Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet
Kontinuumok mechanikája
Lázár Zsolt, Lázár József
Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011
TARTALOMJEGYZÉK
0.1.
Kontinuumok mechanikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1.
6
. . . . . .
7
0.2.
Deformálható testek kinematikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
0.3.
Mérlegegyenletek. A kontinuitás törvénye
11
0.4.
A deformálható testek geometriája. A deformációtenzor
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1.
Általános mérlegegyenlet skalár mennyiség esetén . . . . . . . . . .
12
0.3.2.
Általános mérlegegyenlet vektoriális mennyiség esetén
. . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
A deformálható testek dinamikája 0.4.1.
Deformációk termodinamikája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
0.4.2.
A Hooke-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1. Rugalmasságtan
19
1.1.
A Hooke-törvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Homogén feszültségek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 20
1.3.
A nyírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4.
Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5.
Csavart rúd, nyíróhullámok
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.6.
A hajlítás
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7.
Elméleti rugalmasságtan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7.1.
Homogén deformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7.2.
Izotrop testek egyensúlyi egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.7.3.
Rugalmas hullámok izotrop közegben . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.7.4.
Kristályok rugalmas tulajdonságai
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.7.5.
Rugalmas hullámok kristályokban
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6
TARTALOMJEGYZÉK
0.1.
Kontinuumok mechaniká ja
Nagyon sok részecskéb®l álló rendszerekben, ha a rendszert és dinamikáját jellemz® térbeli méretekhez képest az alkotórészek közötti távolságok elhanyagolhatók, akkor a rendszert
folytonos közegnek
tekintjük, azaz olyannak, mely kitölti a tér egy részét.
Ennek legegyszer¶bb esetével találkoztunk a merev testek tárgyalásánál, mikoris ezt úgy tekintettük, hogy a közeget alkotó részecskék relatív mozgása a test egésszének mozgásához képest elhanyagolhatók. Ugyanakkor a rendszert összetartó potenciális energiában a csekély relatív mozgások miatt fellép® változás is elhanyagolható a tömegközéppontra vonatkoztatott haladási illetve forgási energiákhoz képest. Egy ilyen testet egy hat szabadsági fokú rendszerként modelleztünk. Amennyiben a közeg
deformálható,
a küls® er®k hatására alakot változtat olyan
mértékben, hogy úgy geometriailag mint energetikailag szerepet kap az alkotórészek egymáshoz képesti elmozdulása. A deformálható testeket két csoportba oszthatjuk:
rugalmas: olyanok, melyek a küls® er®hatás megsz¶nte után visszanyerik eredeti alakjukat, például radírgumi, m¶anyag vonalzó, acélrugó.
rugalmatlan: olyanok, melyek maradandó alakváltozást szenvednek, mint például a gyurma, viasz.
A rugalmas állapotváltozás jellemz® a gáz és folyékony halmazállapotú közegekre. Ezekre a közös
uidum nevet is használjuk. A uidumok alakváltozásuk szempontjából lehetnek: összenyomhatók,
mikoris a küls® er®hatás változása térfogatváltozást idéz el® -
els®sorban a gázok, illetve
összenyomhatatlanok,
mely esetben a uidum az alakváltozás során megtartja
térfogatát - els®sorban a folyadékok. Természetesen a fenti osztályozás már egy modellezési folyamat eredménye. A valós testek a körülmények függvényében több osztályba is bekerülhetnek. A rugalmasnak tekintett anyag is rugalmatlan alakváltozáson mehet keresztül, ha az alakváltozás nagymérték¶, például egy er®sen megnyújtott rúgó vagy gumi. A merev test is addig merev míg nincs kitéve olyan igénybevételnek, melyek az anyagot alkotó atomok szintjén összemérhet® az azok közötti kölcsönhatással. A talaj például a tektonikus mozgás során egy nagyon nagy tér és id®skálán folyadékhoz hasonlóan viselkedik. Egy gáz addig összenyomhatatlannak tekinthet®, amíg a dinamika jellemz® tér és id®skáláin a nyomásban észlelt változások sokkal kisebbek mint a gáz nyomása. A légzésünk modellezésekor a leveg®t összenyomhatatlan tekinthetjük. Ezt viszont nem tehetjük meg mikor a légköri jelenségeket tanulmányozzuk. Hasonlóképpen a víz a gyakorlati esetek többségében összenyomhatatlannak tekinthet®. Viszont a mélyebb oceánfenék közelében a térfogatváltozás már számottev®. Szemben a merev testekkel a deformálható közeg esetén a szabadsági fokok száma is nagyon megn®. Normális körülmények között - szobah®mérsékleten, tengerszinti nyomáson - egy cm
3
leveg®ben 10
19
, ugyanakkora térfogatú vízben 10
22
molekula található.
Ekkora szabadsági fokkal rendelkez® rendszer minden egyes szabadsági fokát nem tudjuk és nem is akarjuk leírni, mivel a túl sok információ nem segít a jelenség megértésében. A számunkra érdekes zika elválasztható az érdektelent®l a megfelel® tér, id® és energiaskálák azonosítása révén. Az atomi szintet szilárdtest esetén angströmnyi (10
−10
), gáz
0.1.
7
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
esetén átlagos szabad úthossznyi (10
−7
) távolságok jellemzik. Id®ben pedig a
sodperc is hosszúnak számít. Ezt a szintet
mikroszkópikusnak
10−10
má-
nevezzük. Ezzel szemben
a deformálható testek mechanikája az atomi szintet sok nagyságrenddel meghaladó - ún.
makroszkópikus - skálán végbemen® folyamatokkal foglalkozik. Ez a skála a milliméter és másodperc töredékét®l egészen a kozmikus távolságokig és id®tartamokig nyúlik. A pontrendszerek mechanikájában láttuk, hogy a mechanika alapelvei függetlenek a tér- és id®skálától. Ugyanakkor ezen rendszerek viselkedésével kapcsolatban hasznos adatokkal szolgálnak a rendszer egésszére vonatkoztatott helyzet - a pontrendszer tömegközéppontja - és az impulzus, energia, impulzusnyomaték. Láttuk, hogy az utóbbi három, bizonyos feltételek mellett, megmaradó mennyiség és a tömeghez hasonlóan additívak. Ez azt jelenti, hogy a makroszkópikus megfelel®jük is értelmezhet® és ezeket
extenzív mennyiségeknek nevezzük 1 .
Ezeket teljes általánossággal értelmezni tudjuk egy tetsz®leges térbeli tartomány esetén mégpedig úgy, mint az illet® tartományban található részecskékhez rendelt megfelel® additív mennyiségek összegét. Ha a térbeli tartomány jóval kisebb mint a minket érdekl® jelenségben megjelen® bármely hosszúság - például hullámhossz vagy görbületi sugár akkor a tartományban alakja nem számít és az illet® extenzív mennyiség arányos lesz a tartomány térfogatával. Tekintsük a deformálható közeg egy, makroszkópikus skálán kicsinek számító, tartományát. Legyen ennek térfogata
∆V
és jellemezzük helyzetét az
r-el
jelölt tömegközép-
pontjával. A tartományban található nagy számú mikroszkópikus részecske teljes tömegét jelöljük
∆m-el.
2 Ha ezt a kicsi de makroszkópikus térfogatot matematikailag
azaz tetsz®legesen kicsinek tekintjük, akkor a
ρ(r, t) = lim
∆V →0
tömegs¶r¶ségnek nevezett
eleminek,
dm ∆m = . ∆V dV
határérték csak a tartomány helyzetét®l illetve az id®t®l függ, független a tartomány méretét®l és alakjától. Hasonlóképpen értelmezhetjük a
π(r, t)
impulzus-, illetve
e(r, t)
energias¶r¶ségeket. Az elemi tartományban található valamely részecske mozgása a tartomány tömegközéppontjának illetve a részecskének a tömegközépponthoz viszonyított mozgásából tev®dik össze. Miképpen a pontrendszerek mechanikájánál láttuk, a teljes energia a tömegközépponti mozgásból származó energia illetve a bels® energia összege. Az utóbbi s¶r¶ségét
(r, t)-vel
jelölve megállapíthatjuk, hogy
e=
ρv2 + . 2
.
0.1.1.
A deformálható testek geometriája. A deformációtenzor
Küls® er®k hatására a közeg deformálódik, azaz változtatjak alakját és térfogatát. Makroszkópikus szinten a közeg elmozdulása az elemi tartományok tömegközéppontjainak helyzetváltozásával jellemezhet®.A test egy
1 Az
A pontjának helyzetét az r = (x1 , x2 , x3 )
extenzív és intenzív mennyiségek termodinamikai fogalmak. Az el®bbi olyan mennyiséget jelöl, melyre fennáll, hogy két azonos rendszer egyesítése réven az illet® mennyiségek összeadódnak. Az intenzív mennyiségek pedig megegyezik az eredeti két rendszer megfelel® értékeivel. 2 Mikroszkópikus id®skálán a tömeg értéke uktuál, viszont makroszkópikus szinten ezt helyettesítjük az id®beli átlagával.
8
TARTALOMJEGYZÉK
helyzetvektorral adjuk meg. A deformáció során az adott pont elmozdul az
r0 = r + u(r) u vektort deformációvektornak (elmozdulásvektornak) nevezzük. A deformár ponthoz tetsz®legesen közeli r + dr helyzet¶ B u(r + dr) elmozdulást szenved, így a deformációt követ®en a két pont helyzete a
pontba. Az
cióteret folytonosnak tekintjük ezért az pont
dr0 = dr + du
(1)
elemi vektorban különbözik egymástól. Az elmozdulásvektor teljes dierenciája indexes felírásban
dui =
∂ui dxj . ∂xj
1. ábra. Deformáció geometriája. Deformációról akkor beszélünk, ha a két pont közötti távolság változik. Az elemi távolság négyzete
dl2 = dr · dr = dx21 + dx22 + dx23 = dxi dxi .
