Bevezetés 1. előadás
1
Tartalom • • • • •
Bevezetés A LKN kiegyenlítés különböző esetei Pontossági mérőszámok Geodéziai hálózatok kiegyenlítése S-transzformáció
2
Bevezetés • A kiegyenlítő számítások: – (nem csak) geodéziai mérések matematikai feldolgozásának alapvető módszere
• tantárgy célja – a Kiegyenlítő számítások BSc tárgyban megszerzett ismeretek továbbfejlesztése és geodéziai alkalmazásainak bemutatása
• 1+1 óra előadás és gyakorlat
3
2014/15. tanév őszi félév szept. 9.
1.ea: Bevezetés; LKN kiegy. 1-2D hálózatok, S-transzformáció szept. 16. 2.ea: 3D GNSS és foto. hálózatok szept. 23. 1+2.gy: Hálózatkiegyenlítés; példa; EULER szept. 30. 3.gy: GNSS kiegy. Bernese-zel okt. 7. okt. 14.
3. ea: Csoportos és szekvenciális kiegy.; 1. HF 4. ea: Robusztus becslés és kiegyenlítés; RANSAC 4
2014/15. tanév őszi félév okt. 21.
4. gy: Síkbeli Helmert transzformáció számítása; 2. HF
okt. 28.
5.ea: Durvahibaszűrési eljárások
nov. 4.
6.ea: Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I.
nov. 11.
TDK konferencia
nov. 18.
5.gy: VizsgaZH előkészítés; HF konzultáció
nov. 25.
6. gy: VizsgaZH
dec. 2.
7.ea: Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II.
dec. 9.
7. gy: PótZH, konzultáció / Benford
5
Irodalom • Kiegyenlítő számítások BSc HEFOP segédlet – http://www.fmt.bme.hu/fmt/htdocs/oktatas/tantargy .php?tantargy_azon=BMEEOFTAG11
• MSc HEFOP segédlet (127 oldal, www.geod.bme.hu)
• Detrekői Á.: Kiegyenlítő számítások (Tankönyvkiadó, Budapest, 1991): BME Tankönyvolvasóban olvasható, kölcsönözhető 6
A matematikai modell • Egyszerűsítő feltételezések – több vagy kevesebb célszerű
• A modell részei: – funkcionális • determinisztikus mat. és fiz. törvényszerűségek
– sztochasztikus • véletlen jellegű mérési hibákra vonatkozó feltételezések
– Példák: szintfelület (sík); kép (tárgy centrális vetítése; mest. hold pálya (Kepler-f. ellipszis)7
Példa • Az ABC háromszögnek megmértük mindhárom oldalát és a szögeit C
síkháromszög:
g
a + b + g = 180° a
b
gömbháromszög: a + b + g = 180° + e
a A
b c
B
8
Funkcionális modell • szinusz és koszinusztétel síkháromszögben a sin a = b sin b
C
a sin a = c sin g
g c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos g a
b
a A
b c
B
9
Funkcionális modell • paraméterek
A, B, C koordinátái:
C
A( y A , x A )
g
B( y B , xB ) a
b
C ( yC , xC )
x
a
b
A
c y
B
10
A legkisebb négyzetek elve • kiegyenlített mérési eredmények Ui = Li + vi • paraméterek és előzetes értékek Xj = Xj0 + xj • feltételi egyenletek – mért mennyiségek és paraméterek közötti összefüggések 11
A feltételi egyenletek típusai 1. közvetítő egyenletek – egyetlen mért mennyiség és az azzal kapcsolatban lévő paraméterek
2. csak mért mennyiségek 3. kényszerfeltételek – a feltételi egyenletben csak paraméterek szerepelnek
– lineáris vagy nem lineáris egyenletek 12
