ANALISA PERBANDINGAN PERHITUNGAN ELEMEN HINGGA DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN SEGITIGA (CONSTANT STRAIN TRIANGLE) DAN ELEMEN SEGIEMPAT (BILINEAR QUADRILATERAL) Sadvent M Purba1 dan Johannes Tarigan2 1
Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl,Perpustakaan No.1 Kampus USU Medan Email :
[email protected] 2 Staf Pengajar Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara. Jl Perpustakaan No.1 Medan Email :
[email protected] dan johnstar@
[email protected] ABSTRAK Persoalan-persoalan yang menyangkut geometri yang rumit, seperti persoalan pembebanan terhadap struktur yang kompleks, pada umumnya sulit dipecahkan melalui matematika analisis. Formulasi dari metode elemen hingga dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan ini. Akibat adanya beban pada sebuah balok, akan mengakibatkan adanya lendutan. Pemasalahan ini dapat ditinjau dan diselesaikan dengan menghitungnya secara elemen hingga. Elemen yang dapat digunakan, misalnya elemen segitiga atau yang lebih dikenal dengan constant strain triangle atau elemen segiempat yang disebut juga bilinier quadrilateral. Tentunya, lendutan pada balok ini juga dapat dihitung secara eksak. Dalam tulisan ini, akan dijelaskan secara singkat bagaimana mencari besar lendutan yang terjadi, sehingga kita dapat membandingkan berapa besar lendutan yang terjadi diantara ketiga cara tersebut. Kata kunci : balok, lendutan, metode elemen hingga, elemen segitiga, segiempat ABSTRACT Issues involving complicated geometries, such as the problem of loading on the structure of the complex, in general, difficult to solve through mathematical analysis. Formulations of the finite element method can be used to overcome this problem. Due to the load on the beam, will result in a deflection. Pemasalahan can be reviewed and resolved by the finite element count. Elements that can be used, for example, triangular elements or better known as the constant strain triangle or quadrilateral element called bilinier quadrilateral. Of course, the beam deflection can also be calculated exactly. In this paper, we describe briefly how to find a large deflection going on, so we can compare how much deflection that occurs between the third way. Keywords: beams, deflection, finite element method, element triangle, quadrilateral
1. PENDAHULUAN Dalam analisa struktur yakni menghitung lendutan digunakan metode konvensional dengan cara bidang momen sebagai muatan. Dalam kasus balok tinggi perhitungan lendutan dengan cara bidang momen sebagai muatan tidak lagi sepenuhnya benar, maka dalam hal ini digunakanlah metode elemen hingga. Pada tulisan ini akan dibuat dengan dua tipe perbandingan yakni elemen segitiga (constant strain triangle) dan elemen segiempat (bilinier quadrilateral).
2.
METODE ANALISA
Untuk perhitungan dengan menggunakan Elemen segitiga (Constant Strain Triangle), matriks kekakuan dan matriks beban nodal konsisten dari elemen ini dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan standar yang sederhana. Pada setiap nodal terdapat paling sedikit 2 derajat kebebasan yaitu u yang merupakan perpindahan di arah x dan v yang merupakan perpindahan di arah y. Dengan demikian akan terdapat 3 derajat kebebasan masing-masing untuk u dan v yang dapat dinyatakan sebagai fungsi perpindahan polinomial dengan 3 buah konstanta. Dalam urutan penomeran dilakukan dengan arah berlawanan dengan perputaran jarum jam (CCW). Elemen segitiga dalam gambar diatas disebut elemen Isoprametrik. Elemen Isoparametrik adalah elemen yang menggunakan koefisien interpolasi yang sama antara fungsi displacement dan fungsi koordinat spasial.
