De normale verdeling Les 3 De Z-waarde (Deze les sluit aan bij de paragraaf 10 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode)
De grafische rekenmachine Vooraf In deze les ga je veel met de grafische rekenmachine (GR) werken. Bij de uitleg is aangesloten bij de Wageningse Methode. Dat betekent dat bij de opdrachten uitgegaan is van de TI-84 Plus. Mocht je op school een andere GR gebruiken, lees dan eerst goed wat de opdracht is en zoek de juiste commando’s bij je eigen GR (kijk in de handleiding of vraag je docent).
De normale verdeling • De grafieken zijn symmetrisch rond het gemiddelde. • De totale oppervlakte is 1. standaardnormaal
• De grafiek heeft twee buigpunten. • Standaardnormale verdeling: = 0, = 1
De Z-waarde Voorbeeld Pakken suiker hebben een gemiddeld gewicht van 1000 gram. De gewichten zijn normaal verdeeld met standaardafwijking 10. Een pak suiker weegt 982 gram.
De Z-waarde Voorbeeld Pakken suiker hebben een gemiddeld gewicht van 1000 gram. De gewichten zijn normaal verdeeld met standaardafwijking 10. Een pak suiker weegt 982 gram. De afwijking van het gemiddelde is 1000 −982 = 18 gram. Dat is 1,8 × 10 = 1,8 × σ.
De Z-waarde Voorbeeld Pakken suiker hebben een gemiddeld gewicht van 1000 gram. De gewichten zijn normaal verdeeld met standaardafwijking 10. Een pak suiker weegt 982 gram. De afwijking van het gemiddelde is 1000 −982 = 18 gram. Dat is 1,8 × 10 = 1,8 × σ. De afwijking van het gemiddelde uitgedrukt in het aantal keer de standaardafwijking heet de z-waarde.
De Z-waarde Het aantal keer de standaardafwijking dat een waarneming afwijkt van het gemiddelde heet de z-waarde. z-waarde =
Hoe groter de z-waarde, hoe uitzonderlijker de waarneming.
De Z-waarde Voorbeeld Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Lengte van 16-jarige meisjes: µ = 164 cm, σ = 10 cm
De Z-waarde Voorbeeld Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Lengte van 16-jarige meisjes: µ = 164 cm, σ = 10 cm Lengte Simon = 196 cm z- waarde Simon =
=
= 1,67
De Z-waarde Voorbeeld Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Lengte van 16-jarige meisjes: µ = 164 cm, σ = 10 cm Lengte Simon = 196 cm z- waarde Simon = Lengte Simona = 186 cm z- waarde Simona =
=
!
=
= 1,67
= 2,2
De Z-waarde Voorbeeld Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Lengte van 16-jarige meisjes: µ = 164 cm, σ = 10 cm Lengte Simon = 196 cm z- waarde Simon =
=
Lengte Simona = 186 cm z- waarde Simona =
Lengte Peter = 158 cm. # z- waarde Peter =
=
=
= 1,67
= 2,2
= −1,5
De Z-waarde Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Hoeveel procent van de jongens heeft een lengte tussen 164 cm en 188 cm?
De Z-waarde Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Hoeveel procent van de jongens heeft een lengte tussen 164 cm en 188 cm? Uitwerking: 164 = 176 − 12 = − en 188 = + . Volgens de vuistregel is dat 68%.
De Z-waarde Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Hoeveel procent van de jongens heeft een lengte tussen z = -1,5 en z= 1,5?
De Z-waarde Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Hoeveel procent van de jongens heeft een lengte tussen z = -1,5 en z= 1,5? Uitwerking z = -1,5 komt overeen met 176 − 18 cm = 156 cm. z = 1,5 komt overeen met 176 + 18 cm = 194 cm. Met GR: DRAW shadenorm (156, 194, 176, 12) = 88,5%.
De Z-waarde Lengte van 16-jarige jongens: µ = 176 cm, σ = 12 cm Hoeveel procent van de jongens heeft een lengte tussen z = -1,5 en z= 1,5? Uitwerking z = -1,5 komt overeen met 176 − 18 cm = 156 cm. z = 1,5 komt overeen met 176 + 18 cm = 194 cm. Met GR: DRAW shadenorm (156, 194, 176, 12) = 88,5%. Of rechtstreeks via de standaardnormale verdeling: Met GR: DISTR normalcdf (-1.5, 1.5, 0, 1) = 88,5%.
