Bevezetés az atomfizikába

Bevezetés az atomfizikába Berta Miklós SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. október 25.

Bevezetés

• Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

Bevezetés

2 / 57

Bevezetés Bevezetés

• Bevezetés Kísérleti tények

Makrovilág Mikrovilág

⇐⇒ ⇐⇒

Klasszikus fizika Jó-e a klasszikus fizika itt is?

Kísérleti tények

⇐⇒

Túl kell lépni a klasszikus fizika keretein!

Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

3 / 57




⇐⇒ ⇐⇒


Kísérleti tények

⇐⇒



Ezek a kísérleti tények a következo˝ jelenségek során merültek fel:

• Abszolút fekete test sugárzása • Fényelektromos jelenség • Gázok fénykibocsájtása és fényelnyelése

3 / 57




⇐⇒ ⇐⇒


Kísérleti tények

⇐⇒





Nincs magyarázat a klasszikus fizika keretein belül!

3 / 57




⇐⇒ ⇐⇒


Kísérleti tények

⇐⇒





Nincs magyarázat a klasszikus fizika keretein belül! Általánosabb érvényu˝ elmélet szükséges!

3 / 57

Bevezetés Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

• Compton-effektus • Hullám-részecske ˝ kettosség Atommodellek Kvantumfizika alapjai

Kísérleti tények

Az elektron állapotai az atomban

4 / 57

˝ Homérsékleti sugárzás Bevezetés

˝ Az anyag T homérsékleten elektromágneses sugárzás forrása!

Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

• Compton-effektus • Hullám-részecske ˝ kettosség Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

5 / 57




• izzó vasdarab ˝ eltéro˝ homérséklet ˝ • a környezettol u˝ anyagok megfigyelése

• Compton-effektus • Hullám-részecske

infratávcsövekkel

˝ kettosség Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

5 / 57





• Compton-effektus • Hullám-részecske ˝ kettosség Atommodellek

infratávcsövekkel Azt a sugárzót amelyik elnyeli az összes ráeso˝ elektromágneses sugárzást abszolút fekete testnek nevezzük.

Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

5 / 57








˝ homérsékletét ˝ ˝ függo, ˝ Az abszolút fekete test csak a rá jellemzo, ol ˝ homérsékleti sugárzást bocsájt ki.

5 / 57








˝ homérsékletét ˝ ˝ függo, ˝ Az abszolút fekete test csak a rá jellemzo, ol ˝ homérsékleti sugárzást bocsájt ki. Az elektromágneses sugárzás u(ν) spektrális intenzitásán az I intenzitás ν frekvencia szerinti eloszlását értjük.

5 / 57








˝ homérsékletét ˝ ˝ függo, ˝ Az abszolút fekete test csak a rá jellemzo, ol ˝ homérsékleti sugárzást bocsájt ki. Az elektromágneses sugárzás u(ν) spektrális intenzitásán az I intenzitás ν frekvencia szerinti eloszlását értjük.

u(ν) dν megadja, hogy az I intenzitású sugárzásban mekkora intenzitást képviselnek a (ν, ν + d ν) frekvenciaintervallumba eso˝ frekvenciájú elektromágneses sugarak.

5 / 57

Bevezetés

u(ν)

T1 < T2 < T3


T3

• Compton-effektus • Hullám-részecske ˝ kettosség

T2


T1 ν

6 / 57

Bevezetés

u(ν)

T1 < T2 < T3


T3


T2

Atommodellek

T1


ν Wien-féle eltolódási törvény:

νmax T

= konstans

6 / 57

Bevezetés

u(ν)

T1 < T2 < T3


T3


T2

Atommodellek

T1



νmax T

= konstans

Stefan-Boltzmann törvény:

u(T ) = σT 4 6 / 57

Bevezetés

u(ν)

T1 < T2 < T3


T3


T2

Atommodellek

T1



νmax T

= konstans

Stefan-Boltzmann törvény:

u(T ) = σT 4 6 / 57



Az abszolút fekete test mért spektrális intenzitása csak akkor magyarázható, ha feltesszük, hogy az elektromágneses mezo˝ energiakvantummal (foton) rendelkezik, melynek energiája:

Eν = hν


7 / 57




Eν = hν

˝ kettosség Atommodellek

h-a Planck-állandó


h = 6, 625.10−34 Js

7 / 57




Eν = hν


h-a Planck-állandó

Kvantumfizika alapjai

h = 6, 625.10−34 Js


Ekkor

u(ν, T ) =

2πhν 3 hν

c2 (e kT

− 1)

7 / 57

Példa Bevezetés Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

Határozza meg az abszolút fekete test sugárzásának intenzitását T ˝ homérsékleten!


8 / 57



Határozza meg az abszolút fekete test sugárzásának intenzitását T ˝ homérsékleten! Megoldás: I(T ) =

R∞ 0

u(ν, T ) dν =

2πh c2

R∞ 0

ν3 hν e kT

dν

−1


8 / 57




R∞ 0

u(ν, T ) dν =

2πh c2

hν Vezessük be az x = kT helyettesítést! Ekkor: R

I(T ) =

2πk4 T 4 c2 h3

∞ x3 0 ex −1

R∞ 0

ν3 hν e kT

dν

−1

dx

8 / 57




R∞ 0

u(ν, T ) dν =

2πh c2


R∞ 0

ν3 hν e kT

dν

−1

∞ x3 0 ex −1 dx R ∞ x3 4 . A határozott integrálok táblázatából 0 ex −1 dx = π 15

I(T ) =

2πk4 T 4 c2 h3

8 / 57




R∞ 0

u(ν, T ) dν =

2πh c2


R∞ 0

ν3 hν e kT

dν

−1


I(T ) =

2πk4 T 4 c2 h3

Tehát:

I(T ) = σT 4 ,

ahol

σ=

2π5 k4 15c2 h3

= 5, 67.10−8 W.m−2 .K−4 .

8 / 57




R∞ 0

u(ν, T ) dν =

2πh c2


R∞ 0

ν3 hν e kT

dν

−1


I(T ) =

2πk4 T 4 c2 h3

Tehát:

I(T ) = σT 4 ,

2π5 k4 15c2 h3

ahol σ= = 5, 67.10−8 W.m−2 .K−4 . ˝ tehát A Planck által a kvantumhipotézis alapján talált összefüggésbol következik a Stefan-Boltzmann törvény.

8 / 57

Fényelektromos jelenség Bevezetés Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

Jelenség: Elektromágneses sugarak anyaggal (fémekkel) való kölcsönhatása.


9 / 57




• Csak bizonyos frekvenciánál nagyobb frekvenciájú sugárzás hatására válnak ki az anyagból a fotoelektronoknak elnevezett részecskék.


9 / 57




• Csak bizonyos frekvenciánál nagyobb frekvenciájú sugárzás hatására válnak ki az anyagból a fotoelektronoknak elnevezett részecskék. • A kilépo˝ elektronok mozgási energiája csak a beeso˝ monokromatikus sugárzás frekvenciájától függ, és független a sugárzás intenzitásától.

9 / 57




• Csak bizonyos frekvenciánál nagyobb frekvenciájú sugárzás hatására válnak ki az anyagból a fotoelektronoknak elnevezett részecskék. • A kilépo˝ elektronok mozgási energiája csak a beeso˝ monokromatikus sugárzás frekvenciájától függ, és független a sugárzás intenzitásától. • Az intenzitás növelése csak a kilépo˝ elektronok számát növelte, és semmilyen hatással nem volt az energiájukra.

9 / 57




• Csak bizonyos frekvenciánál nagyobb frekvenciájú sugárzás hatására válnak ki az anyagból a fotoelektronoknak elnevezett részecskék. • A kilépo˝ elektronok mozgási energiája csak a beeso˝ monokromatikus sugárzás frekvenciájától függ, és független a sugárzás intenzitásától. • Az intenzitás növelése csak a kilépo˝ elektronok számát növelte, és semmilyen hatással nem volt az energiájukra. Albert Einstein a kvantumhipotézist használta a fényelektromos jelenség magyarázatára.

