Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen
Jeanine Daems
Universiteit Leiden
Voorbeelden van symmetrische figuren:
• wat is symmetrie in de wiskunde?
• symmetrie als afbeelding
• wat is een symmetriegroep?
• strookpatronen en behanggroepen
een symmetrie van een figuur: een afbeelding die een figuur precies op zichzelf afbeeldt z´ o dat alle afstanden bewaard blijven
Voorbeeld: de symmetrie¨ en van een vlinder
2 symmetrie¨ en:
• de identiteit: de afbeelding die elk punt op zichzelf afbeeldt (“niets doen”)
• spiegeling in verticale as
Voorbeeld: de symmetrie¨ en van een regelmatige driehoek
• identiteit (“niets doen”) • 3 spiegelingen • 2 rotaties
We noemen de verzameling van alle symmetrie¨ en van een figuur de symmetriegroep van de figuur. De vlinder heeft dus een symmetriegroep bestaande uit 2 elementen: de identiteit en een spiegeling. De regelmatige driehoek heeft een symmetriegroep van 6 elementen: de identiteit, 3 spiegelingen en 2 rotaties.
Een symmetriegroep kan ook oneindig veel elementen bevatten:
[oneindig voortgezet naar links en naar rechts]
De symmetriegroep bevat oneindig veel translaties: je kunt alles 1 voetje naar rechts verschuiven, of 1 voetje naar links, of willekeurig veel voetjes naar rechts of naar links. Merk op: een begrensde figuur kan geen translatiesymmetrie¨ en hebben.
[oneindig voortgezet naar links en naar rechts] Ook bevat de symmetriegroep glijspiegelingen, bijvoorbeeld de glijspiegeling die ontstaat door spiegelen in de horizontale as gevolgd door een half voetje naar rechts transleren.
Samenstellen van symmetrie¨ en Na toepassen van een symmetrie ziet de figuur er hetzelfde uit. Je kunt dan weer een symmetrie toepassen. Het na elkaar toepassen van symmetrie¨ en heet samenstellen van symmetrie¨ en. Het resultaat is een nieuwe symmetrie. Notatie: als we eerst symmetrie S toepassen en daarna symmetrie T , dan schrijven we T ◦ S.
• een spiegeling met zichzelf samenstellen geeft de identiteit
• een symmetrie met de identiteit samenstellen geeft die symmetrie waarmee je begon
• een rotatie over 120◦ samenstellen met een rotatie over 120◦ geeft een rotatie over 240◦
• een translatie met zichzelf samenstellen geeft een translatie in dezelfde richting over de dubbele afstand
Inverse symmetrie¨ en Bij elke symmetrie S is er een symmetrie T te vinden zodat S samenstellen met T de identiteit oplevert. (Notatie: T ◦ S = id) We noemen T de inverse van S.
Bekijk de symmetrie¨ en van de regelmatige driehoek. • de inverse van de identiteit is de identiteit • de inverse van een spiegeling is die spiegeling zelf • de inverse van de rotatie om 120◦ is de rotatie om 240◦ • de inverse van de rotatie om 240◦ is de rotatie om 120◦
• de inverse van de translatie met 1 voetje naar links is de translatie met 1 voetje naar rechts • de inverse van de translatie met 35 voetjes naar rechts is de translatie met 35 voetjes naar links • de inverse van de glijspiegeling die bestaat uit spiegelen in de horizontale as gevolgd door een half voetje naar rechts transleren, is de glijspiegeling die bestaat uit spiegelen in dezelfde as en dan een half voetje naar links transleren
Voorbeeld: symmetriegroep van een regelmatige vijfhoek
Voorbeeld: symmetriegroep van een regelmatige vijfhoek
• identiteit id • 5 spiegelingen • 4 rotaties (5-voudige rotaties) Wat zijn de inversen van deze elementen?
strookgroep: symmetriegroep van een patroon op een strook dat een translatiesymmetrie heeft, zodanig dat er een kleinste translatie-afstand is Dus: symmetriegroep van een lijn is geen strookgroep! Er zijn 7 strookgroepen.
plaatje van www.wikipedia.org
zijn er 2-voudige rotatiecentra? • ja; horizontale spiegeling? – ja, dan groep 7 – nee; verticale spiegeling? als ja, dan groep 6, als nee, dan groep 5 • nee; horizontale spiegeling? – ja, dan groep 3 – nee; glijspiegeling? ∗ ja, dan groep 2 ∗ nee; verticale spiegeling? als ja, dan groep 4, als nee, dan groep 1
determinatietabel: 2-voudige rotatiecentra? nee horizontale spiegelingen? nee glijspiegelingen? nee verticale spiegelingen? nee allebei dezelfde strookgroep: identiteit, translaties, geen andere symmetrie¨ en
determinatietabel: 2-voudige rotatiecentra? nee horizontale spiegelingen? nee glijspiegelingen? ja allebei dezelfde strookgroep: identiteit, translaties, glijspiegelingen en geen echte spiegelingen
vlak in plaats van strook behanggroep: symmetriegroep van een vlak figuur met translaties in twee onafhankelijke richtingen zodat er een kleinste translatie-afstand is Er zijn 17 behanggroepen.
rooster
We noemden de verzameling van symmetrie¨ en van een figuur de symmetriegroep van de figuur. Hier betekent groep niet alleen een verzameling dingen (zoals in “een groep mensen”). In wiskunde is groep een veel algemener concept.
Er is een analogon voor behanggroepen in elke dimensie: kristallografische groepen. ca. 1890 : Fedorov en Schoenflies tellen het aantal kristallografische groepen in dimensie 3: 230 1900, Parijs, International Congress of Mathematicians: Hilbert probleem 18: Is er in elke dimensie slechts een eindig aantal kristallografische groepen? Antwoord: ja [Ludwig Bieberbach, 1910 & 1912]
1948 : Hans Zassenhaus (1912 – 1991) publiceerde ¨ Uber einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen Algoritme voor classificatie van kristallografische groepen
Brown, B¨ ulow, Neub¨ user, Wondratschek, Zassenhaus 1978 1966: Brown implementeerde Zassenhaus’ algoritme 1973: lijst van kristallografische groepen in dimensie 4 opgesteld 4783 kristallografische groepen, 4895 “echte” kristallografische groepen
n=1: 2 n = 2 : 17 kristallografische groepen Fedorov (1890) n = 3 : 219 + 11 kristallografische groepen Schoenflies (1889), Fedorov (1890/2) n = 4 : 4783 + 111 kristallografische groepen Brown, B¨ ulow, Neub¨ user, Wondratschek, Zassenhaus (1978) n = 5 : 222 018 + 79 kristallografische groepen Plesken and Schulz (2000) n = 6 : 28 927 922 + 7052 kristallografische groepen Plesken and Schulz (2000)
