Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang

Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang

1. ALJABAR A. Pengertian Aljabar Aljabar adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari masalh bilangan dan operasi perhitungannya.

B. Bagian-bagian Aljabar 1. Bilangan Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan symbol atau lambang dan bukan pula lambing bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. Contoh: A= {a,b,c} B= {*, ¤, ©}

Jenis dan Macam-macam bilangan:  Bilangan asli adalah bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,…. jadi, himpunan semua bilangan asli adalah: {1,2,3,4,5,6,..}. Bilangan 0, bukan bilangan asli. ada 4 golongan bilangan asli, yaitu: - Bilangan genap: 2,4,6,8,… - Bilangan ganjil: 1,3,5,7,… - Bilangan prima: 2,3,5,7,11,… - Bilangan komposit, misalnya, 4,6,8,9,10,… Bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf A.  Bilangan Berpangkat, jika ditulis 24, dibaca: dua pangkat 4.24 adalah 2x2x2x2. Ada empat macam pangkat suatu bilangan, yaitu: a. Berpangkat bilangan bulat positif. b. Berpangkat bilangan bulat negative. c. Berpangkat bilangan pecahan d. Berpangkat bilangan nol. 1


73 dibaca: tujuh berpangkat tiga, atau tujuh pangkat tiga. 7 disbut bilangan pokok, 3 disebut pangkat. Definisi. ab adalah perkalian berulang yang mempunyai b factor dan tiap-tiap faktornya sama dengan a. Pangkat senama adalah bilangan berpangkat yang pangkatnya sama. contoh: 53,73,83, dan seterusnya. Pangkat sejenis adalah bilangan berpangkat yang factor-faktornya sama. contoh: 52,53,54,… A.

OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULAT

Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya.

Bilangan

berpangkat

yaitu

suatu

bilangan

yang

dipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapat berupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifat operasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.

I. PANGKAT BILANGAN POSITIF Biasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhana apabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapat ditulis sebagai 2 x 106.

DEFINISI Untuk bilangan bulat positif n dan sembarang bilangan real a, bilangan an (dibaca: a pangkat n) mempunyai arti: a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama) Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.

CONTOH 1.

23 = 2 × 2 × 2 = 8

2


Bilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali. 2.

(-3)2 = (-3) × (-3) = 9

Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali. 3.

32 = - (3 × 3) = - 9

4.

1 1 1 1 1 1 1 1 1  6     x x x x  2 2 2 2 2 2 x2 x2 x2 x2 2 32 2

5

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif 1.

Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang, maka a m  n  a m x a n 2.

Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang am dengan a ≠ 0, maka a m  n  an 3. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang, maka (a m ) n  a mxn 4.

Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,

maka berlaku : a.

(axb) n  a n xb n

b.

n an a  ,untuk b ≠ 0   b bn

CONTOH Berikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat. 1.

2 4  3  2 4  23  16  8  128

3


2 4 16  2 3 8 2

2.

24  3 

3.

(32 ) 3  32x3  36  729

4.

(-3  4) 5  (-3)5  45  (-243)  1024  - 248.832

5.

4 2 4 16 2     3 34 81

II.PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOL Sebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan bilangan bulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan (sebagai faktor) sebanyak

pangkat

yang

diketahui.

Bagaimana

suatu

bilangan

berpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10 -2 atau 70 ?. Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan dengan pangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk mengungkapkan arti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.

A.

Bilangan Berpangkat Nol

Untuk memahami arti bilangan a0, perhatikan sifat perpangkatan a0 × am = a0+m = am Jika am ≠ 0 maka haruslah a0 = 1, agar kesamaan a0 × am = am dipenuhi. Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar am ≠ 0 cukup dipilih a ≠0. Perhatikan definisi berikut ini. DEFINISI

Untuk bilangan real a  0, a0 ( dibaca: a pangkat 0 ) didefinisikan sebagai: a0 = 1

4


CONTOH 1.

20 = 1

2.

(-3)0 = 1

3.

(a + b)0 = 1, apabila a + b ≠ 0

B.

