Bevezetés az integrálásba Horváth Árpád 2002. november 20.
Megjegyzés Ez a jegyzet összefoglalja az integrálszámításnak azokat a legalapvet˝obb fogalmait, amely nélkül az integrálszámítási feladatok megoldása csak képletek manipulációja lenne. Valamint az alapvet˝obb integrálási módszereket. A rövidség kedvéért több esetben hivatkozom a m˝uszaki f˝oiskolák számára készült Kovács-Takács-Takács: Analízis tankönyvre (röviden „a tankönyv”). Ott találhatók az ebben a jegyzetben csak megemlített szabályok, tételek bizonyításai is. Gyakorláshoz nagyon jól használható Bárczy Barnabás: Integrálszámítás cím˝u könyve. Jegyzet feldolgozásához szükséges átismételni az el˝oz˝oleg tárgyalt függvényeket, és a differenciálszámítást. A jegyzet feldolgozása során a bevezet˝o példák kihagyhatóak, vagy a kés˝obbi feldolgozásra halaszthatóak.
1. 1.1.
Bevezet˝o példák A megtett út
Hogyan tudnánk meghatározni a test (autó, elektron) által megtett utat, ha ismerjük minden id˝opillanatban a sebességét? Ha állandó v sebességgel mozog t ideig, akkor egyszer˝uen számíthatjuk az utat: s = v ·t. Más a helyzet, ha a sebesség változik. Például egy autó mozgásakor a következ˝o módon: 0 2 3 4 6 7 t [s] v [ ms ] 10 15 17 19 23 24 Ha ennyi adatot ismerünk, meg tudjuk-e mondani, hogy mekkora utat tett meg az autó? Pontosan nem. De jó közelítéssel megkaphatjuk az els˝o 2s alatt megtett utat, ha a kb. 10 ms · 2s = 20m utat tesz meg, a következ˝o 1s alatt kb 15 ms · 1s = 15m utat . . . A teljes megtett út 0s-tól 7s-ig (≈ jelentése közelít˝oleg egyenl˝o) s ≈ 10 · 2 + 15 · 1 + 17 · 1 + 19 · 2 + 23 · 1 = 113m Változó sebességnél tehát a t id˝otartamot feloszthatjuk kisebb ∆t1 , ∆t2 , ∆t3 , . . . , ∆tn id˝otartamokra, amelyeken a sebesség már nem nagyon változik, és kiszámolhatjuk az ezekhez tartozó részutak közelít˝o értékét: v1 ∆t1 , v2 ∆t2 , v3 ∆t3 , . . . , vn ∆tn , ahol a v1 , v2 , v3 , . . . , vn a megfelel˝o id˝otartamokhoz tartozó sebességek. Nyilván a részutak összegével közelíthetjük a megtett utat: s ≈ v1 ∆t1 + v2 ∆t2 + v3 ∆t3 + . . . + vn ∆tn Röviden:
n
s ≈ ∑ vi ∆ti i=1
(Ejtsd: i= 1-t˝ol n-ig szumma vé íszer delta té í) Majdnem mindegy a ∆ti id˝otartam (id˝ointervallum) melyik pillanatához tartozó sebesség a vi , ha elég kicsi id˝ointervallumokat vettünk ahhoz, hogy azalatt a sebesség ne nagyon változzon. Természetesen mennél pontosabban szeretnék a megtett utat számolni, annál több és annál kisebb részekre kell bontani az egész id˝ointervallumot. A fenti összefüggés csak akkor lesz egyenl˝oség, ha a részintervallumok 1
hossza az egyre több részre bontással nullához tart. (Gondoljuk végig, hogy úgy is oszthatnánk egyre több részre az id˝otartamot, hogy az egyik részintervallum hossza nem változik, a többit osztjuk tovább. Ez nekünk nem jó. Ki kell kötnünk, hogy ne lehessen így. Azaz közülük a legnagyobbnak a hossza is tartson nullához.) Tehát a pontos útképlet: n
∑ vi ∆ti , n→∞
s = lim
i=1
feltéve, hogy a részintervallumok hossza nullához tart. Ezt fogjuk röviden a következ˝o két módon jelölni: s=
Zt
v(t) dt =
0
Zt
v dt.
