By. Risa Farrid Christianti, S.T.,M.T

* By. Risa Farrid Christianti, S.T.,M.T.

*  

Fasor tegangan dan arus pada resistor Perhatikan Gambar 1 dibawah ini

Gambar 1.a. Dalam daerah waktu

Gambar 1.b. Dalam daerah frekuensi



Kita mulai dari persamaan daerah waktu, lalu buat kedua arus dan tegangan menjadi kuantitas kompleks 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , setelah menekan di seluruh persamaan, maka didapatkan hubungan yg diinginkan antara tegangan fasor dan arus fasor.



Pada rangkaian R, gambar 1.a, dapat diperoleh persamaan : v(t) = Ri(t) …………………(1)



Sekarang kita pakai tegangan kompleks :

Vme j (t  )  Vm cos(t   )  jVm sin(t   ) …….(2)



Untuk arus kompleks :

I me j (t  )  I m cos(t   )  jI m sin(t   ) …..(3)





Sehingga dari persamaan (2) dan (3) didapatkan :

Vme j (t  )  RI me j (t  ) …………..(4)

Dengan membagi seluruh ruas dengan

maka didapatkan :



Vme j  RI me j

e

jt

…………..(5)

Persamaan (5) dalam bentuk polar,

Vm  RI

.…………(6)



Persamaan (6) hanya merupakan bentuk fasor tegangan umum dan fasor arus umum V dan I, jadi :

V = RI



………….(7)

Jadi hubungan tegangan arus di dalam bentuk fasor sebuah tahanan mempunyai bentuk yang sama seperti hubungan tegangan dan arus daerah waktu. (Lihat Gambar 1.b)



Contoh : Jika sebuah tegangan

v  8 cos(100t  50 ) 0

melintasi tahanan 4 Ohm, maka carilah arus pada daerah waktu dan fasor (frekuensi)?

jawab : arus (daerah waktu) :

v(t ) 8 cos(100t  500 ) i(t )    2 cos(100t  500 ) R 4 Dalam bentuk fasor, tegangan menjadi :

8  50

Sehingga arus dalam bentuk fasor adalah :

V 8  500 I   2  500 A R 4

0

V

A

 

Fasor tegangan dan arus pada induktor Perhatikan Gambar 2.a dan 2.b dibawah ini.

Gambar 2.a. daerah waktu

Gambar 2.b. daerah frekuensi



Kita bisa mendapatkan persamaan tegangan untuk Gambar 2.a pada daerah waktu :

di(t ) v(t )  L dt …………(8)



Subtitusikan persamaan (2) dan (3) pada persamaan (8), sehingga didapatkan :

Vm e j (t  )



d ( I m e j (t  ) ) L ……………….(9) dt

Dari hasil turunan persamaan (9), didapat

Vme j (t  )  jLI me j (t  ) ……………(10)



Dengan menekan

e

jt , maka didapatkan :

Vme j  jLI me j ………….(11) 



Maka didapatkan hubungan fasor yang diinginkan sbb:

V  jLI

…………………(12)

Untuk sudut dari faktor jL besarnya tepat +90 derajat, jadi dapat disimpulkan bahwa arus (I) harus tertinggal dari V sebesar 90 derajat dalam sebuah induktor.



Contoh soal Jika diberikan sebuah tegangan fasor

8  500 Volt

dengan frekuensi  = 100 rad/s kepada sebuah induktor 4H. Maka arus fasornya adalah :

jawab :

V 8  50 0 I    j 0,02  50 0 A j L j.100.4 arus diatas dalam bentuk imajiner, maka bentuk riilnya adalah :

I  0,02  1400 A

Jika kita nyatakan arus fasor diatas ke dalam ungkapan arus domain waktu, maka :

i(t )  0,02 cos(100t  1400 ) A

 

Fasor tegangan dan arus pada kapasitor Perhatikanlah Gambar 3.a dan 3.b dibawah ini.

Gambar 3.a. daerah waktu

Gambar 3.b. daerah frekuensi



Pada Gambar 3.a, kita mendapatkan persamaan sbb :

dv(t ) i(t )  C dt



………………(13)

Sekali lagi, dengan mengambil v(t) dan i(t) sebagai kuantitas komplek (2) dan (3), dengan mengambil turunan jt ,maka persamaan yang ditunjukkan, serta menekan fasor dari I didapatkan sbb:

e

I  jCV ………………(14)



Jadi, dapat dilihat bahwa arus (I) mendahului tegangan V sebesar 90 derajat.



Contoh soal 0 Jika sebuah tegangan fasor 8  50 Volt, diberikan pada kapasitor 4 F dan  = 100 rad/s, maka arus fasornya adalah ………………………… Jawab:

I  jCV I  j.100.4.(8  50 0 )  j 400(8  50 0 )  40090 0.(8  50 0 )  400.8 90 0 - 50 0  320040 0 A

Persamaan arus dalam domain waktunya adalah :

i (t )  3200 cos(100t  400 ) A



Rangkuman hubungan fasor tegangan dan arus pada tahanan, induktor dan kapasitor

Komponen

Pers. daerah waktu

Pers. daerah frekuensi

Tahanan

v = Ri

V = RI

Induktor

v = L di/dt

V = jLI

Kapasitor

i = C dv/dt

I = jCV

* 

Hubungan arus dan tegangan untuk ketiga elemen pasif (R, L, dan C) adalah sbb:

V  RI



V  jLI

V 

I jC

Jika ketiga persamaan diatas kita tuliskan kedalam perbandingan fasor tegangan dan arus maka:

V R I

V  jL I

V 1  I jC



Kita dapatkan bahwa untuk L dan C adalah fungsi sederhana dari harga elemen dan juga frekuensinya.