Bilangan Berpangkat Negatif

Bagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita lihat kembali sifat perpangkatan

am  n 

am an

Jika a ≠ 0 dan m = 0 , maka didapat :

a0 1   a0  n  a n n n a a

Oleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini. DEFINISI

n Untuk bilangan real a  0 , a , didefinisikan sebagai: an 

1 an

CONTOH 1.

2 5 

2.

5   7

1 1  25 32

2



1



1 1 49   5 .5 25 25 7 7 49

5 7      2



5


3.

 2 x 4 

1 1 1   4 4 4  2 x  (2) x 16 x 4

Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baik itu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0. CONTOH Sederhanakanlah : 1.

( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2

2.

2 x3  2 2  5  3 2

Penyelesaian : ( 4-8 x 2-6 )-1( 5-2 x 25-1 )-2 = ( (22)-8 x 26)-1(5-2 x(52)-1)-2

1.

= ( 2-16 x 26 ) -1( 5-2 x5-2 )-2 = ( 2-22 ) -1( 5-4 )-2 = 2-22 x 5-8





 2 x3  2  2 5 x3 2 2 x3  2     5  2  2  5  3  2  2 5 x3 2 2 3   6 2  2 3  25



2.



64 9  16 64  7 

2. Variabel Variabel adalah symbol atau notasi yang di beri tanda x atau lainnya pada suatu bilangan. Contoh : perhatikan bentuk x + 3, dengan x merupakan pengganti pada bilangan bulat. Jika x dig anti -2 maka di peroleh -2 + 3 . Jika x dig anti 0 maka di peroleh 0 + 3. Jadi x di sini merupakan variabel.

6


3. Konstanta Artinya bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung peubah. Contoh : dalam persamaan x + 3 = 5, 3 dan 5 di sebut konstanta 2y = 18, 18 adalah konstanta

4. Koofisien Koofisien adalah factor yang berupa konstanta. Contoh : Bentuk-bentuk aljabar seperti 2p2 artinya 2 x P x P. 2 P adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2P2 adalah 2,p,p2 dan 2P.

2. GEOMETRI A. Bangun Datar Bangun datar ialah bangun yang di buat atau di lukis pada permukaan datar. Bangun bersisi empat ini di sebut bangun datar karena seluruh bangun ini terletak pada bidang datar. Ada bermacam-macam bangun datar diantaranya:

No Bangun . datar

1.

Gambar bangun Rumus luas bangun datar datar

Persegi

7


2.

Persegi panjang

3.

Lingkaran

4.

Trapesium

5.

Segitiga

6.

Belah ketupat

7.

Layanglayang

8.

Jajargenjan g

B. Bangun Ruang Jika suatu bangun tidak seluruhnya terletak dalam bidang, maka bangun tersebut di sebut bangun ruang. Bangun datar di bentuk oleh daerah segi banyak yang di sebut sisi. Ada bermacam-macam bangun ruang di antaranya : 8


Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun volume. Bagian-bagian bangun ruang : 1. Sisi  bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya. 2. Rusuk  pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun ruang. 3. Titik sudut  titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.

KUBUS  Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen)  Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.  Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang.  Kubus mempunyai 8 titik sudut.  Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.

Rumus Luas Permukaan Kubus

L = 6xrxr L

: luas permukaan

r

: panjang rusuk

Rumus Volume Kubus

V = rxrxr V

: Volume

r

: panjang rusuk

9


BALOK  Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang dimana 3 persegi panjang kongruen.  Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang.  Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.  Balok mempunyai 12 rusuk.  4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.  Balok mempunyai 8 titik sudut.  Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Balok

L = 2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ] L

: luas permukaan

p

: panjang balok

l

: lebar balok

t

: tinggi balok

Rumus Volume Balok

V = pxlxt V

: volume balok

p

: panjang balok

l

: lebar balok

t

: tinggi balok

10


PRISMA  Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dan sejajar.  Rusuk prisma alas dan atas yang berhadapan sama dan sejajar.  Rusuk tegak prisma sama dan sejajar.  Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma.  Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma.  Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.  Prisma segitiga mempunyai bidang alas dan bidang atas berupa segitiga yang kongruen.  Prisma segitiga mempunyai 5 sisi.  Prisma segitiga mempunyai 9 rusuk  Prisma segitiga mempunyai 6 titik sudut  Jaring-jaring prisma segitiga berupa 2 segitiga, dan 3 persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Prisma Segitiga