0
(Ejtsd: ess egyenl˝o integrál nullától téig vé té dé té. A nulla jelöli a kezd˝oid˝opontot. Az integrál jele egy elnyújtott S (szumma).) Vegyük észre, hogy ha az id˝o függvényében ábrázoljuk a sebesség nagyságát, és függ˝oleges vonalakkal a grafikon alatti területet kis szeletekre vágjuk, akkor a vi · ∆ti szorzatok a grafikon egy-egy szeletének a területét közelítik (1. ábra), a szorzatok összege pedig az egész grafikon alatti területet. Mennél kisebb ∆ti szakaszokat veszünk annál jobb közelítését kapjuk a területnek. t 6
t 7→ v(t)
vi
-v
∆ti
1. ábra. Egy szelet területének közelítése Kés˝obb látjuk majd, ha a sebesség az id˝o függvényében egy képlettel adható meg, akkor általában sokkal egyszer˝ubb módon számolhatunk.
1.2.
A munka (Kiegészít˝o anyag)
Hasonló a helyzet a munka fogalmával. Hogyha a testre ható F¯ er˝ovektor állandó és a test egyenesen mozdul el A pontból B pontba, akkor WAB = Fs · s, ahol s az elmozdulás nagysága és Fs az er˝ovektor elmozdulás irányú vetülete. Egyenes vonalú elmozdulás esetén Fs állandó. Ha azonban Fs változik, akkor kis szakaszokra bonthatjuk a megtett utat. Ez két szempontból lesz jó. El˝oször is ezeken a szakaszokon az Fs már nem nagyon változik, valamint ezek a szakaszok már közel egyenes szakaszok. Így egy elég kicsi ∆si elmozdulás esetén közelíthetjük a munkát az Fsi · ∆si képlettel, a teljes munkát pedig közelíthetjük ezek összegével: n
WAB ≈
∑ Fs ∆si i
i=1
Ebb˝ol kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve: n
Fs ∆si , n→∞ ∑
WAB = lim
i
i=1
WAB =
Zs
Fs ds.
0
Ebben az esetben is értelmezhetjük az integrált grafikon alatti területként. Melyik függvény grafikonja alatti területr˝ol van itt szó? (Mi van a két tengelyen?)
2
y 6
y = f (x)
Rb
f (x) dx
a
a
b
-
x
2. ábra. A Riemann-integrál a grafikon alatti el˝ojeles terület
1.3.
A potenciál (Kiegészít˝o anyag)
Emlékeztet˝o: Elektromos mez˝oben egy q próbatöltést mozgatunk A pontból B-be. A potenciálkülönbség definíciója UAB = WqAB F (Ez független attól milyen úton jutok oda.) A térer˝osség definíciója E = (Független a q töltés nagyságától). q Könnyen levezethet˝o a fenti összefüggésekb˝ol: hogyha az E¯ térer˝osségvektor állandó és egyenesen mozdulok el A pontból B pontba, akkor UAB = Es · s, ahol s az elmozdulás nagysága és Es a térer˝osségvektor elmozdulás irányú vetülete. Ekkor Es állandó. Ha azonban Es változik, akkor a munkához hasonló módon kaphatjuk a közelít˝o összeget: n
UAB ≈
∑ Es ∆si i
i=1
Ebb˝ol kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve: n
Es ∆si , n→∞ ∑
UAB = lim
i
UAB =
i=1
2.
Zs
Es ds.
0
A Riemann-integrál
2.1. A Riemann-integrál fogalma ˝ R IEMANN (1826-1866) vezette be a függvénygörbe alatti terület els˝o precíz definícióját. Oróla nevezzük ezt Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott integrál megnevezést. Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az f (x) függvény és az [a, b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsóhatárának, a b-t az integrál fels˝o határának nevezzük. (Lásd 2.ábra) Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot n részre az Fn = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } ponthalmazzal, ahol a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Ezt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük. Az így keletkez˝o intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Jele: dn (A továbbiakban az 3. ábrán érdemes követni az itt leírtakat.) Mindegyik [xi−1 , xi ] részintervallumból válasszunk ki tetsz˝olegesen egy ξi ∈ [xi−1 , xi ] elemet. Végiggondolható, hogy a 3. ábrán szerepl˝o három téglalap magasságai rendre f (ξ1 ), f (ξ2 ), f (ξ3 ), szélességeik: x1 − x0 , x2 − x1 , x3 −x2 . Így például az els˝o területe: f (ξ1 )(x1 −x0 ). A téglalapok f (ξ1 )(x1 −x0 )+ f (ξ2 )(x2 −x1 )+ f (ξ3 )(x3 −x2 ) = 3
∑ f (ξi )(xi − xi−1 ) területösszege „közel van” a keresett területhez.