9 / 57




• Csak bizonyos frekvenciánál nagyobb frekvenciájú sugárzás hatására válnak ki az anyagból a fotoelektronoknak elnevezett részecskék. • A kilépo˝ elektronok mozgási energiája csak a beeso˝ monokromatikus sugárzás frekvenciájától függ, és független a sugárzás intenzitásától. • Az intenzitás növelése csak a kilépo˝ elektronok számát növelte, és semmilyen hatással nem volt az energiájukra. Albert Einstein a kvantumhipotézist használta a fényelektromos jelenség magyarázatára.

hν = A +

1 2

me v 2

9 / 57

Bevezetés

Fény

Anód



Fotocella

G


U

10 / 57

Bevezetés

Fény

Anód



Fotocella

G


U

˝ teszi a fotoelektronok Kísérleti elrendezés, amelyik lehetové mozgási energiájának mérését.

10 / 57

Bevezetés

Fény

Anód



Fotocella

G


U

˝ teszi a fotoelektronok Kísérleti elrendezés, amelyik lehetové mozgási energiájának mérését. ˝ készült anódra beeso˝ fény váltja ki a fotoelektronokat. A fémbol

10 / 57

Bevezetés

Fény

Anód



Fotocella

G


U

˝ teszi a fotoelektronok Kísérleti elrendezés, amelyik lehetové mozgási energiájának mérését. ˝ készült anódra beeso˝ fény váltja ki a fotoelektronokat. A fémbol Ezek a változtatható feszültségu˝ ellentérben lassulnak, míg egy bizonyos feszültség mellett, amit lezárási feszültségnek hívunk (U0 ), az áram az áramkörben nullára esik, amit a galvanométer jelez. 10 / 57


Amikor az áram az aramkörben nulla, akkor az ellentérrel szemben végzett munka egyenlo˝ az elektronok mozgási energiájával.


11 / 57




eU0 = 21 mv 2 A fotoeffektus kísérleti tanulmányozása során vizsgálták azt is, hogy miként függ a lezárási feszültség a beeso˝ fény frekvenciájától.


11 / 57






U0


α ν A e

tan (α) =

h e

11 / 57






U0


α ν A e

tan (α) =

U0 (ν) =

h ν e

+

h e

A e 11 / 57

Compton-effektus Bevezetés Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

Meglepetést jelentett az a megfigyelés, hogy az anyag elektronjain a néhány keV energiájú fotonok szóródásakor megváltozik azok frekvenciája, és így energiája is.


12 / 57



Meglepetést jelentett az a megfigyelés, hogy az anyag elektronjain a néhány keV energiájú fotonok szóródásakor megváltozik azok frekvenciája, és így energiája is. 1 eV energiára tesz szert egy elektron, ha 1 V feszültség gyorsítja. 1 eV = 1, 6.10−19 J.


12 / 57



Meglepetést jelentett az a megfigyelés, hogy az anyag elektronjain a néhány keV energiájú fotonok szóródásakor megváltozik azok frekvenciája, és így energiája is. 1 eV energiára tesz szert egy elektron, ha 1 V feszültség gyorsítja. 1 eV = 1, 6.10−19 J. szórt foton


′

Eγ Eγ bees˝o foton

Θ ϕ

elektron

Ee

12 / 57



Meglepetést jelentett az a megfigyelés, hogy az anyag elektronjain a néhány keV energiájú fotonok szóródásakor megváltozik azok frekvenciája, és így energiája is. 1 eV energiára tesz szert egy elektron, ha 1 V feszültség gyorsítja. 1 eV = 1, 6.10−19 J. szórt foton


′

Eγ Eγ bees˝o foton

Θ ϕ

elektron

Ee

12 / 57

Bevezetés

˝ indult ki. Compton a jelenség magyarázatakor a kvantumhipotézisbol



13 / 57


˝ indult ki. Compton a jelenség magyarázatakor a kvantumhipotézisbol h = impulzusa van, és tökéletesen Feltette, hogy a fotonnak hν c λ rugalmasan ütközik az elektronnal.


13 / 57



˝ indult ki. Compton a jelenség magyarázatakor a kvantumhipotézisbol h = impulzusa van, és tökéletesen Feltette, hogy a fotonnak hν c λ rugalmasan ütközik az elektronnal. Compton tehát feltételezte az energiamegmaradás tételének és az impulzusmegmaradás tételének érvényességét a folyamatban.


13 / 57




˝ kettosség Atommodellek Kvantumfizika alapjai

′

pγ = pγ + pe


13 / 57





′

pγ = pγ + pe 2

′

Eγ + mec = Eγ + Ee

13 / 57





′

pγ = pγ + pe 2

′

Eγ + mec = Eγ + Ee ˝ tudjuk, hogy egy részecske energiája és A relativitás elméletébol impulzusa között a következo˝ összefüggés áll fenn:

E 2 = p2 c2 + m20 c4 .

13 / 57



′

pγ ϕ

Θ pγ

Θ ϕ


pe


14 / 57



′

pγ ϕ

Θ pγ

Θ ϕ


pe


Írjuk át az energia megmaradásának tételét az impulzus és energia közötti relativisztikus összefüggés felhasználásával: q

pγ c + me

c2

′

= pγ c +

m2e c4 + p2e c2 .

14 / 57


′

pγ ϕ

Θ


pγ

Θ ϕ


pe



pγ c + me

c2

′

= pγ c +

m2e c4 + p2e c2 .

Rendezés után:

′

′

p2e = (pγ − pγ )2 − 2mec(pγ − pγ ).

14 / 57


′

pγ ϕ

Θ


pγ

Θ ϕ


pe



pγ c + me

c2

′

= pγ c +

m2e c4 + p2e c2 .

Rendezés után:

′

′

p2e = (pγ − pγ )2 − 2mec(pγ − pγ ).

A koszinusz-tétel felhasználásával az ábra alapján:

p2e

=

p2γ

′2

′

+ pγ − 2pγ pγ cos . 14 / 57


˝ téve, és a kapott egyenletbol ˝ a szórt foton A kifejezéseket egyenlové lendületét kifejezve: ′

pγ =

pγ pγ 1+ m c (1−cos Θ) e

.


15 / 57


• Compton-effektus • Hullám-részecske ˝ kettosség Atommodellek Kvantumfizika alapjai


pγ =


.

Mivel p = E , a szórt foton energiája a következo˝ egyenlet szerint c alakul: Eγ

′

Eγ =

1+

Eγ (1−cos Θ) m e c2

.


15 / 57




pγ =


.


′

Eγ =

1+


.

˝ oek ˝ alapján kiszámítható a foton hullámhosszának Az eloz megváltozása is:

∆λ =

h (1 me c

− cos).

15 / 57




pγ =


.


′

Eγ =

1+


.


∆λ =

h (1 me c

− cos).

A mh c kifejezést az elektron Compton-hullámhosszának nevezzük. e

15 / 57




pγ =


.


′

Eγ =

1+


.


∆λ =

h (1 me c

− cos).

A mh c kifejezést az elektron Compton-hullámhosszának nevezzük. e Compton az elektromágneses hullámokhoz részecsketulajdonságokat rendelt.

15 / 57

˝ Hullám-részecske kettosség Bevezetés Kísérleti tények ˝ • Homérsékleti sugárzás • Fényelektromos jelenség

Compton elgondolását Louis de Broglie tette szimmetrikussá, amikor a klasszikus értelemben vett részecskékhez hullámtulajdonságokat rendelt.


16 / 57


Compton elgondolását Louis de Broglie tette szimmetrikussá, amikor a klasszikus értelemben vett részecskékhez hullámtulajdonságokat rendelt. ˝ A foton esetében a Compton-féle hozzárendelés a következo:


E = hν


p=

h λ

.

16 / 57




E = hν


p=

h λ

.

Louis de Broglie nem tett mást mint megfordította Compton gondolatmenetét.

16 / 57




E = hν


p=

h λ

.

Louis de Broglie nem tett mást mint megfordította Compton gondolatmenetét. Ennek értelmében egy p impulzusú részecskének

λ=

h p

hullámhosszúságú hullám feleltetheto˝ meg. 16 / 57




E = hν


p=

h λ

.

Louis de Broglie nem tett mást mint megfordította Compton gondolatmenetét. Ennek értelmében egy p impulzusú részecskének

λ=

h p

hullámhosszúságú hullám feleltetheto˝ meg. 16 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek • Rutherford-féle atommodell

• A hidrogén színképe • Bohr-féle atommodell • Franck-Hertz kísérlet Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban

Atommodellek

17 / 57

Rutherford-féle atommodell Bevezetés

Az elektron az elemi negatív töltés hordozója.

