Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék. Elektromechanika. Előadási segédlet. 1

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék

Elektromechanika Előadási segédlet

1.fejezet Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

Dr. Nagy István BME-n tartott előadásai alapján írta a tanszéki munkaközösség Átdolgozta: Dr. Nagy István

2008.

Elektromechnika

1.

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

TÖBBFÁZISÚ, SZIMMETRIKUS HÁLÓZATOK

n fázisú szimmetrikus hálózat ............................................................................................ 2 Háromfázisú hálózatok....................................................................................................... 3 Csillag kapcsolású rendszer (Y kapcsolás) ......................................................................... 5 Háromszög (delta) kapcsolású rendszer............................................................................. 7 Teljesítményviszonyok 3 F-ú rendszerben....................................................................... 10

1

Elektromechnika

1.

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

TÖBBFÁZISÚ, SZIMMETRIKUS HÁLÓZATOK

1.1 n fázisú szimmetrikus hálózat Több fázis esetén a fázis szám n = 2, 3, 4… A gyakorlat szempontjából az n = 3, háromfázisú hálózatnak van a legnagyobb jelentősége. Az általánosság kedvéért azonban a többfázisú szimmetrikus hálózat definícióját n fázisra adjuk meg. E hálózatokban valamennyi időben változó mennyiség ugyanazzal az ω körfrekvenciával szinuszosan váltakozik. Az időben változó mennyiség lehet feszültség, áram, fluxus, indukció stb. Az időben változó mennyiséget a következőkben x-szel jelöljük. A szinuszos változás miatt x lehet komplex vektor. A szimmetrikus jelző azt jelenti, hogy az n fázist alkotó n feszültség vagy n áram stb. amplitúdója ugyanaz, csak a szomszédos fázishoz tartozó feszültség (vagy áram stb.) fázisban el vannak tolva egymáshoz képest 2π/n fázisszöggel (1.1.1 ábra)

1.1.1 ábra. Szimmetrikus n fázisú rendszert alkotó x változók. φ = 2π/n Az n fázisú rendszer leírása komplex alakban ( X m = amplitúdó) x1 = X m e jωt x 2 = x1e − jϕ

x3 = x1e − j 2ϕ .. .

x k = x1e − j ( k-1)ϕ .. .

x n = x1e − j ( n-1)ϕ

ill. időfüggvényekkel

2

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

x1 = X mcosωt x2 = X mcos(ωt − ϕ ) x3 = X m cos(ωt − 2ϕ ) .. . xk = X m cos(ωt − (k − 1)ϕ ) .. . xn = X m cos(ωt − (n − 1)ϕ ) Szimmetrikus több fázisú rendszerben a vektorok összeadva zárt sokszöget alkotnak (1.1.2 ábra).

1.1.2 ábra. Szimmetrikus többfázisú rendszer vektorait összeadva zárt sokszöget kapunk. n = 3 (a ábra), n = 6 ( b ábra) A fentiekből az is következik, hogy szimmetrikus többfázisú rendszerben az azonos változó mennyiségek pillanatértékeinek összege minden időpontban zérus. E tételnek rendkívül nagy gyakorlati jelentősége van. A gyakorlatban legtöbbször előforduló fázisszám a háromfázisú mellett az n= 2, 6, 12. Hangsúlyozni kell, hogy a gyakorlatban alkalmazott n = 2 kétfázisú rendszer rendhagyó, tulajdonképpen nem szimmetrikus mivel a ϕ fáziseltolás itt csak ϕ = 90o a 180o helyett. Aszimmetrikus több fázisú rendszerben vagy az amplitúdók vagy a fáziseltolások eltérőek vagy mind a két mennyiségben különböznek egymástól. A következőkben a háromfázisú, szimmetrikus hálózatokkal foglalkozunk.