A (1) egyenlet mindkét oldalát négyzetre
emelve a a deformáció el®tt és után mért elemi távolságok közötti összefüggés:
dl02 = dl2 + 2du · dr + du · du ∂ui ∂uk ∂uk = dl2 + 2 dxj dxi + dxi dxj = ∂xj ∂xi ∂xj ∂ui ∂uj ∂uk ∂uk = dl2 + + + dxi dxj = ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj = dl2 + 2uij dxi dxj , ahol az utolsó lépésben a
∂ui /∂xj
tenzort annak szimmetrikus összetev®jével helyettesí-
tettük. Ez azért lehetséges, mivel a szorzatban megjelen®
dxi dxj
is a két index felcseré-
0.1.
9
KONTINUUMOK MECHANIKÁJA
lésével szemben egy szimmetrikus kifejezés. . Az így kapott
1 uij = 2 szimmetrikus tenzort
∂ui ∂uj ∂uk ∂uk + + ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj
,
i = 1, 2, 3
(2)
deformációtenzornak nevezzük. Ez a deformáció mértékét jellemzi
a tér és az id® egy adott pontjában. Amennyiben egy adott
r
pontban és
t
pillanatban
a tenzor mind a kilenc eleme nulla, következik, hogy az illet® pont közvetlen közelében, lokálisan, nem lépett fel deformáció. Kis deformációk esetén
∂ui ∂xj 1 ,
és a (2) kifejezésében a harmadik tag elhanyagolható. A deformálható testek leglényegesebb tulajdonságai leírhatók ebben a határesetben is, ezért a deformációtenzor a következ®kben használt alakja:
1 uij = 2
∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi
,
i = 1, 2, 3
(3)
Ellen®rizhetjük, hogy a merevtestre jellemz® távolságtartó transzformációknak, eltolásnak és forgatásnak, megfelel® deformációmez®k deformációtenzora elt¶nik. Eltolás esetén az
u(r) =állandó homogén deformációmez® összes deriváltja nulla. Egy n irányú tengely δϕ forgatás esetén pedig ui = (r × nδϕ)i = εilm xl nm δϕ, és
körüli elemi
∂ui ∂uj = εilm δlj nm δϕ = εijm nm δϕ = −εjim nm δϕ = − . ∂xj ∂xi Mivel a tenzor szimmetrikus, minden pontban f®tengelyre transzformálható, ami-
u11 , u22 , u33 elemei kivételével mind nullák. Ebben a ko∂ui /∂uj = 0, ha i 6= j , azaz a deformációvektor egyes összetev®i irányban változnak - ux az x irányban, uy az y irányban, stb. Ennek
koris a tenzor diagonális, azaz ordinátarendszerben csak a megfelel®
gyelembevételével (1) indexes felírásban:
dx0i = dxi +
∂ui dxi = (1 + uii )dxi , ∂xi
ahol nem alkalmaztuk az összegzési konvenciót. Innen az egyes irányokban történ® relatív megnyúlás
Ha a
dx1 , dx2
dx0i − dxi = uii . dxi és
dx3
három különálló, a koordinátarendszer tengelyeivel párhuza-
mos, elemi helyzetkülönbség vektor nem elt¶n® összetev®i
(0, dx2 , 0), dr3 = (0, 0, dx3 ) akkor ezek vegyes szorzata dV = dx1 dx2 dx3 elemi térfogatot. A deformációt követ®en
dr1 = (dx1 , 0, 0), dr2 =
megadja a deformáció el®tti
dV 0 = dx01 dx02 dx03 = dV (1 + u11 )(1 + u22 )(1 + u33 ) = dV (1 + u11 + u22 + u33 ) + O(u2 ) . A jobboldalon, a deformációtenzor elemeiben egynél magasabb fokú tagokat elhagyva az elemi térfogat relatív változása
dV 0 − dV = uii , dV
(4)
10
TARTALOMJEGYZÉK
ahol az összegzési konvenciót alkalmaztuk. (4) jelent®ségét az a tény adja, hogy a deformációtenzor nyoma (átlós elemeinek összege) egy invariáns mennyiség. Bár az összefüggéshez egy sajátos koordinátarendszer feltétele mellett jutottunk el, érvényessége kiterjeszthet® tetsz®leges koordinátarendszerre. (4) alapján a deformáció során bekövetkez® térfogatváltozást az meg. Ha ez az összeg elt¶nik akkor a térfogat állandó marad, ilyenkor
uii
összeg határozza
nyírásról beszélünk.
Az ellentétes eset, hogy a deformáció csak térfogaváltozással jár, az alak nem változik. Ilyenkor a test bármely térfogateleme önmagával hasonló marad, azaz alakú. Az ilyen deformációt
uij =állandó·δij
egyenletes összenyomásnak nevezzük. Egy tetsz®leges defor-
mációt mindig el®állíthatunk egy tiszta nyírás és egy egyenletes összenyomás összegeként. Ehhez elég az alábbi azonosság felhasználása :
uij =
1 uij − δij ull 3
1 + δij ull . 3
Az els® tag tiszta nyírást ír le, mivel átlója elt¶nik, a második pedig egyenletes összenyomásnak felel meg.
0.2.
Deformálható testek kinematiká ja
A korábban tanulmányozott geometriai változások véges id® alatt zajlanak. A
r
tömegközéppontú elemi cellában található anyag
v(r, t) =
∂u(r, t) ∂t
3
sebességgel halad . A közeget jellemz® zikai mennyiségek is tért®l és id®t®l függ® mez®k. Ezek változását két féle megközelítésben tanulmányozhatjuk. Vegyünk egy adott a
dϕ =
ϕ(r, t)
mez®t és annak
∂ϕ ∂ϕ dt + dr ∂t ∂r
teljes dierenciálját. Az ún.
Euler-i leírásmód szerint az elemi cellát rögzítettnek tekintem térben (dr), és
az illet® cellába be- illetve kiáramlik az anyag és vele együtt a különböz® zikai mennyiségek is.
dt
id® alatt a változás
dϕ =
∂ϕ dt , ∂t
tehát
dϕ ∂ϕ = . dt ∂t
Megtehetjük, hogy a geometriai elemi cellát az anyaghoz kötjük, és az anyaggal együtt mozgónak tekintjük. Ebben a
Lagrange-i leírásmódnak ismert közelítésben az elemi
cellában az anyagmennyiség (tömeg) állandó. Az anyag pályájának folytonossága miatt a
3 Jogosan tev®dik fel a kérdés, hogy miképpen egyeztethet® össze a sebesség fenti hely és id®függése a megszokott v = dr/dt meghatározással? Az utóbbiban r vektor az anyaghoz kötött geometriai pont helyzetére vonatkozik. A v(r, t) függvényben megjelen® helyparaméterek az elemi tartomány azonosítását szolgálja és mint ilyen a pontrendszereknél használt részecskeindexnek felel meg. Ezek a paraméterek egymástól és a közeg állapotától függetlenek és tetsz®leges értéket vehetnek fel a térben. Mint ilyen a két esetben megjelen® helyzetvektornak semmi köze egymáshoz.
0.3.
11
MÉRLEGEGYENLETEK. A KONTINUITÁS TÖRVÉNYE
különböz® id®- és térpontok nem függetlenek egymástól. Az elemi elmozdulás és id®hossz között a
dr = vdt
összefüggés teremt kapcsolatot és a mozgó pontot jellemz®
változását a
ún.
ϕ
id®beli
dϕ ∂ϕ = + v · ∇ϕ dt ∂t
szubsztanciális derivált adja meg.
0.3.
Mérlegegyenletek. A kontinuitás törvénye
Tekintsük egy deformálható közeg egy egyszeresen összefügg®
ΦD (t)
közrezárt anyag valamely extenzív
D
tartományát és a
mennyiségét. Ezt a megfelel®
ϕ(r, t) = dΦ/V
s¶r¶ség integráljaként kaphatjuk meg:
Z ΦD (t) =
ϕ(r, t)dV D
Konkrét esetben a
Φ
és
ϕ
lehetnek például a tömeg (M ) és tömegs¶r¶ség (ρ), impulzus
(P) és impulzuss¶r¶ség (π ) vagy energia (E ) és energias¶r¶ség (e). Tegyük fel, hogy megmaradó mennyiségr®l van szó, azaz ha követjük a tartomány belsejében található anyag mozgását, akkor az illet® mennyiségre fennáll, hogy
dΦD =0. dt Ez azt jelenti, hogy a
d dt
Z
1 ϕ(r, t)dV = lim ∆t→0 ∆t D
"Z
#
Z ϕ(r, t + ∆t)dV −
ϕ(r, t)dV = = 0
D(t+∆t)
D(t)
Mivel
∂ϕ ϕ(r, t + ∆t) − ϕ(r, t) = ∆t , ∂t ahol
∆D
a
D(t + ∆t)
és
D(t) Z D
Itt gyelembe vettük, hogy a össze, ahol a
∆r = v∆t
Z
Z
Z
· · · dV −
és
D(t+∆t)
· · · dV = D(t)
· · · dV , ∆D
tartományok különbsége
∂ϕ(r, t) dV + ∂t ∆D
I ϕv · dS = 0 . ∂D
tartomány a
dV = dr · dS
térfogatelemekb®l tev®dik
a felületelem elemi elmozdulása.
