De Kwantumweerstand: Geleiding door een Enkel Atoom Inleiding Op atomaire schaal worden de eigenschappen van metallische geleiders volledig gedomineerd door de kwantummechanica. Ze gedragen zich totaal anders dan we gewend zijn van metalen uit onze gewone belevingswereld. Elektronen kunnen niet langer beschouwd worden als deeltjes die zich bewegen volgens de mechanische wetten van Newton, maar ze blijken een golfkarakter te hebben. Een volledig beeld geven is nog niet mogelijk omdat de meesten van jullie nog geen vaste-stoffysica colleges hebben gevolgd, maar we zullen een vereenvoudigde schets geven van de resultaten van de theorie. In dit practicumonderdeel zullen we enige experimenten bespreken, die pas enkele jaren geleden voor het eerst in ons laboratorium in Leiden zijn uitgevoerd, en die jullie in vereenvoudigde vorm zelf kunnen uitvoeren. Het is een van de weinige voorbeelden waar de kwantummechanica in een relatief simpel experiment zichtbaar gemaakt kan worden. We zullen bespreken hoe we draden kunnen maken die slechts één atoom dik zijn, en wat de hoogst uitzonderlijke eigenschappen van deze draden zijn. Het fabriceren van de draden is verassend eenvoudig, omdat de natuur ons hierbij een handje helpt. We beginnen met twee schone metaaloppervlakken en brengen die daarna weer voorzichtig met elkaar in contact. Wanneer we dit contact heel gecontrolleerd weer uit elkaar trekken dan wordt het metaal op kleine schaal opgerekt als een stuk kauwgom. Het wordt alsmaar dunner en in het laatste stadium bestaat het uit nog slechts enkele atomen. In de elektrische weerstand kun je dan zien dat het contact atoom-voor-atoom dunner wordt totdat het, vlak voordat het breekt, nog slechts uit één atoom bestaat. In het laboratorium worden de experimenten veelal uitgevoerd bij een temperatuur van enkele graden boven het absolute nulpunt om geen last te hebben van de wanordelijke beweging van de atomen en een één-atoom contact kan dan zeer lange tijd (dagen lang) stabiel gehouden worden en in detail bestudeerd worden. Hier zullen we bij kamertemperatuur werken; het contact is dan veel minder stabiel (en meer vervuild door gasmoleculen) maar het principe werkt nog steeds. Bij lage temperatuur is het zelfs mogelijk een draad te trekken van zes of zeven atomen lang en slechts één atoom dik, zie Fig. 1. Het onderwerp van deze proef valt onder het vakgebied van de nanofysica, dat de studie van de eigenschappen van materie op de schaal van nanometers omvat. Deze eigenschappen zullen ondermeer van belang worden wanneer de onderdelen die men op een chip fabriceert nog verder worden verkleind. De gebruikelijke wetten die men hanteert bij het ontwerpen van een chip, waaronder bijvoorbeeld de wet van Ohm, zullen op een gegeven moment niet meer geldig zijn. Aan de andere kant wordt er al over nagedacht of men de nieuwe verschijnselen misschien kan gebruiken voor totaal nieuwe toepassingen. Dat is nog toekomstmuziek, maar er worden in de komende jaren belangrijke doorbraken verwacht.
Figuur 1. Computersimulatie van de atomaire structuur van een contact tussen twee gouddraden dat wordt opgerekt en spontaan een keten van individuele atomen vormt. (Bron: S. Bahn en K.W. Jakobsen, Technical University of Denmark )
Het kwantum van geleiding Voor macroscopische geleiders hebben we geleerd dat de weerstand van een draad R evenredig is met de lengte van de draad L, omgekeerd evenredig met zijn doorsnede A, en evenredig met de soortelijke weerstand ρ van het metaal waarvan de draad is gemaakt ρL R= . (1) A Deze wet is echter niet meer geldig op de schaal van atomen. De weerstand op macroscopische schaal is het resultaat van de botsing van elektronen met onzuiverheden in het metaal. De elektronen worden door het spanningsverschil dat we aanleggen versneld, maar telkens wanneer ze tegen een obstakel (bijv. een onzuiverheid of defect) in het metaal botsen verliezen ze hun snelheid weer, waarna ze opnieuw moeten worden versneld. Op deze manier wordt de stroom dus meer gehinderd naarmate er meer onzuiverheden in het metaal zitten (dan is ρ groot) en naarmate ze een langere weg moeten afleggen (dus voor een grote lengte L). In het geval van een draad van individuele atomen verandert dit beeld compleet. Er zijn geen obstakels meer en, wat nog belangrijker is, de afmetingen zijn zo klein dat het kwantummechanische golfkarakter van de elektronen dominant wordt. In plaats van de weerstand, R, praten we liever over het omgekeerde daarvan, de geleiding, G = 1 / R , onder andere omdat die evenredig is met het oppervlak van de draaddoorsnede. De geleiding kunnen we dus ook schrijven als de stroom I door het contact gedeeld door de spanning V die we hebben aangelegd over het contact, G = I /V .