1.2 Háromfázisú hálózatok Ha három változó, pl. xR , xS és xT azonos frekvenciával és amplitúdóval időben szinuszosan váltakoznak, valamint az egymáshoz képesti fáziseltérés 120o , akkor e három jel szimmetrikus háromfázisú (3F) rendszert alkot. Az xR , xS és xT jelek időfüggvényei:

xR (t ) = X mcosωt

3

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

xS (t ) = X m cos(ωt + 240o )

(1.2.1)

xT (t ) = X m cos(ω t + 120o )

Az x jel lehet feszültség, áram, fluxus, indukció, stb. A komplex írásmódot ez esetben is o

alkalmazhatjuk, Szokás az a = e j120 mennyiséget, mint forgatóvektort használni, ekkor o

a 2 = e j 240 , és így egyenleteink:

x R (t ) = X m e jω t o

x S (t ) = X m e jω t e 240 = x R (t ) ⋅ a 2

(1.2.2)

o

xT (t ) = X m e jω t e120 = x R (t ) ⋅ a

A vektorok a komplex számsíkon a 1.2.1a ábrának megfelelően ábrázolhatók a t=0 időpontban. A vektorok időben ω szögsebességgel forognak.

1.2.1 ábra. Szimmetrikus 3 F rendszer idő és amplitudó vektorábrája A komplex idővektorok helyett gyakran szokás a komplex amplitudó vektorokat ábrázolni (1.2.1b ábra). Az ábrán

X R = X m , X S = X m a 2 , X T = X ma

(1.2.3)

a komplex amplitudók. Szimmetrikus háromfázisú rendszerek esetén minden időpontban teljesülnek az alábbi összefüggések:

xR (t ) + xS (t ) + xT (t ) = 0 x R (t ) + x S (t ) + xT (t ) = 0 X R + X S + X T (t ) = 0

(1.2.4)

Ezek közül az utolsó, komplex amplitudókra vonatkozó összefüggést bizonyítjuk. A (1.2.3) összefüggést felhasználva

4

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

X m (1 + a + a 2 ) = 0

(1.2.5)

1, a, a 2 záródó vektorháromszöget alkot, így az összegük azonosan zérus (1.2.2 ábra).

1.2.2 ábra. Forgatóvektorok összege A gyakorlatban két szimmetrikus, háromfázisú kapcsolás terjedt el: a csillag, vagy Y kapcsolás és a háromszög, vagy delta kapcsolás ( ∆ ).

1.3 Csillag kapcsolású rendszer (Y kapcsolás) A 1.3.1 ábrán három feszültséggenerátorról, három egyfázisú fogyasztót táplálunk. Alkossanak a feszültséggenerátorok feszültségei szimmetrikus háromfázisú rendszert, a fogyasztók impedanciája legyen egyenlő.

1.3.1 ábra. Csillagkapcsolású 3 F rendszer származtatása Ebben az esetben a fogyasztókon folyó iR , iS , iT áramok is szimmetrikus 3 F-ú rendszert alkotnak, így a szaggatottan rajzolt vezetőkben folyó áramok összege minden időpontban zérus: iR + iS + iT = 0 . Kézenfekvő, hogy az ábra szerinti rendszerben célszerű a szaggatottan rajzolt vezetőket összefogni, egyetlen vezetővel helyettesíteni, amely vezetőben szimmetrikus

5

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

terhelésnél nem folyik áram, így el is hagyható. Ezáltal szimmetrikus, csillagkapcsolású rendszerhez jutottunk 1.3.2 ábra.

1.3.2 ábra Szimmetrikus csillagkapcsolású 3 F-ú rendszer A rendszer teljes szimmetriája miatt a fogyasztói impedanciák kapcsai között a vezeték feszültségesésétől eltekintve a generátor feszültségek jelennek meg. A háromfázisú rendszerekben szokás az alábbi mennyiségeket definiálni. A fogyasztói impedancia vagy egy feszültséggenerátor feszültségét fázisfeszültségnek, az ezen áthaladó áramot pedig fázisáramnak nevezzük. A generátort a fogyasztóval összekötő vezetékek között mérhető feszültség az un. vonali feszültség, vagy kapocs feszültség, az összekötő vezetéken folyó áram a vonali áram. Szimmetrikus csillagkapcsolású rendszernél ((1.3.2) ábra) az iR , iS , iT áramok fázis és vonali áramok is egyben, tehát ez esetben a fázis és vonali áramok megyegyeznek. Az uR , uS , uT fázisfeszültségek és az uRS , uST , uTR vonali feszültségek közötti kapcsolatot a 1.3.3 vektorábra alapján írhatjuk fel, pl.: uRS = uS − uR Az ábra alapján a feszültség amplitúdók közötti kapcsolat 1 U RSm = U Rm cos30o , vagyis U RSm = 3U Rm . Itt az m index a maximumra, amplitúdóra utal. 2

