BSc THESIS. Het ontwerp van elektromagneten, spindel en het frame in een zwevende spindelopstelling. Menno de Haas en Javier Sint-Jago

2008

BSc THESIS Het ontwerp van elektromagneten, spindel en het frame in een zwevende spindelopstelling Menno de Haas en Javier Sint-Jago

Abstract

Groep 2-2008

Actieve magnetische lagering (AML) is het in positie houden van een roterende spindel. In deze thesis wordt het ontwerp van enkele onderdelen van een vereenvoudigde AML-opstelling uiteen gezet. Het verschil met een conventionele AML-opstelling is dat de spindel slechts in tweedimensionale richting wordt gestabiliseerd en deze niet roteert. De onderdelen van de opstelling die aan bod komen, zijn de dimensionering van de elektromagneten, het ontwerp van de spindel en het ontwerp van het frame van de opstelling. Inzichten worden verkregen op het gebied van magnetische velden om verdere theorie omtrent elektromagneten uit te werken. Een regelsysteem met sensoren zorgt voor de aansturing van de twee elektromagneten. De elektromagneten moeten in staat zijn de spindel op een vaste positie te houden. De opstelling is bedoeld als testen demonstratieopstelling voor stabilisatie-algoritmen.

Faculteit Elektrotechniek, Technische Wiskunde en Technische Informatica

Het ontwerp van elektromagneten, spindel en het frame in een zwevende spindelopstelling Het ontwerptraject

THESIS

ingediend ter partiële vervulling van de vereisten ten aanzien van de graad BACHELOR OF SCIENCE in

Elektrotechniek door

Menno de Haas geboren te Almelo, Nederland Javier Sint-Jago geboren te Noord, Aruba

Faculteit Elektrotechniek, Technische Wiskunde en Technische Informatica Technische Universiteit Delft

Het ontwerp van elektromagneten, spindel en het frame in een zwevende spindelopstelling Het ontwerptraject

door Menno de Haas en Javier Sint-Jago Abstract ctieve magnetische lagering (AML) is het in positie houden van een roterende spindel. In deze thesis wordt het ontwerp van enkele onderdelen van een vereenvoudigde AMLopstelling uiteen gezet. Het verschil met een conventionele AML-opstelling is dat de spindel slechts in tweedimensionale richting wordt gestabiliseerd en deze niet roteert. De onderdelen van de opstelling die aan bod komen, zijn de dimensionering van de elektromagneten, het ontwerp van de spindel en het ontwerp van het frame van de opstelling. Inzichten worden verkregen op het gebied van magnetische velden om verdere theorie omtrent elektromagneten uit te werken. Een regelsysteem met sensoren zorgt voor de aansturing van de twee elektromagneten. De elektromagneten moeten in staat zijn de spindel op een vaste positie te houden. De opstelling is bedoeld als testen demonstratieopstelling voor stabilisatie-algoritmen.

A

Bachelor in

:

Commissieleden

:

Elektrotechniek

Adviseur:

Ir. Navin Balini

Lid:

Ir. Navin Balini, DCSC, TU Delft

Lid:

Dr. Ir. Paul Bauer, EPP, TU Delft

Menno: Voor mijn vader, moeder en broertje. Javier: Voor mijn ouders en zussen.

i

Inhoudsopgave

Lijst van Figuren

iv

Lijst van Tabellen

v

Voorwoord

vi

1 Inleiding

1

2 Integratie van ontwerpen 2.1 De sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Het regelsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3

3 Programma van eisen 3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Eisen vanuit het beoogde gebruik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Eisen vanuit de ecologische situering van het systeem in de omgeving 3.4 Eisen met betrekking tot het te ontwerpen systeem zelf . . . . . . . 3.4.1 Gebruikskenmerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Productie- en ingebruikstellingskenmerken . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4 4 4 4 4 4 5

. . . . .

6 6 8 10 11 12

. . . . . . . . .

14 14 14 16 20 20 21 21 21 22

4 Theorie elektromagneten 4.1 De magnetische flux . . . . . 4.2 Het magnetisch circuit . . . . 4.3 De coëfficiënt van zelfinductie 4.4 De magnetische veldenergie . 4.5 De magnetische kracht . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 Ontwerp van de Elektromagneten 5.1 Ontwerp van magnetische circuit . . . . . . . 5.1.1 Randvoorwaarden van Elekromagneet 5.1.2 Vorm elektromagneet . . . . . . . . . 5.2 Ontwerp van de spoel . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Draaddikte . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Wikkelingen . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Eigenschappen elektromagneet . . . . . . . . 5.3.1 Zelfinductie magneet . . . . . . . . . . 5.3.2 Kracht magneet . . . . . . . . . . . .

ii

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

6 Ontwerp Spindel 24 6.1 Materiaal van spindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 Vorm en afmetingen van de spindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Ontwerp Frame 26 7.1 Materiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2 Vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 8 Discussie betreffende het ontwerp 8.1 Meting van de zelfinductantie . . . 8.2 Validiteit model . . . . . . . . . . . 8.2.1 Model zonder kern . . . . . 8.2.2 Model met kern . . . . . . . 8.3 De functionaliteit van het ontwerp

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

28 28 30 30 32 33

9 Procesbeschrijving 37 9.1 De aanpak van het project . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 9.2 Onderlinge taakverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Bibliografie

39

10 Appendices 10.1 Appendix 10.2 Appendix 10.3 Appendix 10.4 Appendix 10.5 Appendix 10.6 Appendix

40 40 41 41 43 43 44

1 2 3 4 5 6

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

iii

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Lijst van figuren 2.1

De regellus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4.1 4.2 4.3 4.4

Contour door de soleno¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Veldlijnen ge¨ınduceerd door de windingen . . . . . . . . . . . Het magnetisch circuit (Hoe03, Figuur 3.7) . . . . . . . . . . Het circuit van magnetische reluctanties (Hoe03, Figuur 3.7)

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 7 9 9

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

Onderdelen bij de spindel . . Plaslic spoellichaam . . . . . Fluxbanen in magneet . . . . Vervangings schema . . . . . Afstand a . . . . . . . . . . . Definitie van de afmetingen . Reluctantie . . . . . . . . . . Verhouding reluctantie Rm,lek Elektromageneet . . . . . . . Zelfinductie . . . . . . . . . . Kracht bij stroom van 3 A . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

14 15 16 17 17 18 19 19 20 22 23

6.1

Spindel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7.1

Het frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

8.1 8.2

De elektromagneten houden zichzelf vast aan de spindel . . . . . . . . . . De totale opstelling geassembleerd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en Rm,spleet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1 Kracht bij stroom van 1 A en 2 A

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

45

Lijst van tabellen 5.1 5.2

Lengtes van de verschillende onderdelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lengtes van de verschillende onderdelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 20

8.1 8.2

Metingen aan spoelen met RLC-meter (f = 100 Hz) . . . . . . . . . . . . Uitkomsten matlabberekeningen appendix 10.2 . . . . . . . . . . . . . . .

28 32

9.1

Onderlinge taakverdeling

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Voorwoord

Tijdens het project zijn we met open armen ontvangen door medewerkers, onderzoekers en docenten. Hier zijn we hen zeer dankbaar voor. In het bijzonder zouden wij onze begeleider Navin Balini willen bedanken voor zijn grote inzet. Elk moment van de dag was je bereikbaar voor vragen. Kortom, je hebt ons erg goed ondersteund. Tevens willen we Liselot van Dam-Schuringa, Jeroen Bastemeijer, Danny de Gans, Martin Hoeijmakers en Martin Schumacher bedanken voor hun bereidwilligheid en ondersteuning.

Menno de Haas en Javier Sint-Jago Delft, Nederland 13 juni 2008

vi

1

Inleiding

Overal waar beweging plaats heeft, is sprake van wrijving. Kinetische energie wordt door wrijving omgezet in warmte, waardoor er grenzen ontstaan met betrekking tot de maximaal haalbare snelheid. Roterende onderdelen bereiken de maximale snelheid op het moment dat de lagers oververhit raken. De lagers kunnen vervangen worden door magneten die de roterende spindel laten zweven, waardoor er geen wrijving met vaste delen aanwezig is. Bij het laten zweven van de spindel moeten krachten worden geregeld die door de verschillende magneten worden uitgeoefend. Deze techniek wordt Actieve Magnetische Lagering (AML) genoemd. Het regelen wordt gedaan op basis van een algoritme dat in een regelsysteem ge¨ımplementeerd wordt. Het doel van het onderzoek is om de eerste stap te maken naar een werkende opstelling: het ontwerp van geschikte actuatoren, een spindel en het frame voor een zwevende spindelopstelling. Een combinatie van natuurkunde en ingenieursvaardigheden moet tot duidelijk afgewogen keuzes leiden. In deze thesis wordt het ontwerpproces toegelicht van enkele onderdelen die in een gesimplificeerde AML-opstelling aanwezig zijn. Het idee is dat een spindel zwevend wordt gehouden onder twee elektromagneten. In ons ontwerp is sprake van een tweedimensionale controle van de spindel in tegenstelling tot de driedimensionale controle die bij AML vereist is. Zo wordt inzicht verkregen in de basisprincipes die gelden bij het regelen van een spindel. In de diverse hoofdstukken wordt uitgelegd hoe verschillende onderdelen van het testsysteem zijn ontworpen, waarbij rekening wordt gehouden met randvoorwaarden die van tevoren zijn bepaald. Daarnaast wordt toegelicht hoe de onderdelen die door groep 2 zijn ontworpen, in de opstelling worden ge¨ıntegreerd. De voornaamste randvoorwaarden die tijdens het ontwerp in acht zijn genomen, hebben betrekking op de grootte van de benodigde kracht op de spindel om deze te laten zweven. De benodigde kracht is afhankelijk van de grootte van de spindel. De grootte van de spindel is daarom eerst vastgelegd. Allereerst geeft hoofdstuk 2 een beeld van de complete opstelling, waarbij het ontwerp uit deze thesis met overige ontwerpen samengevoegd wordt. Hoofdstuk 3 geeft in het programma van eisen een overzicht van de randvoorwaarden aan het ontwerp. In hoofdstuk 4 wordt de basistheorie afgeleid die nodig is om aan elektromagneten te rekenen. Hoofdstuk 5 beschrijft het ontwerpproces van de elektromagneten op basis van de theorie uit het hoofdstuk daarvoor. In hoofdstuk 6 wordt het ontwerp van de spindel besproken. Hoofdstuk 7 laat zien hoe de verschillende onderdelen in de opstelling worden gemonteerd. Tot slot wordt in hoofdstuk 9 beschreven hoe het totale ontwerpproces verlopen is en hoe taken onderling zijn verdeeld. Tijdens het proces is de doelstelling van het project bijgesteld. Dit wordt hier verder toegelicht.