Z I d dΦD (t) = ϕ(r, t)dV = − j(r, t) · dS = dt dt D ∂D Z I ∂ϕ(r, t) dV + ϕv · dS = = ∂t ∂D D Z Z ∂ϕ(r, t) = dV + ∇ · (ϕv)dV , ∂t D D ahol az második jobboldali tagban a Gauss-Osztogradszkij tétel alkalmazásával alakítottuk át a felületi integrált térfogati integrállá. Ezt követ®en
12
TARTALOMJEGYZÉK
2. ábra. Az anyaghoz rögzített
D(t)
tartomány változása
∆t
id® alatt egy
v(r, t)
áram-
lási sebességmez®vel jellemzett közegben.
Z D Mivel bármely
D
∂ϕ(r, t) dV + ∂t
I (ϕv + j) · dS = 0 ∂D
tartományra érvényes a fenti összefüggés ezért egyenérték¶ a
∂ϕ + ∇ · (ϕv + j) = 0 ∂t
mérlegegyenletnek 0.3.1.
nevezett parciális dierenciálegyenlettel.
Általános mérlegegyenlet skalár mennyiség esetén
∂ϕ +∇·j=0 ∂t
ϕ
j
- valamely extenzív skalár
Φ
mennyiség térfogati s¶r¶sége:
(5)
ϕ = dΦ/dV
- árams¶r¶ség (vektoriális mennyiség)
Az árams¶r¶ségnek több összetev®je lehet:
j = vϕ + jrev + jirrev
vϕ j
rev
(6)
- advekció (az anyaggal való együttmozgásnak tulajdonítható áram) - reverzibilis áram (pl. energia esetén a nyomáskülönbség munkavégzése révén
energia áramlik bármely zárt tartományba)
jirrev
- irreverzibilis (transzport) áram, valamely disszipatív folyamat eredménye.
Egy intenzív mennyiségben pl. h®mérséklet, tömegs¶r¶ség fennálló térbeli kiegyensúlyozottlanság ennek megszüntetésének irányába ható áramát generálja a megfelel® extenzív mennyiségnek pl. bels® energia, tömeg. Például, az energia esetén a nagy bels® energias¶r¶ség, azaz h®mérséklet különbségek olyan h®áramot generálnak, ami a h®mérséklet kigyenlít®désének irányában hat.
0.4.
13
A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA
0.3.2.
Általános mérlegegyenlet vektoriális mennyiség esetén
A fentebbiek kiterjeszthet®k vektoriális mennyiségre is:
∂θ ˆ=0, +∇·J ∂t
azaz
∂θi + ∇j Jij = 0 , ∂t
(7)
ahol
θ
- valamely extenzív vektoriális
Θ
ˆ J
- megfelel® árams¶r¶ség (tenzoriális mennyiség)
mennyiség térfogati s¶r¶sége:
θ = dΘ/dV
Az árams¶r¶ségnek összetev®i:
ˆ =θ◦v+J ˆ rev + J ˆ irrev , J
v◦θ ˆ J
rev
azaz
rev irrev Jij = θi vj + Jij + Jij .
(8)
- advekció (az anyaggal való együttmozgásnak tulajdonítható áram)
- reverzibilis áram (pl. a nyomáskülönbség hatására impulzus áramlik bár-
mely zárt tartományba)
ˆ irrev J
- irreverzibilis áram. Például, az impulzus esetén ha viszonylag közel elhe-
lyezked® rétegek áramlási sebességei nagymértékben különböznek, ezek kiegyenlít®dését el®segít® impulzuscsere (kölcsönhatás) lép fel a rétegek között.
0.4.
A deformálható testek dinamiká ja
Ezt a
v(r, t) = π(r, t)/ρ(r, t)
sebességmez®vel modellezzük. A deformáció során,
a molekulák helyzetének megváltozása miatt, fellép® bels® er®ket bels® feszültségeknek nevezzük. A rugalmasságtan szempontjából rendkivül fontos az a körülmény, hogy a molekuláris er®k hatótávolsága igen kicsiny, a molekulák átlagos távolságának nagyságrendjébe esik. Az általunk vizsgált makroszkopikus elméletben nullának kell venni. A bels® feszültséget létesít® er®k közelható er®k, csak az egymáshoz legközelebb fekv® részecskék között hatnak. Tehát a test egy kiszemelt részére a környezete az illet® rész határán hat. Ha
F
az egységnyi térfogatra ható er®, akkor egy tetsz®leges térfogatára
ható ered® er®:
Z FdV
Az ered® er®t a korábban mondottak értelmében az egyes felületelemekre ható er®k összegeként, az illet® térfogat határfelületére vett integrálással lehet kiszámítani. Ezért az
Fi
vetorkomponensek egy másodrend¶ tenzor divergenciája, azaz
Fi =
∂σik ∂xk
alakú kell, hogy legyen. Ekkor valamely térfogatra ható er® el®allítható az ®t határoló zárt felületre vett integrál formájában :
Z
Z Fi dV =
∂σik dV = ∂xk
I σik dfk ,
14
TARTALOMJEGYZÉK
ahol
dfi
df felületelem-vektor egy komponense. A σik tenzort feszültségtenzornak neσik dfk a df felületelemre ható er® i−edik komponense.A σik feszültségi tenzor eleme az xk normálisú, egységnyi felületre ható er® i−edik komponense. A σik dfk a
vezzük.A egy
el®jelét az szabja meg, hogy az er® az integrációs felület által határolt térfogatra a test többi része által kifejtett er®.Az er®, amelyet a test fejt ki környezetére ellenkez® el®jel¶
I − ahol
df
σik dfk ,
a küls® normális irányába mutat.
Határozzuk meg a test valamilyen térfogatára ható er®k nyomatékát. Az matékát az
Fi x k − Fk x i
F
er® nyo-
komponensekkel megadott másodrend¶ antiszimmetrikus ten-
zorból származtathatjuk. A
dV
térfogatra ható er® nyomatéka
(Fi xk − Fk xi )dV . A teljes
térfogatra
Z
Z (Fi xk − Fk xi )dV =
Mik =
∂σkl ∂σil xk − xi dV, ∂xl ∂xl
forgatónyomaték hat. Átalakíthatjuk az alábbi
Z Mik = formába.Mivel
∂xk ∂xl
∂(σil xk − σkl xi ) dV − ∂xl
= δkl Mik
Az
Mik
Z σil
∂xk ∂xi − σkl ∂xl ∂xl
δkl σil = σik , δil σkl = σki , I Z = (σil xk − σkl xi )dfl + (σki − σik )dV
egységtenzor, és
dV
következik :
mennyiség akkor állítható el® felületi integrálként ha:
σik = σki , a feszültségi tenzor szimmetrikus. Egyenletes összenyomás esetén a feszültségi tenzor :
σik = −pδik A negatív el®jel amiatt van, hogy az er® a felület bels® normalisának irányában hat. A testek felületére általában a mer®leges nyomóer® mellett, érint®leges er®k, ún. nyíró feszültségek is hatnak. Egyensúly esetén a bels® feszültságekb®l származó er®k kompenzálják egymást, azaz
Fi = 0.
A deformált test egyensúlyát megadó egyenlet :
∂σik = 0. ∂xk Ha a test gravitációs er®térben van az egyensúly feltétele az
F + ρg
eltünése, azaz
∂σik + ρgi = 0 ∂xk Ha
P
df felületelemre Pdf er® hat.Egyensúly −σik dfk , ami a megfelel® felületelemre a bels® feszültségek által
a test felületére ható küls® er®, akkor a
esetén ezt kompenzálja a
kifejtett er®. Teljesülni kell tehát a
Pi df − σik dfk = 0
0.4.
15
A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA
egyenl®ségnek. A
dfk felületelem-vektorkomponenst az n (küls®) normális egységvektorral dfk = nk df , ezzel a fenti feltétel :
így fejezhetjük ki :
σik nk = Pi . Ez a határfeltétel az egyensúlyban lev® test egész felületén teljesül.
0.4.1.
Deformációk termodinamikája
Tekintsünk valamilyen deformált testet. Deformációja oly módon változik meg, hogy az
ui
δui megváltozása kicsiny. Meghatározzuk a bels® feszültségek által ik Fi = ∂σ ∂xk er®t a δui elmozdulással megszorozva, és a test térfogatára
elmozdul'svektor
végzett munkát. Az integrálva :
Z
Z δRdV =
ahol
∂σik δui dV. ∂xk
δR-rel a bels® er®knek a test egységnyi térfogatára vonatkoztatott munkáját jelöltük.
Parciálisan integrálva :
Z
I δR dV =
Z σik δui dfk −
σik
∂δui dV. ∂xk
Végtelen kiterjedés¶ közeget tekintve, és feltéve, hogy a határon a deformációk és velük együtt a feszültségek is elt¶nnek, következik, hogy a az els® integrál eltünik, a második
σik szimmetriáját : Z ∂δui ∂δuk 1 σik + dV = δR dV = − 2 ∂xk ∂xi Z Z ∂ui ∂uk 1 σik δ + dV = − σik δuik dV. =− 2 ∂xk ∂xi
integrál pedig, kihasználva
Z
(9)
(10)
Tehát :
δR = −σik δuik . Feltételezzük, hogy a deformáció oly lassan megy végbe, hogy a test minden id®pillanatban termodinamikai egyensúlyi állapotban van, tehát termodinamikailag megfordítható.E A bels® energiának végtelen kicsi
dE
megváltozása a test adott egységnyi térfoga-
taáltal közölt h® és a bels® feszültségb®l származó er®k által végzett lönbsége.Megfordítható folyamat esetén a h®közlés
dR.Behelyettesítve dR
T dS
dR munka küdE = T dS −
. Ilyen módon
fenti kifelyezését :
dE = T dS + σik duik . Ez a képlet a deformálható te4stekre vonatkozó alapvet® termodinamikai összefüggés. Egyenletes összenyomás esetén a feszültségtenzor
σik = −pδik
Ekkor
σik duik = −pδik duik = −p duii . Láttuk, hogy az
uii
összeg éppen a deformáció során bekövetkez® relatív térfogatváltozás.