Kísérleti tények Atommodellek • Rutherford-féle atommodell


18 / 57

Rutherford-féle atommodell Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek • Rutherford-féle atommodell

• A hidrogén színképe • Bohr-féle atommodell • Franck-Hertz kísérlet

Az elektron az elemi negatív töltés hordozója. Hogyan oszlik el az anyagban az elektronok negatív töltését kompenzáló pozitív töltésu˝ alkotórész, melynek léteznie kell, mert az anyag általában elektromosan semleges?


18 / 57


• A hidrogén színképe • Bohr-féle atommodell • Franck-Hertz kísérlet Kvantumfizika alapjai

Az elektron az elemi negatív töltés hordozója. Hogyan oszlik el az anyagban az elektronok negatív töltését kompenzáló pozitív töltésu˝ alkotórész, melynek léteznie kell, mert az anyag általában elektromosan semleges? ˝ meg lehetett becsülni az atomok Már a kinetikus gázelméletbol méretét. Ez 10−10 m nagyságrendunek ˝ adódott.


18 / 57



Az elektron az elemi negatív töltés hordozója. Hogyan oszlik el az anyagban az elektronok negatív töltését kompenzáló pozitív töltésu˝ alkotórész, melynek léteznie kell, mert az anyag általában elektromosan semleges? ˝ meg lehetett becsülni az atomok Már a kinetikus gázelméletbol méretét. Ez 10−10 m nagyságrendunek ˝ adódott. Thomson feltételezte, hogy a pozitív anyagrész kitölti az atomok teljes térfogatát, és az elektronok ebben vannak kötve az elektromos ˝ által. erok

18 / 57



Az elektron az elemi negatív töltés hordozója. Hogyan oszlik el az anyagban az elektronok negatív töltését kompenzáló pozitív töltésu˝ alkotórész, melynek léteznie kell, mert az anyag általában elektromosan semleges? ˝ meg lehetett becsülni az atomok Már a kinetikus gázelméletbol méretét. Ez 10−10 m nagyságrendunek ˝ adódott. Thomson feltételezte, hogy a pozitív anyagrész kitölti az atomok teljes térfogatát, és az elektronok ebben vannak kötve az elektromos ˝ által. erok A XX. század elején fedezték fel a természetes radioaktivitást. Ennek egyik komponense az α−sugárzás, amely kétszeres elemi pozitív töltést hordozó részecskék árama.

18 / 57



Az elektron az elemi negatív töltés hordozója. Hogyan oszlik el az anyagban az elektronok negatív töltését kompenzáló pozitív töltésu˝ alkotórész, melynek léteznie kell, mert az anyag általában elektromosan semleges? ˝ meg lehetett becsülni az atomok Már a kinetikus gázelméletbol méretét. Ez 10−10 m nagyságrendunek ˝ adódott. Thomson feltételezte, hogy a pozitív anyagrész kitölti az atomok teljes térfogatát, és az elektronok ebben vannak kötve az elektromos ˝ által. erok A XX. század elején fedezték fel a természetes radioaktivitást. Ennek egyik komponense az α−sugárzás, amely kétszeres elemi pozitív töltést hordozó részecskék árama. Ezekkel sokkal effektívebben tanulmányozható az atomszerkezet. Az α−sugárzásban terjedo˝ részecskék tömege mintegy 7340-szerese az elektron tömegének, töltésük pedig kétszeres pozitív elemi töltés. 18 / 57


Rutherford az új sugárzással bombázott vékony fémfóliákat, és arra volt kíváncsi, mennyiben tér el a fólia mögötti szórási kép attól, amit katódsugarak esetében tapasztaltak.


19 / 57



Rutherford az új sugárzással bombázott vékony fémfóliákat, és arra volt kíváncsi, mennyiben tér el a fólia mögötti szórási kép attól, amit katódsugarak esetében tapasztaltak. A várakozásokkal ellentétben átlagosan minden 40 000-dik α−rész visszapattant a fóliáról.


19 / 57



Rutherford az új sugárzással bombázott vékony fémfóliákat, és arra volt kíváncsi, mennyiben tér el a fólia mögötti szórási kép attól, amit katódsugarak esetében tapasztaltak. A várakozásokkal ellentétben átlagosan minden 40 000-dik α−rész visszapattant a fóliáról. Rutherford a jelenséget azzal a feltételezéssel magyarázta, hogy az atom pozitív része nem tölti ki az atom teljes térfogatát, hanem az atom közepén helyezkedik el. Ez az atommag.

19 / 57



Rutherford az új sugárzással bombázott vékony fémfóliákat, és arra volt kíváncsi, mennyiben tér el a fólia mögötti szórási kép attól, amit katódsugarak esetében tapasztaltak. A várakozásokkal ellentétben átlagosan minden 40 000-dik α−rész visszapattant a fóliáról. Rutherford a jelenséget azzal a feltételezéssel magyarázta, hogy az atom pozitív része nem tölti ki az atom teljes térfogatát, hanem az atom közepén helyezkedik el. Ez az atommag. A Rutherford-féle kísérlet azt mutatja, hogy az alkalmazott Eα energiájú α−részeket az atommag képes teljesen lefékezni és visszalökni.

19 / 57



Rutherford az új sugárzással bombázott vékony fémfóliákat, és arra volt kíváncsi, mennyiben tér el a fólia mögötti szórási kép attól, amit katódsugarak esetében tapasztaltak. A várakozásokkal ellentétben átlagosan minden 40 000-dik α−rész visszapattant a fóliáról. Rutherford a jelenséget azzal a feltételezéssel magyarázta, hogy az atom pozitív része nem tölti ki az atom teljes térfogatát, hanem az atom közepén helyezkedik el. Ez az atommag. A Rutherford-féle kísérlet azt mutatja, hogy az alkalmazott Eα energiájú α−részeket az atommag képes teljesen lefékezni és visszalökni. Az α−rész akkor áll meg, amikor kezdeti mozgási energiája felhasználódik az atommag taszításának leküzdésére, azaz amikor:

Eα =

ZαZe2 4πε0 R 19 / 57

Bevezetés

Uc



∼

1 r

Eα


R Rmag

r

20 / 57

Bevezetés

Uc



∼

1 r

Eα


R Rmag

r

Határozzuk meg R értékét, ha az egyik kísérletben Eα = 8 MeV ˝ energiájú α−sugárzás visszalökodését figyelték meg aranyfóliáról (Z = 79).

R=

ZαZe2 4πε0 Eα

= 2, 8 · 10−14 m 20 / 57

Bevezetés

Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet.



21 / 57


Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m


21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt.


21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt. Az atommag körül körpályákon keringenek a könnyu˝ elektronok elektronburkot alkotva.


21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt. Az atommag körül körpályákon keringenek a könnyu˝ elektronok elektronburkot alkotva. Sajnos ez a modell nem egyeztetheto˝ össze egyszerre a kísérleti tapasztalatokkal és a klasszikus elektrodinamikával.

21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt. Az atommag körül körpályákon keringenek a könnyu˝ elektronok elektronburkot alkotva. Sajnos ez a modell nem egyeztetheto˝ össze egyszerre a kísérleti tapasztalatokkal és a klasszikus elektrodinamikával. A körpályán keringo˝ töltött elektronnak a klasszikus elmélet szerint sugároznia kell, mivel gyorsulással mozog.

21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt. Az atommag körül körpályákon keringenek a könnyu˝ elektronok elektronburkot alkotva. Sajnos ez a modell nem egyeztetheto˝ össze egyszerre a kísérleti tapasztalatokkal és a klasszikus elektrodinamikával. A körpályán keringo˝ töltött elektronnak a klasszikus elmélet szerint sugároznia kell, mivel gyorsulással mozog. A kisugárzott energia csökkenti a keringo˝ elektron mozgási energiáját, ezért annak bele kéne zuhannia a magba, miközben folytonos spektrumú elektromágneses sugárzást kéne kibocsátania.