Az egyenlet mind a két oldalát 2 -vel osztva effektív értéket kapunk. A vonali feszültség effektív értéke a fázisfeszültség effektív értékének 3 -szorosa. A fázis mennyiségekre f indexet a vonali mennyiségekre v indexet használva összefüggéseink: Iv = I f 3U f = U v

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(1.3.1) (1.3.2)

A háromfázisú rendszerek egyik nagy előnye a három különálló egyfázisúval szemben, hogy 6 összekötő vezeték helyett 3 elégséges, emiatt a vezeték veszteségek is feleződnek. Természetesen a létesítési költségek is lényegesen csökkennek (kevesebb anyag, munka szükséges). A gyakorlatban nem mindig biztosítható a szimmetrikus terhelés (pl. háztartások 6

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

esetében), ezért gyakran négyvezetékes rendszert használunk. A nullvezető keresztmetszete a fázisvezetőkhöz képest kisebbre választható, hiszen rajta csak a szimmetrikustól eltérő terhelő áram folyik. Ilyen rendszereknél a fogyasztót akár fázis (pl. 230V) akár vonali feszültségre (400V) lehet kapcsolni.

1.3.3 ábra. Vonali és fázisfeszültségek kapcsolata csillagkapcsolású rendszernél

1.4 Háromszög (delta) kapcsolású rendszer A 1.4.1 ábrán szimmetrikus 3 F-ú feszültségrendszert alkotó feszültséggenerátorokról azonos Z impedanciájú fogyasztókat táplálunk. Kézenfekvőnek látszik az R1 − R2 , S1 − S 2 , és T1 − T2 pontok összekötése, hiszen az R1 − R2 , S1 − S 2 pontok összekötése után T1 és T2 is összeköthető, ugyanis ez utóbbiak ekvipotenciális pontok, mivel a feszültséggenerátorok szimmetrikus 3 F-ú rendszert alkotnak. uT 2 ,T 1 = u RS + u ST + uTR = 0

A termelőt a fogyasztóval összekötő kettős vezetékeket közösítve delta (jelölése: ∆ ) kapcsolású szimmetrikus 3 F-ú rendszerhez jutunk. ∆ kapcsolású 3 F-ú rendszer esetén a fogyasztói impedanciákon fellépő fázisfeszültség megegyezik a vonali feszültséggel. Az egyes fogyasztói impedanciákon átfolyó iTR , i RS , iST fázisáramok és az i R , iS , iT vonali áramok közötti kapcsolat a 1.4.3 ábrán ohmos fogyasztót feltételezve felrajzolt vektorábrából vehető: pl. i R = iTR − i RS A vonali és a fázisáramok amplitudója közötti kapcsolat a 1.4.3 vektorábra szerint 1 I Rm = ITRm cos30o , vagyis I Rm = 3I TRm . Tehát ∆ kapcsolás esetén a vonali és a fázis 2 mennyiségek effektív értékei közötti kapcsolat

I v = 3I f

(1.4.1)

Uv = U f

(1.4.2) 7

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

Ha ohmos fogyasztó helyett Z impedanciát tételezünk fel minden fázisban, pl. uST -vel iST nem lesz fázisban, hanem Z = Ze jϕ esetén φ szöggel késik uST -hez képest.

