Csod alatos geometria

Csod´ alatos geometria

´ ´ th Akos G. Horva

´ CSODALATOS GEOMETRIA avagy a kapcsolatteremt´ es tudom´ anya

A k¨ onyv megjelen´es´et a Nemzeti Kultur´alis Alap

´es a Magyar Tudom´ anyos Akad´emia t´amogatta.

´ c G. Horv´  ath Akos, Typotex, 2013

Enged´ely n´elk¨ ul semmilyen form´aban nem m´asolhat´ o! ISBN 978 963 279 783 0 T´emak¨ or: elm´eleti matematika, geometria

Kedves Olvas´ o! K¨ osz¨ onj¨ uk, hogy k´ın´ alatunkb´ ol v´ alasztott olvasnival´ot!

´ Ujabb kiadv´ anyainkr´ ol ´es akci´ oinkr´ol a www.typotex.hu ´es a facebook.com/typotexkiado oldalakon ´ertes¨ ulhet.

Kiadja a Typotex Elektronikus Kiad´ o Kft. Felel˝ os vezet˝o: Votisky Zsuzsa A k¨ otetet gondozta: Gerner J´ ozsef Bor´ıt´ oterv: T´ oth Norbert Nyomta ´es k¨ ot¨ otte: S´ed Nyomda Kft., Szeksz´ard Felel˝os vezet˝o: Katona Szilvia

Tartalomjegyz´ ek

El˝ osz´ o helyett. . . Bevezet´es

ix xi

1.

Abszol´ ut geometria 1.1. Az alapok 1.2. Abszol´ ut t´etelek 1.3. Eukleid´esz p´ arhuzamoss´ agi axi´om´aja 1.4. P´arhuzamoss´ ag a hiperbolikus s´ıkon 1.5. Mer˝olegess´eg az abszol´ ut terekben 1.6. Egyenesek k¨ olcs¨ on¨ os helyzete a t´erben 1.7. Trigonometria 1.8. Eukleid´esz 1.9. Bolyai 1.10. Lobacsevszkij 1.11. Hilbert

1 1 11 19 21 31 36 40 42 48 54 58

2.

Elliptikus ´es projekt´ıv s´ıkgeometri´ ak 2.1. Elliptikus s´ık 2.2. Projekt´ıv s´ık 2.3. K´ upszeletek az euklideszi t´erben 2.4. Pascal 2.5. Riemann

65 65 67 89 123 138

3.

Egybev´ ag´ os´ agok szintetikus kezel´ese 3.1. Az euklideszi s´ık egybev´ ag´ os´ agai 3.2. A hiperbolikus s´ık egybev´ag´ os´ agai 3.3. Az euklideszi t´er egybev´ ag´ os´ agai

151 151 156 158

v

3.4. Klein

164

4.

Modellek 4.1. Ellenp´eldamodellek 4.2. Poincar´e g¨ omb- ´es f´elt´ermodellje 4.3. A Cayley–Klein-f´ele vagy projekt´ıv modell 4.4. A k¨ ormodellek megfeleltet´ese 4.5. A hiperboloidmodell 4.6. Az euklideszi s´ık modelljei 4.7. Az elliptikus, illetve szf´erikus modellek 4.8. Cayley K¨ oz´epsz´ o

171 171 175 185 188 193 198 200 202 211

5.

Analitikus geometria 5.1. Vektorok a 3-dimenzi´os euklideszi t´erben 5.2. Egyenestart´o lek´epez´esek E 3 -ben 5.3. Az n-dimenzi´ os euklideszi t´er 5.4. Az n-dimenzi´ os hiperbolikus t´er 5.5. Az n-dimenzi´ os szf´erikus t´er 5.6. Descartes

213 213 219 230 237 249 261

6.

A t´erfogatfogalom 6.1. Ter¨ ulet az euklideszi s´ıkon 6.2. Ter¨ ulet a hiperbolikus s´ıkon 6.3. T´erfogat az euklideszi t´erben 6.4. Integr´ alfogalmak 6.5. Hiperbolikus t´erfogat 6.6. Szf´erikus t´erfogat 6.7. Poincar´e

273 274 279 284 287 291 310 313

7.

Poli´ederek 7.1. Topol´ogiai alapfogalmak 7.2. Konvex poli´ederek 7.3. Euler-t´etel 7.4. A csod´ ak birodalma 7.5. n-dimenzi´ os szab´alyos poli´ederek 7.6. Euler 7.7. Eukleid´esz: Elemek, XII. ´es XIII. k¨onyv

323 323 327 329 349 369 387 389

8.