21 / 57



Nyilván az atommag sugara ennél az értéknél csak kisebb lehet. Rmag ∼ 10−14 − 10−15 m Rutherford a kísérleti eredmények alapján egy új atommodellt javasolt. Az atommag körül körpályákon keringenek a könnyu˝ elektronok elektronburkot alkotva. Sajnos ez a modell nem egyeztetheto˝ össze egyszerre a kísérleti tapasztalatokkal és a klasszikus elektrodinamikával. A körpályán keringo˝ töltött elektronnak a klasszikus elmélet szerint sugároznia kell, mivel gyorsulással mozog. A kisugárzott energia csökkenti a keringo˝ elektron mozgási energiáját, ezért annak bele kéne zuhannia a magba, miközben folytonos spektrumú elektromágneses sugárzást kéne kibocsátania. A kísérletek azonban azt mutatják, hogy az atomok különösképpen ˝ stabil képzodmények, továbbá az általuk kibocsátott sugárzás spektruma vonalas. 21 / 57

A hidrogén színképe Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek • Rutherford-féle atommodell

A XIX. század végén az optikából jól ismert módon, spektroszkópiai módszerekkel vizsgálták az atomok által kibocsátott látható fényt, vagy az infravörös és ultraibolya sugárzásokat.


22 / 57



A XIX. század végén az optikából jól ismert módon, spektroszkópiai módszerekkel vizsgálták az atomok által kibocsátott látható fényt, vagy az infravörös és ultraibolya sugárzásokat. A mért spektrumok kivétel nélkül vonalas jelleguek ˝ voltak.


22 / 57



A XIX. század végén az optikából jól ismert módon, spektroszkópiai módszerekkel vizsgálták az atomok által kibocsátott látható fényt, vagy az infravörös és ultraibolya sugárzásokat. A mért spektrumok kivétel nélkül vonalas jelleguek ˝ voltak. ˝ A fizika további fejlodésének szempontjából különösen fontos a legegyszerubb ˝ elem, a hidrogén spektruma.

22 / 57



A XIX. század végén az optikából jól ismert módon, spektroszkópiai módszerekkel vizsgálták az atomok által kibocsátott látható fényt, vagy az infravörös és ultraibolya sugárzásokat. A mért spektrumok kivétel nélkül vonalas jelleguek ˝ voltak. ˝ A fizika további fejlodésének szempontjából különösen fontos a legegyszerubb ˝ elem, a hidrogén spektruma. A spektrumvonalak hullámhosszára a következo˝ tapasztalati képletet találták:

1

λ

= R∞

1

n2

−

1

m2

R∞ = 1, 097373 · 107 m−1 - a Rydberg állandó n, m > n- természetes számok

22 / 57

Bevezetés Kísérleti tények

Hidrogén színképének elso˝ sikeres magyarázatát Niels Bohr dán fizikus adta meg.

Atommodellek • Rutherford-féle atommodell


23 / 57



Hidrogén színképének elso˝ sikeres magyarázatát Niels Bohr dán fizikus adta meg. Elfogadta Rutherford atommodelljét, de hiányosságainak kiküszöbölésére bevezetett három posztulátumot.


23 / 57



Hidrogén színképének elso˝ sikeres magyarázatát Niels Bohr dán fizikus adta meg. Elfogadta Rutherford atommodelljét, de hiányosságainak kiküszöbölésére bevezetett három posztulátumot. 1. posztulátum Az elektron az atomburokban csak olyan körpályán (stacionárius pályán) mozoghat, amelyre teljesül a következo˝ kvantumfeltétel: h mevr = n 2π .

23 / 57




2. posztulátum Ha az elektron az említett stacionárius pálya valamelyikén kering, nem sugároz ki elektromágneses sugárzást.

23 / 57




2. posztulátum Ha az elektron az említett stacionárius pálya valamelyikén kering, nem sugároz ki elektromágneses sugárzást. 3. posztulátum Az elektron csak akkor sugároz, ha nagyobb sugarú pályáról kisebb sugarúra áll. Ekkor a pályáknak megfelelo˝ energiák különbségét egy foton formájában adja le.

hν = Em − En 23 / 57

Bohr-féle atommodell Bevezetés Kísérleti tények

v1



r1

foton

r2


v2

24 / 57


v1



r1

foton

r2


v2

Írjuk fel az elektron mozgásegyenletét az n-dik pályán: v2 me r

=

e2 4πε0 r2

24 / 57


v1



r1

foton

r2


v2

Írjuk fel az elektron mozgásegyenletét az n-dik pályán: v2 me r

=

e2 4πε0 r2

Bohr 1. posztulátuma alapján:

2πmevr = nh.

24 / 57


˝ a pályasugár és a kerületi sebesség kifejezheto: ˝ A két egyenletbol ε0 h2 rn = πme e2 n2 , e2 vn = 2ε0 nh .


25 / 57




Mivel az elektron a mag elektromos terében mozog, összenergiája a mozgási és a helyzeti energiájának összege:

E=

1 2 m v e 2

−

e2 . 4πε0 r

25 / 57





E=

1 2 m v e 2

−

e2 . 4πε0 r

Behelyettesítve a sugár és sebesség helyére:

En = −

m e e4 1 8ε0

2 h2

n2

.

25 / 57

Bevezetés





E=


1 2 m v e 2

−

e2 . 4πε0 r

Behelyettesítve a sugár és sebesség helyére:

En = −

m e e4 1 8ε0

2 h2

n2

.

Bohr 3. posztulátuma alapján kiszámolható az m-dik pályáról az n-dik pályára való átmenetkor kisugárzott foton hullámhossza:

1 λ

=

me 8ε0

e4

2 h3 c

1 n2

−

1 m2

.

25 / 57


Látjuk, hogy Bohr elmélete a Rydberg állandóra a következo˝ összefüggést adja:



R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.


26 / 57





R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.

Behelyettesítve az állandók számértékeit, a kísérleti és elméleti érték meglepo˝ egyezést mutat.

26 / 57





R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.

Behelyettesítve az állandók számértékeit, a kísérleti és elméleti érték meglepo˝ egyezést mutat. A Bohr elmélet értelmezni képes a hidrogén színképében fellelt különbözo˝ sorozatokat.

26 / 57





R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.

Behelyettesítve az állandók számértékeit, a kísérleti és elméleti érték meglepo˝ egyezést mutat. A Bohr elmélet értelmezni képes a hidrogén színképében fellelt különbözo˝ sorozatokat. Sajnos Bohr-elmélete csak a H-atomra használható. A többi atom esetében a tapasztalattal nem megegyezo˝ eredményre vezet.

26 / 57





R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.

Behelyettesítve az állandók számértékeit, a kísérleti és elméleti érték meglepo˝ egyezést mutat. A Bohr elmélet értelmezni képes a hidrogén színképében fellelt különbözo˝ sorozatokat. Sajnos Bohr-elmélete csak a H-atomra használható. A többi atom esetében a tapasztalattal nem megegyezo˝ eredményre vezet. Írjuk át Bohr 1. posztulátumát a következo˝ alakba:

2πr = n mhe v .

26 / 57





R∞ =

m e e4 8ε0

2 h3 c

.

Behelyettesítve az állandók számértékeit, a kísérleti és elméleti érték meglepo˝ egyezést mutat. A Bohr elmélet értelmezni képes a hidrogén színképében fellelt különbözo˝ sorozatokat. Sajnos Bohr-elmélete csak a H-atomra használható. A többi atom esetében a tapasztalattal nem megegyezo˝ eredményre vezet. Írjuk át Bohr 1. posztulátumát a következo˝ alakba:

2πr = n mhe v .

A mh v mennyiség az elektron de-Broglie hullámhossza, így a fenti e felírásnak van egy másik jelentése is. 26 / 57


Ez a feltétel azt mondja ki, hogy az atomokba zárt elektronok olyan állóhullámok, melyeknek hullámhossza a stacionárius pálya kerületére n-szer fér rá. (n = 1, 2, 3, ...)


r


elektron Mag

27 / 57


Ez a feltétel azt mondja ki, hogy az atomokba zárt elektronok olyan állóhullámok, melyeknek hullámhossza a stacionárius pálya kerületére n-szer fér rá. (n = 1, 2, 3, ...)


r


elektron Mag

Ez a Bohr-féle posztulátum arra szolgál, hogy a klasszikus elmélet ˝ kiválassza a mikrovilág számára alapján számított eredményekbol ˝ megfeleloeket. ⇒ kvantált fizikai mennyiségeket. 27 / 57


Az elektron az n = 1 kvantumszámú pálya sugaránál nem kerülhet közelebb a maghoz. Ezt az állapotot nevezzük alapállapotnak.