i=1
n
A σn = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = ∑ f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1
képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelít˝o összegének nevezzük. Ezt a ∆x1 = (x1 − x0 ), ∆x2 = (x2 − x1 ), . . . , ∆xn = (xn − xn−1 ) jelölésekkel n
σn = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ2 )∆x2 + · · · + f (ξn )∆xn = ∑ f (ξi )∆xi i=1
3
y 6
y = f (x)
a = x0 ξ 1
x1
ξ2
-x ξ3 b = x3
x2
3. ábra. Integrálközelít˝o összeg n=3 esetre alakba is átírhatjuk. A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat: F1 , F2 , F3 , F4 , . . . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha a felosztások finomságainak d1 , d2 , . . . sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük. Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelít˝o összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele:
Rb
Rb
f (x) dx vagy röviden:
a
f.
a
A definíció szerint n
lim
n→∞
∑ f (ξi )∆xi =
i=1
Zb
f (x) dx,
a
a dn tart nullához feltétel mellett. Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható.
2.2.
Az alsó- és a fels˝o integrálközelít˝o összeg
Ha a σn összegben az f (ξi ) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli fels˝o határát írjuk akkor a fels˝o integrálközelít˝o összeghez jutunk: n
sn = ∑ Mi (xi − xi−1 ) i=1
ahol Mi a függvény fels˝o határa az [xi−1 , xi ] intervallumon. Hasonló az alsó integrálközelít˝o összeg definíciója is: n
Sn = ∑ mi (xi − xi−1 ), i=1
ahol mi az függvény alsó határa az [xi−1 , xi ] intervallumon. (Függvény alsó és fels˝o korlátját ill. alsó és fels˝o határát lásd a tankönyv 50. oldalán.) Amennyiben létezik az
Rb a
f integrál, akkor sn ≤
Rb a
f ≤ Sn . Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani
”.
2.3.
A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula
Az I (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitívfüggvényének nevezzük az F függvényt, ha F 0 (x) = f (x) teljesül bármely x ∈ I esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.) Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x) + C is az. (Mivel C egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitívfüggvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.
4
y 6 Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans el˝ojelét˝ol függ˝oen felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.
x
Példa: Az f (x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a − cos x függvény, hiszen (− cos x)0 = sin x, de a − cos x + 5 függvény is primitívfüggvény. Általánosan a − cos x +C alakú függvények primitívfüggvényei a sin x függvénynek. Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következ˝oképpen számolható: Newton–Leibnitz-formula:
Rb a
h ib f (x) dx = F(x) a
h ib Ahol az F(x) függvény az f (x) függvény primitívfüggvénye, a F(x) pedig egy új jelölés az F(b) − F(a) kifea jezésre. Példa: 3π Z2 h i 3π 3π 2 sin x dx = − cos x = − cos − (− cos π) = 0 − 1 = −1 2 π π
o részét. Vajon Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a π, 3π 2 intervallumba es˝ miért lesz az integrál értéke negatív?
3.
A határozatlan integrál
Láthatjuk, hogy a primitívfüggvény segítségével elég könnyen meghatározható a határozott integrál. Ennek meghatározása viszont sokszor nagyon nehéz. A feladat megoldásához hasznos fogalom a határozatlan integrál.
3.1. A határozatlan integrál fogalma Az f (x) függvény primitívfüggvényeinek összességét nevezzük az f függvény határozatlan integráljának. R Jele: f (x) dx Az integrálandó függvényt (itt f (x)-et) integrandusnak nevezzük. Példa: Az f (x) legyen a sin x függvény. Ennek egy primitív függvénye a − cos x függvény, tehát Z
sin x dx = − cos x +C.
(Itt a sin x az integrandus.)
