De stelling van Castigliano Janssen, Jan
Gepubliceerd: 01/01/1967
Document Version !!Publisher's PDF, also known as Version of record Link to publication
Citation for published version (APA): Janssen, J. D. (1967). De stelling van Castigliano. (DCT rapporten; Vol. 1967.016). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.
General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Download date: 22. Dec. 2015
TECHNISCBE HOGESCHOOL EINDHOVEN NEDERLAND AFDELING DER W E R K T U I G B O ~ E LABORATORIUM VOOR TECHN%SCHE MECHANICA
TEGHNOLOGIGAL UNIVERSIW EINDHOVEN NETHERLANDS DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING LABORATORY OF ENGINEERING MECHANICS
De stelling van Castigiiano
door
J.D.
T.H. - Report
Janssen
WE 67
-
16
Samenvatting. De stelling van Castigliano wordt gebruikt om uitspraken te doen over verplaatsingsgrootheden bij balkconstructies. De 'gebruikelijke formulering van deze stelling heeft een aantal nadelen, die het onmogelijk maakt dat deze stelling terecht in een aantal situaties wordt gebruikt. Aangetoond wordt dat in een aantal gevallen toepassing van de stelling principieel onjuist is. (Ook al zijn de uiteindelijke resultaten in orde.) De stelling van Castigliano wordt zodanig uitgebreid en geformuleerd,dat een veel ruimere toepassing mogelijk wordt.* De benodigde resultaten worden verkregen door een specialisering van het principe van minimale complementaire energie en door een direct op het doel gerichte werkwijze. (Dit rapport is een samenvatting van een gedeelte van rapport WE 65 - 12)
Inhoudsopgave.
i. De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano
1
2 . Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano
5
3. Cómplementaire elastische energie
7
4 . De uitgebreide stelling van Castigliano
11
5. Bewijs van de uitgebreide stelling van Castigliano zonder gebruik te maken van variatieprincipes
13
6. Enige toepassingen van de uitgebreide stelling van Castigliano
15
1.
De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano. De hier bedoelde stelling werd door Castigliano zelf aangeduid als "het tweede gedeelte van de stelling over de afgeleide van de vervormings arbeid". Beschouwd wordt een elastisch lichaam dat belast wordt door n geconcentreerde krachten (of koppels) Pi (i =
..., n).
1,
De arbeid-absorberende component van de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de kracht P. wordt f. genoemd. 1
1
Wordt de vormveranderingsenergie die in het lichaam opgehoopt is, U genoemd en wordt U berekend als functie van P
1'
...,
Pn, dan luidt de
stelling van Castigliano: 3U(P1>
..., 'n)
api
- fi
(i
=
i,
..., n)
(1.1)
Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Voor de vormveranderingsenergie geldt:
u
=
4
P.f.
1 1
(sommatieconventie!)
(1.2)
Het verband tussen de verplaatsingsgrootheden en de krachtgrootheden kan gegeven worden als
Substitutie van (1.3) in (1.2) levert:
u Uit (1.4)
=
I 2
01
ij
P.P, I J
volgt direct de te bewijzen stelling:
- 2 -
De stelling wordt meestal ook gebruikt wanneer behalve geconcentreerde krachten ook nog verdeelde oppervlakte- of volumekrachten op het lichaam inwerken. De hiervoor gegeven afleiding moet dan enigszins worden gemodificeerd. Bij het differentiëren van de vormveranderingsenergie - die nu uiteraard ook een functie van de verdeelde belasting is
- moet
deze belas-
ting constant gehouden worden. De in ( 1 . 1 )
geformuleerde stelling bezit veel meer beperkingen dan
hiervoor expliciet vermeld is. Voldaan moet worden aan de volgende eisen: a. het materiaalgedrag is lineair (zie (1.3)) b. de optredende verplaatsingen zijn "klein" (zie (1.3)
en ( 1 . 2 ) )
c. in onbelaste toestand is het lichaam spanningsloos (zie (1.3)) d. beweging als star lichaam moet verhinderd zijn (anders is f. niet 1
eenduidig te bepalen) , e. alle ondersteuningen zijn star en spelingsloos Het is duidelijk dat het voor een zinvolle toepassing van de stelling noodzakelijk is dat U inderdaad expliciet bepaald kan worden als functie van P
I'
..., Pn. Voor balkconstructies is dit - soms met
behulp van
een aantal kunstgrepen - mogelijk. Een zinvol gebruik is dan mogelijk bij de bepaling van de verplaatsing van een bepaald punt in een bepaalde richting. Een gevolg hiervan is dat deze stelling een geschikt hulpmiddel is bij het bepalen van steunpuntsgrootheden bij statisch-onbepaalde constructies. Voor een paar veel voorkomende situaties geven wij in het kort aan op welke wijze de stelling gebruikt kan worden.bij de berekening van interessante grootheden. De volgende beschrijving houdt meteen het opheffen in van een aantal beperkingen. Zonder op dit ogenblik een bewijs te geven, vermelden wij dat niet-lineair elastisch materiaalgedrag het noodzakelijk maakt de vormveranderingsenergie U te vervangen door de complementaire energie,'U dan luidt:
au*- - fi _ api
zodat de stelling
- 3 -
Voor uitwendig statisch onbepaalde constructies worden zoveel van de uitwendig statisch. onb~epaaldë::;: grootheden (zeg: m) als belastingsgrootheden beschouwd, dat de overblijvende constructie statisch-bepaald is. Deze kkrachten worden Qi (i = 1, ..., m) genoemd. Op deze constructie wordt de stelling van Castigliano toegepast, waarbij de vormveranderingsenergie een functie is van P1,
..., Pn, Q,, ..., Qm.