Een volledige beschrijving van de theorie zou te ver voeren, maar we kunnen de principes wel schetsen aan de hand van een vereenvoudigd model. Veronderstel dan dat we de geleiding door een atoom of keten van atomen kunnen benaderen als een ideale ééndimensionale (1D) geleider. De elektronen in deze geleider kunnen zich volledig vrij bewegen in de lengterichting, maar zijn volledig opgesloten in de richtingen loodrecht daarop. Deze 1D geleider is aangesloten op twee metalen elektrodes (in het experiment zijn dit de delen van de metaaldraad links en rechts van het atomaire contact, zie ter illustratie Fig. 1). De elektrodes gedragen zich als ideale reservoirs waarbij elektronen die van links in de rechter elektrode aankomen volledig worden geabsorbeerd, en omgekeerd. De Fermi-energie Een belangrijk fundamenteel begrip in de beschrijving van metalen is de Fermienergie, EF. We kunnen deze als volgt begrijpen. De elektronen kunnen benaderd worden als onafhankelijke deeltjes die zich vrij binnen het metaal bewegen. De golffuncties zijn dan eenvoudig (voor het geval van een 1D geleider met een lengte L):
ψ ( x) =
1 L
e ikx , k = ±2πn / L, n = 1,2,3, K .
(2)
De golfuncties met k > 0 beschrijven elektronen die in de positieve x-richting bewegen, en die met k < 0 bewegen in de tegengestelde richting. De energie van de elektronen wordt gegeven door de kinetische energie h2k 2 E (k ) = 2m
(3)
Nu komt de belangrijke stap: elektronen zijn Fermionen, dat wil zeggen ze hebben een half-tallige spin ( S = 12 ) en moeten daarom voldoen aan het Pauli-verbod. Er mogen slechts twee elektronen dezelfde ruimtelijke kwantumtoestand aannemen, van elke spinrichting één. In dit geval worden de kwantumtoestanden gekarakteriseerd door het golfgetal k, ofwel het kwantumgetal n, dat het aantal perioden telt van de golffunctie over de lengte, L, van de geleider. We veronderstellen voor het gemak dat we bij lage temperatuur leven zodat slechts de laagste energietoestanden bezet zijn. Wanneer we de kwantumtoestanden één-voor-één gaan opvullen dan beginnen we met twee elektronen in elk van de toestanden k = ±2π / L , dat wil zeggen de vier links- en rechtsom lopende elektronen met n = 1 en S z = ± 12 . Vervolgens kunnen we vier elektronen kwijt in de toestanden met n = 2 , en zo verder. Hoeveel elektronen zijn er? Welnu, voor een eenvoudig monovalent metaal hebben we één geleidingselektron per atoom. We hebben dus evenveel elektronen als er atomen zijn. Wanneer de afstand tussen de atomen gegeven wordt door a (voor de meeste metalen is de interatomaire afstand in de orde van 0.3 nm) dan zijn er dus N = L / a elektronen in onze 1D geleider. De Fermi-energie EF is nu de energie van de hoogste toestand die we moeten bezetten om alle lektronen kwijt te raken. Het bijbehorende Fermi golfgetal is k F = 2πnF / L . Het is eenvoudig in te zien dat N = 4nF , zodat kF =
πN π = 2 L 2a
(4)
en h 2π 2 EF = 8ma 2
(5)
We zien dus dat de Fermie-energie onafhankelijk is van de lengte van de geleider. Ook in drie dimensies kun je een dergelijke relatie afleiden en is de Fermi-energie onafhankelijk van de afmetingen van het metaal; het is een materiaaleigenschap. (b)
(a) Energie E
Energie E EF+eV/2
EF EF−eV/2
-kF
kF 2π/L
kF
-kF
golfgetal k
golfgetal k
Figuur 2. (a) Energie als functie het het golfgetal, k, voor een 1D geleider van lengte L zonder aangelegde elektrische spanning. De Fermi-energie EF wordt bepaald door het aantal elektronen binnen de geleider. De afstand tussen twee k-toestanden bedraagt 2π / L .De toestanden zijn bezet met twee elektronen (voor beide spinrichtingen) tot aan de Fermi-energie (•) en daarboven zijn ze onbezet (ο). (b) Hetzelfde plaatje in het geval van een aangelegde spanning V over de geleider.
