Bevezetés az ökonometriába

Ismétlés Mintavételi vonatkozások A modell minősítése Parciális korreláció és standardizált regresszió

Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: mintavételi vonatkozások és modelljellemzés

Ferenci Tamás MSc1 [email protected] 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem

Harmadik előadás, 2010. szeptember 28.

Ferenci Tamás MSc [email protected]

Bevezetés az ökonometriába


Tartalom 1

Ismétlés Utóbbi előadások áttekintése

2

Mintavételi vonatkozások A regresszió mintavételi szempontból A mintavételi eloszlás és hasznosítása

3

A modell minősítése A többszörös determinációs együttható

4

Parciális korreláció és standardizált regresszió Parciális korreláció Standardizált regresszió




Utóbbi előadások áttekintése

Előző részeink tartalmából

Ismerkedés az ökonometria fogalmával, feladataival, módszereivel Az ökonometriai modellalkotás menete Kétváltozós szóródás jellemzése Regresszió kétváltozós esetben Lineáris regresszió általában, többváltozós esetben




Utóbbi előadások áttekintése

Legfontosabb eredmények képletekben A többváltozós lineáris regresszió matematikai kerete nagyon tömören: b = βb1 + βb2 X2 + βb3 X3 + . . . + β ck Xk Y ubi = Yi − Ybi ESS =

n X

ubi 2

i=1

min ESS b β

Előrejelzés látható a fentiekből Értelmezés: koefficiensek (meredekség, tengelymetszet), elaszticitás Ferenci Tamás MSc [email protected]



A regresszió mintavételi szempontból A mintavételi eloszlás és hasznosítása

A mintavételi helyzet hatásai b Az adatbázisunk alapján megkaptuk a regressziós egyenest (β) De vigyázat: az adatbázis csak egy minta az eladásra kínált lakások sokkal bővebb sokaságából → a βbi paraméterek annak hatását is tükrözik, hogy konkrétan milyen mintát választottunk Mintavételi ingadozás lép fel (még akkor is, ha tökéletes a mintavétel, ennek tehát semmi köze pl. a reprezentativitáshoz) Tehát: az egyes βbi paraméterek „mintáról-mintára ingadoznak” : minden mintából más paramétereket kapnánk (Természetesen reméljük, hogy az ingadozás „kellemes” tulajdonságokkal bír, például a valós érték körül történik, szorosan körülötte stb., erről később) Ferenci Tamás MSc [email protected]




Az OLS mint becslőfüggvény Ha ismernénk az egész sokaságot, akkor arra lefuttatva megkaphatnánk a tökéletes βi paramétereket (értsd: nem terheli őket mintavételi hiba) Ezeket nevezzük sokasági vagy elméleti regressziós koefficienseknek Tehát: van egy sokasági paraméter, amit mi mintából próbálunk megsaccolni. . . nem ismerős? Ez épp a becslés statisztikai feladata ! Az OLS tehát egy becslőfüggvény ! (Mint az X csak kicsit bonyolultabb. . . ) → ezért a kalap Vizsgálhatóak tehát a tulajdonságai, mint becslőfüggvény





OLS modellfeltevései Bizonyos feltételek teljesülése esetén az OLS szolgáltatta becslések BLUE-k (Gauss-Markov tétel): Best (minimális varianciájú) Linear (lineáris a mintaelemekben) Unbiased (torzítatlan)

Ezért szeretjük az OLS-t ! A feltételek amiknek teljesülnie kell (a nyilvánvalóakon túl): Homoszkedaszticitás Autokorrelálatlanság

Ezeket együttesen szokás a lineáris modell standard modellfeltevéseinek nevezni → később részletesen tárgyaljuk őket





Egy példa a BLUE tulajdonságra Például a szobaszám mintavételi eloszlása (csak szemléltetés : feltételeztük, hogy a valódi érték βSzobaszam = 1,18) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Összekapcsoltan mutatja a mintáról-mintára ingadozást és a becslőfüggvény jellemzőit Ferenci Tamás MSc [email protected]




Változó relevanciája Definíció (Változó relevanciája) Egy változót relevánsnak nevezünk, ha a sokasági paramétere nem nulla: βi 6= 0. Elárulom, hogy a βbi becsült regressziós koefficiensek mintavételi ingadozását a következő összefüggés írja le: βbi − βi ∼ tn−k se b βbi