A t´erid˝ o 8.1. A skal´aris szorzat ´altal´ anos´ıt´asai ´ 8.2. Altal´ anos´ıtott t´erid˝ omodell

395 395 403

vi

8.3. N´egy fontos hiperfel¨ ulet 8.4. El˝osokas´agok az a´ltal´ anos´ıtott t´erid˝omodellben 8.5. Minkowski Ut´ osz´ o helyett... B¨ ong´esz˝ o T´ argymutat´ o

vii

419 432 443 457 459 463

El˝ osz´ o helyett. . .

El˝osz´o helyett ´alljanak itt Blaise Pascal ¨or¨ok´erv´eny˝ u gondolatai a geometri´ar´ol, az igazs´agr´ol, az u ´tr´ol, annak keres´es´er˝ol ´es az emberi sz´ıvr˝ol.    . . . K´etfajta gondolkod´ as l´etezik teh´ at: az egyik gyorsan ´es teljes m´elys´eg¨ ukben felfogja az alapt´etelekb˝ ol sz´ armaz´o k¨ ovetkezm´enyeket, ezt nevezhetj¨ uk hib´atlan gondolkod´asnak; a m´asik egyszerre sok t¨ orv´enyt k´epes felfogni, an´elk¨ ul, hogy ¨ osszezavarn´ a ˝oket, ´es ez az igazi geometriai gondolkod´ as. Az egyik az ´ertelem ereje ´es t´evedhetetlens´ege, a m´ asik az ´ertelem ´atfog´ ok´epess´ege. M´ armost e kett˝o nagyon j´ ol meglehet egym´ as n´elk¨ ul, az emberi szellem ugyanis egyar´ ant lehet er˝ os ´es ugyanakkor korl´ atolt, vagy ´atfog´ o, de ugyanakkor gyenge. . . .    A magunk lelte magyar´ azatok ´altal´aban jobban meggy˝ oznek benn¨ unket, mint azok, amelyek m´ asoknak jutottak esz¨ ukbe.    Sohasem magukat a dolgokat keress¨ uk, hanem a dolgok keres´es´et.    Nemcsak esz¨ unkkel ismerj¨ uk meg az igazs´agot, hanem sz´ıv¨ unkkel is. Ez ut´ obbi r´ev´en fedezz¨ uk fel az alapelveket, s az okoskod´as, melynek semmi szerepe sincs benne, hi´aba igyekszik c´afolni o˝ket. ... Mert az olyan alapelvek ismerete, mint az, hogy van t´er id˝ o, ix

mozg´ as, sz´amok, oly szil´ ard, amilyen egy sincsen okoskod´ asainkkal megszerezhet˝ o ismereteink k¨ oz¨ ott. ...    Amikor valamely m˝ uvet ´ırunk, legutolj´ara tudjuk meg, mivel is kezdj¨ uk.

x

Bevezet´ es

A geometria sz¨ ulet´es¨ unk pillanat´ at´ ol v´egigk´ıs´eri ´elet¨ unket, hiszen t´argya a benn¨ unket k¨ or¨ ulvev˝ o vil´ag. A geometriai t¨orv´enyszer˝ us´egek figyelembev´etele n´elk¨ ul nem alakulhattak volna ki a munka- ´es k¨ozleked´esi eszk¨ozeink, nem j¨ ohetett volna l´etre az emberi civiliz´aci´ o. N´eh´ any szab´ alyt elsaj´ at´ıtva a gyermek automatikusan, mintegy m´ odszerk´ent haszn´ alja a geometri´ at. Tudja, hogy a nagyobb t´argy nem f´er a n´ ala kisebb dobozba; ha u gyesen pakolja el holmij´ a t, t¨ o bb f´ e r a fi´ o kba; a h´ a roml´ a¨ b´ u sz´ek nem billeg, ellent´etben a n´egyl´ ab´ uval, igaz, k¨onnyebb felborulni vele; megtal´ alja a legr¨ ovidebb utat otthona ´es az iskola k¨oz¨ott, mert reggelente min´el tov´ abb szeretne aludni. Amikor rajzol, a perspekt´ıva szab´ alyait alkalmazza, hogy k´etdimenzi´ os k´epe h˝ uen visszaadja a lerajzolt h´ aromdimenzi´ os alkozik a s´ınp´ar o¨sszetart´as´ an, r´ aj¨on, hogy a nagy dolgok is t´argyat; elcsod´ kicsinek l´ atszanak, ha messze vannak t˝ ol¨ unk. El˝ obb vagy ut´obb felismeri a der´eksz¨ og ´es p´ arhuzamoss´ ag szerep´et, maga is elkezdi alkalmazni, p´eld´ aul mikor rendet tesz a szob´ aj´aban. Tudja, mi a k¨or, a g¨omb, a n´egyzet ´es a kocka, ezek ´ertelmez´es´ere mag´at´ ol is r´atal´ al. Egysz´oval a geometria sz´am´ara a vil´ ag megismer´es´enek m´odszere. Nem v´eletlen teh´ at, hogy a matematikai megismer´es ´eppen a geometriai vizsg´alatokra t´ amaszkodva n˝ otte ki mag´ at a jelenleg ´altal´ anosan elfogadott axiomatikus m´ odszerr´e. Az axiomatika kezdetben egy ill´ uzi´oval kecsegtetett, nevezetesen, hogy a logika szab´ alyainak alkalmaz´as´ aval az emberi k´ıv´ ancsis´ ag marad´ektalanul kiel´eg´ıthet˝ o. Ez a t´ezis a m´ ult sz´ azad elej´en v´eg´erv´enyesen megd˝ olt. Jelenleg u ´gy gondoljuk, hogy ´erdemes axiomatikus alapokon logikailag j´ol k¨ovethet˝ o rendszereket kialak´ıtani, azokat tanulm´anyozni, de ha a rendszer keretein bel¨ ul felmer¨ ul˝ o valamely k´erd´esre nem kapunk v´ alaszt, azon sincs mit csod´ alkozni. Ilyen esetben a rendszert kell megv´ altoztatunk, az adott k´erd´est megv´ alaszolni k´epes u ´j rendszer keretei k¨oz¨ott kell tov´ abb vizsg´al´odnunk. Ezzel a lemond´ assal persze a matematikai megismer´es m´ odszere is be´all a sorba, s a legegyszer˝ ubb mint´at k¨oveti, a gyermek feln˝ott´e v´ al´as´ anak folyamat´ at. Amikor a gyermek kin¨ovi a kis´ agyat, a szoba lesz az u ´j ´elettere, majd a lak´ as egy´eb helyis´egei, mind-mind m´ as ´erdekess´eget tartogatva sz´ axi