Perbandingan tegangan dan arus adalah yang disebut impedansi dengan simbol Z.



Impedansi adalah sebuah kuantitas kompleks yang berdimensi ohm, impedansi bukanlah fasor yang bisa ditransformasikan ke daerah waktu.



Contoh :

Jika diketahui  = 10^4 rad/s, dengan induktor sebesar 5 mH yang tersusun seri dengan kapasitor sebesar 100 uF, maka impedansi total dari rangkaian seri L-C adalah:

jawab:

Z L  jL  j50

1 ZC    j1 jC Impedansi seri adalah :

Z eq  j 50  j1  j 49 



Jika rangkaian L-C di atas di rangkai secara paralel, maka impedansi ekivalennya adalah:

( j50)( j1) 50 Z eq     j1,02 j50  j1 j 49



Bilangan kompleks atau kuantitas yang menyatakan impedansi dapat dinyatakan baik dalam bentuk polar maupun bentuk rectangular.



Dalam bentuk polar, misalkan impedansinya adalah 100  60 maka artinya bahwa impedansi ini memiliki magnitudo = 100 dan sudut fase -600.



Impedansi yang sama 100  60 0, bila dinyatakan dalam bentuk rectangular , maka 50 – j86,6. Ini bisa dikatakan bahwa impedansi ini mempunyai komponen penahan / resistansi sebesar 50 Ohm, dan komponen reaktif / reaktansi sebesar -86,6



Komponen penahan/ resistansi adalah bagian riil impedansi sedangkan komponen reaktif adalah bagian imajiner dari impedansi.



Secara umum, bentuk impedansi dalam bentuk rectangular adalah :

Z = R + jX



Sedangkan dalam bentuk polar adalah : Z = |Z| 

dengan :

| Z | R 2  X 2

X   tan R 1

*  

Admitansi merupakan kebalikan dari impedansi.



Kita definisikan admitansi sebagai Y

Sebagai kebalikan impedansi, admitansi menawarkan beberapa hal yang memudahkan didalam analisis keadaan mantap sinusoida dari rangkaian RLC. ,



=

Persamaan diatas tidak mengatakan bahwa bagian riil admitansi sama dg kebalikan riil impedansi

I Y V

1 Y Z

Y

1 1  G  jB  Z R  jX

1 1 Y   G  jB  Z R  jX

Dengan : G = konduktansi B = suseptansi Satuan Y, G dan B semua dalam mho (ohm kebalik).  Misalkan impedansi Z = 1 – j2 ohm dapat dinyatakan dengan tahanan 1 Ohm seri dengan kapasitansi 0,1 uF, jika  = 5 Mrad/s. Maka rangkaian tanahan (R) seri dengan kapasitansi mempunyai admitansi

1 1 1 1 j2 Y   .  0,2  j 0,4 Z 1 j2 1 j2 1 j2

 Admitansi ekivalen sebuah rangkaian pararel adalah jumlah admitansi dari setiap cabang.  Jadi pernyataan admitansi Y = 0,2 + j0,4 itu bisa dinyatakan dengan konduktansi (G) 0,2 pararel dengan suseptansi (B) 0,4.  Konduktansi (G) 0,2 bisa didapat dari tahanan 5 Ohm.  Suseptansi (B) 0,4 bisa didapat dari kapasitor 0,08 uF pada  = 5 Mrad/s.  Perlu diingat bahwa Y(kapasitor) = jC

R = 1 Ohm ; C = 0,1 uF ;  = 5Mrad/s. Maka

1 Z eq  Z R  Z C  R  jC 1 1 Z eq  1   1 6 6 j.5.10 .0,1.10 j 0,5 Z eq  1  j 2

Admitansi rangkaian diatas adalah : 1 1 Y  Z eq 1  j 2

Untuk menyelesaikan admitansi diatas, maka jadikan penyebutnya dalam bilangan riil yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dg conjugate penyebutnya

Y

1 1 j2 .  0,2  j 0,4 1 j2 1 j2

Dengan : Konduktansi (G) = 0,2 Suseptansi (B) = 0,4  Admitansi Y = 0,2 + j0,4 bisa didapat dari rangkaian konduktansi (G) pararel dengan suseptansi (B) Y = Y(resistor) + Y(kapasitor) Y = G + JB Dimana : Y(kapasitor) = 1 / Zc = jwC

 Sehingga kita mendapatkan G = 0,2 mho dari tahanan resistor R= 5 ohm.

 Kita mendapatkan suseptansi B = 0,4 dari rumus

Y(kapasitor) = jC = jB

 Misalkan nilai C = 0,08 uF dan  = 5 Mrad/s,

maka dengan nilai ini kita dapat mendapatkan B = 0,4

*