Bolyai-d´ıj, 2000 Csirmaz L´ aszl´o L´etezik k¨ ozgazdas´ agi, fizikai, orvosi ´es b´eke Nobel d´ıj is, de nincs matematikai Nobel d´ıj. Ennek ok´ ar´ ol t¨ obbf´ele magyar´ azat forog k¨ ozk´ezen. Az egyik szerint Alfred Nobel, mikor alap´ıtv´ any´ at megtette, megk´erdezte: van es´ely arra, hogy egy ´ altala nem nagyon kedvelt matematikus, bizonyos Gosta Mittag-Leffler megkapja a d´ıjat. S mikor a v´ alasz az volt, hogy “bizony lehets´eges,” ink´ abb kihagyta a matematik´ at a t´ amogatand´ o tudom´ anyok k¨ oz¨ ul. Ez a v´ altozat a v´ arosi m´ıtoszok k¨ oz¨ ul val´ o, mert az ´egadta vil´ agon semmi sem t´ amasztja al´ a. Nobelt, mint feltal´ al´ ot ´es gy´arost egy´ atal´ an nem ´erdekelte a matematika – ´es ´ altal´ aban az elm´eletek –, ez´ert maradt ki ez a diszcipl´ına az ´ altala alap´ıtott d´ıjb´ ol [1]. A matematikusok az´ert nem maradnak d´ıj n´elk¨ ul. J´ o n´eh´ any, kiv´ al´ o matematikai teljes´ıtm´eny elismer´esek´ent kaphat´ o d´ıj l´etezik. Ezek k¨ oz¨ ul a legismertebbek az ´evenk´ent adom´ anyozott Wolf-d´ıj valamint a Nemzetk¨ozi Matematikai Kongresszus ´ altal n´egy´evenk´ent odait´elt Fields-med´ al. A Magyar Tudom´ anyos Akad´emia ´ altal a 20. sz´azad els˝o ´eveiben alap´ıtott Bolyai Eml´ek´erem az egyik legkor´ abbi ilyen t´ıpus´ u d´ıj, melyet az eredeti ki´ır´ as szerint a matematik´ at legink´ abb el˝oreviv˝ o, nagyszab´ as´ u munk´ a´ert adom´ anyoztak. A d´ıjat el˝ osz¨or Bolyai J´ anos (1802–1860) sz¨ ulet´es´enek sz´azadik ´evfordul´ oj´ anak eml´ek´ere, 1905-ben adt´ ak ´ at. A d¨ ont´est nagy v´ arakoz´as el˝ ozte meg. Mindenki el˝ ott vil´ agos volt, hogy a d´ıjat k´et matematikus valamelyike fogja megkapni: vagy David Hilbert vagy Henri Poincar´e. Hilbert (1862-1943) ekkor m´eg viszonylag fiatal volt, aki az 1900-as Matematikai Vil´ agkongresszuson tartott nagy hat´ as´ u el˝ oad´ ast arr´ ol, milyen probl´em´ak megold´ as´at v´ arja az elj¨ ovend˝ o huszadik sz´azadt´ ol. Poincar´e (1854–1912) id˝ osebb, munk´ ai u ´j fejezetet nyitottak az algebrai g¨ orb´ek geometriai tanulm´ anyoz´ as´ aban, alapvet˝o munk´ at v´egzett a speci´alis ´es altal´ ´ anos relativit´ aselm´elet matematikai megalapoz´ as´aban is. Az 1895-ben megjelent Anal´ m´ ysis Situs c´ım˝ u m˝ uve a modern topol´ ogia els˝o rendszeres ¨ osszefoglal´oja. Uj odszert dolgozott ki a h´ aromtest-probl´ema kezel´es´ere (a probl´ema analitikusan le´ırni, hogy a vil´ ag˝ urben h´ arom mag´ ara hagyott test, kiz´ ar´ olag egym´ast vonzva hogyan mozog). Itt jelenik meg el˝ osz¨or a matematik´ aban a k´ aosz jelens´ege. H´ıres modellje a Bolyai geometri´ ar´ ol megmutatta, hogy abban ugyan´ ugy nem lehet ellentmond´ asra jutni mint a szok´asos Euklideszi rendszerben. Azon k´ıv¨ ul, hogy term´ekeny matematikus, neves ´es j´ o toll´ u ismeretterjeszt˝o is volt. “A tudom´ anyr´ ol ´es a hipot´ezisr˝ol” c´ım˝ u k¨ onyv´eben ´ırja a k¨ ovetkez˝oket [2]: A tudom´ any u ´gy ´ep¨ ul fel a t´enyekb˝ ol, mint ahogyan egy h´ az ´ep¨ ul a k¨ ovekb˝ ol. De egy sor t´eny egy¨ uttv´eve ugyan´ ugy nem tudom´ any, mint ahogyan egy rak´ as k˝ o sem h´ az. Arr´ ol, hogy az “igazi” geometria Euklideszi-e vagy sem, a v´elem´eny´et k¨ ovetkez˝ok´eppen foglalja ¨ ossze: Agyunk a term´eszetes kiv´ alaszt´ od´ as ´ altal alkalmazkodott a k¨ uls˝ o vil´ aghoz. Azt a geometri´ at fogadta el, amely a faj sz´ am´ ara a legel˝ ony¨ osebb, vagy m´ as sz´ oval ami a legk´enyelmesebb. A geometria nem igaz, hanem haszn´ alhat´ o.