1

2

Integratie van ontwerpen

Deze thesis beschijft, zoals is omschreven in de inleiding, het ontwerp van enkele onderdelen uit een opstelling die uit meerdere ontwerpen bestaat. In dezelfde werkgroep bevinden zich twee subgroepen die zich bezig houden met het ontwerp van de overige onderdelen in de opstelling, namelijk de sensoren en het regelsysteem. Figuur 2.1 geeft een beeld van hoe de ontwerpen in de opstelling ge¨ıntegreerd worden en op welke manier deze met elkaar interacteren. De actuatoren verplaatsen de spindel. De sensoren meten de positie die door de verplaatsing wordt veranderd en uiteindelijk berekent het regelsysteem de juiste stroom die nodig is om de positie van de spindel te corrigeren. In paragraaf 2.1 wordt het ontwerp van de sensoren kort ge¨ıntroduceerd. Daarna wordt in 2.2 toegelicht waar de ontwerpgroep voor de sensoren zich op heeft gericht. De actuatoren en het framework worden in deze thesis behandeld.

Framework Verplaatsing

Stroom

Positie

Figuur 2.1: De regellus

2.1

De sensoren

”Designing a position sensor for active magnetic bearings” door David Beijer en Robert Seepers Het regelsysteem heeft nauwkeurige informatie nodig over de positie van de spindel. Aan het meten van de positie moeten eisen gesteld worden op het gebied van

2

HOOFDSTUK 2. INTEGRATIE VAN ONTWERPEN

3

precisie en snelheid. Kleine afwijkingen in de positie van de spindel moeten doorgegeven worden in een meetbaar verschil in uitgangsspanning. Deze accurate informatie zorgt ervoor dat het regelsysteem op het juiste moment kan corrigeren. De sensoren worden gebaseerd op een analoog meetsysteem. Inductieve sensoren zullen teveel oppikken van het magnetisch veld dat door de elektromagneten ge¨ınduceerd wordt. Vanwege die reden wordt het meetsysteem op basis van de capacitieve werking tussen twee elektrisch geladen objecten gebaseerd. De spindel wordt elektrische geladen door een ring die zich om de spindel bevindt. De hoogfrequente spanning op de ring zal zorgen voor een capacitieve koppeling. De geladen spindel zal een capiciteit vormen met elk geleidend object in de omgeving. De verandering in de capaciteit ten opzichte van de spindel kan gemeten worden en omgezet worden in de positie van de spindel. De capaciteit is immers afhankelijk van de afstand tussen de spindel en het meetpunt.

2.2

Het regelsysteem

”Controller design for a levitated spindle system” door Ate Kleijn en Kenneth Odijk Aangezien het systeem van nature instabiel is, is het noodzakelijk om de stroom door de elektromagneten actief te regelen. Dit wordt ge¨ıllustreerd door het feit dat een constante stroom door de elektromagneten ervoor zorgt dat de positie van de spindel ´ of naar nul gaat - tegen de elektromagneet - óf naar oneindig - de spindel zal vallen. Dit betekent dat er op basis van informatie uit de sensoren moet worden berekend welke stroom door de elektromagneten gestuurd moet worden om de positie van de spindel zo stabiel mogelijk te houden. Het regelsysteem wordt ontworpen op basis van PID-control (Proportional-Integral-Derivative). De reactie van de controller wordt bepaald door de gewogen som van de drie PID-operatoren op de afwijking van de positie van de spindel. De PID-controller moet snel genoeg zijn om de positie van de spindel te corrigeren voordat de positie divergeert naar nul of oneindig. De elektromagneten kunnen een beperkte kracht uitoefenen op de spindel. Als het afstandsverschil te groot wordt tussen de spindel en de elektromagneten, zal de spindel vallen.

Programma van eisen 3.1

3

Inleiding

Het ontwerp betreft een deel van de opstelling die gebruikt kan worden om verschillende stabilisatie-algoritmes voor een Actieve Magnetische Lageringsopstelling (AML) te testen. De onderdelen die in dit onderzoek ontworpen worden, zijn de elektromagneten, de spindel en het frame van de totale opstelling. De markt waarin het product zich begeeft, is de onderzoeksmarkt. Onderzoeksinstelling zijn de enige instellingen die ge¨ınteresseerd zijn in een soortgelijk product.

3.2

Eisen vanuit het beoogde gebruik

1. De elektromagneten moeten in staat zijn om voldoende kracht op de spindel uit te oefenen om de spindel te dragen. 2. De kracht op de spindel moet tevens de mogelijkheid bieden om de positie van de spindel voldoende te kunnen controleren. 3. Het frame van de opstelling moet voldoende plaats bieden voor de overige componenten van de opstelling. Hieronder vallen de sensoren, de elektromagneten en de voeding. Het regelsysteem wordt buiten het frame van de opstelling geplaatst.

3.3

Eisen vanuit de ecologische situering van het systeem in de omgeving

1. De gebruiker van het systeem mag niet blootgesteld worden aan hoge spanning. De NEN-norm heeft een grens van 42V vastgesteld. 2. De optische sensoren produceren een laserstraal. Het oog van de gebruiker mag niet in direct contact kunnen komen met de geconcentreerde lichtbundel.

3.4 3.4.1

Eisen met betrekking tot het te ontwerpen systeem zelf Gebruikskenmerken

Eisen in termen gerelateerd aan het gebruik 1. De twee elektromagneten gezamenlijk moeten drie keer de zwaartekracht die op de spindel werkt, uit kunnen oefenen op de spindel. Dit bedraagt 1,91 N.

4

HOOFDSTUK 3. PROGRAMMA VAN EISEN

5

2. De spindel mag niet langer zijn dan 150 mm. 3. De elektromagneten moeten een gemiddelde stroom van 2 A aankunnen. Dit moet genoeg zijn om de spindel op te tillen. 4. Het frame van de opstelling mag de metingen van de sensoren niet of nauwelijks be¨ınvloeden. Eisen in termen van vervaardigen, monteren en installeren van het product 5. Het frame van de opstelling moet een draagbaar formaat en gewicht hebben. 6. Zodra de totale opstelling vervaardigd is, is de opstelling klaar voor gebruik en hoeft niet opnieuw geassembleerd te worden. 7. Er moet een aansluiting op het lichtnet van 230 V wisselspanning beschikbaar zijn. Eisen in termen van het beheer 8. Elk onderdeel moet makkelijk vervangen kunnen worden indien er een defect optreedt.

3.4.2

Productie- en ingebruikstellingskenmerken

Eisen in termen van het vervaardigen, monteren en installeren 1. De vervaardiging van de onderdelen mag niet langer dan twee weken in beslag nemen.

4

Theorie elektromagneten

In dit hoofdstuk wordt de basistheorie met betrekking tot elektromagneten toegelicht. Eerst zal ingegaan worden op de afleiding van enkele vergelijkingen, waarmee in hoofdstuk 5 de dimensies van de elektromagneten bepaald worden. In paragraaf 4.1 wordt een vergelijking afgeleid voor de magnetische flux in een soleno¨ıde. Daarna wordt in paragraaf 4.2 het model voor de magnetische flux uitgebreid met de kern en het magnetisch circuit van een elektromagneet. Vervolgens wordt in paragraaf 4.3 een uitdrukking voor de coëfficiënt van zelfinductie van een elektromagneet afgeleid. In paragraaf 4.4 wordt het begrip veldenergie ge¨ıntroduceerd, waarmee in de laatste paragraaf 4.5 een vergelijking voor de kracht op de spindel wordt bepaald.

4.1

De magnetische flux

De wetten van Maxwell beschrijven het dynamisch gedrag van een elektromagnetisch veld. De gegeneraliseerde wet van Ampère (4.1) (TM04, 30-4) geeft de relatie tussen een stroom IC en de magnetische fluxdichtheid B. I dΦe B · dl = µ0 IC − µ0 0 (4.1) dt C

Bovenstaande integraal kan geëvalueerd worden met behulp van de in figuur 4.1 aangegeven contour C. De volgende aannames moeten worden gedaan. 1. De magnetische fluxdichtheid homogeen is binnen de soleno¨ıde. 2. De lengte van de soleno¨ıde is vele malen groter is dan de straal De contour wordt doorlopen in de volgorde l1 , l2 , l3 , l4 . l2

C

l3

l1

l4

Figuur 4.1: Contour door de soleno¨ıde

6

HOOFDSTUK 4. THEORIE ELEKTROMAGNETEN

7

Beginnend bij l1 , moet een beroep worden gedaan op de aannames die hierboven zijn vermeld. De aannames resulteren in een flux die in de lengte richting van de spoel blijven lopen en niet uitwijken. Hierdoor resulteert de bijdrage van zowel lijnstuk l1 als l3 in 0. De magnetische fluxdichtheid langs lijnstuk l2 moet eerst nog worden bepaald. De aanname van een oneindig lange spoel zorgt ervoor dat er een oneindig kleine flux aan de buitenzijde van de windingen aanwezig is. Hierdoor is de bijdrage van l2 aan de integraal tevens wederom gelijk aan 0.