67
Koordinat lokal tiap dari tiap node dinyatakan dalam : u = untuk arah horisontal v = untuk arah vertikal Koordinat lokal dalam kaitan dengan Koordinat Global dihubungkan lewat persamaan: u ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y
(1)
v ( x , y ) = 1 + 2 x + 3 y
(2)
Gambar 1. Elemen Segitiga (Constat Strain Triangle) Berdasarkan JR William Weaver dan Paul R Johnston. (1993), Matriks Kekakuan elemen segitiga (Constant Strain Triangle) dapat dinyatakan sebagai :
k h
x B C B T
(3)
dengan [k] = matriks kekakuan struktur, h = tebal elemen, = luasan elemen, [B] = matriks gabungan, [C} = matriks elastisitas Sedangkan untuk Elemen Quadrilateral, matriks B dari suatu elemen tidak tidak lagi merupakan konstanta yang dapat dikeluarkan dari integrasi, karena kedua matriks tersebut masih merupakan fungsi dari Koordinat natural s dan t. Elemen quadrilateral, matriks [ B ] dari suatu elemen tidak lagi merupakan konstanta yang dapat dikeluarkan dari integrasi, karena kedua matrik tersebut masih merupakan fungsi dari Koordinat Natural s dan t. Kesulitan yang akan dihadapi adalah dalam menghitung integral. Ada tiga hal yang perlu untuk mendapatkan perhatian dalam menganalisa jenis elemen ini yakni Koordinat natural dari elemen Quadrilateral, koefisien dari fungsi interpolasi (shape function) untuk elemen ini dan integrasi numerik dari perkalian dari [B]T [C] [B] untuk seluruh luasan elemen. Penomeran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam (CCW). Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Fungsi interpolasi atau fungsi Displacement dalam arah x dan y adalah : u (s,t) = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 + N4 u4
(4)
v (s,t) = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3 + N4 v4
(5)
68
Berdasarkan Ir Yerri Sutatio (2004) Determinan Jacobian
J
dapat dihitung sebagai berikut:
x y x y J s t t s 4
i 1
4
4 4 N i 4 N i N N xi yi i xi i yi s i 1 t i 1 t i 1 s
i
4
(6)
N i N i N i N i )x j s s t
{ y ( t i
j
Penggambaran titik node dalam elemen Segiempat adalah sebagai berikut :
Gambar 2. Elemen Segiempat (Bilinier Quadrilateral) Berdasarkan JR William Weaver dan Paul R Johnston. (1993) akan diperoleh formla matriks kekakuan untuk elemen segiempat adalah sebagai berikut
K h B E BdA T
(7)
A 1 1
T
K h B(s, t ) E B(s, t ) J (s, t ) dsdt
(8)
1 1
Formula di bawah untuk integral numerik Gauss 2x2 titik
K hw1w1 B(s1 , t1 T E B(s1 , t1 ) J (s1 , t1 ) T hw1 w2 B( s1 , t 2 E B( s1 , t 2 ) J ( s1 , t 2 ) T hw2 w1 B( s2 , t1 E B( s2 , t1 ) J ( s2 , t1 ) T hw2 w2 B( s2 , t 2 E B( s2 , t 2 ) J ( s2 , t 2 )
(9)
69
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perhitungan secara manual dengan Metode Elemen Hingga adalah suatu metode perhitungan yang mengaplikasikan sistem matriks dalam perhitungannya. Dimana dalam analisanya dikenal dua metode utama yaitu Metode Kekakua langsung ( Direct Stiffness Method/Displacement Method ) dan Metode Fleksibilitas (Flexibility Method/Force Method). Metode Kekakuan Langsung merupakan metode yang didasarkan pada konsep kekakuan (stiffness) dan displacement (translasi dan rotasi) adalah sebagai variabel utama yang tidak diketahui dan dicari lebih dulu. Kemudian respon struktur lainnya yaitu reaksi tumpuan dan gaya-gaya dalam (gaya aksial, momen lentur, momen torsi dan gaya geser) akan diselesaikan kemudian. Secara berurutan, persamaan-persamaan yang digunakan dalam formulasi adalah persamaan aksi-deformasi, persamaan keseimbangan dan persamaan kompatibilitas. Pada Metode Fleksibilitas, gaya (reaksi tumpuan dan gaya-gaya dalam) merupakan variabel utama yang tidak diketahui dan dicari lebih