A matematikusokat nem csin´ alj´ ak, hanem sz¨ uletnek. H. Poincar´e 1
A Bolyai Eml´ek´ermet odait´el˝ o bizotts´ ag (K˝ onig Gyula, Rados Guszt´ av, Gaston Darboux, Felix Klein) 1905-ben a d´ıjat ´es a vele j´ ar´ o 10,000 aranykoron´ at Henri Poincar´enek it´elte. A k¨ ovetkez˝o d´ıj´ atad´ asra 1910-ben ker¨ ult sor; a bizotts´ agban ekkor Poincar´e m´ ar mint titk´ ar vett r´eszt, a d´ıjazott pedig David Hilbert volt. A m´eltat´ as ¨ osszegz´est ad Hilbert addigi munk´ aj´ ar´ ol: az anal´ızisben, sz´amelm´eletben el´ert nagyszer˝ u eredm´enyeir˝ ol, a matematika alapjainak lerak´ as´an´ al j´atszott szerep´er˝ ol, a geometria axiomatiz´ al´ as´ an´ al v´egzett munk´ aj´ ar´ ol. Hilbert sokat tett a v´egtelen fogalm´ anak matematik´an bel¨ uli elfogad´ as´a´ert, valamint az´ert, hogy a halmazelm´elet a “komoly,” “igazi” matematika r´esz´ev´e v´ aljon. Erre utal a k¨ ovetkez˝o mond´ asa is: Senki sem u ˝zhet ki minket abb´ ol paradicsomb´ ol, amit Cantor teremtett sz´ amunkra 1 . A v´egtelenr˝ ol pedig ezt ´ırja [3]: Egyetlen k´erd´es sem mozgatta meg az emberek lelk´et jobban, egyetlen ¨ otlet sem sarkallta gy¨ um¨ olcs¨ oz˝ obben az intellektusukat, ´es egyetlen fogalom sem ig´enyli jobban a tiszt´ az´ ast, mint a v´egtelen´e. Az els˝o vil´ agh´ abor´ u megszak´ıtotta a Bolyai-d´ıjak sorozat´at, ´es a k¨ ovetkez˝o kilencven ´evben az Akad´emia nem adta ki a Bolyai Eml´ek´ermet. B´ar sokszor pr´ ob´ alt´ ak feleleven´ıteni a hagyom´anyt, a d´ıj meg´ uj´ıt´ asa el´e politikai ´es anyagi akad´ alyokon t´ ul szakmaiak is tornyosultak. K´et ilyen hatalmas, enciklop´edikus tud´ as´ u d´ıjazott ut´ an, akik nem csak kort´ arsaik, hanem az ut´ anuk j¨ ov˝ o nemzed´ekek megit´el´ese szerint is a legnagyobb matematikusok k¨ oz´e tartoztak, ki legyen a k¨ ovetkez˝o? Az elm´ ult sz´az ´evben a matematika bonyolult ´es ¨ osszetett tudom´ anny´ a v´ alt. M´ ar nincsenek, ´es nem is lesznek, lehetnek olyanok, akik a matematika ¨ osszes ´ ag´ at ismerik, r´ aad´ asul mindegyikben maradand´ ot tudnak alkotni. Ha pedig a matematika ennyire szerte´agaz´o, akkor hogyan d¨ onthetn´enk el, hogy melyik ´ aga fontosabb, ´es melyik kev´esb´e az? Ez is mutatja, milyen neh´ez volt a feladata az 1998-ban fel´ all´ıtott Bolyai bizotts´ agnak. A bizotts´ ag tagjai neves magyar ´es nemzetk¨ozi matematikusok voltak, akiknek feladata a 2000. ´evi Bolyai Eml´ek´erem nyertes´enek kiv´ alaszt´ asa volt. A ki´ır´ as szerint az “elm´ ult t´ız ´ev legjelent˝ osebb matematikai monogr´ afi´ aj´ anak szerz˝oj´et” k´ıv´ ant´ ak a d´ıjjal jutalmazni. A 2000. ´evi Bolyai-d´ıj matematikai fogalomalkot´ ast, monogr´ afi´ at, iskolateremt´est k´ıv´ an elismerni, ezzel mintegy utalva a d´ıj els˝o k´et jutalmazottj´ ara. A bizotts´ ag a Bolyai Eml´ek´ermet ezek alapj´ an Saharon Shelah-nak, az izraeli Hebrew Egyetem es az amerikai Rutgers Egyetem professzor´ anak ´ıt´elte Cardinal Arithmetic (Sz´ amoss´agaritmetika) c´ım˝ u, 1994-ben az Oxford University Press-n´el megjelent monogr´ afi´ aj´ a´ert [4]. Shelah k´et ´eve u ¨nnepelte ¨ otvenedik sz¨ ulet´esnapj´ at. Tudom´ anyos cikkeinek sz´ama 750 ¨ f¨ ol¨ ott van [6], t´arsszerz˝oinek sz´ama pedig meghaladja a 170-et. Osszehasonl´ıt´ ask´eppen egy atlagos, j´ ´ ol k´epzett matematikus ´eves term´ese 6–8 cikk. Shelah szakter¨ ulete a modellelm´elet, matematikai logika, halmazelm´elet, univerz´ alis algebra, ´es ´ altal´ aban a matematika t¨ obbi szakter¨ ulet´enek a halmazelm´elethez kapcsol´od´ o r´esze. Az al´ abbiakban v´ azlatosan bemutatjuk a d´ıjazott n´eh´ any kor´ abbi eredm´eny´et, majd arr´ ol a t´emak¨ orr˝ ol ejt¨ unk n´eh´ any sz´ot, amir˝ ol Shelah monogr´ af´ aja sz´ol. Mind a fogalmak, mind az eredm´enyek a matematik´anak a mindennapi szeml´elett˝ol legt´ avolabb es˝o ´ ag´ ahoz, a halmazelm´elethez tartoznak. A v´egtelen vil´ ag nagyon m´as, mint a mindennap tapasztalt v´eges. Hossz´ u id˝ obe telik ´es sok munk´ at ig´enyel, m´ıg olyan biztons´ aggal tudunk benne 1
Aus Dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k¨ onnen.