L = Keliling ∆ x t x ( 2 x Luas ∆) L

: luas permukaan

∆

: alas dan atas segitiga

t

: tinggi prisma

Volume Prisma Segitiga

V = Luas Alas x t V

: Volume

Luas Alas

: Luas ∆ = ( ½ a x t )

t

: tinggi prisma

11


LIMAS  Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak dan dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga yang akan bertemu pada satu titik.  Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.  Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.  Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.  Macam-macam bentuk limas : 1. Limas segitiga

 alasnya berbentuk segitiga

2. Lima segiempat

 alasnya berbentuk segi empat

3. Limas segilima

 alasnya berbentuk segilima

4. Limas segienam

 alasnya berbentuk segienam

Nama Limas

Sisi

Rusuk

Titik Sudut

Limas Segitiga

4

6

4

Limas Segiempat

5

8

5

Limas Segilima

6

10

6

Limas Segienam

7

12

1

Rumus Luas Permukaan Limas

L = luas alas + luas selubung limas Rumus Volume Limas

V = ⅓ ( luas alas x t ) V

: volume limas

t

: tinggi limas

12


KERUCUT  Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran.  Kerucut mempunyai 2 sisi.  Kerucut tidak mempunyai rusuk.  Kerucut mempunyai 1 titik sudut.  Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.

Rumus Luas Kerucut

L = π r2 + π d x t L

: luas permukaan

r

: jari-jari lingkaran alas

d

: diameter lingkaran alas

t

: tinggi kerucut

Volume Kerucut

V = ⅓ ( π r2 x t ) V

: volume

r


t

: tinggi kerucut

TABUNG  Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang alas dan atas berupa lingkaran.

13


 Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran atas.  Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung.  Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi panjang.

Rumus Luas Permukaan Tabung

L = 2 x ( π r2 ) + π d x t L

: luas permukaan

r


d

: diameter lingkaran alas

t

: tinggi tabung

Rumus Volume Tabung

V = ⅓ ( π r2 x t ) V

Volume

r

: jari-jari lingkaran alas atau atas

t

: tinggi tabung

BOLA  Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya,.  Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.  Sisi bola disebut dinding bola.  Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk.  Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari.  Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.

Rumus Luas Permukaan Bola

14


L = 4 π r2 L

: luas permukaan

r

: jari-jari bola

Rumus Volume Bola

V = 4/3 π r3 V

: volume

r

: jari-jari bola

C. Bangun Berdimensi Tiga Bangun ruang juga di sebut berdimensi tiga, karena mengandung tiga unsur

yaitu, panjang, lebar dan tinggi. Bangun-bangun seperti kubus,

tabung, prisma, dan sebaginya adalah bangun-bangun tiga dimensi. Bangun tiga dimensi yang permukaannya datar di sebut Polider. Sebagai contoh lihat pembahasan bangun ruang.

D. Trigonometri Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri atas dua kata yaitu, “trigonon” dan “ metron”. Trigonon artinya segitiga dan metron artinya ukuran. Trigonometri merupakan suatu unit matematika yang selalu berkaitan dengan besarnya ukuran sudut.

E. Satuan Luas Satuan luas adalah lambing yang di gunakan dalam ukuran luas. Satuan standar internasionalnya adalah : Kilometer persegi atau Kilometer bujursangkar (Km2)

15


Km2

= 100 hektometer persegi

(hm2 )

hm2

= 100 dekameter persegi

(dam2)

dam2

= 100 meter persegi

( m2)

m2

= 100 desimeter persegi

( dm2)

dm2

= 100 sentimeter persegi

(cm2)

cm2

= 100 milimeter persegi

(mm2)

3. ARITMETIKA Aritmetika adalah cabang ilmu matematika yang di sebut juga ilmu hitung. Arimetika atau ilmu hitung di sini banyak di gunakan dalam masalah keuangan atau dunia perdagangan.

A. Hitungan Keuangan Pengertian Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi. Harga penjualan adalah nilai uang suatu barang yang kita jual. Harga pembelian adalah nilai uang suatu barang yang kita beli. Untung dan Rugi adalah besarnya keuntungan atau kerugian terhadap selisih antara harga pembelian dan harga penjualan.