3.2. Az integrálás szabályai és az alapintegrálok Az integrálás szabályai a tankönyv 202. oldalán található tételekben szerepelnek. A továbbiakban használni fogjuk a tankönyv 201. oldalán szerepl˝o integráltáblázatot. Gyakorlásképpen elleno˝ rizhetjük annak helyességét. R n+1 Példa: A táblázat szerint xn dx = xn+1 +C. Valóban, hiszen a jobboldal deriváltja
xn+1 +C n+1
0
=
1 n+1 x n+1
0
=
Mivel C deriváltja 0, sosem kell vele ellen˝orzéskor foglalkozni. 5
1 (n + 1)xn = xn . n+1
3.3.
Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához
Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az együtthatókat. Példa: Mivel lesz egyenl˝o Z 4ex π 4 sin x + − dx? 3 4x Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az els˝o együtthatója 4, a másodiké 43 , a harmadiké − π4 . Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik: Z
4 sin x +
4ex π − dx = 4 3 4x
Z
sin x dx +
4 3
Z
ex dx −
π 4
Z
1 4ex π dx = −4 cos x + − ln x +C x 3 4
A közbens˝o lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van.
3.4.
A táblázatban nem szerepl˝o függvények integrálása
A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel „egyszer˝u” alakban. Például a R sin x dx is csak végtelen sok tagú összegként (végtelen sorként) írható fel.) 3.4.1.
Az integrandus f (ax + b) alakú
Ilyenkor egy primitív függvény az
F(ax+b) a
Bizonyítás. Az F(ax + b) függvény összetett függvény, deriváltja F 0 (ax + b) · a = f (ax + b) · a, 0 tehát F(ax+b) = f (ax + b) a Példa: Z
3.4.2.
7 sin(3x − 2) dx = −
7cos(3x − 2) +C 3
Az integrandus f n (x) f 0 (x) alakú
Szabály:
n+1 R n f (x) f 0 (x) dx = f n+1(x) +C (n 6= −1)
(Igazoljuk az állítást!) Mi a baj az n = −1 esettel? 3.4.3.
Az integrandus
Szabály: 3.4.4.
R f 0 (x) f (x)
f 0 (x) f (x)
alakú
dx = ln | f (x)| +C
Az integrandus f (g(x))g0 (x) alakú
Szabály:
R
f (g(x))g0 (x) dx = F(g(x)) +C
Bizonyítás. A jobboldali összetett függvény deriváltja F 0 (g(x))g0 (x) = f (g(x))g0 (x).
6
Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a bels˝o függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk. Példa: Z sin(ln x) dx =? x Megoldás: Összetett függvények esetén ellen˝oriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a bels˝o függvény deriváltja. Itt az integrandus írható sin(ln x) 1x alakban. Az ln x függvény deriváltja az 1x függvény, így Z
3.4.5.
sin(ln x) dx = − cos(ln x) +C x
Parciális integrálás
Az f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) azonosság alapján sok esetben egyszer˝ubb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak. (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.) Úgy érdemes megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vessz˝os bet˝uvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a sin x, cos x, ex vagy ax függvények egyike.) A másik integrálban a másik függvényen van a vessz˝o. Példa: Z 5x sin x dx =? 4 R
R
Az 45 -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az x 7→ sin x függvény primitívfüggvénye egyszer˝u, az x 7→ x függvénynek, pedig a deriváltja egyszer˝u, ezért f (x) = x és g0 (x) = sin x jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor f 0 (x) = 1 és g(x) = − cos x, tehát: Z
5x sin x 5x cos x 5 dx = − − 4 4 4
Z
cos x dx
Ez még nem végeredmény, de az itt szerepl˝o integrálást már könnyen elvégezhetjük. Néhány jellemz˝o eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk f xn xn xn xn
3.5.
g0 ex ax sin x cos x
Ezekben az esetekben az egymást követ˝o integrálokban az x egyre kisebb kitev˝ovel fog szerepelni.
f sin x sin x ex ax
g0 ex ax cos x cos x
Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban f , g0 -vel. Kétszer alkalmazva a parciális integrálást megkapjuk az eredményt.
