De studie van de Gaussische straal en de analyse van lasermodes

Hoofdstuk 4 De studie van de Gaussische straal en de analyse van lasermodes Inleiding In het vorige hoofdstuk hebben we formules afgeleid voor de elektromagnetische golf die in een caviteit met twee gekromde spiegels mag verwacht worden. Verdere studie van deze Gaussische bundel laat toe een aantal interessante eigenschappen van de laserstraal te leren kennen (evenwijdigheid, openingshoek, vermogendichtheden enz..). Bovendien zullen we zien dat er in een caviteit met twee gekromde spiegels ook enkele andere veldverdelingen mogelijk zijn, naast de Gaussische, die zeer bijzondere eigenschappen hebben. A. Gedetailleerde beschrijving van de Gaussische straal Na enkele wiskundige omzwervingen hebben we in hoofdstuk 3 volgende beschrijving gevonden voor een Gaussische straal die zich in de z-richting voortplant. r 1

U(x,y,z)

=

U • 0

1+(z/b)

-----------w

---------

2

2 0

z -jk z + jbgtg (z/b)- j 0

2 [1+(z/b) ]

• e

b

r

2

•-----------w

2 0

2 2 (1+ z /b )

• e

2

(3-29)

1

2

3

4

5

Om het verloop van de gaussische bundel grondig te leren kennen, bestuderen we de vijf onderdelen van deze formule.

1) Deze term geeft aan hoe de amplitude van de veldsterkte op de as verandert met de afstand z. Immers |U(0,0,z)| vereenvoudigt tot: 1

|U(x,y,z)|

=

U • 0

--------1+(z/b)

2

(4-1)

[termen 3, 4 en 5 zijn slechts relevant voor wat het faseverloop betreft, term 2 is overal gelijk aan één voor punten op de z-as]. Optische communicatie v2008

Jan Engelen

4- 1

U

Uo

0.7Uo

0 -8

-b

b

z

Rayleigh zone

Fig 4-1 Vertrekkend van de oorsprong (z=0) zien we (fig. 4-1) dat de intensiteit aanvankelijk constant blijft en gelijk aan U02. Voor z = b treedt een soort kantelpunt op. Daarna neemt de intensiteit op de as kwadratisch af met z. Dit hoeft ons natuurlijk niet te verwonderen omdat de bundel bij toenemende z een grotere dwarsdoorsnede krijgt (zie hieronder) en bij gelijkblijvend vermogen moet de amplitude op de as dus wel afnemen. Het gedeelte van de straal tussen +b en -b noemt men de Rayleigh zone. 2) De term nr 2 is een amplitudefactor (3,4 en 5 zeggen iets over de fase) en beschrijft het amplitudeverloop dat we in elk transversaal vlak aantreffen. Dit verloop is Gaussisch en de breedte van de Gausscurve is bepaald door de noemer van de exponent (en verandert dus met z). 1

1/e

0 -2w

2w

o

o

Fig 4-2 Voor de verdere studie van term 2, verwijzen wij naar het artikel van Kogelnik & Li1.

1

Kogelnik & Li, "Laser beams and resonators", Proc. IEEE, vol 54, pp.1312-1329 (1966); Deze tekst is beschikbaar via http://kuleuven.be/optische_communicatie

Optische communicatie v2008

Jan Engelen

4- 2

De bundeldiameter heeft een hyperbolisch verloop naar z. Voor grote afstanden z heeft men twee asymptoten en lijkt de bundel dus kegelvormig. Men vindt die asymptoten als limiet van w2(z) = wo2 [ 1 + (z / b)2 ]