2
´ mozogni, mint a t¨ obbi matematikai diszcipl´ın´ aban. Eppen ez´ert az olvas´ o ne keseredjen el, ha az ismertet˝ o egyes r´eszei, defin´ıci´ oi sz´am´ ara hom´ alyosak vagy egyenesen ´erthetetlenek. Shelah fiatalon oldotta meg a modellelm´elet egyik legnehezebb probl´em´aj´ at, az u ´gynevezett Morley-sejt´est. Thoralf Skolem (1887–1963) norv´eg ´es Leopold L¨ owenheim (1878– 1957) n´emet matematikus m´eg az 1930-as ´evekben bizony´ıtotta, hogy egy megsz´aml´alhat´ o elm´eletnek minden v´egtelen sz´amoss´agban van legal´ abb egy modellje. M. Morley t´etele szerint ha egy ilyen elm´eletnek valamilyen megsz´aml´ alhat´ on´ al nagyobb sz´amoss´agra (izomorfia erej´eig) csak egyetlen modellje van, akkor minden megsz´aml´ alhat´ on´ al nagyobb sz´amoss´agra csak egyetlen modellje van. Igaz-e – ´es ez volt Morley sejt´ese –, hogy egy r¨ ogz´ıtett elm´elethez az a f¨ uggv´eny, ami egy adott sz´amoss´agra megmondja, hogy az elm´eletnek h´ any p´ aronk´ent nem-izomorf modellje van az adott sz´amoss´agban, nem cs¨okkenhet? Shelah a k´erd´est u ´gy d¨ ont¨ otte el, hogy az ¨ osszes lehets´eges ilyen f¨ uggv´enyt megadta, az pedig k¨ onnyen l´ athat´ o, hogy ezen f¨ uggv´enyek egyike sem cs¨okken. A megold´ ashoz a logikai elm´eletek ´es modelljeik ´ altal´ anos strukt´ ur´ alis le´ır´ as´aval foglalkoz´o, u ´gynevezett klasszifik´ aci´ o elm´eletet fejlesztette ki. Shelah egy m´asik nevezetes eredm´enye a kombinatorika van der Waerdenr˝ ol (1903– 1996) elnevezett t´etel´ehez kapcsol´odik. E szerint minden k ´es n term´eszetes sz´amhoz tal´ alhat´ o olyan nagy N term´eszetes sz´am, hogy az 1, 2, . . ., N sz´amok mindegyik´et ak´ arhogyan is sz´ınezz¨ uk ki k sz´ın valamelyik´evel, mindig fogunk tal´ alni n azonos sz´ın˝ ut, melyek egym´ast´ ol egyenl˝ o t´avols´ agra vannak (m´ ask´eppen mondva az n sz´am sz´amtani sorozatot alkot). Milyen nagy ez az N ? A t´etelnek sz´ amos bizony´ıt´ asa ismeretes, ´ am mindegyik nagys´ agrendileg hasonl´ o, elk´epeszt˝oen nagy ´ert´eket ad N -re. A m´ asik ir´ anyb´ ol viszont nem siker¨ ult megadni m´eg viszonylag kicsi N -re sem olyan sz´ınez´est, amiben ne lett volna megfelel˝ o hossz´ us´ ag´ u egysz´ın˝ u sz´amtani sorozat. Ismerv´en a t´etelre adott sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝o bizony´ıt´ ast, ´es hogy azok mindegyike ugyanolyan nagys´ agrend˝ u becsl´est adott N -re, a matematikusok ´ altal´ aban, a kombinatorikusok pedig kiv´etel n´elk¨ ul u ´gy gondolt´ ak, hogy N “igazi” ´ert´eke nagyon nagy, csak ellenp´elda k´esz´ıt´es´ere nincsenek megfelel˝o tech´ nik´ aink, vagyis kisebb N -re nem tudunk megfelel˝o sz´ınez´est konstru´ alni. Eppen ez´ert okozott nagy meglepet´est, mikor Shelah a van der Waerden t´etel egy olyan u ´j bizony´ıt´ as´aval allt el˝ ´ o, amely N -re egy sokkal kisebb, emberk¨ ozeli (primit´ıv rekurz´ıv) korl´ atot adott. Saharon Shelah igazi kutat´ asi ter¨ ulete a halmazelm´elethez kapcsol´odik. A “na´ıv” halmazelm´elet Georg Cantor (1845–1918) alkot´ asa. Fogalmai, m´ odszerei a gondolkod´ as egyszer˝ u m´odszereihez ny´ ulnak vissza. Honnan tudja a p´ asztor, hogy a nap v´eg´en egyetlen ´ b´ ar´ anyk´ aja sem hi´ anyzik? P´eld´ aul megsz´amolhatja a nap elej´en is ´es v´eg´en is a ny´ ajat. Es ha nem tud sz´amolni? Reggel ahogyan a b´ ar´ anyokat kiengedi, mikor egy b´ ar´ any kimegy a kar´ amb´ ol, tesz egy kavicsot a tariszny´ aj´ aba. Este mikor a b´ ar´ anyokat beengedi, minden b´ ar´ anyn´ al kivesz egy kavicsot. Ha egy kavics sem marad, akkor az ¨ osszes b´ ar´ any megvan. Ugyan´ıgy d¨ ontj¨ uk el, hogy k´et halmazban ugyanannyi elem van-e: keres¨ unk k¨ oz¨ott¨ uk egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est. A k´et halmaznak pontosan akkor van ugyanannyi eleme, ha ilyen megfeleltet´es l´etezik k¨ oz¨ott¨ uk. Egy halmaz v´egtelen, ha bel˝ ole egy elemet elhagyva a halmaz m´erete nem cs¨ okken, vagyis ugyanakkora halmazt kapunk. A v´egtelen halmazok nem mindig u ´gy viselkednek, ahogyan azt elv´ arn´ ank. P´eld´ aul a term´eszetes sz´amok ´es a racion´ alis sz´amok ugyanannyian vannak, ellent´etben intu´ıci´ onkkal, ami azt sugallja, hogy racion´ alis sz´amb´ ol j´ oval t¨ obb van, mint term´eszetes sz´amb´ ol. Cantor 3
