CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Kejadian Peluang Bersyarat Klasifikasi Peubah Acak Distribusi p.a Diskrit Distribusi p.a Kontinu

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si

T ELKOM U NIVERSITY JALAN T ELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG , I NDONESIA

Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si

CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya


Ruang Sampel dan Kejadian

P EUBAH ACAK ( P. A ) Fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan real RUANG S AMPEL Himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Anggota dari ruang sampel adalah kejadian elementer




Ani dan Sepatunya

S = {(d, b); d, b = 0, 1, 2, 3 d + b = 3}




Peluang Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, P(A) = lim

n→∞


n(A) n(A) = n n(S)



Aksioma Peluang

1

0 ≤ P(A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A

2

P(S) = 1

3

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

4

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P(A ∩ B) = P(A) P(B)




Teorema Peluang

1

P(Ac ) = 1 − P(A)

2

Jika A ⊂ B, maka P(A) ≤ P(B)




Peluang Bersyarat

Jika A dan B dua kejadian, dengan P(B) > 0, peluang bersyarat A diberikan B, didefinisikan P(A|B) =


P(B ∩ A) P(B)



Teorema Bayes

Jika kejadian - kejadian A1 , A2 , A3 , ..., An adalah partisi dari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P(B) > 0, berlaku, P(Ai ∩ B) P(B) P(B|Ai )P(Ai ) = Pn i=1 P(B|Ai )P(Ai )

P(Ai |B) =




Latihan

’Pak Mad’ mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya laki-laki, diberikan bahwa ’Pak Mad’ tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki?




S = {(p, p); (p, l); (l, p); (l, l)} B : kejadian memiliki 2 anak laki-laki A : kejadian paling tidak memiliki 1 anak laki-laki P(A ∩ B) P(A) P{(ll)} ∩ {(ll), (lp), (pl)} = P{(ll), (lp), (pl)}

P(B|A) =




Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 13 . Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 12 . Ayu memutuskan untuk melemparkan koin dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat ’A’ di kursus Matematika?




C : kejadian Ayu mengambil kursus Matematika A : kejadian Ayu mendapat ’A’ P(A ∩ C) = P(A|C)P(C) 1 1 = 3 2




Peubah Acak

1

Peubah Acak Diskrit p.a X dikatakan p.a diskrit jika semua nilai dari X merupakan bilangan cacah

2

Peubah Acak Kontinu p.a X dikatakan p.a kontinu jika semua nilai dari X merupakan bilangan real




Fungsi Kepadatan Peluang

1

Peubah Acak Diskrit probability mass function (pmf), p(x) = P(X = x)

2

Peubah Acak Kontinu probability density function (pdf), Z P(a ≤ X ≤ b) =

b

f (x)dx a




Fungsi Distribusi Kumulatif Cumulative distribution function (cdf) dari p.a X, F(x) = P(X ≤ x), −∞ < x < ∞; 0 ≤ F(x) ≤ 1

1

Peubah Acak Diskrit F(x) = P(X ≤ x) = Σt≤x p(t)

2

Peubah Acak Kontinu Z

x

F(x) = P(X ≤ x) =

f (t)dt −∞




Catatan

Peubah Acak Diskrit 1

P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)

2

P(X ≤ b) 6= P(X < b)

Peubah Acak Kontinu 1

P(a < X ≤ b) =

2

P(X = a) = 0

Rb a

f (t)dt




Ekspektasi 1

Peubah Acak Diskrit E(X) =

X

xp(x)

x 2

Peubah Acak Kontinu Z E(X) =

xf (x)dx x

VARIANSI Var(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si



Fungsi Pembangkit Momen 1

Peubah Acak Diskrit MX (t) = E(etx ) =

X

etx p(x)

x

2

Peubah Acak Kontinu tx

Z

MX (t) = E(e ) =

etx f (x)dx

x




Distribusi p.a Diskrit

Sumber: Sheldon M. Ross, 2010




Distribusi p.a Kontinu

Sumber: Sheldon M. Ross, 2010 Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si



Latihan

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?




Latihan

Tentukan fungsi distribusi kumultif (cdf) dari distribusi Exponensial?




Latihan

Jika X, Y p.a saling bebas dan masing-masing berdistribusi Poisson dengan mean λ1 dan λ2 . Tunjukkan bahwa p.a X + Y berdistribusi Poisson dengan mean λ1 + λ2 .



CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

Recommend Documents