Bewijzen hoofdstuk 2

Bewijzen hoofdstuk 2

1

Bewijzen hoofdstuk 3

2

Bewijzen hoofdstuk 5

3

Bewijzen hoofdstuk 6

4

5

Bewijzen hoofdstuk 7&8

6

7

8

9

10

11

Bewijzen hoofdstuk 9 Bewijs H9 ∑⃗

⃗

Bewijs H9 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Verband kracht en impuls ⃗

⃗

⃗

Tweede wet van Newton voor een systeem van voorwerpen ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ schrijven in termen van de totale impuls ⃗ van een systeem puntmassa’s ⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗ volgt dat ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Uit ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de totale impuls van een systeem van puntmassa’s is gelijk aan het product van de totale massa M en de snelheid van het massamiddelpunt van het systeem de impuls van een ruimtelijk voorwerp is het product van de massa van het voorwerp en de snelheid van het MM ervan ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ naar tijd differentiëren levert:

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ volgt dat ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → dit is de tweede wet van Newton voor een Uit ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ systeem van voorwerpen (geldig voor willekeurige gesloten systemen van puntmassa’s of voorwerpen) Bewijs H9 De tweede wet van Newton voor een systeem  Een belangrijke reden voor het belang van het concept massamiddelpunt is dat de translatiebeweging van het MM voor een systeem van puntmassa’s direct gerelateerd is aan de nettokracht die op het systeem als geheel werkt, bewijs: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (differentiëren naar de tijd:) (de afgeleide naar de tijd:)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∑ ∑ ∑

⃗ ⃗⃗⃗⃗

of

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∑

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗ dus:) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗ (de tweede wet van Newton is ⃗⃗⃗ Dat wil zeggen dat de vectorsom van alle krachten die op het systeem werken gelijk is aan de totale massa van het systeem maal de versnelling van het massamiddelpunt ervan. De krachten ⃗⃗ die uitgeoefend worden op de puntmassa’s van het systeem kunnen in twee soorten opgesplitst worden: uitwendige krachten die uitgeoefend worden door voorwerpen buiten het systeem en inwendige krachten die puntmassa’s binnen het systeem op elkaar uitoefenen. Volgens de derde wet van Newton treden de inwendige krachten paarsgewijs op: als een puntmassa ene kracht uitoefent op een tweede puntmassa in het systeem, moet de tweede een even grote en tegenovergesteld gerichte kracht uitoefenen op de eerste puntmassa. In de som van alle krachten heffen deze inwendige krachten elkaar dus op. ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . De tweede wet van Newton (voor een systeem) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bewijs H9 Elastische botsingen in één dimensie Behoud van impuls: → mA(vA –v’A) = mB(v’B – vB) Behoud van kinetische energie: → mA(v2A –v’2A) = mB(v’2B – v2B) dit kunnen we weer omschrijven tot mA(vA –v’A) (vA +v’A) = mB(v’B – vB) (v’B + vB) We delen de wet van behoud van impuls door de wet van behoud van kinetische energie:

(alleen gebruiken als de botsing eendimensionaal frontaal is!)

12

Bij een willekeurige elastische frontale botsing geldt blijkbaar dat de relatieve snelheid van de twee voorwerpen na de botsing dezelfde grootte (maar tegengestelde richting) heeft als voor de botsing, ongeacht hoe groot de massa’s zijn. Voor een willekeurige elastische frontale botsing geldt dat (

)

(

) en

(

)

(

)

Bewijs H9 Behoud van impuls Behoud van impuls afleiden uit de bewegingswetten van Newton: de kracht die voorwerp A op voorwerp B op een willekeurig moment uitoefent is gelijk aan , volgens de derde wet van Newton geldt dan dat de kracht die door voorwerp B op voorwerp A uitgeoefend wordt gelijk is aan en we veronderstellen dat er geen andere uitwendige krachten werken ⃗⃗⃗⃗⃗

&

⃗⃗⃗⃗⃗

→

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

→ ⃗⃗⃗⃗

Bewijs H9

⃗⃗⃗⃗

Totale impuls/tweede wet van Newton voor een systeem ∑ ⃗⃗⃗  De totale impuls van een systeem: ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ∑ ∑ ⃗⃗