Untung = harga penjualan di kurangi harga pembelian Rugi

= harga pembelian dikurangi harga penjualan

Menghitung harga pembalian Contoh : Seorang pedagang menjual sepeda seharga Rp. 1.000.000,dan ia memperoleh keuntungan dari penjualan Rp. 50.000,- Berapakah harga pembelian sepeda tersebut? Jawab : Harga penjualan = Rp. 1000.000,16


Keuntungan

= Rp.

50.000,-

Untung = harga penjualan – harga pembelian Rp. 50.000,- = Rp. 1000.000,- harga pembelian harga pembelian = Rp. 1000.000,- - Rp. 50.000,- = Rp. 9.050.000,-

Menghitung Harga Penjualan Contoh : Seorang pedagang membeli sepeda dengan harga Rp. 170.000,-. Ia ingin memperoleh keuntungan sebesar Rp. 25.000,-. Dengan harga berapakah sepeda itu akan di jual? Jawab : Harga pembelian

= Rp. 170.000,-

Untung

= Rp. 25.000,-

Untung

= harga penjualan – harga pembelian

25.000

= harga penjualan – 170.000

harga penjulan = 17.000 + 25.000 = 195.000,- jadi harga penjualan Rp. 195.000,-

Menghitung untung atau Rugi Contoh : Seseorang membeli barang seharga Rp. 25.000,- Ia menjual dengan harga Rp. 28.500,-. Untung atau rugikah orang tersebut? Jawab : Harga pembelian

= Rp. 25.000,-

Harga Penjualan

= Rp. 28.500,-

harga penjualan lebih besar dari pada harga pembelian, jadi orang tersebut untung. Untung

= harga penjualan – harga pembalian. 28.500 – 25.000 =

3.500,-

17


4. STATISTIKA Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan , mengolah, menyajikan data, menganalisis data dan mengambil kesimpulan.

A. POPULASI DAN SAMPEL Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi sasaran penelitian. Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi.

Sedangkan sampel

adalah beberapa objek yang benar-benar kita

catat

yang mewakili seluruh objek itu. Jadi sampel

data-datanya

merupakan himpunan bagian dari populasi. Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anak yang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhan anak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi. Sedangkan himpunan dari beberapa jumlah anak yang akan kita catat umurnya di sebut sampel.

B. RATA-RATA HITUNG ATAU MEAN, MEDIAN, DAN MODUS DARI SUATU DATA

Nilai rata-rata hitung atau mean adalah jumlah semua ukuran di bagi banyaknya ukuran. Median adalah ukuran tengah dari data yang sejenis setelah data itu di urutkan. Median di dapat dengan cara megurutkan data dari yang paling kecil

ke yang paling besar, kemudian mengambil ukuran

tengah-tengahnya. 18


Modus adalah ukuran atau data yang paling sering muncul. Rata-rata, median, modus merupakan ukuran pemusatan atau ukuran tendensi sentral dari sebuah penelitian atau percobaan artinya di pakai sebagai tolok ukur untuk mengadakan pemecahan masalah lebih lanjut.

Contoh mean, median dan modus. 1. Setiap caturwulan di adakan 5 kali ulangan harian untuk mata pelajaran matematika. Nilai yang di peroleh Ika : 68, 78, 50, 84 dan 72. Berapakah nilai rata-rata Ika? Jawab : Nilai rata-rata Ika=

2. Perhatikan data berikut! I. 6,7,8,9,9 II. 3,4,5,6,7,8 Berapa median dari data di atas? Jawab : median I adalah 8 median II adalah

3. Perhatikan data berikut ! 7,5,4,5,5,6,7 Berapa modus dari data tersebut? Jawab : 5 ( muncul 3 kali )

19


DAFTAR PUSTAKA Surbakty.BM, Matematika Bisnis dan Ekonomi, Kesaint Blanc Indah. 1990 Negoro.ST dkk, Ensiklopedia Matematika, Gahlia Indonesia. 1998 Santoso, Singgih. 2002. SPSS Statistik Multivariat. Jakarta : PT. Elex Media Kompitundo.

20

Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang

Recommend Documents