(4-2)

voor grote z. nl. w0 λ w(z)= ± -- . z = --- .z b πwo De openingshoek (althans in een plat vlak, niet de ruimtehoek) van deze bundel is dan ook: θ = 2 λ/π w0 3) Deze term geeft ons een fasevertraging bepaald door de afstand van het punt (x,y,z) tot de oorsprong, geprojecteerd op de as van de straal. Deze faseterm zou ook bij een echte vlakke golf voorkomen. 4) Deze faseterm (op de as) geeft een extra fasecorrectie tussen de theoretische vlakke golf (punt 3) en de Gaussische bundel. Deze correctie gaat van 0° in de oorsprong tot 90° voorijling in het verre veld (bgtg ∝.= 90°). Dit is zeer typisch voor de Gaussische bundel. In punt C. zullen we zien dat deze term ook de oorzaak is van verschuivingen van de eigenfrequenties van een caviteit. 5) Deze term beschrijft het faseverloop dwars op de voortplantingsrichting als functie van de afstand r tot de as. Immers voor de noemer geldt: 2 bw 0 2 2 ---- (1 + z /b )= z

b.2b

z

2

---- (1 + --) 2 z.k b


2

b

2

= -- .z.(1 + --) 2 k z

Jan Engelen

4- 3

De correctie is dus van de vorm2:

r2 k.--2R

Dit is precies het faseverschil tussen een sferische golf (met straal R) en een vlakke golf (zie fig. in voetnoot 31 van hoofdstuk 3). Voor een verdere studie van de kromming van de Gaussische straal verwijzen wij naar de practica. B. Transversale modes Zoals in hoofdstuk 3 aangegeven werd, kunnen de Gaussische longitudinale modes gevonden worden uit het oplossen van een partiële differentiaalvergelijking. Hiervoor werden (zie form.: 3-18) oplossingen van de vorm

u = Ψ(x,y,z).e

(− j kz)

voorgesteld. Het is intussen echter gebleken dat er nog algemenere oplossingen bestaan omdat ook het product u = A(x, y, z). Ψ(x,y,z).e (− j kz)

aan de Schrödinger vergelijking voldoet als A één van de volgende veeltermfuncties is: 1. Hermite polynomen3 Hermite polynomen worden in een orthogonaal x-y assenstel gedefinieerd. Ze bestaan in verschillende "orden" (zie ook ref.1) De Hermite polynoom van orde nul is een constante. Vandaar dat in dit geval de fundamentele Gaussische mode teruggevonden wordt. De Hermite veelterm van eerste orde is een lineaire functie, voor de tweede orde vindt men een kwadratische functie enz.

2 3

2 Immers R(z) = z [ 1 + (b/z) ] (zie hoofdstuk 3 formule 3-28) http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html en Abramowitz and Stegun eds, "Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables", New York, Dover Publications, xiv, 1046 p. illus. (1965)


Jan Engelen

4- 4

Verdere voorbeelden: H0 (x) = 1 H1 (x) = 2x 2

H2 (x) = 4x − 2 H3 (x) = 8x 3 − 12x H4 (x) = 16x 4 − 48x 2 + 12

2. Laguerre polynomen Laguerre-polynomen worden in een cirkelsymmetrisch assenstel gedefinieerd. Ze hebben een radiaal (p) en een transversaal (l) modegetal. (zie ook ref. 1) Voorbeelden4: Ll0 (x) = 1 l

L1 (x) = (l + 1) − x Ll2 (x) = 12 (l + 1)(l + 2) − (l + 2)x + 12 x 2

Het effect van deze polynomen op de Gaussische golfvorm is zeer ingrijpend (voor ordes groter dan 1). Enkele foto's van hoger orde modes vindt men o.m. in het artikel van Kogelnik en Li, bij de labonota's over de Fabry Pérot en op de website vermeld in voetnoot 4. Onderstaande figuur geeft het effect van de vermenigvuldiging van een Gaussische curve met de Hermite polynoom van eerste orde: 3

2

1 Series1 Series2 Series3 Series4

0

-1

-2

-3

4

http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html en ook het boek van Abramowitz (zie voetnoot 3)


Jan Engelen

4- 5

3 Fractale modepatronen Een Nederlands-Engels onderzoeksteam ontdekte in 1999 bij de studie van het ruisgedrag van een onstabiele resonator van een HeXe laser met hoge versterking het bestaan van complexe modepatronen die overeenstemmen met fractalen. De lichtvlek van een dergelijke laser vertoont de kenmerken van die fractalen, o.m. de gelijkvormigheid bij het opvoeren van de vergroting. De verklaring hiervoor is nog niet duidelijk: men vermoedt dat het samenhangt met quantumruis die in de caviteit lekt.5