13

Bewijzen hoofdstuk 10 Bewijs H10

Lineaire snelheid of

Bewijs H10

Lineaire versnelling of

De totale lineaire versnelling van een punt op een willekeurig moment is de vectorsom van twee componenten: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Bewijs H10 Traagheidsmoment en krachtmoment Situatie: een puntmassa met massa m beschrijft een cirkelvormige baan met straal R aan het eind van een touw of stang, waarvan we de massa kunnen verwaarlozen t.o.v. m, en we veronderstellen dat er één tangentiale kracht F werkt op m. We gebruiken de tweede wet van Newton voor lineaire grootheden en de vergelijking voor de hoekversnelling en de tangentiale lineaire versnelling levert: (beiden zijden vermenigvuldigen met R geeft:) De grootheid stelt de rotationele traagheid van de puntmassa voor en wordt het traagheidsmoment genoemd. ∑ Bewijs H10

Rotationele kinetische energie

Rotationele kinetische energie: Een willekeurig star roterend voorwerp bestaat uit veel miniscule puntmassa’s die elk een massa mi hebben. Als we de afstand van een willekeurig deeltje tot de rotatie-as Ri noemen, is de lineaire snelheid daarvan vi = Riω. De totale kinetische energie van het hele voorwerp zal de som zijn van de kinetische energieën van alle deeltjes waaruit het bestaat: ∑(

)

∑

∑

½ en ω2 worden buiten de sommatie gebracht, omdat zij gelijk zijn voor elk deeltje van een star voorwerp en ∑( De kracht

)

[rotatie om een vaste as!]

uitgeoefend op een punt op een afstand R van de rotatie-as verricht arbeid: ∫

waarin van

∫

een oneindig kleine afstand is, loodrecht op R met grootte dl = Rdɵ, en

loodrecht op R en evenwijdig aan

.

de component is

is het krachtmoment om de rotatie-as, dus:

14

∫

is de verrichte arbeid door een krachtmoment dat een voorwerp wil laten roteren

over de hoek

. De snelheid waarmee de arbeid verricht wordt, het vermogen P,:

Het principe van arbeid en energie is geldig voor de rotatie van een star voorwerp om een vaste as: (waarin we de kettingregel gebruikten en In dit geval is

en

∫

)

∫

De verrichte arbeid bij het roteren van een voorwerp is gelijk aan de verandering van de rotationele kinetische energie van het voorwerp. Bewijs H10 Rotationele plus translationele beweging Een voorwerp dat om het massamiddelpunt roteert en een translatiebeweging ondergaat, zal zowel translationele als rotationele kinetische energie bezitten.

Ktot kunnen we schrijven in termen van het massamiddelpunt m.b.v. de verschuivingsstelling: IP = IMM + MR2, waarin we R gesubstitueerd hebben voor h. Dus geldt dat:

Maar Rω = vMM ->

(waarin vMM de lineaire snelheid van het MM is, IMM het traagheidsmoment om een as door het MM, ω de hoeksnelheid om deze as en M de totale massa van het voorwerp) Bewijs H18 Verband tussen hoeksnelheid en lineaire snelheid

Bewijs H10

Krachtmoment

15

Bewijs H10

Traagheidsmoment

16

Bewijs H10

Voorwaarde voor zuiver rollen

17

Bewijzen hoofdstuk 11 Bewijs H11

Impulsmoment/tweede wet van Newton voor rotatie

Tweede wet van Newton voor rotatie in termen van impulsmoment: ∑

Bewijs H11

(

)

Impulsmoment van een puntmassa Situatie: een puntmassa met massa m heeft een impuls en een positievector t.o.v. de oorsprong O in een bepaald inertiaalstelsel. Het ⃗ ⃗ impulsmoment ⃗ : ⃗ Impulsmoment is een vectoriële grootheid. De richting ervan staat loodrecht op zowel als volgens de rechterhandregel. De grootte ervan is: De relatie tussen impulsmoment en krachtmoment; ⃗

⃗

∑

⃗

⃗

∑

⃗ ∑

∑⃗

∑⃗

⃗

⃗

⃗

∑⃗ ⃗

∑⃗

De verandering van impulsmoment van een puntmassa in de tijd is gelijk aan het netto krachtmoment dat erop uitgeoefend wordt.

18

⃗

Bewijs H11

De verandering van het totale impulsmoment van een systeem van puntmassa’s in de tijd is gelijk aan het netto uitwendige krachtmoment op het systeem. De tweede wet van Newton.