Vanwege de starre ondersteuningen zijn de arbeid-absorberende componenten van de grootheden Q. nul. Er geldt dus: 1
au*' aQi
O (i
=
=
Uit de m vergelijkingen uit! O
Qi = Qi (Pl,
i,
..., m)
(15:6) volgt:
..., Pn)
(i = 1,
..., m)
Bovendien geldt:
au"
=
(äq)
- O
Qj
=
f. (i 1
=
1,
..., n; j = 1, ..., m)
Qj
Wanneer bepaalde ondersteuningen elastisch zijn, is een geschikte werkwijze te verkrijgen door deze elastische ondersteuningen als een gedeelte van de constructie op te vatten. De inwendig statisch onbepaalde grootheden-voor inwendig statisch onbepaalde constructies worden gezien als belastingsgrootheden van een constructie die door geschikte snedevlakken en aangepaste verbindingen tussen de oevers van de snede te verkrijgen is uit de oorspronkelijke constructie. De inwendig statisch onbepaalde grootheden noemen wij R. (i 1
= 1,
..., r).
Zowel op de rechter- als op de linkeroever van de snede is een kracht,genaamd R. aanwezig. Het onderscheid tussen beide grootheden duiden wij aan met R.1 t l ) en Ri ('). beschouw
i
U
De gebruikelijke redenering is:
(P l... ,Pn, R,.
..,Rr).
- 4 -
Er geldt (formeel wiskundig):
(géén sommatie) Deze twee laatste termen worden met een beroep op de stelling van Castigliano - zonder commentaar
-
gerdentificeerd als de arbeidabsorberen-
de componenten van de verplaatsingen van het aangrijpingspunt van R.1 ( 1 )
resp. R. (2) . 1
De aansluitvoorwaarde leert dan:
'
-au- aRi
O (1,
..., r)
(1.10)
Onze bezwaren tegen deze werkwijze zullen hierna ter sprake komen. Bij symnetrisch of antimetrisch belaste symmetrische constructies leveren symmetriebeschouwingen grote voordelen. Dit brengt essentieel mee, dat de meeste belastingskrachten in paren voorkomen. Vaak wordt gebruik gemaakt van eenzelfde formele weg als hiervoor is aangegeven. Toepassing van de stelling van Castigliano, gecombineerd met symmetriebeschouwingen is niet altijd geoorloofd.
- 5 -
2. Nadelen van de klassieke stelling van Castigliano. a. Veel constructies zijn niet of niet kinematisch bepaald ondersteund. Het aanbrengen van de ondersteuningen vereist reeds enig inzicht in de optredende verplaatsingen. Een ondersteuning die bij een bepaald type L/
belasting de beweging als star lichaam verhindert, is vaak niet vol-
*'~,
doende (bijv. bij bepaling van inwendag statisch onbepaalde groothe-
I''
den, zie ook b).
b. De redenering die leidt tot de vergelijkingen voor de inwendig statisch onbepaalden, is gebaseerd op formele operaties en dient vergezeld te gaan van een gecompliceerde gedachtengang (zie (1.10).
Bij de geana-
lyseerde constructie kan helemaal niet direct geconstateerd worden dat OP
au % (1)
au
Ri
* (2)
en
de stelling van Castigliano kan worden toegepast.
Ri
Immers wanneer R.") 1
# Ric2), zoals tijdens het differentiatieproces
optreedt, moet onderzocht worden of het evenwicht gegarandeerd is door de reeds aanwezige ondersteuning. Anders is de stelling immers niet meer hanteerbaar. In veel gevallen is niet aan het evenwicht voldaan. c. Bij het gebruiken van symmetrierelaties moet om Castigliano toe te passen tijdelijk deze symmetrie buiten beschouwing worden gelaten. Slechts één van de krachtgrootheden van een paar wordt immers gevarieerd. Dit betekent dat in wezen alle conclusies die met de symmetrierelaties kijn
getrokken, tijdelijk buEten beschouwing dienen te blijven.
Een consequentie hiervan is, dat in- en uitwendig.statisch onbepaalde grootheden die, gebruik makend van de heersende symmetrie, toch bepaald konden worden, weer als onbekende grootheden optreden of dat de constructie gewijzigd moet worden om van de bekende relaties gebruik te mogen blijven maken. Het is uit didactisch en uit wetenschappêlijk oogpunt ontoelaatbaar deze moeilijkheden te verdoezelen door formele wiskundige operaties waarbij zonder commentaar de partiële afgeleiden van de complementaire elastische energie geïdentificeerd worden als verplaatsingen (door een beroep te doen op de stelling van Castigliano). Het is noodzakelijk steeds te onderzoeken of aan de gestelde hypothesen is voldaans
- 6 -
De gebruikelijke formulering van de stelling van Castigliano wordt reeds snel gezien als een formalisme, mede door het in b. en c. gesignaleerde formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermijdelijk dat degene die niet duidelijk de achtergronden van het formalisme beheerst, het formalisme verkeerd toepast. Wij hebben bijv. vaak geconstateerd, dat niet alle evenwichtsrelaties in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetrie gebruik gemaakt werd. e. De eis het lichaam voldoende te ondersteunen brengt vaak met zich mede dat de constructie zijn symmetrie verliest. Er is dan weer een extra redenering noodzakelijk om toch voordelig gebruik te maken van heersende symmetrie of antimetrie.
3 . Complementaire elastische energie.
