BILANGAN TETRASI Sumardyono, M.Pd
Mengapa Tetrasi? Di dalam aritmetika atau “ilmu berhitung”, operasi hitung merupakan konsep yang amat penting bahkan mungkin sama pentingnya dengan konsep bilangan itu sendiri. Tanpa kehadiran operasi hitung, maka tampaknya mustahil akan hadir berbagai jenis bilangan yang secara umum merupakan jenis bilangan yang lebih luas dibanding jenis bilangan sebelumnya. Untuk memahami tetrasi, perhatikan perkembangan secara matematis jenis bilangan berdasarkan definisi yang menggunakan operasi hitung aritmetika di bawah ini: Pandang a sebarang bilangan real positif dan
bilangan bulat positif (bilangan asli).
Penjumlahan (addition):
a + n = bilangan dengan urutan ke- n setelah bilangan a pada garis bilangan asli. Perkalian (multiplication):
n × a = a + a + a + L + a dengan a ada sebanyak n pada penjumlahan tersebut. Bilangan berpangkat, dengan operasi perpangkatan (exponentiation) yaitu “perkalian berulang”.
a n = a × a × a ×L × a dengan a ada sebanyak n pada perkalian tersebut. Tetrasi (tetration), dengan operasi tetrasi yaitu “perpangkatan berulang”. Na
aa
dengan a ada sebanyak n pada perpangkatan tersebut.
Sifat perpangkatan berulang Berbeda dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang bersifat komutatif dan asosiatif, maka operasi perpangkatan tidak komutatif dan tidak asosiatif. Oleh karena itu, perlu diperhatikan dengan seksama pengertian tetrasi tersebut. Perhatikan bahwa
( )
22 2 2
( 2 ) = 216 = 65536 4
=2
Sementara itu
( )
2 2
2 2
( )
2 = 4
2
= 162 = 256
Bilangan yang sebelah kiri menunjukkan suatu tetrasi yaitu suatu perpangkatan berulang terhadap pangkat sebelumnya (tidak perlu menggunakan tanda kurung), sementara bilangan yang sebelah kanan menunjukkan perpangkatan berulang terhadap bilangan pokok yang sama. Jadi, pada tetrasi, perpangkatan paling atas atau paling kanan, dilakukan terlebih dahulu.
Definisi Tetrasi Untuk
sebarang bilangan real positif dan Na
aa
=
Na a dengan a
bilangan bulat positif, maka didefinisikan
a ada sebanyak n kali.
Contoh berikut.
2
2
22
2
=
2 2 2
(22 )
=
2 2
(24 )
( 2 ) = 265536 =2 16
Seperti yang bisa ditebak, operasi tetrasi pada bilangan bulat positif menghasilkan bilangan yang “super besar” atau yang “sangat sangat besar”. Untuk bilangan berpangkat saja sudah menyatakan bilangan yang sangat besar, apalagi bilangan bertetrasi. 65535 Bilangan 2 di atas tidak dapat kita ditulis dalam bentuk desimal yang lengkap karena sudah sangat besar. Beberapa kalkulator online yang dapat menghitung bilangan yang besar, juga “tidak mampu” menghitung bilangan tsb. Semua kalkulator online yang penulis coba menampilkan pesan “infinity” untuk menunjukkan bilangan yang sangat-sangat besar itu. Jika ditulis dalam bentuk baku,
265536 ≈ 2 × 1019728, sehingga membutuhkan hampir 20.000 angka!
Notasi tetrasi Ada beberapa notasi atau lambang untuk bentuk “perpangkatan berulang” tersebut yang dipergunakan matematikawan.
Bentuk yang paling standar, sebagai berikut: n
Na
a = aa
Dengan a ada sebanyak n kali.
Notasi ini pertama kali dipergunakan oleh Maurer (1901), lalu Goodstein (1947), dan akhirnya dipopulerkan oleh Rudy Rucker tahun 1982 lewat bukunya Infinity and the Mind.
Sumber: http://en.wikipedia.org
Notasi lain yang sering dipergunakan adalah notasi panah ke atas Knuth (Knut`s up-arrow notation) Na
a ↑↑ n = a a
dengan a sebanyak n kali.
Catatan: Dengan notasi dari Knuth tersebut, kita dapat memperluas notasi untuk bilangan super besar lainnya (pentation, dst.).
a ↑↑↑ n = a ↑↑ (a ↑↑ (L ↑↑ a )) 144424443 dengan a sebanyak n
a ↑↑↑↑ n = a ↑↑↑ (a ↑↑↑ (L ↑↑↑ a)) 14444244443 dengan a sebanyak n
a ↑↑ L3 ↑n = a↑ L ↑ (a ↑ L ↑ (L ↑ L ↑ a )) { { { 1 424 k − 1 k − 1 k −1 3 k 144444244444 dengan a sebanyak n
Notasi a ↑↑ L3 ↑ n dapat disederhanakan menjadi a ↑k n . 1 424 k
Dengan notasi di atas, a ↑k n dapat dituliskan sebagai
a ↑ k n ≡ a ↑ k −1 a ↑ k −1 ( n − 1) Bersamaan dengan itu didefinisikan pula
a ↑ n = an
(bilangan berpangkat)
a ↑k 1 = a
Selain dua notasi di atas, masih ada beberapa notasi atau simbol lain yang dipergunakan matematikawan, namun kedua simbol di atas yang lebih familiar dan lebih banyak penggunaannya.
Nama lain tetrasi Nama “tetration” (dalam bahasa Indonesianya penulis sebut “tetrasi”) diperkenalkan oleh Goodstein tahun 1947 dalam artikelnya Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. Selain nama tetration, ada nama lain yang juga sering dipergunakan: “power tower” (antara lain dipergunakan oleh Stephen Wolfram), “superexponentiation” (dipopulerkan oleh Ed Nelson (1986), juga Bromer (1987)), dan “Hyperpower” (antara lain oleh MacDonnell (1989)).
Beberapa perluasan dan definisi tambahan Untuk n = 0 maka didefinisikan 0
a = 1 atau a ↑↑ 0 = 1
Untuk a = 0 maka didefinisikan n
0 = lim n x x →0
1, jika n genap 0, jika n ganjil
Hal ini dimungkinkan karena lim n x = x →0
Untuk n menuju tak hingga,
aa
aN
= lim n a n→∞
Limit ini konvergen jika
1 ee
1 e
atau sekitar 0, 066 < a < 1, 44
dengan e = 2, 71828182845L .
Sumber: http://en.wikipedia.org
Untuk n bilangan bulat negatif n
a terbatas hanya untuk n = −1 , yaitu ( n +1)
Perhatikan bahwa
−1
a =0
n a = a ( a ) , selanjutnya dengan menggunakan logaritma diperoleh
n log ( n+1)a = log a ( a )
log ( n+1)a = n a. log a n
a=
log ( n+1)a log a
Nah, untuk n = −1 diperoleh −1
a=
log 0 a log 1 = =0 log a log a
Demikian sedikit informasi dan wawasan terkait tetrasi. Mudah-mudahan memberi motivasi belajar matematika dan inspirasi untuk terus melakukan penyelidikan dan mengembangkan kemampuan berpikir.
Daftar Bacaan dan Pustaka
Wikipedia. 2013. Pentation. dalam http://en.wikipedia.org/wiki/Pentation - edit terakhir 1 Feb 2013. (diakses Februari 2013) Galidakis, Ioannis & Weisstein, Eric W. 2013. "Power Tower." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html (diakses Februari 2013) Sloane. 2013. Sequence A014221. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. dalam http://oeis.org/A014221 (diakses Februari 2013)