Egységnyi térfogatot tekintve ez éppen a térfogatnak a megváltozását jelenti,duii pedig a térfogatváltozás
dV
eleme.A fenti termodinamikai összefüggés ekkor a szokásos alakba
írható :
dE = T dS − p dV.
16
TARTALOMJEGYZÉK
Az
F = E − TS
szabadenergiát bevezetve
dF = −S dT + σik duik ahonnan állandó
T
h®mérséklet mellett :
σik = A test
Φ
∂F ∂uik
T
termodinamikai potenciálja :
Φ = E − T S − σik uik = F − σik uik . Ez a szokásos
Φ = E − TS + PV
kifejezés általánosítása.Következik, hogy :
dΦ = −S dT − uik dσik , és
uik =
0.4.2.
∂Φ ∂σik
. T
A Hooke-törvény
A test
F
szabadenergiáját ki kell fejeznünk a deformációtenzor komponenseinek
∂F ∂uik összefüggésb®l megkapjuk a rugalmasságtan alapegyenleteit. Mivel a deformációk kicsik ezért a szabadenergia uik függvényeként ahoz hogy az el®z®leg levezetett
σik =
hatványai szerint sorba fejthet®. Minthogy skaláris mennyiség, a sor minden tagja skaláris kell legyen.Mivel
uik
uik = 0 esetén σik = 0 feltételnek is fenn kell állnia, az F
szabadenergia
hatványai szerint haladó sorában lineáris tagok nem léphetnek fel. Az
uik
szimmetrikus tenzor komponenseib®l két független másodrend¶ skalár ké-
pezhet® : az
uii
négyzetösszeg és az
u2ik
mennyiség. Az
F -et uik
hatványai szerint a
másodrend¶ tagokig bezárólag sorba fejtve :
F = F0 +
λ 2 u + µu2ik . 2 ii
Ez a szabadenergia általános kifejezése izotrop test esetén. A
λ és µ mennyiségeket Lamé-
állandóknak nevezzük. Az
F -et
a következ® formába írhatjuk :
2 1 K F = µ uik − δik ull + u2ll . 3 2 A
K
és
µ
mennyiségeket
kompressziómodulusnak, illetve torziómodulusnak nevezzük. Az
összefüggés a Lame-állandókkal :
2 K = λ + µ. 3 F -nek küls® uik = 0 helyen minimuma van. Ez azt jelenti, hogy a kvadratikus alak következik, hogy a K és µ együtthatók pozitívak.
Termodinamikai egyensúly állapotban a szabadenergia minimális. Az er®k hiányában az pozitív. Ebbl az
K > 0,
µ > 0.
0.4.
17
A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA
Most számoljuk ki a
∂F ∂uik kifejezést.
1 1 dF = Kull dull + 2µ uik − ull δik d uik − ull δik . 3 3 A második tag zárójelének
δik -val
szorzata nullát ad. Így marad, hogy
1 dF = Kull dull + 2µ uik − ull δik duik , 3 vagy
dull -et δik duik
alakban írva :
1 dF = Kull δik + 2µ uik − ull δik duik . 3 Ebb®l a feszültségtenzor :
σik
1 = Kull δik + 2µ uik − ull δik . 3
Ez a kifejezés meghatározza a feszültségtenzort a deformációtenzor segítségével izotrop testek esetén. Látható, hogy ha a deformáció tiszta nyírás vagy tiszta egyenletes összenyomás, akkor a
σik
és
uik
tenzorok közötti összefüggésben csak a torziómodulus, illetve
a kompressziómodulus szerepel. A fordított összefüggés meghatározásához felhasználjuk, hogy
σii = 3Kuii ,
vagyis
1 σii . 3K
uii = Ezt behelyettesítve, a fenti
uik
σik
összefüggésébe
1 1 = δik σll + 9K 2µ
1 σik − δik σll . 3
Egyenletes összenyomás esetén a feszültségtenzor
σik = −pδik
p . K
alakú. Ez esetben tehát
uii = − Az
uii 1 p hányadost kis deformációk esetén az V
:
1 1 =− K V
∂V ∂p
∂V ∂p
dierenciális alakban írhatjuk. Így
T
. T
1 K mennyiséget kompreszibilitásnak nevezzük.Látjuk,hogy az uik deformációtenzor a σik feszültségtenzor lineáris függvénye.Más szavakkal:a deformáció arányos a testre ható Az
er®vel. Ez kis deformációk esetén a Hooke-törvény. Mivel
F
kvadratikus függvény, Euler homogenitási tételéb®l következik, hogy :
uik Minthogy
∂F ∂uik
= σik ,
∂F = 2F ∂uik
ebb®l következik, hogy
F =
σik uik . 2
18 Könny¶ belátni, hogy az
TARTALOMJEGYZÉK
F
a
σik -kban
is kvadratikus, tehát :
σik
∂F = 2F ∂σik
tehát az el®z®kkel összevetve
uik =
∂F . ∂σik
∂F ∂uik általános termodinamikai összefüggés, a megel®z® képlet érvényessége a Hooke-törvény teljesülését®l függ.
Hangsúlyozni kell azonban, hogy míg
σik =
1. FEJEZET
Rugalmasságtan 1.1.
A Hooke-törvény
A rugalmasságtan azon anyagok viselkedését írja le, amelyek a deformálóer® megszünte után visszanyerik eredeti alakjukat és méreteiket. Bizonyos fokig minden szilárd test rugalmas. A rugalmasságtan határai akkor jelenkeznek amikor olyan nagy er® hat, hogy a test maradandó (plasztikus) alakváltozást szenved. Elég gyenge er® hatására az anyagon belüli különböz® pontok relatív elmozdulása arányos az er®vel,azt mondjuk, hogy az anyag rugalmas.
1.1. ábra. Homogén feszültség hatására megnyúló hasáb
a, szélessége b, magassága c (1.1). Az élekre A, B és C . Ha az a oldalél mentén hatunk a hasáb két végére F húzóer®vel, a hasáb hossza ∆a-val megn®. Többféle anyaggal Nézzünk egy hasábot, amelynek a hossza
mer®leges téglalap alakú felületpárok területe rendre:
végzett kísérlet azt mutatja, hogy az er®hatás irányában a megnyúlás arányos az er®vel, azaz
∆a ∼ F . Ez az összefüggés a Hooke-törvény. Könny¶ belátni, hogy a er® esetén, arányos a rúd hosszával és fordítottan arányos
∆a ∼ F
19
a . A
A
∆a
hosszváltozás, adott
keresztmetszetével:
F
20
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
F A feszültségnek nevezzük,az egységnyi hosszra vonatkoztatott megnyúlást pedig relatív nyúlásnak. Az el®bbi összefüggést az alábbi forAz egységnyi felületre vonatkoztatott er®t mában írhatjuk
∆a F ∼ . A a A feszültség és a relatív megnyúlás arányossága egyenletbe megy át, gyelembe véve az anyag rugalmassági tulajdonságát kifejez®
E
Young modulus anyagállandót. A Hooke-
törvény végs® alakja :
F ∆a =E A a A Hooke-törvénynek van egy másik vonatkozása is. Ha az anyagdarabot megnyújtjuk az egyik irányban, akkor az összehúzódik az erre mer®leges irányban. Ez az összehú-
∆a a relatív megnyúlással. Az oldalirányú (relatív)összehúzódás mértéke ugyanaz az anyagminta szélességben és magasságban, és úgy írzódás arányos a
b
szélességgel és a
ható fel, hogy
∆c ∆a ∆b = = −σ , b c a σ
ahol
anyagállandót az ú.n. Poisson-állandónak nevezzük. Kés®bb megmutatjuk, hogy
0<σ< Az
E
és a
σ
1 . 2
állandók egyértelm¶en meghatározzák a homogén, izotróp (azaz nem kris-
tályos) anyag rugalmas tulajdonságait. Egy ideig korlátozódjunk csak az ilyen típusú
E, σ állandók σ -val, és E -vel.
anyagokra. Lehetséges az amelyek kifejezhet®k
helyett más két független állandót használnunk,
Még egy általános törvényre, a szuperpozició elvére van szügségünk. Mivel az el®z® két törvény az er®ben és elmozdulásban lineáris, ezért teljesülnek a szuperpozició feltételei:
Szuperpozíció elve:
ha van egy er®rendszerünk és az általa létrehozott elmozdulás,
majd ehhez az er®rendszerhez hozzáteszünk egy másikat, amely további elmozdulást hoz létre, akkor az ered® elmozdulás annak a két elmozdulásnak az összege lesz, amelyet az egyes er®rendszerek külön-külön hatva egymástól függetlenül hoztak volna létre.
1.2.
Homogén feszültségek
Vizsgáljuk meg, mi történik, ha egy hasábot vízzel telt edényben homogén hidrosztatikus nyomásnak vetünk alá (1.2 ábra). Mivel a hidrosztatikus nyomás homogén, ezért a feszültség a hasáb minden oldalán ugyanakkora. A hosszirányú és keresztirányú er®kre és elmozdulásokra alkalmazzuk a szuperpozício elvét (1.3 ábra). A hasáb fed®lapjaira ható
p nyomás p/E
relatív összehúzódáshoz vezet, tehát értéke
negatív:
p ∆a1 =− . a E
1.2.