5

O. Graydon, "Kaleidoscope laser emits modes of fractal patterns", Opto-Laser Europe, p. 5 (October 1999) Zie ook de pagina "LASER MODES" in de rubriek "extra informatieve webpagina's" op de website http://kuleuven.be/optische_communicatie


Jan Engelen

4- 6

C. Frekwentieverschuivingen in een resonator met gekromde spiegels Wij hebben in hoofdstuk 3 gezien dat het bestaan van Gaussische modes in een resonator impliceert dat er extra faseverschuivingen t.o.v. de vlakke golf voorkomen (termen 3 en 4 in formule 3-29). Deze hebben frequentieverschuivingen als resultaat. Immers, indien we eisen dat in een caviteit een stabiele mode ontstaat, moet de faseverschuiving bij een volledige rondgang door de caviteit een veelvoud van 2 π zijn. Dit levert ons voor een halve doorgang: kz2 - bgtg (z2/b) -( kz1 - bgtg (z1/b)) = q. π met q = 0, 1, 2... (q niet te verwarren met de q-faktor uit Hoofdstuk 3 !) of k.(z2 -z1)

-

[bgtg (z2/b)- bgtg (z1/b)] = q. π

Hieruit volgt, na enige berekening, dat de mogelijke frequenties gegeven worden door:

υq =

c ⎜⎛ 1 L L ⎟⎞ q + bgcos (1− )(1 − ) π 2L ⎝ R1 R2 ⎠

Deze uitdrukking verfijnt de eenvoudiger uitdrukking voor de resonante frequenties in een caviteit met vlakke spiegels, n.l.

υ q = q.

c 2L

Deze situatie is toegelicht in volgende figuur:

q.c/2L

(q+1).c/2L

theor. frekw.

(q+2).c/2L

ν

eff. frekw.


Jan Engelen

4- 7

In deel B. hebben we kennis gemaakt met de hogere orde transversale modes. Het blijkt (zie bv. het artikel van Kogelnik en Li / ref. 1) dat het effect van de Hermite en Laguerrepolynomen (hoger aangegeven voor het amplitudeverloop) ook in de fase meespeelt. De uitdrukking voor de resonantiefrequenties in een caviteit moet daarom verfijnd worden tot:

υq =

c ⎜⎛ 1 L L ⎞⎟ q + (1 + m + n)bgcos (1 − )(1 − ) 2L ⎝ R1 R2 ⎠ π

voor de Hermite modes met modegetallen m en n. en tot :

υq =

c ⎜⎛ 1 L L ⎞⎟ q + (1 + 2p + l)bgcos (1 − )(1− ) 2L ⎝ R1 R2 ⎠ π

voor Laguerre modes met modegetallen p en l. De hogere orde transversale modes van een caviteit blijken dus in het algemeen frequenties te hebben verschillend van de 0-0 mode. De verschuiving is afhankelijk van de caviteitsstructuur. Opgave: teken de meetkundige plaatsen van constante frequentieverschuiving in het stabiliteitsdiagramma van Kogelnik.