-

+

Figuur 4.2: Veldlijnen ge¨ınduceerd door de windingen

Na enkele lijnstukken te hebben verwaarloosd, resteert lijnstuk l4 . Eerder in de tekst is aangenomen dat het veld in de soleno¨ıde homogeen is. Dit is tevens goed te zien in figuur 4.2. Het inwendig product van het veld met de contour resulteert daardoor in een vermenigvuldiging met de contour. We beschouwen l4 als lengte l van de soleno¨ıde. De stroom I door de soleno¨ıde is constant, waardoor er geen verandering plaats heeft in de elektrische flux Φe . De laatste term in (4.1) valt daardoor weg. De resulterende vergelijking luidt Bl = µ0 I. Het aantal windingen N bepaalt de stroom die door de curve C wordt omsloten. We kunnen I dus vervangen door N I. De resterende vergelijking (4.2) (TM04, 27-9) kan gebruikt worden om de magnetische flux in de soleno¨ıde te bepalen. B = µ0

NI l

(4.2)

Deze vergelijking geldt alleen voor een lange soleno¨ıde, omdat we uitgaan van een homogeen veld in de soleno¨ıde. Vervolgens kan met behulp van (4.2) de magnetische flux Φm bepaald worden die door de windingen omvat wordt. Het woord dichtheid geeft al aan dat de flux verkregen kan worden door de fluxdichtheid te vermenigvuldigen met een bepaalde eenheid. De eenheid van de fluxdichtheid B is [Vs/m2 ] ofwel [T]. De magnetische flux wordt uitgedrukt in [Vs] of [Wb] . Hieruit blijkt dat met een oppervlaktemaat moet worden vermenigvuldigd om de flux te bepalen. Vergelijking (4.3a) is tevens te vinden in (TM04), 28-1. Met behulp van (4.3a) kan een uitdrukking afgeleid worden voor de magnetische flux die door de cirkelvormige oppervlaktes, gevormd door de windingen, stroomt. De B staat loodrecht op de oppervlaktes, waardoor vergelijking (4.3a) wordt vereenvoudigd


8

tot (4.3b). ZZ Φm =

B·n ˆ dA

(4.3a)

Bn dA

(4.3b)

S

ZZ Φm = S

Uit (4.2) en (4.3b) volgt nu ZZ dA = BN A = µ0

Φm = B

N 2 IA l

S

met A = πr2 , waarin r de straal van de soleno¨ıde is. Tot slot wordt uitdrukking (4.4) voor de magnetische flux verkregen. Φ m = µ0

4.2

πN 2 Ir2 l

(4.4)

Het magnetisch circuit

In de vorige paragraaf is gesproken over de magnetische flux die door losse wikkelingen ge¨ınduceerd wordt. Dit is een dusdanige versimplificatie dat de theorie uitgebreid dient te worden om richting de kracht te werken die op de spindel uitgeoefend wordt. De flux door de elektromagneet stroomt in een kring. De magnetische fluxlijnen die bij de zuidpool de soleno¨ıde binnentreden, zijn afkomstig van de noordpool. Tussen de noord- en de zuidpool leggen de fluxlijnen een pad af dat bepaald wordt door de magnetische reluctanties van objecten in de nabije omgeving. In figuur 4.3 is te zien hoe het koperdraad om een ijzeren kern is gewonden. De kern heeft een zeer lage magnetische magnetische reluctantie Rm door de hoge relatieve permeabiliteit µr van ijzer (rond de 5000).(Hoe03, p. 33) De relatie tussen Rm en µr is gegeven in (4.5). Rm =

lg lg = µA µ0 µr A

(4.5)

De lage magnetische reluctantie van het ijzeren circuit zorgt voor een goede geleiding van de magnetische flux. Er is tevens een lekflux aanwezig in het circuit, die buiten het ijzeren circuit direct van de noord- naar zuidpool van de elektromagneet loopt, zoals te zien is in figuur 4.2. Deze wordt in verdere berekeningen verwaarloosd, omdat de lekflux in veel situaties moeilijk te berekenen is.(Hoe03, p. 41) Om dit pad te analyseren, kan dezelfde theorie gebruikt als die van een weerstandsnetwerk.(Hoe03, p. 33) De weerstanden worden vervangen door magnetische reluctanties R en de stroom door de magnetische flux Φm . De spanningsbron kan vervangen worden door de magnetomotorische kracht Fm . Zoals voor een weerstandsnetwerk de spanningswet geldt, is hier vergelijking (4.6) van toepassing. li Fm = N i = Φm Ri = Φi (4.6) µ 0 µ r Ai


9

lg

Φm

+

-

Figuur 4.3: Het magnetisch circuit (Hoe03, Figuur 3.7)

Het netwerk in figuur 4.4 is geldig voor ons systeem. Rmk is de magnetische reluctantie van de kern van de elektromagneet. Rml is de reluctantie van de luchtspleet en Rms van de spindel. Rml komt twee keer voor aangezien er zich aan beide uiteinden van de kern een luchtspleet bevindt. Zie figuur 4.3 voor het overeenkomstige fysieke systeem. In (4.6) Rmk

Rml

Rms

Fm = Ni Rml

Figuur 4.4: Het circuit van magnetische reluctanties (Hoe03, Figuur 3.7)

werd gezegd dat N i = Φm Ri . Aangenomen wordt dat de flux die door het circuit in figuur 4.4 stroomt overal gelijk is, omdat er geen lekfluxen aanwezig zijn. De magnetomotorische kracht N i is gelijk aan de optelling van de alle magnetische reluctanties in het circuit vermenigvuldigd met de circuitflux. N i = Φm (Rmk + Rml + Rms + Rml ) = Φm (Rmk + 2Rml + Rms )

(4.7)

Hieruit volgt logischerwijs de onderstaande vergelijking. Φm =

Ni (Rmk + 2Rml + Rms )

(4.8)


10

Het H-veld Als toevoeging op vergelijking (4.5) kan de magnetische reluctantie tevens uitgedrukt worden in termen van de magnetische fluxdichtheid B en het magnetisch veld H. Het H-veld is onafhankelijk van het materiaal waarin het veld aanwezig is en is in A theorie het veld dat van buiten aangebracht wordt. De eenheid van het H-veld is m . Het B-veld is gelijk aan het H-veld vermenigvuldigd met een constante die afhankelijk is van het medium. Vergelijking (4.9) geldt voor een lineair materiaal, dat wil zeggen met een constante relatieve permeabiliteit µr .(Hoe03, p. 32) B = µH = µ0 µr H

(4.9)

Met behulp van deze vergelijking kan vergelijking (4.5) geschreven worden in de vorm van (4.10). lg H Rm = · (4.10) A B Deze uitdrukking maakt zowel het begrip magnetische reluctantie als het H-veld aannemelijker. De magnetische reluctantie is afhankelijk van de verhouding tussen het aangebrachte magnetische veld en de fluxdichtheid die daadwerkelijk in het materiaal aanwezig is. Nu is het mogelijk om een relatie te leggen tussen de netwerktheorie in een magnetisch circuit en het H-veld. De eenheid van de magnetomotorische kracht Fm is gelijk aan [A]. Nu kan vergelijking (4.11) opgesteld worden, waarbij l de lengte is van het magnetische circuit. Zichtbaar is dat H evenredig is met Fm . Eerder is gezegd dat Fm in de netwerktheorie vervangen kan worden door een spanningsbron. Hetzelfde kan gezegd worden over H. Terugkomend op vergelijking 4.10 is de breuk H B duaal aan de U bekende uitdrukking I . De verhouding tussen de spanning die wordt aangebracht en de stroom die loopt, is gelijk aan de weerstand waarover de spanning is aangebracht. Dit geldt tevens voor het B- en het H-veld. Fm = N I = Hl → H =

4.3

NI l

(4.11)

De co¨ effici¨ ent van zelfinductie

Om verder te werken richting de opgewekte kracht moet een nieuw begrip worden ge¨ıntroduceerd: de coëfficiënt van zelfinductie L. De zelfinductie geeft de relatie aan tussen de flux en de stroom door de soleno¨ıde. De zelfinductie is afhankelijk van de geometrie van de soleno¨ıde.(TM04, p. 913) De eenheid van de zelfinductie is [H] = Wb A . Het voorgaande geeft aan dat uitdrukking (4.12) kan worden geschreven. ψ = Li

(4.12)

De ψ in vergelijking 4.12 wordt de gekoppelde flux genoemd. Deze geeft aan hoe vaak de veldlijnen door de windingen worden omvat. Met betrekking tot figuur 4.3 kan gezegd worden dat ψ = N Φm . Indien we dit invullen in vergelijking (4.8), wordt vergelijking (4.13) verkregen. ψ=N

Ni i = N2 Rmk + 2Rml + Rms Rmk + 2Rml + Rms

(4.13)


11

Nu is het mogelijk om uit (4.12) en (4.13) de coëfficiënt van zelfinductie te bepalen. L=

N2 (Rmk + 2Rml + Rms )

(4.14)

Deze vergelijking kan met behulp van 4.5 verder uitgeschreven worden. L=

N2 lk µ0 µk Ak

+ 2 µ0 µlll Al +

ls µ0 µs As

(4.15)

In (4.7) wordt aangenomen dat de oppervlakte van de doorsnede van de twee luchtspleten hetzelfde zijn. Verderop in hoofdstuk 5 zal blijken dat hiervan wordt afgeweken.

4.4

De magnetische veldenergie

Allereerst moet gekeken worden naar de oorsprong van het begrip kracht. Om kracht te zetten op een object, moet er ergens energie vandaan komen. Deze energie bevindt zich bij de opstelling in het magnetisch veld. Voor de fysische werking van de krachtopwekking wordt verwezen naar (Hoe03), paragraaf 5.3. De relatie tussen energie en kracht blijkt uit (4.16) (TM04, 6-15). Indien er een kracht F wordt uitgeoefend op een object over een verplaatsing s, wordt er W arbeid verricht. Deze energie is aanwezig in het magnetische veld dat door de elektromagneet tot stand wordt gebracht. Zs2 W = F · ds (4.16) s1

Er moet gekeken worden naar de energie die aanwezig is in het magnetisch veld. Voor R energie geldt W = pdt, waarin energie het vermogen is dat wordt ge¨ıntegreerd over de tijd. Indien het vermogen dat in de spoel wordt omgezet, moet worden bepaald, moet eerst een uitdrukking gevonden worden voor de spanning over de spoel. Dit principe is gebaseerd op de bekende vergelijking p = ui (TM04, 25-10). In een ideale spoel wordt de relatie tussen de stroom en de spanning gegeven door (4.17a) (DL01, (7.1)). Naast de inductantie is vanwege het koperdraad een weerstand aanwezig, waarin vermogen dissipeerd wordt. De spanningsval over de weerstand kan worden berekend met (4.17b). De spanning over de gehele spoel kan bepaald worden door uL en uR bij elkaar op te tellen, hetgeen resulteert in vergelijking (4.17c). Met behulp van vergelijking (4.12) kan vergelijking (4.17c) herschreven worden. di dt uR = iR uL = L

u = uL + uR = L

(4.17a) (4.17b) di dψ + iR = + iR dt dt

(4.17c)


12

Nu een uitdrukking voor de spanning over de spoel gevonden is, kan het vermogen berekend worden door met de stroom te vermenigvuldigen. p=i

dψ + i2 R dt

(4.18)

De laatste term is pure dissipatie en deze heeft geen verdere invloed op het magnetisch veld dat gegenereerd wordt. De eerste term daarentegen geeft aan hoe het overige vermogen het magnetisch veld opbouwt.(Hoe03, p. 43) Het vermogen moet nu ge¨ıntegreerd worden over de tijd om de veldenergie te bepalen. Zt2 ∆Wm =

dψ i dt = dt

t1

Zψ2 idψ

(4.19)

ψ1

Uitgaande van een lineaire relatie die in (4.12) beschreven wordt, kan de integraal verder geëvalueerd worden. Zψ2 ∆Wm = ψ1

ψ 1 2 ψ2 1 dψ = ψ (ψ2 2 − ψ1 2 ) = L 2L 2L ψ1

Indien de initiële gekoppelde flux ψ1 = 0 gekozen wordt, gaat (4.20) over in kan vergelijking (4.12) weer ingevuld worden en ontstaat vergelijking (4.21). Wm =

4.5

1 1 (Li)2 = Li2 2L 2

(4.20) 1 2 2L ψ .