21
HOMOGÉN FESZÜLTSÉGEK
1.2. ábra. Hasáb, melyre homogén hidrosztatikus nyomás hat
A hasáb másik két élének is ugyanaz lesz a relatív összehúzódása:
∆b ∆c p = =− . b c E ami viszont a második egyenlet alapján a hosszirányú kiterjedéshez vezet
∆a2 ∆a3 p = = +σ . a a E a oldalél teljes ∆a változása a három ∆a2 + ∆a3 eredménye. Azt kapjuk, hogy
Az
alakváltozás szuperpoziciójának
∆a = ∆a1 +
∆a p = − (1 − 2σ) a E Minthogy a feladat megoldása mindhárom dimenzióban szimmetrikus, ezért
∆b ∆c p = = − (1 − 2σ) . b c E Határozzuk meg a hasáb
V = abc
térfogatának relatív változását (∆V /V ). Mivel
V + ∆V = (a + ∆a)(b + ∆b)(c + ∆c) = V (1 +
∆a ∆b ∆c )(1 + )(1 + ), a b c
a magasabbrend¶ tagokat elhanyagolva:
∆a ∆b ∆c ∆V ' + + . V a b c A megel®z® eredmények alapján
p ∆V = −3 (1 − 2σ) , V E amit írhatunk
p = −K formában, vagyis a
∆V V
p térfogati feszültség arányos a relatív térfogatváltozással. A K együtt-
ható az anyag térfogati rugalmassági modulusza, mely a többi állandó segítségével így fejezhet® ki:
K=
E . 3(1 − 2σ)
22
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
1.3. ábra. A hidrosztatikus nyomás három longitudinális összenyomás szuperpozíciójaként fogható fel
Ebb®l már az is kit¶nik, hogy azért kell a
K
hogy a
σ
Poisson-állandónak
1 2
nél kisebbnek lennie,
térfogati rugalmassági modulus, a meg gyelésekkel öszhangban, ne legyen
negatív.
1.3.
A nyírás
Nyíráson a 1.4 ábrán látható igénybevételt értjük. Látható, hogy a nyírás esetén a rugalmas közeg felületére az er® érint®legesen hat. Az egységnyi felületre érint®legesen ható er®t
nyírófeszültségnek nevezzük.
Megmutatjuk, hogy nyíró igénybevétel esetén fellép® feszültség ekvivalens két egymásra mer®leges, egyenl® nagyságú, a kocka eredeti lapjaival
45◦ -os szöget bezáró húzó-és
nyomófeszültség kombinációjával. El®ljáróban vessünk egy pillantást az ábrán felvázolt kockára ható er®kre és a benne ébred® feszültségekre (?? ábra). A függ®leges irányú összenyomás és a vízszintes irányú nyújtás eredményeként, a vízszintes irányú hosszváltozás, a kockalap felülete esetén
l2 = A-val
jelölt
∆l 1F 1F = +σ . l EA EA
A függ®leges irányú hosszváltozás ugyanakkora, csak éppen ellentétes el®jellel. Most ugyanerre a kockára hassanak nyíróer®k. Az er®knek egyenl® nagyságúnak kell lennie, különben a kocka nem maradhatna egyensúlyban. A két egymásmelletti
G
1.3.
23
A NYÍRÁS
1.4. ábra. Kocka homogén nyíró igénybevétele
1.5. ábra. A kocka alap- és fed®lapjára nyomó-, két oldaláara pedig egyenl® nagysagú húzóer®k hatnak
er® ered®je
√
2G
nagyságú húzó-ill. nyomóer®t produkál a
Következésképpen a két feszültség értéke
G/A.
√
2A
felületre (1.6 ábra).
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a húzás és
nyomás kombinációja ekvivalens a nyírással. A fentebb kapott eredmény felhasználásával belátható, hogy a 1.7 ábrán az átló hosszváltozása
1+σG ∆D = . D E A Gyakran kényelmesebb, ha a relatív nyíró elmozdulást azzal a
ϑ
szöggel jellemezzük,
amellyel a kocka elhajlott. Az 1.7 ábra meggy®z arról, hogy a fels® él vízszintes irányú eltolódása
√
2∆D-vel
δ
egyenl®. Tehát:
δ ϑ= = l
√
2∆D ∆D =2 . l D
Az egységnyi felületre ható érint®irányú er® a
τ = G/A
két összefüggésb®l következik, hogy
ϑ=2
1+σ τ . E
lesz a nyírófeszültség. Az e®z®
24
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
1.6. ábra.
1.7. ábra. A relatív nyírási elmozdulás
ϑ
szöge
∆D/D-vel
egyenl®
Felírva , feszültség=állandó×relatív elmozdulás formában:
τ = µϑ . A
µ
arányossági tényez®t nyírási-vagy torzió-modulusnak nevezik és a következ®képpen
fejezhet® ki
E
és
σ
segítségével:
µ=
E . 2(1 + σ) σ -nak −11 + közé kell 2
A nyírási modulusnak mindenképpen pozitívnak kell lennie, következik, hogy nél nagyobbnak kell lennie. Ezt az el®z®ekkel összevetve esnie; a gyakorlatban azonban a
1.4.
σ
σ
értékének
mindig nagyobb, mint nulla.
−1
és
Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás
Egy négyszög keresztmetszet¶ mintadarabot kell megnyújtanunk oly módon, hogy igyanakkor megakadályozzuk harántirányú összehúzódását. Ahhoz, hogy ezt elérjük, olyan oldalirányú er®hatásokra van szükség, amelyek meggátolják, hogy az anyagdarab vastagsága megváltozzon. Az 1.8 ábrán feltüntetett er®kre alkalmazzuk a szuperpozício
1.4.
HARÁNTIRÁNYÚ ÖSSZEHÚZÓDÁS NÉLKÜLI NYÚJTÁS
25
elvét. Az ered® relatív elmozdulások az egyes élek irányában:
∆lx 1 Fx σ Fy σ Fz = − − = lx E Ax E Ay E Az
1.8. ábra. Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás
1 Fx Fy Fz −σ + , E Ax Ay Az ∆ly 1 Fy Fx Fz = −σ + , ly E Ay Ax Az ∆lz 1 Fz Fx Fy = −σ + . lz E Az Ax Ay =
A
∆ly = ∆lz = 0,
egyenleteteket megoldva
Fy -ra
és
Fz -re,
megoldásunk
Fz σ fx Fy = = . Ay Az 1 − σ Ax Behelyettesítve az els® egyenletbe :
1 2σ 2 Fx ∆lx = 1− = lx E 1 − σ Ax 1 1 − σ − 2σ 2 Fx = . E 1−σ Ax Gyakran találkozhatunk e képlet fordítottjával :
1−σ ∆l F = E . A (1 + σ)(1 − 2σ) l Vagyis, ha megakadályozzuk az oldalak elmozdulását, a Young-modulus egy 1-nel nagyobb, a
σ -nak
függvényével szorzódik.Tehát ha a négyszög keresztmetszet¶ mintadarab
oldalait rögzítjük, akkor jobban ellenáll a nyújtásnak.
26
FEJEZET 1.
1.5.
RUGALMASSÁGTAN
Csavart rúd, nyíróhullámok
Egy csavart rúd esetén a test egyes részeire eltér® nagyságú feszültségek hatnak.Az 1 ábrán láthatö hengeres alakú
l
a
hosszuságú,
sugarú rúd egyik vége a másikhoz képest
ϕ
szöggel csavarodott el.Tekintsük úgy a rudat, mintha sok-sok vékonyfalú hengeres cs®b®l lenne összerakva.
1.9. ábra. a) Megcsavart hengeres rúd; b) megcsavart hengeres cs®; c) a cs® falának egy kis darabjára nyíró igénybevétel hat
r ∆r vastafságú cs® gy darabját.A henger minden elemére nyíróer¶ hat ; a ϑ nyírási
Vizsgáljuk meg, hogy mi történik az egyes csövekben.A 1.9 ábrán felvázoltuk az sugarú, szög :
ϑ=
rϕ l
és az anyagban fellép® nyírófeszültség :
τ = µϑ = µ
rϕ . l
Másrészt a nyírófeszültség egyenl® a 3.ábrán felvázolt négyzet oldalai mentén ható érint®irányú
∆F
er® és a
∆l∆r
felület hányadossával :
τ= A négyzet oldala mentén ható
∆M
∆F
∆F . ∆l∆r
er® által létrehozott, a rúd tengelyére vonatkoztatott
forgatónyomaték :
∆M = r∆F = rτ ∆l∆r. Ha a henger teljes kerülete mentén összegezük az elemi forgatónyomatékokat, akkor az
M
teljes forgatónyomatékot kapjuk meg. A
el a
∆r
∆l-ek
összege megadja a
falvastagságú üres cs®re ható teljes forgatónyomatékhoz :
rτ (2πr)∆r. Illetve
τ
fentebb megadott kifejezését felhasználva :
M = 2πµ
r3 ∆rϕ l
2πr-t
és így jutunk
1.5.
27
CSAVART RÚD, NYÍRÓHULLÁMOK
Az adódott tehát, hogy csavarással szemben az üres cs® ellenállása (nyomatéka) egyenesen arányos a cs® viszont a cs®
l
r
sugarának köbével es a
∆r
falvastagsággal, fordítottan arányos
hosszával.A rúd által kifejttt teljes nyomatékot úgy adhatjuk meg, hogy
a koncentrikus csövek által kifejtett nyomatékokat integrálás révén összeadjuk. Tehát a szilárd rúdra ható forgatónyomaték :
M = 2πµ
ϕ l
Z
a
r3 dr.