Jan Engelen

4- 8

D. Analyse van lasermodes Inleiding De modes van een laser liggen in het frequentiegebied, relatief gezien, dicht bijeen. Voor een spiegelafstand van één meter is de longitudinale modeafstand 150 MHz. De transversale modes hebben frequentieafwijkingen die slechts een fractie van de longitudinale modeafstand zijn. Vandaar dat de golflengte analyse van de laserstraling een filter met een doorlaatband van bv. 10 Mhz vereist. In verhouding tot de centrale frequentie (ong. 400 Thz voor zichtbare lasers) is dit een zeer hoge resolutie: 10.10+6/400*10+12 = 1 op 40 miljoen. Geen enkele klassieke monochromator (met prisma of met diffractierooster) voldoet aan dergelijke eisen. Het antwoord op deze vraag kan echter al vermoed worden: we bestudeerden al de modes van de lasercaviteit en het is gebleken dat een zgn. multiple pass interferometer deze resolutie wel aan moet kunnen. Het verschil in resolutie met de monochromator komt daaruit voort, dat deze laatste werkt met een enkelvoudige interferentie terwijl het spiegelsystemem van een laser (of een Fabry Perot6) gebruik maken van meervoudige weerkaatsingen. Dit feit was al lang voor de komst van de laser bekend (zie historische nota over Fabry en Perot in 7). We betalen hiervoor echter een (kleine) prijs: multiple pass filters hebben een reeks doorlaatbanden en moeten dus als kamfilters aanzien worden. Als we het effect van de verschillende doorlaatbanden kunnen minimaliseren (bv. door toevoegen van extra klassieke filters of door de lengte van de caviteit zodanig te kiezen dat slechts een van de "tanden" van de kam binnen de verwachte bandbreedte van de bron valt) dan zijn ze wel te gebruiken. Principe Het principe van het onderzoek van de laserbundels is dan als volgt: Men laat de laserbundel invallen op een Fabry Perot caviteit waarvan men de lengte verandert en, op die manier, de centrale doorlaatfrequentie. Indien de spiegels van de Fabry Perot caviteit gedeeltelijk energie doorlaten zal zich binnen de caviteit bij

6 7

Een Fabry Perot met planparallelle platen wordt meestal een "etalon" of "Fabry Perot etalon" genoemd Born & Wolf, "Principles of Optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light" , by Max Born and Emil Wolf; with contrib. by A.B. Bhatia [et al.], XXVIII, 808 p., 19 p. pl, ISBN 0-08-026482-4, Oxford [etc.] : Pergamon Press (1980)


Jan Engelen

4- 9

de doorlaatfrequenties ten gevolge van de meervoudige reflecties een hoog elektromagnetisch veld opbouwen. Hiervan wordt dan weer een gedeelte doorgelaten.

1 mW

0.01 mW

0.0001 mW

0.99 mW Fabry Perot buiten resonantie

1 mW

100 mW

1 mW

Fabry Perot bij resonatie Vermogentransmissie bij de Fabry Perot caviteit De transmissie van een Fabry Perot (rekening houdend met de meervoudige reflecties) is gegeven door:

IT 1 = Iin 1 + Fsin 2 (Φ / 2) met F=

4R (1 − R)2

en Φ=

4 πυd c

R is de reflectiecoëfficiënt van één spiegel en Φ de afwijking van de resonantie toestand (in radialen)


Jan Engelen

4- 10

We zien onmiddellijk dat de transmissie van de Fabry Perot maximaal is als Φ/2 = m.π met m een geheel getal. Dit is equivalent met:

2. π . υ.d = m. π c of

υ = m.

c 2d

een ons welbekende formule.

It Iin

Φ Men stelt dus vast dat de maximale transmissie bij alle reflectiepercentages bereikt wordt, maar dat de breedte van de transmissiepiek daalt met toenemende reflectie. Wenst men dus een nauwbandige Fabry Perot, dan moet men spiegels met hoge reflectie gebruiken. Een interessante factor bij de FP is de verhouding van de modeafstand (Engels: FSR/free spectral range) tot de breedte van een transmissiepiek8. Immers deze verhouding geeft bij benadering aan hoeveel tussenliggende pieken onderscheiden kunnen worden.

8

hiervoor geldt (in radialen):

ΔΦ =

4 1−R =2 F R


Jan Engelen

4- 11

Bovenstaande verhouding wordt de finesse ( aan de reflectiecoëfficiënt via:

F =

F ) genoemd. De finesse is gekoppeld9

2π ΔΦ

en dus

F =

π 2

F =

π R 1− R

Voorbeeld: Een Fabry Perot met lengte 5 cm en spiegeltransmissie 1 % heeft een bandbreedte (in radialen) van:

ΔΦ = 2

0.01 1−R = 2. ≈ 0.02 rad 0.99 R

c 3.10 8 = = 3 GHz 2d 0.1 0.02 Bandbreedte = . 3 GHz = 9.54 MHz 2π en Finesse ( F ) =