De stelling van Castigliano is in wezen een specialisering van het algemene principe voor elastische materialen, dat de complementaire elastische enrgie voor bepaalde variaties van het spanningsveld stationair is. Wij zullen dit principe hier allereerst formuleren en afleiden. Wij werken daarbij in een orthogonaal Cartesisch coördinatensysteem en laten temperatuurspanningen buiten beschouwing. Wij veronderstellen verder dat het lichaam in rust verkeert. De volgende relaties en definities worden gebruikt:
ui "ij ij
: componenten verplaatsingsvector :
componenten rektensor
T
: componenten spanningstensor
fi
:
componenten volumekrachten
Tussen de rekgrootheden en de verplaatsingsgrootheden bestaan - ook voor niet-infinitesimale rekken - de volgende relaties:
'ij
=
1
(u.
1 , j + u. j,i
+
ui,j.uj,i)
(3.1)
De evenwichtsrelaties luiden:
Voor een elastisch lichaam bestaat er een "elastische potentiaal" U, die alleen afhangt van de begingeometrie en de rekstoestand (dus niet afhankelijk van de voorgeschiedenis). Relaties tussen spanningen en rekken (constitutieve vergelijkingen) zijn te geven als:
- 8 -
(3.3)
a2uO
Als det (
# O zijn deze relaties inverteerbaar, zodat geldt:
)
ayijaYkl
'ij
ij = f(T
)
(3.43
Afgeleid kan worden dat de "complementaire elastische potentiaal"
'U
O
'bestaat,gedefinieerd als:
(3.5)
zodat voor een elastisch lichaam in plaats van ( 3 . 3 ) ook gebruikt kan worden: Yij (U:
=
i
au%'' - +O-
a-,13
O
aTJ1
opgevat ais functie van T ij) .
De complementaire elastische energie wordt gedefinieerd als:
x
U
=
J"
vo 1
U*dV O
Er geldt:
Hierbij is gebruik gemaakt van het feit dat de spanningstensor en de rektensor symmetrisch zijn. ..
(3.7)
- 9 -
Als geldt:
yij =
I
(u.
3
i,
j
+
ui,
i) ,’ (“kleine” verplaatsingen!”)
(3.9)
gaat (3.8) over in:
.. 6ü* =
1J
~>
I
. ~ ~ l l d=V J (u;&~’~), jdV - I u . 6 ~ ., dV j vol vo1 1
u.
J
.. . .
..
vol
J
(3.10)
Gebruik makend van de stelling van Gauss in (3.10) en eisend dat
..
steeds aan het evenwicht voldaan blijft (dus 611J, j SU3:=
I
6~
ijui
OPP.
met p. = 1
T
. n.dS = J
I u.6pidS 1 OPP *
ij n : oppervlaktekrachten. j
=
O),
ontstaat: (3.11)
(3.12)
Opgemerkt dient te worden dat tijdens het variatieproces fi constant blijft. p is voorgeschreven en op S u en wanneer l i 2 i op S, nul wordt verondersteld, kan bovenstaande relatie geschrepi ven warden als:
Wanneer op het oppervlak S
ö(U* - J
si
u. pi dS) 1
ö(Uxx) = O
=
(3.13)
In de literatuur wordt U**soms ook aangeduid als de “complementaire elastische energie”, in tegenstelling met de hier gevoerde nomeclatuur. ~
Uit het voorgaande blijkt dat CUXr:
O voor alle variaties van het
spanningsveld waarbij voldaan blijft aan het evenwicht. Dit wil zeggen, dat tijdens het variëren voldaan moet blijven aan:
!
-
10
-
en
..
i'
=
r l J n op S I (p. gegeven uitwendige belasting)
j
1
Opgemerkt wordt dat op plaatsen waar u. is voorgeschreven (oppervlak 1 S ) p. wel gevarieerd kan worden. 2
1
- 11 4 . De uitgebreide stelling van Castigliano.
Wij beperken ons tot een elastisch lichaam (niet noodzakelijkerwijs lineair elastisch), waarin geen temperatuurspanningen optreden. In onbelaste toestand is het lichaam spanningsloos. De optredende verplaatsingen worden klein verondersteld. Het lichaam verkeert in rust. i Dit lichaam wordt belast door k geconcentreerde krachten N (i = 1 , en door de oppervlaktespanningen met componenten pi.
.., k)
De begrippen "kracht" en "verplaatsing" worden in een gegeneraliseerde betekenis gehanteerd, dit wil zeggen dat zij eveneens een "moment" en een "hoekverdraaiing" impliceren. Verondersteld wordt dat de ondersteuningen vervangen kunnen.worden door I
N). geconcentreerde krachten (deze krachten maken deel uit van i i De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van N noemen wij u (i = l , . . , Wanneer öpi = O wordt genomen, gaat (3.13) over in:
öU *
i
=
i
2 . öN-
(sommatie over i van
1,
..k)
(4.1)
met de eis dat bij dit variatieproces steeds voldaan blijft aan het
i i Wanneer wij alleen variaties van N in de richting van N beschouwen en de volgende definities invoeren: evenwicht.
i
O
P.1
(4 2)
= -N
i
i
u . N-
O
f. = 1
O
(géén sommatie)
(4.3)
P. 1
dan is
(4.1)
ook te schrijven als (4.4)
k)
- 12 Behalve de evenwichtsrelatiec kunnen bij dit variatieprobleem nog andere betrekkingen zinvol in rekening worden gebracht. Wij denken aan synnnetrierelaties en aan vergelijkingen die volgen uit het principe actie
=
reactie. Al deze relaties maken een indeling van de krach-
O
ten P. mogelijk in twee groepen: 1
a. onafhankelijk te variëren krachten : P. (i = 1 , 1
..., n)
o
bijbehorende verplaatsingen fi
=
f. 1
b. krachtens de gegeven reJiaties afhankelijk variërende krachten:
*
P. ' (i = i , 1
O
..., m)
x
bijbehorende verplaatsingen f. = fi 1
(Opm: n + m = k) De grootheden PT 'zijnfuncties van de grootheden P. krachtens de gestel1
I
de betrekkingen. De complementaire vormveranderingsenergie is dus te dl
schrijven als een functie van P. :U (P 1
Pn' P)
Naar aanleiding van de gegeven indeling is ( 4 . 4 ) uit te werken tot: (4.5)
Omdat alle Pi (i= i ,
..., n )
onafhankelijk te variëren zijn, volgt
hieruit:
au *
_ =
api
I
aPuk-
fi
fk + a ~. ;
Dit is de uitgebreide stelling van Castigliano
(4.6)
- 13 5. Bewijs van de uitgebreide Stelling van Castigliano zonder gebruik te maaiten ,~ van ,-.variatie .. principes^ s.