⃗ 𝑴𝑴 𝒅𝑳 𝒅𝒕

Bewijs H11

∑ 𝝉⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑴

𝒛𝒆𝒍𝒇𝒔 𝒃𝒊𝒋 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒏𝒆𝒍𝒍𝒊𝒏𝒈 𝒐𝒇 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒓𝒂𝒈𝒊𝒏𝒈

⃗ is de positievector van de i-de puntmassa in een inertiaalstelsel en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de positievector van het massamiddelpunt van het systeem in dit referentiestelsel ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ De positie van de i-de puntmassa t.o.v. het MM is ⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗ vermenigvuldig elke term met mi en bepaal de afgeleide ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ∑ ⃗⃗⃗

Het impulsmoment t.ov. van het MM is: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

de tijdsafgeleide daarvan is:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∑

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

de eerste term aan de rechterkant is ⃗⃗⃗⃗ (sinɵ=0) →

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ en is gelijk aan nul, omdat ⃗⃗⃗⃗ evenwijdig is aan zichzelf

uit de tweede wet van newton volgt dat:

⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

de tweede term aan de rechterkant is nul, ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ )

(∑

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

per definitie

⃗⃗ waarin ⃗⃗ de nettorkacht op mi is ⃗⃗⃗

∑ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

19

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Bewijs H11

Impulsmoment en krachtmoment voor een star voorwerp Voor elke puntmassa van het voorwerp is: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ De component van ⃗⃗⃗ langs de roatie-as is:

De som over alle puntmassa’s: (∑

∑

∑

)

De component van het totale impulsmoment langs de rotatie-as is dus:

20

Bewijzen hoofdstuk 18 Bewijs H18 Druk Hoe groot is de druk die een gas uitoefent op een vat? Stel de moleculen voor binnen een rechthoek vat waarvan de uiteinden een oppervlakte A hebben en waarvan de lente l is. De druk die door het gas op de wanden van het vat wordt uitgeoefend is een gevolg van de botsingen van de moleculen met de wanden. Wanneer een molecuul een kracht uitoefent op de wand oefent de wand een gelijke en tegengestelde reactiekracht uit op het molecuul (derde wet van Newton). Op grond van de tweede wet van Newton is de grootte van deze kracht op het molecuul gelijk aan de impulsverandering van het molecuul, F = dp/dt. Ervan uitgaande dat de botsing elastisch is, verandert alleen de x-component van de impuls van het molecule, van –mvx tot +mvx. Dit molecuul zal vaak botsen met de muur, met tussenpozen van Δt, de tijd die het molecuul nodig heeft om in het vat een afstand (x-component) heen en terug af te leggen, dat wil zeggen 2l.

De tijd Δt tussen de botsingen is erg kort, dus is het aantal botsingen per seconde erg groot. Dus is de gemiddelde kracht gelijk aan de impulsverandering gedurende één botsing gedeeld door de tijd tussen botsingen: De feitelijke kracht als gevolg van één molecuul fluctueert, maar omdat elke seconde een groot aantal moleculen de wand raakt, is de kracht gemiddeld genomen vrijwel constant. De nettokracht op de wand (de kracht als gevolg van alle moleculen in het vat): . Met de gemiddeld waarde van de x-component van de snelheid is: ̅̅̅ ̅̅̅ We kunnen de kracht dus schrijven als Voor elke vector geld dat het kwadraat van de grootte ervan gelijk is aan de som van de kwadraten van de componenten: ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅. Omdat de snelheden van de moleculen in het gas willekeurig worden verondersteld, is er geen voorkeursrichting. Dus geldt ̅̅̅ ̅̅̅̅

Dit substitueren we in de vergelijking voor de nettokracht F: De druk op de wand is dan:

̅̅̅̅

̅̅̅̅

oftewel

̅̅̅

met V = lA

̅̅̅ ̅̅̅ is de gemiddelde kinetische energie ̅ van de moleculen in het gas. Bovenstaande vergelijking vergelijken met de ideale gaswet levert ( ̅̅̅) oftewel De grootheid

verband tussen temperatuur en gemiddelde kinetische energie van moleculen ̅

̅̅̅

21

Bewijs H18 Diffusie Diffusie: deeltjes gaan spontaan van regio met hoge concentratie naar regio met lage concentratie (passief proces). Een buis met dwarsdoorsnede A met links moleculen in een hogere concentratie dan rechts. Er zal een nettostroom van moleculen naar rechts zijn. Een klein deel van de buis met lengte Δx wordt doorkruist door moleculen uit zowel gebied 1 als gebied 2. Naarmate er zich meer moleculen in een gebied bevinden, zullen er meer een gegeven oppervlak raken of een grens passeren. Omdat er in gebied 1 een hogere concentratie moleculen is dan in gebied 2, zullen er meer moleculen uit gebied 1 het centrale gedeelte doorkruisen dan uit gebied 2. Er is dus een nettotransport van moleculen van links naar rechts, van hoge concentratie naar lage concentratie. De nettostroom wordt alleen dan gelijk aan nul wanneer de concentraties aan elkaar gelijk geworden zijn. De diffusiesnelheid J (aantal deeltjes ΔN doorheen doorsnede A in een tijd Δt) is recht evenredig met het verschil in concentratie per eenheidsafstand oftewel de concentratiegradiënt (C1-C2)/Δx, met de oppervlakte van de dwarsdoorsnede A en de duur van het tijdsinterval Δt. (Aanname: concentraties C1 en C2 constant.)

de diffusievergelijking (de wet van Fick): (met D is de evenredigheidsconstante in m2/s → diffusiecoëfficiënt en Δx in meter) J is de deeltjesflux en de deeltjesstroom per oppervlak 3 concentraties in mol/m → J is het aantal mol dat per seconde een gegeven punt passeert concentraties in kg/m3 → J is de massa die per seconde een bepaald punt passeert (kg/s)

22

Bewijzen hoofdstuk 19 Bewijs H19 Inwendige energie Inwendige energie: de totale energie van alle moleculen binnen het voorwerp. De inwendige energie van n mol van een ideaal eenatomig gas is de som van de translatie-energieën van alle atomen → de gemiddelde kinetische energie per molecuul maal het totaal aantal moleculen ̅̅̅ m.b.v. ̅

Bewijs H19

̅̅̅

kunnen we dit schrijven als

oftewel

Isotherm proces (cte T) De eerste hoofdwet van de thermodynamica: De temperatuur en de massa worden constant gehouden, de inwendige energie verandert niet:

. Dus geldt op de grond van

de eerste wet van de thermodynamica, dus W=Q: de arbeid die door het gas in een isotherm proces wordt uitgevoerd is gelijk aan de warmte die wordt toegevoegd aan het gas.

Adiabatisch proces (Q=O / geen warmtestroom)

Bewijs H19 Q=0 dus

Dat wil zeggen: als het gas uitzet, neemt de inwendige energie af; dus neemt ook de temperatur af.

Bewijs H19

Isobare en isovolumetrische processen Een isobaar proces is een proces waarbij de druk constant wordt gehouden. Een isovolumetrisch proces is een proces waarbij het volume niet verandert (ΔV=0 zorgt dat W=0). Isobaar proces: en isovolumetrisch proces:

23

Bewijs H19

Arbeid en volumeveranderingen Arbeid die wordt uitgevoerd bij volumeveranderingen Stel dat we een gas hebben in een cilindrisch vat met een beweegbare zuiger. Kies als systeem het gas; de wanden en de zuiger maken deel uit van de omgeving. Arbeid bepalen die door het gas wordt verricht wanneer het quasistatisch uitzet, zodat P en T op elk moment gedefinieerd zijn voor het systeem. Het gas zet uit tegen de zuiger met oppervlakte A. Het gas oefent een kracht F=PA uit op het gas, waarin P de druk in het gas is. De arbeid die door het gas wordt verricht voor een oneindig kleine verplaatsing van de zuiger is omdat een oneindig kleine volumetoename gelijk is aan . Bij een eindige volumeverandering van VA naar VB zou de door het gas verrichte arbeid W gelijk zijn aan

∫

∫

.

24

Bewijs H19 Verband tussen CP en CV Vergelijk isovolumetrisch en isobaar proces waarbij de temperatuur met eenzelfde waarde toeneemt.  Isovolumetrisch: er wordt geen arbeid verricht omdat ; dus toegevoegde warmte wordt volledig omgezet in inwendige energie  Isobaar: er wordt wel arbeid verricht; dus toegevoegde warmte wordt omgezet in inwendige energie en arbeid [constant volume] [constante druk] Combineren van de twee vergelijkingen: Voor een proces bij constante druk geldt

:

of na vereenvoudiging; . Omdat de gasconstante R=8,341 J/mol.K is CP circa 8,31J/mol.K groter dan CV.

