semin´aˇr, Gymn´azium Tachov posledn´ı revize: 10. ledna 2004
Banach˚ uv-Tarsk´ eho paradox Jiˇr´ı Svrˇsek
1
c °2004 Intellectronics
Abstract Banach˚ uv-Tarsk´eho paradox je jeden z nejpodivnˇejˇs´ıch v´ ysledk˚ u, jehoˇz matematikov´e kdy dos´ ahli. Ve zjednoduˇsen´em vyj´ adˇren´ı Banachova-Tarsk´eho vˇeta tvrd´ı, ˇze plnou kouli lze rozdˇelit na koneˇcnˇe mnoho ˇca ´st´ı, z nichˇz lze sloˇzit dvˇe pln´e koule stejn´e velikosti, jakou mˇela koule p˚ uvodn´ı.
1 e-mail:
[email protected], WWW: http://natura.eridan.cz
References [1] Frank Wikstr¨om: The Banach-Tarski theorem. http://abel.math.umu.se/ frankw/articles/bt/Banach-Tarski.html [2] Francis Edward Su: The Banach-Tarski theorem. Harvard University. 18 December 1990. http://www.math.hmc.edu/ su/papers.html
1
1
Banach˚ uv-Tarsk´ eho paradox
Banach˚ uv-Tarsk´eho paradox je jeden z nejpodivnˇejˇs´ıch v´ ysledk˚ u, jehoˇz matematikov´e kdy dos´ahli. Tento paradox dok´azali v roce 1924 Stefan Banach a Alfred Tarski.2 Ve zjednoduˇsen´em vyj´adˇren´ı Banachova-Tarsk´eho vˇeta tvrd´ı, ˇze plnou kouli rozdˇelit na koneˇcnˇe mnoho ˇc´ast´ı, z nichˇz lze sloˇzit dvˇe pln´e koule stejn´e velikosti, jakou mˇela koule p˚ uvodn´ı.
1.1
Paradoxy teorie mnoˇ zin
Dˇr´ıve, neˇz se budeme zab´ yvat d˚ ukazem Banachova-Tarsk´eho paradoxu, prozkoum´ame nˇekter´e jednoduˇsˇs´ı paradox, abychom z´ıskali pˇredstavu, jak´ ymi zp˚ usoby se paradoxy tohoto druhu dokazuj´ı. Nejjednoduˇsˇs´ı paradoxy se t´ ykaj´ı mohutnosti mnoˇ zin a pojmu nekoneˇ cna. Mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N lze zkonstruovat n´asleduj´ıc´ım postupem. 0 := ∅
1 := {∅}
2 := {∅, {∅}}
3 := {∅, {∅, {∅}}} . . .
Relaci uspoˇr´ad´an´ı na mnoˇzinˇe pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N lze definovat n´asledovnˇe: m < n ←→ m ∈ n Mohutnost mnoˇziny N oznaˇc´ıme ℵ0 . Mnoˇzina M m´a mohuthost ℵ0 mnoˇziny pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, jestliˇze existuje prost´e a vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e (bijektivn´ı) zobrazen´ı mnoˇziny M na mnoˇzinu N . Mnoˇzina sud´ ych ˇc´ısel m´a mohutnost ℵ0 . Existuje zobrazen´ı m→2·m
m∈N
Mnoˇzina racion´aln´ıch ˇc´ısel Q m´a mohutnost ℵ0 . 1/1 1/2 ↓ 1/3
→ .
2/1 2/2
%
→ .
3/2
2/3 2/4
4/1 4/2
.
. 1/4 ↓ 1/5
3/1 %
5/1
...
% ...
% ...
3/3 % ...
% ...
Pˇriˇrazen´ı mnoˇziny racion´aln´ıch ˇc´ısel Q mnoˇzinˇe pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N je tvoˇreno posloupnost´ı ½ ¾ 1 2 1 1 2 3 4 3 2 , , , , , , , , ,... 1 1 2 3 2 1 1 2 3 Mnoˇzina re´aln´ıch ˇc´ısel R nem´ a mohutnost ℵ0 . Pro jednoduchost uvaˇzujme interval (0, 1). Existuje bijektivn´ı zobrazen´ı intervalu (0, 1) na mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel R. Pˇredpokl´adejme, ˇze lze zapsat vˇsechny moˇzn´e nekoneˇcn´e desetinn´e rozvoje re´aln´ ych ˇc´ısel z intevalu (0, 1). Dostaneme napˇr. ˇc´ıslovan´ y seznam 1 2 3 4 5 6 2 Viz
0, 0, 0, 0, 0, 0,
234566 575603 463214 846216 562194 466732 ...
historick´ a pozn´ amka v 2. kapitole.
2
7 7 5 3 6 2
8 3 1 8 3 0
9... 7... 6... 0... 2... 1...