matematikai kongresszusokon k´erdezgette koll´eg´ait, hogy szerint¨ unk az egys´egszakaszon vagy pedig az egys´egnyi oldal´ u n´egyzetben van-e t¨ obb pont? Szinte senki sem tippelt helyesen. Guiseppe Peano (1858–1932) nevezetes f¨ uggv´eny´et, amely az egys´egszakaszt folytonosan r´ ak´epezi az egys´egn´egyzetre u ´gy, hogy a n´egyzet minden pontja el˝o´ all k´epk´ent, csak 1890 k¨ or¨ ul k´esz´ıtette el. Cantor j´ oval kor´ abban tudta az igazs´ agot: egy szakaszon ´es egy n´egyzetben ugyanannyi pont van. Azt, hogy nem minden v´egtelen halmaz egyforma m´eret˝ u, Cantor a r´ ola elnevezett atl´ ´ os m´ odszerrel megmutatta meg. Pontosabban azt igazolta, hogy egy halmaz mindig kisebb, mint a hatv´ anyhalmaza, ami nem m´as mint ¨ osszes r´eszhalmazainak halmaza. Teh´ at nem csak egyfajta v´egtelen van. Mivel minden m´eret˝ u halmazn´ al tudunk nagyobbat mondani, az´ert v´egtelen sok k¨ ul¨onb¨ oz˝o v´egtelennek kell l´eteznie. Ami az ugyanakkora halmazokban k¨ oz¨ os, az a sz´ amoss´ aguk. A v´eges sz´amoss´agok a v´eges halmazok sz´amoss´aga, t¨ obbi sz´amoss´ag v´egtelen. V´egtelen sz´ amoss´agokon is ´ertelmezni tudjuk a v´eges halmazokon j´ ol ismert ¨ osszead´ast ´es szorz´ast. Ha κ ´es λ k´et sz´amoss´ag (ak´ ar v´eges, ak´ ar v´egtelen), akkor vegy¨ unk k¨ oz¨os elem n´elk¨ uli A ´es B halmazokat u ´gy, hogy A sz´amoss´aga κ ´es B sz´amoss´aga λ legyen. A κ + λ sz´amoss´ag az A ´es B halmazok egyes´ıt´es´enek sz´amoss´aga. M´ as sz´oval vegy¨ unk egy κ sz´amoss´ag´ u halmazt ´es mell´e egy λ sz´amoss´ag´ u halmazt: a kett˝ o egy¨ utt κ + λ sz´amoss´ag´ u lesz. Ugyan´ ugy, mint amikor kett˝ o alm´ ahoz m´eg k´et alm´ at t´eve n´egyet kapunk. Hasonl´ oan a κ · λ szorzat azon (a, b) p´ arok sz´ama, ahol a az A-b´ ol, b pedig a B-b˝ ol val´ o. Ez ut´ obbi nem m´as, mint az A sorb´ ol ´es B oszlopb´ ol ´ all´ o t´ abl´ azat elemeinek sz´ama – j´ ol l´ athat´ oan a term´eszetes sz´amok szorzat´anak k¨ ozvetlen ´ altal´ anos´ıt´ asa. N´ezz¨ uk v´eg¨ ul azokat az n hossz´ us´ ag´ u sorozatokat, melyekben minden helyen k k¨ ul¨ onn λ b¨ oz˝ o elem valamelyike ´ allhat. Az ilyen sorozatok sz´ama k . Ennek anal´ ogi´ aj´ ara a κ azon “sorozatok” halmaz´ anak a sz´amoss´aga, ahol a sorozat elemeit egy λ sz´amoss´ag´ u halmaz elemeivel indexelj¨ uk, ´es minden egyes helyen egy adott κ sz´amoss´ag´ u halmaz valamelyik eleme λ szerepelhet. P´eld´ aul, ha B egy λ sz´amoss´ag´ u halmaz, akkor 2 az olyan B elemeivel indexelt sorozatokb´ ol ´ all, melyekben minden¨ utt 0 vagy 1 van, ezek pedig B r´eszhalmazainak karakterisztikus f¨ uggv´enyei. Ez´ert 2λ a B ¨ osszes r´eszhalmaz´ab´ ol ´ all´ o halmaznak, vagyis B hatv´ anyhalmaz´ anak sz´amoss´aga. M´ ar Cantor bizony´ıtotta, hogy az ¨ osszead´as, szorz´as ´es hatv´ anyoz´as szok´asos tulajdons´ agai a v´egtelen sz´ amoss´agokra is ´erv´enyben maradnak, s˝ot m´eg akkor is, ha az osszef¨ ¨ ugg´esekben az ¨ osszeadand´ ok, vagy a t´enyez˝ok v´egtelen sokan vannak. P´eld´ aul κ darab λ ¨ osszege κ·λ, ami egyenl˝ o λ·κ-val. Az is ismeretes volt, hogy v´egtelen sz´amoss´agokra az ¨ osszead´as ´es szorz´as nagyon egyszer˝ u: ha κ ´es λ k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik v´egtelen, akkor κ + λ = κ · λ ´es ez κ ´es λ k¨ oz¨ ul a nagyobbik. A Bolyai–d´ıj ´ atad´ asakor tartott el˝oad´ as´an Shelah megjegyezte: az ´ altal´ anos iskol´ akban biztosan szeretn´ek az ilyen egyszer˝ u¨ osszead´oλ ´es szorz´ot´ abl´ at! A hatv´ anyoz´assal m´ as a helyzet: 2 mindig nagyobb λ-n´ al. A λ-n´ al nagyobb sz´amoss´agok k¨ oz¨ ul – ahogyan fentebb l´ attuk ilyenek vannak –, a legkisebbet λ+ jel¨ oli (ez mindig l´etezik), ´es ez λ r´ ak¨ ovetkez˝ oje. Egy sz´amoss´ag r´ ak¨ ovetkez˝ o, + ha κ alak´ u (vagyis valaminek a r´ ak¨ ovetkez˝oje), ´es limesz egy´ebk´ent. A λ v´egtelen sz´amoss´ag regul´ aris, ha nem ´ all el˝ o λ-n´ al kevesebb λ-n´ al kisebb sz´ amoss´agok ¨ osszegek´ent. A v´egtelen r´ ak¨ ovetkez˝o sz´amoss´agok mind regul´ arisak. A λ sz´amoss´ag kofinalit´ asa az a legkisebb sz´amoss´ag, amire λ ennyi darab, n´ ala kisebb sz´amoss´ag ¨ osszegek´ent el˝o´ all´ıthat´ o. 4
Mivel λ mindig egyenl˝ o λ darab egyes ¨ osszeg´evel, az´ert a λ sz´amoss´ag pontosan akkor regul´ aris, ha kofinalit´ asa megegyezik saj´ at mag´ aval. A v´egtelen sz´amoss´agok k¨ or´eben az ¨ osszead´as ´es szorz´as nagyon egyszer˝ u, tal´ an t´ uls´ agosan is az. Azt v´ arjuk, hogy a hatv´ anyoz´ asnak sem lehet t´ uls´ agosan bonyolult. Mivel 2λ mindig nagyobb mint λ, az a term´eszetes elv´ ar´ asunk, hogy ennek ´ert´eke a lehet˝ o legkisebb λ-n´ al nagyobb sz´amoss´ag, vagyis λ+ lesz. Az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis ´eppen az a felt´etelez´es, hogy ez minden v´egtelen λ sz´amoss´agra ´ıgy is van.
´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis: Minden v´egtelen sz´ Altal´ amoss´ agra 2λ = λ+ .