0
Elvégezve az integrálást :
M =µ
πa4 ϕ. 2l
Tehát egy rúd elcsavarása esetén a forgatónyomaték arányos az elcsavarás szögével és az átmér® negyedik hatványával.
A továbbiakban alkalmazzuk a kapott eredményeket
1.10. ábra. a) Torzióshullám egy rúd mentén; b) a rúd kis térfogateleme a torziós hullámok vizsgálatánál.Ha van egy hosszú rudunk és hirtelen megcsavarjuk az egyik végét, akkor az elcsavarodás (1.10), végigszalad az egész rúdon. Tekintsünk egy pontot, amely a rúd végétöl
z
távolságra helyezkedik el.Sztatikus torzió esetén a rúd
mentén mindenütt egyenl® nagyságú a forgatónyomaték és arányos a
ϕ/l-lel,azaz a teljes
hosszra jutó teljes elforgatással.A rúd elcsavarodása szempontjából csak a helyi relatív
∂ϕ ∂z -vel egyenl®. Ha tehát a torzió, azaz az elcsavarodás nem állandó a rúd mentén,akkor az alábbi elfordulás lényeges, amely értelemszer¶en
M (z) = µ
πa4 ∂ϕ 2 ∂z
kifejezést kell a fentebb kapott képlet helyébe tennünk Vizsgáljuk meg, hogy mi történik egy olyan
∆z
hosszuságú, amelynek felnagyított képét a következ® ábrán láthatjuk.Az
elemi rúddarab végein
M (z)
és
M (z + ∆z)
forgatónyomatékok hatnak.Mivel
M (z + ∆z) = M (z) + z + ∆z közé es® darabkájára egyenl®.Felhasználva M (z) kifejezését a rúdnak a
z
és
∆M = µ A
∆M
∂M ∂z
∆z,
ható forgatónyomaték
∆M = ( ∂M ∂z )∆z -vel
πa4 ∂ 2 ϕ ∆z. 2 ∂z 2
ered® forgatónyomaték szöggyorsulást okoz az rúddarabn. A rúddarabka tömege
:
∆m = (πa2 ∆z)%,
28
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
és a henger darab tehetetlenségi nyomatéka :
∆Θ =
π 4 %a ∆z. 2
Ismert, hogy az er®nyomaték egyenl® a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzatával,azaz :
∆M = ∆Θ
∂2ϕ . ∂t2
Mindent a helyére téve adódik :
∂2ϕ % ∂2ϕ − = 0. 2 ∂z µ ∂t2 A képletre nézve felismerhetjük, hogy egydimenziós hullámegyenletet ír le.Azt találjuk tehát, hogy a torzióhullám
r vnyiro =
µ %
A torziós hullámok a nyíróhullámok speciális esetei.Általában akkor beszélünk nyíróhullámokról, ha a relatív hosszváltozások mellett az egyes anyagi részek térfogata változatlan marad.Más ttípusú rugalmas hullám is lehetséges a szilárd testben :longitudinális vagy más néven nyomáshullámok, a szilárd test feluletén felléphetnek az ún. Rayleighnagy Love-hullámok.Végtelen kiterjedés¶ közegben a longitudinális hullámok sebessége :vlong
=
p
helyébe az
E/%, ha viszont az összenyomás nem jár keresztmetszet-változással E 0 longitudinális modulus lép.Ezek sebessége : 2 vlong =
akkor
E
1−σ E E0 = . % (1 + σ)(1 − 2σ) %
A tanulmányozott anyagállandókra érvényesek az alábbi
µ < E < E0 egyenl®tlenségek.Ismerve kétfajta hullám sebességét, könnyen adódik az
1.6.
E
és a
σ
értéke.
A hajlítás
A rudak hajlítására vonatkozó kifejtend® elméletünket csak akkor tekinthetjük helyesnek, ha a hajlítási sugár sokkal nagyobb, mint a vizsgált rúd mérete.Ha egy egyenes pálcát meghajlítunk(ábra), a pálca anyagának a körív középpontja felé es® része összenyomódik, a másik fele pedig megnyúlik Azt a felületet, amely többé-kevésbé párhuzamos a pálca tengelyével, amely nem nyúlik, és nem nyomódik össze semleges felültnek nevezzük. Tiszta hajlítás esetén a pálca vékony tranzverzális rétege az 1.11 ábrának megfelel®en deformálódik. A semleges semleges felülett®l mért
y
l
hosszúságú rétegt®l kivüles® réteg
∆l
megnyúlása arányos a
távolsággal. Az ábrából leolvasható, hogy:
∆l y = l R
1.6.
29
A HAJLÍTÁS
1.11. ábra. Meghajlított pálca kis darabja
ahol
R
a görbületi sugár.Az
y -nál
elhelyezked® vékony csíknál a feszültség :
∆F y =E ∆A R A semleges felület két oldalán fellép® huzó és nyomóer®k által létrehozott teljes nyomaték :
Z M=
ydF A
ahol a fenti 0sszefüggés alapján
dF = Ey/RdA, ezért Z y M= y 2 dA. R
y 2 dA mennyiség integrálját a geometriai keresztmetszet tömegközéppontján áthaladó tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéknaknevezik és Θ-val jelölik :
Az
M= ahol
Z
EΘ , R y 2 dA.
Θ=
Ha adott mennyiség¶ anyagból a lehet® legmerevebb gerendát akkarjuk készíteni,akkor az anyag zömét a semleges felülett®l minél messzebb kell elhejezni, hogy így a lehet® legnagyobb tehetetlenségi nyomatékot érjük el.Ezért belátható, hogy miert szerkesztik a
I vagy H alakura (1.12 ábra). M -re kapott hajlatási alapegyenlet
gerendákat Az
segítségével meghatározhatjuk az 1.13 ábrán
felrajzolt konzolgerenda lehajlását, ha a gerenda szabad végére rögzített egyik végét®l
x
távolságra a lehajlást jelöljük
z -vel.
F
A
er® hat. A vizszintesen
z(x)
függvényt akarjuk
meghatározni, de csak kis lehajlások esetén. Felhasználjuk a görbületi sugár
1 =h R
d2 z dx2
1+
i3/2 dz 2 dx
30
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
1.12. ábra. I gerenda
kifejezését. Mivel kis görbületre szorítkozunk ezért
(dz/dx)2 1,
tehát
1 d2 z ' 2. R dx Határozzuk meg az
F
er® nyomatékát, amelyet a gerendának ellensúlyozni kell
M (x) = F (l − x) A keresett egyenlet tehát:
1.13. ábra. Egyik végén terhelt konzolgerenda
F (l − x) =
EΘ d2 z = EΘ 2 R dx
vagy
d2 z F (l − x) = dx2 EΘ dz Az integrálásnál felhasználjuk, hogy z(0) = 0 és dx (x=0) = 0. A keresett görbe egyenlete : 2 lx x3 F z(x) = − . EΘ 2 6 A gerenda végének lehajlása:
z(l) =
F l3 · . EΘ 3
1.7.
31
ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN
Közelít® hajlítási elméletünk levezetése közben feltételeztük, hogy a gerenda keresztmetszete hajlítás közben nem változik.Ha a gerenda keresztmetszete a görbületi sugárhoz képest kicsi, akkor valóban nagyon kicsi a keresztmetszet megváltozása, és így a következtetéseink igazak.
1.7.
Elméleti rugalmasságtan
1.7.1.
Homogén deformációk
Homogén
a
deformáció,
ha
a
deformációtenzor
a
test
egész
térfogatában
ál-
landó.Vizsgáljuk el®ször is a rudak egyszer¶ húzásának(vagy összenyomásának) esetét.A rúd legyen a
z
tengely mentén és a végein hassanak ellenkez® irányú er®k. Az egységnyi
felületre ható er® legyen
p.
Minthogy a deformáció homogé, azaz
uik
állandó, a
σik
fe-
szültségtenzor is állandó. a rúd oldalán küls® er®k nem hatnak, amib®l következik, hogy
σik nk = 0.Az n
z tengelyre mer®leges, csak nx és ny σzz kivételével a többi komponense 0-val egyenl®.A rúd végeinek σzi ni = p, ezért σzz = p. egységvektor az oldalfalakon a
komponense van,ezért a felületén viszont
A deformációtenzor és a feszültségtenzor komponenseit összekapcsoló általános összefüggésb®l látható, hogy
uik
minden
i 6= k komponense elt¶nik. A többi komponensre kapjuk,
hogy
uxx = uyy Az
uzz
1 =− 3
komponens a rúd
z
1 1 − 2µ 3K
p,
uzz
1 = 3
1 1 + 3K µ
p.