:1
~,
Het is mogelijk de uitgebreide stelling van Castigliano ( 4 . 6 ) af te leiden zonder expliciet gebruik te maken van variatieprincipes. Ofschoon de hier gevolgde weg veel minder elegant is dan de in 4 . gegeven afleiding, is het soms zinvol te beschikken over een iets primitiever bewijs van de stelling. De indeling van de krachten in twee groepen en de daaraan toegevoegde benamingen zijn identiek met die in 4 . Wij beperken ons tot lineair-elastische lichamen, waarvoor dus geldt:
u*'= u
(5.1)
Bekijk de twee belastingssystemen I en I.
P * , ..., Pi>
11.
...>Pn, P Y " ..., 1 , ..., P*m
,p
X Het gegeven verband tussen PT len Pi is hetzelfde als dat tussen APi
I
en APi. Beide systemen voldoen dus aan alle relaties. De elastische energie voor systeem I is:
Die bij aanwezigheid van I + 11:
u + -au api
. AP.1 + O
( A P ~ ~(géén ) sommatie)
(5.3)
Deze energie kunnen wij in de lineaire elasticiteitstheorie ook berekenen uit de superpositie van beide systemen, waarbij gebruik gemaakt kan worden van het feit dat de elastische energie gelijk is aan de door uitwendige krachten verrichte arbeid. Bij aanwezigheid van alleen systeem I1 geldt:
- 14 Het daarna aanbrengen van systeem I levert:
+
UI,
: aanvullingsarbeid) ( UI, I1
I1
Voor de aanvullingsarbeid geldt:
UI, I1
=
fiAPi + f? J
.
AP“; j
(5.5)
(géén sommatie over i; wel over j)
Er geldt dus dat de elastische energie voor systeem (I + 11) gelijk is aan: U + fiAPi + :f
, i
J
AP j *
I
-t
O (APi2)(géén
sommatie over i)
(5.6)
Gelijkstelling van beide uitdrukkingen voor de elastische energie in systeem (I + 11) levert (zie ( 5 . 3 ) en ( 5 . 6 ) :
__ au api
. AP. = f.AP. + fit . AP*j’I + O(APi 2 ) j 1
In de limset AP. 1
7’
1
1
O gaat ( 5 . 7 ) over in:
Het is duidelijk dat (5.8) identiek is met ( 4 . 6 ) .
(géén sommatie over i) ( 5 . 7 )
- 15
-
6. Enige toepassingen van de uitgebreide stelling van Castigliano.
In de in dit hoofdstuk vermelde voorbeelden zullen wii ons beperken tot vlakke balkconstructies, die bestaan uit lineair elastisch materiaal. De weergave der resultaten zal in een gestyleerde vorm plaats vinden. Wanneer een krachtgrootheid van een is voorzien, betekent dit dat deze grootheid afhankelijk is van de krachtgroctheden, die niet voor-
.
zien zijn van een
a.<-Berekeningvan de doorzakking van een statisch bepaalde constructie. Voorbeeld:
i '
Systeem isoleren van omgeving:
IP
Evenwicht:
; P2
P* = PF(P) 1
Vomveranderingsenergie: U = U (P, Pf (P), P2x (P))
Castigliano:
d U-- f + f dF
f
1
Geometrische conditie: f;' Resultaat:
dPf
-+f2 dP =
x f2
*
>c
dP2
dP
= o
dU dP
Een andere indeling der krachten is mogelijk:
I p*
- 16 Evenwicht :
Vorrnveranderingsenergie:
P2 (P,)
U = U (PP(Pl), P 1 , Pr(P1))
*EX-+ f*dPf
-du-
Castigliano:
*
; = ;P
P%+(Pl)
-
f, + f
dP1
2 dP1
dp 1
Geornettische condities:
Resultaat:
-dU-
- f
f
=o
?f
=f2
1
*
6dP
dP 1
dP 1
N.B. Wanneer nu P gezien wordt als functie van :P 1 dU dP,
-
dU dP*
dP* dP1
*
-d
+dP* dU f dP1 + = =
_ =
b. Bepaling van een statisch onbepaalde grootheid. Voorbeeld :
Systeem isoleren:
?i* Evenwicht:
x
* (P,, P4)
P2
= F2
P3
=
*
P3 (P1>P4)
Vormveranderingsenergie:
Castigliano:
U
=
+
ap; x -+f f2 ap4
-au_
ap4 f4
Geometrische condities:
x
f2
=
U (P
*
1'
p4) ~
3
f = f = O 3 4
ar3x
ap4
dan geldt:
Resultaat:
17
-
au = o ap4
P 4
P (Pl) 4
=
Ook de doorbuiging onder P, kan uiteraard berekend worden.
-au_
Castigliano:
-
fl
apl
*
*
+
ap2
f2 apl
+ f*
3
ap
'
3 apl
au
-=
Resultaat:
fl
apl
Het linkerlid bevat naast P ook P Met behulp I 4' van het hiervoor gevonden verband P = P4(Pi) 4 kan f uitgedrukt worden in PI.