Nu

(4.21)

De magnetische kracht

In deze paragraaf zal uiteindelijk een uitdrukking afgeleid worden voor de kracht die op de spindel wordt uitgeoefend. Hierbij moet er inzicht verworven worden over hoe energie zich in het systeem verdeelt. Dit wordt gedaan aan de hand van (Hoe03), p. 88-90. Hier wordt een vermogensbalans opgesteld voor het systeem. Herkenbaar in deze vergelijking is (4.18), gelijk aan pelek . p = pelek + pmech = Ri2 +

dWkin dψ +i − Fe v dt dt

(4.22)

De eerste term geeft slechts de dissipatie in de weerstand. De tweede term geeft de verandering aan in de hoeveelheid opgeslagen kinetische energie. Aangezien er alleen magnetische en kinetische energie in het systeem aanwezig is, kan de onderstaande vergelijking opgesteld worden. dWkin dψ =i − Fe v (4.23) dt dt In de opstelling is de zelfinductie L(x) afhankelijk van de grootte van de luchtspleet. Vergelijking (4.12) wordt ingevuld. dWkin di dL(x) dx di dL(x) = L(x)i + i i − Fe v = L(x)i + i vi − Fe v dt dt dx dt dt dx

(4.24)


13

Omdat L afhankelijk is van x, moet de kettingregel worden toegepast om de afgeleide van (4.21) te bepalen. Het resultaat is hieronder in (4.25) weergegeven. dWkin di 1 dL(x) dx 2 di 1 dL(x) 2 = L(x)i + i = L(x)i + vi dt dt 2 dx dt dt 2 dx

(4.25)

Uitdrukking (4.24) en (4.25) moeten aan elkaar gelijk zijn omdat deze beide de verandering in magnetische veldenergie weergeven. Tot slot wordt vergelijking (4.26) verkregen voor de kracht op de spindel. 1 dL(x) 2 Fe = i (4.26) 2 dx

5

Ontwerp van de Elektromagneten

De basis voor de theorie is gelegd in hoofdstuk 4. Nu dient met behulp van de theorie een passend ontwerp te worden gemaakt voor de elektromagneten in de opstelling. Dit hoofdstuk is in drie delen gesplitst. In het eerste deel wordt alleen de magnetische circuit van de elektromagneet behandeld (paragraaf 4.1). In het tweede deel wordt de spoel van de elektromagneet behandeld (paragraaf 4.2). In het laatste deel worden de twee onderdelen van de vorige paragrafen samengevoegd en worden de theorie van hoofdstuk 4 gebruikt om de kracht en de zelfinductie te berekenen

5.1

Ontwerp van magnetische circuit

In dit deel wordt alleen gekeken naar de vorm van de magnetische circuit van de elektromagneet. Allereerst moeten de eisen verwoord worden waar elke elektromagneet aan moet voldoen. Dit gebeurt in paragraaf 5.1.1. Zodra de eisen duidelijk zijn vastgesteld, kan begonnen worden met het daadwerkelijke ontwerp.

5.1.1

Randvoorwaarden van Elekromagneet

De meest basale randvoorwaarden van een elektromagneet zijn de afmetingen. In figuur 5.1 is een dwarsdoorsnede te zien van de verschillende onderdelen die in de buurt van de spindel bevestigd moeten worden. Er wordt aangenomen dat het ontwerp van de spindel in hoofdstuk 6 reeds voltooid is. De dimensies van de sensoren, capacitieve ring en spindel zijn vast. De dimensies van de elektromagneet zullen worden bepaald aan de hand van de ruimte die overblijft. De spindel heeft een vastgestelde lengte van 130 mm. De capacitieve ring in het midden heeft een lengte van 20 mm. De sensorplaatjes aan weerszijden van de capacitieve ring hebben een afmeting van 15 mm.

Figuur 5.1: Onderdelen bij de spindel

14

HOOFDSTUK 5. ONTWERP VAN DE ELEKTROMAGNETEN

15

Door middel van een eenvoudige rekensom kan worden bepaald welke ruimte er per elektromagneet overblijft. In tabel 5.1 zijn de afmetingen te vinden van de verschillende onderdelen. Als de lengte van de sensoren en de capacitieve ring van de lengte van de spindel wordt afgetrokken, blijft er een lengte van 40 mm over voor de elektromagneet. Om te voorkomen dat de elektromagneten in contact komen met de sensorplaatjes, zal een zekerheidsmarge van 2 mm per elektromagneet worden meegenomen: lmagneet =

lspin − 2lsensor − lcap − 2lmarge 130 − 30 − 20 − 4 = = 38 mm 2 2 Onderdeel Lengte spindel Sensorplaatjes Capacitieve ring Zekerheidsmarge Ruimte vrij

Symbool lspin lsensor lcap lmarge lvrij

(5.1)

Lengte 130 mm 15 mm 20 mm 1 mm 40 mm

Tabel 5.1: Lengtes van de verschillende onderdelen

Om tijd te besparen is een standaard plastic spoellichaam gebruikt waar de windingen van de elektromagneet om worden gewonden (zie figuur 5.2). De afmetingen van het plastic omhulsel zijn 14 bij 14 bij 18 mm. Dit is het kleinste omhulsel dat standaard bij de leverancier verkrijgbaar is. Eén maat groter zou 30 bij 19 bij 32 mm zijn, hetgeen niet zou passen bij de maat spindel die gekozen is. Dit samen met een totale breedte van 38 mm zijn de enige eisen qua afmetingen waaraan de elektromagneten aan moeten voldoen.

Figuur 5.2: Plaslic spoellichaam

Nu deze twee basisvoorwaarden zijn bepaald, kan begonnen worden met het daadwerkelijke ontwerp.


5.1.2

16

Vorm elektromagneet

Ondanks dat de lekflux verwaarloosd is bij de theorie in hoofdstuk 4, blijkt deze toch een significante invloed te hebben op de magnetische kracht. Daarom moet er voor gezorgd worden dat een zo groot mogelijk deel van de opgewekte magnetische flux door de spindel gaat lopen. Dit om een zo groot mogelijke kracht op de spindel uit te oefenen (zie vergelijkingen (3.8), (3.12) en (3.23)). In paragraaf 4.2 is een figuur weergegeven van een situatie zonder lekflux. Daarom is een nieuwe figuur gemaakt van de situatie met lekflux (figuur 5.3). De stalen spindel heeft een hoge relatieve magnetische permeabiliteit µr , die ervoor zorgt dat de magnetische reluctantie Rm laag is (zie vergelijking (4.5)). Door een kring te maken met een lagere magnetische reluctantie dan de lekluchtweg (Φlek ), zal het grootste deel van de flux het staal volgen. Slechts een klein gedeelte van de flux loopt door de lucht (niet door de spindel). De reden dat zoveel mogelijk van de flux door de spindel moet lopen, is om de coëfficiënt van zelfinductie in grote mate afhankelijk te maken van de lengte van de luchtspleet. Dit resulteert in een grotere kracht op de spindel bij een bepaalde stroom.

Figuur 5.3: Fluxbanen in magneet

Net als in paragraaf 4.2 is het mogelijk om van figuur 5.3 een vervangingsschema te maken (zie figuur 5.4).


17

Figuur 5.4: Vervangings schema

Zoals in figuur 5.4 te zien is kan de flux door Rm,lek en Rm,spleet loopt. Volgens de theorie van weerstandsnetwerken (zie hoofdstuk 3.2) moet de Rm,lek in verhouding met Rm,spleet zo groot mogelijk zijn, om zo klein mogelijke lek te hebben. Om te onderzoeken wat de optimale verhouding is tussen de weerstanden, is de afstand tussen de poten van de magneten als variabele genomen(de afstand a; zie figuur 5.5). Hierbij de is de dikte van de linkerpoot vast(14 mm).

Figuur 5.5: Afstand a

Deze afstand is gevarieerd van 1 mm tot 24 mm. Met (4.5) zijn de reluctanties uit figuur 5.4 berekend: lijzer µ0 µr Aijzer lspindel Rm,spindel = µ0 µr Aspindel llek Rm,lek = µ0 Alek lspleet Rm,spleet = µ0 Aspleet Rm,ijzer =

(5.2a) (5.2b) (5.2c) (5.2d)


18

De hierboven gebruikte afmetingen zijn in figuur 5.6 gedefinieerd.

Figuur 5.6: Definitie van de afmetingen

Met de formules (4.2) is een grafiek gemaakt(figuur refreluctantie1) met a als variabele. Voor de volledige berekening is de MATLAB-code in de appendix 10.3 te zien.


19

Figuur 5.7: Reluctantie

Het is te zien dat Rm,spleet bij kleine a niet sterk toeneemt en bij grotere a sterker toeneemt. De Rm,lek neemt linear toe. Rijzer en Rspindel zijn verwaarloosbaar klein. Om de verhouding tussen Rm,lek en Rm,spleet in beeld te krijgen is figuur 5.8 gemaakt. Dit is bereikt met formule: Rm,lek Klek,spleet = (5.3) Rm,spleet

Figuur 5.8: Verhouding reluctantie Rm,lek en Rm,spleet


20

Voor de volledige berekening is de MATLAB-code in de appendix 10.4 te zien. Uit deze grafiek is te concluderen dat de beste verhouding optreedt bij a gelijk aan 15 mm. Alle gegevens zijn samengevat in tabel 5.2. Onderdeel Lengte Linker poot Lengte Rechter poot Breedte magnetische circuit Hoogte magnetische circuit

Lengte 14 mm 9 mm 14 mm 44 mm

Tabel 5.2: Lengtes van de verschillende onderdelen

Door de kromming van de spindel in de poten van de kern te verwerken, wordt er voor gezorgd dat de afstand tussen de spindel en de kern over de gehele oppervlake van de luchtspleet constant is. Hierdoor wordt de berekening vereenvoudigd. Van de gegevens in tabel 5.2 en de hierboven genoemde kromming is een tekening van het magnetische circuit gemaakt die te zien is in figuur 5.9.

Figuur 5.9: Elektromageneet

5.2

Ontwerp van de spoel

In dit deel wordt alleen het aantal windingen en de dikte van de draad van de elektromagneet behandeld.