dulu. Secara berurutan persamaan yang digunakan dalam formulasi adalah persamaan aksi-deformasi, persamaan kompatibilitas dan persamaan keseimbangan. Dalam perhitungan kali ini, Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) adalah formulasi yang digunakan. Secara singkat dan berurutan, prosedur perhitungan yang harus ditempuh adalah: Semua kekakuan elemen (dalam bentuk matriks kekakuan) dievaluasi sesuai dengan hubungan antar aksi dan deformasi dengan referensi koordinat lokal elemen tersebut, matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke sistem koordinat global, matriks kekakuan elemen-elemen (dalam koordinat global) disuperposisikan (dengan mempertimbangkan kompatibilitas) menjadi matriks kekakuan struktur, berdasarkan pembebanan yang bekerja, disusun vektor gaya dengan referensi koordinat global, kondisi batas displacement paa titik-titik nodal tumpuan maupun kondisi batas gaya pada titik-titik nodal bebas diformulasikan dalam bentuk vektor displacement dan vektor gaya. Selanjutnya digunakan kondensasi statis untuk memperoleh matriks kekakuan (stiffness matrix) struktur tereduksi, matriks kekakuan struktur yang telah tereduksi tersebut memberikan persamaan keseimbangan struktur yang solusinya menghasilkan displacement di setiap titik nodal. Selanjutnya, reaksi di setiap titik nodal tumpuan dapat diperoleh, kemudian tahap terakhir adalah penghitungan gaya-gaya dalam dan tegangan-tegangan dalam untuk setiap elemen. Adapun data-data yang dipergunakan dalam analisa ini adalah sebagai berikut dengan panjang bentang L = 10 meter = 1000 cm dan lebar bentang h = 2 meter = 200 cm, tebal balok t = 20 cm. Sedangkan besarnya beban yang diberikan adalah beban horizontal PI = 50 ton= 500 KN= 500000N dan PII = 50 ton= 500 KN = 500000N. Nilai dan besarnya elastisitas yang dipakai adalah E = 21 x 10 6 N/cm2 ; angka poison adalah v = 0,3. Perletakan yang digunakan adalah perletakan jepit-jepit. Adapun penggambaran dari pembebanan adalah sebagai berikut :
10000mm
Gambar 3. Penggambaran pembebanan dan perletakan
70
Berdasarkan Chu-Kia Wang (1992), perhitungan lendutan dengan menggunakan momem sebagai muatan adalah sebagai berikut. P = 500 000 N
A
P = 500 000 N
B 300cm
C 400cm
D 300cm
Gambar 4. Penggambaran beban
Beban yang terjadi dikerjakan dengan perhitungan, adapun besarnya momen yang terjadi adalah sebagai berikut:
MB
MC
MB
= P x 300 cm = 500000 N x 300 cm = 15 x 107 Ncm
MC
= P x 300 cm = 500000 N x 300 cm = 15 x 107 Ncm
Mencari lendutan yang terjadi adalah Lendutan yang terjadi akibat gaya (1) adalah sebagai berikut :
1 1 x300 xR A x300 x x300 2 3 1 6 (21x10 ) x( x 20 x 2003 ) 12 1 1 (5 x10 5 ) x300 x300 x(5 x10 5 ) x300 x x300 M 2 3 1 1 ExI 6 3 (21x10 ) x( x 20 x 200 ) 12 M 1 ExI
1
RA x300
1
M 15 x107 225 x1010 ExI 2,8 x1014
2
M 22,5 x1012 67,5 x1011 ExI 2,8 x1014
M 2,24985 x1012 8,035178 x10 3 ExI 2,8 x1014
Lendutan yang terjadi akibat momen (2) adalah sebagai berikut : 1 1 M A x1000 x300 M A x300 x x300 M 2 2 2 1 ExI 6 3 (21x10 ) x( x 20 x 200 ) 12
2
M ExI
2
M ExI
1 1 x(15 x10 7 ) x1000 x300 (15 x10 7 ) x300 x x300 2 2 1 6 3 (21x10 ) x( x 20 x 200 ) 12 13 1,575 x10 5,625 x10 2 2,8 x1014
Sehingga besarnya lenduan adalah :
1 2 8,035178x103 5,625x102 6,4285178x102 cm
0,064285178 cm Jadi besarnya lendutan adalah = -0,064285178 cm.
71
Perhitungan balok digunakan dengan membagi-bagi elemen menjadi elemen segitiga (constant strain triangle). Tiap elemen memiliki panjang 100 cm serta tinggi 50 cm. Balok dengan panjang 1000 cm serta tinggi 200 cm dibagi menjadi 80 elemen. Dalam pemberian titik global, terdapat jumlah titik global sebesar 55 titik global.