1
N.B. Het is uiteraard mogelijk om,nadat via Castigliano P = P (P ) 4 4 1 bepaald is, P op te vatten als een afhankelijke grootheid.
4
U wordt dan louter een functie van PI. Deze weg verdient met
het oog op het uit te voeren werk geen aanbeveling. C.
Bepaling van een statisch onbepaalde bij gebruik van syrmnetrie-beschouwingen. Voorbeeld:
Systeem isoleren:
Syrmnetrie :
P51c
=
54 P3 ; P2
Evenwicht:
; p
=
p* = _
4
Vormveranderingsenergie:
=
% P4
2 U
=
U (P
I ' p3)
:18 Castigiiano:
-au =
-
*
f 3 + f IC ap2 + 2 3P3
ap3
* * 4 + 4 ap3 ap
f
*
a?*
* f
x ap5
5
ap3
*
IC apg
apqP
5 f21 -a p+2l f + 4 a p lf 5 apl + f
ap I
Geometrische ~
Synmetr ie
Resultaat:
condities:
)---
- o
-au_
f
3
= f
li
2
= f
3
P
ap3
eu _ apl
-
fl
d . Bepaling inwendig statisch onbepaalde.
Voorbeeld:
Evenwicht:
* =f5
4
.* = P1
P2
Snede aanbrengen. ??"
3
=o
=P@) 3
1
- 19
-
Pgx- = P3;
Actie = Reactie:
Vormveranderingsenergie:
P X = P4;
7
U = U ( P l , P3,
Castigliano (voorbeeld):
9%
P8
P4, P5)
*
96
ap6 + f% 6 ap5
= P5
+ f*
+4
aps
8 ä q
Gebruik afhankelijkheid Ster-grootheden:
*
ap?
ap
ap5
a pg
ap
’
apr
- = 6 = 7 0;- ==
1
ap5
ap5
Geometrische aondities (aansluitvoorwaarden):
*=o
f5 + f s
Wanneer wij de verplaatsing van de aangrijpingspunten van P
1
en P
2
ten opzichte van elkaar wensen te berekenen, dan gaan wij als volgt te werk: Castigliano:
Afhankelijkheaii Ster-grootheden: ap
*
ap; -_ ap? + _ 1 ; A =ap 1 ap 1 ap1
Resultaat:
-au _
-a -p r - o ap 1
*
- f l + f* (gezochte relatieve verplaatsing)
ap1
e. Bepaling inwendig statisch onbepaalde bij gebruik van synunetrie-beschouwingen.
- 20 -
"iit"
Voorbeeld:
Beschouwde systeem:
*
Evenwicht en symmetrie:
P 5% = p 1 (= -) 2
p2
U
Vormveranderingsenergie:
=
U (PI)
Castigliano:
-d*dP 1
- f l + f
Symmetrie:
* 2
dPr
dP1
+ f
*
*
f2
= f3
jc
=
x
f5
x
= f6
=
o;
- + fx
-
dP1
dP 1
6
dP6
*
f4 = f l
apt
Afhankelijkheid Ster-grootheden:
- = 1 ap 1
Resultaat:
-dA- - f + f.k 4 dP1 1
Met name in het laatste voorbeeld kan de constructie als star geheel bewegen. Voor de verplaatsingsgrootheden is in het voorgaande de situatie bekeken dat zij voldoen aan de symmetriebetrekkingen. Ook wanneer een beweging als star lichaam ten opzichte van deze sitaatie zou optreden, levert de uitgebreide stelling van Castigliano in het geheel geen moeilijkheden.
T.H.E. wE-67/ 16.
De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o T o e l i c h t i n g op s t e l l i n g 9 b i j h e t p r o e f s c h r i f t llOver de t o r s i e t h e o r i e van V l a s o v voor dunwandige rechthoekige kokers", S t e l l i n g ; 9: De s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o d i e gewoonlijk bewezen wordt met behulp
van het p r i n c i p e van minimale complementaire energie kan zodanig worden gemodificeerd d a t de bruikbaarheid a a n m e r k e w toeneemt. De gebruikelbke formulering van de s t e l l i n g van Castí&l.i.&no
(door
C a s t i g l i a n o z e l f aangeduid als -het tweede gedeëlte v a n - d e s t e l l i n g
o v e r de a f g e l e i d e van de vervormingsarbeid";
C a s t i g l i a n o beperkte
z i c h t o t de l i n e a i r e e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e j.
Gegeven i s een e l a s t i s c h lichaam; h e t o n b e l a s t e lichaam is spanningsl o o s ; er t r e d e n geen temperatuurspanningen op; de optredende v e r p l a a t singen zijn "klein"; h e t lichaam i s kinematisch bepaald ondersteund zodat geen beweging als star lichaam op kan treden, A l l e ondersteuningen z@ star en zonder s p e l i n g . D i t lichaam wordt ondermeer b e l a s t door een aantal geconcentreerde Bij i e d e r e k r a c h t behoort een andere , . , P..* krachten, aangeduid als P l .
wemde van i. De arbeidabsorberende component van d e v e r p l a a t s i n g van h e t aangrijpingspunt van de kracht Pi heet f i ( i = 1, . . . . B n). De complementaiEe e l a s t i s c h e e n e r g i e U* i s o.a. een f u n c t i e van P.(i =
n) en v e r d e r van de e v e n t u e e l aanwezige oppesvlakte-
1
k r a c h t e n ( h i e r schematisch aangeduid met p). W i j v e r o n d e r s t e l l e n d a t
' U als f u n c t z e van ?.(i= n) en p t e berekenen is. U i t i s moge1 Qk bij c o n s t r u c t i e s opgebouwd u i t balken, terml dan bovendien g e e i s t moEt worden d a t de c o n s t r u c t i e ia- en u i t w e a d i g s t a t i s c h bepaald is. Onder deze v e r o n d e r s t e l l i n g e n g e l d t : 3U*(P1
=:
*...,Pn ,P) = aei
f.