m´ ara. Majd k¨ ovetkezik az o´voda, sok-sok u ´j szob´ aval, a k¨ozleked´es stb. lehet˝ os´eg´evel. V´ alaszt´ asainkat az ´erzelmek ir´ any´ıtj´ ak, lehet˝ oleg olyan helyis´eget v´ alasztunk tart´ ozkod´ asi hely¨ unknek, ahol szeret¨ unk lenni. D¨ont´eseink sor´ an ugyanakkor meg sem pr´ ob´ aljuk figyelembe venni az ¨osszes l´etez˝ o helyis´eget, az adottak k¨ oz¨ ul v´ alasztjuk ki a pillanatnyilag legmegfelel˝ obbet. A geometria a kapcsolatteremt´es legterm´eszetesebb m´ odszere. A matematika k¨ ul¨onb¨oz˝ o agai k¨ ´ oz¨ ott hoz l´etre kapcsolatot a szeml´eltet˝ o gondolkod´ as u ´tj´an; tov´ abb´ a a matematika, az elm´eleti fizika ´es a k´ıs´erleti fizika h´armas´ aban a modellalkot´ as seg´ıts´eg´evel; majd a matematika ´es a m´ern¨oktudom´ anyok k¨oz¨ott a t´er azol´ asa u ´tj´an, v´eg¨ ul a matematika ´es a m˝ uv´eszet szerkezet´enek le´ır´asa ´es ´abr´ k¨ oz¨ ott a logikai ´es eszt´etikai sz´eps´eg egy¨ uttes megjelen´es´enek t´argyak´ent. Jelen k¨ onyv szerz˝oje nem akarja bevezetni olvas´ oj´at a geometri´aba, hiszen u ´gy gondolja, hogy ezen minden emberi l´eny a´tesett a sz´ am´ara fontos m´ert´ekben. Nem akarja tov´ abb´ a megmondani azt sem, hogy mi a geometria, ´ k¨ mert u ´gy gondolja, hogy igaz´ ab´ol nem is lehet. Es ul¨on¨osk´eppen nem akarja megmondani azt, hogy mi a fontos ´es mi a hasznos a geometri´aban, mert u ´gy gondolja, hogy ezekre a k´erd´esekre nem lehet o¨r¨ok ´erv´eny˝ u v´alaszt adni. Szeretn´e viszont meg˝ orizni k¨onyv´eben vez´erfonal gyan´ ant a benn¨ unk rejl˝o gyermek r´acsod´ alkoz´ asi k´epess´eg´et mindarra, ami sz´ep, s arr´ ol ´ırni, amit ˝o maga ´erdekesnek tal´ alt, s oly m´ odon, ahogy az geometriai munk´ass´ aga sor´ an megform´al´odott benne. Ha a k¨ onyv olvas´ asa az olvas´onak ¨or¨omet okoz, a szerz˝ o m´ar el´erte c´elj´ at. Haszonnal forgathatj´ ak mindazok, akik geometri´ at k¨oz´episkolai, egyetemi szinten tanulnak, vagy csak ´erdekl˝ odnek a k¨onyvben feldolgozott ter¨ uletek ir´ ant. Javasolhat´ o tov´ abb´ a ez a k¨onyv mindazoknak, akiknek a szellemi ´elm´eny ¨ or¨ omet okoz. Szeretn´em megk¨ osz¨ onni mindazt a t´ amogat´ ast, amit a k¨onyv elk´esz´ıt´ese, illetve megjelentet´ese sor´ an kaptam. Csal´ adomnak a t¨ urelmet, tan´ araimnak a megalapozott tud´ ast, hallgat´ oimnak a k¨onyv meg´ır´as´ ara serkent˝ o inspir´ aci´ ot, koll´eg´ aimnak az eszmei ´es anyagi t´ amogat´ ast. K¨ ul¨on szeretn´em megk¨osz¨onni Gerner J´ ozsefnek a megjelen´es alatt a´ll´o k´ezirat elhivatott ´es lelkiismeretes gondoz´ as´ at. ´ ath Akos G. Horv´