Nyn´ı vezmeme diagon´alnˇe vˇsechny ˇc´ıslice vyznaˇcen´e tuˇ cnˇ e. Dostaneme ˇc´ıslo 0, 2 7 3 2 9 2 . . . Toto ˇc´ıslo nyn´ı pozmˇen´ıme tak, ˇze ke kaˇzd´e ˇc´ıslici jeho desetinn´eho rozvoje pˇriˇcteme jedniˇcku (ˇc´ıslici 9 zamˇen´ıme ˇc´ıslic´ı 0). Dostaneme: 0, 3 8 4 3 0 3 . . . Toto nov´e ˇc´ıslo se vˇsak v p˚ uvodn´ım seznamu nem˚ uˇze vyskytovat, protoˇze se od kaˇzd´eho ˇc´ısla v tomto seznamu odliˇsuje nejm´enˇe o jednu ˇc´ıslici. Jsme tedy ve sporu s p˚ uvodn´ım pˇredpokladem, ˇze lze zapsat vˇsechny moˇzn´e desetinn´e rozvoje re´aln´ ych ˇc´ısel z intervalu (0, 1) do ˇc´ıslovan´eho seznamu. Interval (0, 1) proto nem˚ uˇze m´ıt mohutnost ℵ0 Jeho mohutnost (stejnˇe jako mohutnost mnoˇziny re´aln´ ych ˇc´ısel) oznaˇc´ıme ℵ1 a budeme ji naz´ yvat mohutnost kontinua. George Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) s dalˇs´ımi autory poloˇzil z´aklady teorie kardinality (mohutnosti), kter´a se tˇemito t´ematy zab´ yv´a. Na z´akladˇe t´eto teorie lze napˇr´ıklad dok´azat, ˇze mohutnost jednorozmˇern´eho intervalu h0, 1i je stejn´a, jako mohutnost dvojrozmˇern´eho intervalu h0, 1i × h0, 1i. Snadno lze dok´azat, ˇze muhutnost intervalu h0, 1) je stejn´a, jako mohutnost intervalu h0, 2) pouˇzit´ım prost´eho a vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´eho zobrazen´ı (bijekce) f (x) = 2x. Interval h0, 2) je tedy sjednocen´ım dvou interval˚ u se stejnou mohutnost´ı, jako m´a tento interval, neboˇt h0, 2) = h0, 1 ∪ h1, 2). Pokud bychom se v uveden´ ych u ´vah´ach omezili na koneˇcn´ y poˇcet podmnoˇzin a na pouze isometrick´e transformace, pak se dostaneme k paradox˚ um, kter´e zcela pˇrekraˇcuj´ı naˇsi pˇredstavivost.
1.2
Zjednoduˇ sen´ a verze Banachovy-Tarsk´ eho vˇ ety
Jeˇstˇe neˇz pˇristoup´ıme k d˚ ukazu Banachovy-Tarsk´eho vˇety, pomoc´ı paradoxn´ıch grup a axiomu v´ ybˇeru, dok´aˇzeme jinou nem´enˇe absurdn´ı vˇetu v mnoˇzinˇe re´aln´ ych ˇc´ısel R1 . Pˇred vysloven´ım vˇety a jej´ım d˚ ukazem uvedeme nˇekolik potˇrebn´ ych pojm˚ u. • Definice: Bin´arn´ı relace r na mnoˇzinˇe X se naz´ yv´a relace ekvivalence, pr´avˇe tehdy, kdyˇz r je reflexivn´ı, symetrick´ a a transitivn´ı. Je-li e relace ekvivalence na mnoˇzinˇe X, pak pro kaˇzd´e x ∈ Df (e) nazveme mnoˇzinu e[x] = {y ∈ X : yex} tˇ r´ıdou ekvivalence e. • Vˇ eta: Existuje podmnoˇzina intervalu [0, 2], kterou lze rozdˇelit na spoˇcetnˇe mnoho po dvou disjunktn´ıch ˇc´ast´ı a tyto ˇc´asti uspoˇr´adat tak, aby jejich sjednocen´ı bylo rovno cel´e mnoˇzinˇe R1 . Poznamenejme, ˇze existuje silnˇejˇs´ı verze t´eto vˇety, kter´a pouˇz´ıv´a koneˇcn´ y poˇcet po dvou disjunktn´ıch ˇc´ast´ı. Avˇsak jej´ı d˚ ukaz je sloˇzitˇejˇs´ı. D˚ ukaz: Definujme relaci ekvivalence na intervalu [0, 1] vztahem x∼y ⇔ x−y ∈Q
3