Bij een ideaal monoatomisch gas is de inwendige energie gelijk aan de totale kinetische energie van alle moleculen: (

̅̅̅)

25

Bewijzen hoofdstuk 21 Bewijs H21

Puntlading & Continue ladingsverdeling.

Bewijs H21

Versnelling en afbuiging van elektronenbundels.

26

Bewijzen hoofdstuk 23 Bewijs H23

Elektrische potentiële energie Situatie: het elektrisch veld tussen twee evenwijdige platen met een even grote, maar tegengestelde lading; we veronderstellen dat de afstand tussen de platen klein is in vergelijking met hun breedte en hoogte, zodat het veld ⃗ in het grootste deel van het gebied tussen de platen homogeen zal zijn. Bekijk een minuscule positieve puntlading q in een punt erg dicht bij de positieve plaat. Deze lading q is zo klein dat deze geen effect heeft op ⃗ . Als deze lading q ter plaatse van een punt a wordt losgelaten, zal de elektrische kracht arbeid op de lading verrichten en deze versnellen in de richting van de negatieve plaat. De arbeid W die door het elektrisch veld E wordt verricht om de lading over een afstand d te verplaatsen is De verandering van de elektrische potentiële energie is gelijk aan het tegengestelde van de door de elektrische kracht verrichte arbeid: [homogeen ⃗ ]

Bewijs H23 Relatie tussen elektrisch potentiaal en elektrisch veld Het verschil in potentiële energie tussen twee willekeurige punten in de ruimte, a en b, wordt beschreven door: ∫ ⃗  Het potentiaalverschil is  Het elektrisch veld ⃗ in een willekeurig punt in de ruimte is de kracht per eenheid van lading: ⃗ Deze twee relaties in bovenstaande vergelijking substitueren levert: ∫ ⃗ Bewijs H23

Elektrische potentiaal als gevolg van puntladingen De elektrische potentiaal op een afstand r van één enkele puntlading Q kan ∫ ⃗ Het elektrisch veld als gevolg van één enkele puntlading heeft een grootte: rechtstreeks worden afgeleid uit of en is radiaal naar buiten gericht vanuit een positieve lading (of naar binnen gericht als Q<0). Bereken de integraal lang een (rechte) veldlijn van punt a, op een afstand ra van Q, naar punt b, op een afstand rb van Q. In dit geval zal evenwijdig zijn aan ⃗ en . Dus geldt dat ∫ ⃗

∫

Het is gebruikelijk om de potentiaal nul te kiezen in punten die oneindig ver zijn verwijderd (stel Vb=0 ter plaatse van rb= ). In dat geval is de elektrische potentiaal V op een afstand r van één enkele puntlading gelijk aan

[één enkele puntlading; V=0 ter plaatse van r= ]

27

Bewijs H23

Potentiaal veroorzaakt door dipool

28

Bewijzen hoofdstuk 24 Bewijs H24

Capaciteit van vlakke condensator

Bewijs H24

Capaciteit van een condensator De relatie tussen het elektrisch veld en de elektrische potentiaal is ∫ ⃗ We kunnen de lijnintegraal bepalen langs een baan antiparallel met de veldlijnen (dus in tegenovergestelde richting van de veldlijnen), dus van plaat a naar plaat b, waarbij geldt dat en , dus ∫

∫

∫

Dit levert een relatie tussen Q en V en daarmee kunnen we de capaciteit C bepalen in termen van de geometrie van de platen: [condensator met evenwijdige platen]

Bewijs H24 Condensator opladen De benodigde arbeid om een kleine hoeveelheid lading dq toe te voegen wanneer er een potentiaalverschil V over de platen aanwezig is, is . Omdat op een willekeurig tijdstip, waarin C de capaciteit is, is de benodigde arbeid om een totale lading Q op te slaan gelijk aan ∫

∫

De energie opgeslagen in een condensator is wanneer de twee geleiders van de condensator C ladingen +Q en –Q bezitten. Omdat