tengely mentén vett relatív megnyulását adja. A
p
el®tt
álló együtthatót nyúlási együtthatónak, reciprokát Young-modulusnak nevezzük,és vel jelöljük :
uzz = ahol
E= Az
uxx
és
uyy
E-
p , E
9Kµ . 3K + µ
komponensek megadják a rúd relatív haránt-összehúzódását.Ennek az
összehúzódásnak és a hossztengely irányú relatív-megnyúlásnak a hányadosát Poissonszámnak nevezzük, és
σ -val
jelöljük :
uxx = −σuzz , ahol
σ=
1 3K − 2µ . 2 3K + µ
K és µ mindig pozitívak, a Poisson-szám különböz® 0−nál)és 21 (µ = 0−nál) között vehet csak fel értékeket :
Minhogy
−1 6 σ 6
1 . 2
anyagok esetén
−1(K =
32
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
Végül a rúd relatív térfogatváltozása megnyúlás esetén így írható :
uii = p
1 . 3K
A megnyúlt rúd szabadenergiáját a már megadott kifejezés felhasználásával közvetlenül írhatjuk.Minthogy csak a
σzz
komponens különbözik nullától,
A továbbiakban, a szokáshoz igazodva,
F =
p . 2E
K
µ
és
helyett az
E
és
F = 12 σzz uzz ,
σ
így :
mennyiségeket használ-
juk.Az el®z® képletek átalakitásával kapjuk, hogy
µ=
E , 2(1 + σ)
K=
E . 3(1 − 2σ)
Az alábbiakban az el®z® részben kapott általános összefüggéseket átírjuk az
E
és
σ
mennyiségek felhasználásával.A szabadenergiára a következ® kifejezés adódik :
E F = 2(1 + σ)
u2ik
σ 2 + u . 1 − 2σ ll
A feszültségtenzor pedig így adódik a deformációtenzorból :
σik =
E 1+σ
uik +
σ ull δik . 1 − 2σ
Megfordítva :
uik =
1 [(1 + σ)σik − σσll δik ]. E
Minthogy az utóbbi képleteket állandóan használjuk, a kényelem kedvéért komponensenként is felírjuk :
σxx =
E [(1 − σ)uxx + σ(uyy + uzz )], (1 + σ)(1 − 2σ)
σyy =
E [(1 − σ)uyy + σ(uxx + uzz )], (1 + σ)(1 − 2σ)
σzz =
E [(1 − σ)uzz + σ(uxx + uyy )], (1 + σ)(1 − 2σ)
σxy =
E uxy , 1+σ
σxz =
E uxz , 1+σ
σyz =
A fordított összefüggések :
uxx =
1 [σyy − σ(σxx + σzz )], E 1 = [σzz − σ(σxx + σyy )], E
uyy = uzz
1 [σxx − σ(σyy + σzz )], E
E uyz . 1+σ
1.7.
33
ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN
uxy =
1+σ σxy , E
uxz =
1+σ σxz , E
uyz =
1+σ σyz . E
Vizsgáljuk meg egy rúd összenyomását, ha oldalai oly módon rögzítettek, hogy keresztméretei nem változhatnak.Az ilyen deformációt egyirányú összenyomásnak nevezzük. A rúd csak a
z
tengely mentén deformálódik, ezért az
uik
komponensek közül csak
uzz
különbözik nullától.A fenti összefüggések felhasználásával :
σxx = σyy =
Eσ uzz , (1 + σ)(1 − 2σ)
Az össszenyomó er®t ismét
p-vel
jelölve(σzz
uzz =
σzz =
= p; p
E(1 − σ) uzz . (1 + σ)(1 − 2σ)
összenyomás esetén negatív):
(1 + σ)(1 − 2σ) p. E(1 − σ)
A p el®tt álló álandót az egyirányú összenyomás állandójának nevezzük. A haránt irányban fellép® feszültségeket így kapjuk :
σxx = σyy = p
σ . 1−σ
Végül a rúd szabadenergiáját az alábbi képlet adja :
F = p2 1.7.2.
Izotrop testek egyensúlyi egyenletei
σik → uik =
1 2
(1 + σ)(1 − 2σ) . 2E(1 − σ)
∂ui ∂xk
+
∂uk ∂xi
→
∂σik + ρgi = 0 ∂xk E σ = uik + ull δik . 1+σ 1 − 2σ
Eσ ∂ull E ∂uik ∂σik = + . ∂xk (1 + σ)(! − 2σ) ∂xi 1 + σ ∂xk
E ∂ 2 ui E ∂ 2 ul + + ρgi = 0. 2(1 + σ) ∂x2k 2(1 + σ)(1 − 2σ) ∂xi ∂xl ∆u +
1 2(1 + σ) ∇(∇ · u) = −ρg . 1 − 2σ E
Néha kényelmes ezt az egyenletet egy kicsit különböz® alakban használni.Alkalmazva a vektoranalízis jól ismert képletét :
∇(∇ · u) = ∆u + ∇ × (∇ × u). Az el®z® egyenlet így módusul :
∇(∇ · u) −
1 − 2σ (1 + σ)(1 − 2σ) ∇ × (∇ × u) = −ρg . 2(1 − σ) E(1 − σ)
34
FEJEZET 1.
Más térfogati er®k fellépte esetén a jobb oldalon álló
ρg
RUGALMASSÁGTAN
vektort megfelel® módon változ-
tatni kell. A legfontosabbesetek mégis azok, amelyerkben a deformációt nem térfogati er®k, hanem a test felületén ható er®k okozzák. Ebben az esetben az egyensúlyi egyenlet :
(1 − 2σ)∆u + ∇(∇ · u) = 0, vagy más alakban
2(1 − σ)∇(∇ · u) − (1 − 2σ)∇ × (∇ × u) = 0. A küls® er®k csak a határfeltételeken keresztül befolyásolják a megoldást. A fenti egyenletre a divergenciaoperációt alkalmazva,
∇·∇ ≡ ∆
gyelembevételével
adódik, hogy
∆∇ · u = 0, azaz a
∇·u mennyiség (amely a deformáció során bekövetkez® térfogatváltozást határozza ∆ laplace-operátort alkalmazzuk, azt
meg) harmonikus függvény.Ha az el®z® egyenletre a kapjuk, hogy
∆∆u = 0. Egyensúlyi állapotban a deformációvektor eleget tesz a biharmonikus egyenletnek. Ezek az eredmények homogén gravitációs tér esetén is érvényben maradnak [ugyanis direnciáloperátorok alkalmazása esetén az állandó jobboldal elt¶nik],de érvényüket vesztik, amikor a testben változó térfogati er®k hatnak.
1.7.3.
Rugalmas hullámok izotrop közegben
Amikor a deformált test belsejében mozgás megy végbe, h®mérséklete általában nem állandó hanem id®ben és a testben pontról pontra változik. Legtöbbször azonban egyszer¶södik a helyzet, minthogy a test egyes részei között a h®csere igen lassan megy végbe.Ha a testben végbemen®rezg®mozgás periódusidejealatt gyakorlatilag nincs h®csere, a test minden részét termikusan szigeteltnek tekintjük, azaz a mozgást adiabatikusnak vehetjük.Adiabatikus deformációk esetén
σik − t uik −val
a
szokásos összefüggések kacsolják össze. különbség csak az állandók számértékében lép fel :E és
σ szokásos (izotermikus) értékei helyett adiabatikus értékeiket kell használni.Mivel E -vel és σ -val rendre
ebben a fejezetben feltételezzük, hogy az emlitett feltevésteljesül, az adiabatikus értékeket jelöljük. A rugalmas közeg mozgásegyenletének általános alakja :
ρ¨ ui =
∂σik . ∂xk
Izotrop rugalmas közeg esetén közvetlenül írhatjuk, hogy
ρ¨ u=
E E ∆u + ∇(∇ · u). 2(1 + σ) 2(1 + σ)(1 − 2σ)
Mivel valamenyi deformáció kicsi, a mozgások is kicsinyek, ezeket szokás rugalmas rezgésnek vagy hullámnak nevezni. El®ször a rugalmas síkhullám tulajdonságait tanulmányozzuk. Az
u
deformáció, ennél a rezgésformánál az id® mellett csak egy koordinátátol,
1.7.
35
ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN
mondjuk
x
függvénye, minden
y
és
z
szerinti derivált eltünik. Az
u
különböz® kompo-
nenseire a következ® egyenletet kapjuk :
1 ∂ 2 ux ∂ 2 ux − = 0, ∂x2 c2l ∂t2 ahol
s cl =
∂ 2 uy 1 ∂ 2 uy − = 0, ∂x2 c2t ∂t2
E(1 − σ) , ρ(1 + σ)(1 − 2σ)
s
E . 2ρ(1 + σ)
ct =
a longitudinális és tranzverzális hullámok terjedési sebessége.A mozgásegyenlet felírható
¨ = c2t ∆u + (c2l − c2t )∇(∇ · u). u Az
u
vektort felbontjuk két tag összegére :
u = ul + ut , és megköveteljük, hogy
ut
elégítse ki a
∇ · ut = 0 feltételt,ul -re pedig a
∇ × ul = 0 feltétel tejesüljön.A vektoranalízisb®l ismeretes, hogy ilyen felbontás mindig lehetséges(egy vektornak egy rotáció és egy gradiens összegeként való el®állítása). Az
u = ul +ut
behelyettesítve :
¨l + u ¨ t = c2t ∆(ul + ut ) + (c2l − c2t )grad ∇ · ul . u Alkalmazzuk mind két oldalára a div operációt.Minthogy
∇ · ut = 0,
kapjuk, hogy
¨ l = c2t ∆ ∇ · ul + (c2l − c2t )∆ ∇ · ul , ∇·u vagy
∇ · (¨ ul − c2l ∆ul ) = 0. Másrészt a zárójelben álló kifejezés rotációja szintén nulla. Ha azonban egy vektor rotációja és divergenciája az egész térben elt¶nik, akkor a vektor maga is elt¶nik. Így tehát
∂ 2 ul − c2l ∆ul = 0. ∂t2 Hasonló módon alkalmazva az egyenletre a rot operátort,
∇ × ul = 0 gyelembevételével,
kihasználva, hogy minden gradiens rotációja azonosan elt¶nik :
∇ × (¨ ut − c2t ∆ut ) = 0. A zárójelben álló vektor divergenciája azonban szintén nulla, így ismét az el®z® esethez hasonlóan :
∂ 2 ut − c2t ∆ut = 0. ∂t2
36
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
A kapott egyenletek közönséges (háromdimenziós)hullámegyenletek.Megoldásuk megfelel egy-egycl illetve
ct
sebességgelterjed® hullámnak.Az
tében nem jár térfogatváltozással,az
ul
ut
hullámok a
∇ · ut = 0
következ-
hullámot s¶r¶södések és ritkulások kisérik.
