Oleh : Danny Kurnianto; Risa Farrid Christianti Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto
Pendahuluan Setelah kita mempelajari tanggapan alamiah dari
suatu rangkaian RL atau RC, yaitu tanggapan saat sumber (tegangan atau arus) ditiadakan secara tibatiba, maka pada pertemuan kali ini kita akan belajar mengenai tanggapan pemaksa dari rangkaian RL atau RC. Tanggapan pemaksa terjadi ketika sumber (tegangan atau arus) diterapkan secara tiba-tiba pada rangkaian RL atau RC.
1. Fungsi Pemaksa Tangga Satuan Definisi : fungsi pemaksa tangga satuan adalah sebuah
fungsi yang sama dengan nol bila semua harga argumennya lebih kecil dari nol dan sama dengan satu bila harga argumennya lebih besar dari nol (positif). Jika (t-t0) adalah argumen, dan u adalah fungsi tangga satuan , maka u(t-t0) = 0 untuk semua t yang lebih kecil dari t0 dan sama u(t-t0) = 1 untuk semua t yang lebih besar dari to. Definisi matematis untuk menggambarkan fungsi tangga satuan di atas adalah :
0 t t 0 (t t0 ) 1 t t0 ………………………..(1) Grafik fungsi tangga satuan u(t-t0) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. u(t-t0)
1
0
to
t
Jika waktu diskontinuitas (perpindahan keadaan)
terjadi saat to = 0 , maka fungsi tangga satuan menjadi u(t-0) atau yg lebih sederhana lagi menjadi u(t). Hal ini ditunjukkan oleh definisi matematisnya :
u (t ) 1 t 0 0 t 0
…………….(2)
Grafik fungsi tangga satuan u(t) ditunjukan pada Gambar 2.
u(t)
1
t 0 Gambar 2. Fungsi tangga satuan u(t)
Fungsi tangga satuan itu sendiri tidak berdimensi, jika
ingin dinyatakan sebagai sebuah tegangan, maka perlu mengalikan u(t-t0) dengan suatu tegangan konstan (V). Jadi v(t) = Vu(t-t0).
Gambar 3. Rangkaian ekivalen dari Vu(t-t0)
Jika ada suatu fungsi tangga satuan sebagai berikut :
u(t-t0)-u(t-t1), maka dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut :
0 u (t ) 1 0
t t0 t0 t t1 t t1
……………..(3)
u(t)
1
t t0
t1
Contoh 1
Berapa nilai dari fungsi tangga satuan berikut ini pada t = 1,5 s. a.) 2u(t-2) + u(t+1) + u(t-1) b.) [u(t-1) – u(1-t)] u(t+1) 2. Untuk rangkaian pada gambar dibawah ini, carilah nilai v1 pada t : a.) -5 s b.) -1 s c.) 1 s 1.
Jawab:
Dengan t = 1,5 s, maka fungsi tangga satuan a.) 2u(1,5-2) + u(1,5+1) + u(1,5-1) 2.0 + 1 + 1 = 2 b.) [u(1,5-1) – u(1-1,5)] .u(1,5+1) [1 – 0]. 1 = 1 2. Nilai v1, pada a.) t = -5 s, hasilnya adl nilai v1 = 50 V b.) t = -1 s, hasilnya adl nilai v1 = 90 V c.) t = 1 s , hasilnya adl nilai v1 = 34 V 1.
2. Tanggapan Lengkap Rangkaian RL dan RC Tanggapan lengkap suatu rangkaian RL dan RC adalah
penjumlahan tanggapan alamiah dan tangapan paksaan rangkaian. Perhatikan rangakain RL sederhana dibawah ini:
Gambar 5
Mula-mula kita nyatakan arus ini sebagai jumlah arus
alami dan arus paksaan. i(t) = in + if Tanggapan alamiah dianalisis ketika rangkaian tanpa sumber (sumber dihubung singkat atau saat t < 0), maka didapatkan in Ae
Rt L
Tanggapan paksaan tergantung pd sifat fungsi
pemaksa itu sendiri. Tanggapan paksaan haruslah positif untuk semua harga waktu yang positif (t> 0). Sehingga arus paksaan if adalah: V if R
Jadi tanggapan total arus adalah : Rt V L i (t ) Ae R Untuk mencari nilai A, maka dipakai syarat awal, yaitu
nilai arus saat segera setelah t = 0 yaitu i(0) = 0. V 0 A R Sehingga
V A R
Maka tangapan totalnya menjadi V V RtL i(t ) e R R
Grafik tanggapan arus total
Gambar 6. grafik tanggapan arus total
Sekarang kita perhatikan rangkaian dibawah ini
Gambar 7.