xii

Babits Mih´ aly: Bolyai Semmib˝ ol egy u ´j vil´ agot teremtettem.” ” Bolyai J´ anos levele atyj´ ahoz

Isten elm´enket bez´ arta a t´erbe. Szeg´eny elm´enk e t´erben rab maradt: a kapzsi vill´am¨olyv, a gondolat, gy´em´ antkorl´ atj´ at m´eg csak el sem ´erte. ´ boldogolv´ En, an azt a madarat ki kalitj´ ab´ol legal´abb kil´ atott, a semmib˝ ol alkottam u ´j vil´ agot, mint p´ okh´ al´ob´ol sz˝o k¨ot´elt a rab. ´ t¨ov´enyekkel, t´ Uj ul a sz˝ uk egen, u ´j v´egtelent nyitottam ´en eszemnek; kir´ aly gyan´ ant, t´ ul minden k´epzeten. Kirabolv´ an kincs´et a k´eptelennek nevetlek, mint Istennel osztoz´ o, v´en Euklides, rab t¨orv´enyhoz´ o.

1. fejezet

Abszol´ ut geometria

1.1. Az alapok A matematik´ ahoz nem vezet kir´ alyi u ´t.

Eukleid´esz Az alapokr´ ol neh´ez b´ armi u ´jat mondani. Monogr´afi´ak tucatjaiban olvashatunk az axiomatikus vizsg´alatok t¨ort´enet´er˝ ol, a legfontosabb szem´elyis´egek munk´ ass´ ag´ ar´ ol, eredm´enyeikr˝ ol, az eredm´enyek ´ertelmez´eseir˝ ol ´es az ´ertelmez´esek kritik´ air´ ol. Sz´ amos k¨ onyv ´es tanulm´ any foglalkozik a filoz´ofiai ´es m´ odszertani k¨ ovetkezm´enyekkel is, teh´at mindezekr˝ol ´ırni felesleges. A sz´eps´eg, amit egy szisztematikus fel´ep´ıt´es rejt, ´es az ¨or¨om, amit annak k´esz´ıt´ese okoz, tov´ abb´ a l´atni, ahogy l´ep´esr˝ ol l´ep´esre hely¨ ukre ker¨ ulnek a dolgok – mindez nem mindennapi ´elm´eny. Ahogy az els˝o tal´ alkoz´ asr´ ol mondja Ady Endre Vajjon ” milyennek l´ att´ al?” c´ım˝ u vers´eben: Minden vagyok, amit v´ art´ al Minden vagyok, amit nem sejtsz Minden vagyok, mi lehetn´ek. aljuk tolm´ acsolni. Alapfogalmakat, Ebben a fejezetben ezt az ´elm´enyt pr´ob´ alaprel´ aci´ okat defini´alunk, ezekre vonatkoz´ oan alapt´eteleket, axi´ om´akat r¨og´ z´ıt¨ unk bizony´ıt´ as n´elk¨ ul. Ujabb defin´ıci´ ok kimond´ asa ut´ an ezekre vonatkoz´ o all´ıt´ ´ asokat fogalmazunk meg, melyeket m´ ar bizony´ıtunk is. Nem t¨oreksz¨ unk prec´ız fel´ep´ıt´esre, de szeretn´enk a´ttekinteni a geometriai fogalmak megjelen´es´enek pontos hely´et. Axi´omarendszer¨ unk alapvet˝ oen a Hilbert-f´ele axi´omarendszer, de a k¨ onnyebb halad´ as ´erdek´eben a sz¨ uks´egesn´el er˝ osebb axi´ om´akat is megfogalmazunk. 1.1.1. Illeszked´ es A vil´ ag megismer´es´enek, a l´etez˝ ok csoportos´ıt´ as´ anak kulcsk´erd´ese az ¨oszszetartoz´ o dolgok o as´ anak felismer´ese. A matematik´ aban ´altal´ aban ¨sszetartoz´ asos megold´ as, ez azonban aszimmetri´at az eleme rel´aci´ o bevezet´ese a szok´ 1

2

´ t geometria 1. Abszolu

sugall, ´ıgy a geometriai ¨ osszetartoz´ ast a szimmetrikusabbnak t˝ un˝ o illeszked´es fogalma alapj´an ´ep´ıtj¨ uk fel.