1.4.1 ábra. Delta kapcsolású szimmetrikus 3 F-ú rendszer származtatása

1.4.2 ábra. ∆ kapcsolású 3 F-ú rendszer Minden fázisban ez a helyzet, ezért a gyakorlatban nem szükséges mind a három fázisra külön vektorábrát rajzolni, a vektorábra 120o -onként ismételné önmagát, új információt nem adva. A fázis és vonali mennyiségek közötti összefüggés így ez esetben is a (1.4.1) és (1.4.2) egyenleteknek megfelelő marad, hiszen az áramokra vonatkozó 1.4.3 vektorábra csupán ϕ szöggel elfordul a feszültség vektorábrához képest. A gyakorlatban természetesen nemcsak csillagkapcsolású generátort kötnek össze csillagkapcsolású fogyasztóval, hanem minden kombináció előfordulhat. T-vel a termelőt Ffel a fogyasztót jelölve a lehetséges kombinációkat a 1.4.4 ábra foglalja össze.

8

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

1.4.3 ábra. Vonali és fázisáramok kapcsolata ∆ kapcsolású rendszernél ohmos terhelésnél

1.4.4 ábra. Termelőből (T) és fogyasztóból (F) álló Y és ∆ kapcsolás kombinációk A jelölés 3 vezetékes összeköttetést jelent. Az első csillag-csillag változat esetében a nulla vezető kiépítésekor egy ötödik rendszerhez jutunk (1.4.5 ábra).

1.4.5 ábra. Négy vezetékes rendszer összekötött csillagpontokkal Erre a kapcsolásra azért van szükség, mert egyes fogyasztók fázisonként nem szimmetrikus terhelést adnak (pl. háztartások). Ilyenkor a (1.2.4) egyenletek már nem érvényesek, a szimmetria megbomlik.

9

Elektromechnika

1. Fejezet - Többfázisú, szimmetrikus hálózatok

1.5 Teljesítményviszonyok 3 F-ú rendszerben A háromfázisú rendszer teljesítménye az egyes fázisok teljesítményéből számítható. Szimmetrikus esetben az összes hatásos teljesítmény az egy fázisban fellépő teljesítmény háromszorosa: P = 3U f I f cosϕ

(1.5.1)

amely a vonali mennyiségekkel Y és ∆ kapcsolásban egyaránt (Y kapcsolásban I v = I f , U v = 3U f , ∆ kapcsolásban I v = 3I f , U v = U f ).

P = 3U f I f cosϕ

(1.5.2)

alakban írható. Hasonlóképpen a meddő és a látszólagos teljesítmények: Q = 3U f I f sinϕ = 3U v I vsinϕ

(1.5.3)

S = 3U f I f = 3U v I v

(1.5.4)

Hangsúlyozottan fontos felismerni, hogy amíg egyfázisú rendszerben a hatásos teljesítmény egy átlagérték körüli kétszeres frekvenciával lüktető időfüggvény, addig szimmetrikus háromfázisú esetben állandó, hiszen a pillanatérték teljesítmény

p(t ) = u RiR + uS iS + uT iT = = U m cosωt ⋅ I mcos(ωt - ϕ ) + U mcos(ωt + 240o ) I m cos(ωt - ϕ + 240o ) + + U m cos(ωt + 120o ) I m cos(ωt - ϕ + 120o ) Trigonometriai átalakítás után p(t ) =

[

[

]

U ⋅ I [cosϕ + cos(2ωt - ϕ )] + U ⋅ I cosϕ + cos(2ωt + 120 o − ϕ )

]

+ U ⋅ I cosϕ + cos(2ωt + 240 − ϕ ) = o

(1.5.5)

3U ⋅ Icosϕ = P

összefüggéshez jutunk, ahol figyelembe vettük, hogy a lüktető kétszeres frekvenciájú tagok összege minden időpontban zérus. A teljesítmény időbeni állandósága is a háromfázisú rendszer egyik jelentős előnye és oka elterjedésének. Ez az elvi alapja annak, hogy a háromfázisú motorok nyomatéka időben állandó. Állandó szögsebesség esetén a P = ΩM ismert összefüggésből látjuk, hogy P=áll. esetén az M nyomaték is állandó. Ez elvi lehetőséget ad lüktető nyomaték nélküli szimmetrikus háromfázisú villamos forgógépre.

10