,

waarin V het potentiaalverschil is over de condensator, kunnen we ook schrijven dat . Het is handig om de energie die is opgeslagen in een condensator te beschouwen als energie die is opgeslagen in het elektrisch veld tussen de platen. We hebben gezien dat het elektrisch veld ⃗ tussen twee evenwijdige platen die zich dicht bij elkaar in de buurt bevinden homogeen is en de grootte ervan als volgt aan het potentiaalverschil is gerelateerd: , waarin d de afstand tussen de platen is. voor een condensator met evenwijdige platen. (

Dus geldt dat

)(

)

(geldig voor elk willekeurig gebied in de ruimte waar een elektrisch veld aanwezig is) ( met eenheid (C2/N.m2)(N/C)2=N/m2=(N.m)/m3=J/m3) (de grootheid Ad is het volume tussen de platen waarin het elektrisch veld E aanwezig is)

29

Bewijs H24

Parallelschakeling van condensatoren

Bewijs H24

Serieschakeling van condensatoren

30

Bewijzen hoofdstuk 25 Bewijs H25 Het vermogen P De snelheid waarmee energie wordt omgezet in een weerstand R: ( ) Bewijs H25

Wisselstroom .

Het vermogen is altijd positief. De grootheid varieert tussen 0 en 1 en het is niet al te moeilijk om aan te tonen dat de gemiddelde waarde ervan ½ is. Het gemiddelde omgezette vermogen ̅ : ̅

. Het vermogen kan ook worden geschreven als

( )

, dus het

gemiddelde vermogen is gelijk aan ̅ De vierkantswortel van elk van deze termen is de rms-waarde (root-mean-square; kwadratisch gemiddelde), ookwel de effectieve waarde, van de stroom of de spanning: √̅ √ ̅̅̅̅

√ √

̅ ̅ ̅ Een gelijkstroom met waarden I en V gelijk aan de rms-waarden I en V van een wisselstroom zal hetzelfde vermogen leveren als die wisselstroom. Bewijs H25 Driftsnelheid en stroom De driftsnelheid kan gerelateerd worden aan de macroscopische stroom I in de draad. In een tijd Δt leggen de elektronen gemiddeld een afstand l=vdΔt af. Veronderstel dat de draad een dwarsdoorsnede met oppervlakte A heeft. In dat geval zullen in een tijd Δt de elektronen in een volume de dwarsdoorsnede A van de draad passeren (zie afbeelding). Als er n vrije elektronen (elk met een lading –e) per eenheid van volume (n=N/V) zijn, is de totale lading ΔQ die het oppervlak A passeert in een tijd Δt gelijk aan

De stroom I in de draad is dus

De grootte van de stroomdichtheid,

| |

, is

In vectorvorm is dit

31

⃗⃗⃗⃗ waarin het minusteken aangeeft dat de richting van de (positieve) stroom tegengesteld is gericht aan de driftsnelheid van de elektronen. ∑

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(verschillende soorten ionen, die elk een dichtheid ni hebben (aantal per eenheid van volume), een lading qi (qi=-e voor elektronen) en een driftsnelheid ⃗⃗⃗⃗⃗ , is de resulterende stroomdichtheid in een willekeurig punt gelijk aan bovenstaande vergelijking) De totale stroom I door een oppervlak A loodrecht op een homogene is dan | | Bewijs H25 Microscopische vorm van de wet van Ohm schrijven in termen van microscopische grootheden.

.

en (bij de laatste vergelijking veronderstellen we dat het elektrisch veld binnen de draad homogeen is en dat l de lengte is van de draad (of een deel van de draad) waarover tussen de uiteinden een potentiaalverschil V staat) (

)

dus waarin de geleidbaarheid is en niet afhankelijk van V (en daarom ook niet van E). De stroomdichtheid is dus recht evenredig met het elektrisch veld ⃗ in de geleider. Dit is de ⃗ ⃗ microscopische variant van de wet van Ohm, in vectorvorm Bij een metalen geleider zijn

32

Bewijzen hoofdstuk 26 Bewijs H26 Klemspanning Wanneer er een stroom I op natuurlijke manier uit de batterij stroomt (dus van de pluspool naar de minpool), is er een inwendige daling van het potentiaalverschil van de batterij die gelijk is aan Ir. De klemspanning is dan . Bewijs H26 Verband tussen klemspanning en bronspanning