Hipotézisvizsgálat változó relevanciájára Ez alapján már konstruálhatunk próbát változó relevanciájának vizsgálatára: 1 2

3

H0 : βi = 0 Ekkor (azaz ha ez fennáll !) a temp,i =

βbi se b (βbi )

kifejezés n − k

szabadságfokú t-eloszlást követ (nulleloszlás) Számítsuk ki a konkrét temp,i -t a mintánkból és döntsük el, hogy hihető-e, hogy tn−k -ból származik

A hipotézisvizsgálat elvégzéséhez szükséges minden tudnivalót – a nullhipotézisen kívül – összefoglal tehát a következő kifejezés (a későbbiekben is ezt a sémát fogjuk használni hipotézisvizsgálatok megadására): temp,i =


βb i ∼ tn−k . se b βbi Bevezetés az ökonometriába



Példa változó relevanciájának vizsgálatára Az alapterület példáján: hihető-e, hogy a az eloszlásból származik:

0,2964 0,0108

0.5

= 27,43 ebből

t(1398)

0.4

0.3

0.2

0.1

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Jellemzés: kritikus érték, p-érték Ferenci Tamás MSc [email protected]


5



A gretl outputján





Konfidenciaintervallum a paraméterekre Ez alapján könnyen szerkeszthető CI is, 1 − α megbízhatósági szintre: βbi ± t1−α/2 · se b βbi . A gretl-ben (1 − α = 0,95):

Mi az összefüggés a CI és a p-érték között? Ferenci Tamás MSc [email protected]



A többszörös determinációs együttható

Modell jóságának viszonyítási pontjai A modell minősítéséhez kézenfekvő az ESS-t felhasználni Önmagában semmit nem ér, viszonyítani kell ! Két kézenfekvő viszonyítási alap: Tökéletes (v. szaturált, perfekt modell) : minden mintaelemre a pontos értéket becsüli → ubi = 0 ⇒ ESS = 0 Nullmodell : semmilyen külső információt nem használ fel → minden mintaelemet az átlaggal becsül.

Definíció (Teljes négyzetösszeg, TSS) Egy adott regressziós modell teljes négyzetösszegének nevezzük a hozzá tartozó (tehát ugyanazon eredményváltozóra vonatkozó) nullmodell hibanégyzetösszegét: TSS = ESSnull =

n X

Yi − Y

2

.

i=1 Ferenci Tamás MSc [email protected]




Hogyan jellemezzük modellünk jóságát? A minősítést képezzük a „hol járunk az úton?” elven: a tökéletesen rossz modelltől a tökéletesen jó modellig vezető út mekkora részét tettük meg Az út „hossza” TSS (= TSS − 0), amennyit „megtettünk” : TSS − ESS Definíció (Regressziós négyzetösszeg, RSS) Egy adott regressziós modell négyzetösszegének nevezzük a teljes négyzetösszegének és a hibanégyzetösszegének különbségét: RSS = TSS − ESS.





Az új mutató bevezetése

Ezzel az alkalmas modelljellemző mutató: Definíció (Többszörös determinációs együttható, R 2 ) 2 , Egy modell többszörös determinációs együtthatója (jele: RY|X 1 ,...,Xk 2 vagy ha a változók megadása nem fontos, egyszerűen R ):

R2 =

TSS − ESS RSS = . TSS TSS





Az R 2 -ről bővebben Tulajdonság Minden regressziós modellre, amiben van konstans: 0 ≤ R 2 ≤ 1. Hiszen ESS < TSS, ez a definíció alapján nyilvánvaló Ebből adódóan az R 2 egy modell jóságának legszéleskörűbben használt mutatója Értelmezhető %-ként: a magyarázó változók ismerete mennyiben csökkentette az eredményváltozó tippelésekor a bizonytalanságunkat (ahhoz képest, mintha nem ismertünk volna egyetlen magyarázó változót sem) De vigyázat: nagyságának megítélése, változók száma stb. A belőle vont pozitív négyzetgyököt többszörös korrelációs együtthatónak szokás nevezni Ferenci Tamás MSc [email protected]