π R

=

π 0.99

1− R 1 − 0.99

= 314

Meettechnisch volstaat het dus om de energietransmissie door de FP te meten om te weten of de caviteit in resonantie is bij het invallende licht. Door de lengte van de FP te wijzigen (bv. met behulp van een spiegel gemonteerd op piëzo-elektrische kristallen) kan men het kamfilter bij verschillende golflengten laten werken. De scanning Fabry Perot In deze zogenaamde "scanning Fabry Perot" tasten de resonanties van de analysator het frequentiespectrum af. Telkens zij een lasermode ontmoeten, komt de FP in resonantie. Dit is te merken aan de toegenomen lichtoutput. De spanning toegevoerd aan de piëzo-elementen is lineair evenredig met de centrale frekwentie van de FP. Immers: 9

Born&Wolf, op.cit, 328 Laufer, "Introduction to Optics and Lasers in Engineering", Cambridge University Press, ISBN 0-521-45233-3 (1996) [LIBIS 6729239]


Jan Engelen

4- 12

Als

υ = m.

c 2d

en d = d 0 + s.V geldt:

υ = m. = m.

c 2(d 0 + s.V)

c s .(1− .V ) 2d0 d0

Fabry Perot met gekromde spiegels: eigenmodeproblemen Het gebruik van een FP met gekromde spiegels om de modes van een laser te detecteren heeft toch nog enkele extra problemen. Immers, een FP heeft niet alleen verschillende longitudinale modes als eigenmodes, maar ook een reeks transversale, die bij tussenliggende frequenties te vinden zijn. Een veldverdeling (Gaussisch of niet) die aan een FP toekomt, wordt altijd ontbonden in een gewogen som van alle eigenmodes van die caviteit. i.p.v. een aftastfilter met volgend verloop c/2d

L

c/2d

c/2d

L

L

L

ν

blijkt het kamfilter nu volgend spectrum te hebben c/2d

c/2d T

T

L

c/2d

L

T

L


L

ν

Jan Engelen

4- 13

Het aftasten, zelfs van een simpel laserspectrum, zal nu een hele reeks resonanties veroorzaken waardoor de eenduidigheid van de frequentiebepaling verloren zal gaan. Oplossing van het eigenmodeprobleem bij Fabry Perot analyse Er zijn een tweetal remedies bekend om hogervermeld probleem te omzeilen a) mode aanpassing Indien men er vanuit kan gaan dat het bundelprofiel van de laser Gaussisch is, dan kan men dit profiel met een lens omzetten in het Gaussisch bundelprofiel van de FP. In dat geval kan elke binnenkomende mode slechts in één FP mode omgezet worden. Men moet er dus voor zorgen dat alleen díe transversale modes van de analysator opgewekt worden die ook in de laserstraal aanwezig zijn. Daartoe moet men aan de invallende laserstraal een gepaste diameter en aan zijn golffront een gepaste kromming geven. De techniek van "het aanpassen" bestaat erin: • de twee caviteiten te aligneren en dan • een lens te plaatsen op de juiste plaats: dit is de plaats waar de transversale profielen van de twee bundels elkaar snijden en • de krommingen in elkaar om te zetten door een lens met de gepaste brandpuntsafstand.(zie kadertekst en Kogelnik & Li, op.cit. )

Als een punt a door een lens afgebeeld wordt in een ander (punt b, zie figuur hieronder) dan heeft de lens de kromming van de sferische golf, zoals die op de lens toekwam, omgezet in een kromming (van tegengesteld teken) zodat de golf terug convergeert in een punt b. Volgens de lenswet is 1/A +1/B= 1/f. In ons geval is R1=A en R2=B en dus geldt:

1 1 1 R1 − f = − = R2 f R1 f . R1 ⎛ f ⎞ ⎟ R2 = R1 . ⎜ ⎝ R1 − f ⎠

a

A

B

b

Deze techniek is verder toegelicht in 10

10

G.E. François, F.M. Librecht, J.J. Engelen: "Mode matching with a single thin lens", Applied Optics, 10, No. 5, pp. 1157-1159 (1971)