1
Bij een l i n e a i r - e l a s t i s c h
(i = q,....,
n).
lichaam g e l d t U* = U, waarbij U de e l a s t i s c h e e n e r g i e van h e t l i c h a a m is.
- 2 -
H e t bewijs van d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o voor lichamen waarvoor de
wet van Hooke n i e t g e l d t , kan eenvoudig worden a f g e l e i d u i t h e t z.g. "principe van minimale complementaire e n e r g i e ( w i j komen h i e r nog op terug).
I n de J i n e a i r e e l a s 8 i c i t e i t s t h e o r i e i s h e t bewijs als v o l g t :
f. = a . . P
(i = , I , . . . ,
13 j
1
n) ( s o m a t i e c o n v e n t i e ) ( j =
aij:
i n v l o e d s g e t a l l e n van Maxwell
u*
u =
=
au*
"pf--
n)
3 P . f . = $a. .P.P. LJ 1 3
13.
a. .P = fi. 1J j
Een a a n t a l c o n s t r u c t i e s voldoen n i e t aan a l l e e i s e n d i e bij de a f l e i d i n g v a n d e s t e l l i n g werden g e s t e l d
bjjvoorbeeld:
_------- .................................
1 . uitwendig s t a t i s c h onbepaalde c o n s t r u c t i e s
e e l van de uitwendig s t a t i s c h onbepaalde grootheden
t de overblijvende c o n s t r u c t i e s t a t i s c h bepaald is. Noem deze krachten Bi ( i = I,...., m). O p deze c o n s t r u c t i e wordt de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o t o e g e p a s t met U* C?,,s.., Q,.3q.,%r;p). Vanwege de starre ondersteuningen g e l d t :
U i t deze m v e r g e l m i n g e n v o l g t : O
Qi EI Qi (Pq>*.*Pn,
$2
m).
(i =
Bovendien g e l d t : (i = i,..9n; (%?)='i Q. = Q J
2.
j = 1
,..,m).
O
j
___-__-_--_-_-_---_________
ondersteuningen zijn e l a s t i s c h
Be e l a s t i s c h e ondersteuning wordt als g e d e e l t e van de c o n s t r u c t i e gezien.
------- -------------_
3 . inwendig s t a t i s c h onbepaalde c o n s t r u c t i e s De inw%aaaias t a t i s c h onbepaalde grootheden ( d i e nioeten voldoen aan h e t p r i n c i p e "ac&ie = reactie") worden gezien a l s b e l a s t i n g s g r o o t heden van een c o n s t r u c t i e d i e door geschikte snedevlakken en aang e p a s t e verbindingen tussen de o e v e r s van de snede t e verkrijgen is u i t de oorspronkelijke c o n s t r u c t i e . De inwendig s t a t i s c h onbepaalde grootheden noemen wiJ Ri(i
= la..$
r).
Zowel op de r e c h t e r als op de l i n k e r oever van de snede is een krachs genaamd R aanwezig. H e t onderscheid tussen b e i d e grootheden i duiden w i j aan met R f') en R~ ( 2 ) . De gebruikeiijke redenering is: i
beschouw U* (Pq,,ea8Pn,R1.e,R,,
p),
- 3 Er g e l d t (formeel wiskundig):
au*
Y
" i
au*
=
-
aRi")
dBï: (1
.-
(2) au* dag 3Ri (%I*dRi
au*
au*
+ Y . = + -
aRi("
a Ri
")
(géén sommatie) Deze twee laatst9 termen worden -zonder conunentF?ai;- gegdentifLceerd : as.. dé-:~beidabsoi?berende,compone,nten-uan'.de v .. . . a&&jpingsp.%t '+an R (1 1 resp. Ri ( 2 )
'
, , .
_'
i
De aansluitvoorwaarde l e e r t dan:
au* E r =O
( i = I,.., r).
Onze &ezwaren tegen deze werkwijze z u l l e n w i j elders geven.
4. symmetrisch of a n t i m e t r i s c h b e l a s t e c o n s t r u c t i e s Bij deze c o n s t r u c t i e s leveren symmetriebeschouwingen g r o t e voordelen.
D i t brengt e s s e n t i e e l mee, d a t de meeste b e l a s t i n g s k r a c h t e n i n
paren voorkomen. Wiet a l l e krachten hebben dus een anderernaam schouwing van de h e l f t van de c o n s t r u c t i e kan u i t k o m t brengen. Een andere manier gaat u i t van d e h e l e c o n s t r u c t i e en maakt gebruik van e e n z e l f d e f o w e l e weg als i n 3 ? gevolgd door de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o en symmetriebeschouwingen v o o r de v e r p l a a t s i n g e n .
'
'
- 4 Nadelen van de k l a s s i e k e s t e l l i n f z van C a s t i g l i a n o 1. V e e l c o n s t r u c t i e s zijn n i e t of n i e t khematisch bepaald ondersteund.
Het aanbrengen van d e ondersteuningen vereist r e e d s e n i g i n z i c h t i n de optredende v e r p l a a t s i n g e n . Een ondersteuning d i e bij een bep a a l & t y p e b e l a s t i n g de beweging als star l i c h a a m verhinderd is
vaak n i e t voldoende (bijv. bij b e p a l i n g van ïnwendig s t a t i s c h onbep a a l d e grootheden). 2. De redenering d i e l e i d t t o t de vergelijkingen voor de uitwendig
s t a t i s c h onbepaalden is gebaseerd op formele o p e r a t i e s en d i e n t vergezeld t e gaan van een gecompliceerde gedachtengang. BQ d e gean a l y s e e r d e c o n s t r u c t i e kan helemaal n i e t d i r e k t g e c o n s t a t e e r d worden au* en '* de s t e l l i n g v a n C a s t i g l i a n o kan worden toeged a t OP
u--qR~
-
aR.
