Begeleiding aan het Rekenen doe je buiten, woord oefenen doe je binnen D. van Kassel & M. Kastermans OBD Noordwest-Holland, locatie Den Helder BS ‘t Tweespan, Heemskerk
Een ‘buitenkans’ voor een rekenzwak kind Op tafel ligt de meetlat. Lisa weet dat het een meter is. We kijken naar de deur. Hoe hoog zou de deur nu wel niet zijn? ‘30 meter‘, schat Lisa aarzelend.
U kent ze toch ook? Kinderen die getallen zo weinig zeggen. En telkens weer laten we ze sommen maken. Wie weet hoe vaak rekenzwakke kinderen zich hebben afgevraagd of we nu echt niet eens wat anders voor ze hebben. Lisa is zo’n kind. In groep 4 werd duidelijk dat zij zich de leerstof moeilijk eigen maakt. Nader onderzoek wees uit dat zij onder het gemiddelde functioneert en het tempo in de school voor haar te hoog lag. Omdat extra hulp in groep 5 en 6 niet tot de gewenste resultaten leidde werd aan het eind van het vorig cursusjaar aan mij gevraagd mee te denken om voor Lisa kansen te creëren, zodat zij meer greep op rekenen-wiskunde zou krijgen. In dit soort gevallen analyseer ik de hulpvraag door enkele punten na te gaan. Op welke manier kan het kind rekenen-wiskunde toepassen in de eigen leefsituatie? Kan het kind betekenis geven aan in het algemeen herkenbare situaties in de methode, zoals het boodschappen doen? Verder kijk ik naar het gedrag en de werkhouding van het kind. Zo zag ik Lisa, inmiddels in groep 7, die nog altijd grote problemen heeft met het rekenen. De basisbewerkingen tot 10 kan ze moeilijk automatiseren en memoriseren. Ze heeft de afgelopen jaren met verschillende programma’s gewerkt, maar telkens raakt ze de verworven kennis weer kwijt. Een van de uitgangspunten voor de hulp die we Lisa gaan geven is dat dit dient te gebeuren in een veilige omgeving. Dit vormt dan ook het startpunt bij het beantwoorden van de vraag hoe we met Lisa de komende twee jaar zinvolle en uitnodigende reken-wiskundeactiviteiten kunnen ondernemen. We zoeken naar manieren om de kloof tussen het informele, contextgebonden en het formele rekenen kleiner te maken of misschien zelfs te overbruggen. Daarbij houden we in het achterhoofd dat Lisa waarschijnlijk een zekere angst kent voor rekensituaties, zeker als die geassocieerd worden met de dwang tot presteren op een niveau dat voor Lisa niet haalbaar is. Lisa rekent, zo veronderstel ik, in haar eigen
22
dagelijkse doen en laten veel meer en beter dan in de school(se) situatie. Het gaat er nu om Marleen, de interne begeleider die het traject in de school stroomlijnt, te begeleiden, zodat zij in nauwe samenwerking met hulpouders en leerkrachten Lisa vaardigheden kan aanreiken om in haar dagelijks leven zo goed mogelijk met rekenwiskundesituaties om te gaan. Al een aantal jaren ontwerp en beschrijf ik mogelijkheden om buiten de school te rekenen, omdat daar geen of weinig sprake is van presteerdwang, terwijl daar anderszins goed kan worden aangesloten op rekenen in alledaagse situaties. Met name voor rekenzorgkinderen is dit een belangrijk aspect. Even weg uit de dagelijkse beslommering van het rekenboek of het rekenwerkschrift. Even iets anders dan extra hulp in de klas of in een aparte ruimte. Of, zoals een artikel in ‘Balans’ eens aangaf ‘Beter rekenen als je lekker in je vel zit’. Bij Lisa hebben we dat gedaan ‘Gewoon iets anders!’ Rekenen-wiskunde is een interactieve activiteit. Dat geldt niet alleen voor leerkracht-leerlingverhouding, maar dat zeker ook voor mij binnen het kader van begeleiding. Vandaar dat in het artikel nadrukkelijk over de gezamenlijke activiteiten en ervaringen van Marleen, de leerkracht, en mijzelf als begeleider wordt gesproken. Onze eerste actie is het maken van een overzicht van rekensituaties in de directe omgeving van de school. Naast de school bevindt zich een tuincentrum. Dit centrum biedt in onze ogen mogelijkheden. De bijna oneindig lijkende hoeveelheid artikelen en de geweldige medewerking van het personeel van het tuincentrum stelt Lisa in staat om van entree tot kassa telkens weer te worden ondersteund en gestimuleerd. Praktische uitvoering We stellen een rekenleerlijn (zie bijlage) samen en werken de bijbehorende rekenlessen uit. We willen bewerkstelligen dat Lisa zich in eerste instantie heel nadrukkelijk richt op het verkennen, tekenen en benoemen van de diverse hoeveelheden artikelen die ze tegenkomt. Het symboliseren krijgt vorm door de aantallen te tekenen, als het ware pictografisch weergegeven, deze hoeveelheden vervolgens te benoemen en iconisch met een turfnotatie aan te geven en ten slotte het cijfersymbool erbij te schrijven.
tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs
De school heeft veel geïnvesteerd in hulpouders. Een aantal van deze hulpouders is al jaren aan de school verbonden (en blijven ook nadat de eigen kinderen de school hebben verlaten). Marleen vraagt uit de door haar gecoachte groep hulpouders Riki om de uitvoering op zich te nemen. Iedere les wordt aanvankelijk nog uitvoerig door Marleen met haar besproken. Riki gaat met Lisa naar het tuincentrum (fig.1).
Hieruit volgt vergelijken, optellen, aftrekken en zelfs vermenigvuldigen. Omdat deze handelingen in een veilige één-één relatie plaatsvinden, komt Lisa beter tot haar recht. Zij durft zich te uiten. Zij kan rekenen. We waken ervoor haar te frustreren door haar vragen te stellen waar zij mogelijk het antwoord niet op kan weten. Hierbij gaan we uit van de gedachte dat degene die het weet, niet onnodig moet vragen aan degene die het niet weet. Bij de kassa worden de gekochte artikelen betaald. Het bonnetje wordt op school bestudeerd. Zo komt ook het werken met euro’s in beeld. Voor de reken-wiskundeactiviteiten met Lisa hebben we de volgende werklijn opgesteld (fig.3). Goed overleg
figuur 1
Lisa weet dat ze daar ‘gewoon gaan rekenen’; alleen op een andere plaats en met andere materialen. Lisa en Riki nemen hun kladblok mee naar het tuincentrum om te tekenen en te turven wat ze zien. Op school vindt de verwerking van de verzamelde gegevens plaats. Wat ze daar allemaal niet tellen. Eerst wordt alles getekend. Zakken grind, zakken met potgrond, zakken met bemeste tuinaarde, rozenstruiken, bakken met viooltjes; allerlei bakken met verschillende soorten planten worden weergegeven (fig.2a). Aanvankelijk kijkt Lisa de kat uit de boom, later neemt zij het voortouw. Vervolgens gaan ze over op turven (fig.2b) (het turven van de vogelhuisjes). Steeds vergelijken Lisa en Riki hun aantekeningen. Bij eventuele verschillen wordt nagegaan hoe dat komt en zonodig worden correcties aangebracht. Allerlei bewerkingen vloeien hieruit voort. Er zijn bijvoorbeeld meer vogelhuisjes met rode daken. De bamboepakketten liggen in stapels van twee bij elkaar. De chrysanten zijn gerangschikt in groepjes van vier. zien hoeveelheid benoemen tekenen turven
Niet alles loopt zomaar vanzelf. Riki gaat langdurig op vakantie. Hoe lossen we dit op? Anneke, die veel met Riki samenwerkt, biedt aan haar taak over te nemen. Marleen draagt zorg voor een goede inwerkperiode voor Anneke. We kunnen het project, waarbij veiligheid en vertrouwen de basis vormen, voortzetten. Ook Anneke en Lisa vormen een sterk rekenkoppel. Zoals we al eerder aangaven, is aanvankelijk frequent overleg tussen Marleen en de hulpouder noodzakelijk. Naarmate het project vordert, vindt een gedeelte van de communicatie plaats via de rekenmap van Lisa, waarin alle directbetrokkenen hun ervaringen beschrijven en het verloop van het rekenproces weergeven. In deze map zijn ook alle rekenlessen opgenomen. We geven fragmenten weer uit deze communicatiemap. Uit rekenles 2 Voor de volgende keer: Proberen Lisa zelf de oplossing te laten bedenken bij opdrachten die je de vorige keer voorgedaan hebt, Riki. Bijvoorbeeld: Er zijn 13 rozenstruiken. Hoeveel roze? Hoeveel van een andere kleur zijn er dan? Hoe kom je dat te weten? Zouden we er een sommetje bij kunnen bedenken? (Dit dan weer op school.) Bij de Chrysanten: 4 en nog eens 4 en nog eens 4 ... Hoeveel zijn het er nu? Kun je dat ook anders berekenen? Bij het vergelijken van stenen. Hoe kom je er achter waar er meer zijn? Vervolgens hoe kom je erachter hoeveel er meer zijn in de eerste stapel? Tot slot over de verkoop. Hoe zie je nu hoeveel plantjes er zijn verkocht? (lege plekken) Zo kan de derde les er dan ook uitzien.