David Hilbert az 1901-es Matematikai Kongresszuson felsorolt 23 probl´em´at, melyek megold´ as´ at az elj¨ ovend˝ o sz´azadt´ ol v´ arta. Hilbert probl´em´ain nagyon sokan dolgoztak, a probl´em´ak a huszadik sz´azad matematik´aj´ anak legfontosabb kutat´ asi ir´ anyait jel¨ olt´ek ki. Egy–egy probl´ema megold´ as´ aval h´ıress´e lehetett v´ alni. Hilbert probl´em´ai k¨ oz¨ ul az els˝ok´ent a harmadikat siker¨ ul megoldania Max Dehnnek (1858–1952): az azonos t´erfogat´ u szab´alyos tetra´eder ´es a kocka nem darabolhat´ o´ at egym´ asba. Az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis fontoss´ag´ at mi sem mutatja jobban, hogy ez volt Hilbert probl´em´ai k¨ oz¨ ul az els˝o. Hogy egy kicsit jobban meg´erts¨ uk mi´ert is ilyen fontos probl´ema ez, kanyarodjunk vissza egy kicsit, ´es vizsg´aljuk meg hogy mik is azok a halmazok. A halmazelm´elet matematikai fogalomalkot´ as egyik cs´ ucspontja. Kiz´ ar´ olag matematikai fogalmakkal, a matematik´ an bel¨ ul defini´ al egy u ´j diszcipl´ın´ at, melynek – k¨ ul¨ on¨ osen a v´egtelen halmazok tulajdons´ agait tekintve – nincsenek olyan egyszer˝ u, h´etk¨ oznapi, k´ezzel foghat´ o gy¨ okerei, mint amilyenek a term´eszetes vagy val´ os sz´amok, folytonoss´ ag, f¨ uggv´enyek. A halmaz fogalma kiz´ ar´ olag matematikai absztrakci´ oval keletkezett, a halmazelm´elet a matematika, a matematikai gondolkod´ as l´enyeg´et volt hivatva megfogni. Ez´ert is okozott a 19. sz´azad utols´ o ´eveiben p´ anikot a halmazelm´eletben felbukkant paradoxonok sora: ha m´ar a tiszta matematika is ellentmond´ asos, mit lehet v´ arni a j´ oval kisebb szigor´ us´ aggal fel´ep´ıtett alkalmaz´asokt´ ol? Ut´ olag persze nagyon j´ ol tudjuk, hogy a paradoxonok nem jelentettek ellenmond´ ast, csak a fogalmak tiszt´azatlans´ aga, illetve a v´egtelen tulajdons´ againak szokatlan, gyakran az intu´ıci´ onak sz¨ogesen ellentmond´ o term´eszet´enek k¨ osz¨ onhet˝ oek. A halmazelm´elet megb´ızhat´ o fel´ep´ıt´es´ehez a halmazok alaptulajdons´ againak megfogalmaz´ asa, vagyis ezeket a tulajdons´ agokat le´ır´ o axi´ omarendszer fel´ep´ıt´ese v´ alt sz¨ uks´egess´e. Ezek az axi´ om´ak a halmazok egyszer˝ u, mindenki ´ altal elfogadott tulajdons´ agait ´ırj´ ak le, mindamellett elegend˝ oen gazdagok ahhoz, hogy a na´ıv halmazelm´eletb˝ ol j´ ol ismert t´etelek, a halmazok “elv´ art” tulajdons´ agai mind levezethet˝ok legyenek. Az egyetlen axi´ oma, aminek elfogad´ asa nem volt teljesen egy¨ ontet˝ u a matematikusok k¨ oz¨ ott, a nevezetes kiv´ alaszt´ asi axi´ oma, amire viszont sz¨ uks´eg van: ha az elemi anal´ızis t´eteleit (mint p´eld´ aul minden korl´ atos sorozatb´ ol kiv´ alaszthat´ o konvergens r´eszsorozat) az axi´ om´ akb´ ol bizony´ıtani akarjuk, a kiv´ alaszt´asi axi´ om´ at fel kell haszn´ alnink. Az intu´ıci´ o, az anal´ ogia a v´egtelen matematik´ aj´ aban nagyon csal´oka. Megtanultuk: a halmazokr´ ol csak annyit tudunk, amenynyi az axi´ om´ akb´ ol levezethet˝ o, sem t¨ obbet, sem kevesebbet. Ha intu´ıci´ onkra akarunk t´ amaszkodni, k¨ onnyen csapd´ aba es¨ unk. 5
A term´eszetes sz´amokat mindenki j´ ol ismeri, a r´ oluk sz´ol´ o “term´eszetes” ´ all´ıt´ asok valamilyen ´ertelemben “el vannak d¨ ontve.” Az, hogy van-e ak´ armilyen nagy ikerpr´ım p´ ar, ak´ ar tudjuk bizony´ıtani, ak´ ar nem, mindenk´eppen vagy igaz, vagy hamis. (Val´ osz´ın˝ uleg igaz.) Az, hogy a π = 3.1415 . . . tizedest¨ort fel´ır´ as´aban v´egtelen sok hetes sz´amjegy fordule el˝ o, f¨ uggetlen, eld¨ ont¨ ott k´erd´es: a v´ alasz nem f¨ ugg semmit˝ol, van, l´etezik ´es egy´ertelm˝ u, m´eg ha nem is tudjuk a v´ alaszt. A halmazelm´elettel azonban nem ´ıgy vagyunk. Ha egy ´ all´ıt´ asr´ ol a halmazelm´elet axi´ om´ai semmit sem mondanak, akkor azzal bajban vagyunk. K´erdezhetj¨ uk-e hogy “a val´ os´ agban mi a helyzet?” Egy´ atal´an mi a val´ os´ ag? Ha a matematika a val´ o vil´ ag modellje, akkor hol tal´ aljuk a halmazelm´elet megfelel˝oj´et? Hol tal´ alunk v´egtelen halmazt, amib˝ ol ha elvesz¨ unk egyet, ugyanannyi marad; vagy ha megdupl´ azzuk, nem lesz t¨ obb? Amit a halmazelm´elet axi´ om´ ai le´ırnak, az a biztos mag. Ez Bolyai J´ anos abszol´ ut geometri´ aj´ ahoz hasonl´ıthat´ o: a halmazok igaz tudom´ anya, melyet biztos alapokon, biztos m´odszerekkel ´ep´ıt¨ unk fel. Sajnos az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis nincs ebben a magban. Kurt G¨ odel (1906–1978) m´eg 1940-ben megmutatta, hogy az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis ¨ osszeegyeztethet˝o a halmazelm´elet szok´asos axi´ om´ aival; Paul Cohen (1934–) pedig 1963-ban azt, hogy a tagad´ asa is. A Cohen ´ altal kital´ alt forszol´ asi technik´ at haszn´ alva sok, kor´ abban megk¨ ozel´ıthetetlen, hagyom´anyos matematikai (els˝osorban anal´ızibeli valamint topol´ ogiai) probl´em´ar´ ol siker¨ ult igazolni, hogy nem vezethet˝o le a halmazelm´eleti axi´ om´akb´ ol. Ha egy ´ all´ıt´as ¨ osszef´erhet˝ o a halmazelm´elet axi´ om´aival, akkor azt mondjuk r´ ola, hogy konzisztens. Ez lehet u ´gy is, hogy k¨ ovetkezik az axi´ om´akb´ ol, de az is lehet, hogy nem k¨ ovetkezik. Egy ´ all´ıt´ as f¨ uggetlen, ha sem ˝ o, sem pedig a tagad´ asa nem k¨ ovetkezik az axi´ om´akb´ ol, m´ as szavakkal mind ˝ o mind a tagad´ asa konzisztens. G¨ odel ´es Cohen eredm´enyeit egy¨ utt u ´gy is fogalmazhatjuk, hogy az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis f¨ uggetlen. A forszol´ as megjelen´ese ut´ an