Racionális törtfüggvények integrálása
Általában az an xn + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 alakban írható függvényeket polinomoknak nevezzük. Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben.) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényez˝os alakban is felírható. Ennek általános alakja: an (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ), ahol an a legnagyobb kitev˝oj˝u tag együtthatója, x1 , x2 , . . . , xn pedig a polinom gyökei. Az n gyök nem feltétlenül különböz˝o. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei. Ha S különböz˝o gyök van, a gyöktényez˝os alak felírható an (x − x1 )l1 (x − x2 )l2 . . . (x − xS )lS alakban is. Például az 2x4 − 2x3 − 12x2 polinom átalakítható kiemeléssel 2x2 (x2 − x − 6) alakra. A zárójelben lev˝o másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: −3 és 2; így ez gyöktényez˝os alakba írva: (x + 3)(x − 2). Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk gyöktényez˝os alakba: 2x4 − 2x3 − 12x2 = 2x2 (x + 3)(x − 2) = 2(x − 0)2 (x + 3)(x − 2). 7
(Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van, S = 3 különböz˝o gyöke.) Az utolsó alakot csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban gyöktényez˝os alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök. A −3 és a +2 egyszeres gyökök. Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként el˝oállítható függvényeket. Például a x2 + x − 2 x4 + 14x3 + 76x2 + 162x + 135
=
(x − 1)(x + 2) (x − 5)(x + 3)3
törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevez˝oje egy harmadfokú függvény. nevez˝o gyökei 5 és −3. A −3 háromszoros az 5 egyszeres gyök, mert az x + 3 tényez˝o harmadik hatványon van, az x − 5 tényez˝o els˝o hatványon. Az integrálás elvégzéséhez a függvényt el˝oször parciális törtekre kell bontanunk. 3.5.1. Parciális törtekre bontás A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevez˝oje gyöktényez˝okre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevez˝oé. Bebizonyítható, hogy a bk xk + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 an (x − x1 )l1 (x − x2 )l2 . . . (x − xS )lS tört ilyenkor mindig átírható A1l1 A11 A12 + +... + (x − x1 ) (x − x1 )2 (x − x1 )l1 A2l2 A21 A22 + + +... +...+ (x − x2 ) (x − x2 )2 (x − x2 )l2 ASlS AS1 AS2 + + +... 2 (x − xS ) (x − xS ) (x − xS )lS alakra, ahol az Ai j valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek. Ez a képlet els˝ore elég félelmetesnek t˝unhet. Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez általában egyszer˝ubb. 3x2 − 17x + 16 3x2 − 17x + 16 Az Ai j valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A 3 átalakítható x − 8x2 + 16x x(x − 4)2 alakra. A fenti állítás szerint ez felírható A B C + + x (x − 4) (x − 4)2 alakban. Példákban az egyszer˝uség kedvéért nem az Ai j jelöléseket szoktuk használni. Végezzük el a közös nevez˝ore hozást. Ekkor a nevez˝oben A(x − 4)2 + Bx(x − 4) + Cx = Ax2 − 8Ax + 16A + 2 Bx − 4Bx + Cx = (A + B)x2 + (−8A − 4B + C)x + 16A kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevez˝ojével. Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitev˝oj˝u tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következ˝o egyenletrendszert kapjuk: A+B = 3 −8A − 4B +C = −17 16A = 16 Ebb˝ol A, B és C értéke meghatározható: A = 1 B = 2 C = −1. Tehát az eredeti tört az
1 2 1 + − x (x − 4) (x − 4)2
alakba írható át. 8
3.5.2. A parciális törtek integrálása Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevez˝oje vagy x − xi vagy (x − xi )n alakú (n > 1). Mindegyik esetre konkrét példát mutatunk. 2 dx = 2 · ln |x − 4| +C (x − 4)
Z Z
3 dx = 3 (x − 4)6
Z
(x − 4)−6 dx = −
3 +C 5(x − 4)5
ectionVegyes feladatok integrálszámításra
3.6.