A monokromatikus rugalmas hullám elmozdulásvektora :
u = Re{u0 (r)e−iωt }, ahol
u0
csak a koordináták függvénye.Ez a függvény a
c2t ∆u0 + (c2l − c2t )∇(∇ · u0 ) + ω 2 u0 = 0 egyenletnek tesz eleget. Monokromatikus hullám esetén a longitudinális és a tranzverzális rész a következ® egyeletet elégiti ki :
∆ul + kl2 ul = 0, ahol
∆ut + kt2 ut = 0
ω ω cl , kt = ct a longitudinális és a tranzverzális hullámvektor abszolút értéke. Végül vizsgáljuk meg monokromatikus rugalmas hullám két különboz® rugalmas kö-
kl =
zeg határán bekövetkez® törését és visszaver®dését. Figyelembe kell venni, hogy a hullám jellege törés, illetve visszaver®dés során általában megváltozik. Még ha a határfelületre tisztán longitudinális vagy tisztán tranzverzális hullám esik is, az eredményül adódó hulám longitudinális és trazverzális részt egyaránt tartalmaz.A hullám jellege csak akkor nem változik, ha a hullám a két közeget elválasztó felületre mer®legesen esik,illetve tarnzverzális hullám tetsz®leges szög¶ beesésekor, amennyiben a rezgés a határsíkkal párhuzamos. A visszavert és a megtört hullám iránya közvetlenül meghatározható a frekvenciából, valamint a hullámvektornak a két közeget elválasztó felület érint® síkjára es® komponense állandóságából. Legyen
ϑ
a beesési,
ϑ0
a visszaver®dési(vagy törési)szög,c és
c0
pedig a
vizsgált két hullám sebessége. Ekkor
sin ϑ c = 0. 0 sin ϑ c Legyen például a bees® hullám tranzverzális. Ekkor
c = ct1 a trazverzális hullám sebessége c0 = ct1 , ezért az
az els® közegben.A visszavert tranzverzális hullámra is fennáll, hogy el®z® képlet alapján :
ϑ = ϑ0 , azaz a beesési és a visszver®dési szög megegyezik.A visszavert longitudinális hullám sebessége
c0 = cl1 ,így sin ϑ ct1 = . sin ϑ0 cl1
A tranzverzális megtört hullámra
c0 = ct2 ,
és a tranzverzális bees® hullám esetén
sin ϑ ct1 = . 0 sin ϑ ct2 Teljesen hasonló módon a megtört longitudinális hullámra
sin ϑ ct1 = . sin ϑ0 cl1
1.7.
37
ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN
1.7.4.
Kristályok rugalmas tulajdonságai
A szabadenergia az izotrop testeknél a deformációtenzor kvadratikus függvénye.Ez a függvény kristályoknál az izotrop testek vizsgálata során tapasztaltakkal szemben nem két, hanem jóval több független állandót tartalmaz. Deformált testek szabadenergiájának általános alakja :
F = ahol
λiklm
negyedrend¶ tenzor a rugalmassági modulus tenzora.Minthogy a deformáció-
tenzor szimmetrikus, az vagy az
λiklm
1 λiklm uik ulm , 2
i, k
uik ulm szorzat l, m párral
indexpárnak az
nem változik az
i
indexnek
k -val, l-nek m-mel,
való felcserélése során.Nylvánvaló ezért, hogy a
tenzor de niálható oly módon, hogy az indexek felcserélése során ugyanezekkel a
tulajdonságokkal rendelkezzék :
λiklm = λkilm = λikml = λlmik . A fenti szimmetriatulajdonságokkal rendelkez® negyedrend® tenzor független elemeinek száma általános esetben 21.A feszültségtenzor a deformációtenzorral való összefüggése kristályokban, akárcsak az izotrop testekben, a következ® alakot ölti :
σik =
∂F = λiklm ulm . ∂uik
A kristály szimmetriatulajdonságai összefüggéseket adnak a
λiklm
tenzor különböz® ele-
mei között, ezért a ténylegesen független elemek száma 21-nél kisebb lehet. Vizsggáljuk meg el®ször a köbös (szabályos)rendszert.Irányítsuk az
x, y, z
koordi-
nátatengelyeket a köbös rendszer három negyedrend¶ tengelyének megfelel®en.A három irány egyenértéküségéb®l következik, hogy csak a következ® független rugalmassági modulusok léteznek :
λxxxx , λxxyy , λxyxy . A három rugalmassági modulust tartalmazó szabadenergia kifejezése :
F =
1 λxxxx (u2xx +u2yy +u2zz )+λxxyy (uxx uyy +uxx uzz +uyy uzz )+2λxyxy (u2xy +u2xz +u2yz ). 2 Vizsgáljuk meg meg a tetragonális (négyszöges )rendszert.Válasszuk a koordináta-
rendszer miatt az
z tengelyét a C4 szimmetriatengely mentén. A másk két x, y egyenértékü tengely x ⇐⇒ y csere nem v'ltoztatja meg a modulus értékét,tehát : λxxxx = λyyyy , λxxzz = λyyzz , λxzxz = λyzyz .
A négyszöges rendszerben kristályosodott anyag szabadenergiája
F =
1 1 λxxxx (u2xx +u2yy )+ λzzzz u2zz +λxxzz (uxx uzz +uyy uzz )++λxxyy uxx uyy +2λxyxy u2xy +2λxzxz (u2xz + 2 2
Ebben az esetben 6 független modulusunk van.
38
FEJEZET 1.
RUGALMASSÁGTAN
Vegül megadjuk a nullától különböz® modulusok minimális számát, melyet a koordináta-rendszer megfelel® választásával elérhetünk.
A
mondottak
természetesen
triklinik
18
monoklinik
12
ortorombos
9
tetragonalis
6
trigonalis
6
hexagonalis
5
kobos
3
egykristályokra
vonatkoznak.Polikristályos
anyagok,
amennyiben az azt felépít® krisztalitok elegend®en kicsik, izotrop testeknek tekinthet®k.
1.7.5.
Rugalmas hullámok kristályokban
A rugalmas hull'mok anizotrop k0zegekben, azaz kristályokban végbemen® terjedés jóval bonyolultabb törvényszerüségeket követ, mint az izotrop közegekben meg gyelt hullámterjedés.Vissza kell térnünk a
ρ¨ ui = általános egyenlethez, és használnunk kell a
∂σik ∂xk
σik
és
uik
kapcsolatára az el®z® részben nyert
összefüggést :
σik = λiklm ulm . Ahogy már említettük lenti.
σik -t
λiklm
mindenütt a rugalmassági modulus adiabatikus értékét je-
a mozgásegyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy
∂ulm λiklm ∂ ∂ul ∂um ρ¨ ui = λiklm = + ∂xk 2 ∂xk ∂xm ∂xl 1 ∂ 2 ul 1 ∂ 2 um = λiklm + λiklm . 2 ∂xk ∂xm 2 ∂xk ∂xl Mivel
λiklm
tenzor
l
és
m
(1.1)
(1.2)
indexeiben szimmetrikus, ezért
ρ¨ ui = λiklm
∂ 2 um . ∂xk ∂xl
Tekintsünk egy kristályban terjed® monokromatikus rugalmas hullámot. Az egyenletek megoldását az
ui = u0i ei(kr−ωt) alakban keressük. A helyettesítés után
ρω 2 ui = λiklm kk kl um alakba.Alkalmazva a
ui = δim um
egyenl®séget
(ρω 2 δim − λiklm kk kl = 0.
1.7.
39
ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN
Az egyenletrendszernek akkor van megoldása, ha
|λiklm − ρω 2 δim | = 0. ω 2 -benharmadfoku egyenletre vezet, amelynek általában három egymástól különböz® gyöke van.Az adott k hullámszámvektorhoz e gyökök mindegyike meghatároz egy frek2 2 2 venciát.[Izotrop esetben az egyenlet a már ismert eredményre vezetnek:egy ω = cl k 2 2 2 megoldás, és két egymással megegyez® ω = ct k megoldás.]A hullámterjedési sebesEz
sége (csoportsebesség) a frekvenciának a hullámvektor szerint képzett dierenciálhánya-
∂ω ∂k sebesirányával.Kristályokban terjed® rugalmas hullámok esetén ilyen
dosa.Izotrop testben a frekvencia ség iránya megegyezik
k
k
abszolut értékével arányos, ezért az
U=
összefüggés nem áll fenn, így azok terjedési iránya különbözik a hullámvektor irányától.
ki komponenseinek homogén lineω hányadost vezetjük be, az egyenlet k ∂ω együtthatói k -tól függetlenek.)Ennek következtében a ∂k csoportsebesség a ki -knek nullarend¶ homogén függvénye.Tehát a hullám sebessége a terjedési iránytól, de független a A fenti egyenletb®l látható, hogy
ω
a
k
vektor
áris függvénye.(Ha ismeretlen mennyiségként az
frekvenciától. Minthogy
ω
és
k között három különböz® összefüggés áll fenn, a kristályban minden
irányban általában három külöböz® sebességgel terjedhetnek rugalmas hullámok.Csak néhány kitüntetett irány mentén következhet be e három sebesség egybeesése. Izotrop közegben a két különböz® sebességgel terjed® hullám tisztán longitudinális vagy tisztán tranzverzális. Ezzel ellentétben kristályban minden terjedési sebesség olyan hullámnak felel meg, amelynek elmozdulásakor egyaránt rendelkezik a terjedési irányba es® és arra mer®leges komponenssel.