Tato relace ekvivalence rozdˇel´ı jednotkov´ y interval na nespoˇcetn´ y poˇcet tˇr´ıd ekvivalence, z nichˇz kaˇzd´a je spoˇcetn´a. Pouˇzit´ım axiomu v´ ybˇeru nalezneme X ⊂ [0, 1] takovou, ˇze obsahuje pˇresnˇe po jednom prvku z kaˇzd´e tˇr´ıdy ekvivalence (intuitivnˇe ˇreˇceno, s kaˇzd´e tˇr´ıdy ekvivalence vybereme libovoln´ y jeden prvek a vloˇz´ıme jej do mnoˇziny X). Tato mnoˇzina je t´ım, co logikov´e naz´ yvaj´ı ”nekonstruktivn´ı mnoˇzina”, protoˇze nen´ı d´an ˇz´adn´ y pˇredpis, jak takovou mnoˇzinu sestrojit. Protoˇze mnoˇzina X neobsahuje dva nebo v´ıce prvky z jedn´e tˇr´ıdy ekvivalence, vid´ıme, ˇze mnoˇziny X + q = {y : y = x + q, x ∈ X, q ∈ Q ∩ [0, 1]} jsou po dvou disjunktn´ı pro kaˇzd´e racion´aln´ı ˇc´ıslo q ∈ Q∩[0, 1]. Mnoˇziny X +q proto tvoˇt´ı disjunktn´ı pokryt´ı nˇejak´e podmnoˇziny Y ⊂ [0, 2]. Mnoˇzinu Y si lze pˇredstavit jako vˇsechny ”mal´e” racion´aln´ı translace mnoˇziny X. Mnoˇziny Q ∩ [0, 1] a Q jsou spoˇcetn´e a proto existuje mezi nimi vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e zobrazen´ı q → f (q). Mnoˇzina Y je sjednocen´ım vˇsech translac´ı X + q mnoˇziny X. Tyto translace m˚ uˇzeme nahradit translacemi X +f (q) a z´ısk´ame tak sjednocen´ı vˇsech racion´aln´ıch translac´ı mnoˇziny X. Kaˇzd´ y prvek y ∈ R1 ale leˇz´ı v nˇekter´e tˇr´ıdˇe ekvivalence. Prvek y je nˇejak´ ym racion´aln´ım posunut´ım mnoˇziny X, protoˇze X obsahuje po jednom prvku z kaˇzd´e tˇr´ıdy ekvivalence. T´ım je v´ yˇse uveden´a vˇeta dok´az´ana.
1.3
Paradoxn´ı grupy
Nejsch˚ udnˇejˇs´ım zp˚ usobem, jak vysvˇetlit Banachovu-Tarsk´eho vˇetu, je zformulovat ji pomoc´ı akce grupy. • Definice: Nechˇt G 6= ∅ a nechˇt je definov´ana bin´arn´ı operace n´asoben´ı, pro n´ıˇz plat´ı: 1. ∀ a, b, c ∈ G : a · (b · c) = (a · b) · c asociativn´ı z´ akon 2. ∃ e∈G: ∀ a∈G: a·e = e·a = a 3.
∀ a ∈ A : ∃ a−1 ∈ G : a · a−1 = a−1 · a = e
existence jednotkov´eho prvku existence inverzn´ıch prvk˚ u
Mnoˇzina G s operac´ı n´asoben´ı, kter´a splˇ nuje vlastnosti 1, 2, 3 naz´ yv´a grupa. • Definice: ˇ ık´ame, ˇze grupa G je akce na mnoˇ Nechˇt G je grupa a X je nˇejak´a mnoˇzina. R´ zinˇ e X, jestliˇze ke kaˇzd´emu prvku g ∈ G existuje bijektivn´ı zobrazen´ı na X (oznaˇcen´e tak´e g), takov´e, ˇze plat´ı: ∀ g, h ∈ G : ∀ x ∈ X : g(h(x)) = (gh)(x) e(x) = x kde e ∈ G je jednotkov´ y prvek grupy G. Tuto definici objasn´ıme na nˇekolika pˇr´ıkladech. • Pˇ r´ıklad 1.
4
Kaˇzd´ a grupa je akc´ı sama na sebe lev´ ym souˇcinem. • Pˇ r´ıklad 2. Grupa rotac´ı SO(3) v trojrozmˇern´em prostoru je kanonick´a akce na dvojrozmˇern´e sf´eˇre S 2 . • Pˇ r´ıklad 3. Grupa posuv˚ u G3 v trojrozmˇern´em prostoru (generovan´a translacemi a rotacemi) je kanonick´a akce na trojrozmˇern´em prostoru. • Definice: ˇ ık´ame, ˇze mnoˇziny A, B jsou Nechˇt G je grupa, kter´a je akc´ı na mnoˇzinˇe X. Nechˇt A, B ⊆ X. R´ G-kongruentn´ı, jestliˇze existuje prvek g ∈ G takov´ y, ˇze g(A) = B. Kongruenci mnoˇzin A, B budeme oznaˇcovat symbolem A ∼ =G B. Tento pojem je silnˇejˇs´ım pojmem neˇz klasick´a geometrick´a kongruence, protoˇze poˇzaduje bodov´e zobrazen´ı mnoˇzin. Pˇredstavme si napˇr´ıklad kruh rozdˇelen´ y sv´ ym pr˚ umˇerem. V klasick´em smyslu jsou z´ıskan´e dvˇe ˇc´asti samozˇrejmˇe kongruentn´ı, protoˇze ignorujeme jejich hranici. Aby vˇsak byly G2 kongruentn´ı, je nutn´e urˇcit, co provedeme s body leˇz´ıc´ımi na pr˚ umˇeru. • Definice: ˇ ık´ame, ˇze mnoˇziny A, B jsou G-ekvidekomponovateln´ R´ e (tuto vlastnost budeme oznaˇcovat symbolem A ∼G B), jestliˇze lze nal´ezt po dvou disjunktn´ı mnoˇziny A1 , . . . , An ⊆ A a po dvou disjunktn´ı mnoˇziny B1 , . . . , Bn ⊆ B takov´e, ˇze plat´ı: A =
n [ i=1
Ai
B =
n [
∀ i = 1, . . . , n : Ai ∼ =G Bi
Bi
i=1
Zhruba ˇreˇceno, mnoˇziny A, B jsou ekvidekomponovateln´e, jestliˇze lze mnoˇzinu A ”rozkr´ajet” takov´ ym zp˚ usobem, ˇze pomoc´ı r˚ uzn´ ych posuv˚ u (tj. pouˇzit´ım akc´ı grupy G) lze vytvoˇrit kopii mnoˇziny B. • Definice: ˇ ık´ame, ˇze mnoˇzina A je G-paradoxn´ı, jestliˇze existuj´ı mnoˇziny B, B 0 ⊆ A, B ∩ B 0 = ∅ takov´e, ˇze R´ plat´ı: A ∼G B ∧ A ∼G B 0 Lze uk´azat, ˇze mnoˇzina A je G-paradoxn´ı, jestliˇze lze nal´ezt mnoˇziny B, B 0 , kter´e pokr´ yvaj´ı celou mnoˇzinu A. Zaj´ımavou ot´azkou je, kter´e grupy jsou paradoxn´ı p˚ usoben´ım na sebe. Na tuto ot´azku nelze jednoduˇse odpovˇedˇet, ale lze nab´ıdnout alespoˇ n ˇc´asteˇcn´ y v´ ysledek. • Vˇ eta: Nechˇt (G, ·) je grupa, M ⊆ G. Pak existuje nejmenˇs´ı podgrupa (M • , ·) v (G, ·), kter´a obsahuje mnoˇzinu M . • D˚ ukaz: Nechˇt S je syst´em vˇsech podgrup (G0 , ·) grupy (G, ·), pro nˇeˇz je M ⊆ G0 . Tento syst´em nen´ı pr´azdn´ y, protoˇze (G, ·) ∈ S. Pak \ (M • , ·) = (G0 , ·) (G0 ,·)∈S
• Kaˇzd´a podgrupa G0 je generov´ana nˇejakou mnoˇzinou, napˇr. sama sebou. V aplikac´ıch se hledaj´ı
5
co nejmenˇs´ı generuj´ıc´ı mnoˇziny, kter´e se naz´ yvaj´ı mnoˇ zinou gener´ ator˚ u. Napˇr´ıklad grupa cel´ ych ˇc´ısel je generov´ana mnoˇzinou {1}. • Definice: Mnoˇzina
\
(M • , ·) =
(G0 , ·)
(G0 ,·)∈S
se naz´ yv´a podgrupa generovan´ a mnoˇ zinou M . Mnoˇzina M se naz´ yv´a mnoˇ zina gener´ ator˚ u. • Definice: Grupa s jednoprvkovou mnoˇzinou gener´ator˚ u se naz´ yv´a cyklick´ a. • Definice: Nechˇt (G, ·) je grupa, a ∈ G. Mocnina am pro m ∈ Z je definov´ana n´asledovnˇe: 1. a0 = e 2.
3.
∀ m ∈ N : am =
a . . · a} | · .{z pr´avˇe m-kr´at
−1 ∀ m ∈ N : a−m = a . . · a−1} | · .{z pr´avˇe |m|-kr´at
Pro poˇc´ıt´an´ı s mocninou prvku a ∈ G plat´ı: am+n = am · an • Pozn´ amka: Tvar cyklick´e grupy (G, ·) s gener´atorem x z´avis´ı na tom, zda existuje ˇc´ıslo n ∈ N takov´e, ˇze xn = e. Je-li n nejmenˇs´ı takov´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo, je G = {e, x, . . . , xn−1 } Pokud takov´e n ∈ N neexistuje, je
G = {xn : n ∈ Z}
• Definice: Term (slovo) z mnoˇziny M je kaˇzd´ y prvek tvaru g1n1 · g2n2 . . . gknk
g1 , . . . , gk ∈ M, n1 , . . . , nk ∈ Z
Podgrupa M • v grupˇe G generovan´a mnoˇzinou M je pr´avˇe mnoˇzina vˇsech term˚ u mnoˇziny M . • Definice: Vazba mezi prvky mnoˇ ziny M je kaˇzd´a rovnost mezi termy z M , tj. rovnost tvaru m2 ns 1 g1n1 · g2n2 . . . gknk = hm 1 · h 2 . . . hs
• Vˇ eta: Nechˇt G je grupa se dvˇema voln´ ymi gener´atory. Pak G je G-paradoxn´ı.
6
D˚ ukaz: Oznaˇcme σ a τ voln´e gener´atory grupy G. D´ale oznaˇcme W (ρ) = {redukovan´a slova z grupy G zaˇc´ınaj´ıc´ı zleva prvkem ρ ∈ G} kde ρ m˚ uˇze b´ yt σ, σ −1 , τ, τ −1 . Pak G = {e} ∪ W (σ) ∪ W (σ −1 ) ∪ W (τ ) ∪ W (τ −1 ) Nechˇt
Z = W (σ) ∪ W (σ −1 )
Z 0 = W (τ ) ∪ W (τ −1 )
Zˇrejmˇe Z ∩ Z 0 = ∅. Pˇritom vˇsak plat´ı W (σ) ∪ σW (σ −1 ) W (τ ) ∪ τ W (τ −1 )
= =
G G
Nyn´ı zvolme rozklad grupy G tak, aby uveden´e ˇctyˇri mnoˇziny v paradoxn´ı dekompozici pokr´ yvaly celou grupu G, tedy mnoˇzinu {e} zahrneme do jedn´e z tˇechto ˇctyˇr mnoˇzin, napˇr´ıklad do W (σ). Jenˇze potom mus´ıme z mnoˇziny W (σ −1 ) odstranit prvek σ −1 , neboˇt prvek {e} se vyskytuje duplicitnˇe v mnoˇzinˇe σW (σ −1 ). Indukc´ı dost´av´ame, ˇze mus´ıme z mnoˇziny W (σ −1 ) odstranit prvek σ −n , aby se prvek σ −n+1 nevyskytoval duplicitnˇe v mnoˇzinˇe σW (σ −1 ). N´aˇs nov´ y rozklad je shodn´ y s p˚ uvodn´ım rozkladem aˇz na jednu v´ yjimku W 0 (σ) W 0 (σ −1 ) Tyto mnoˇziny splˇ nuj´ı vztah
= =
W (σ) ∪ {e} ∪ {σ −n : n ∈ N } W (σ −1 ) \ {σ −n : n ∈ N }
W (σ) ∪ σW (σ −1 ) = G
Tento pˇr´ıklad paradoxn´ı mnoˇziny je na prvn´ı pohled nevinn´ y, ale pˇritom je hlavn´ım n´astrojem pro d˚ ukaz Banachovy-Tarsk´eho vˇety.
1.4
Hausdorff˚ uv paradox
Nyn´ı se propracujeme k jeˇstˇe pˇrekvapivˇejˇs´ım v´ ysledk˚ um. D˚ ukaz n´asleduj´ıc´ı vˇety vyˇzaduje axiom v´ ybˇeru. • Vˇ eta 1.: Nechˇt G je paradoxn´ı grupa p˚ usob´ıc´ı na mnoˇzinu X bez netrivi´aln´ıch pevn´ ych bod˚ u. Pak mnoˇzina X je G-paradoxn´ı. D˚ ukaz: Nechˇt Ai , Bj ⊆ G, gi , hj ∈ G jsou realizac´ı G-paradoxity. Podle axiomu v´ ybˇeru existuje mnoˇzina M , kter´a obsahuje pr´avˇe jeden prvek pro kaˇzdou G-dr´ahu v mnoˇzinˇe X. Mnoˇzina {g(M ) : g ∈ G} tvoˇr´ı rozklad mnoˇziny X (zde potˇrebujeme, aby mnoˇzina X neobsahovala netrivi´aln´ı pevn´e body). Oznaˇcme: [ [ A•i = {g(M ) : g ∈ Ai } Bj• = {g(M ) : g ∈ Bj } Pak
{A•i } ∪ {Bj• }
7
je soubor po dvou disjunktn´ıch podmnoˇzin mnoˇziny X a plat´ı: [ [ X = gi A•i = hj Bi• i
j
Abychom tuto vˇetu mohli vyuˇz´ıt, potˇrebujeme naj´ıt nˇekter´e uˇziteˇcn´e paradoxn´ı grupy. • Vˇ eta 2.: Je-li n ≥ 3, pak grupa SO(n) obsahuje nˇejakou volnou podgrupu ˇr´adu 2. D˚ ukaz: Postaˇcuje uk´azat, ˇze existuj´ı dvˇe rotace kolem poˇc´atku soustavy souˇradnic v prostoru R3 , kter´e generuj´ı volnou grupu. Existuje ˇrada pˇr´ıklad˚ u takov´eto konstrukce. • Vˇ eta 3. (Hausdorff˚ uv paradox): Existuje spoˇcetn´a podmnoˇzina D ⊆ S 2 takov´a, ˇze dvojrozmˇern´a sf´era S 2 \ D je SO(3)-paradoxn´ı. D˚ ukaz: Podle vˇety 2. existuje voln´a podgrupa G ˇr´adu 2 grupy SO(3). Vˇetu 1. vˇsak nelze pouˇz´ıt pˇr´ımo, protoˇze kaˇzd´a netrivi´aln´ı rotace v grupˇe G obsahuje pr´avˇe dva pevn´e body mnoˇziny S 2 . Pokud je grupa G spoˇcetn´a, pak mnoˇzina D obsahuje pr´avˇe ty body, kter´e jsou pˇri nˇejak´e rotaci g ∈ G pevn´e v S 2 . Proto je mnoˇzina D tak´e spoˇcetn´a. Grupa G p˚ usob´ı na S 2 \ D bez pevn´ ych bod˚ u a proto na tuto mnoˇzinu lze pouˇz´ıt vˇetu 1. V´ yˇse uvedenou vˇetu dok´azal Hausdorff v roce 1914.
1.5
Banachova-Tarsk´ eho vˇ eta
Hausdorff˚ uv paradox je dalˇs´ım krokem k d˚ ukazu Banachovy-Tarsk´eho vˇety. Mus´ıme vˇsak naj´ıt zp˚ usob, jak odstranit ”ˇspatnou” mnoˇzinu D, abychom uk´azali, ˇze cel´a koule je paradoxn´ı. • Vˇ eta 1.: Nechˇt D je spoˇcetn´a podmnoˇzina mnoˇziny S 2 . Pak plat´ı: S 2 ∼SO(3) S 2 \ D D˚ ukaz: Jestliˇze nalezneme rotaci ρ ∈ SO(3) takovou, ˇze mnoˇziny D, ρ(D), ρ2 (D), . . . jsou po dvou disjunktn´ı, pak plat´ı: S 2 = D∞ ∪ (S 2 \ D∞ ) ∼SO(3) ρ(D∞ ) ∪ (S 2 \ D∞ ) = S 2 \ D kde D∞ =
∞ [
ρn (D)
n=0
Nechˇt nyn´ı L je pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem, kter´a neprot´ın´a mnoˇzinu D. Nechˇt A je mnoˇzina u ´hl˚ u θ takov´ ych, ˇze pro nˇejak´e n > 0 a pro nˇejak´e P ∈ D bod ρ(P ) leˇz´ı tak´e v D, kde ρ je rotace kolem pˇr´ımky L o u ´hel nθ. Pak mnoˇzina A je spoˇcetn´a a lze nal´ezt u ´hel θ0 , kter´ y nen´ı prvkem mnoˇziny A. Pokud ρ0 je k tomuto u ´hlu odpov´ıdaj´ıc´ı rotace, pak vid´ıme, ˇze ρ0 splˇ nuje poˇzadavky
8
vˇety. • Vˇ eta 2. (slab´ a verze Banachovy-Tarsk´ eho vˇ ety): Mnoˇzina S 2 je SO(3)-paradoxn´ı. Jednotkov´a koule B 3 je G3 -paradoxn´ı. D˚ ukaz: Pokud zkombinujeme vˇetu o Hausdorffovˇe paradoxu s pˇredchoz´ı vˇetou, dostaneme okamˇzitˇe d˚ ukaz pro S 2 . Abychom dostali d˚ ukaz pro kouli B 3 , poznamenejme, ˇze dekompozice sf´ery S 2 vede k dekompozici B 3 \ {0} pouˇz´ıt´ım radi´aln´ıho vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´eho zobrazen´ı. Pak lze uk´azat, ˇze B 3 \ {0} ∼ =G3 B 3 podobn´ ym zp˚ usobem, jako jsme dok´azali, ˇze S 2 ∼SO(3) S 2 \ D Malou modifikac´ı uveden´eho d˚ ukazu lze stejn´ y v´ ysledek dok´azat pro libovolnou n − k-rozmˇernou kouli v Rn pro n ≥ 3. Tuto vˇetu ponˇekud jin´ ym zp˚ usobem dok´azali Alfred Tarski a Stefan Banach v roce 1924. Nepˇr´ıjemnou vlastnost´ı jinak velmi uˇziteˇcn´e Lebesgueovy m´ıry je existence urˇcit´ ych lebesgueovsky nemˇeˇriteln´ ych mnoˇzin. Existuje ”standardn´ı” konstrukce nemˇeˇriteln´e mnoˇziny pomoc´ı axiomu v´ ybˇeru. Stejn´a konstrukce ukazuje, ˇze v podstatˇe neexistuje m´ıra invariantn´ı vzhledem ke Gn , kter´a by normalizovala jednotkou krychli a byla by definov´ana na σ-algebˇre vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny Rn (tj. na mnoˇzinˇe Borelovsk´ ych mnoˇzin). Obvykl´ ym ˇreˇsen´ım tohoto probl´emu je pouˇzit´ı σ-algebry pouze lebesgueovsky mˇeˇriteln´ ych mnoˇzin. Jin´ ym probl´emem je ot´azka, zda existuje koneˇcnˇe aditivn´ı m´ıra na mnoˇzinˇe vˇsech podmnoˇzin Rn , pokud pro tuto m´ıru nevyˇzadujeme spoˇcetnou aditivitu. Banachova-Tarsk´eho vˇeta ukazuje, ˇze pro n ≥ 3 takov´a m´ıra neexistuje. • Vˇ eta 3.: Neexistuje ˇz´adn´a Gn -invariantn´ı koneˇcnˇe aditivn´ı m´ıra definovan´a na mnoˇzinˇe vˇsech podmnoˇzin Rn pro n ≥ 3, kter´a by normalizovala jednotkovou kouli. D˚ ukaz: Pˇredpokl´adejme, ˇze takov´a m´ıra µ existuje. Nechˇt {Ai , ρi }ki=1 ,
{Bj , σj }m j=1
jsou paradoxn´ı dekompozice jednotkov´e koule B n . pak 1 = µ(B n ) = µ(A1 ) + . . . + µ(Ak ) + µ(B1 ) + . . . + µ(Bm ) = µ(ρ1 (A1 )) + . . . + µ(ρk (Ak )) + µ(σ1 (B1 )) + . . . + µ(σm (Bm )) = µ(B n ) + µ(B n ) = 2 M˚ uˇze b´ yt urˇcit´ ym pˇrekvapen´ım, ˇze takov´a m´ıra existuje v R1 a R2 . V jednorozmˇern´em a dvojrozmˇern´em pˇr´ıpadˇe Banachova-Tarsk´eho vˇeta neplat´ı. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, Lindeman v roce 1926 uk´azal, ˇze ˇz´adn´a omezen´a mnoˇzina v rovinˇe nem˚ uˇze m´ıt paradoxn´ı dekompozici. Avˇsak lze prov´est kvadraturu kruhu! Pˇred nˇekolika lety se uk´azalo, ˇze kruh lze rozdˇelit na koneˇcn´ y poˇcet ˇc´ast´ı, kter´e lze koneˇcn´ ym poˇctem translac´ı (rotace nejsou potˇreba) sestavit tak, aby vytvoˇrily ˇctverec o stejn´e ploˇse, jako mˇel kruh. T´ımto zp˚ usobem lze nal´ezt urˇcitou skupinu ˇreˇsen´ı starovˇek´eho ˇreck´eho probl´emu. Samozˇrejmˇe vˇsak nelze sestrojit ˇctverec z kruhu pouze pouˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka.
9
• Vˇ eta 4. (Siln´ a verze Banachovy-Tarsk´ eho vˇ ety): Nechˇt A, B jsou dvˇe libovoln´e omezen´e mnoˇziny v Rn , (n ≥ 3) s nepr´azdn´ ym vnitˇrkem. Pak plat´ı: A ∼ Gn B Pouze naˇse pˇredstavivost omezuje vyuˇzit´ı t´eto vˇety...
1.6
Jin´ e dekompozice
Vidˇeli jsme, ˇze neexistuje ˇz´adn´a koneˇcnˇe aditivn´ı m´ıra, kter´a by byla invariantn´ı vzhledem ke grupˇe SO(n) pro mnoˇzinu vˇsech podmnoˇzin Rn , n ≥ 3. Pˇrirozenou ot´azkou je, jak velk´a σ-algebra m˚ uˇze m´ıt takovou m´ıru. Ned´avno bylo dok´az´ano, ˇze existuje Banachova-Tarsk´eho dekompozice B n , n ≥ 3 pouˇzit´ım ˇc´ast´ı, kter´e maj´ı Bairovu vlastnost. Tento d˚ ukaz d´av´a pro Bairovy mnoˇziny ˇ Mnoˇzina A ⊂ E je Bairova mnoˇ z´apornou odpovˇed. zina, jestliˇze existuje otevˇren´a mnoˇzina O takov´a, ˇze symetrick´a diference mnoˇzin O a E je spoˇcetn´ ym sjednocen´ım ˇr´ıdk´ ych mnoˇzin. V d˚ ukazu Banachovy-Tarsk´eho vˇety jsme pouˇzili axi´om v´ ybˇeru. Lze uk´azat, ˇze tento d˚ ukaz nelze bez axiomu v´ ybˇeru prov´est. Proto se objevily urˇcit´e snahy axiom v´ ybˇeru vylouˇcit. Na druh´e stranˇe existuj´ı jin´e konstruktivn´ı dekompozice, kter´e jsou t´emˇeˇr tak absurdn´ı jako Banachova-Tarsk´eho vˇeta. Pˇr´ıkladem je Dougherty˚ uv-Foreman˚ uv v´ ysledek, kde axiom v´ ybˇeru nen´ı vyuˇzit. • Vˇ eta 1.: Existuje koneˇcn´ y poˇcet po dvou disjunktn´ıch otevˇren´ ych podmnoˇzin jednotkov´e koule v Rn , kter´e lze uspoˇr´adat tak, aby byly tvoˇrily hustou podmnoˇzinu v kouli libovoln´eho nenulov´eho polomˇeru.
2 2.1
Historick´ a pozn´ amka Stefan Banach
Stefan Banach (narozen: 30. bˇrezna 1892 v Krakovˇe, Rakousko-Uhersko (dnes Polsko), zemˇrel: 31. srpna 1945 ve Lvovˇe, Ukrajina) navˇstˇevoval ˇskolu v Krakovˇe. Po ukonˇcen´ı ˇskoly sice chtˇel pracovat v jin´e oblasti, neˇz je matematika, ale brzy sv˚ uj n´azor zmˇenil. Od roku 1919 pˇredn´aˇsel v ´ Ustavu technologie ve Lvovˇe, od roku 1922 pˇredn´aˇsel na Univerzitˇe ve Lvovˇe a v roce 1927 se stal profesorem t´eto univerzity. Bˇehem druh´e svˇetov´e v´alky Banach ˇzil ve Lvovˇe ve velmi tˇeˇzk´ ych podm´ınk´ach nacistick´e okupace. Po v´alce chtˇel odej´ıt do Krakova, kde mu bylo nab´ıdnuto m´ısto na Jagellonsk´e univerzitˇe, avˇsak v roce 1945 zemˇrel na rakovinu plic. Stefan Banach je zakladatelem modern´ı funkcion´aln´ı anal´ yzy a v´ yznamnˇe pˇrispˇel k teorii topologick´ ych vektorov´ ych prostor˚ u. D´ale pˇrispˇel k teorii m´ıry a integr´alu a k teorii ortogon´aln´ıch ˇrad. Ve sv´e disertaˇcn´ı pr´aci v roce 1920 axiomaticky definoval to, co dnes naz´ yv´ame Banach˚ uv prostor. Banach˚ uv prostor je re´aln´ y nebo komplexn´ı normovan´ y vektorov´ y prostor, kter´ y je u ´pln´ y vzhledem k metrice d(x, y) = kx − yk ´ indukovan´e jeho normou. Uplnost prostoru znamen´a, ˇze kaˇzd´a cauchyovsk´a posloupnost je v Banachovˇe prostoru konvergentn´ı. Banachova algebra je Banach˚ uv prostor, jehoˇz norma splˇ nuje vztah kx · yk ≤ kxk · kyk
10
ˇ Rada d˚ uleˇzit´ ych vˇet matematick´e anal´ yzy nese Banachovo jm´eno. Velmi zvl´aˇstn´ı obsah m´a napˇr´ıklad Banachova-Tarsk´eho dekompozice koule, podle n´ıˇz lze kouli pomoc´ı posloupnosti ˇrez˚ u rozdˇelit tak, ˇze z tˇechto ˇrez˚ u lze sestavit dvˇe koule stejn´eho polomˇeru, jak´ y mˇela koule p˚ uvodn´ı. Banachovou nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı prac´ı je ”Th´eorie des op´erations lin´eaires” z roku 1932.
2.2
Alfred Tarski
Alfred Tarski (narozen: 14. ledna 1902 ve Varˇsavˇe, Rusk´e imp´erium (nyn´ı Polsko), zemˇrel: 26. ˇr´ıjna 1983 v Berkeley, California, Spojen´e st´ aty americk´e) v´ yznamnˇe pˇrispˇel k rozvoji ˇrady oblast´ı modern´ı matematiky, vˇcetnˇe metamatematiky (oblasti matematick´e logiky), teorie mnoˇzin, teorie m´ıry a Lebesgueova integr´alu, teorie modelov´an´ı a obecn´e algebry. Tarski pˇredn´aˇsel na Univerzitˇe ve Varˇsavˇe, na Harvardsk´e univerzitˇe a v roce 1942 se stal ˇclenem Kalifornsk´e univerzity v Berkeley. V roce 1949 byl jmenov´an profesorem matematiky a v letech 1958 aˇz 1960 byl v´ yzkumn´ ym profesorem na Millerovˇe institutu z´akladn´ıho v´ yzkumu ve vˇedˇe (the Miller Institute of Basic Research in Science). Pomoc´ı s´emantick´e metody, kterou Tarski vyvinul, byly form´aln´ı vˇedeck´e jazyky podrobeny hlubˇs´ımu studiu. Tarski se zab´ yval teori´ı modelov´an´ı, matematick´ ymi probl´emy rozhodov´an´ı a obecnou algebrou. Vypracoval axi´omy pro ”logick´e d˚ usledky”, zab´ yval se deduktivn´ımi syst´emy, algebrou logiky a teori´ı definovatelnosti. Tarski napsal v´ıce neˇz deset knih z r˚ uzn´ ych oblast´ı matematiky a jeho pr´ace ovlivnila ˇradu mlad´ ych matematik˚ u. Mezi jeho pr´ace patˇr´ı ”Geometrie” z roku 1935, ”Metoda rozhodov´ an´ı pro element´ arn´ı algebru a geometrii” z roku 1948, ”Nerozhodnuteln´e teorie” z roku 1953 a ”Logika, sem´ antika, metamatematika” z roku 1956. V roce 1924 spoleˇcnˇe se Stefanem Banachem Tarski objevil ekvivalenci geometrick´ ych objekt˚ u koneˇcnou dekompozic´ı. Velmi zvl´aˇstn´ı obsah m´a napˇr´ıklad Banachova-Tarsk´eho dekompozice koule, podle n´ıˇz lze kouli pomoc´ı posloupnosti ˇrez˚ u rozdˇelit tak, ˇze z tˇechto ˇrez˚ u lze sestavit dvˇe koule stejn´eho polomˇeru, jak´ y mˇela koule p˚ uvodn´ı. Teoretikov´e teorie grup studuj´ı ”Tarsk´eho pˇr´ıˇsery”, nekoneˇcn´e grupy, jejichˇz existence se intuitivnˇe jev´ı jako nemoˇzn´a.
11