Pada gambar 7 diatas terdapat sumber tegangan dc ,
sumber tegangan tangga satuan . Kita tentukan nilai i(t) untuk semua harga waktu. Kita dapat melihat rangkaian disebelah kiri induktor dengan rangkaian thevenin, sehingga tahanan thevenin nya adalah rangkaian pararel R = 2 Ohm dan R = 6 Ohm yaitu Rth = 1,5 Ohm. Rangkaian tersbeut mengandung hanya satu elemen penyimpan energi, yaitu induktor sehingga respon alamiahnya adalah sebuah eksponensial negatif.
in Ae
Rt L
Ae
1, 5t 3
Ae
t 2
……….. t > 0
Respon arus paksaan if haruslah arus yang dihasilkan
sebuah tegangan konstan sebesar 100 Volt, induktor berlaku seperti hubungan pendek sehingga rangkaian menjadi
Jadi tanggapan arus paksaannya adl
100 if 50 2
Jadi tanggapan total arusnya adalah
i(t ) i f in i(t ) 50 Ae 0,5t
t >0 Untuk menghitung A, kita harus mendapatkan harga awal arus induktor sebelum t = 0, yaitu rangkaian menjadi
i(t) = 50 : 2 = 25 ampere
t < 0 Dari harga i(0) = 25 ampere, kita dapat mencari nilai A yaitu
25 50 Ae 0 25 = 50 + A A = -25 Maka arus total menjadi :
i(t ) 50 25e 0,5t
t > 0
Grafik tanggapan lengkap untuk semua waktu t seperti diperlihatkan pada Gambar dibawah ini.
Tanggapan alamiah bertugas menghubungkan tanggapan untuk t < 0 dengan tanggapan paksaan yg konstan
Gambar 8. Grafik tanggapan lengkap semua t
Tanggapan untuk Rangkaian RC
Perhatikan rangkaian RC pada gambar 9 di bawah ini.
Gambar 9. Rangkaian RC
Tanggapan lengkap rangkaian RC adl sebagai
penjumlahan tanggapan alami dan paksaan. Pada t < 0, kontak penghubung berada pada posisi (a) dalam waktu yg lama sehingga tanggapan alami telah menurun menjadi amplitudo yg dapat diabaikan, dan sekarang tinggal tanggapan paksaan dari sumber 120 V. Tegangan vc(t) pada t < 0 diakibatkan oleh sumber 120 V konstan sehingga tdk ada arus yg mengalir pada kapasitor. Sehingga vc(0) adalah pembagi tegangan pada tahana 50 Ohm terhadap sumber 120 V.
50 vc(0) .120 100 50 10 Karena tegangan kapasitor tdk dapat berubah seketika, maka tegangan ini berlaku juga pada t = 0+ dan t = 0-. Kontak penghubung sekarang dilemparkan ke b, dan tanggapan lengkap adalah :
vc vc f vcn Tanggapan alamiah didapat dengan mengganti sumber 50 v dg sebuah hubungan pendek untuk menghitung tahanan ekivalen. 1 Re q 24 1 1 1 50 200 60
vcn Ae
t Re q .C
Ae
t 1, 2
Untuk menghitung tanggapan paksaan bila kontak Penghubung berada pada posisi b, kita tunggu sampai tegangan dan arus telah berhenti berubah, jadi perlakukanlah kapasitor sebagai rangkaian terbuka. Maka sekali lagi kita menggunakan pembagi tegangan.
(50)(200) /(50 200) vcf 50 20 60 (50)(200) /(50 200)
Sehingga tanggapan total vc adalah :
vc 20 Ae
t 1, 2
Untuk mendapatkan nilai A, kita gunakan syarat awal
yaitu vc saat sebelum t = 0. Sehingga : 100 = 20 + A A = 80. sehingga tanggapan total vc menjadi :
vc 20 80e
t 1, 2
t>0
Grafik tanggapan total vc seperti pada gambar di
bawah ini