Alapfogalmak: pont, egyenes, s´ık

Alaprel´ aci´ o: illeszked´es

Egy pont illeszkedik egy egyenesre vagy egy s´ıkra. Egy egyenes illeszkedik egy s´ıkra, ha pontjai illeszkednek r´a. I1. Axi´ oma. K´et (k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o) pont egy´ertelm˝ uen meghat´ aroz egy egyenest. I2. Axi´ oma. H´ arom nem egy egyenesre illeszked˝ o pont egy´ertelm˝ uen meghat´ aroz egy s´ıkot. I3. Axi´ oma. Ha egy egyenes k´et pontja illeszkedik egy s´ıkra, akkor az egyenes osszes pontja illeszkedik r´ a. ¨ I4. Axi´ oma. Van n´egy, nem egy s´ıkra illeszked˝ o pont. I5. Axi´ oma. Ha k´et s´ıknak van egy k¨ oz¨ os pontja, akkor van egy tov´ abbi k¨ oz¨ os pontjuk is. Az els˝o k´et axi´ oma jellemzi az egyenes egyenesszer˝ us´eg´et, illetve a s´ık s´ıkszer˝ us´eg´et, a harmadik ¨ osszekapcsolja az egyenes ´es s´ık fogalm´ at, a negyedik ´es ¨ ot¨ odik pontosan h´ arom dimenzi´ora r¨ogz´ıti ter¨ unk m´eret´et. Egy egyenesre, illetve egy s´ıkra illeszked˝ o pontok eset´eben haszn´ alhatjuk a kolline´ aris, illetve komplan´ aris pontok kifejez´eseket is. 1.1.2. Rendez´ es A vil´agegyetem t´erben ´es id˝ oben l´etezik. Az id˝ obeli l´etez´es alapj´ an term´eszetes k´ep¨ unk van a line´ aris rendez´es fogalm´ ar´ ol. Besz´elhet¨ unk kor´ abban, egy id˝ oben vagy k´es˝ obb megt¨ort´ent esem´enyekr˝ ol. Ezeket minden nyelv meg tudja k¨ ul¨ onb¨ oztetni egym´ast´ ol. Term´eszetes v´agyunk, hogy a sorrendis´eg fogalm´ at a t´erbeli, egy id˝oben l´etez˝ o objektumok fogalm´ ara is kiterjessz¨ uk, ´es azok k¨ oz¨ ott rendet, sorrendet teremts¨ unk. A rendez´es gondolata elvezet sz´ amos komoly probl´ema felvet´es´ehez ´es megold´ as´ ahoz, tov´ abb´ a u ´j geometriai alapobjektumok bevezet´es´ehez. ´Igy jelent˝ osen hozz´ aj´arul a t´er fizikai megismer´es´ehez is.

3

1.1. Az alapok

1.1.2.1. Az abszol´ ut geometri´ ak rendez´ese a k¨ oz¨ ott” fogalma alapj´ an ”

Alaprel´ aci´ o: k¨ ozte van” ”

Jel¨ ol´ese: (ACB), ami teh´ at azt is jelenti, hogy a h´ arom pont kolline´aris, ´es a C pont az egyenes k´et, A ´es B pontja k¨oz¨ott van. R1. Axi´ oma. Ha (ACB), akkor (BCA). R2. Axi´ oma. Az egyenes h´ arom pontja k¨ oz¨ ul pontosan egy van a m´ asik kett˝ o k¨ oz¨ ott. R3. Axi´ oma. Az egyenes A, B pontp´ arj´ ahoz tal´ alhat´ o olyan C pont is, amire (ABC) teljes¨ ul. R4. Axi´ oma (Pasch). Legyen A, B, C h´ arom nem egy egyenesre illeszked˝ o pont, e pedig egy egyenes, amelynek valamely D pontj´ ara (ADB) teljes¨ ul. Ha C nem illeszkedik e-re, akkor tal´ alunk olyan E pontot e-n, amire (AEC) vagy all. (BEC) egyike fenn´