5.2.1

Draaddikte

De draaddikte is afhankelijk van de maximaal toelaatbare stroomdichtheid. Volgens (MK99, slide 13) is dat 6 A/mm2 . Omdat er is gekozen is voor een maximale stroom


van 3 A, is een oppervlakte van 0.5 mm2 nodig. Met r A d=2 π

21

(5.4)

volgt dat de diameter 0.8 mm moet zijn.

5.2.2

Wikkelingen

Volgens formule (4.26) en (4.14) is de kracht afhankenlijk van N en i. Om veiligheidsredenen is er gekozen om N maximaal te nemen. Hierdoor wordt i kleiner. Het aantal draden dat naast elkaar gewikkeld kan worden is 22 (bspoellichaam /ddraad ). Het aantal draden dat op elkaar gewikkeld kan worden is 12 (hspoellichaam /ddraad ). Hierdoor is Nmax 264. In werkelijk is dat 270 geworden.

5.3

Eigenschappen elektromagneet

Nu alle afmetingen en het aantal windingen bekend zijn missen we alleen de kracht en de zelfinductie van de magneet. Als eerste wordt uitgelegd hoe de zelfinductie berekend is. Als tweede wordt uitgelegd hoe de kracht is berekend die op de spindel kan worden uitgeoefend.

5.3.1

Zelfinductie magneet

Aangezien Rijzer en Rspindel verwaarloosbaar klein zijn en Rspleet en Rlek parallel staan (zie figuur 5.4) is van formule (4.14) de volgende formule gemaakt om L te berekenen: L(x) = N 2 (

1 Rm,lek

+

1 Rm,spleet (x)

)

(5.5)

Hierbij is Rlek een constante en Rspleet een functie van de afstand tussen de spindel en de magneet (zie figuur 5.6). In figuur 5.10 is te zien hoe L afneemt naarmate de afstand tussen de spindel en de magneet toeneemt. Voor de volledige berekening is de MATLAB-code in de appendix 10.5 te zien.


22

Figuur 5.10: Zelfinductie

5.3.2

Kracht magneet

De elektromagneten moeten in staat zijn een zekere kracht uit te oefenen op de spindel. Er werd geëist dat deze kracht ten minste drie keer de zwaartekracht is. Bij het wegen van de spindel, bleek deze een massa te hebben van 115,07 g. Indien een zekerheidsmarge van 15 g wordt ingebouwd, moet een kracht door de elektromagneten worden uitgeoefend van Fmin,totaal = 0, 130 · 9, 81 · 3 = 3, 82 N. Er zijn twee magneten in de opstelling aanwezig, dus per magneet moet met een kracht van Fmin = 3, 82/2 = 1, 91 N aan de spindel getrokken worden. Door de afgeleide van formule (5.5) te nemen naar de afstand tussen de spindel en de magneet en dit te combineren met formule (4.26) is de kracht te berekenen die op de spindel uitgeoefend wordt. In figuur 5.11 is te zien hoe de kracht afneemt naarmate de afstand tussen de spindel en de magneet toeneemt. Ook is Fmin,magneet te zien. Voor de volledige berekening is de MATLAB-code in de appendix 10.6 te zien. Ook is te zien hoe figuuur 5.11 is met een I van 1 A en 2 A.


Figuur 5.11: Kracht bij stroom van 3 A

23

6

Ontwerp Spindel

In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe het materiaal en de vorm van de spindel zijn gekozen. Eerst wordt uitgelegd van welk soort materiaal de spindel is gemaakt. Daarna wordt de vorm van de spindel vastgesteld.

6.1

Materiaal van spindel

Aangezien de spindel door elektromagneten in zwevende stand moet worden gehouden, is het noodzakelijk dat de spindel van een ferromagnetisch materiaal wordt gemaakt. Ferromagnetische materialen zijn. • IJzer • Kobalt • Nikkel Een van de doelstellingen van dit project is om de kosten zo laag mogelijk te houden. Vandaar dat er getracht is zoveel mogelijk gebruik te maken van de faciliteiten die de TUD aanbiedt. De werkplek van de faculteit 3ME biedt een uitstekende kans om de spindel te ontwikkelen tegen een lage prijs. De materialen die beschikbaar zijn op deze werkplek zijn: • Zilverstaal • Roestvrijstaal • Messing • Aluminium • Koper • Automaatstaal • Blank as Volgens de hoofd van de werkplek en een begeleider is zilverstaal het meest geschikt. Het heeft het hoogste µ. Vandaar dat ervoor gekozen is om zilverstaal te gebruiken.

24

HOOFDSTUK 6. ONTWERP SPINDEL

6.2

25

Vorm en afmetingen van de spindel

Het uiteindelijke doel van de opstelling is op een spindel met hoge snelheden rond te laten draaien(300000 rpm). Om deze hoge snelheden optimaal te kunnen bereiken is logischerwijs gekozen voor een ronde vorm. Dit omdat de luchtweerstand dan laag is. Om enig idee te krijgen in de mogelijke afmetingen die de spindel kan hebben, is gebruik gemaakt van het artikel (KLvES07), 3. In dit artikel wordt beschreven welke afmetingen als ideaal worden beschouwd, namelijk: • Lengte 130 mm • Diameter 12 mm Deze afmetingen zijn volgens (KLvES07), 3 ideaal voor toekomstige uitbreiding van de opstelling. In figuur 6.1 is de spindel te zien.

Figuur 6.1: Spindel

7

Ontwerp Frame

In dit hoofdstuk wordt het ontwerp van het frame behandeld. Er wordt beschreven hoe het materiaal en de vorm van het frame zijn bepaald. Het doel van het frame is om te zorgen dat de elektrische magneten en de benodigde sensoren bevestigd kunnen worden. De spindel moet ook opgenomen worden in het totaalontwerp.

7.1

Materiaal

Belangrijk is dat het frame stevig staat en weinig invloed uitoefent op de sensoren. Aangezien we capacitieve sensoren gebruiken, kunnen geen materialen worden gebruikt die gevoelig zijn voor elektrische velden. Er worden elektromagneten gebruikt om een kracht uit te oefenen op de spindel. De velden en dus ook de krachten opgewekt door de magneten worden tevens door ferromagnetisch materiaal be¨ınvloed. Een metaal is dus ongeschikt, omdat hierdoor de kans bestaat dat er verkeerde metingen worden gedaan. Daarnaast is het snel en makkelijk kunnen bewerken van het materiaal een eis. Vandaar dat gekozen is voor hout. Dit materiaal oefent geen invloed uit op de sensoren en is makkelijk te bewerken.

7.2

Vorm

Aan het frame zijn een aantal eisen gesteld. Deze zijn als volgt:

• de spindel presentabel maken • bevestiging van magneten, zodanig dat deze de spindel kunnen aantrekken • flexibiliteit; ten behoeve van eventuele veranderingen in de toekomst Aangezien de sensoren, de magneten en de spindel relatief licht zijn, is het niet nodig rekening te houden met het gewicht aangezien het frame van hout is. Her frame is weergegeven in figuur 7.1.

26

HOOFDSTUK 7. ONTWERP FRAME

Figuur 7.1: Het frame

27

8

Discussie betreffende het ontwerp

Er bestaat in de ingenieurspraktijk altijd een zekere discrepantie tussen wiskundige modellen in de werkelijkheid. Als eerste zijn modellen gemaakt om ontwerpvariabelen vast te stellen. Het ontwerp is daarna gerealiseerd en tot slot kan teruggekoppeld worden in hoeverre de metingen in overeenstemming zijn met het initiële model. In paragraaf 8.1 worden resultaten gegeven van metingen die aan de elektromagneten zijn verricht en wordt een toelichting gegeven op het verschil in meetwaarden tussen de elektromagneten. Daarna wordt in paragraaf 8.2 het model dat in hoofdstuk 5 is gebruikt om de elektromagneten te ontwerpen, vergeleken met de meetresultaten.

8.1

Meting van de zelfinductantie

Nadat de productie van de elektromagneten volgens het ontwerp van hoofdstuk 5 was voltooid, is een serie metingen gedaan om na te gaan of de waarden van de zelfinductie van de elektromagneten met elkaar overeenkomen. De meetresultaten met behulp van RLCmeter en een meetfrequentie van 100 Hz staan in tabel 8.1. Aan de meetwaarden valt Spoel nr 1 1 1 2 2 2

Met kern Nee Ja Ja Nee Ja Ja

Met spindel Nee Nee Ja Nee Nee Ja

Zelfinductantie [mH] 1,47 5,50 7,69 1,46 5,38 7,57

Tabel 8.1: Metingen aan spoelen met RLC-meter (f = 100 Hz)

op dat de zelfintuctanties van de twee elektromagneten verschillen. Dit kan verschillende oorzaken hebben. 1. In de rijen zonder kern is te zien dat er een kleine afwijking is in de inductantie, hetgeen veroorzaakt kan worden door onregelmatigheden in de wikkelingen. Indien er ongregelmatigheden in de wikkelingen zitten, betekent dat de veldlijnen die door de individuele windingen ge¨ınduceerd worden niet volledig parallel aan elkaar lopen. Hierdoor is het niet mogelijk om de afzonderlijke velden volledig bij elkaar op te tellen. In vergelijking (4.1) is in dat geval het dot-product tussen B en dl niet gelijk aan een scalarvermenigvuldiging, maar moet rekening gehouden worden met een hoek α tussen de veldlijnen. De opgewekte magnetische velddichtheid zal hierdoor lager zijn. Dit heeft als gevolg dat de flux lager is (4.3b). Met 28