nagyon hamar kider¨ ult, hogy az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis “nagyon f¨ uggetlen,” n´eh´ any term´eszetes megszor´ıt´ ast´ ol eltekintve majdnem tetsz˝olegesen el˝ o´ırhatjuk 2λ ´ert´ek´et. A megmaradt apr´ os´ ag, ´erthetetlen jelens´eg, a “majdnem.” Ennek kibogoz´ asa sor´ an a rendetlens´egben v´ aratlanul rend, a f¨ uggetlen ´ all´ıt´ asok k¨ oz¨ ott pedig abszol´ ut t´etelek jelentek meg. Err˝ ol a rendr˝ ol, ezekr˝ ol az u ´j t´etelekr˝ol sz´ol Shelah Bolyai-d´ıjjal kit¨ untetett monogr´ afi´ aja. A cikk h´ atralev˝ o r´esz´eben azt pr´ ob´ aljuk bemutatni, mennyire megzabol´ azhatalan a hatv´ anyf¨ uggv´eny, mi volt az apr´ o folt, bosszant´ o k´enyelmetlens´eg, ´es v´eg¨ ul Shelah milyen u ´j, meglep˝ o eredm´ennyel jelentkezett. A legkisebb v´egtelen sz´ amoss´ag a term´eszetes sz´amok halmaz´ anak sz´amoss´aga, ezt a Cantor ´ altal bevezetett jel¨ ol´esm´odnak megfelel˝ oen ℵ0 jel¨ oli. Az ℵ jel a h´eber ´ ab´ec´e els˝o bet˝ uje, ´es alefnek olvassuk. A legkisebb ℵ0 -n´ al nagyobb sz´amoss´agot, vagyis ℵ0 r´ ak¨ ovetkez˝ oj´et ℵ1 jel¨ oli, ´ altal´ aban egy n term´eszetes sz´amra ℵn+1 az ℵn r´ ak¨ ovetkez˝ oje: ℵn+1 = ℵ+ n. A v´egtelen sz´amoss´agokat nagys´ ag szerint sorba rakva a sor eleje ezek szerint ´ıgy n´ez ki: ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , stb. Term´eszetesen van olyan sz´amoss´ag, ami mindegyik ℵn -n´el nagyobb. A sz´amoss´agok felsorl´ as´ ahoz ez´ert a term´eszetes sz´ amok t´ ul kevesen vannak. Az´ert, hogy ebben a felsorol´ asban ne akadjunk meg, a sorsz´ amoz´ast is ´ altal´ anos´ıtani kell. Az ilyen altal´ ´ anos´ıtott sorsz´amokat a halmazelm´eletben rendsz´ amoknak nevezz¨ uk; ezek az egyes´evel val´ o tov´ abbsz´ aml´ al´ as ´ altal´ anos´ıt´ asai. 6
ℵ1 , ℵ 2 , ℵ3 Georg Cantor a legnagyobb a vil´ agon 2 . Erd˝ os P´ al A legkisebb v´egtelen rendsz´am a legels˝ o rendsz´ am, ami a term´eszetes sz´amok ut´ an k¨ ovetkezik. Ezt szok´as szerint ω-val jel¨ olj¨ uk. Az ω ut´ ani rendsz´ am ω + 1, azut´ an sorban ω + 2, ω + 3 k¨ovetkezik. Ezeket az ω + ω = 2 · ω k¨ oveti, ´es ´ıgy tov´ abb v´eg n´elk¨ ul. A rendsz´ amokat a g¨ or¨ og ´ ab´ec´e kezd˝ obet˝ uivel jel¨ olj¨ uk. Ugyan´ ugy, mint a term´eszetes sz´amokra, a rendsz´amokra is igaz az indukci´ o t´etel´enek a k¨ ovetkez˝o v´ altozata: ha minden α rendsz´ amra abb´ ol, hogy egy ´ all´ıt´ as minden α-n´ al kisebb rendsz´ amra igaz, be be tudjuk l´ atni, hogy α-ra is teljes¨ ul, akkor az ´ all´ıt´ asnak az ¨ osszes rendsz´ amra teljes¨ ulnie kell. A rendsz´ amok rendezve vannak, p´eld´ aul b´ armely k´et rendsz´ am k¨ oz¨ ul valamelyik kisebb, mint a m´ asik. A rendsz´amok az´ert nem mindenben viselkednek ugyan´ ugy, mint a term´eszetes sz´amok. M´ıg a term´eszetes sz´amok k¨ oz¨ ott a nulla kiv´etel´evel mindegyiknek van k¨ ozvetlen megel˝oz˝ oje, addig ez a rendsz´ amokra m´ar nem igaz. P´eld´ aul az ω-n´ al kisebb rendsz´ amok (vagyis a term´eszetes sz´amok) k¨ oz¨ott nincs legnagyobb, ez´ert ω nem lehet valami meg egy. Egy α rendsz´ am megsz´ aml´ alhat´ o, ha a n´ ala kisebb rendsz´ amok halmaza megsz´aml´ alha´ t´ o. Igy ω, ω + n, ω + ω mind megsz´aml´ alhat´ o rendsz´ amok; tov´ abb´ a ha α megsz´aml´ alhat´ o, akkor α + 1 is az. A legkisebb nem-megsz´aml´ alhat´ o rendsz´ am jele ω1 , az enn´el kisebb rendsz´ amok halmaz´ anak sz´amoss´aga – tal´ an nem meglep˝ o m´ odon – ´eppen ℵ1 . Az ω1 -n´el nagyobb rendsz´amok mind olyanok, hogy a megel˝oz˝oikb˝ ol ´ all´ o halmaz sz´amoss´aga legal´ abb ℵ1 . A legkisebb olyan rendsz´ amot, amire ez a sz´amoss´ag m´ ar kifejezetten nagyobb ℵ1 n´el, az el˝oz˝oh¨ oz hasonl´ oan ω2 jel¨ oli. Persze az ω2 -n´el kisebb rendsz´ amok halmaz´ anak sz´amoss´aga ℵ2 lesz. Egy rendsz´ am r´ ak¨ ovetkez˝ o, ha egy m´ asik rendsz´ amn´ al ´eppen eggyel nagyobb, ´es limesz egy´ebk´ent. P´eld´ aul ω, ω + ω, ω1 vagy ω2 mind limesz rendsz´ amok, az ezeket k¨ ovet˝ o rendsz´ amok pedig mint r´ ak¨ ovetkez˝ ok. A rendsz´ amok seg´ıts´eg´evel a sz´amoss´agokat nagys´ ag szerinti sorba tehetj¨ uk. L´ attuk, hogy az els˝ o n´eh´ any v´egtelen sz´amoss´ag ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , stb. A legkisebb sz´ amoss´ag, ami ezek mindegyik´en´el nagyobb a sz´amoss´agok sor´ aban az ω-dik, ez´ert a jele ℵω . Az ℵω r´ ak¨ ovetkez˝ oje ℵω+1 , az ℵω+1 , ℵω+2 , ℵω+3 sz´amoss´agok legkisebb fels˝ o korl´ atja pedig az ℵω+ω = ℵ2·ω sz´amoss´ag. Ha ezt folytatjuk, akkor az ℵ index´eben az ¨ osszes rendsz´ am el˝ ofordul. Nincs legnagyobb rendsz´ am, ´es minden sz´amoss´ag egyszer ´es csak egyszer tal´ alhat´ o meg az ℵα sz´amoss´agsorozatban. Az α rendsz´ amot az ℵα sz´amoss´ag index´enek szok´as nevezni. Az ω1 ´es ω2 mint´aj´ ara ´ altal´ aban is defini´ aljuk az ωα rendsz´ amot: ez a legkisebb olyan rendsz´ am, amire a n´ ala kisebb rendsz´ amok halmaz´ anak sz´amoss´aga ℵα . Sz´ amoss´agok k¨ oz¨ ul azok, melyeknek indexe r´ ak¨ ovetkez˝o rendsz´ am, maguk is r´ ak¨ ovetkez˝o sz´amoss´agok, hiszen ℵ+ = ℵ . Egy r´ a k¨ o vetkez˝ o sz´ a moss´ a g mindig regul´ a ris, vagyis α+1 α nem ´ all el˝o n´al´ an´ al kevesebb, n´ ala kisebb sz´amoss´ag ¨ osszegek´ent. Limesz sz´amoss´agok indexe mindig limesz rendsz´ am, ezek kofinalit´ asa (vagyis h´ any n´ ala kisebb sz´amoss´ag osszegek´ent ´ ¨ all´ıthat´ o el˝ o) m´ ar mindenf´ele ´ert´eket felvehet. P´eld´ aul ℵω kofinalit´ asa, amit 2
Ezt a versik´ et Hajnal Andr´ ast´ ol hallottam.