28 / 57



Az elektron az n = 1 kvantumszámú pálya sugaránál nem kerülhet közelebb a maghoz. Ezt az állapotot nevezzük alapállapotnak. Az elektron összenergiája csak a kvantumfeltételnek eleget tevo˝ diszkrét érték lehet.


28 / 57



Az elektron az n = 1 kvantumszámú pálya sugaránál nem kerülhet közelebb a maghoz. Ezt az állapotot nevezzük alapállapotnak. Az elektron összenergiája csak a kvantumfeltételnek eleget tevo˝ diszkrét érték lehet. E


n=3 n=2

E

0..

0

.

E3 = −1, 51 eV E2 = −3, 40 eV

.. .

n=1

n=3

E3

n=2

E2

n=1

E1

E1 = −13, 605 eV a)

b)

28 / 57



Az elektron az n = 1 kvantumszámú pálya sugaránál nem kerülhet közelebb a maghoz. Ezt az állapotot nevezzük alapállapotnak. Az elektron összenergiája csak a kvantumfeltételnek eleget tevo˝ diszkrét érték lehet. E


n=3 n=2

E

0..

0

.

E3 = −1, 51 eV E2 = −3, 40 eV

.. .

n=1

n=3

E3

n=2

E2

n=1

E1

E1 = −13, 605 eV a)

b)

Az anyagba zárt mikrorészecskék általános tulajdonsága, hogy energiáik csak diszkrét értékeket vehetnek fel. 28 / 57

Franck-Hertz kísérlet Bevezetés Kísérleti tények

G



Ua A

+

Hg-g˝oz

R


K Ur

+

29 / 57

Franck-Hertz kísérlet Bevezetés Kísérleti tények

G



Ua A

+

Hg-g˝oz

R


K Ur

+

A kísérlet során változtatjuk a katód és rács közé kapcsolt gyorsítófeszültséget, és ennek függvényében mérjük a G galvanométerrel az anódáramot.

29 / 57


I



V0

2V0

3V0

4V0

Vr

30 / 57


I



V0

2V0

3V0

4V0

Vr

Az elektronok tökéletesen rugalmasan ütköznek a higanyatomokkal.

30 / 57


I



V0

2V0

3V0

4V0

Vr

Az elektronok tökéletesen rugalmasan ütköznek a higanyatomokkal. Mivel azok tömege több ezerszer nagyobb az elektronok tömegénél, az elektronok gyakorlatilag energiaveszteség nélkül pattannak vissza róluk, és elérik az anódot. ⇒ Az anódáram a ˝ gyorsítófeszültséggel arányosan no. 30 / 57


Amikor a gyorsítófeszültség eléri a V0 = 4, 9 V értéket az anódáram hirtelen csökkenni kezd. Mi lehet ennek az oka?



31 / 57



Amikor a gyorsítófeszültség eléri a V0 = 4, 9 V értéket az anódáram hirtelen csökkenni kezd. Mi lehet ennek az oka? A 4, 9 eV energiájú elektronok ütközése a higanyatomokkal nem rugalmas ütközés. Az ilyen energiájú elektronok a higany atomjaival ütközve átadják energiájukat a higany egyik elektronjának, és az magasabb energiaszintre ugrik.


31 / 57



Amikor a gyorsítófeszültség eléri a V0 = 4, 9 V értéket az anódáram hirtelen csökkenni kezd. Mi lehet ennek az oka? A 4, 9 eV energiájú elektronok ütközése a higanyatomokkal nem rugalmas ütközés. Az ilyen energiájú elektronok a higany atomjaival ütközve átadják energiájukat a higany egyik elektronjának, és az magasabb energiaszintre ugrik. Mivel ez a folyamat 4, 9 V feszültség mellett játszódik le, a higany alapállapota és elso˝ gerjesztett állapota közötti energiakülönbség 4, 9 eV kell legyen.

31 / 57



Amikor a gyorsítófeszültség eléri a V0 = 4, 9 V értéket az anódáram hirtelen csökkenni kezd. Mi lehet ennek az oka? A 4, 9 eV energiájú elektronok ütközése a higanyatomokkal nem rugalmas ütközés. Az ilyen energiájú elektronok a higany atomjaival ütközve átadják energiájukat a higany egyik elektronjának, és az magasabb energiaszintre ugrik. Mivel ez a folyamat 4, 9 V feszültség mellett játszódik le, a higany alapállapota és elso˝ gerjesztett állapota közötti energiakülönbség 4, 9 eV kell legyen. A további csúcsok a többszöri rugalmatlan ütközésekkel magyarázhatóak.

31 / 57



Amikor a gyorsítófeszültség eléri a V0 = 4, 9 V értéket az anódáram hirtelen csökkenni kezd. Mi lehet ennek az oka? A 4, 9 eV energiájú elektronok ütközése a higanyatomokkal nem rugalmas ütközés. Az ilyen energiájú elektronok a higany atomjaival ütközve átadják energiájukat a higany egyik elektronjának, és az magasabb energiaszintre ugrik. Mivel ez a folyamat 4, 9 V feszültség mellett játszódik le, a higany alapállapota és elso˝ gerjesztett állapota közötti energiakülönbség 4, 9 eV kell legyen. A további csúcsok a többszöri rugalmatlan ütközésekkel magyarázhatóak. A gerjesztett állapotban lévo˝ elektron az energiaminimum elve miatt nagyon rövid ido˝ eltelte után (kb. 10−8 s) visszaugrik az alapállapotba, miközben 4, 9 eV energiájú fotont sugároz ki. A Franck-Hertz kísérletben ezeket a fotonokat megfigyelték. 31 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai

• Hullámfüggvény • Dobozba zárt elektron • Alagút-effektus Az elektron állapotai az atomban


32 / 57

Hullámfüggvény Bevezetés Kísérleti tények

Ψ(r, t)

Atommodellek Kvantumfizika alapjai


33 / 57


Ψ(r, t)


Ψ(r, t)-csak a hely és ido˝ komplex függvénye


33 / 57


Ψ(r, t)



Ψ(r, t)-csak a hely és ido˝ komplex függvénye |Ψ|2 dV annak a valószínusége, ˝ hogy a vizsgált objektum a t ˝ idopillanatban az r helyvektorral jellemzett dV térfogatban található.

33 / 57

Hullámfüggvény Bevezetés

Ψ(r, t)

Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai


Ψ(r, t)-csak a hely és ido˝ komplex függvénye |Ψ|2 dV annak a valószínusége, ˝ hogy a vizsgált objektum a t ˝ idopillanatban az r helyvektorral jellemzett dV térfogatban található. A hullámfüggvény normálási feltétele:

Z

(V )

|Ψ(r, t)|2 dV = 1

33 / 57


Ψ(r, t)




Z

(V )

|Ψ(r, t)|2 dV = 1

˝ ˝ Az állapotfüggvény idobeli fejlodését a Schrödinger-egyenlet írja le.

33 / 57


Ψ(r, t)




Z

(V )

|Ψ(r, t)|2 dV = 1

˝ ˝ Az állapotfüggvény idobeli fejlodését a Schrödinger-egyenlet írja le. Stacionárius esetben mindig felírható:

Ψ(r, t) = ϕ(r)e h= ¯

t −i E h ¯

h 2π 33 / 57

Dobozba zárt elektron Bevezetés Kísérleti tények

Elektron egy dimenzióban, ha mozgását egy a hosszúságú szakaszra korlátozzuk.



34 / 57




• Hullámfüggvény • Dobozba zárt elektron • Alagút-effektus

˝ ˝ Az elektron idoben állandósult állapotát leíró állapotfüggvény tértol függo˝ ϕ(x) része eleget kell tegyen az állóhullám-egyenletnek.