HOOFDSTUK 8. DISCUSSIE BETREFFENDE HET ONTWERP

29

dit gegeven kan gekeken worden naar vergelijking (4.6). Met een lagere flux bij dezelfde magnetomotorische kracht Fm moet logischerwijs de equivalente magnetische reluctantie van het circuit hoger zijn. Kijkend naar vergelijking (4.14), kan geconcludeerd worden dat door onregelmatigheden in de wikkelingen de coëfficie¨nt van zelfinductie lager wordt. Desalniettemin kan het wikkelen gezien worden als een stochastisch proces, waarbij de onregelmatigheden in de wikkelingen elkaar opheffen bij een oneindig aantal wikkelingen. Het verschil is niet significant bij de metingen zonder kern vanwege de instabiele meetwaarden. De afwijking is kleiner dan de precisie van de meting. Zie hiervoor punt 2. Het wild wikkelen (geen logica in de volgorde van de wikkelingen) van een spoel heeft volgens de wikkelaar tot gevolg dat de ruimte efficiënter benut wordt dan bij het vormen van nette lagen. Er passen meer wikkelingen op de spoel, hetgeen tot gevolg heeft dat de zelfinductie toeneemt, welke proportioneel toeneemt met N 2 (4.14). 2. De gebruikte RLC-meter is de Wayne Kerr 4250. Met zekerheid kan gezegd worden dat de meter minstens acht jaar niet meer gekalibreerd is. De meetonzekerheid zal dus groter zijn dan die in de datasheet gegeven is. In de datasheet wordt een onzekerheid van ±0, 1% opgegeven bij een frequentie van 100 Hz. Aangezien het apparaat lange tijd niet gekalibreerd is, is het aannemelijk dat de meetonzekerheid invloed hebben op het verschil in uitkomst. 3. De metingen met kern geven een groter verschil in de zelfinductie weer in de orde grootte van 0,1 mH. Dit kan duiden op een zeer kleine afwijking in afmetingen van de kern of onregelmatigheden in het materiaal van de kern. De metingen worden uitgevoerd met een frequentie van 100 Hz. Omdat onze kern niet gelamineerd is, zullen wervelstroomverliezen optreden. Het verloren vermogen is evenredig met de frequentie in het kwardraat.(Hoe03, (3.28)) De wervelstroomverliezen zullen de metingen be¨ınvloeden. 4. De koppeling van de wikkelingen met de kern kan verschillend zijn door een zeer kleine luchtspleet die zich tussen het spoellichaam en de kern bevindt. De luchtspleet zorgt voor een extra magnetische reluctantie die de veldlijnen moeten overbruggen om het metalen circuit te betreden. De getallen in tabel 8.1 geven een vertekend beeld van de meetonzekerheid. Tijdens de metingen vond er veel fluctuatie plaats in de waarden. Er is op de tweede decimaal geschat. Vanwege trillingen in de hand verandert het elektrisch contact met de meetapparatuur en de omgevingsvariabelen. Een hand heeft immers een magnetische permeabiliteit die verschilt van lucht; µr > 1.


8.2

30

Validiteit model

Vooraf aan de productie van de elektromagneten is gerekend met een model van de elektromagneten. Op die manier is een ontwerp gemaakt op basis van de benodigde specificaties. Het model dat in hoofdstuk 5 is gebruikt, is zeer vereenvoudigd. IJzerverliezen zijn verwaarloosd en er is geen rekening gehouden met eventuele non-lineaire effecten, zoals hystrese en wervelstroomverliezen. In sectie 8.2.1 wordt eerst een model van de spoel zonder kern gemaakt om te kijken of dit model de coëfficiënt van zelfinductie zonder kan benaderen. Daarna wordt in sectie 8.2.2 een uitbgebreid model van de elektromagneet met kern gemaakt.

8.2.1

Model zonder kern

De gemeten zelfinductie van de spoel zonder kern bedraagt ongeveer 1,47 mH. Met een simpel model kan deze waarde afgeleid worden. Allereerst moet een model geconstrueerd worden. Hiervoor wordt teruggegrepen op hoofdstuk 4. In vergelijking (4.4) word een uitdrukking gegeven voor de flux door een soleno¨ıde. Met behulp van vergelijking (4.12) kan de flux worden omgeschreven naar de zelfinductie. πN 2 Ir2 πN 2 r2 N 2A L = µ0 = µ0 = µ0 (8.1) lI l l Voordat de zelfinductie bepaald kan worden, moet een uitdrukking gevonden worden voor de magnetische flux ΦM door de soleno¨ıde. De flux is afhankelijk van het aantal windingen N , de binnenstraal r van de soleno¨ıde, de totale lengte l van de soleno¨ıde en de stroom door de draad. In werkelijkheid heeft de binnenkant van het spoellichaam de vorm van een vierkant, maar deze kan benaderd worden door een cirkel. De windingen nemen na een paar lagen immers een cirkelvormig patroon aan. Aangezien niet alle windingen zich op dezelfde afstand van de denkbeeldige as van symmetrie van de spoel bevinden, is het moeilijk om de straal r of oppervlakte A van de spoel te bepalen. Voor de eerste laag windingen is de bijdrage aan de magnetische flux in de spoel eenvoudig te berekenen. Deze hebben namelijk dezelfde r. Voor de overige lagen geldt dat de afzonderlijke bijdragen aan de flux gesommeerd moeten worden. De enige variabele die per winding kan verschillen is r. De flux is evenredig met r2 . Voordat verder gegaan kan worden, moet eerst een nieuwe conventie ingevoerd worden. Het aantal windingen dat zich theoretisch per laag over de lengte richting van de spoel bevindt, is gelijk aan Nl . Het aantal windingen dat loodrecht op de lengterichting van de soleno¨ıde gestapeld wordt, wordt verder aangeduid met Np . Hier volgt dat het totaal aantal windingen berekend kan worden met N = Nl Np . Met de bovenstaande informatie kan een vergelijking opgesteld worden. Per laag windingen is de term r2 constant. Er moet gesommeerd worden voor het aantal lagen. Daarom wordt voor i = 1 . . . Np over ri2 gesommeerd in vergelijking (8.2). Np Nl2 I X 2 Φm = µo π ri (8.2) l i=1

De laatste term van deze uitdrukking is te benaderen door een continue functie, waarbij


31

ge¨ıntegreerd wordt over het aantal windingen. Np X

ZNp ri2 ≈ r2 dn

i=1

1

(8.3)

Omdat ge¨ıntegreerd wordt over het aantal windingen, moet r uitgedrukt worden in n om de integraal te evalueren. De ondergrens n = 1 van de integraal moet de uitkomst r1 opleveren. Dit wordt gedefiniëerd als de binnenstraal van de soleno¨ıde. Verder moet bij de bovengrens n = Np de uitkomst R zijn, namelijk de buitenstraal van de spoel. De lineaire relatie kan gegeven worden door de basisrelatie die te zien is in (8.4). De term a is te bepalen door de ondergrens in te vullen. De term n − 1 is dan gelijk aan 0 en er moet gelden dat r = r1 , waaruit volgt dat a = r1 . De toename van de r per toename dr van n is te bepalen door de dichtheid dn uit te schrijven. De verandering in de straal is gelijk aan het verschil tussen de buitenstraal en de binnenstraal van de soleno¨ıde R − r1 . De verandering in het aantal windingen n is Np − 1. Invullen van de grenzen van de integraal in vergelijking (8.4) geeft de gewenste resultaten. r = a + b(n − 1) ) R − r1 a = r1 (n − 1) r = r1 + Np − 1 R−r1 b = N p −1

(8.4)

De uitkomsten van de integraalbenadering en (8.4) kunnen ingevuld worden in vergelijking (8.2). De integraal wordt in (8.5) verder uitgewerkt tot een uitdrukking voor Φm . Φm

N 2I = µo π l l

2 ZNp a + b(n − 1) dn 1

= µo π

Nl2 I

"

l

3 #Np 1 a + b(n − 1) 3b

n=1

3 #Np (8.5) Np − 1 R − r1 = µo π r1 + (n − 1) l 3(R − r1 ) Np − 1 n=1 3 3 ! 2 R − r1 R − r1 µo π Nl I(Np − 1) = r1 + (Np − 1) − r1 + (1 − 1) 3 l(R − r1 ) Np − 1 Np − 1 Nl2 I

=

"

µo π Nl2 I(Np − 1) 3 R − r13 3 l(R − r1 )

Het resultaat van (8.5) kan middels (4.12) omgewerkt worden in een uitdrukking voor de coëfficiënt van zelfinductie voor de soleno¨ıde zonder kern Lzk . Lzk =

µo π Nl2 (Np − 1) 3 R − r13 3 l(R − r1 )

(8.6)

De matlabfile in appendix 10.2 berekent de zelfinductie op basis van het in deze paragraaf gemaakte model. De uitkomsten van de berekening zijn uiteen gezet in tabel 8.2.


Variabele Nl Np L

Resultaat 20,05 13,47 0,17

32

windingen windingen mH

Tabel 8.2: Uitkomsten matlabberekeningen appendix 10.2

De vergelijking geeft helaas niet het verwachte resultaat. De uitkomsten zijn een factor tien kleiner dan verwacht, hetgeen duidt op een fout in de analyse. Het idee was om met deze berekening de meetwaarden van zelfinductie zonder kern te kunnen benaderen. Het idee om het op deze manier te doen, is interessant, maar levert geen bijdrage aan de verbetering van het model.

8.2.2

Model met kern

Naast het model voor de spoel zonder kern dat in sectie 8.2.1 besproken is, kan een uitgebreid model gemaakt worden voor de spoel met kern. De in sectie 5.3.1 berekende zelfinductie van 9,6 mH bij een luchtspleet van 1 mm tussen de spindel en de kern komt niet overeen met de gemeten waarde. Doormiddel van een uitgebreid model wordt geprobeerd deze waarde beter te benaderen. Het vervangingsschema dat in figuur 5.4 is weergegeven, wordt gebruikt voor het opstellen van het model. IJzerverliezen zullen in deze berekening niet verwaarloosd worden. De reluctantie Rm,ijzer (zie figuur 5.4) van de kern (zie figuur 5.9) kan worden gesplitst in twee delen: 1. Het dikke deel waar het spoellichaam met de windingen overheen is geplaatst. 2. Het dunne deel van de kern. Van dit reluctantienetwerk kan een equivalente reluctantie gemaakt worden. Daarna kan uit vergelijking (4.14) afgeleid worden dat de coëfficiënt van zelfinductie berekend kan worden met uitdrukking (8.7). N2 L= (8.7) Rmeq Met de theorie die voor weerstandsnetwerken wordt gebruikt, kan een equivalente magnetische reluctantie bepaald worden. Dezelfde naamgeving wordt gebruikt als in paragraaf 4.2. Het verschil is de afwijkende afmetingen voor de luchtspleten (Rml1 en Rml2 ), de hiervoor genoemde opsplitsing van de kern (Rmk1 en Rmk2 ) en het in rekening brengen van de lekflux tussen de twee kerndelen (Rmσ ). Rmeq = Rmk1 + Rmk2 +

(Rml1 + Rms + Rml2 )(Rmσ ) Rml1 + Rms + Rml2 + Rmσ

(8.8)

De magnetische reluctanties worden vervolgens door MATLAB berekend. Dit is te zien in de MATLAB-code die in de appendix 10.1 staat. Vervolgens is het mogelijk om met behulp van vergelijking (8.7) de zelfinductie L te berekenen, hetgeen tevens is gedaan in


33

dezelfde matlab file. De uitkomst van deze berekening is hetzelfde als die in hoofdstuk 5, namelijk 9,6 mH met een luchtspleet van 1 mm tussen de spindel en de ijzeren kern. Interessant is om met dit model te kijken naar de ontwikkeling van de kracht op de spindel. Deze kracht kan berekend worden doormiddel van vergelijking (4.26). Hiervoor moet eerst afgeleide dL dx bepaald worden. dL −N 2 = dx 2

1 Rmk1 + Rmk2 +

Rmσ (Rml1 +Rms +Rml2 ) Rmσ +Rml1 +Rms +Rml2

!2 ·

d d (Rmσ + Rml1 + Rms + Rml2 ) dx (Rmσ (Rml1 + Rml2 )) − Rmσ (Rml1 + Rms + Rml2 ) dx (Rml1 + Rml2 ) 2 (Rmσ + Rml1 + Rms + Rml2 ) (8.9)

Uitdrukking (8.9) is tevens opgenomen in de matlab file in appendix 10.1. De ontwikkeling van de kracht wijkt niet zichtbaar af van de kracht die berekend is in hoofdstuk 5. Daarom worden hier geen verdere illustraties van gegeven.