A

D E B

F

C

1.1. ´abra. Mi´ert nincs h´ arom bel¨ ul metszett oldal? Az els˝o h´ arom axi´oma az egyenes pontjainak rendez´es´er˝ ol sz´ol, de nem garant´ alja azt, hogy v´egtelen sok pontja van az egyenesnek. (Vess¨ uk ¨ossze az otpont´ u rendezett egyenes modellj´evel.) Viszont ´ertelmezhet˝ o az A, B v´eg¨ pontok a´ltal meghat´ arozott ny´ılt szakasz, mint az egyenes azon C pontjainak halmaza, melyekre (ACB) ´all fenn. Nem tudjuk azonban, hogy van-e pontja minden szakasznak. A Pasch-axi´ oma alapj´an azonban ´ertelmezhet˝ o a f´elegyenes, f´els´ık ´es t¨ or¨ ottvonal fogalma, besz´elhet¨ unk sz¨ ogvonalakr´ ol, ´es

4

´ t geometria 1. Abszolu

´ egyszer˝ u z´ art t¨ or¨ ottvonalr´ ol. Ertelmezhet˝ o tov´ abb´ a a konvexit´ as is. Mindezek tulajdons´agair´ ol azonban l´enyeg´eben semmit sem tudunk. Az axi´ omacsoport er˝ os” axi´ om´aja a m´ar eml´ıtett Pasch-axi´ oma, amely m´ ar a s´ık pontjait seg´ıt ” rendezni. A k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u ´all´ıt´asok minden tov´abbi vizsg´alat alapj´ at k´epezik. 1.1.1. Lemma. A Pasch-axi´ oma kimond´ as´ aban szerepl˝ o (AEC) ´es (BF C) rel´ aci´ ok k¨ oz¨ ul pontosan az egyik teljes¨ ul. Teh´ at, ha (ADB) fenn´ all, akkor (AEC) ´es (BF C) nem teljes¨ ulhet egyszerre. Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy mindk´et rel´aci´ o igaz. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy ul. Tekints¨ uk a B, D, F nem kolline´ aris ponth´ armast ´es az AC (DEF ) teljes¨ egyenest. Mivel felt´eteleink szerint (BDA) ´es (DEF ) fenn´ allnak, az AC illetve BF egyenesekre n´ezve a Pasch-axi´ oma (BCF ) teljes¨ ul´es´et k¨oveteli meg. Ez pedig ellentmond (BF C)-nek.

D C

A

F

B

E 1.2. ´abra. Minden szakasznak van pontja! 1.1.1. T´ etel. A szakasznak van pontja. Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk az AB pontp´ ar a´ltal meghat´ arozott szakaszt. Illeszked´esi axi´ om´aink szerint van olyan C pont, mely nem illeszkedik az AB egyenesre. Az AC egyenesen fel tudunk venni egy D-vel jel¨olt pontot, melyre (ACD) teljes¨ ul. D nem lehet B, ´ıgy a BD egyenesen is tal´ alunk egy E pontot, melyre (DBE) teljes¨ ul. Az EC egyenesre ´es az A, D, B nem kolline´ aris ponth´ armasra alkalmazva Pasch axi´ om´aj´at, olyan F pont l´etez´ese ad´ odik, melyre (AF B) teljes¨ ul. 1.1.1. K¨ ovetkezm´ eny. A szakasznak ´es ´ıgy az egyenesnek is v´egtelen sok pontja van. Val´ oban, egym´ asba skatuly´ azott szakaszokkal u ´jabb ´es u ´jabb pontok szerkeszthet˝ ok, melyek az el˝ oz˝ o ny´ılt szakaszoknak pontjai.

5

1.1. Az alapok

Tov´ abbi alapvet˝ o fogalom a f´els´ık fogalma. Ennek bevezet´es´ere is lehet˝ os´eg¨ unk ny´ılik. Egy s´ık egy adott egyenes´ere nem illeszked˝o k´et pontj´ at az egyenesre n´ezve ekvivalensnek nevezz¨ uk, ha az ´altaluk meghat´ arozott z´ art szakasz nem tartalmaz az egyenesre illeszked˝ o pontot. Defin´ıci´ o szerint minden pont ekvivalens mag´ aval. 1.1.2. Lemma. K´et pontnak egy adott e egyenesre vonatkoz´ o ekvivalenci´ aja ekvivalenciarel´ aci´ o, melynek k´et oszt´ alya van.