34 / 57






d2 ϕ(x) dx2

+ k2 ϕ(x) = 0

34 / 57






d2 ϕ(x) dx2

+ k2 ϕ(x) = 0 p

de-Broglie féle összefüggést k = h . Az Felhasználva a λ = h p ¯ elektron energiája ezekután:

E = 12 mv 2 =

p2 . 2m

34 / 57






d2 ϕ(x) dx2

+ k2 ϕ(x) = 0 p

de-Broglie féle összefüggést k = h . Az Felhasználva a λ = h p ¯ elektron energiája ezekután:

E = 12 mv 2 =

p2 . 2m

A probléma egydimenziós stacionárius Schrödinger egyenlete:

d2 ϕ(x) dx2

+

2mE h ¯

2

ϕ(x) = 0. 34 / 57


Az egyenletet két peremfeltétel mellett kell megoldani, amelyek a ϕ(0) = 0 és ϕ(a) = 0.



35 / 57





Az egyenlet megegyezik a harmonikus rezgéseket meghatározó ˝ egyenlettel, csak benne az idováltozó helyett helyváltozó szerepel, valamint a körfrekvencia helyére a hullámszám írandó. Megoldása is harmonikus függvény.

35 / 57






ϕ(x) = A sin (kx + φ)

35 / 57






ϕ(x) = A sin (kx + φ) Figyelembe véve a peremfeltételeket: φ = 0 és k = nπ , ahol a

n = 1, 2, 3, ...

35 / 57







n = 1, 2, 3, ...

A hullámszám kifejezheto˝ az elektron energiájával:

k2

=

n2 π2 a2

=

2mE , h2 ¯

35 / 57







n = 1, 2, 3, ...

A hullámszám kifejezheto˝ az elektron energiájával:

k2

=

n2 π2 a2

En =

=

2mE , h2 ¯

¯ 2π2 h

2 n 2ma2 35 / 57

Bevezetés

Mivel:



Z

a 0

|ϕ(x)|2 dx = 1.


36 / 57

Bevezetés

Mivel:

Kísérleti tények

Z



Ennek alapján A =

q

a 0

|ϕ(x)|2 dx = 1.

2 . a

36 / 57

Bevezetés

Mivel:

Kísérleti tények

Z



Ennek alapján A =

q

a 0

|ϕ(x)|2 dx = 1.

2 . a

ϕ(x) =

r

2 a

sin

nπ a

x

36 / 57

Bevezetés

Mivel:

Kísérleti tények

Z



Ennek alapján A =

q

a 0

|ϕ(x)|2 dx = 1.

2 . a

ϕ(x) =

r

2 a

sin

nπ a

x

Általánosan igaz, ha egy mikroobjektum mozgását térben korlátozzuk, akkor energiája csak diszkrét energiaértékeket vehet fel.

36 / 57

Alagút-effektus Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai


Egy elektron valamilyen meghatározott Ek mozgási energiával ˝ közelítsen egy potenciállépcsohöz. Csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor az elektron mozgási energiája klasszikus értelemben nem elég a potenciál leküzdéséhez, azaz E < V .


37 / 57




   Ep (x)  

0, ha x < 0 V = konstans, ha x ≥ 0

37 / 57




   Ep (x)  


Ilyenkor a klasszikus fizika szerint egy makroszkopikus test nem hatolhat be abba a térrészbe, ahol nagyobb lenne potenciális energiája, mint az a mozgási energia, amivel közeledik ehhez a térrészhez.

37 / 57




   Ep (x)  


Ilyenkor a klasszikus fizika szerint egy makroszkopikus test nem hatolhat be abba a térrészbe, ahol nagyobb lenne potenciális energiája, mint az a mozgási energia, amivel közeledik ehhez a térrészhez. A kvantummechanikai eredmény azonban mást mutat.

37 / 57

Bevezetés

A részecske összenergiája:

Kísérleti tények Atommodellek

E = Ek + Ep =

p2 2m

+ Ep



38 / 57

Bevezetés




E = Ek + Ep =

p2 2m

+ Ep

Fejezzük ki a k hullámszám négyzetét az energia segítségével:

k2 =

2m (E h2 ¯

− Ep)

38 / 57

Bevezetés




E = Ek + Ep =

p2 2m

+ Ep


k2 =

2m (E h2 ¯

− Ep)

A probléma Schrödinger-egyenlete:

d2 ϕ(x) dx2

+

2m(E − Ep) h ¯

2

ϕ(x) = 0

38 / 57

Bevezetés




E = Ek + Ep =

p2 2m

+ Ep


k2 =

2m (E h2 ¯

− Ep)

A probléma Schrödinger-egyenlete:

d2 ϕ(x) dx2

+

2m(E − Ep) h ¯

2

ϕ(x) = 0

A potenciál origóbeli ugrása miatt az x-tengely negatív és pozitív oldalán külön-külön meg kell oldani az egyenletet.

38 / 57

Bevezetés

x < 0, Ep = 0. Tehát itt a megoldandó egyenlet:



d2 ϕn(x) dx2

+

2mE h ¯

2

ϕn(x) = 0.


39 / 57

Bevezetés



d2 ϕn(x)



dx2

+

2mE h ¯

2

ϕn(x) = 0.

2 = 2mE . Ekkor Legyen k0 2 h ¯

d2 ϕn(x) dx2

+ k02 ϕn(x) = 0.

39 / 57

Bevezetés



d2 ϕn(x)



dx2

+

2mE h ¯

2

ϕn(x) = 0.


d2 ϕn(x) dx2

+ k02 ϕn(x) = 0.

Keressük ennek az egyenletnek a megoldását a következo˝ alakban:

ϕn(x) = eik0 x + Ae−ik0 x. √ Itt i = −1 a képzetes egység.

39 / 57

Bevezetés



d2 ϕn(x)



dx2

+

2mE h ¯

2

ϕn(x) = 0.


d2 ϕn(x) dx2

+ k02 ϕn(x) = 0.

Keressük ennek az egyenletnek a megoldását a következo˝ alakban:

ϕn(x) = eik0 x + Ae−ik0 x. √ Itt i = −1 a képzetes egység.

Fizikai jelentés: egységnyi amplitúdójú síkhullám közelít a ˝ ˝ potenciállépcsohöz + visszaverodés után egy A amplitúdójú visszavert síkhullám is hozzájárul a megoldáshoz. 39 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai


x ≥ 0, Ep = V . A megoldandó egyenlet: d2 ϕp(x) dx2

+

2m(E − V ) h ¯

2

ϕp(x) = 0.


40 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek

x ≥ 0, Ep = V . A megoldandó egyenlet: d2 ϕp(x)



dx2 Ez esetben az

+

2m(E − V ) h ¯

2

ϕp(x) = 0.

2m(E−V ) kifejezés negatív, mivel h2 ¯

E
40 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek

x ≥ 0, Ep = V . A megoldandó egyenlet: d2 ϕp(x)



dx2

+

2m(E − V ) h ¯

2

ϕp(x) = 0.

2m(E−V ) kifejezés negatív, mivel E < V . h2 ¯ 2m(E−V ) Vezessük be a −K 2 = jelölést. Az egyenlet a h2 ¯

Ez esetben az

következo˝ alakot ölti:

d2 ϕp(x) dx2

− K 2 ϕp(x) = 0,

vagy ami ugyanaz:

d2 ϕp(x) dx2

= K 2 ϕp(x).

40 / 57

Bevezetés

Keressük a megoldást a következo˝ alakban:


ϕp(x) = Ce−Kx + DeKx.



41 / 57

Bevezetés






Mivel a megoldás normálható kell legyen, így: D = 0.


41 / 57

Bevezetés






Mivel a megoldás normálható kell legyen, így: D = 0. Így

ϕp(x) = Ce−Kx.

41 / 57

Bevezetés






Mivel a megoldás normálható kell legyen, így: D = 0. Így


ϕp(x) = Ce−Kx. A potenciállépcso˝ magassága az x = 0 pontban véges, a kapott megoldásoknak és azok elso˝ deriváltjainak az x = 0 pontban azonosaknak kell lenniük. Ezért:

1+A=C ik0 (1 − A) = −KC

41 / 57

Bevezetés

Megoldva ezt az egyenletrendszert azt kapjuk, hogy:


A=



és

C=

ik0 + K ik0 − K 2ik0 ik0 − K

,

.

42 / 57

Bevezetés



A=



és

C=

ik0 + K ik0 − K 2ik0 ik0 − K

,

.

˝ hogy az elektront leíró ϕp(x) nem A megoldásban az a meglepo, ˝ lesz nulla a potenciállépcsoben sem.