8.3

De functionaliteit van het ontwerp

Het ontwerp van de elektromagneten is gemaakt met een zeker doel, namelijk een voldoende kracht op de spindel uitoefenen om de spoel te laten zweven en de hoogte ervan te stabiliseren doormiddel van regelsystemen. Dit is niet de enige voorwaarde waar het ontwerp aan moet voldoen. In hoofdstuk 3 is een opsomming van eisen opgenomen waar bij het ontwerp rekening mee is gehouden. Aan het eerstgenoemde criterium in paragraaf 3.2 wordt voldaan. Er zijn experimenten verricht met het liften van de spindel. Bij een stroom van 1,5A was het mogelijk om de spindel met een luchtspleet van 4 mm op te tillen. In figuur 8.1 is te zien dat de elektromagneten een kracht uitoefenen op de spindel. Het is positief dat de elektromagneten voldoende kracht op de spindel uit kunnen oefenen om de spindel vanaf een voldoende grote afstand aan te kunnen trekken. Daarentegen zijn er achteraf facetten van het ontwerp aan het licht gekomen die mogelijk problemen zullen opleveren bij een integratie in de eindopstelling. De kern is niet gelamineerd. Dit betekent dat er, zoals in paragraaf 8.1 is vermeld, wervelstromen zullen optreden indien de magneten aan worden gestuurd met een wisselspanning. Bij de eindopstelling is dit niet geval. Deze tekortkoming heeft nauwelijks of geen effect hebben op de werking van de elektromagneten. Bij de eerste testen van de elektromagneten bleek dat na het afschakelen van de stroom er nog enige tijd kracht op de spindel werd uitgeoefend. Om de spindel los te maken van de elektromagneet was het noodzakelijk om de polariteit van de stroom voor korte duur om te keren. De kern van de elektromagneten is gemaakt van het materiaal zilverstaal. Een gebruikelijk materiaal voor de productie van kernen voor magnetische circuits is weekijzer. Weekijzer heeft in tegenstelling tot zilverstaal een lage magnetisatie. Het kan door de magnetisatie bemoeilijkt worden het gedrag van de elektromagneten te controleren. Hier is helaas bij het maken van het ontwerp niet aan gedacht. Later zal


34

Figuur 8.1: De elektromagneten houden zichzelf vast aan de spindel

blijken of het mogelijk is een werkende testopstelling te bouwen. Hierdoor is het nog niet zeker of aan tweede eis in paragraaf 3.2 kan worden voldaan. Intussen zijn alle componenten op het frame van de opstelling gemonteerd. Hierdoor is aangetoond dat aan de derde eis in paragraaf 3.2 wordt voldaan. In figuur 8.2 is te zien hoe alle componenten aan het frame zijn gemonteerd. De eerste eis in paragraaf 3.3 zegt dat de gebruiker niet aan spanningen boven de 42 V mag worden blootgesteld. De hoogste spanning in de opstelling (met uitzondering van de randapparatuur op 230 V) is de aansluiting van de gestuurde voeding van de elektromagneten. Op de klemmen staan +12 V en -12 V, waardoor het maximale potentiaalverschil 24 V bedraagt. Aan de eis is voldaan. In figuur 8.2 is te zien dat twee optische sensoren onderin het frame zijn gemonteerd. Deze worden gebruikt in het geval dat de capacitieve sensoren (zie paragraaf 2.1) niet functioneren. De houten plank aan de bovenkant van het frame maakt het onmogelijk om per ongeluk aan de laserstraal blootgesteld te worden. In sectie 3.4.1 staat bij de eerste eis beschreven hoeveel kracht moet kunnen worden uitgeoefend op de spindel. De maximale kracht die kan worden uitgeoefend op de spindel is moeilijk te meten vanwege drie redenen. 1. De maximale kracht is afhankelijk van de afstand van de spindel tot de elektromagneten. 2. De afstand tussen de elektromagneten en de spindel is moeilijk te meten, omdat het om zeer kleine afstanden gaat (fracties van millimeters).


35

Figuur 8.2: De totale opstelling geassembleerd

3. De vereiste kracht is niet gelijk aan de zwaartekracht die op spindel werkt, maar drie keer deze kracht. Deze kracht is moeilijk te meten en zal met specifieke apparatuur gemeten moeten worden. Het is wel bekend dat de spindel met gemakt gelift kan worden door de elektromagneten en dat de kracht op de spindel groter is dan was berekend. Waarschijnlijk wordt wel voldaan aan deze eis, maar dit kan niet worden aangetoond met meetresultaten. Eis twee in sectie 3.4.1 geeft een beperking aan de lengte van de spindel. In hoofdstuk 6 wordt bepaald dat de lengte van de spindel 130 mm is, hetgeen lager is dan de grens van 150 mm. Aan deze eis is voldaan. De derde eis bepaalt dat de stroom door de elektromagneten een stroom van 2 A moeten kunnen hebben. Hierbij is rekening gehouden met het ontwerp van de elektromagneten in hoofdstuk 5. Bij een stroom rond de 1 A is de spindel al te liften van enkele millimeters afstand tot de elektromagneten. Daarmee is aan de eis voldaan. De vierde eis verwoord dat het frame van de opstelling de metingen van de sensoren niet mag be¨ınvloeden. Het frame is van hout gemaakt en dit materiaal heeft geen invloed op de elektrische velden en dus ook niet op de capacitieve meting. In eis vijf worden criteria gesteld aan het gewicht van de opstelling. De houten opstelling is met gemak te tillen. Ook aan deze eis is voldaan. Eis zes geeft aan dat de opstelling niet opnieuw in elkaar hoeft kunnen worden gezet. De opstelling is in elkaar geschroefd en kan niet makkelijk uit elkaar worden gehaald. In principe is de opstelling in iedere situatie klaar voor gebruik: Plug & Play. Eis zeven geeft aan dat een 230 V aansluiting nodig is voor het functioneren van de opstelling. De externe voedingen voor de verschillende onderdelen van de opstelling moet hierop worden aangesloten.


36

De laatste eis in sectie 3.4.1 zegt iets over het gemak waarmee onderdelen vervangen moeten kunnen worden. De opstelling is niet dicht en afgesloten en alles is makkelijk met de hand bereikbaar, zoals in figuur 8.2 te zien is. Deze eis is vervuld. Tot slot geeft de eis in sectie 3.4.2 aan dat de productietijd van de onderdelen niet langer mag zijn dan twee weken. Alle onderdelen voor het ontwerp waren makkelijk te produceren en waren ruim binnen de tijd klaar voor gebruik. Het fabriceren van de magneten en de kernen van de elektromagneten heeft hooguit een week geduurd. Aan de laatste eis is voldaan.

9

Procesbeschrijving 9.1

De aanpak van het project

Tijdens de eerste bijeenkomst met onze begeleider Ir. Navin Balini werd verteld dat een werkende testsetup moest worden ontworpen en gebouwd voor stabilisatie-algoritmes voor een Actieve Magnetische Lageringsopstelling. Op dat moment worden een aantal A4-tjes uitgedeeld, waarin kort uitgelegd staat hoe een dergelijke opstelling functioneert. Om de opdracht de concretiseren, werden harde eisen op tafel gelegd. De rotor van het apparaat moest in staat zijn 50.000 toeren per minuut te draaien. Meteen na de eerste meeting werden taken verdeeld op het gebied van literatuuronderzoek. Onze taak was het verdiepen in elektromagneten die de spindel op de plaats houden, in de motor die de spindel aan moet gaan drijven, de spindel zelf en de dynamische eigenschappen van de spindel. De doelstelling was erg breed en het leek een oneindige klus om een boek over rotordynamica door te nemen. Kennis van mechanica is immers beperkt overgedragen tijdens de bachelor elektrotechniek. Gedurende twee weken heeft iedereen zich verdiept in de literatuur. Uit verscheidene gesprekken met onderzoekers op het gebied van actieve magnetische lagering bleek dat het een onmogelijke klus was om een volledige opstelling in acht weken te ontwerpen. De boodschap was duidelijk; het onderzoeksdoel moest worden bijgesteld. Tevens was het volgens de onderwijsco¨ ordinatie niet de bedoeling dat meer tijd werd besteed aan mechanica dan aan elektronica. Het resultaat van de herziening was dat de spindel van de opstelling niet meer zou gaan draaien. Daarnaast zou de spindel niet in twee dimensies worden gecontroleerd, maar slechts in de verticale richting. Het probleem was nu gesimplificeerd in een spindel die zwevend wordt gehouden door twee elektromagneten. Menno begonnen met de eerste ontwerpstappen. Er moest een simpele technische tekening worden gemaakt van de spindel, zodat deze in productie kon worden genomen. De tekening is overigens door Javier verder verfijnd. Daarnaast is Menno vast begonnen met het opstellen van de voorwaarden waaraan de elektromagneten moeten voldoen. Hij heeft zich verdiept in de oorsprong van de kracht op elektromagneten. In de literatuur van was verreweg de meeste relevante informatie te vinden betreffende het onderwerp van de elektromagneten. Het boek gaf de gelegenheid om zelf een model te maken op basis van de theorie. In overige literatuur werd veelal een gesimplificeerd model gegeven van een elektromagneet. Menno heeft een eenvoudig model opgesteld van de elektromagneet met kern, waarmee Javier na afwezigheid mee verder heeft gewerkt. Javier kwam op het idee om een a-symmetrische kern te ontwerpen en kon dit implementeren in het MATLAB-model. Dit ontwerp is doorgezet tot het uiteindelijke ontwerp. Javier heeft er tevens voor gezorgd dat de technische tekeningen van de kernen werden gemaakt, zodat deze door de werkplaats geproduceerd konden worden. Ook heeft hij het frame gemaakt. 37

HOOFDSTUK 9. PROCESBESCHRIJVING

38

Wekelijks vond er overleg plaats tussen de verschillende werkgroepen samen met de begeleider. Enkele weken voor het einde van het project werd gerealiseerd dat er moest worden overgegaan tot productie van de materialen om het ontwerp op tijd te voltooien. Er moest daarnaast nog tijd resteren om aan de thesis te werken. Toen de onderdelen geproduceerd waren, is begonnen met het testen van en meten aan de apparatuur. Er moest nagegaan worden of aan de randvoorwaarden werd voldaan. Daarna is overgegaan tot het verzamelen van informatie voor de thesis. Met meetinformatie kon Menno modellen van de elektromagneten vergelijken met de metingen. Hij heeft geprobeerd om de modellen te verbeteren, hetgeen niet tot het gewenste resultaat heeft geleid. Tijdens de laatste week is begonnen met het assembleren van een spanningsversterker voor de elektromagneten . Het dspace system waar het regelsysteem in wordt ge¨ımplementeerd kan niet voldoende stroom leveren om de elektromagneten aan te sturen. Javier heeft er tijd in gestoken om last minute een schakeling in elkaar te solderen. De schakeling functioneert naar behoren. De opstelling is geassembleerd en het regelsysteem moet nu ge¨ımplementeerd worden. Helaas zijn er nog geen testresultaten ter beschikking voor de thesis. De resultaten zullen hopelijk bekend gemaakt worden tijdens de eindpresentatie van het project.