Feltételi egyenletek • mért mennyiségek és paraméterek: C
g
U a = d AC - d AB a
b x
yC - y A yB - y A = arctg - arctg xC - x A xB - x A
U a = ( xC - xB ) 2 + ( yC - y B ) 2
a A
b y
c
B
• csak mért mennyiségek: U a + U b + U g - 180° = 0 U a sin U b - U b sin U b = 0
13
A LKN módszere alkalmazásának esetei •
közvetítő egyenletek alapján történő kiegyenlítés (II. kiegy. csoport) –
•
közvetett mérések kiegyenlítésének, vagy paraméteres kiegyenlítésnek is nevezik
közvetlen mérések kiegyenlítése (III. kiegy. csoport) – –
csak mérési eredményeket tartalmazó feltételi egyenletek alapján történő kiegyenlítés korrelátás kiegyenlítésnek is nevezik 14
A LKN módszere alkalmazásának ritkább esetei •
•
•
kiegyenlítés közvetítő és kényszerfeltételi egyenletek felhasználásával (IV. kiegy. csoport), kiegyenlítés mért mennyiségeket és paramétereket tartalmazó feltételi egyenletekkel (V. kiegy. csoport), kiegyenlítés mért mennyiségeket és paramétereket tartalmazó feltételi egyenletekkel és kényszerfeltételi egyenletekkel (VI. kiegy. csoport). 15
Mérési hibák •
•
L mérési eredmény ε hibája (Λ a hibátlan érték): ε=L–Λ Eredetük szerint: – – –
•
személyi eredetű műszerhibák külső körülményekből adódó hibák
Jellegük szerint: – – –
durva szabályos (modellhiba) szabálytalan (véletlen jellegű) 16
A mérési hibákat jellemző mérőszámok (egyetlen mennyiség) •
középhiba:
• •
a még kimutatható legkisebb durva hiba: ÑL a középhibából levezetett hibák: – –
H relatív középhiba p súly c2 p=
•
– –
m = M (e ) 2
m2 c becslése az m0 súlyegység középhiba
J Laplace-féle átlagos hiba ρ valószínű hiba
17
Sztochasztikus modell • mért mennyiségek középhibái távolságok: m a = mb = m c = ±5 mm
C
g
szögek: ma = m b = mg = ±2 "
a
b x
a
b
A
c y
B
18
A mérési hibákat jellemző mérőszámok (n mennyiség) • •
n számú µi középhiba, és n(n – 1)/2 számú cij kovariancia n × n méretű kovarianciamátrix é m11 êm M = ê 21 (n,n) êL ê ë m n1
m12 m 22 L mn2
L m1n ù L m 2 n úú L Lú ú L m nn û
ahol mii = µi2, és mij = mji = cij 19
Súlykoefficiens-mátrix •
n × n méretű mátrix (más néven kofaktormátrix): é q11 êq 1 Q = 2 M = ê 21 ( n,n) c ( n,n ) ê L ê ë q n1
q12 q 22
L q n2
L q1n ù L q 2 n úú L Lú ú L q nn û
ahol c egy arányossági tényező 20
Súlymátrix •
n × n méretű mátrix (független mérések esetében átlós mátrix):
P = Q -1
( n,n)
( n,n)
é p11 êp = ê 21 êL ê ë p n1
p12 p 22
L p n2
L L L L
p1n ù ú p 2n ú Lú ú p nn û
det Q ≠ 0 21
A kovarianciamátrix, a súlykoefficiens-mátrix és a súlymátrix kapcsolata M = c 2 × Q = c 2 × P -1 1 Q = 2 M = P -1 c
P = Q -1 = c 2 × M -1 22
1D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése 1. • világ-, kontinentális-, országos-, helyi hálózatok • egyes pontokhoz rendelt koordináták száma – egydimenziós (1D) – kétdimenziós (2D) – háromdimenziós (3D)
• időben változó koordináták 23