42 / 57

Bevezetés



A=



és

C=

ik0 + K ik0 − K 2ik0 ik0 − K

,

.

˝ hogy az elektront leíró ϕp(x) nem A megoldásban az a meglepo, ˝ lesz nulla a potenciállépcsoben sem.

Azt mondhatjuk, hogy az elektron behatol a számára klasszikus értelemben elérhetetlen térrészbe is.

42 / 57

Bevezetés

E


V Ek



b 0


43 / 57

Bevezetés

E

Kísérleti tények

V

Atommodellek

Ek



b 0


Ha a potenciállépcso˝ véges szélességu, ˝ akkor az elektron átjut ezen a klasszikus értelemben számára leküzdhetetlen akadályon. Az átjutás valószínusége ˝ (T ) a következo˝ mennyiséggel arányos:

T ∼

ϕ2p(b) ϕ2p(0)

∼e

− 2b h ¯

√

2m(V −E)

43 / 57

Bevezetés

E

Kísérleti tények

V

Atommodellek

Ek



b 0



T ∼

ϕ2p(b) ϕ2p(0)

∼e

− 2b h ¯

√

2m(V −E)

˝ vagy ha V − E növekszik. T csökken ha b no, 43 / 57

Bevezetés

E

Kísérleti tények

V

Atommodellek

Ek



b 0



T ∼

ϕ2p(b) ϕ2p(0)

∼e

− 2b h ¯

√

2m(V −E)

˝ vagy ha V − E növekszik. T csökken ha b no, A jelenség nevealagút-effektusnak.

43 / 57

Bevezetés

E

Kísérleti tények

V

Atommodellek

Ek



b 0



T ∼

ϕ2p(b) ϕ2p(0)

∼e

− 2b h ¯

√

2m(V −E)

˝ vagy ha V − E növekszik. T csökken ha b no, A jelenség nevealagút-effektusnak.

43 / 57

Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban • A hidrogénatombeli elektron • Heisenberg-féle határozatlansági relációk • A többelektronos atomok


• Röntgensugárzás

44 / 57

A hidrogénatombeli elektron Bevezetés

Az elektron potenciális energiája az atommag elektromos terében:

Kísérleti tények Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban • A hidrogénatombeli elektron • Heisenberg-féle határozatlansági relációk • A többelektronos atomok

Ep = −

e2 4πε0 r

,

p ahol r = x2 + y 2 + z 2 .


45 / 57




Ep = −

Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban • A hidrogénatombeli elektron • Heisenberg-féle határozatlansági relációk • A többelektronos atomok


e2 4πε0 r

,

p ahol r = x2 + y 2 + z 2 . Mivel k2 = 2m2e (E − Ep), a stacionárius Schrödinger-egyenlet: h ¯ △ϕ(r) +

2me 2

h ¯

(E − Ep)ϕ(r) = 0.

45 / 57




Ep = −



e2 4πε0 r

,

p ahol r = x2 + y 2 + z 2 . Mivel k2 = 2m2e (E − Ep), a stacionárius Schrödinger-egyenlet: h ¯ △ϕ(r) +

2me 2

h ¯

(E − Ep)ϕ(r) = 0.

Mivel az atommag elektromos tere gömbszimmetrikus, keressük az egyenlet egy F (r) gömbszimmetrikus megoldását:

ϕ(r) = F (r).

45 / 57

Bevezetés

Ekkor a Schrödinger-egyenlet alakja:


d2 F (r) dr 2

+

2 dF (r) r

dr

+

2me 2

h ¯

E+

e2 4πε0 r

F (r) = 0.


46 / 57

Bevezetés



d2 F (r) dr 2

+

2 dF (r) r

dr

+

2me 2

h ¯

E+

e2 4πε0 r

F (r) = 0.

A megoldást a következo˝ alakban kapjuk:

F (r) = N e−λr

• Röntgensugárzás 3

ahol N =

λ2 √ és π

λ=

e2 me . 4πε0 ¯ h2

46 / 57

Bevezetés



d2 F (r) dr 2

+

2 dF (r) r

dr

+

2me 2

h ¯

E+

e2 4πε0 r

F (r) = 0.


F (r) = N e−λr


λ2 √ és π

e2 me . 4πε0 ¯ h2

ahol N = λ= Az elektron energiája ebben a gömbszimmetrikus állapotban:

E=−

m e e4 32π 2 ε20 ¯ h2

= −13, 605 eV.

46 / 57

Bevezetés



d2 F (r) dr 2

+

2 dF (r) r

dr

+

2me 2

h ¯

E+

e2 4πε0 r

F (r) = 0.


F (r) = N e−λr


λ2 √ és π

e2 me . 4πε0 ¯ h2

ahol N = λ= Az elektron energiája ebben a gömbszimmetrikus állapotban:

E=−

m e e4 32π 2 ε20 ¯ h2

= −13, 605 eV.

˝ számított n = 1 kvantumszámmal jellemzett A Bohr-modellbol állapot energiáját kaptuk! 46 / 57


˝ Vizsgáljuk meg a fenti elektron elofordulási valószínuségét ˝ (dP ) a dV = 4πr 2 dr elemi térfogatban.

Atommodellek Kvantumfizika alapjai Az elektron állapotai az atomban • A hidrogénatombeli elektron • Heisenberg-féle határozatlansági relációk • A többelektronos atomok

dP = |F (r)|2 dV =

λ3 π

e−2λr 4πr 2 dr


47 / 57


˝ Vizsgáljuk meg a fenti elektron elofordulási valószínuségét ˝ (dP ) a dV = 4πr 2 dr elemi térfogatban.



dP = |F (r)|2 dV =

λ3 π

e−2λr 4πr 2 dr

˝ kifejezheto, ˝ az elektron elofordulásának ˝ Ebbol sugár szerinti eloszlása (p(r)):

p(r) =

dP dr

= 4λ3 r 2 e−2λr .

47 / 57

Bevezetés

p(r)



rmax

r

48 / 57

Bevezetés

p(r)


rmax


r

Látható, hogy a p(r) valószínuségnek ˝ maximuma van az rmax helyen.

rmax =

1 λ

=

4πε0 ¯ h2 e2 m e

= 0, 54 · 10−10 m.

Ez éppen az elso˝ Bohr-sugár. 48 / 57

Heisenberg-féle határozatlansági relációk Bevezetés Kísérleti tények

Az elektron az atomokban úgy viselkedik mint egy bezárt hullám, azaz hullámcsomag!



49 / 57

Heisenberg-féle határozatlansági relációk Bevezetés Kísérleti tények Atommodellek

Az elektron az atomokban úgy viselkedik mint egy bezárt hullám, azaz hullámcsomag! Minden hullámra igaz a határozatlansági összefüggés:


∆x∆k ≥

1 2


49 / 57




∆x∆k ≥ Mivel

p=


h λ

=

h 2π 2π λ

1 2 =¯ hk,

így:

∆p = ¯ h∆k

49 / 57




1

∆x∆k ≥ Mivel

p=


h λ

=

2

h 2π 2π λ

=¯ hk,

így:

∆p = ¯ h∆k Fentieket figyelembe véve a Heisenberg-féle határozatlansági összefüggést kapjuk:

∆x∆p ≥

h ¯ 2 49 / 57


Az összefüggés azt jelenti, hogy a mikrovilágban bizonyos fizikai ˝ egyszerre tetszoleges ˝ mennyiségek nem mérhetoek pontossággal.



50 / 57


Az összefüggés azt jelenti, hogy a mikrovilágban bizonyos fizikai ˝ egyszerre tetszoleges ˝ mennyiségek nem mérhetoek pontossággal. Hasonló határozatlansági összefüggés érvényes a mikroobjektumok energiaszintjeinek átlagos élettartama (τ ) és az energianívók energiájának bizonytalansága (∆E ) között is.

∆E · τ ∼ ¯ h


50 / 57



∆E · τ ∼ ¯ h

Ezzel magyarázható a spektrumvonalak természetes kiszélesedése.


50 / 57



∆E · τ ∼ ¯ h

Ezzel magyarázható a spektrumvonalak természetes kiszélesedése.


E

I ∆E

Ei 107 x νi ν I

foton ∆ν E0

νi

ν 50 / 57

A többelektronos atomok Bevezetés Kísérleti tények

A komoly matematikai nehézségek a többelektronos rendszereknél lépnek fel.