De geleiding van een perfect 1D metaal We zijn nu in staat om de stroom uit te rekenen. De deeltjesstroom wordt in het r r r algemeen gegeven door j = 2him ψ * ∇ψ − ψ∇ψ * . Voor de bijdrage van een toestand k aan de elektrische stroom in 1D krijgen we dan
[
]
h ∂ ∂ ψ * ψ − ψ ψ k * k k k 2im ∂x ∂x he 1 −ikx =− e (ik )e ikx − e ikx (−ik )e −ikx 2im L 1 hk =− e. L m
I k = ( −e )
[
]
(6)
De totale stroom wordt gegeven door de som over alle bezette k-toestanden. Aangezien I −k = − I k is de totale stroom nul, zoals te verwachten wanneer we geen elektrisch spanningsverschil hebben aangelegd. We leggen nu een spanning V aan over de 1D geleider, waarbij we de potentiaal van de linker elektrode op − 12 V zetten en de rechter elektrode op + 12 V , zodat de potentiaal van de 1D geleider zelf op 0 staat. Elektronen die van links komen hebben als ze in de 1D geleider bewegen een potentiele energieberg van + 12 eV afgelopen (de lading is − e ) en deze omgezet in omgezet kinetische energie. Elektronen die van rechts komen hebben een potentiele energieberg van + 12 eV beklommen en dit komt in mindering op hun kinetische energie. Fig. 2b illustreert de resulterende onbalans in bezetting van links- en rechtsom bewegende elektronen. De netto stroom kan nu worden gevonden door te sommeren over de rechtsom lopende elektronen met energie tussen E F − 12 eV en E F + 12 eV . De grenswaarden voor de quantumgetallen vinden we dan met behulp van (2) en (3), 2m( E F + 12 eV ) n + = L h 2m( E F − 12 eV ) n = L − h
.
(7)
De netto stroom wordt dan − 12
n+
n+
1 hn e n = n− L mL
∑ ∑ I ( n ) = −2 ∑
I=
s = + 12 n = n−
he (n+ − n− )(n+ + n− ) he = − 2 (n+2 − n−2 ) 2 2 mL mL 2 2 he L L = − 2 2 2m(E F + 12 eV ) − 2 2m(E F − 12 eV ) mL h h
≅ −2
=−
(8)
2e eV . h
Het teken laat zien dat de stroom naar links loopt (elektronen naar rechts) zoals verwacht voor de gekozen polariteit van de spanning. We krijgen dan voor de geleiding G=
I 2e 2 = . V h
(9)
Dit is de quantumeenheid van geleiding die we in het vervolg vaak zullen aanduiden met G0. We zien dat alle details van de eigenschappen van de geleider wegvallen en de geleiding uitsluitend wordt bepaald door fundamentele natuurconstanten. De kwantumeenheid van geleiding komt overeen met een weerstand h/2e2 van ongeveer 12,9 kΩ .