(1)
past. Immers, w a n d e r R~ (1)
evenwicht
( 2 ) moet onderzocht worden of h e t + R~ gegarandeerd i s door de r e e d s aanwezige ondersteuning,
a n v e e l p e v a ì l e n is
d i t n i e t het geval.
3. Bij h e t gebruiken van s y m m e t r i e r e l a t i e s moet om C a s t i g l i a n o t o e t e passen tjjdelijk deze symmetrie b u i t e n beschouwing worden g e l a t e n . D i t betekent d a t i n wezen a l l e c o n c l u s i e s d i e met de symmetrierel a t i e s zijn getrokken tìjdelijk b u i t e n beschouwing dienen t e blijven, Een consequentie h i e r v a n i s d a t i n - en uitwendig statisch onbepaalde grootheden d i e g e b r u i k makend van d e beersende symmetrie tóch bepaald konden worden weer als onbekende grootheden optreden of d a t de c o n s t r u c t i e gewijzigd moet worden om van de bekende r e l a t i e s geb r u i k te mogen blijven maken. Het i s u i t didactisch oogpunt ontoelaatbaar deze moeilijkheden t e verdoezelen door f o r n e ï e wiskundige o p e r a t i e s waarbij zonder commentaar de partiele a f g e l e i d e n van de complementaire e l a s t i s c h e e n e r g i e g e i d e n t i f i c e e r d worden als verp l a a t s i n g e n (door een beroep t e doen op de s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o ) . Het i s noodzakel+ s t e e d s t e onderzoeken o f aan de g e s t e l d e hypothesen voldaan is. 4. De g e b r u i k e l m e formulering van d e s t e l l i n g v a n C a s t i g l i a n o wordt door de s t u d e n t r e e d s s n e l gezien als een formalisme, mede door h e t i n 2 en 3 g e s i g n a l e e r d e formalisme. Hierdoor wordt bijna onvermjjde1% d a t degene d i e n i e t duidel* de achtergronden van h e t formalisme b e h e e r s t h e t formalisme v e r k e e r d t o e p a s t . Hij hebben b3v. vaak gecon-
- 5 s t a t e e r d d a t n i e t a l l e e v e n w i c h t s r e l a t i e s in beschouwing worden genomen met name bij problemen waar ook van symmetz?.ie g e b r u i k ge-
maakt werd.
5. De e i s h e t lichaam voldoende t e ondersteunen brengt vaak met z i c h mede d a t de c o n s t r u c t i e zijn symmetrie v e r l i e s t . E r i s dan weer een e x t r a redenering noodeakelíjk.
- 6 De u i t g e b r b i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o
_-- -------_------
Enige begripEen en n o t a t i e s
Wij werken i n een orthogonaal C a r t e s i s c h coordinatensysteem en l a t e n temperatuurspanningen buiten beschouwing. bVij v e r o n d e r s t e l l e n verder d a t h e t lichaam i n r u s t verkeerd. : Ai
Componenten v e r p l a a t s i n g s v e c t o r
r e k t e n s o r (symm.) :Y p spanningstensor (symm.) : ri J volumekrachten
: fi
Evenwicht s v e r g e l i k i n g e n : rij + fi = O (,j:d i f f . ) '3 R e l a t i e s tussen rekken en v e r p l a a t s i n g e n :
yij = 3 (u.~ .$ + 3 uj 4
+ u
i,joUj ,i) Elastisch lichaam: er b e s t a a t een " e l a s t i s c h e p o t e n t i a a l " .U
die
alleen'afhangt am de begiageometrie en d e rekt o e s t a n d (dms n i e t afhankelijk van de voorgeschiedenis). R e l a t i e s tussen Spanningen en rekken:
+ ,i A l s det
(
('Yij
=
at u.
3Yij V k a
)
"o
#
"o).
~
3Yji
O v o l g t u i t deze r e l a t i e s , d a t g e l d t :
A f g e l e i d kan worden d a t de !'compleinentaire Uo* b e s t a a t , g e d e f i n i e e r d als ai uo* = -uo + rI 1 y, + ,-. 1 y ,
4T .
33
yij'
elastische potentiaal"
y,3 + qz + P y , , + 72'r*,
zodat
Y ij (Uo* opgevat als f u n c t i e van ,ij I )* Minimale complementaire e l a s t i s c h e e n e r g i e ------------------_9________D_____F_____--
Complementaire e l a s t i s c h e energie: U* = Vol
Er g e l d t :
Als
y.
i j
vol
=
3 (ui
4
+
u j
2.
vol j dus "kleine"
= f ( ' ï ij).
v e y p l a a t s i n g s n ! geldt:
Gebraik makend van de s t e l l i n g van G a u s s en e i s e n d d a t steeds aan
..
h e t evenwicht voldaan b l u f t (dus a'CxJ,j = O ) o n t s t a a t : n
OPP * met pi = z i j n : oppervlaktekrachten.
5
(Wanneer op h e t oppervlak SI wanneer $pi op S., n u l w&dt geschreven worden als n
p. i s voorgeschreven en op S2 3.
Vi
en
v e r o n d e r s t e l d kan bovenstaande r e l a t i e
= $(U**) = o.
I n d e l i t e r a t u u r wordt U** vaak aangeduid als de %ornplementaire
e l a s t i s c h e energie").