Határozott integrál el˝ojele
A határozott integrál szemléletes jelentése – mint láttuk – a függvénygrafikon alatti (el˝ojeles) terület (4. ábra). y 6 + x
–
4. ábra. A függvény területe itt a grafikon feletti, illetve grafikon alatti területrész el˝ojeles összege Példa: Számoljuk ki az a kapott értéket! Megoldás:
R 2π 0
sin x dx értéket! A sinus függvény grafikonjának segítségével magyarázzuk meg
Z2π 0
2π sin x dx = − cos x 0 = 0
Ugyanakkora terület esik az x tengely alá, mint fölé, így el˝ojeles területösszegük nulla. Példa: Állapítsuk meg a grafikonjukról, milyen el˝ojel˝uek lesznek a következ˝o integrálok! Próbáljuk megbecsülni az értéküket a grafikon alapján, majd számoljuk ki! Z10 1
1
1 dx =?, x
Z− 4 −3
1 dx =? x
A számértékek meghatározása 4 értékes jegy pontossággal: Z10
h i10 1 dx = ln |x| = ln 10 − ln 1 ≈ 2, 303 x 1
1
Illetve:
1
Z− 4 −3
h i− 1 1 4 dx = ln |x| ≈ −1, 386 − 1, 099 = −2, 485 x −3
9
4. A négyzetes közép 4.1.
A négyzetes közép fogalma
Egy f (x) periodikus függvény négyzetes közepén azt a k számot értjük, melyre teljesül: ZT
2
f (x) dx =
0
ZT
k2 dx.
0
T a periódus hosszát jelöli. Következmény: Mivel a jobboldal értéke k2 T , ezért k =
4.1.1.
s
1 T
RT
f 2 (x) dx
0
Néhány szükséges összefüggés
Két szükséges összefüggés középiskolából: sin2 x + cos2 x = 1,
cos 2x = cos2 x − sin2 x.
Igazoljuk a következ˝o két összefüggést. sin2 x =
1 − cos 2x , 2
cos2 x =
1 + cos 2x . 2
(Az egyenlet jobboldalából kiindulva megkapható a baloldal.)
4.2.
A sin2 x és a cos2 x függvény négyzetes közepe
A fenti két egyenlet ismeretében integráljuk az f (x) = sin2 x függvény négyzetes közepét. (A függvény periódusa π) π π Rπ 2 Rπ Rπ Rπ 2x sin x dx = 1−cos dx = 12 dx − 12 cos 2x dx = 12 x 0 − sin42x 0 = π2 − 0. 2 0
0
0
0
Ebb˝ol a négyzetes középre vonatkozó összefüggés alapján: v u π r u Z 1 u1 2 k=t sin x dx = π 2 0
1 k= √ 2 A váltóáram esetén a feszültség az u(t) = Uˆ sin ωt függvény szerint változik az id˝o függvényében. Levezethet˝o, hogy a teljesítmény a feszültség négyzetével arányos, így az effektív feszültség (azaz annak az egyenfeszültségnek ˆ az értéke, melynek ugyanakkora a teljesítménye, mint az u(t) váltakozó feszültségé, Ue f f ), a csúcsfeszültség (U) Uˆ 2π √ négyzetes közepe. (A periódus(id˝o) itt ω .) Igazoljuk a váltóáramra ismert Ue f f = 2 összefüggést. (Vigyázzunk, most a változó t, így az integrál végére is dt-t kell írni.)
Tartalomjegyzék 1. Bevezet˝o példák 1.1. A megtett út . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A munka (Kiegészít˝o anyag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. A potenciál (Kiegészít˝o anyag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1 1 2 3
2. A Riemann-integrál 2.1. A Riemann-integrál fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az alsó- és a fels˝o integrálközelít˝o összeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4 4
3. A határozatlan integrál 3.1. A határozatlan integrál fogalma . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Az integrálás szabályai és az alapintegrálok . . . . . . . . 3.3. Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához 3.4. A táblázatban nem szerepl˝o függvények integrálása . . . 3.4.1. Az integrandus f (ax + b) alakú . . . . . . . . . . 3.4.2. Az integrandus f n (x) f 0 (x) alakú . . . . . . . . . 0 (x) alakú . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Az integrandus ff (x) 3.4.4. Az integrandus f (g(x))g0 (x) alakú . . . . . . . . 3.4.5. Parciális integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Racionális törtfüggvények integrálása . . . . . . . . . . . 3.5.1. Parciális törtekre bontás . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. A parciális törtek integrálása . . . . . . . . . . . . 3.6. Határozott integrál el˝ojele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 8 9 9
4. A négyzetes közép 4.1. A négyzetes közép fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Néhány szükséges összefüggés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A sin2 x és a cos2 x függvény négyzetes közepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 10 10 10
11
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