Geleiding door atomen Hoewel ons model sterk vereenvoudigd is is het resultaat in goede benadering toepasbaar op de geleiding door eenvoudige (monovalente) metaalatomen. In het algemeen wordt de geleiding door een atoom bepaald door het aantal beschikbare valentie-orbitalen. Monovalente metalen, zoals goud, koper of natrium, hebben een enkel geleidingskanaal en de waarde van de geleiding van een contact van een enkel atoom is vrijwel gelijk aan de kwantumeenheid van geleiding 2e 2 / h . In experimenten aan één-atomige contacten kunnen afwijkingen in deze waarde optreden wanneer het metaal rond het contact niet helemaal zuiver is of wanneer het erg wanordelijk is. Voor metalen met meerder valantie-orbitalen vormt elke orbitaal een apart kanaal voor de geleiding. De totale geleiding is de som van de geleiding over alle kanalen met een maximum van 2e 2 / h maal het aantal kanalen. In de praktijk is de geleiding kleiner dan dit maximum omdat de stroom in de meeste kanalen gedeeltelijk wordt gereflecteerd. Zo heeft platina in principe vijf geleidingskanalen maar de totale geleiding ligt ergens tussen de 1.5 en 2 G0, afhankelijk van de binding van het atoom met de atomen in de rest van de geleider. Alleen voor monovalente metalen is de reflectie gering en vindt men experimenteel een geleiding dichtbij de ideale waarde van 1 G0. We zien dus dat de geleiding (of de weerstand) nu bepaald wordt door fundamentele contstanten. Een verdere bijzondere eigenschap van atomaire draden is het feit dat de weerstand onafhankelijk is van de lengte van de draad, dus onafhankelijk van het aantal atomen in de keten van Fig. 1. Bovendien zullen we zien dat ze in staat zijn om enorm grote elekrtische stromen te doorstaan. Referenties 1. Een kort overzicht van de historische ontwikkelingen rond de ontdekking van geleidingsquantisatie wordt gegeven in: C.W.J. Beenakker en H. van Houten, Physics Today 49 (1996) 22−27. Zie ook: http://www.lorentz.leidenuniv.nl/beenakkr/mesoscopics/topics/qpc/physics_today/ physics_today.html 2. Beschrijving van experimenten van geleiding door ketens van atomen: http:\\www.physics.leidenuniv.nl\sections\cm\amc 3. Een uitgebreid overzicht van theorie en experimenten met betrekking tot geleiding in atomaire contacten: N. Agraït, A. Levy Yeyati en J.M. van Ruitenbeek, Physics Reports 377 (2003) 81−380.
De meetmethode We maken hier gebruik van mechanisch controlleerbare breekjunctie (MCBJ) techniek. We nemen een stukje zuiver draad van het metaal dat we willen bestuderen, en breken dit. De twee breukvlakken worden daarna weer gecontroleerd naar elkaar toe gebracht om atomaire contacten in te stellen. Het voordeel van deze methode is dat de breukvlakken automatisch schoon zijn en dat ze eenvoudig zeer stabiel ten opzichte van elkaar gehouden kunnen worden. Om de draad te breken op een goed bepaalde plaats snijden we er eerst een inkeping in. Dan wordt de draad in een kleminrichting gemonteerd bestaande uit twee
bladveren, waarbij de draad aan elke zijde van de inkeping stevig vastgeklemd wordt op elk van de bladveren onder een metaalplaatje dat met vier M1 boutjes kan worden aangedraaid. De draad kan nu worden gebroken door van onder tegen de bladveren te duwen zodat ze uit elkaar gedrukt worden. Dit gebeurt via een hefboom (verplaatsingsverhouding 2:1) en een schroefmechanisme (veplaatsing 1 mm per omwenteling). De aandrijving gebeurt via een mechanische vertragingskast (120:1), en kan met de hand bedreven worden, maar omdat het lang kan duren is er ook een elektromotor aandrijving voorhanden. Eenmaal dat de draad gebroken is kan de fijninstelling van het contact geregeld worden met behulp van een piëzo-element. We maken hier gebruik van het piëzoelektrisch effect dat sommige materialen bezitten. Dit is bekend van de gasaansteker voor een gasfornuis: je drukt via het mechaniek op het piëzomateriaal en er ontstaat een vonk. Bij lengteverandering ontstaat er een grote spanning over de uiteinden van het materiaal. Veelgebruikte materialen zijn PZT (een oxide van lood, zirkoon en titaan), maar ook gewoon kwarts heeft piëzo-elektrische eigenschappen. In het experiment gebruiken we het piëzo-effect in omgekeerde richting: we zetten een spanning over het materiaal en dit verandert van lengte. Het effect is klein, maar dat is precies wat we willen. Het hier gebruikte piëzo-element verdraagt een maximale spanning van 1000V en wordt daarmee 10µm langer. Eenmaal dat het juiste instelpunt van het mechaniek is gevonden zodanig dat het contact met behulp van het piëzo-element gemaakt en