F

e

e F

E

E

C

A

B

D

C

A

B

D

1.3. ´abra. Az egyenesre vonatkoz´ o ekvivalencia tranzit´ıv Bizony´ıt´ as: Mivel a reflexivit´ as ´es a szimmetria nyilv´ anval´o, csak a rel´aci´ o tranzitivit´as´ at kell bel´ atnunk. Legyen el˝ osz¨or A, B, C nem kolline´ aris ponth´ armas. Ha A ekvivalens B-vel, ´es B ekvivalens C-vel, akkor A ekvivalens C-vel is, hiszen ellenkez˝ o esetben e-nek lenne olyan D pontja, amelyre (ADC) allna fenn, ´es ez ellentmondana Pasch axi´ ´ om´aj´anak. Ha pedig a h´ arom pont egy egyenesre illeszkedik, tekints¨ unk el˝ osz¨or egy E pontot, amely e-nek egy D-t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja, ´es vegy¨ unk fel egy F pontot, melyre (AEF ) teljes¨ ul. Az A, F, C nem kolline´ aris ponth´ armasra ´es e-re alkalmazva a Pasch-axi´ om´at, ol ad´odik, hogy C ´es F ekvivalensek. Ha a D ∈ e, (ADC), (AEF ) felt´etelekb˝ most B ´es F ekvivalensek lenn´enek, akkor a nem kolline´ aris eset miatt A ´es F is ekvivalens pontp´ ar lenne, ez F v´ alaszt´ asa miatt nem lehets´eges, ´ıgy B ´es F nem ekvivalensek. Ekkor viszont megint a Pasch-axi´ oma, valamint C ´es F ekvivalenci´ aja miatt B ´es C nem ekvivalensek. Ezzel ellentmond´ asra jutottunk. Legal´abb k´et oszt´ aly l´etezik, mert egy e-re nem illeszked˝o pontot ¨osszek¨otve egy e-re illeszked˝o ponttal, az R3. axi´ oma alapj´an tal´ alunk a ponttal nem ekvivalens pontot. M´ asr´eszt, ha lenne h´ arom oszt´ aly, ezekb˝ ol v´alasztva egyegy A, B, C pontot, nem kolline´ aris pontokhoz k´ene jutnunk az 1. illeszked´esi

6

´ t geometria 1. Abszolu

axi´ oma szerint (az egyenesen lev˝o pontok defin´ıci´ onk szerint vizsg´ alatunkb´ ol ki vannak z´ arva). Ekkor viszont e ´es A, B, C egy a Pasch-axi´ om´anak ellentmond´ o konfigur´aci´ ohoz vezetne, ami szint´en lehetetlen. Evvel utols´ o ´all´ıt´ asunkat is bel´attuk. A fent kapott ekvivalenciaoszt´ alyokat az egyenes a´ltal meghat´ arozott ny´ılt f´els´ıkoknak nevezz¨ uk. Ha a meghat´aroz´ o egyenest is a f´els´ıkhoz vessz¨ uk, z´ art f´els´ıkr´ ol besz´el¨ unk. F´elegyenes (ny´ılt vagy z´ art) egy egyenes egy o˝t nem tartalmaz´ o f´els´ıkhoz tartoz´ o r´esze. Bevezethet˝ o a sz¨ ogtartom´any, sz¨ogvonal, t¨or¨ottvonal, soksz¨og, soksz¨ogtartom´ any fogalma, mert igazolhat´ o a s´ıkbeli egyszer˝ u z´ art t¨or¨ottvonalra kimondott Jordan-t´etel. Eszerint a s´ık egy egyszer˝ u z´ art t¨or¨ottvonala a s´ıkot k´et tartom´ anyra bontja, ´es ezek egyike nem tartalmaz f´elegyenest. Ez ut´obbi a darabot, a t¨ or¨ ottvonal mint soksz¨ogvonal ´altal meghat´ arozott soksz¨ogtartom´ anynak nevezz¨ uk. aval anal´og bizoJegyezz¨ uk meg tov´ abb´ a, hogy az 1.1.2. lemma bizony´ıt´as´ ny´ıt´ as azt is mutatja, hogy adott szakasz pontjai ´altal mint v´egpontok a´ltal defini´ alt szakasz pontjai az eredeti szakasznak is pontjai. 1.1.2.2. Az elliptikus s´ık rendez´ese az elv´ alaszt´ as fogalma alapj´ an Amint azt a k´es˝ obbiekben l´ atni fogjuk, az abszol´ ut s´ıkon vannak nem metsz˝ o egyenesek. Ha olyan geometri´ at szeretn´enk fel´ep´ıteni, melyben minden egyenesp´ ar metsz˝o, a rendez´es fogalm´ at kell u ´jragondolni. Szeml´eletesen vil´ agos, hogy az euklideszi s´ıkb´ ol kiindulva defini´alhat´ o egy o˝t tartalmaz´o b˝ovebb s´ık” ” – a val´ os projekt´ıv s´ık – melyben m´ ar b´ armely k´et egyenes metszi egym´ast. Olyan rendez´esi m´odszert kell bevezetni, melyb˝ ol alkalmas specializ´al´assal az abszol´ ut geometri´ ak k¨ ozte van” fogalma a megk¨ovetelt tulajdons´agaival ” egy¨ utt ad´ odik.

