Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášky
Balkónové nosníky a rošty řešení silovou metodou
Desky základní předpoklady, proměnné a rovnice
Vnitřní síly obecně zatížených prutů - opakování Obecně zatížený prut (viz SM02) Souřadnicové systémy globální − − lokální − − (směr a orientace vnitř. sil) lokání (funkční závislost vnitřních sil na poloze průřezu, často
≡ )
y x
s
z
y
x z
x y
s z
2
Vnitřní síly obecně zatížených prutů - opakování Obecně zatížený prut (viz SM02) Vnitřní síly Lokální osy: ... tečna ke střednici , ... hlavní těžišťové osy
y x
c z
x y
b
y
x z
z
3
Balkónové nosníky a rošty Balkónový nosník Podepřený lomený rovinný prut zatížený kolmo na svou rovinu. y x
z y
z
x y
x
z
y x y
z
z x y
x z
Nosník umístíme do roviny Předpokládáme
∥
.
−
, zatížení působí ve směru
Pravoúhlý nosník ... osy prutů ( ) rovnoběžné s
nebo
.
. 4
Balkónové nosníky a rošty Rošt Rovinná soustava vzájemně se křížících prutů zatížená kolmo na svou rovinu. y x
zy
z
y
x
z
x
y x
z
y x y
z
y
x
x
Rošt umístíme do roviny Předpokládáme
z
∥
.
−
z
, zatížení působí ve směru
Pravoúhlý rošt ... osy prutů ( ) rovnoběžné s
nebo
.
. 5
Balkónové nosníky a rošty Vnitřní síly a přemístění Konstrukci umístíme do roviny y x
−
, zatížení působí ve směru y x
z
y zx z
x y
∥
.
z y zx
Pak vnitřní síly a přemístění v rovině konstrukce budou nulové: 0 0 0 (vzhledem k lokálním i globálním osám) 0 0 0 Obecně nenulové mohou být: ≠0 ≠0 ≠0
≠0 ≠0 ≠0
6
Balkónové nosníky a rošty Řešení silovou metodou 1) Ze staticky neurčité konstrukce vytvoříme uvolněním vazeb staticky určitou základní soustavu (ZS). Účinky těchto vazeb nahradíme neznámými reakcemi , , … (Uvažujeme pouze reakce, které mohou být nenulové s ohledem na zatížení působící kolmo na rovinu konstrukce, viz předchozí snímek). Př. 1:
Možné základní soustavy:
Daná konstrukce:
7
Balkónové nosníky a rošty Př. 2: Daná konstrukce:
Možné základní soustavy: válcový kloub (přenáší , )
2 oddělené osnovy prutů 8
Balkónové nosníky a rošty 2) Rovnovážný stav vnitřních a vnějších sil na ZS vyjádříme jako lineární kombinaci zatěžovacích stavů od skutečného zatížení (stav 0) a od jednotkových sil nebo momentů odpovídajících neznámým reakcím (stav 1, 2, ...) 3) Zajistíme splnění spojitosti - kompatibility (spojitosti prutů a vazeb), čímž obdržíme podmínečné rovnice. Př. 1:
……
0: 0:
+ +
· ·
+ +
· ·
+ … + …
0 0
9
Balkónové nosníky a rošty 4) Koeficienty podmínečných rovnic $% odpovídají přemístění v místě a směru neznámé $ od zatěžovacího stavu &. Tato přemístění určíme pomocí PVs.
%$4
12
'( 5
$
vliv ohybu bývá dominantní
+,
%(
*
+
$
%(
-,.
*
+
$
vliv kroucení při zjednodušení zanedbáváme, viz dále
%(
-/0
*
3
vliv smyku významný u krátkých vysokých prutů, jinak zanedbáváme
,. … moment tuhosti průřezu v kroucení, (viz PRPE) pro masivní průřez: ,. ≅
78 9 :2
10
Balkónové nosníky a rošty 5) Poté, co vypočteme koeficienty $% , neznámými v podmínečných rovnicích zůstávají pouze síly a momenty , , … = 0: = 0: ……
+ +
· ·
+ +
· ·
+ … = 0 + … = 0
Řešením rovnic obdržíme hodnoty sil a momentů
,
,…
6) Výsledné vnitřní síly na staticky neurčité konstrukci určíme jako kombinaci: = = =
+ · + · + ·
+ + +
· · ·
+ … + … + …
11
Balkónové nosníky a rošty Příklad 3: Určete průběhy vnitřních sil. Uvažujte vliv kroucení, ale vliv smyku zanedbejte. + 20 · 10= >?@ - 8,333 · 10= >?@ , = 1,728 · 10D9 E9 ,. = 1,747 · 10D9 E9
Základní soustava:
12
Balkónové nosníky a rošty Průběhy momentů na ZS:
13
Balkónové nosníky a rošty Průběhy momentů na ZS:
14
Balkónové nosníky a rošty Výpočet koeficientů
%$4
12
'( 5
$
+,
%(
*
+
$
%(
-,.
*
3
15
Balkónové nosníky a rošty Podmínečné rovnice · · · ·
9
+ + + +
· · · ·
9
+ + + +
· · · ·
9
+ + + +
· 9· 9· 9·
9
+ 9+ 9+ 99 + ·
9
0 0 0 0
9
9
9
+
0 0 0 0
2,130 > = 4,805 > = 7,826 > E = −0,193 > E 16
Balkónové nosníky a rošty Průběhy momentů na dané konstrukci: + · + · + ·
+ +
+
· ·
·
+ … + … + …
17
Balkónové nosníky a rošty Řešení silovou metodou bez vlivu kroucení (zjednodušený výpočet) Předpokládáme, že v prutech nevznikají krouticí momenty (tuhost v kroucení → 0).
V křížení vzájemně kolmých prutů se pak mezi pruty přenáší pouze svislá síla ⟹ vazba zajišťuje pouze společný průhyb.
Vazbu nahrazujeme kyvným prutem, např.:
18
Balkónové nosníky a rošty Staticky určitou základní soustavu vytvoříme tak, že rošt rozdělíme na jednotlivé nosníky přetnutím vnitřních kyvných prutů a úpravou vnějších vazeb, např.
19
Balkónové nosníky a rošty Příklad 4: Určete průběhy vnitřních sil. Zanedbejte vliv kroucení i smyku. + ,
20 · 10= >?@ 1,728 · 10D9 E9
Základní soustava:
20
Balkónové nosníky a rošty Průběhy momentů na ZS
Výpočet koeficientů
21
Balkónové nosníky a rošty Podmínečné rovnice
Průběhy vnitřních sil
Srovnejme s řešením př. 3 ... vliv kroucení je v tomto případě v řádu jednotek procent. 22
Desky Deska vs. stěna (viz PRPE) Plošné konstrukční prvky s rovinnou střednicovou plochou. Deska ... zatížení a reakce od podepření působí na kolmo na střednicovou rovinu. Stěna ... zatížení a reakce od podepření působí ve střednicové rovině.
23
Desky Desky – základní předpoklady Kirchhoffova hypotéza: úsečky, které jsou kolmé ke střednicové rovině v nedeformovaném stavu desky, zůstávají kolmé ke střednicové ploše i v deformovaném stavu.
x
y z
24
Desky Rozdělení deformace po objemu desky V důsledku Kirchhoffovy hypotézy jsou nenulové pouze složky deformace
x
L ,L ,M .
Tyto složky mají po tloušťce desky lineární průběh a můžeme je vyjádřit v závislosti na 2. derivacích průhybu ( , ) (křivostech) L
, ,
=−
L
, ,
=−
M
, ,
O
,
= −2
, O O
x
= P ,
O O
( , )
z
= P
O O
y
L
= P
y
L
M z 25
Desky Rozdělení napětí po objemu desky Za složky napětí můžeme vyjádřit pomocí materiálových rovnic (zde předpokládáme lineárně elastického chování materiálu): Q
Q R
+ 1−S + 1−S -M
L + SL
L + SL x
I napětí je pak rozděleno po tloušťce desky lineárně: y
Q
z
R
Q
26
Desky Vnitřní síly v desce x
Podobně jako u prutu vyjádříme vnitřní síly jako výsledné účinky napětí po tloušťce desky. Měrné ohybové momenty: h
mx =
h
2
∫σ
−h
x
z dz
my =
y
τ xy
σy
∫σ
y
z dz
mxy =
2
∫τ
−h
2
xy
z dz
m yx =
my x
mxy
2
h
myx
mx mxy mx
Měrné krouticí momenty: h
τ xy
z
2
−h
2
σx
my y
2
∫τ
−h
2
yx
z dz
(m
xy
= m yx )
myx
z
Měrné ohybové a krouticí momenty vyjadřují intenzity vztažené na jednotku „šířky“ desky. 27
Desky S využitím materiálových rovnic a vztahů mezi deformacemi a průhybem můžeme vyjádřit vnitřní síly: E E
VW
+ ( 1−S
L + SL
3
O −U O
+ 1−S
L + SL
3
−U
DVW VW
(
DVW
E
VW
( -M
DVW
O O
O +S O +S
O O
O − 1−S U O O
3 U
+ℎ 12 1 − S
... desková tuhost 28
Desky Z podmínek rovnováhy v bodě kontinua ve směrech os že v desce musí vznikat i smyková napětí R výslednicemi jsou měrné posouvající síly. VW
Y R 3
DVW
OE O
+
OE O
vyplývá,
vy
myx my
DVW
Tyto podmínky vedou i na vztahy mezi měrnými posouvajícími sílami a momenty: OE OE + O O
a R , jejichž
VW
Y R 3
a
mx
vx
x
mxy
mxy mx
vx
my y myx
vy
z
29
Desky Desková rovnice Ze zbývající podmínky rovnováhy ve směru osy a eliminací měrných posouvajících sil obdržíme statickou rovnici desky: ∂ 2 mxy ∂ 2 my ∂ 2 mx +2 + + fz = 0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y
x
f z ( x, y )
y z
Substitucí dříve odvozených vztahů do statické rovnice získáme tzv. deskovou rovnici ... diferenciální rovnici pro průhyb desky: O9 O9 U +2 O 9 O O
O9 + − Z̅ 9 O
0 30
Desky Okrajové podmínky Desková rovnice je parciální diferenciální rovnice 4. řádu. Pro nalezení partikulárního řešení je třeba v každém bodě na obvodě desky definovat 2 okrajové podmínky. Např.: vetknutí n
∂w =0 ∧ w=0 ∂n
n
mn = 0 ∧ w = 0
n
mn = 0 ∧
t kloubové podepření
t volný okraj
t
∂mnt + vn = 0 ∂t 31
Desky Shrnutí řídících rovnic
Průhyb
Vnější síly
Geometrické rovnice
Statické rovnice
Materiálové rovnice
Křivosti
Měrné momenty
32
Desky Shrnutí řídících rovnic ∂4 w ∂4 w ∂4 w D 4 + 2 2 2 + 4 − fz = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x O P =− O O P =− O P
= −2
∂ 2 mxy ∂ 2 my ∂ 2 mx +2 + + fz = 0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y
O O O E = U P + SP
P ,P ,P
Z̅
E = U SP + P E =U 1−S P
E ,E ,E
33
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 3 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Autor srdečně děkuje kolegům prof. Milanovi Jiráskovi a doc. Jitce Bittnarové za to, že mu laskavě poskytli své přednáškové materiály jako zdroj nejen inspirace, ale i některých formulací, obrázků a příkladů.
Datum poslední revize: 16.5.2016 34