Gambar 5. Penggambaran perhitungan dengan Elemen Segitiga Setelah diperoleh nilai K kemudian akan disusun Matriks Kekakuan Gabungan untuk 80 Elemen Segiempat atau 55 titik global. Dengan menggunakan rumus, Gaya = Matriks Kekakuan x Perpindahan , atau { f } = [ K ] {d} Selanjutnya akan dicari besarnya perpindahan yang terjadi adalah : {d} = [ K ]-1 x { f } dengan d = perpindahan yang terjadi, [K] = matriks kekakuan dan f = gaya yang diberikan
(10)
Sehingga akan diperoleh besarnya perpindahan u dan v untuk setiap titik global. Besarnya perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segitiga yakni 80 elemen dengan 55 titik global adalah di titik 12 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,087057419 cm dan v = 0,191331061 cm sedangkan di titik 32 (titik tinjau 2) diperoleh u = 0,08523364 cm dan v = 0,22016400 cm. Perhitungan balok digunakan dengan membagi-bagi elemen menjadi elemen segiempat (bilinier quadrilateral). Tiap elemen memiliki panjang 100 cm serta tinggi 25 cm. Balok dengan panjang 1000 cm serta tinggi 200 cm dibagi menjadi 80 elemen. Jumlah elemen elemen yang diberikan tetap sama dengan jumlah elemen yang diberikan pada perhitungan dengan menggunakan elemen segitiga (constant strain triangle). Dalam pemberian titik global, terdapat jumlah titik global sebesar 99 titik global.
Gambar 6. Penggambaran perhitungan dengan Elemen Segiempat
72
Setelah diperoleh nilai K kemudian akan disusun Matriks Kekakuan Gabungan untuk 80 Elemen Segiempat atau 99 titik global. Dengan menggunakan rumus, Gaya = Matriks Kekakuan x Perpindahan , atau { f } = [ K ] {d} Selanjutnya akan dicari besarnya perpindahan yang terjadi adalah : {d} = [ K ]-1 x { f } dengan d = perpindahan yang terjadi, [K] = matriks kekakuan dan f = gaya yang diberikan
(11)
Sehingga akan diperoleh besarnya perpindahan u dan v untuk setiap titik global. Besarnya perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segiempat dengan 99 titik global adalah : di titik 20 (titik tinjau 1) diperoleh : u = -0,07100814 cm dan v = 0,0102564 cm dan dititik 56 (titik tinjau 2) diperoleh :u = -0,0764021 cm dan v = 0,0124371 cm. Grafik dan Perbandingan dapat dilihat dalam tabel dan grafik seperti tertera di bwah ini: Tabel 1. Perbandingan hasil dengan Secara Eksak, Elemen Segitiga dan Elemen segiempat Secara Eksak
Elemen Segitiga
Elemen Segitiga
1 = -0,064285178 cm
1 = -0,087057419 cm
1 = -0,071008140 cm
2 = -0,064285178 cm
2 = -0,085233640 cm
2 = -0,07640210 cm
8,1E-16 0 -0,005 0 -0,01 -0,015 -0,02 -0,025 -0,03 -0,035 -0,04 -0,045 -0,05 -0,055 -0,06 -0,065 -0,07 -0,075 -0,08 -0,085 -0,09 -0,095 -0,1 -0,105 -0,11 -0,115 -0,12
Keterangan Titik tinjau = titik 12 = titik 20 = titik 30 = titik 56 0
1
2
3
4
5
6
-0,064285178
7
8
9
10
-0,064285178
-0,07100814 -0,0764021 -0,087057419
: secara eksak
: elemen segiempat
-0,08523364
: elemen segitiga
Grafik 1. Grafik Perbandingan nilai Secara Eksak, Elemen Segitiga dan Elemen segiempat.
73
4.