symbool bewerkingen figuur 3
jaargang 21 nummer 4
Voeg toe wat jij bemerkt dat past bij Lisa. Blijven tekenen. Lukt het dan overstappen op turven. Uit rekenles 16 Spelen: spel Ganzenborden. Met Rachel is dit in de vorige les een groot succes geworden. Rachel heeft voorgesteld een Ganzenbord van thuis
23
figuur 2a
figuur 2b
mee te nemen. We hebben tot nu toe gewerkt met een Ganzenbord tot en met 20. Ga eerst werken met twee dobbelstenen. Laat de kinderen de sommen benoemen die ze zien. Vervolgens is het interessant om te gaan werken met drie dobbelstenen. Wanneer je dubbel gooit, haal je het dubbel aantal eraf: je gooit 4 en 2 en 2. Je telt 4 en 2 bij elkaar op en haalt er dan weer 2 af. Ontdekken de kinderen dat het zinloos is om al deze handelingen te doen? Ze weten dan dat je dus eigenlijk het resultaat van 1 dobbelsteen mag laten gelden. Tenzij je uiteraard, en dat is te hopen, je geen dubbele gooit. Gooi je bijvoorbeeld 6, 2 en 1 dan mag je ze allen bij elkaar optellen.
Onontbeerlijk is eveneens het intensieve overleg dat begeleider en intern begeleider eens in de twee maanden voeren. We evalueren het verloop van de lessen. Dick draagt nieuwe ontwerpen aan om die samen verder uit te werken en Marleen bereidt de gesprekken met de hulpouder en de leerkrachten voor. Ook zorgt zij voor waardevolle artikelen die zich lenen om omgezet te worden in een haalbare activiteiten. Door de bewuste terugkoppeling naar het team van ’t Tweespan bereiken we dat leerkrachten enthousiast worden voor het project. Collega’s van andere groepen komen met de vraag hun rekenzwakke kinderen te laten participeren. Zo komt ook Rachel uit groep 6 in beeld. Zij gaat met de volgende activiteit meedoen. De ouders van Lisa zijn
24
blij met de zorg rond hun dochter. Zij zijn betrokken bij het project. Zij verzamelen munten, laten Lisa betalen bij het boodschappen doen. Thuis worden de winkelactiviteiten voorbereid en herhaald. Uitbreiding van activiteiten We blijven niet alleen naar het tuincentrum gaan, maar bedenken ook andere activiteiten. We willen het rekenonderwijs namelijk niet alleen laten bestaan uit rekenen in de omgeving, het is namelijk ook de bedoeling dat Lisa de (schoolse) basisvaardigheden leert - voor zover dat binnen Lisa’s mogelijkheden ligt. Zo komt het ganzenbord in beeld. Er wordt met drie dobbelstenen gegooid. Twee hoeveelheden bij elkaar, één eraf. Dolle pret. Fijn is het dat Rachel nu van de partij is. Met meerdere spelers levert het meer gezelligheid op, vergroot zo de veiligheid en brengt interactie op gang. En steeds maar sneller optellen en aftrekken. Interessant wordt het de relatie naar grote getallen te leggen. We gaan voor Lisa met supersommen aan het werk. 2+3= 20 + 30 = 200 + 300 = 2000 + 3000 =
tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs
Dick stelt voor om nu ook het meten aan het programma toe te voegen, omdat dit in het programma voor alle leerlingen zit, maar ook aansluit bij de bedoelde bruikbare wiskunde. Op basis van een opzet werken we weer een serie lessen uit. We gaan van alles meten. De kinderen meten elkaar, ze meten de tafel, de hoogte van van alles en nog wat. Vooral schatten is hierbij van belang. Ook buiten de school gaan we meten. Wat leent zich hier mooier voor dan het schoolplein? Eerst maken de kinderen en Anneke een schatting, vervolgens gaan ze grote stappen zetten om hun schatting te controleren. Tot slot wordt het plein met de meetlat (een standaardmaat) opgemeten (fig.4).