gebroken kan worden kan dit maken en breken periodiek met behulp van computeraansturing geregeld worden. Terwijl dit gebeurt meten we de geleiding van het contact. We doen dit met een vaste voorspanning over het contact terwijl we de resulterende stroom meten. Voor dit laatste gebruiken we een stroom-spanningsomzetter (IV-converter) die weer wordt uitgelezen door de PC. De versterking van de IV-convertor is instelbaar tussen 103V/A en 107V/A. We meten dan telkens grafieken met langs de horizontale as de spanning op het piëzoëlement, die evenredig is met de verplaatsing van de tip ten opzichte van het oppervlak, en langs de vertikale as de geleiding. Hoewel individuele plateaus in de geleiding van de orde van 1G0 eenvoudig te zien zijn zit er grote variatie tussen opeenvolgende metingen. Dit is het gevolg van het grote aantal mogelijke configuraties die de atomen in het contact kunnen innemen, en waarschijnlijk wordt dit verder beïnvloed door gasmoleculen uit de lucht. We middelen daarom over veel metingen door alle waarden van de geleiding uit een groot aantal (gedigitaliseerde) grafieken te verzamelen in een geleidingshistogram. Het bereik van de geleidingswaarden wordt in een aantal evengrote vakjes (‘bins’) verdeeld en alle gemeten waarden van een geleidingsgrafiek worden in de overeenkomende bin verzameld. Het histogram wordt gesommeerd voor een groot aantal grafieken. Voor eenvoudige metalen, zoals goud, is een piek in het histogram dicht bij 1 G0 eenvoudig te vinden.
Beschrijving van de opstelling Hoogspanningsversterker / piëzocontroller
DAC
Ext. 2
AO 1 AO 0
PAS OP! hoogspanning
PC ADC
HV out
AI 0
breekjunctie piezo Oscilloscoop
Channel 1
vertraging
elektromotor
Stroom-spanningsconvertor I in U1 uit
Motorcontrol + –
Up/Down
De PC bevat een data-acquisitiekaart met daarop DAC en ADC kanalen. De DAC zet een digitaal gecodeerd getal om in een spanning tussen –10 en +10 Volt. Het getal wordt gecodeerd met 16 bits, dus de resolutie is ongeveer 0,3 mV voor de laagste bit. De ADC doet het omgekeerde en zet een analoog spanningssignaal tussen –10 en +10 Volt om in een getal. Het getal wordt weer gecodeerd met 16 bits, dus de resolutie is ongeveer 0,3 mV. De piezocontroller levert spanningen van 0 tot 1000V die met de hand instelbaar zijn. Bij deze hand-ingestelde waarde kan een variabele spanning worden opgeteld via de
Ext. 1 of Ext. 2 ingangen, die 100× wordt versterkt. Let op: gebruik de aansluitingen aan de achterzijde van het apparaat. Een meer gedetaileerde handleinding is op het practicum beschikbaar.
Lijst van benodigdheden en apparatuur 1. PC met PCI-6014 ADC/DAC kaart. 2. Computerprogramma’s a. Spanning_contact.vi b. Breekjunctie.vi c. Origin d. Labview software pakket 3. Breekjunctie-apparaat met glasstolp en montagestatief 4. Spanningsbron en schakelkastje voor elektromotor 5. Hoogspanningsvoeding en controller voor piëzo-element + Handleiding 6. Stroom-spanningsconverter 7. Microscoop 8. Goud draadje 10 cm, 0.1 mm diameter 9. Snij-apparaat en glasplaatjes voor het aanbrengen van een inkeping in de draad 10. Digitale multimeter 11. Oscilloscoop 12. Set kabels
Opdrachten 1. Voorbereidingen a. Test de werking van DAC en het ADC-kanaal met het Measurement and Automation programma van National Instruments. Test de werking van de piezocontroller op handbediening en met aansturing via de PC. Wees voorzichtig met de hoogspanning! Schakel de hoogspanningsbron nooit uit als er nog spanning op de piezo staat! b. Start spanning_contact.vi en breekjunctie.vi op de PC. Test de werking van de programma’s en elektronica door meting aan een bekende weerstand (met waarde in de buurt van de kwantumweerstand) en voer een ijking uit van de waarden die in de vi worden weergegeven. 2. Meet de geleiding door een contact van atomaire afmetingen voor goud. a. Neem een stukje gouddraad van ongeveer 2 cm lengte en maak een inkeping in het midden. Je kunt hiervoor de speciale snijder gebruiken. b. Monteer het gouddraadje in de breekjunctie-opstelling, zodat de inkeping precies tussen de klemmetjes ligt. Test de connectie eerst snel met een multimeter. c. Maak de elektrische verbindingen voor geleidingsmetingen met behulp van de breekjunctie-opstelling volgens bovenstaand schema. d. Gebruik de spanning_contact.vi om een spanning van 20mV over het contact te zetten. e. Breek de draad met de motoraandrijving en breng hem terug in contact (controleer dit met de oscilloscoop). Stel de mechanische schroef zodanig in dat de draad met behulp van de piëzospanning gebroken en weer gemaakt kan worden.