7
cf(ℵω ) jel¨ ol, ´eppen ℵ0 . Ehhez azt kell l´ atnunk, hogy ℵω el˝ o´ all megsz´aml´ alhat´ o darab, ℵω ´ n´ al kisebb sz´amoss´ag ¨ osszegek´ent, ´es ehhez enn´el kevesebb nem elegend˝ o. Am ℵω a n´ ala kisebb sz´amoss´agok ¨ osszege: ℵ ω = ℵ0 + ℵ 1 + · · · + ℵn + · · · , ´es itt a jobb oldalon megsz´aml´alhat´ oan sok ¨ osszeadand´ o szerepel. M´ asr´eszt ha az ¨ osszeadand´ ok k¨ oz¨ ul csak v´eges sokat vesz¨ unk, az eredm´eny az ¨ osszeadand´ ok legnagyobbika lesz. Azt is igaz, hogy cf(ℵω1 ) = ℵ1 , vagy cf(ℵω2 ) = ℵ2 . Ugyanakkor cf(ℵωω ) m´ ar nem ℵω , hanem ism´et ℵ0 . A kofinalit´ as igen fontos szerepet j´ atszik a sz´ amoss´agaritmetik´ aban. K˝ onig Gyula (1849–1913) nevezetes halmazelm´eleti t´etele szerint 2λ kofinalit´ asa mindig nagyobb, mint λ. Ez a t´etel p´eld´ aul azonnal kiz´ arja, hogy 2ℵ0 ´ert´eke ℵω legyen, hiszen ez ut´ obbi kofinalit´ asa ℵ0 . Paul Cohen a forszol´ as bevezet´es´evel els˝ok´ent mutatta meg, hogy 2ℵ0 ak´ armilyen sz´amoss´ag lehet, aminek kofinalit´ as´at K˝ onig t´etele nem z´ arja ki. Nem sokkal k´es˝obb W. Easton a k¨ ovetkez˝ok´eppen kiterjesztette ezt az eredm´enyt [7]. Vegy¨ unk egy, a sz´amoss´agokon ´ertelmezett, sz´amoss´agokat felvev˝ o tetsz˝oleges f lek´epez´est, mely rendelkezik a k¨ ovetkez˝o k´et tulajdons´ aggal: f monoton, vagyis κ < λ eset´en f (κ) ≤ f (λ), tov´ abb´ a f nem mond ellent K˝ onig t´etel´enek, vagyis cf(f (κ)) > κ. Ekkor elk´epzelhet˝o (vagyis konzisztens), hogy minden regul´ aris κ sz´amoss´agra 2κ = f (κ). Easton modellj´eben a nem regul´ aris – vagyis szingul´ aris – sz´amoss´agokra a hatv´ anyf¨ uggv´eny ´ert´eke a legkisebb olyan sz´amoss´ag, amivel f m´eg monoton marad ´es m´eg teljes¨ ul a K˝ onig-felt´etel is. P´eld´ aul ha Easton konstrukci´ oj´ aban minden n term´eszetes sz´amra 2ℵn < ℵω , akkor 2ℵω ´ert´eke automatikusan ℵω+1 lesz. A 70-es ´evek elej´en Menachem Magidor (bizonyos nagyon nagy sz´amoss´ag l´etez´es´et felt´eve) tudott olyan modellt konstru´ alni, melyben minden n term´eszetes sz´amra 2ℵn = altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis el˝ osz¨or ℵω -n´ al s´er¨ ul. ℵn+1 , m´ıg 2ℵω = ℵω+2 , vagyis az ´ Ennek f´eny´eben u ´gy t¨ unt, hogy a sz´amoss´ag hatv´ anyoz´as – hasonl´ oan a sz´amoss´agok osszead´as´ahoz ´es szorz´ ¨ as´ahoz – teljesen ´erdektelen, csak m´ as miatt. M´ıg az ¨ osszead´as ´es szorz´as trivi´ alis, addig a hatv´ anyoz´as ak´ armi lehet, amit a fenti k´et egyszer˝ u megszor´ıt´ as, nevezetesen a monotonit´ as ´es K˝ onig t´etele megenged. Regul´ aris sz´amoss´agokra ezt Easton modellje igazolta. Szingul´ aris sz´amoss´agok eset´en probl´em´ ak jelentkeztek, ezeket a probl´em´akat els˝osorban technikai jelleg˝ unek v´elt´ek, aminek lek¨ uzd´es´eben Magidor eredm´enye lett volna az els˝ o l´ep´es. Megvolt teh´ at a “majdnem” eredm´eny, ´es u ´gy l´ atszott, hogy a kimaradt kellemetlen eseteket is kezelni tudjuk. 1974-ben mindenki legnagyobb meglepet´es´ere J. Silver bizony´ıtotta, hogy az ´ altal´ anos´ıtott kontinuum hipot´ezis nem s´er¨ ulhet el˝ osz¨ or ω1 -n´el. Vagyis ℵα + ℵ ω1 ha minden α < ω1 rendsz´ amra 2 = ℵα , akkor sz¨ uks´egk´eppen 2 = ℵ+ ω1 is igaz. Silver bizony´ıt´ as´ aban modellelm´eleti eszk¨oz¨oket is haszn´ alt. R¨ ovidesen Hajnal Andr´ as ´es Fred Galvin kombinatorikus m´ odszerekkel egy j´ oval ´ altal´ anosabb t´etelt igazolt. Ennek egyik k¨ ovetkezm´enye, hogy ha a hatv´ anyf¨ uggv´eny ℵω1 el˝ ott al´ arhogyan is viselkedik, de ℵω1 -et ℵ ω1 nem ugorja ´ at, akkor 2 index´enek sz´amoss´aga legfeljebb 2ℵ1 . Ugyanez igaz marad, ha ω1 hely´ebe ω2 -t tesz¨ unk: ha a hatv´ anyf¨ uggv´eny nem ugorja ´ at ℵω2 -t, akkor 2ℵω2 index´enek sz´amoss´aga legfeljebb 2ℵ2 lehet. Sajnos a m´ odszer nem mond semmit a legkisebb szingul´ aris sz´amoss´agr´ ol, ℵω -r´ ol. Saharon Shelah-nak majdnem t´ız ´ev eltelt´evel siker¨ ult 8