1D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése 2. • mérések típusa – 1D: szintezés, trigonometriai magasságmérés, gravimetria – 2D: hosszmérés, szög(irány) mérés, földrajzi helymeghatározás, fotogrammetria – 3D: geodéziai, fotogrammetriai, szatellita geodéziai, inerciális geodéziai 24
1D és 2D geodéziai hálózatok kiegyenlítése 3. •
kiegyenlítés módszerei – –
•
legkisebb négyzetek szerinti (LKN) robusztus kiegyenlítés (hibaszűrés)
kiegyenlítés célja – a hálózat alakjának (kiegyenlített mérési eredmények) – a hálózati pontok koordinátáinak meghatározása gyakran 2 lépésben történik: 1. hálózat alakjának meghatározása 2. hálózat elhelyezése és tájékozása (hálózati dátum megadása) 25
Pontossági mérőszámok meghatározása •
kiegyenlített mennyiségek pontossági és megbízhatósági jellemzői – M kovariancia mátrix – ÑL a még kimutatható legkisebb durva hiba
•
hibaszűrés – nagyon fontos tömeges / automata mérőrendszerrel nyert adatok feldolgozásakor – Baarda-féle „data snooping” 26
Hálózatkiegyenlítési eljárások 1. •
• • •
II. kiegy. csoport (közvetítő egyenletek) alapján paraméterek (koordináták) meghatározása III. kiegy. csoport (hálózat alakjának meghatározása) V. kiegy. csoport (mért menny. + paraméterek) főleg fotogrammetriai hálóz. eredeti méréseknél kisebb számú fiktív mérést képezünk (= előzetes kiegyenlítés) 27
Hálózatkiegyenlítési eljárások 2. • • • •
egy lépéses kiegyenlítés több lépéses (csoportos / szekvenciális) kiegyenlítés nagyból kicsi felé haladva: hierarchikus kiegyenlítés (önálló + beillesztett hálózat) dinamikus kiegyenlítés (a magasabb rendű hálózat pontjai sem hibátlanok)
28
Előzetes kiegyenlítés fiktív mérésekkel •
szintezési hálózatok – oda-vissza mérések számtani közepe – előzetes hibaszűrés, a priori középhiba
•
trigonometriai magasságmérés – (t, z, h, H) → ΔZ magasságkülönbség
•
hosszmérések – több mérés (súlyozott) számtani közepe
•
iránymérések – Zi tájékozási állandók előzetes értékei 29
1D hálózatok kiegyenlítése – szintezési / trig.mag hálózatok •
közvetítő egyenletekkel – –
•
ha nincs ismert magasságú pont – –
•
lineáris javítási egyenletek súlymátrix elemei pi = c2 / ti2 (szint. szakasz hossza) pi = c2 / ni2 (vonalon belüli műszerálláspontok száma) 1 pont magasságot kap („helyi rendszer”) általánosított inverz használata
csak mért mennyiségeket tartalmazó feltételi egyenletekkel – – –
klasszikus módszer zárt poligonban Σ ±(Li + vi) = 0 (önálló hálózat) beillesztett hálózatban Σ ±(Li + vi) = ΔZAB
30
2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése 1. • •
szinte kizárólag közvetítő egyenletekkel (II. csop) alapfelület – ellipszoid (kevesebb redukció, bonyolultabb összefüggések) – sík (több redukció, egyszerűbb összefüggések)
•
lépései – előzetes kiegyenlítés – tényleges kiegyenlítés – elhelyezés és tájékozás (csak III. csop. esetén) 31