De Z-waarde Met de GR • DRAW shadenorm (links, rechts, µ, σ) = 88,5%. (tekent en berekent percentagegebied) • DISTR normalcdf (links, rechts, µ, σ) = 88,5%. (berekent percentage) • invNorm (percentage, 0, 1) = z-waarde (berekent z-waarde cumulatief gebied) µ-σ µ µ+σ z-waarde
De z-waarde Voorbeeld De vulmachine voor pakken suiker geeft een standaardafwijking van 10 gram. Het gemiddelde gewicht kan worden ingesteld. Niet meer dan 2% van de pakken suiker een gewicht onder de 985 gram hebben. Hoe moet het gemiddelde gewicht van de vulmachine worden ingesteld?
De z-waarde Voorbeeld De vulmachine voor pakken suiker geeft een standaardafwijking van 10 gram. Het gemiddelde gewicht kan worden ingesteld. Niet meer dan 2% van de pakken suiker een gewicht onder de 985 gram hebben. Hoe moet het gemiddelde gewicht van de vulmachine worden ingesteld? Met de GR: invNorm (0.02, 0, 1) = -2,05 is de z-waarde van de standaardnormale verdeling die hoort bij 2%.
De z-waarde Voorbeeld De vulmachine voor pakken suiker geeft een standaardafwijking van 10 gram. Het gemiddelde gewicht kan worden ingesteld. Niet meer dan 2% van de pakken suiker een 20,5 gewicht onder de 985 gram hebben. Hoe moet het gemiddelde gewicht van de vulmachine worden ingesteld? Met de GR: invNorm (0.02, 0, 1) = -2,05 is de z-waarde van de standaardnormale verdeling die hoort bij 2%. 2,05 × 10 gram = 20,5 gram. De afwijking van het gemiddelde mag niet meer zijn dan 20,5 gram. Het gemiddelde moet minstens op 985 + 20,5 = 1005,5 gram worden ingesteld.
De z-waarde µ en σ zijn bekend. Bereken het percentage. Voorbeeld Een autorobot heeft gemiddeld 96 seconden nodig om een wiel te monteren. De standaardafwijking is 5 seconden. In hoeveel procent van de gevallen zal de montagetijd meer zijn dan 110 seconden?
110
91
96 101
De z-waarde µ en σ zijn bekend. Bereken het percentage. Voorbeeld Een autorobot heeft gemiddeld 96 seconden nodig om een wiel te monteren. De standaardafwijking van de robot is 5 seconden. In hoeveel procent van de gevallen zal de montagetijd meer zijn dan 110 seconden? Met de GR De z-waarde is
#
= 2,8. DISTR normalcdf (2.8,9999,0,1) = 0.0026.
Of rechtstreeks: DISTR normalcdf (110,9999,96,5) = 0.0026. Dat is in 0,26% van de gevallen.
De z-waarde µ en percentage zijn bekend. Bereken σ. Voorbeeld Een autorobot heeft gemiddeld 80 seconden nodig om een bumper te monteren. In 20% van de gevallen lukt dat in 77 seconden. Hoe groot is σ?
20% ?
77
80
?
De z-waarde µ en percentage zijn bekend. Bereken σ. Voorbeeld Een autorobot heeft gemiddeld 80 seconden nodig om een bumper te monteren. In 20% van de gevallen lukt dat in 77 seconden. Hoe groot is σ? Met de GR Bereken de z-waarde bij 20% met invNorm. invNorm. (0.2,0,1) = -0,84. 0,84 σ = 3 seconden dus σ = 3 : 0,84 = 3,57 seconden.
De z-waarde σ en percentage zijn bekend. Bereken µ. Voorbeeld Een autorobot mag niet meer dan 8 op de 1000 gevallen langer dan 105 seconden doen om een deur te monteren. De standaardafwijking van de robot is 4 seconden. Hoe moet het gemiddelde worden ingesteld?
0,8% 4
? 4
105
De z-waarde σ en percentage zijn bekend. Bereken µ. Voorbeeld Een autorobot mag niet meer dan 8 op de 1000 gevallen langer dan 105 seconden doen om een deur te monteren. De standaardafwijking van de robot is 4 seconden. Hoe moet het gemiddelde worden ingesteld? Met de GR Het percentage moet kleiner zijn dan 0,8%. 99,2% is niet gearceerd. De bijbehorende z-waarde is invNorm(0.992,0,1) = 2,4. = 105 − 2,41 × = 105 − 9,64 = 95,36.
Oefenen Maken: De opgaven 10, in ieder geval opgaven 8, 11 en 14
Huiswerk Inleveren: Van paragraaf 10, opgave 19.
