč uspořádané dle velikosti: 17, 18, 18, 20, 20, 49 b)
Jaká je průměrná hrubá mzda? 4
k
∑ X =
∑
X i .n i
i =1
n
=
X i .n i
i =1
=
4
∑
ni
1 . 17 + 2 . 18 + 2 . 20 + 1 . 49 142 = = 23 , 7 tis . K č 1+ 2 + 2 +1 6
i =1
Průměrná hrubá měsíční mzda je 23,7 tis. Kč.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení c) Jaká je prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd. Hrubé mzdy v tis. Kč uspořádané dle velikosti: 17, 18, 18, 20, 20, 49. Označíme prostřední hrubou mzdu v uspořádané řadě: 17, 18, 18, 20, 20, 49. Prostřední hrubé mzdy, neboli mediány jsou dvě hodnoty: 18 tis. Kč a 20 tis. Kč. Obě hodnoty můžeme nahradit průměrem. Výpočet: 18 + 20 = 19 tis . K č 2 Lze i říci, že mediánem mzdy je hodnota 19 tis. Kč.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU NA MEDIÁN Řešení d) Porovnejme průměrnou hrubou mzdu a medián mezd. Vysvětlete rozdíl mezi hodnotami průměru a mediánu. Co charakterizuje úroveň odměňování? Průměrná hrubá měsíční mzda je 23,7 tis. Kč. Prostřední hrubá mzda, neboli medián mezd je 19 tis. Kč. Průměr je vyšší, neboť je ovlivněn extrémně vysokou mzdou 49 tis. Kč. Průměr nevystihuje úroveň odměňování ve firmě. Obyčejní pracovníci nemají hrubou mzdu přes 20 tis. Kč. Úroveň odměňování lépe vystihuje medián.
STANOVENÍ MEDIÁNU Zobecnění stanovení mediánu Konkrétně: Jak stanovíme medián z n = 6 znaků. Medián je prostřední hodnota uspořádané řady dle velikosti. Prostřední hodnotou je 3. a 4. člen, k čemuž se dojde tímto postupem: Máme-li soubor n = 6 znaků (n sudé), jak spočítáme prostřední člen?
6 =3 2
6 +1 = 3 +1 = 4 2
Obecně: Máme-li soubor n znaků, kde n je sudé, pak prostřední členy uspořádané řady jsou dva, a to:
n 2
n +1 2
MEDIÁN Věta o užití mediánu jako charakteristiky souboru Medián se používá místo průměru, jsou-li splněny následující podmínky: 1. Malý soubor do n = 20 prvků: 2. V souboru je jedna či více hodnot extrémní, tj. podstatně vybočuje (více než dvakrát) nad nebo pod úroveň ostatních.