SIMPULAN DAN SARAN
Dari hasil perhitungan dan pembahasan dapat disimpulkan hal-hal sebagai berikut yakni : Besarnya perpindahan yang didapat dengan pembagian Elemen Segitiga yakni 80 elemen dengan 55 titik global adalah : di titik 12 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,087057419 cm dan v = 0,191331061 cm dan di titik 32 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,08523364 cm dan v = 0,2201640 cm. Sedangkan untuk pembagian dengan Elemen Segiempat dengan 99 titik global adalah : di titik 20 (titik tinjau 1) diperoleh u = -0,07100814 cm dan v = 0,0102564 dan dititik 56 (titik tinjau 2) diperoleh u = -0,0764021 cm dan v = 0,0124371 cm. Sedangkan dengan perhitungan secara eksak akan diperoleh perpindahan akibat gaya 1 = -8,035178 x 10-2 dan perpindahan akibat momen 2 = -5,62500 x 10-2. Sehingga besarnya diperoleh adalah 1 - 2 = -6,4285178 x 10-2 atau -0,064285178 cm. Jika dibandingkan antara hasil yang diperoleh dengan cara perhitungan Exel dan eksak terdapat selisih. Dan nilai yang lebih mendekati adalah nilai Elemen Segiempat, yakni memiliki selisih paling kecil sebesar : 0,00672304 cm. Untuk perhitungan sebuah balok, maka lebih baik digunakan elemen segiempat karena pada saat elemennya berdeformasi sisi-sinya “bilinier” atau kata lain tidak tetap lurus.Tetapi untuk perhitungan struktur yang elemnnya mendekati ke bentuk tidak beraturan misalnya bendungan atau jaring, sangat baik menggunakan elemen segitiga regangan konstan untuk analisis regangan bidang dan gravitasi dan bagian fundasinya. Misalnya pada bendungan, beban-beban diakibatkan oleh beban mati dan tekanan air pada muka kiri. Dalam perhitungan sebuah balok, seperti tugas akhir ini maka nilai yang paling mendekati ke nilai eksak adalah nilai dalam perhitungan Elemen Segiempat. Hal ini disebabkan karena Elemen Segiempat adalah “bilinier” yang mana saat elemennya berdeformasi maka sisi-sinya tidaklah tetap lurus. Sangat berbeda halnya degan elemen segitiga regangan konstan yang disebut “linier” karena sisi-sisinya tetap lurus pada saat elemennya berdeformasi dipengaruhi juga oleh jumlah titik global yang berbeda dengan jumlah elemen yang sama. Dari perhitungan dan pembahasan ada beberapa saran yang dianggap perlu sebagai berikut : Perbedaan hasil dari perhitungan Microsoft Exel dengan perhitungan secara eksak disebabkan karena pembulatan koma. Dalam mengerjakan soal Metode Elemen Hingga sangatlah diperlukan ketelitian dan tingkat konsentrasi agar meminimalkan kesalahan dalam penjumlahan atau penggabungan matris dari setiap elemen-elemen yang ada.
DAFTAR PUSTAKA D Cook, Robert. 1990. Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga. Terjemahan Ir. Bambang Suryoatmono. Bandung: PT ERESCO. Lumantarna Benjamin dan Benny santoso. 2000. Jurnal: Aplikasi Visual untuk Program Elemen Hingga dengan Elemen Segitiga dan Segiempat Subparametrik dan Isoparametrik. Dimensi Teknik Sipil, Vol.2, No.2, Sepetember 2000 (77-82) Pinem, Mhd.Daud. 2010. Analisis Struktur dengan Metode elemen Hingga (Finite Element Method). Bandung: Rekayasa Sains. Sofia W. Alisjahbana. 1998. Jurnal: Elemen Segitiga untuk Masalah Elastisitas Dua Dimensi.Jurnal Teknik Sipil F.T. UNTAR/No.1 Tahun Ke IV – Maret/ 1998. Susatio, Yerri Ir. 2004. Dasar-dasar Metode Elemen Hingga. Yokyakarta: Penerbit Andi. Utaja. 2005. Jurnal: Pembentukan Elemen dan Node untuk Mendukung Pemakaian Metoda Elemen Hingga. Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005 (153-168) Wang Chu-Kia dan Charles G. Salmon. 1984. Introductory Structural Analysis. Prentice-Hall. Weaver, JR William dan Paul R Johnston. 1993. Finite Elements for Structural Analysis (Elemen Hingga untuk Analisis Struktur) . Terjemahan oleh Markus Rubijanto Kusuma. Bandung: PT. Eresco.
74