51 / 57




˝ Eloször is azt kell tisztáznunk, mely fizikai mennyiségek meghatározása a legfontosabb. Azokra leszünk kíváncsiak, amelyek mérésénél a Heisenberg-féle relációk nem jelentenek korlátozást.


51 / 57





˝ Eloször is azt kell tisztáznunk, mely fizikai mennyiségek meghatározása a legfontosabb. Azokra leszünk kíváncsiak, amelyek mérésénél a Heisenberg-féle relációk nem jelentenek korlátozást. Az atomok esetében az energia, a perdület nagysága, a perdület egyik vetülete és egy tipikusan kvantumos mennyiség a spin értékei ˝ egyszerre tetszoleges ˝ mérhetoek pontossággal.

51 / 57





˝ Eloször is azt kell tisztáznunk, mely fizikai mennyiségek meghatározása a legfontosabb. Azokra leszünk kíváncsiak, amelyek mérésénél a Heisenberg-féle relációk nem jelentenek korlátozást. Az atomok esetében az energia, a perdület nagysága, a perdület egyik vetülete és egy tipikusan kvantumos mennyiség a spin értékei ˝ egyszerre tetszoleges ˝ mérhetoek pontossággal. A kvantummechanika további következménye, hogy a ˝ mikrorészecskék perdülete sem vehet fel tetszoleges értékeket, hanem csak a ¯ h egység meghatározott többszörösét.

L2 = l(l + 1)¯ h2 , ahol L-a perdület nagysága, l-a mellékkvantumszám. (mindig természetes szám, vagy nulla).

51 / 57


˝ Ha meghatározunk egy tetszoleges irányt a térben (pl. külso˝ mágneses tér iránya), akkor a vektormennyiségeknek az erre az irányra vett vetületei csak a ¯ h egység egész számú többszörösei lehetnek.


52 / 57


˝ Ha meghatározunk egy tetszoleges irányt a térben (pl. külso˝ mágneses tér iránya), akkor a vektormennyiségeknek az erre az irányra vett vetületei csak a ¯ h egység egész számú többszörösei lehetnek. Ilyen vektormennyiség a perdület is. Ennek adott irányra–legyen ez a z -irány–való vetülete:

Lz = m¯ h ahol m-egész szám.


52 / 57


˝ Ha meghatározunk egy tetszoleges irányt a térben (pl. külso˝ mágneses tér iránya), akkor a vektormennyiségeknek az erre az irányra vett vetületei csak a ¯ h egység egész számú többszörösei lehetnek. Ilyen vektormennyiség a perdület is. Ennek adott irányra–legyen ez a z -irány–való vetülete:

Lz = m¯ h ahol m-egész szám.


m=5 m=4 m=3 m=2 m=1 m=0

h ¯

m = −1 m = −2 m = −3 m = −4 m = −5

52 / 57


Láttuk, hogy az elektronnak kvantált perdülete van, amely mozgásából származik.



53 / 57




˝ említett pályaperdületen kívül még Az elektron rendelkezik az elobb más jellegu˝ perdülettel is, amely nem kapcsolható össze semmiféle mozgással. ⇒ Spin, vagy sajátperdület.


53 / 57





˝ említett pályaperdületen kívül még Az elektron rendelkezik az elobb más jellegu˝ perdülettel is, amely nem kapcsolható össze semmiféle mozgással. ⇒ Spin, vagy sajátperdület. A spin is kvantált mennyiség. Egy kiválasztott irányra az elektron esetében két vetülete lehet.

Sz = sz ¯ h, ahol Sz -az elektronspin vetülete, sz -pedig az un. spinkvantumszám, értéke + 12 , − 21 (sz nem egész szám!).

53 / 57





˝ említett pályaperdületen kívül még Az elektron rendelkezik az elobb más jellegu˝ perdülettel is, amely nem kapcsolható össze semmiféle mozgással. ⇒ Spin, vagy sajátperdület. A spin is kvantált mennyiség. Egy kiválasztott irányra az elektron esetében két vetülete lehet.

Sz = sz ¯ h, ahol Sz -az elektronspin vetülete, sz -pedig az un. spinkvantumszám, értéke + 12 , − 21 (sz nem egész szám!).

53 / 57


Az atomokban egy elektronállapot jellemzéséhez négy kvantumszámra van szükség.



54 / 57




˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...)


54 / 57




˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...) • l - mellékkvantumszám - a perdületet határozza meg (l = 0, 1, 2, ...n − 1)


54 / 57





˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...) • l - mellékkvantumszám - a perdületet határozza meg (l = 0, 1, 2, ...n − 1) • m - mágneses kvantumszám - a perdület egy kitüntetett irányra (pl. külso˝ mágneses tér) való vetületét határozza meg (m = −l, −l + 1, ..., 0, ...l − 1, l)

54 / 57





˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...) • l - mellékkvantumszám - a perdületet határozza meg (l = 0, 1, 2, ...n − 1) • m - mágneses kvantumszám - a perdület egy kitüntetett irányra (pl. külso˝ mágneses tér) való vetületét határozza meg (m = −l, −l + 1, ..., 0, ...l − 1, l) • sz - spin kvantumszám - a sajátperdület egy kitüntetett irányra való vetületét határozza meg (sz = −1/2, +1/2)

54 / 57





˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...) • l - mellékkvantumszám - a perdületet határozza meg (l = 0, 1, 2, ...n − 1) • m - mágneses kvantumszám - a perdület egy kitüntetett irányra (pl. külso˝ mágneses tér) való vetületét határozza meg (m = −l, −l + 1, ..., 0, ...l − 1, l) • sz - spin kvantumszám - a sajátperdület egy kitüntetett irányra való vetületét határozza meg (sz = −1/2, +1/2) Pauli-elv: Két, vagy több feles spinu˝ részecske, vagy fermion sohasem lehet ugyanabban a kvantumállapotban.

54 / 57





˝ • n - fokvantumszám - az energiát határozza meg (n = 1, 2, 3, ...) • l - mellékkvantumszám - a perdületet határozza meg (l = 0, 1, 2, ...n − 1) • m - mágneses kvantumszám - a perdület egy kitüntetett irányra (pl. külso˝ mágneses tér) való vetületét határozza meg (m = −l, −l + 1, ..., 0, ...l − 1, l) • sz - spin kvantumszám - a sajátperdület egy kitüntetett irányra való vetületét határozza meg (sz = −1/2, +1/2) Pauli-elv: Két, vagy több feles spinu˝ részecske, vagy fermion sohasem lehet ugyanabban a kvantumállapotban. Az energiaminimum elve, valamint a Pauli-elv képezik az alapját a periódusos rendszer kvantumfizikai értelmezésének. 54 / 57

Röntgensugárzás Bevezetés Kísérleti tények

Röntgensugárzás

Atommodellek

e


F˝utés K

−

A

∼ kV

+


55 / 57

Röntgensugárzás Bevezetés Kísérleti tények

Röntgensugárzás

Atommodellek

e


F˝utés K

−

A

∼ kV

+


Rövid hullámhosszúságú, tehát nagy energiájú (néhány keV), és nagy áthatolóképességu˝ elektromágneses sugárzás a röntgensugárzás.

55 / 57

Bevezetés

e (küls˝o)


röntgen foton


Mag


56 / 57

Bevezetés

e (küls˝o)


röntgen foton



Mag

˝ érkezo˝ gyors elektron ütközhet a belso˝ pályák egyikén A katód felol tartózkodó kötött elektronnal, és kiszakíthatja azt az atom ˝ kötelékébol.

56 / 57

Bevezetés

e (küls˝o)


röntgen foton



Mag

˝ érkezo˝ gyors elektron ütközhet a belso˝ pályák egyikén A katód felol tartózkodó kötött elektronnal, és kiszakíthatja azt az atom ˝ kötelékébol. Az így visszamaradt ionban az energiaminimum elve miatt ˝ átrendezodés megy végbe. ⇒ Fotonok kibocsájtása. (Karakterisztikus röntgensugárzás)

56 / 57


I



λmin

λ

57 / 57


I



λmin

λ

˝ A beeso˝ elektron fékezodik, így sugároz ⇒ fékezési röntgensugárzás.

57 / 57

Bevezetés az atomfizikába

Recommend Documents