csak igazolnia, hogy ha a hatv´ anyf¨ uggv´eny nem ugorja ´ at ℵω -t, akkor 2ℵω indexe kisebb, mint ω4 . Shelah a t´etel bizony´ıt´ as´ahoz egy u ´j elm´eletet fejlesztett ki: a lehets´eges kofinalit´ asok elm´elet´et, amit az angol elnevez´es r¨ ovid´ıt´esek´ent csak pcf elm´eletnek neveznek. Ahelyett, hogy a hatv´ anyhalmaz sz´amoss´ag´ at vizsg´aln´ a, sz´amoss´agok szorzat´an defini´ al egy oper´ aci´ot, aminek azut´ an bizonyos algebrai tulajdons´ agaib´ ol k¨ ovetkezik a fenti eredm´eny. Legyen teh´ at A sz´amoss´agoknak egy halmaza. Az ehhez az A-hoz rendelt pcf(A) mindazokb´ ol a sz´amoss´agokb´ ol ´ all, amik az A-beli sz´amoss´ag´ u halmazok szorzat´an ´ertelmezhet˝o reduk´ alt rendez´esek kofinalit´ asai. Innen sz´armazik az elnevez´es is, ezek a szorzat lehets´eges kofinalit´ asai. Ez a pcf oper´ aci´ o sok sz´ep ´es ´erdekes algebrai tulajdons´ aggal rendelkezik. P´eld´ aul pcf(A) mindig tartalmazza A-t, tov´ abb´ a pcf(pcf(A)) = pcf(A) (vagyis az oper´ aci´ o idempotens), valamint pcf(A) nem sokkal nagyobb sz´amoss´ag´ u, mint az A halmaz. Az elm´elet fel´ep´ıt´es´et, a fent id´ezett eredm´enyt ´es m´eg sok m´as tov´ abbi t´etelt tartalmaz Shelah Sz´ amoss´agaritmetika c´ım˝ u monogr´ afi´ aja. A k¨ onyvet Shelah 1991-ben befagyasztotta, ami azt jelenti, hogy csak az addig el´ert eredm´enyek vannak benne. A pcf elm´elet seg´ıts´eg´evel jobban meg´erthetj¨ uk a halmazelm´elet egyik alapvet˝ o, s u ´gy t˝ unik mindm´ aig f´elre´ertett ´ ag´ at: a sz´amoss´aghatv´ anyoz´ as problematik´ aj´ at. E szerint a Hilbert ´ altal is felvetett kontinuum hipot´ezis rossz k´erd´es, hiszen a halmazelm´elet axi´ om´ ainak alapj´ an nem oldhat´ o meg. A hatv´ anyf¨ uggv´eny ´ert´eke k´et r´eszb˝ol tev˝ odik ¨ ossze. Az egyik a “zaj,” az esetlegess´eg, amit a f¨ uggetlens´egi eredm´enyek is mutatnak. A m´ asik r´esz a pcf elm´elet algebrai strukt´ ur´ aiba van be´ırva, ami viszont abszol´ ut, eld¨ ont¨ ott. A sz´amoss´aghatv´ anyoz´ ast ezeken a strukt´ ur´ akon kereszt¨ ul kell vizsg´alnunk, hiszen ezek kev´esb´e terheltek a statikus zajjal. Ezek vizsg´alat´ an kereszt¨ ul ´erthetj¨ uk meg igaz´ an, hogy milyen t¨ orv´enyeknek en´ gedelmeskedik tulajdonk´eppen a sz´amoss´agaritmetika. Erdekes m´odon ez a “zaj” sokkal er˝ oteljesebben jelentkezik, ha a hatv´ anyoz´asban az alap kicsi a kitev˝ oh¨ oz k´epest, m´ıg teljesen elt˝ unik, ha a kitev˝ o v´eges. A pcf elm´elet term´eszetesen messze van att´ ol, hogy lez´ art egys´eget alkosson. Az elm´elet egyik legnagyobb misztikuma a n´egyes index abban a fent id´ezett ´ all´ıt´ asban, miℵω szerint 2 indexe a kisebb ω4 -n´el, felt´eve, hogy a hatv´ anyf¨ uggv´eny nem ugorja ´ at ℵω -t. Ismeretes, hogy ez az index b´ armilyen megsz´aml´ alhat´ o rendsz´ am lehet (vagyis a 2ℵω = ℵα konzisztens minden ω + 1 ≤ α < ω1 eset´ere u ´gy hogy egy´ uttal 2ℵn < ℵω is teljes¨ ul), ´ıgy a term´eszetes korl´ at ω1 volna. Az elm´elet alapj´ an elv´egzett sz´am´ıt´ asok mindenesetre csak ω4 -et adnak. A pcf-elm´elet a sz´amoss´agaritmetik´ an k´ıv¨ ul alkalmazhat´ o olyan ´ all´ıt´ asok bizony´ıt´ as´ ara, melyekr˝ ol eddig csak annyit tudtunk, hogy konzisztensek. Ilyenek tal´ alhat´ ok a modellelm´eletben, univerz´alis algebr´ aban, kombinatorik´ aban, Boole-algebr´ ak elm´elet´eben, vagy a topol´ ogi´ aban is.
Irodalom [1] http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node21.html [2] http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.ak/~history/Mathematicians/Poincare.html [3] http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.ak/~history/Quotations/Hilbert.html [4] S. Shelah, Cardinal Arithmetic, Oxford University Press, 1994 [5] S. Shelah, Cardinal arithmetic for skeptics, Bull. Amer.Math.Soc 26, 2, 1992 197–210 9
[6] http://www.math.rutgers.edu/~shelah [7] W. Easton, Powers of regular cardinals, Annals of Math.Logic 1 (1970) 139–178
10