2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése 2. •
II. csoportos kiegy. (közvetítő egyenletek) – – – – –
•
előny: azonos típusú mérésekhez ugyanolyan felépítésű (nem lineáris) közvetítő egyenletek tartoznak (jól automatizálható) előny: koordináták + kiegyenlített mérések pontossági jellemzői könnyen előállíthatók hátrány: szinguláris együttható mátrix (önálló hálózatok esetén) → a defektusnak megfelelő számú koordinátát önkényesen megkötünk (helyi rendszer) hátrány: hibaszűrés elvileg csak a kiegyenlítés után hátrány: hibajellemzők (pl. QXX) függnek a hálózati dátumtól → zavaró peremhatás
dátumprobléma megoldása – – –
szomszédos pontokra jellemző relatív Q ΔXΔX súlykoefficiens mátrix meghatározása S-transzformáció (Baarda) további feltétel megadása (pl. Σxi2 = min.) → hálózat optimális illesztése adott keretpontok rendszerébe (kényszerített pontok) 32
2D vízszintes hálózatok kiegyenlítése 3. •
III. csoportos kiegy. (csak mért mennyiségek közötti feltételi egyenletek) – – – –
•
előny: nem függ a megoldás a hálózati dátumtól (önálló hálózat) hátrány: a feltételi egyenletek felírása bonyolult hátrány: a hálózat elhelyezése, tájékozása külön lépésként számítandó hátrány: a koordináták QXX hibajellemzőit hibaterjedéssel kell számítani a kiegyenlített mérések QLL súlykoefficienseiből
súlymátrix felvétele a hálózatkiegyenlítéshez – –
egyes mérések a priori középhibái (általában korrelálatlanok, de pl. a GPS vektorok esetén teljes kovariancia mátrix kell) pi = c2 / µi2 , c2 = 1 felvétele indokolt (statisztikai próba durva hiba kimutatására) 33
Példa: szintezési hálózat kiegyenlítése Adott három ismeretlen Z1, Z2, Z3 magasságú pont. A pontok magasságkülönbségeit (L1, L2, L3 )szintezéssel határozzuk meg. A mérési eredmények egymástól függetlenek és azonos pontosságúak. Cél: a pontok magasságának meghatározása. 2 mérési eredmények: L1 = 9.999 m L2 = 10.002 m L1 L2 L3 = 19.998 m előzetes magasságok: 1 Z10 = 10.000 m 3 L3 Z20 = 20.000 m Z30 = 30.000 m 34
Közvetítő és javítási egyenletek U1 = Z2 – Z1, U2 = Z3 – Z2, U3 = Z3 – Z1 v1 = -z1 + z2 + (Z20 – Z10 – L1) = -z1 + z2 + 1 v2 = -z2 + z3 + (Z30 – Z20 – L2) = -z2 + z3 – 2 v3 = -z1 + z3 + (Z30 – Z10 – L3) = -z1 + z3 + 2 (tisztatagok mm egységben)
é- 1 + 1 0 ù ê ú A = ê 0 - 1 + 1ú ( 3,3) ê ú êë- 1 0 + 1úû
é - 1ù ê ú l = ê + 2ú ( 3,1) ê ú êë - 2úû 35
Normálegyenlet független és azonos pontosságú mérések
P = E
( 3,3)
( 3,3)
normálegyenlet együtthatómátrixa és tisztatag vektora
é 2 - 1 - 1ù ê ú * N = A A = ê- 1 2 - 1ú ( 3,3) ( 3,3) ( 3,3) ê ú êë- 1 - 1 2 úû
é+ 3ù ê ú * n = A l ê - 3ú ( 3,1) ( 3,3) ( 3,1) ê ú êë 0 úû
det(N) = 2·3 +1·(–3) – 1·(3) = 0, az N mátrix szinguláris és az
x = N -1 n
( 3,1)
( 3,3) (3,1)
nem használható
miért?? 36
Hálózatfajták és a szükséges dátumparaméterek Hálózatfajta