Alaprel´ aci´ o: elv´ alaszt´ as” ”

Az elv´alaszt´ as jel¨ ol´ese: (ACBD), ami azt jelenti, hogy a n´egy pont kolline´ aris, ´es az A, B pontokat a C, D pontok elv´ alasztj´ak. ER1. Axi´ oma. Ha (ACBD), akkor (BCAD) ´es (CBDA). ER2. Axi´ oma. Az egyenes n´egy pontj´ ab´ ol pontosan egyf´elekk´eppen alkothat´ o k´et pontp´ ar u ´gy, hogy azok elv´ alassz´ ak egym´ ast. ER3. Axi´ oma. Az egyenes tetsz˝ oleges A, B, D ponth´ armas´ ahoz tal´ alhat´ o olyan C pont az egyenesen, amelyre (ABCD) teljes¨ ul.

1.1. Az alapok

7

ER4. Axi´ oma (Pasch). Legyen A, B, C h´ arom nem egy egyenesre illeszked˝ o pont, e ´es f pedig k´et egyenes, melyeknek D ∈ e, illetve D ∈ f pontjaira ul. Ha C nem illeszkedik e-re ´es f -re sem, akkor tal´ alunk (ADBD ) teljes¨ olyan E pontot e-n ´es E  pontot f -en, amelyekre (AECE  ), (BECE  ) egyike fenn´ all. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha ide´alis egyenesk´ent r¨ogz´ıt¨ unk egy egyenest a fenti axi´ om´akat kiel´eg´ıt˝ o elliptikus s´ıkon, ´es olyan pontn´egyesekre alkalmazzuk az elv´ alaszt´ as fogalm´at ´es axi´ om´ait, melyeknek egyik eleme ezen egyenesre esik, ´eppen visszakaphatjuk a k¨ ozte van” fogalm´ at ´es tulajdons´ agait. ” Val´ oban, legyen az ide´ alis egyenes f . Ha valamely e egyenes f -hez illeszked˝ o pontja D, akkor tov´ abbi A, B, C pontjaira pontosan akkor teljes¨ ulj¨on (ABC), ha eredetileg (ABCD) ´allt fenn. Mivel az els˝ o elv´alaszt´ asra vonatkoz´ o axi´ oma alapj´an feltehet˝o, hogy D az utols´o pontja a felsorol´asnak egy r¨ ogz´ıtett pontn´egyes eset´en, a k¨oz¨ott” szimmetri´ aja trivi´ alis. A m´asodik axi” ul pontosan eggyel alkotja a marad´ek oma szerint D az A, B, C pontok k¨oz¨ ´ kett˝ ot elv´alaszt´ o pontp´ art, ´ıgy a k¨oz¨ott” m´ asodik rendez´esi axi´ om´aja szint´en ” teljes¨ ul. Ha az egyenes k´et pontja A, B az f -en lev˝ o pontja pedig D, a harmadik axi´oma ´eppen a k¨ oz¨ ott” harmadik axi´ om´aj´at adja. V´eg¨ ul a negyedik ” axi´ oma a Pasch-axi´ om´at adja, ha f -et ide´ alis egyenesnek v´ alasztjuk. 1.1.3. Egybev´ ag´ os´ ag A vil´ agegyetem tetsz˝ oleges k´et l´etez˝ o objektuma nem tekinthet˝o azonosnak. Ez a kett˝ o” sz´o alapvet˝ o jelent´ese. Egy v´eges axi´ omarendszer a´ltal le´ırt struk” t´ ura ezt sohasem teljes´ıti. A geometri´an bel¨ ul az egybev´ ag´ os´ ag fogalma hiva´ tott eld¨ onteni, hogy k´et objektum azonosnak tekinthet˝ o-e vagy sem. Erdekes felismerni, hogy milyen keveset kell elhinn¨ unk ahhoz, hogy l´enyeg´eben tetonthess¨ uk az azonoss´ ag k´erd´es´et. A szimmetria sz˝ oleges objektump´arr´ ol eld¨ kedv´e´ert a szakaszok ´es a sz¨ogtartom´anyok fogalm´ at p´arhuzamosan axiomatiz´ aljuk. Ez nyilv´anval´oan sz¨ uks´egtelen b˝ ov´ıt´eshez vezet, ahogy ezt a nagy el˝ od¨ ok munk´aib´ ol l´athatjuk.

Alaprel´ aci´ o: szakaszok ´es sz¨ ogek egybev´ ag´ os´ aga” ”

Ha AB ´es CD k´et szakasz, az egybev´ ag´ os´ agukat AB ∼ = CD jel¨oli. E1. Axi´ oma (Felm´er´esi axi´ oma). B´ armely egyenes b´ armely pontj´ ab´ ol a pont altal meghat´ ´ arozott mindk´et f´elegyenes´ere felm´erhet˝ o egy-egy, az adott szakasszal egybev´ ag´ o szakasz. E2. Axi´ oma. Az egybev´ ag´ os´ ag ekvivalenciarel´ aci´ o.