9.2

Onderlinge taakverdeling

Vanwege een verschil in schrijfstijl is in overleg met de coördinatie van het bachelor eindproject besloten om de taakverdeling tussen Javier en Menno strict te scheiden. Hierdoor wordt het mogelijk gemaakt om de stukken individueel te beoordelen. Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk Hoofdstuk

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Verantwoordelijke Menno Menno Javier en Menno Menno Javier Javier Javier Menno Menno

Tabel 9.1: Onderlinge taakverdeling

Bibliografie [DL01] DeCarlo and Lin, Linear Circuit Analysis, Second, Ed. University Press, 2001.

Oxford: Oxford

[Hoe03] M. Hoeijmakers, Elektrische omzettingen, derde ed. Delft: DUP Blue Print, 2003. [KLvES07] M. H. Kimman, H. H. Langen, J. van Eijk, and R. M. Schmidt, “Advanced intelligent mechatronics, 2007 ieee/asme international conference on 4-7 sept. 2007,” in Design and Realization of a Miniature Spindle Test Setup with Active Magnetic Bearings, 2007. [MK99] E. Maslen and C. Knospe, “Design of thrust actuators,” 1999. [Online]. Available: http://people.virginia.edu/˜ehm7s/courses/magnetic bearings/ slides.PDF [TM04] P. A. Tipler and G. Mosca, Physics for scientists and engineers. New York: W.H. Freeman and Company, 2004.

39

Appendices

10 10.1

Appendix 1

% Permeabiliteit mu_0 = 4*pi*1E-7; mu_r = 5000; % Dikke deel van de kern l_k1 = 30E-3+7E-3+7E-3+15E-3+4.5E-3; A_k1 = 14E-3*14E-3; % Dunne deel van de kern l_k2 = 30E-3+7E-3; A_k2 = 9E-3*14E-3; % Lekflux l_lek = 15E-3; A_lek = 30E-3*14E-3; % Luchtspleet dik l_l1 = x; A_l1 = 2*pi*7E-3*(pi-2*asin(3.61/7))/(2*pi)*14E-3; % Luchtspleet dun l_l2 = x; A_l2 = 2*pi*7E-3*(pi-2*asin(3.61/7))/(2*pi)*9E-3; % Spindel l_s = 38E-3-4.5E-3-7E-3; A_s = pi*(6E-3)^2; % Definitie magnetische reluctanties Rm_k1 = Rm_k2 = Rm_lek= Rm_l1 = Rm_l2 = Rm_s =

l_k1/(mu_0*mu_r*A_k1); l_k2/(mu_0*mu_r*A_k2); l_lek/(mu_0*A_lek); l_l1/(mu_0*A_l1); l_l2/(mu_0*A_l2); l_s/(mu_0*mu_r*A_s);

% % % % % %

% Definitie equivalente reluctanties Rm_seq = Rm_l1 + Rm_s + Rm_l2;

40

Het dikke deel van de kern Het dunne deel van de kern De lekflux tussen de kerndelen Luchtspleet dikke deel kern Luchtspleet dunne deel kern Spindel

HOOFDSTUK 10. APPENDICES

41

Rm_keq = Rm_k1 + Rm_k2; Rm_eq = (Rm_seq.*Rm_lek)./(Rm_seq+Rm_lek)+Rm_keq; % Definitie coefficient van zelfinductie L = N^2./Rm_eq n = Rm_l1 + Rm_s + Rm_l2 + Rm_lek; t = Rm_lek.*(Rm_l1+Rm_s+Rm_l2); at = (1/(mu_0.*A_l1) + 1/(mu_0*A_l2))*Rm_lek; an = 1/(mu_0.*A_l1) + 1/(mu_0.*A_l2);

% % % %

Noemer Teller Afgeleide teller Afgeleide noemer

dLdX = -N^2./2.*(1./(Rm_k1+Rm_k2+((Rm_l1+Rm_s+Rm_l2).*Rm_lek)./ (Rm_l1+Rm_s+Rm_l2+Rm_lek))).^2.*(n.*at-t.*an)./(n).^2 % Definitie kracht F = 0.5.*dLdX.*i.^2;

10.2

Appendix 2

% Zelfinductie zonder kern % Variabelen declareren mu_0 = 4*pi*10^-7 N_l = 18E-3/(2*sqrt(0.5E-6/pi)+0.1E-3) N_p = 270/N_l l = 18E-3 r_1 = 7E-3 R = 17E-3

% % % % % %

Permeabiliteit van vacuum Aantal windingen in lengterichting Aantal windingen in hoogterichting Lengte van de solenoide Binnenstraal solenoide Buitenstraal solenoide

% Uitdrukking zelfinductantie a = r_1 b = (R-r_1)/(N_p-1) L = (mu_0*pi/3)*(N_l^2*(N_p-1))/(l*(R-r_1))*(R^3-(r_1)^3)

10.3

Appendix 3

%magnetische reluctantie a = (1:1:23); u0 = 4*pi*10^-7; ufe=5000;


uspindel=2000; %eerst gaan we de R_Ijzer berekenen lengte_core1= (26+7+(19+(a/2)))*10^-3; A = (14*14)*10^-6; Rfe1 = (lengte_core1)/(u0*ufe*A); lengte_core2= (7+26)*10^-3; A2 = ((38-14-a)*14)*10^-6; Rfe2 = (lengte_core2)./(u0*ufe*A2); Rfe=Rfe1+Rfe2; %nu de R_spleet lengte_airegap= 1*10^-3; R_aire1 = (lengte_airegap)/(u0*A); R_aire2 = (lengte_airegap)./(u0*A2); R_aire= R_aire2+R_aire1; %nu R_spindel lengte_spindel = (38)*10^-3; A_spindel= pi*(6*10^-3)^2; R_spindel=((lengte_spindel)/(u0*uspindel*A_spindel))*ones(1,23); %nu R_lek lengte_lucht=(a)*10^-3; A_lucht=(14*26)*10^-6; R_lucht = (lengte_lucht)/(u0*A_lucht);

q=(1:23); %Plot de verschilende reluctanties figure(1) title(’Reluctantie’) xlabel(’Afstand a in mm’) ylabel(’A/Wb’) hold on plot(q, R_lucht,’r.-’, q, R_aire ,’--’,q, Rfe,’k’, q, R_spindel,’c:’) legend(’R_{m,verlies}’,’R_{m,spleet}’,’R_{m,ijzer}’,’R_{m,spindel}’); text(22,0.4e7,’R_{m,spindel}’) text(22,-0.4e7,’R_{m,ijzer}’)

42


10.4

Appendix 4

Hier bij zijn de gegevens van 10.3 gebruikt.

%plotten verhouding R lucht en R aire W=R_lucht./R_aire; figure(2) title(’Verhouding Reluctantie’) xlabel(’Afstand a in mm’) ylabel(’Verhouding’) hold on plot(W)

10.5

Appendix 5

%het rekenen van de zelfinductie u0 = 4*pi*10^-7; N=270; x= 0.0005: 0.0001 : .005; A_aire1=(14*14)*10^-6; A_aire2=(9*14)*10^-6; R_aire1= x/(u0*A_aire1); R_aire2= x/(u0*A_aire2); lengte_lucht=15*10^-3; A_lucht=(14*26)*10^-6; R_lucht = (lengte_lucht)/(u0*A_lucht); L= N^2.*( (1./(R_aire1+R_aire2)) + (1/(R_lucht)) );

%het plotten van de zelfinductie figure(3) title(’Zelfinductie’) xlabel(’Afstand x in mm’) ylabel(’H’) hold on plot(x,L)

43


44

% nu de kracht berekenen reqForce = 0.140*9.81/2; % required to carry the spindle maxForce = ones(1,46)*3*reqForce; % force required to control the spindle figure(4) title(’Kracht’) xlabel(’Afstand x in mm’) ylabel(’Kracht in N’) hold on I=3; F =0.5*(I^2)’.*( ( (N^2*u0*A_aire1*A_aire2) ./ ((x.^2)*(A_aire1+A_aire2)) ) + (N^2/(R_lucht)) ); plot(x,F,’r’,x,maxForce,’k’) legend(’Kracht F’,’F_{min}’)

10.6

Appendix 6

Hier bij zijn de gegevens van 10.5 gebruikt.

% nu de kracht berekenen reqForce = 0.140*9.81/2; % required to carry the spindle maxForce = ones(1,46)*3*reqForce; % force required to control the spindle figure(4) title(’Kracht’) xlabel(’Afstand x in mm’) ylabel(’Kracht in N’) hold on I=3; F =0.5*(I^2)’.*( ( (N^2*u0*A_aire1*A_aire2) ./ ((x.^2)*(A_aire1+A_aire2)) ) + (N^2/(R_lucht)) ); plot(x,F,’r’,x,maxForce,’k’) legend(’Kracht F’,’F_{min}’)


In figuur 10.1 de kracht te zien maar nu met een andere I.

Figuur 10.1: Kracht bij stroom van 1 A en 2 A

45

BSc THESIS. Het ontwerp van elektromagneten, spindel en het frame in een zwevende spindelopstelling. Menno de Haas en Javier Sint-Jago

Recommend Documents