- 8 Bewijs van de u i t g e b r e i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o Gegeven een e l a s t i s c h lichaam ( n i e t noodzakeljjkwijs l i n e a i r e l a s t i s c h ) ; geen temperatuurspanningen; i n o n b e l a s t e toestand spanningsloos;
k l e i n e verplaatsingen; lichaam i n rust. D i t lichaam wordt b e l a s t door k geconcentreerde krachten
.
i
2
( i = l , .,k)
en door de oppervlaktespanningen met componenten p..
I
Verondersteld wordt d a t d e ondersteuningen vervangen kunnen worden door geconcentreerde k r a c h t e n (deze krachten maken d e e l u i t van De v e r p l a a t s i n g e n van de aangrijpingspunten v a n
I
2 noemen
5
i w i j g (i=I,*.,k).
Wanneer sp. = O wordt genomen gaat de h i e r v o o r a f g e l e i d e s t e l l i n g I
mer i n :
-i
i
SU* = u.8R
..Id (sommatie van I$
met d e e i s d a t bij d i t s a r i a t i e p r o b l e e m s t e e d s voldaan b l i j f t aan h e t evenwicht e i i Beschouwen wij a l l e e n v a r i a t i e s van 2 i n de r i c h t i n g van 2 en d e f i n i e r e n
=\SI $ i 0 &*E - (géén sommatie) fi O
P.I
WQ
r
6
i'
dan g e l d t :
O
0
SU* = f i SPi. Behalve de e v e n w i e h t s r e l a t i e s kunnen nog andere betrekkingen z i n v o l i n rekening worden g e b r a c h t bij d i t v a r i a t i e p r o b l e e m . W i j denken aan symm e t r i e r e l a t i e s en a a n vergeldkingen d i e volgen u i t h e t p r i n c i p e a c t i e = o r e a c t i e . A l deze r e l a t i e s maken een i n d e l i n g van âe k r a c h t e n Pi mogelj3r lil twee groeperi: o n a f h a n k e w t e v a r i e r e n krachten: Pi (i = ? ? * . * , n ) O verplaatsing f . = f I
i
k r a c h t e n s de gegeven r e l a t i e s afhanke1j;llr v a r i e r e n d e w a c h t e n : verplaatsing (Opm:
n
+
fi
- fi*.
m = k).
De grootheden Pi* zijn f u n c t i e s van de grootheden Pi krachte& de ges t e l d e betrekkingen. De vormveranderingsenergie is dus t e schrijven als een f u n c t i e van Pi:
ü*(P.,,oe.,Pn>
p).
- 9 Het a f g e l e i d e p r i n c i p e gaat dus o v e r i n :
Omdat a l l e
-au* - a pi
6 P.1
f
i
-+
(i = 1,.
apk* ûPi
., n ) onafhankelijk t e v a r i e r e n zijn v o l g t h i e r u i t
O f k * "
D i t i s de u i t g e b r e i d e s t e l l i n g van C a s t i g l i a n o .
- 10 Bewijs van de uitgebreide s t e l l i n g van C a s t i n l i a n o zonder gebruik t e maken van v a r i a t i e p r i n c i p e s De indeling van de krachten en de benamingen zijn i n het voorgaande weergegeven. W i j beperken ons t o t lineair-elastische
lichamen dus U* = U.
Bekijk de twee belastingssystemen I en 11. P,>.*.pPi,
I.
....
rPn ,P1*>..**'PI*,....,P
11. Og.*..,AP.*.*.aO, I
AP.,">.r*.,
m* 9 p
Am*,
APi*s.e.e*
O.
Het gegeven verband tussen Pi* en Pi is hetzelfde als d a t tussen APic e n APi.
Beide systemen voldoen dus aan a l l e r e l a t i e s .
, p); d i e bij aann wezigheid van I 4 11: U 4 O (AP. ( g e é n sommatie). I 1 Deze energie kunnen w i j i n de l i n e a i r e e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e ook berekenen u i t de superpositie van beade systemen, waarbij gebruik gemaakt kan worden van het f e i t d a t de e l a s t i s c h e energie gelijk is aan de door de uitwendige krachten v e r r i c h t e arbeid. Bij aanwezigheid van a l l e e n systeem I1 g e l d t : 2 UII = o UPi ) * Het daarna aanbrengen van I1 l e v e r t : (UI, aanvullingsarbeid) UI, 11 De e l a s t i s c h e esergie voor systeem I is U (Pl,s..*P
au +.AP. api
UI, I1 =
f. APi 1
+ f
*.APjy
j
2
(géén sommatie over i; wel over j)
Er geldt dus d a t de e 3 a s t i s c h e energie voor I + I1 gelijk is aan: 2 sommatie over i). U + f. APi 4 f * APj* 4 O (AP. ) I
5
1
Selijkstelling van beide uitdrukkingen voor de e l a s t i s c h e energie voor
I
4
I1 l e v e r t :
au a pi .APA = f i A P i -
+ f j*.AP j*
+
2 O (AP. ) I
(geén sommatie over i).
I n de l i m i e t dP, 4 0 l e v e r t deze r e l a t i e :
Bij het gebruiken van de uitgebreide s t e l l i n g van Castigliano wordt men
gedwongen zich rekenschap t e geven van a l l e r e l a t i e s d i e gebruikt worden om t e komen t o t de gemaakte indeling.
- 11 H.B. : I n b e t
voorgaande zijn de begrippen "kracht" en " v e r p l a a t s i n g "
i n een g e g e n e r a l i s e e r d e vorm g e b r u i k t , d.w.z.
d a t aak k o p p e l s
en hoekverdraaiingen gelezen kunnen worden.
20 j u n i 1967,
&;ir.
J.D.
Janssen.