Defektus (rang hiány) Szükséges mennyiség
Szintezési (1D)
1
1 eltolás
Háromszögelési (2D) (csak irány- vagy szögmérés)
4
2 eltolás, 1 elforgatás, 1 méretarány
Vegyes (2D) (irány- és hosszmérés)
3
2 eltolás, 1 elforgatás
Térbeli (3D) fotogrammetriai
7
3 eltolás, 3 elforgatás 1 méretarány
vegyes (szög és hosszmérés)
6
3 eltolás, 3 elforgatás 37
Defektus • A geodéziai és fotogrammetriai hálózatokban a a defektus mértéke megegyezik a hálózat helyzetének és méretének egyértelmű meghatározásához szükséges mennyiségek számával • szintezési hálózatban legalább 1 ismert magasságú ponttal kell rendelkeznünk 38
Megoldás 1. a defektussal megegyező számú ismeretlen paraméter megkötésével 2. általános inverzek felhasználásával 3. az ismeretlen paraméterekre felírt célfüggvények felvételével
39
Ismeretlen paraméter megkötése • • •
•
egyszerű a megkötött paraméterek kiválasztása önkényes a megkötött paraméter hibátlan, a többi paraméter becslése hibával terhelt a középhibák eloszlása függ a megkötés helyétől 40
Közvetítő és javítási egyenletek U1 = Z2 – Z1, U2 = Z3 – Z2, U3 = Z3 – Z1, megkötés: Z1 = 10.000 m v1 = z2 + (Z20 – Z10 – L1) = z2 + 1 v2 = -z2 + z3 + (Z30 – Z20 – L2) = -z2 + z3 – 2 v3 = z3 + (Z30 – Z10 – L3) = z3 + 2
é+ 1 0 ù ê ú A = ê - 1 + 1ú ( 3, 2 ) ê ú êë 0 + 1úû
é - 1ù ê ú l = ê + 2ú ( 3,1) ê ú êë - 2úû 41
Normálegyenlet független és azonos pontosságú mérések
P = E
( 3,3)
( 3,3)
normálegyenlet együtthatómátrixa és tisztatag vektora
é 2 - 1ù N = A A =ê ú ( 2,3) ( 3, 2 ) ( 2, 2) êë- 1 2 úû *
é- 3ù n = A l =ê ú ( 2,1) ( 2,3) ( 3,1) êë 0 úû *
det(N) = 4 – 1 = 3, az N mátrix reguláris és az
é- 2ù x =N n =ê ú ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2,1) êë - 1 úû -1
megoldható
42
Eredmények ismeretlen pontok magassága
é19.998 ù X = X0 + x = ê ú ( 2,1) ( 2,1) ( 2,1) êë29.999úû mérési javítások
é- 1ù ê ú v = A x - l = ê- 1ú (3, 2 ) ( 2,1) (3,1) ( 3,1) ê ú êë+ 1úû
súlyegység középhiba
m02 = f -1 v* P v = 3.0 (1,3) ( 3,3) (3,1)
m0 = 1.7 43
Eredmények kiegyenlített paraméterek súlykoefficiens-mátrixa
Q xx ( 2, 2 )
é2 ê3 = ( A* A) -1 = N -1 = ê ( 2, 2 ) ê1 ( 2, 2) ê ë3
1ù 3ú ú 2ú ú 3û
kiegyenlített magasságok középhibái
mx1 = m0 q x1x1 = 1.4 mm mx 2 = m0 q x 2 x 2 = 1.4 mm 44
Általánosított inverzek használata • • •
egyértelmű minimális normájú a legkisebb négyzetek módszerének megfelelő javításokat biztosít
45
Közvetítő és javítási egyenletek U1 = Z2 – Z1, U2 = Z3 – Z2, U3 = Z3 – Z1 v1 = -z1 + z2 + (Z20 – Z10 – L1) = -z1 + z2 + 1 v2 = -z2 + z3 + (Z30 – Z20 – L2) = -z2 + z3 – 2 v3 = -z1 + z3 + (Z30 – Z10 – L3) = -z1 + z3 + 2 (tisztatagok mm egységben)
é- 1 + 1 0 ù ê ú A = ê 0 - 1 + 1ú ( 3,3) ê ú êë- 1 0 + 1úû
é - 1ù ê ú l = ê + 2ú ( 3,1) ê ú êë - 2úû 46
Normálegyenlet független és azonos pontosságú mérések
P = E
( 3,3)
( 3,3)