figuur 4
Na aanvankelijk geen idee te hebben van maten, groeit bij Lisa gestaag het begrip. Als we al heel wat afgemeten hebben krijgen we bij het opmeten van de gang een leuk resultaat. Lisa schat dat de gang 21 meter lang is. Rachel denkt 22 meter. Meester Jaap, die voorbijloopt, denkt toch zeker dat de gang 30 meter lang is. We gaan meten. De gang blijkt 21 meter lang te zijn! Resultaten Het traject, zoals dat tot nu toe verloopt en verder is ge-
jaargang 21 nummer 4
pland, is erop gericht te bewerkstelligen dat Lisa een steeds beter beeld krijgt van de orde van grootte van getallen en daarmee handelingen kan verrichten op de getallenlijn. Daaraan gekoppeld streven we ernaar dat ze een zekere notie heeft hoe operaties op de getallenlijn uitwerken. Hiermee willen we bereiken dat Lisa contextsituaties vaardiger kan omzetten in (meer) formele rekentaal en omgekeerd. We zijn nu bijna een schooljaar onderweg en constateren nu meer zekerheid bij Lisa. Haar zelfvertrouwen groeit. Zij pakt het een en ander sneller en beter op en ze heeft zicht gekregen op de grootte van getallen. Ook de ouders van Lisa geven aan dat zij zich in de dagelijkse situatie steeds beter redt. Mijn begeleiding is er steeds opgericht Marleen, de hulpouders en de leerkrachten de ruimte te geven voor het ontwikkelen van eigen creativiteit; het leren zien van rekenen-wiskunde in de omgeving van het kind en het verwonderen over constructies van kinderen in die situaties. Het stimuleren om zelf de ‘buitenrekenlessen’ te ontwikkelen en te zorgen voor de juiste input, heeft op die manier een verrassend resultaat opgeleverd. Ik streef er uiteindelijk naar om een duurzaam resultaat te bereiken, waarbij kinderen zich in hun dagelijks leven zo goed mogelijk kunnen redden met reken-wiskundesituaties. De ontwikkeling van Lisa tot nu toe bewijst dat dit een perspectiefvol rekenbegeleidingsspoor is. Onze komende werkzaamheden zullen er dan ook op gericht zijn het aantal ‘buitenrekensituaties’ uit te breiden, meer zorgkinderen in het traject op te nemen en meer collega’s bij het project te betrekken. Ten slotte streven we ernaar onze eigen creativiteit te vergroten. Na al dat meten ... die oefening ... De deur? Dat weet Lisa nu. Jan komt binnen. ‘Hoe lang ben ik?’, vraagt hij. ‘1 meter... 85’, schat Lisa. ‘Geweldig’, reageert Jan. ‘Ik ben 1 meter 86.’
25
Bijlage: leerlijn voor Lisa in ontwikkeling
Inhoud / Onderwerp
Getaloriëntatie
bewerkingen + en –
‘Tuincentrum’ sept. t/m okt. 2002
telactiviteiten: – tellen en schatten van hoeveelheden – handig tellen en structureren van hoeveelheden – inzicht in de verschillende betekenis van getallen: orde en grootte
–
–
+, – 1. 2. 3. 4. Lege getallenlijn: Inzicht: begrijpen dat een sprong verder betekent dat ze verder gaat en een sprong terug betekent dat ze terugtelt. Automatiseren t/m 10 (+1, +2)
Toets
– – –
tellen met sprongen van 2, 5, 10 schatten: hoeveel ongeveer, meer, minder hoe verpakt? (structuur) wat is het grootste getal (volgorde van de getallen)?
1 2 3 –
bewerkingen × en :
handig rekenen: tekenen in groepjes: kis(oplossingsstrategieën) ten, zakken, enz. verwisselen: 3 + 9 = 9 + 3 gebruikmaken van nabijgelegen ‘mooie’ getallen. afronden op ronde bedragen (299 + 301) Automatiseren tm 10 –
– – –
meten, wegen, tijd en geld Kenmerken van het tuincentrum: Kijken! Begrippen: veel, groot, grootte, meer, zwaar, vergelijken Betalen; (bestellijst)
Telt ze met 2,5,10 te- – gelijk? Relatie leggen naar de tafel van 2,5, 10. – Inzicht. Wat is vermenigvuldigen? Herhaald optellen! Delen door 2. Doen.