f. Meet enkele malen het verloop van geleiding als functie van de piëzospanning bij een aangelegde spanning over het contact. Sla de grafieken op en druk ze af. g. Meet enkele geleidingshistogrammen. Wanneer alles goed werkt zie je de kwantumweerstand nu verschijnen. Hoeveel geleidingsgrafieken moeten worden meegenomen bij het bouwen van een histogram voordat een stabiel en reproduceerbaar patroon ontstaat? Sla de histogrammen op en druk ze af. Bepaal de posities van de maxima in de histogrammen en vergelijk deze met de verwachte waarden. TIP: Kies een geschikte verhouding tussen de bin-grootte en digitaliseringsresolutie want een verkeerde keauze kan leiden tot kunstmatige periodieke ‘ruis’ op het histogram. h. Onderzoek of geleidingshistogrammen veranderen wanneer je grotere of kleinere spanning aanlegt. Hoeveel spanning kun je aanleggen voordat je geen pieken meer ziet? Wat is de maximale stroomdichtheid die je vindt voor een enkel atoom, en hoe vergelijkt deze waarde met stroomdichtheden die je kent uit het dagelijks leven? 3. Voer, naar keuze, een of meer van de volgende experimenten uit, of bedenk zelf een uitbreiding. Bespreek je plannen eerst met de assistent. a. Voer metingen uit van de geleiding door een enkel atoom van een ander metaal, bijvoorbeeld Cu, Ag, Pt, Pb, Fe,…. Met name Cu kan interessant zijn. Gillingham, Muller en Bland beweren dat ze voor koper een piek in het geleidingshistogram bij de halve quantumwaarde hebben gezien. Dit is onverwacht en nog niet goed verklaard. Kun je dit resultaat reproduceren? D.M. Gillingham, C. Muller and J.A.C. Bland, J. Phys.: Condens. Matter 15 (2003) L291. b. Gebruik de stolp om de gasatmosfeer te veranderen. Bijvoorbeeld kun je metingen doen bij diverse vochtigheidsgraad, in Helium, of onder vacuüm. Het contact zou vooral in vacuüm minder vervuild kunnen worden. c. Meet de weerstand van een atomair contact als functie van de tijd en probeer nu een contact van een enkel goudatoom lange tijd stabiel te houden. Kun je de Labview-vi zo aanpassen dat dit automatisch gebeurd? d. Meet eens een geleidingshistogram tot 50 G0, dat gebaseerd is op tenminste 3000 traces. Zie je pieken boven de 10 G0 verschijnen? Dit kan wijzen op een “elektronische schilstructuur”: draden van bepaalde (`magische’) diameters zijn stabieler dan andere als gevolg van het vullen van elektronische schillen in de nanodraad. Dit effect is analoog aan dat welke verantwoordelijk is voor de schillenstructuur in het periodiek systeem van de elementen. Analyseer je data dan met hulp van literatuur uit onze groep: A.I. Mares and J.M. van Ruitenbeek, Phys. Rev. B 72 (2006) 205402. 4. Schijf een verslag van het experiment en de behaalde resultaten. Bespreek hoe je elk van de onderdelen hebt aangepakt en wat je hebt waargenomen tijdens het uitvoeren van de proef. Bespreek de resultaten en de interpretatie ervan.