normálegyenlet együtthatómátrixa és tisztatag vektora
é 2 - 1 - 1ù ê ú * N = A A = ê- 1 2 - 1ú ( 3,3) ( 3,3) ( 3,3) ê ú êë- 1 - 1 2 úû
é+ 3ù ê ú * n = A l ê - 3ú ( 3,1) ( 3,3) ( 3,1) ê ú êë 0 úû
általánosított (pszeudo) inverz használata
x = N+ n
( 3,1)
( 3,3) ( 3,1)
47
Eredmények ismeretlen pontok magassága
mérési javítások
é- 1ù ê ú v = A x - l = ê- 1ú (3, 2 ) ( 2,1) (3,1) ( 3,1) ê ú êë+ 1úû
súlyegység középhiba
é10.001ù ê ú ê ú X = X 0 + x = ê19.999 ú ( 3,1) ê ú ( 3,1) ( 3,1) ê ú êë30.000úû
m02 = f -1 v* P v = 3.0 (1,3) ( 3,3) (3,1)
m0 = 1.7 48
Eredmények kiegyenlített paraméterek súlykoefficiens-mátrixa
Q xx ( 3,3)
é 2 - 1 - 1ù ú 1ê + = N = ê- 1 2 - 1ú ( 3,3) 9ê ú êë- 1 - 1 2 úû
kiegyenlített magasságok középhibái
mx1 = m0 q x1x1 = 0.82 mm mx 2 = m0 q x 2 x 2 = 0.82 mm mx 3 = m0 q x 3 x 3 = 0.82 mm
49
S-transzformáció • Adott elhelyezésre jellemző: – hálózati pontok kiegyenlített koordinátái – koordináták súlykoefficiens-mátrixa
• A hálózat elhelyezésének módosítására lehet szükség: – új koordináták – új súlykoefficiens-mátrix
• S-transzformáció (Similarity transformation – hasonlósági transzformáció): Baarda,1973 – pl. mozgásvizsgálatnál az egyes epochák közös dátumra transzformálása 50
Koordináták és súlykoefficiensek traszformálása • xT koordinátaváltozások: xT = S T x
• QXTXT súlykoefficiens-mátrix: Q XTXT = S T Q XX S
* T
• az S mátrix -1
ST = E - G (G TG ) G T *
*
51
Az ST mátrix számítása • az ST mátrix: -1
ST = E - G (G TG ) G T *
*
• E egységmátrix • a T mátrix olyan átlós mátrix, amely főátlójában a vizsgált pontok koordinátáihoz 1-et rendelünk hozzá, a főátló többi eleme viszont zérus 52
A G mátrix számítása • a G mátrix a szabad dátum paraméterekhez tartozó konfigurációs mátrix • A hálózat egészét jellemző G mátrix a hálózat egyes pontjaihoz tartozó Gi mátrixok alapján így írható fel: éG1 ù êG ú ê 2ú ê ú G=ê ú êG i ú ê ú ê ú êëG r úû 53
A Gi mátrixok számítása • egydimenziós hálózatok esetén: Gi = 1
• kétdimenziós hálózatok esetén: – ha hosszat is mértünk:
é1 0 - X i ù Gi = ê ú 0 1 Y i û ë – ha csak irányokat és szögeket mértünk:
é1 0 - X i Gi = ê ë0 1 Yi
Yi ù X i úû 54
A Gi mátrixok számítása • háromdimenziós hálózatok esetén: – vegyes (6 dátumparaméter):
0 é1 0 0 ê G i = ê0 1 0 - Z i êë0 0 1 Yi
Zi 0 - Xi
- Yi ù ú Xi ú 0 úû
– fotogrammetriai hálózatban (7 dátumparaméter):
0 é1 0 0 G i = êê0 1 0 - Z i êë0 0 1 Yi
Zi 0
- Yi Xi
- Xi
0
Xiù Yi úú Z i úû 55
S-transzformáció gyakorlati szempontjai • súlyponti koordináták használata – az előforduló számértékek csökkentése – számítási egyszerűsítések
• előnyei – nem változtatja meg a hálózat geometriáját – nem szükséges ismerni azt a dátumot, amelyből transzformálunk – bizonyos dátumhibák kiküszöbölhetők (pl. méretaránytényező hibája, különböző mérési epochák közötti elfordulás vagy eltolódás) 56