Az R 2 -ről bővebben Ha van konstans a modellben, akkor érvényes a következő felbontás: n X i=1

Yi − Y

2

=

n X i=1

Yi − Ybi

2

+

n X

Ybi − Y

i=1

(Négyzetek nélkül nyilvánvaló, de négyzetekkel is !) Röviden tehát: TSS = ESS + RSS Összevetve az előző definícióval, kapjuk hogy 2 RSS = Ybi − Y



2



Egy megjegyzés a konstans szerepéről

Az előzőek is motiválják, hogy megállapítsuk : konstanst mindenképp szerepltetünk a regresszióban, ha inszignifikáns, ha nem látszik különösebb értelme stb. akkor is! – csak és kizárólag akkor hagyhatjuk el, ha az a modell tartalmából adódóan elméleti követelmény (erre látni fogunk nemsokára egy példát is, a standardizált regressziót) Ellenkező esetben (ún. konstans nélküli regresszió), a fenti felbontás nem teljesül, így a „hol járunk az úton” elven konstruált R 2 akár negatív is lehet !





Függetlenségvizsgálat

A modellünk lényegesen különbözik-e a nullmodelltől? Tehát: van-e lényeges magyarázó ereje? Formálisan H0 : β2 = β3 = . . . = βk = 0 Ha ez fennáll, szokás azt a megfogalmazást használni, hogy a modell egészében irreleváns (vö. változó irrelevanciája) Az ellenhipotézis nem az, hogy valamennyi változó releváns, hanem hogy van legalább egy, ami releváns !





Függetlenségvizsgálat A próba: RSS/ (k − 1) ∼ Fk−1,n−k ESS/ (n − k) ANOVA-tábla (a gretl-ben): Femp =




Parciális korreláció Standardizált regresszió

A parciális korreláció tartalma Az eddig látott korrelációt mindig két változó között értelmezzük Megjelennek benne a többi változón keresztül terjedő hatások → mit jelent ez megfogalmazás ? Látszólagos korreláció jelensége (pl. félszobák száma és terület között) Ennek algebrai szűrésével (konkrét módszer most nem érdekes) nyerjük a parciális korrelációt Jelölése, pl. ha Y és Xj között számítjuk, minden más magyarázó változó hatását szűrve : corr Y, Xj .X1 , X2 , . . . , Xj−1 , Xj+1 , . . . , Xk Ferenci Tamás MSc [email protected]




A parciális korrelációról

Olyan kontextusban, ahol ezt használjuk, a „hagyományos” korrelációt néha megkülönböztetésül totális korrelációnak nevezzük Egy érdekes összefüggés: v u u corr Y, Xj .X1 , X2 , . . . , Xj−1 , Xj+1 , . . . , Xk = t



tj2 tj2 + (n − k)



A standardizált regresszió logikája Az eddig látott βbi regressziós koefficiensek mértékegység-függőek → mi is történik ha m2 -ről áttérünk a cm2 -re? Szeretnénk ettől megszabadulni : egy lehetőség, ha standardizáljuk az egész adatbázisunkat (eredményváltozót és magyarázó változókat is !) b Ekkor lefuttatva a regressziót, a βei ún. standardizált regressziós koefficienseket nyerjük Érvényes a σXi b βei = βbi · σY összefüggés (azaz a standardizált együtthatók megkapásához nem kell ténylegesen standardizálni az adatbázist) Ferenci Tamás MSc [email protected]




A standardizált regresszió értelme Ezek értelmezése: mint a szokásos regressziós együttható, de szórásnyi változásokat köt össze szórásnyi változóssal A szokásos βbi koefficiensek nem alkalmasak a hozzájuk tartozó változó hatásnagyságának jellemzésére (bár intuitíve nagyon is így tűnhet: „ jó naggyal kell szorozni, akkó’ biztos nagyon hat az eredményváltozóra”) → ld. a mértékegységfüggést b A βei standardizált koefficiensek viszont már (persze csak mint heurisztikus mérőszámok) alkalmasak erre! Még egy érdekes összefüggés (R 2 alternatív számítása): R2 =

n X b βei · corr (Y, Xi ) . i=1



Bevezetés az ökonometriába

Recommend Documents