Bewijs H26

Weerstanden in serie en parallel

33

Bewijs H26

Condensator opladen

Wanneer de schakelaar S gesloten wordt begint er een stroom door de schakeling te lopen. Elektronen zullen vanuit de negatieve pool van de batterij door de weerstand R stromen en zich verzamelen op de bovenste plaat van de condensator. Ook zullen er elektronen naar de positieve pool van de batterij stromen, waardoor een positieve lading op de andere plaat van de condensator ontstaat. Naarmate er meer lading op de condensator komt, neemt het potentiaalverschil erover ( ) toe en de stroom neemt af tot het potentiaalverschil over de condensator gelijk geworden is aan de emk van de batterij, . Er is dan geen potentiaalverschil over de weerstand en er loopt geen stroom meer. Het potentiaalverschil over de condensator neemt dus in tijd toe (afbeelding b). De wiskundige vorm van deze kromme, dat wil zeggen als functie van de tijd, kan afgeleid worden met de wet van behoud van energie (of de tweede wet van Kirchhoff). De emk van de batterij zal gelijk zijn aan de som van het potentiaalverschil over de weerstand (IR) en dat over de condensator (Q/C):

de weerstand R is de totale weerstand van de schakeling, inclusief de inwendige weerstand van de batterij; I de stroom in de schakeling op een willekeurig moment en Q de lading op de condensator op datzelfde moment Hoewel , R en C constanten zijn, zijn zowel Q als I veranderlijk in de tijd. De snelheid waarmee lading door de weerstand stroomt (I=dQ/dt) is gelijk aan de snelheid waarmee lading zich verzamelt op de condensator. Dus kunnen we schrijven

(

)

Integreren van t=0, als Q=0, tot een tijdstip t wanneer er een lading Q op de condensator aanwezig is:

∫

∫ |

34

|

(

)

Neem de antilogaritme van beide zijden:

Het potentiaalverschil over de condensator is VC = Q/C, dus De lading Q op de condensator en het potentiaalverschil VC over de condensator nemen pas na een erg lange tijd toe van nul op t=0 tot hun maximale waarden Qmax = Q en VC= . De grootheid RC in de exponent wordt de tijdconstante van de schakeling genoemd: . Deze grootheid stelt de tijd voor die de condensator nodig heeft om (1-e-1) = 0,63 of 63% van zijn maximale lading en zijn maximale potentiaalverschil te bereiken. De stroom I door de schakeling Op t=0 is de stroom dus

, zoals te verwachten was voor een schakeling met alleen een

weerstand (er is nog geen potentiaalverschil over de condensator). De stroom neemt dan exponentieel af in de tijd met een tijdconstante die gelijk is aan RC, terwijl het potentiaalverschil over de condensator toeneemt. De tijdconstante RC stelt de tijd voor waarin de stroom daalt naar 1/e 0,37 van de initiële waarde. Bewijs H26 Condensator opladen Een condensator die al geladen is kan ontladen over een weerstand R. Het potentiaalverschil over de weerstand op een willekeurig moment is gelijk aan dat over de condensator: De snelheid waarmee lading de condensator verlaat is gelijk aan het tegengestelde van de stroom door de weerstand, , omdat de condensator bezig is te ontladen (Q neemt af). We schrijven de vergelijking hierboven nu als

of

.

Vervolgens integreren van t=0 wanneer de lading op de condensator gelijk is aan Q0 tot een bepaald tijdstip t wanneer de lading op de condensator Q geworden is:

of Het potentiaalverschil over de condensator (VC=Q/C) als functie van de tijd is waarin het beginpotentiaalverschil is. De lading op de condensator en het potentiaalverschil erover nemen dus exponentieel in de tijd af met een tijdsconstante RC. De stroom is en ook deze neemt exponentieel in de tijd af met dezelfde tijdconstante RC. De lading op de condensator, het potentiaalverschil erover en de stroom in de weerstand nemen allemaal tot 37% van hun oorspronkelijke waarde af in één tijdsconstante .

35

Bewijzen hoofdstuk 27 Bewijs H27

Bewijs H27

Magnetische kracht op een bewegende lading in een magneetveld

Vrij bewegende geladen deeltjes ondervinden ook een kracht wanneer ze door een magnetisch veld passeren. Als N van dergelijke deeltjes met een lading q in een tijd t een bepaald punt passeren, vormen ze een stroom . We stellen t gelijk aan de tijd die een lading q nodig heeft om een afstand in een magnetisch veld ⃗ te overbruggen. In dat geval geldt , waarin de snelheid van het deeltje is. De kracht op deze N deeltjes is ⃗ De kracht op één van de N deeltjes: ⃗

⃗

⃗⃗

36

⃗⃗

( ) ⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗

Bewijs H27

Kracht van magnetische inductie op een stroomgeleider

Bewijs H27

De baan van een geladen deeltje dat beweegt in een vlak loodrecht op een homogeen magnetisch veld is cirkelvormig. Het elektron beweegt met de klok mee. Een positief deeltje in dit veld zou een kracht in tegengestelde richting ondervinden en dus tegen de klok in bewegen. De richting van het magnetisch veld is in de pagina gericht. Een elektron in punt P beweegt naar rechts en de kracht op dit elektron in dit punt is verticaal omlaag gericht. Omdat de kracht altijd loodrecht op staat, verandert de grootte van niet: het elektron beweegt met een snelheid met constante grootte. Als de kracht op een deeltje altijd loodrecht op de snelheid ervan staat, beschrijft het deeltje en cirkelvormige baan en heeft een centripetale versnelling . Een geladen deeltje beschrijft dus een cirkelvormige baan met een constante centripetale versnelling in een homogeen magnetisch veld. Substitueren van F en a in de tweede wet van Newton levert: ∑ → De tijd T die een deeltje met een lading q en een constante snelheid v nodig heeft om een cirkelvormige omwenteling in een homogeen magnetisch veld ⃗ te beschrijven ( ) is waarin

de omtrek van de cirkelvormige baan is.

37

,

Bewijs H27

Krachtmoment op een stroomlus; magnetisch dipoolmoment

Een elektrische stroom in een gesloten draadlus, die in een uitwendig magnetisch veld is geplaatst → magnetische kracht op de stroom kan een krachtmoment veroorzaken. Er loopt een stroom door de rechthoekige lus, waarvan het vlak evenwijdig is aan ⃗ . ⃗ oefent geen kracht en geen krachtmoment uit op de horizontale segmenten van de draad, omdat deze evenwijdig zijn aan het veld en sin nul is. Het magnetisch veld oefent wel eenkracht uit op elk van de verticale segmenten van de draad: ⃗ 1 en ⃗ 2. De richting van de kracht op de stroom verticaal omhoog links is tegengesteld aan de richting van de even grote kracht ⃗ 2 op de stroom vertikaal omlaag rechts. Deze krachten veroorzaken een resulterend krachtmoment dat de winding om de verticale as wil laten draaien. De grootte van het krachtmoment met a de lengte van de verticale arm van de lus → de arm voor elke kracht is b/2, waarin b de breedte van de lus is waarvan de ‘as’ zich in het middelpunt bevindt De krachtmomenten die geproduceerd worden door ⃗ 2 en ⃗ 2 werken in dezelfde richting, dus het totale krachtmoment is de som van de twee krachtmomenten:

waarin A = ab de oppervlakte van de lus is Als de lus bestaat uit n windingen, zal de stroom NI zijn, en het krachtmoment Als de lus een hoek

maakt met het magnetisch veld veranderen de krachten niet, maar hun arm is wel afgenomen van ½ b tot ½ b sin . De hoek is de hoek tussen ⃗ en de loodlijn op het vlak van de lus. Het krachtmoment wordt dus niet alleen geldig voor een rechthoekige spoel, maar voor elke willekeurige andere vorm van een vlakke spoel NIA = het magnetisch dipoolmoment van de spoel, beschouwd als een vector: waarin de richting van

(en dus van ) loodrecht op het vlak van de spoel staat en gegeven wordt door de rechterhandregel

Dus ⃗ ⃗⃗ ⃗ of (geeft de correcte grootte en richting voor het krachtmoment aan) ⃗ ⃗ ⃗⃗ Om een stroomvoerende draadlus te roteren waarbij groter wordt, moet arbeid verricht worden tegen het krachtmoment als gevolg van het magnetisch veld. De potentiële energie hangt dus als volgt af van de hoek (zie het principe van arbeid en energie voor rotationele beweging):

38

∫ Als we U=0 kiezen voor

∫

is de arbitraire constante C nul en is de potentiële energie ⃗

39