Jan Engelen

4- 14

b) confocale FP Een tweede, zeer veel toegepaste techniek bij FP analyse is gebruik te maken van een confocale caviteit voor de analysator. Een confocale caviteit heeft immers het voordeel dat alle transversale modes op een afstand c/4L van elkaar liggen en dus ofwel samenvallen met longitudinale modes ofwel er halfweg tussen liggen. De FSR wordt dus weliswaar gehalveerd maar daarentegen vervalt het modeaanpassen. Dit is een grote verbetering want correcte mode-aanpassing volgens a) vereist zowel voorkennis van de laser- als van de FP-bundelprofielen. Nog even dit : l) Ook een sferische caviteit vertoont degeneratie (d.i. samenvallen van de hogere orde modes) en dit met modeafstand c/2L. Toch wordt zij niet gebruikt. De reden is duidelijk uit het stabiliteitsdiagramma van Kogelnik. De confocale caviteit blijft in het stabiele gebied bij een verandering van L, de sferische ligt helemaal op de rand van de stabiliteitszone en men zal dus altijd L<2R moet kiezen om de stabiliteit te waarborgen. Daardoor heeft de sferische caviteit meer verliezen, vandaar een grotere bandbreedte en dus een kleinere finesse dan de confocale FP. 2) Samenvattend kunnen we stellen dat de lasermode-studie meestal zal verlopen met een aftastende, confocale Fabry Perot (scanning confocal FP). Experimentele technieken worden verder toegelicht in de labonota’s over modestudies. 3) Het Fabry Perot Etalon De Fabry Perot interferometer is sinds lang een bekend apparaat. In zijn meest elementaire en klassieke vorm bestaat hij uit twee vlakke spiegels (die echter een zekere doorlaatbaarheid hebben) of uit een glazen plaatje (planparallelle plaat) waarvan de oppervlakken spiegelend gemaakt zijn. De vlakke structuur heeft weliswaar vrij hoge diffractieverliezen maar anderzijds kan men de spiegels ook vrij groot maken en de caviteit zeer kort houden. De eigenfuncties van zo’n Fabry Perot zijn dan vlakke golven onder verschillende hoeken. Een klassieke toepassing van de vlakke Fabry Perot bestond in het meten van golflengteverschillen tussen een gekende referentie lichtbron (spectraallamp) en een andere met onbekende golflengte. Men kon dan in één beeldvlak twee sets Optische communicatie v2008

Jan Engelen

4- 15

interferentiepatronen (met halve ringen) creëren en tegelijk bestuderen: uit de verschuiving tussen de lijnen kan men immers het golflengteverschil afleiden. 4) Tot de modernere toepassingen van de Fabry Perot behoren de golflengte-selectieve filters in kleurstoflasers en het gebruik in monochromatische HeNe lasers (zie aldaar). Dikwijls is deze FP in een thermostatisch systeem opgenomen omdat zijn kamvormige doorlaatband erg temperatuursgevoelig is (via de temperatuursinvloed op de lengte L).11

11

Zie ook: http://repairfaq.ece.drexel.edu/sam/CORD/leot/course10_mod05/mod10-05.html


Jan Engelen

4- 16

HOOFDSTUK 4 .............................................................................................................................................................1 DE STUDIE VAN DE GAUSSISCHE STRAAL EN DE ANALYSE VAN LASERMODES ................................1 INLEIDING ..................................................................................................................................................................1 A. GEDETAILLEERDE BESCHRIJVING VAN DE GAUSSISCHE STRAAL..................................................................1 B. TRANSVERSALE MODES .......................................................................................................................................4 1. Hermite polynomen ............................................................................................................................................4 2. Laguerre polynomen ..........................................................................................................................................5 3 Fractale modepatronen .......................................................................................................................................6 C. FREKWENTIEVERSCHUIVINGEN IN EEN RESONATOR MET GEKROMDE SPIEGELS ........................................7 D. ANALYSE VAN LASERMODES..............................................................................................................................9 Inleiding .................................................................................................................................................................9 Principe ..................................................................................................................................................................9 De scanning Fabry Perot .....................................................................................................................................12 Fabry Perot met gekromde spiegels: eigenmodeproblemen ................................................................................13 Oplossing van het eigenmodeprobleem bij Fabry Perot analyse.........................................................................14


Jan Engelen

4- 17

De studie van de Gaussische straal en de analyse van lasermodes

Recommend Documents