Vergelijken van hoeveelheden (hoeveel plantjes in een doos?) Geld: Schatten van hoeveel ongeveer betalen? (1 euro en 49 eurocent is bijna 1euro 50, 95 eurocent is bijna 1 euro)
Winkeltje spelen (deels ‘tuincentrum’ nog bezoeken) Ganzenbordspel introduceren (samen met andere ll.) nov. 02 t/m jan. 2003
–
Werken met de lege getal- – lenlijn. – Werken met grote getallen. In de groep werkt Lisa momenteel met Remelka deel A8 oriëntatie in de getallen tm 1000.
Automatiseren t/m 10 (som- – menoverzicht uit de Kwantiwijzer benutten). –
Continueren,2,5,10 en – proberen met 3 tegelijk te tellen Relatie naar tafels leggen.
Op verschillende manieren 1 euro samenstellen (2 keer 50 eurocent enz.) Heb ik genoeg geld? Ik moet 2 euro 75 betalen en ik heb 3 euro?
Toets
–
Werken met de rijgmethode – (getallenlijn) Wat gebeurt er wanneer je heen en terug – over de getallenlijn gaat? Handig rekenen continueren (wat bij Lisa past) Automatiseren tm 10, vriend- – jes van 10.
Tafel van 2, 5 en 10 – doorelkaar. Delen: inzicht (een appel met 4 personen delen: wat doe je? Een – rol drop delen enz. Met 3 tegelijk tellen tot… vraag: Wat doen we nu? Antwoord: tafel van 3.
Op verschillende manieren 1 euro samenstellen (2 keer 50 eurocent enz.) Heb ik genoeg geld? Ik moet 2 euro 75 betalen en heb 3 euro? enz.
Tafel van 3 – Delen(een appel door – tweeën, viseren) – Doen: knippen, snij- – den, verdelen.
De meter Meten met de meter Hoeveel meter ben jij? Kinderen in de klas meten; de klas meten; de tafel meten Hoeveel tafels passen er in de klas? Hoeveel stoelen? Van ervaren naar formule Werken met geld herhalen. Heb je genoeg geld om ... te kopen?
– –
– Verhoudingen!! Rekenen doe je overal! Hoeveel tafels in het lokaal? – Ruimte ervaren, 1 meter gebruiken! – Werken met het rekenweb!! Werken met de rekenmachine (Lisa rekent en controleert zichzelf met de rekenmachine; Lisa rekent en Anneke controleert met het rekenapparaat jan. t/m maart 2003 Toets
– – –
toets
– –
toets
– – –
Toets
26
–
doortellen en terugtellen – (vanaf willekeurig getal) handig springen met sprongen van 10 en 1 op – de lege getallenlijn. Notatiewijze: 20 + 29? – Doen: 20 + 30 –1 =
Tellen en schatten blijven herhalen Nieuw: werken met grote getallen, supergetallen laten noemen Tellen met sprongen van 100 op de lege getallenlijn. Tellen met sprongen van 1000.
–
2 + 3 = 20 + 30 = 200 + 300 = 2000 + 3000 = – Uitbreiden met: 2 + 3 = 20 + 31 = 21 + 30 = Werken met eraf (overzicht Kwantiwijzer; verdwijnsommen en bijna verdwijnsommen, vriendjes van 10 en 9 som).
positiewaarde bepalen – tellen met sprongen van 100 op de lege getallenlijn rijen voortzetten: wat gebeurt er? (tussenwaarde 2,5) –
– – –
Optellen en aftrekken via rijg- – methode (getallenlijn). Wat – gebeurt er wanneer je heen en terug over de getallenlijn gaat? 20 + 29 = 20 + 30 – 1 Handig rekenen continueren (wat past bij Lisa)
–
–
Tafel van 2,3,5,10 Delen door 2, 4...
– –
Meten zoals in de lessen is gebeurd ... Heeft Lisa enige notie van verhoudingen (schatten van: hoeveel mensen gaan er in een vliegtuig, auto, flat, school) Rekenweb!
heen en terugtellen vanaf 100, 1000 tellen met sprongen van 3 Weten wat het grootste of het kleinste getal is getallen op de getallenlijn plaatsen Handig tellen Handig springen met sprongen van 100, 10 en 1.
tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs
