Bakalářská práce. Cliffordovy algebry. Oldřich Spáčil. Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Bakalářská práce

Cliffordovy algebry Oldřich Spáčil

Vedoucí bakalářské práce:

doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.

Brno

Květen 2007

Prohlášení Prohlašuji, že bakalářskou práci jsem vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a za odborného dohledu doc. RNDr. Martina Čadka, CSc. V Brně dne

.................

............................. Oldřich Spáčil

2

Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval doc. RNDr. Martinu Čadkovi, CSc. za ochotu a trpělivost při častých konzultacích a za odborné vedení při psaní této práce.

3

Obsah Úvod 1. Definice a základní vlastnosti 2. Reálné a komplexní Cliffordovy algebry 3. Cliffordovy moduly 4. Vektorová pole na sférách 5. Pin a spin grupy Literatura

4 5 10 19 23 27 38

Úvod Cliffordovy algebry jsou v jistém smyslu zobecněním komplexních čísel a kvaternionů. Mají široké využití v K-teorii, diferenciální geometrii i fyzice. Jsou jedním ze stavebních kamenů teorie Diracova operátoru. Bakalářská práce je rozdělena do pěti kapitol. V první kapitole podáme definici Cliffordových algeber a odvodíme jejich základní vlastnosti. Ve druhé kapitole se podíváme blíže na reálné Cliffordovy algebry negativně a pozitivně definitní kvadratické formy a jejich komplexifikace a ukážeme, že jsou izomorfní algebrám matic nad tělesy R, C nebo H. Třetí kapitola je pak věnována studiu modulů nad těmito algebrami. Při práci na prvních třech kapitolách jsem čerpal zejména z článku [2] a monografií [4], [7], [8]. Ve čtvrté kapitole naznačíme užitečnost Cliffordových algeber při studiu vektorových polí na sférách. Tato kapitola je zpracována podle [7]. V páté kapitole se budeme zabývat pin a spin grupami, značná část je věnována určení grup Spin(k) pro malá k. Zdrojem mi byly článek [2] a monografie [4] a [9]. V této kapitole užíváme některých výsledků z teorie nakrývacích prostorů a homotopií, které lze najít například v [6]. Dříve, než přejdeme k samotné práci, si ještě stručně řekněme, po kom jsou Cliffordovy algebry pojmenovány: William Kingdon Clifford (1845-1879) se narodil v Exeteru v Anglii. Ovlivněn pracemi Riemanna a Lobačevského studoval neeuklidovskou geometrii. V r. 1870 napsal článek s názvem On the space theory of matter, ve kterém vyjádřil myšlenku, že energie a hmota jsou pouze různá zakřivení vesmíru. Clifford zavedl bikvaterniony, zobecnění Hamiltonových kvaternionů, které užíval k popisu pohybu v neeuklidovských prostorech a po určitých plochách. Později navázal na Grassmannovu práci o vnějších algebrách a zabýval se obecnějšími typy algeber – dnes po něm nazvaných.

4

1. Definice a základní vlastnosti V této úvodní kapitole podáme definici Cliffordovy algebry a odvodíme základní vlastnosti. Ukážeme, že na libovolné Cliffordově algebře existuje kanonická involuce, která indukuje strukturu Z2 -graduované algebry. Dále spočteme dimenzi Cliffordovy algebry a popíšeme její generátory. Nakonec si všimneme antiinvolucí na Cliffordově algebře. Definice 1.1. Algebrou nad tělesem K (krátce K-algebrou) nazýváme vektorový prostor A nad K, který je zároveň okruhem (s jedničkou) v tom smyslu, že sčítání v okruhu je sčítání vektorů a pro x, y ∈ A a c ∈ K platí: a · (x · y) = (a · x) · y = x · (a · y). Homomorfismem K-algeber rozumíme homomorfismus okruhů, který je zároveň lineárním zobrazením. Pro jednoduchost budeme v dalším mluvit místo o vektorových prostorech nad K, resp. K-algebrách, pouze o vektorových prostorech, resp. algebrách. Definice 1.2. Buď V vektorový prostor a Q kvadratická forma na V . Cliffordovou algebrou dvojice (V, Q) nazýváme algebru C(V, Q) (krátce C(Q)) spolu s lineárním zobrazením ι : V → C(V, Q) splňujícím ι(v)2 = Q(v) · 1 pro všechna v ∈ V , přičemž je splněna následující univerzální vlastnost: Je-li A algebra a ϕ : V → A lineární zobrazení takové, že pro všechna v ∈ V platí ϕ(v)2 = Q(v) · 1, pak existuje právě jeden homomorfismus algeber Φ : C(V, Q) → A tak, že Φ ◦ ι = ϕ.

Φ C(V, Q) _ _ _w/; A O w ι

V

ww wwϕ w w ww

Věta 1.3. Nechť V je vektorový prostor a Q kvadratická forma na V . Pak až na izomorfismus existuje jediná Cliffordova algebra C(V, Q) asociovaná s (V, Q). L∞ k Důkaz. Nechť T (V ) = k=0 T (V ) je tenzorová algebra prostoru V a j : V → T (V ) vložení. Nechť I(Q) je ideál v T (V ) generovaný množinou {v ⊗ v − Q(v) · 1 | v ∈ V } a p : T (V ) → T (V )/I(Q) je projekce. Ukážeme, že C(V, Q) = T (V )/I(Q) spolu se zobrazením ι = p ◦ j je Cliffordova algebra dvojice (V, Q). Zřejmě ι(v)2 = Q(v) · 1 pro všechna v ∈ V . Nechť A je algebra a ϕ : V → A lineární zobrazení takové, že ϕ(v)2 = Q(v) · 1 pro všechna v ∈ V . Podle univerzální vlastnosti tenzorové algebry existuje jediný homomorfismus algeber φ : T (V ) → A tak, že φ ◦ j = ϕ. Z definice ideálu I(Q) plyne, že I(Q) ⊆ Ker(φ). Exisuje tedy jediný homomorfismus algeber Φ : C(V, Q) → A tak, že Φ ◦ p = φ, a tedy Φ ◦ ι = Φ ◦ p ◦ j = φ ◦ j = ϕ. Z konstrukce zobrazení Φ navíc plyne, že je jediné takové. T (V ) O

j

V

p

K

/ C(V, Q)  K φ Φ K K K%  /A

A _@o

@@ @@ ϕ @@

Ψ Φ

V

ϕ

+ >B ~ ~ ~ ~~ ~~ ψ

Nechť (A, ϕ), (B, ψ) jsou dvě Cliffordovy algebry dvojice (V, Q). Pak existuje jediný homomorfismus Ψ : A → B tak, že Ψ ◦ ϕ = ψ, a jediný homomorfismus Φ : B → A tak, že Φ ◦ ψ = ϕ. Potom Φ ◦ Ψ ◦ ϕ = Φ ◦ ψ = ϕ, a tedy z univerzální vlastnosti algebry A plyne, 5

že Φ ◦ Ψ = idA . Podobně z univerzální vlastnosti algebry B plyne, že Ψ ◦ Φ = idB . Je tedy Ψ izomorfismus algeber a Cliffordovy algebry A, B jsou izomorfní.  Důsledek 1.4. Cliffordova algebra C(V, Q) je generována množinou ι(V ). Důkaz. Tvrzení plyne z konstrukce algebry C(V, Q) a z toho, že algebra T (V ) je generována množinou j(V ).  Uveďme nyní několik jednoduchých příkladů Cliffordových algeber. Další příklady uvedeme až v druhé kapitole, kde se budeme věnovat některým reálným Cliffordovým algebrám a jejich komplexifikacím. Příklady 1.5. (1) Nechť V je vektorový prostor a Q(v) ≡ 0. Potom C(V, Q) ∼ = Λ(V ) je vnější algebra prostoru V . To plyne z konstrukce algebry C(V, Q). (2) Nechť V = K a Q(v) = a·v 2 pro všechna v ∈ K a nějaké a ∈ K. Potom T (V ) ∼ = K[x] a I(Q) = (x2 − a)K[x]. Odtud máme C(V, Q) ∼ = K[x]/(x2 − a) ∼ = K ⊕ Kx. (3) Položíme-li v předchozím příkladu K = R a a = −1, pak C(R, −x2 ) ∼ = C. Poznámka 1.6. Nechť (V1 , Q1 ), resp. (V2 , Q2 ), jsou vektorové prostory s kvadratickou formou a nechť (C(V1 , Q1 ), ι1 ), resp. (C(V2 , Q2 ), ι2 ), jsou příslušné Cliffordovy algebry. Nechť dále f : V1 → V2 je lineární zobrazení takové, že Q2 ◦ f = Q1 . Potom pro všechna v ∈ V1 platí (ι2 ◦ f (v))2 = Q2 (f (v)) · 1 = Q1 (v) · 1, a tedy existuje jediný homomorfismus algeber C(f ) : C(V1 , Q1 ) → C(V2 , Q2 ) tak, že C(f )◦ι1 = ι2 ◦f . Odtud plyne, že konstrukce Cliffordovy algebry je funktoriální. Ukážeme, že na algebře C(V, Q) existuje kanonická involuce, která navíc indukuje na C(V, Q) strukturu Z2 -graduované algebry. Definice 1.7. Endomorfismus f : A → A algebry A se nazývá involuce, jestliže f ◦f = idA . Definice 1.8. Algebra A se nazývá Z2 -graduovaná, jesliže ji lze rozložit v přímý součet A = A0 ⊕ A1 lineárních podprostorů tak, že pro i, j ∈ Z2 platí Ai Aj ⊆ Ai+j . Prvky podprostoru Ai nazýváme homogenní prvky stupně i. Homomorfismem Z2 -graduovaných algeber A = A0 ⊕ A1 a B = B 0 ⊕ B 1 rozumíme libovolný homomorfismus algeber f : A → B takový, že f (Ai ) ⊆ B i pro i ∈ Z2 . Věta 1.9. Nechť α : C(Q) → C(Q) je „rozšířeníÿ zobrazení −ι : V → C(Q). Pak α je involuce a C(Q) = C 0 (Q) ⊕ C 1 (Q), kde: C 0 (Q) = {x ∈ C(Q) | α(x) = x},

C 1 (Q) = {x ∈ C(Q) | α(x) = −x}

jsou lineární podprostory C(Q). Přitom pro i, j ∈ Z2 platí C i (Q)C j (Q) ⊆ C i+j (Q), a tedy C(Q) je Z2 -graduovaná algebra. Navíc je C 0 (Q) podalgebra algebry C(Q). Důkaz. Pro v ∈ V platí (−ι(v))2 = ι(v)2 = Q(v) · 1, a proto podle univerzální vlastnosti algebry C(Q) existuje jediné rožšíření zobrazení −ι na homomorfismus α : C(Q) → C(Q). Zřejmě α ◦ α = idC(Q) , tedy α je involuce. V dalším budeme používat označení z důkazu věty 1.3. Tenzorová algebra T (V ) má strukturu Z2 -graduované algebry s gradací: ∞ ∞ M M 0 2k 1 T (V ) = T (V ), T (V ) = T 2k+1 (V ). k=0

k=0

6

Ukážeme, že C(Q) = p(T (V )0 ) ⊕ p(T (V )1 ). Pro i ∈ Z2 položme I i (Q) = I(Q) ∩ T (V )i . Snadno se vidí, že I(Q) = I 0 (Q) ⊕ I 1 (Q). Nechť x ∈ p(T (V )0 ) ∩ p(T (V )1 ) je libovolný. Potom existují s0 ∈ T (V )0 , s1 ∈ T (V )1 tak, že p(s0 ) = x = p(s1 ), a tedy s0 −s1 = s ∈ I(Q). Ale rozklad s na součet homogenních prvků je jednoznačný. Proto si ∈ I i (Q) a x = 0. Z definice C i (Q) dále plyne, že p(T (V )i ) ⊆ C i (Q). Jistě jsou C i (Q) podprostory v C(Q) a zřejmě C 0 (Q)∩C 1 (Q) = {0}. Odtud a z předchozího již plyne, že C(Q) = C 0 (Q)⊕C 1 (Q), přičemž C i (Q) = p(T (V )i ). Zbytek tvrzení je zřejmý.  Lemma 1.10. Nechť (V, Q) je vektorový prostor s kvadratickou formou a nechť v, w ∈ V jsou vektory kolmé vzhledem ke Q. Potom v C(V, Q) platí: ι(v)ι(w) + ι(w)ι(v) = 0. Jestliže x = ι(v1 )ι(v2 ) . . . ι(vm ) ∈ C i (V, Q) a y = ι(w1 )ι(w2 ) . . . ι(wn ) ∈ C j (V, Q), kde i, j ∈ Z2 a vk ⊥wl pro všechny dvojice (k, l), potom xy = (−1)ij yx. Důkaz. Z předpokladů plyne: Q(v) + Q(w) = Q(v + w) = ι(v + w)2 = ι(v)2 + ι(w)2 + ι(v)ι(w) + ι(w)ι(v) = = Q(v) + Q(w) + ι(v)ι(w) + ι(w)ι(v), a tedy ι(v)ι(w) + ι(w)ι(v) = 0. Zbytek tvrzení plyne přímo z předpokladů užitím právě dokázané rovnosti.  Z2 -graduovaná struktura Cliffordovy algebry nemá zanedbatelný význam. Dovolí nám například popsat Cliffordovu algebru přímého součtu kvadratických forem v kontextu graduovaného tenzorového součinu. Definice 1.11. Nechť (V1 , Q1 ), (V2 , Q2 ) jsou dva vektorové prostory s kvadratickou formou. Na prostoru V1 ⊕ V2 můžeme definovat kvadratickou formu Q1 ⊕ Q2 takto: (Q1 ⊕ Q2 )|V1 = Q1 ,

(Q1 ⊕ Q2 )|V2 = Q2 ,

přičemž V1 ⊥V2 vzhledem ke Q1 ⊕ Q2 . Tuto kvadratickou formu nazýváme přímým součtem forem Q1 a Q2 . Definice 1.12. Buďte A = A0 ⊕ A1 , B = B 0 ⊕ B 1 dvě Z2 -graduované algebry. Graduovaný b definovaná následovně: tenzorový součin algeber A, B je Z2 -graduovaná algebra A⊗B b = A ⊗ B jako vektorový prostor, • A⊗B b 0 = (A0 ⊗ B 0 ) ⊕ (A1 ⊗ B 1 ), (A⊗B) b 1 = (A0 ⊗ B 1 ) ⊕ (A1 ⊗ B 0 ), • (A⊗B) i i j j • pro a ∈ A, b ∈ B, a ∈ A , b ∈ B je (a ⊗ bj ) · (ai ⊗ b) = (−1)ij (aai ) ⊗ (bj b). Věta 1.13. Nechť (V1 , Q1 ), (V2 , Q2 ) jsou dva vektorové prostory s kvadratickou formou. Pak jsou následující algebry izomorfní: b C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) ∼ = C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ). Důkaz. Buďte ι1 : V1 → C(V1 , Q1 ), resp. ι2 : V2 → C(V2 , Q2 ), zobrazení z definice Clifforb dovy algebry. Definujme zobrazení ϕ : V1 ⊕ V2 → C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ) pro v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 b předpisem ϕ(v1 , v2 ) = ι1 (v1 ) ⊗ 1 + 1 ⊗ ι2 (v2 ). Z definice násobení v C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ) plyne, že platí: ϕ(v1 , v2 )2 = (ι1 (v1 ) ⊗ 1 + 1 ⊗ ι2 (v2 ))2 = ι1 (v1 )2 ⊗ 1 + 1 ⊗ ι2 (v2 )2 + ι1 (v1 ) ⊗ ι2 (v2 )− − ι1 (v1 ) ⊗ ι2 (v2 ) = (Q1 (v1 ) · 1) ⊗ 1 + 1 ⊗ (Q2 (v2 ) · 1) = (Q1 ⊕ Q2 )(v1 + v2 ) · 1. 7

Podle univerzální vlastnosti algebry C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) existuje jediné rozšíření zobrazení b ϕ na homorfismus Φ : C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) → C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ) takový, že Φ ◦ ι = ϕ, kde ι : V1 ⊕ V2 → C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) je zobrazení z definice Cliffordovy algebry. Nechť γ1 : C(V1 , Q1 ) → C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ), resp. γ2 : C(V2 , Q2 ) → C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ), jsou homomorfismy indukované vloženími V1 ,→ V1 ⊕V2 , resp. V2 ,→ V1 ⊕V2 (viz. poznámka 1.6). Protože V1 ⊥V2 ve V1 ⊕ V2 , podle lemmatu 1.10 pro x1 ∈ C i (V1 , Q1 ), x2 ∈ C j (V2 , Q2 ) platí γ1 (x1 )γ2 (x2 ) = (−1)ij γ2 (x2 )γ1 (x1 ). Odtud plyne, že zobrazení γ1 , γ2 zadávají hob momorfismus algeber Ψ : C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ) → C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) daný předpisem Ψ(x1 ⊗ x2 ) = γ1 (x1 )γ2 (x2 ) pro x1 ∈ C(V1 , Q1 ), x2 ∈ C(V2 , Q2 ). Ukážeme, že Φ, Ψ jsou navzájem inverzní zobrazení. Nechť v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 jsou libovolné. Potom platí: Ψ ◦ Φ(ι(v1 , v2 )) = Ψ(ι1 (v1 ) ⊗ 1 + 1 ⊗ ι2 (v2 )) = γ1 (ι1 (v1 )) + γ2 (ι2 (v2 )) = = ι(v1 , 0) + ι(0, v2 ) = ι(v1 , v2 ). Protože algebra C(V1 ⊕ V2 , Q1 ⊕ Q2 ) je generována množinou ι(V1 ⊕ V2 ), plyne odtud, že Ψ ◦ Φ = idC(V1 ⊕V2 ,Q1 ⊕Q2 ) . Nechť opět v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 jsou libovolné. Potom: Φ ◦ Ψ(ι1 (v1 ) ⊗ 1) = Φ(γ1 (ι1 (v1 ))) = Φ(ι(v1 , 0)) = ι1 (v1 ) ⊗ 1, Φ ◦ Ψ(1 ⊗ ι2 (v2 )) = Φ(γ2 (ι2 (v2 ))) = Φ(ι(0, v2 )) = 1 ⊗ ι2 (v2 ). b Algebra C(V1 , Q1 )⊗C(V 2 , Q2 ) je generována prvky tvaru ι1 (v1 )⊗1, 1⊗ι2 (v2 ). Z předchozího tedy plyne, že Φ ◦ Ψ = idC(V1 ,Q1 )⊗C(V . Tím je důkaz dokončen.  b 2 ,Q2 ) Právě dokázané tvrzení nám umožní za jistých rozumných předpokladů spočítat dimenzi Cliffordovy algebry a popsat její generátory a jednu význačnou bázi. Věta 1.14. Nechť (V, Q) je vektorový prostor s kvadratickou formou a nechť v1 , v2 , . . . , vn je báze V taková, že vi ⊥vj vzhledem ke Q. Pak C(V, Q) je vektorový prostor dimenze 2n . Pro i = 1, 2, . . . , n označme ei = ι(vi ). Potom prvky e1 , e2 , . . . , en generují algebru C(V, Q), přičemž platí: e2i = Q(vi ) · 1,

ei ej + ej ei = 0 pro i 6= j.

Prvky 1, ei1 ei2 . . . eim , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n tvoří bázi prostoru C(V, Q) nad K. Důkaz. Pro i = 1, 2, . . . , n nechť Vi je podprostor prostoru V generovaný vektorem vi a nechť Qi = Q|Vi . Z předpokladů plyne, že V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn a Q = Q1 ⊕ . . . ⊕ Qn . Opab . . . ⊗C(V b kovaným užitím předchozí věty dostaneme C(V, Q) ∼ = C(V1 , Q1 )⊗ n , Qn ). Podle příkladu 1.5 (2) je C(Vi , Qi ) = K ⊕ Kei , a tedy dimK C(Vi , Qi ) = 2. Odtud již plyne, že dimK C(V, Q) = 2n . Protože algebra C(V, Q) je generována množinou ι(V ) a v1 , v2 , . . . , vn je báze ve V , je zřejmě C(V, Q) generována prvky e1 , e2 , . . . , en . Přitom e2i = ι(vi )2 = Q(vi ) · 1 a rovnost ei ej + ej ei = 0 pro i 6= j platí podle lemmatu 1.10. Z předchozího dále plyne, že C(V, Q) je lineárně generovaná množinou 1, ei1 ei2 . . . eim , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n. Protože počet těchto prvků je právě 2n = dimK C(V, Q), tvoří bázi algebry C(V, Q).  8

Důsledek 1.15. Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty a nechť ι : V → C(V, Q) je zobrazení z definice Cliffordovy algebry. Potom je ι vložení. Důkaz. Zobrazení ι zobrazuje bázi v1 , v2 , . . . , vn prostoru V na prvky báze algebry C(V, Q). Odtud plyne, že ι injektivní.  Báze z věty 1.14 existuje pro libovolný konečněrozměrný vektorový prostor V s kvadratickou formou Q nad tělesem charakteristiky různé od dvou. Podle Lagrangeovy věty je to totiž polární báze prostoru V , v níž má Q diagonální tvar. Podle důsledku můžeme v tomto případě považovat V za podprostor algebry C(V, Q). Na závěr zavedeme na Cliffordově algebře dvě přirozené antiinvoluce. Jejich užitečnost se ovšem projeví až v poslední kapitole. Definice 1.16. Nechť A je algebra. Lineární zobrazení f : A → A se nazývá antiinvoluce algebry A, jestliže pro všechna a, b ∈ A platí f (a · b) = f (b) · f (a) a f ◦ f = idA . Nechť (V, Q) je vektorový prostor s kvadratickou formou. Na tenzorové algebře T (V ) lze definovat kanonickou t antiinvoluci přiřazením t(v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vk ) = vk ⊗ vk−1 ⊗ . . . ⊗ v1 pro vi ∈ V . Přitom pro všechna v ∈ V platí t(v ⊗ v − Q(v) · 1) = v ⊗ v − Q(v) · 1, a tedy antiinvoluce t zachovává ideál I(Q). Odtud plyne, že tato antiinvoluce indukuje antiinvoluci na C(V, Q). Definice 1.17. Antiinvoluce τ : C(V, Q) → C(V, Q) indukovaná kanonickou antiinvolucí na T (V ) se nazývá transpozice. Zobrazení α ◦ τ = τ ◦ α : C(V, Q) → C(V, Q) je opět antiinvoluce, kterou nazýváme (Cliffordovou) konjugací. Obraz prvku v ∈ V v zobrazení α ◦ τ budeme značit v¯. Dříve jsme ukázali, že C(R, −x2 ) ∼ = C. Podobně platí C(R2 , −x2 − y 2 ) ∼ = H. Na těchto algebrách je Cliffordova konjugace totožná s klasickou konjugací.

9

2. Reálné a komplexní Cliffordovy algebry V této kapitole budeme studovat reálné Cliffordovy algebry negativně, resp. pozitivně, definitní kvadratické formy na prostoru Rk . Provedeme jejich klasifikaci a ukážeme, že zde existuje jistá periodičnost 8. V závěru si pak všimneme komplexifikací těchto algeber. Označení 2.1. Označme: • Ck = C(Rk , −x21 − x22 − . . . − x2k ) – Cliffordovu algebru příslušnou prostoru Rk s negativně definitní kvadratickou formou, • Ck0 = C(Rk , x21 + x22 + . . . + x2k ) – Cliffordovu algebru příslušnou prostoru Rk s pozitivně definitní kvadratickou formou, • C0 = C00 = R. Budeme-li v dalším mluvit o algebrách Ck a Ck0 , budeme předpokládat, že k ≥ 1, nebudeli řečeno jinak. Podle důsledku 1.15 můžeme prostor Rk pokládat za podprostor v Ck . Nechť e1 , e2 , . . . , ek je libovolná ortonormální báze Rk . Potom podle věty 1.14 tyto prvky generují algebru Ck , přižemž platí: e2i = −1,

ei ej + ej ei = 0 pro i 6= j.

Navíc prvky 1, ei1 ei2 . . . eim , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ k, tvoří bázi Ck nad R. V dalším bude tedy e1 , e2 , . . . , ek označovat výhradně nějakou ortonormální bázi prostoru Rk ⊆ Ck , tj. generátory algebry Ck . Podobně, nechť e01 , e02 , . . . , e0k je libovolná ortonormální báze prostoru Rk ⊆ Ck0 . Potom tyto vektory generují algebru Ck0 a platí: (e0i )2 = 1,

e0i e0j + e0j e0i = 0 pro i 6= j.

Prvky 1, e0i1 e0i2 . . . e0im , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ k, tvoří bázi Ck0 nad R. Nadále bude tedy e01 , e02 . . . , e0k označovat nějakou ortonormální bázi prostoru Rk ⊆ Ck0 Naší snahou nyní bude algebry Ck a Ck0 explicitně určit. Ukážeme, že tyto algebry jsou izomorfní algebrám matic nad tělesy R, C nebo H. Algebry C1 a C2 , resp. C10 a C20 , určíme snadno pomocí právě popsaných generátorů. 2.2. C1 ∼ =C Algebra C1 je generována prvkem e1 splňujícím e21 = −1. Přiřazení e1 → 7 i tedy zřejmě definuje izomorfismus mezi C1 a algebrou komplexních čísel C. Pak C10 = {a | a ∈ R} a C11 = {bi | b ∈ R}. 2.3. C10 ∼ =R⊕R Algebra C10 je generována prvkem e01 splňujícím (e01 )2 = 1. Přiřazení e01 7→ (1, −1) definuje izomorfismus mezi C10 a algebrou R ⊕ R (kde sčítání a násobení je definováno po složkách). Potom (C10 )0 = {(a, a) | a ∈ R} a (C10 )1 = {(b, −b) | a ∈ R}. 2.4. C2 ∼ =H Algebra C2 je generována prvky e1 , e2 splňujícími e21 = −1, e22 = −1, e1 e2 = −e2 e1 . Přiřazení e1 7→ i, e2 7→ j, e1 e2 7→ k dává izomorfismus mezi C2 a algebrou kvaternionů H. Pak C20 = {a + dk | a, d ∈ R} a C21 = {bi + cj | b, c ∈ R}. 10

2.5. C20 ∼ = R(2) Algebra C20 je generována prvky e01 , e02 splňujícími (e01 )2 = 1, (e02 )2 = 1, e01 e02 = −e02 e01 . Proto přiřazení:       1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 e1 7→ , e2 7→ , e1 e2 7→ 0 −1 1 0 −1 0 definuje izomorfismus mezi C20 a algebrou R(2) reálných čtvercových matic řádu 2. Potom:       a b a b 0 0 0 1 (C2 ) = a, b ∈ R a (C2 ) = a, b ∈ R . −b a b −a Při určování algeber Ck a Ck0 vyšších dimenzí budeme potřebovat následující tvrzení, které nám umožní užití předchozích výsledků. Věta 2.6. Následující algebry jsou izomorfní: 0 ∼ Ck+2 = Ck ⊗R C20 , Ck+2 ∼ = C 0 ⊗R C2 . k

Důkaz. Ukážeme platnost prvního izomorfismu, druhý se dokazuje analogicky. Buďte tedy e1 , e2 , . . . , ek generátory algebry Ck a e01 , e02 , . . . , e0k generátory algebry Ck0 . Definujme lineární zobrazení ψ : Rk+2 → Ck ⊗R C20 předpisem na bázi e01 , e02 , . . . , e0k :  1 ⊗ e0i 1 ≤ i ≤ 2, 0 ψ(ei ) = 0 0 ei−2 ⊗ e1 e2 3 ≤ i ≤ k. Potom platí: (ψ(e0i ))2 = (1 ⊗ e0i )(1 ⊗ e0i ) = 1 ⊗ (e0i )2 = 1 pro 1 ≤ i ≤ 2, (ψ(e0i ))2 = (ei−2 ⊗ e01 e02 )(ei−2 ⊗ e01 e02 ) = (ei−2 )2 ⊗ e01 e02 e01 e02 = 1 pro 3 ≤ i ≤ k. Podobně se ověří, že ψ(e0i )ψ(e0j ) + ψ(e0j )ψ(e0i ) = 0 pro i 6= j. Odtud plyne, že zobrazení 0 ψ se dá jednoznačně rozšířit na homomorfimus algeber Ψ : Ck+2 → Ck ⊗R C20 . Přitom se 0 0 0 0 různé bázové vektory ei1 ei2 . . . eim algebry Ck+2 zobrazují na různé bázové vektory algebry Ck ⊗R C20 . Proto je Ψ injektivní, a protože obě algebry mají stejnou dimenzi, je i surjektivní, a tedy izomorfismus.  Poznamenejme, že tenzorový součin z předchozí věty je nutno chápat jako negraduovaný, a tedy homomorfismus Ψ není homomorfismem Z2 -graduovaných algeber. To ostatně plyne již z univerzální vlastnosti Cliffordovy algebry, kde se o algebře A nepředpokládá, že je 0 Z2 -graduovaná. Po zbytek kapitoly bude Ψ : Ck+2 → Ck ⊗R C20 a Ψ : Ck+2 → Ck0 ⊗R C2 , označovat izomorfismus z důkazu věty 2.6. 2.7. C3 ∼ =H⊕H Máme dán izomorfismus algeber Ψ : C3 → (R ⊕ R) ⊗R H. Definujme dále zobrazení ϕ : (R ⊕ R) ⊗R H → H ⊕ H předpisem ϕ((a, b) ⊗ h) = (a · h, b · h) (na H ⊕ H jsou operace sčítání a násobení definovány po složkách). Zřejmě je ϕ homomorfismus algeber a ukážeme, že je to izomorfismus. Protože algebry (R ⊕ R) ⊗R H a H ⊕ H mají stejnou dimenzi, stačí ukázat, že ϕ je surjektivní: ovšem (a + bi + cj + dk, a0 + b0 i + c0 j + d0 k) ∈ H ⊕ H je obraz 11

prvku (a, a0 ) ⊗ 1 + (b, b0 ) ⊗ i + (c, c0 ) ⊗ j + (d, d0 ) ⊗ k. Složené zobrazení ϕ ◦ Ψ je tedy izomorfismus mezi C3 a H ⊕ H, přičemž platí: e1 7→ (i, i),

e2 7→ (j, j),

e3 7→ (k, −k).

Odtud pak přímo plyne, že C30 = {(u, ut ) | u ∈ H} a C31 = {(u, −ut ) | u ∈ H}, kde (a + bi + cj + dk)t = a − bi − cj + dk. 2.8. C30 ∼ = C(2) Mějme izomorfismus Ψ : C30 → C ⊗R R(2) a definujme zobrazení ϕ : C ⊗R R(2) → C(2) předpisem ϕ(u ⊗ M ) = u · M . Zřejmě je ϕ homomorfismus algeber, který je surjektivní: vzorem prvku ( ac db ) ∈ C(2) je prvek a ⊗ ( 10 00 ) + b ⊗ ( 00 10 ) + c ⊗ ( 01 00 ) + d ⊗ ( 00 01 ). Poněvadž algebry C ⊗R R(2) a C(2) mají stejnou dimenzi, je ϕ izomorfimus. Kompozicí zobrazení Ψ a ϕ tak dostáváme izomorfismus mezi C30 a C(2), přičemž pro generátory platí:       1 0 0 1 0 i 0 0 0 e1 7→ , e2 7→ , e3 7→ . 0 −1 1 0 −i 0       u v u v 0 1 0 0 u, v ∈ C . u, v ∈ C a (C3 ) = Odtud též plyne, že (C3 ) = v¯ −¯ u −¯ v u¯ 2.9. C4 ∼ = H(2) Uvažme izomorfismus Ψ : C4 → R(2) ⊗R H a definujme zobrazení ϕ : R(2) ⊗R H → H(2) předpisem ϕ(M ⊗ h) = h · M . Podobně jako před chvílí se ukáže, že ϕ je izomorfismus. Složené zobrazení ϕ ◦ Ψ dává izomorfismus mezi C4 a H(2), přičemž platí:         i 0 j 0 k 0 0 k e1 7→ , e2 7→ , e3 7→ , e4 7→ . 0 i 0 j 0 −k k 0       u v u v 1 0 u, v ∈ H . u, v ∈ H a C4 = Odtud pak plyne, že C4 = v t −ut −v t ut 2.10. C40 ∼ = H(2) Analogicky jako v předchozím případě máme izomorfismy Ψ : C40 → H ⊗R R(2), resp. ϕ : H ⊗R R(2) → H(2), kde ϕ(h ⊗ M ) = h · M . Jejich složením dostáváme izomorfismus mezi C40 a H(2), přičemž pro generátory platí:         1 0 0 1 0 i 0 j 0 0 0 0 e1 7→ , e2 7→ , e3 7→ , e4 7→ . 0 −1 1 0 −i 0 −j 0 Dále se snadno ověří, že (C40 )0 = C40 a (C40 )1 = C41 . Před dalšími výpočty dokažme následující užitečné lemma. S jeho pomocí budeme schopni určit algebry Ck a Ck0 pro k ≤ 8. Lemma 2.11. Následující zobrazení jsou izomorfismy algeber: χ : H ⊗R H → EndR (H) ∼ = R(4) definované předpisem χ(h1 ⊗ h2 )(u) = h1 · u · h2 , χ˜ : C ⊗R H → EndC (H) ∼ ˜ ⊗ h)(u) = z · u · h. = C(2) definované předpisem χ(z 12

Důkaz. Ukážeme nejdříve, že zobrazení χ z tvrzení lemmatu je homomorfismus algeber. Buďte tedy g1 , g2 , h1 , h2 , u ∈ H libovolné a počítejme: χ((g1 ⊗ g2 )(h1 ⊗ h2 ))(u) = χ(g1 h1 ⊗ g2 h2 )(u) = g1 h1 · u · g2 h2 = g1 h1 · u · h2 g2 = = g1 · χ(h1 ⊗ h2 )(u) · g2 = χ(g1 ⊗ g2 ) ◦ χ(h1 ⊗ h2 )(u). Prvky standartní báze algebry H ⊗R H se při homomorfismu χ zobrazují na matice mající právě jeden z prvků ±1 v každém řádku a v každém sloupci a jinak nuly. Přímým výpočtem se dá ověřit, že různými lineárními kombinacemi těchto matic lze vygenerovat libovolnou matici s právě jedním nenulovým prvkem. Odtud plyne, že zobrazení χ je surjektivní. Jelikož algebry H ⊗R H a R(4) mají stejnou dimenzi, je χ izomorfismus. Považujme nyní H = {z1 + z2 · j | z1 , z2 ∈ C} za levý vektorový prostor nad C. Stejně jako výše se ukáže, že zobrazení χ˜ z tvrzení lemmatu je lineární zobrazení komplexních vektorových prostorů a homomorfismus reálných algeber. Pro bázi prostoru C ⊗R H platí:         1 0 −i 0 0 1 0 −i χ(1 ˜ ⊗ 1) = , χ(1 ˜ ⊗ i) = , χ(1 ˜ ⊗ j) = , χ(1 ˜ ⊗ k) = . 0 1 0 i −1 0 −i 0 Zobrazení χ˜ tedy zobrazuje bázi na bázi, a proto jde o izomorfismus komplexních vektorových prostorů, tudíž i R - algeber.  2.12. C5 ∼ = C(4) Mějme izomorfismus Ψ : C5 → C(2) ⊗R H a nechť ϕ : R(2) ⊗R C → C(2) je zobrazení definované předpisem ϕ(M ⊗ u) = u · M . Již víme, že ϕ je izomorfismus (viz 2.8). Značí-li χ˜ zobrazení z předchozího lemmatu, pak následující posloupnost homomorfismů definuje izomorfismus mezi algebrami C5 a C(4): idR(2) ⊗χ ˜ ϕ ⊗idH Ψ C5 − → C(2) ⊗R H −−−−−→ R(2) ⊗R C ⊗R H −−−−−→ R(2) ⊗R C(2) ∼ = C(4). −1

Přitom pro generátory algebry C5 platí:    −i 0 0 0 0 1 −1 0  0 i 0 0   e1 7→   0 0 −i 0 , e2 7→  0 0 0 0 0 i 0 0    0 0 0 −i 0  0 0 −i 0  0   e4 7→   0 −i 0 0  , e5 7→  0 −i 0 0 0 −1

   0 −i 0 0 0   0  , e3 7→ −i 0 0 0 ,  0 0 0 i 1 0 0 i 0 0  0 0 1 0 1 0 . −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1

2.13. C50 ∼ = H(2) ⊕ H(2) Máme izomorfismus Ψ : C50 → (H ⊕ H) ⊗R R(2). Buď ϕ : (H ⊕ H) ⊗R R(2) → H(2) ⊕ H(2) zobrazení definované předpisem ϕ((g, h)⊗M ) = (g ·M, h·M ). Podobně jako v 2.8 se ukáže, že ϕ je izomorfismus. Kompozice ϕ ◦ Ψ tedy dává izomorfismus mezi C50 a H(2) ⊕ H(2). 13

Pro generátory platí:             0 1 0 1 0 i 0 i 1 0 1 0 0 0 0 , , e3 7→ , , , , e2 7→ e1 7→ 0 −1 0 −1 1 0 1 0 −i 0 −i 0         0 k 0 −k 0 j 0 j 0 0 , . , , e5 7→ e4 7→ −k 0 k 0 −j 0 −j 0 2.14. C6 ∼ = R(8) Jako v 2.12 uvažme izomorfismy algeber Ψ : C6 → H(2) ⊗R H, ϕ : R(2) ⊗R H → H(2), který je definovaný předpisem ϕ(M ⊗ h) = h · M , a χ z lemmatu 2.11. Následující posloupnost zobrazení pak definuje izomorfismus mezi algebrami C6 a R(8): idR(2) ⊗χ ψ ϕ ⊗idH C6 − → H(2) ⊗R H −−−−−→ R(2) ⊗R H ⊗R H −−−−−→ R(2) ⊗R R(4) ∼ = R(8). −1

Přitom pro generátory platí:   0 1 0 0    −1 0 0 0  1 0 1   , e2 7→ e1 7→ ⊗  0 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 0   0 0 0 1     0 0 −1 0 0 1 0  ⊗ e3 7→  0 1 0 0 , e4 7→ 1 0 −1 −1 0 0 0   0 0 1 0    0 0 0 1 0 0 1   , e6 7→ e5 7→ ⊗ −1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 0



0  0 0 ⊗ −1 1 0  0   1 0 ⊗ 0 0 −1  0  −1 1 ⊗ 0 0 0

0 0 0 −1

1 0 0 0

0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 0

0 0 0 1

 0 1 , 0 0  1 0 , 0 0  0 0 . 1 0

2.15. C60 ∼ = H(4) Izomorfismus je dán přímo zobrazením Ψ : C60 → H(2) ⊗R R(2) ∼ = H(4) z věty 2.6. Gene0 rátory algebry C6 přitom Ψ zobrazuje následovně:       1 0 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 −1 0 0    −i 0 0 0 0  , e02 7→ 1 0 0 0 ,   e01 7→  e → 7 3 0 0 1 0  0 0 0 1  0 0 0 i , 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 −i 0       0 0 0 k 0 j 0 0 0 k 0 0 −j 0 0 0      , e05 7→ −k 0 0 0  , e06 7→  0 0 −k 0 . e04 7→   0 0 0 j  0 0 0 −k   0 k 0 0 0 0 −j 0 0 0 k 0 −k 0 0 0 2.16. C7 ∼ = R(8) ⊕ R(8) Máme zobrazení Ψ : C7 → [H(2) ⊕ H(2)] ⊗R H. Nechť ϕ : R(2) ⊗R (H ⊕ H) → H(2) ⊕ H(2) je zobrazení definované předpisem ϕ(M ⊗ (g, h)) = (g · M, h · M ). Podobně jako v 2.7 a 2.8 se ukáže, že ϕ je izomorfismus algeber. Značí-li χ zobrazení z lemmatu 2.11, potom 14

hledaný izomorfismus je definován následující posloupností homomorfismů: −1

ϕ ⊗idH Ψ C7 − → [H(2) ⊕ H(2)] ⊗R H −−−−−→ R(2) ⊗R (H ⊕ H) ⊗R H ∼ = idR(2) ⊗(χ×χ) ∼ = R(2) ⊗R [(H ⊗R H) ⊕ (H ⊗R H)] −−−−−−−→ R(2) ⊗R [R(4) ⊕ R(4)] ∼ = R(8) ⊕ R(8).

2.17. C70 ∼ = C(8) Izomorfismus je dán přímo zobrazením Ψ : C70 → C(4) ⊗R R(2) ∼ = C(8) z věty 2.6. 2.18. C8 ∼ = R(16) Uvažme izomorfismus Ψ : C8 → H(4) ⊗R H a definujme zobrazení ϕ : R(4) ⊗ H → H(4) předpisem ϕ(M, h) = h·M . Opět se ukáže, že ϕ je izomorfismus algeber. Je-li dále χ zobrazení z lemmatu 2.11, pak hledaný izomorfismus je definován posloupností homomorfismů: idR(4) ⊗χ ϕ ⊗idH Ψ C8 − → H(4) ⊗R H −−−−−→ R(4) ⊗R H ⊗R H −−−−−→ R(4) ⊗R R(4) ∼ = R(16). −1

2.19. C80 ∼ = R(16) Izomorfismus je opět dán zobrazením Ψ : C80 → R(8) ⊗R R(2) ∼ = R(16) z věty 2.6. Vícenásobným užitím věty 2.6 bychom dostali izomorfismy algeber Ck+8 ∼ = Ck ⊗R C8 a 0 0 ∼ . My ale tento výsledek dokážeme přímo. ⊗ C C = k R 8

0 Ck+8

Věta 2.20. Následující algebry jsou izomorfní: Ck+8 ∼ = Ck ⊗R C8 , 0 Ck+8 ∼ = Ck0 ⊗R C80 . Důkaz. Provedeme důkaz prvního izomorfismu, druhý se dokazuje analogicky. Buďte tedy e1 , e2 , . . . , e8 generátory algebry C8 a položme ε = e1 e2 . . . e8 . Platí: ε2 = 1 a εei = −ei ε pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , 8}, a tedy εv = −vε pro libovolný vektor v ∈ R8 ⊆ C8 . Uvažujme Rk+8 jako přímý součet Rk ⊕R8 a definujme zobrazení φ : Rk ⊕R8 → Ck ⊗R C8 předpisem φ(u, v) = u ⊗ ε + 1 ⊗ v pro všechna u ∈ Rk a v ∈ R8 . Jistě je φ lineární a platí: (φ(u, v))2 = u2 ⊗ε2 +1⊗v 2 +u⊗εv +u⊗vε = u2 ⊗1+1⊗v 2 = Qk (u)+Q8 (v) = Qk+8 (u, v), kde Qm značí negativně definitní kvadratickou formu na prostoru Rm . Z univerzální vlastnosti algebry Ck+8 plyne, že existuje jediné rozšíření zobrazení φ na homomorfismus algeber Φ : Ck+8 → Ck ⊗R C8 . Ověříme, že Φ je izomorfismus. K tomu stačí ukázat, že je surjektivní. Pro u ∈ Rk je Φ(u, 0)Φ(0, ε) = (u ⊗ ε)(1 ⊗ ε) = u ⊗ 1 a pro v ∈ R8 je Φ(0, v) = 1 ⊗ v. Tedy u ⊗ 1 ∈ Im(Φ) i 1 ⊗ v ∈ Im(Φ) pro všechna u ∈ Rk a v ∈ R8 . Protože tyto prvky generují algebru Ck ⊗R C8 a Φ je homomorfimus, plyne odtud, že Φ je surjektivní zobrazení.  Připomeňme, že C8 ∼ = R(16). Je-li tedy Ck ∼ = F(n), resp. Ck ∼ = F(n)⊕F(n), kde F = R, C nebo H a n ∈ N, pak podle předchozí věty je Ck+8 ∼ F(n) ⊗R R(16) ∼ = = F(16n), resp. ∼ ∼ Ck+8 = (F(n) ⊕ F(n)) ⊗R R(16) = F(16n) ⊕ F(16n). Odtud plyne, že náš popis algeber Ck je již úplný. V dalším se blíže podíváme, jaké prvky odpovídají generátorům e1 , e2 , . . . , ek a odvodíme pro ně obecný předpis. Je jasné, že analogické výsledky platí i pro algebry Ck0 , nebudeme je však uvádět. 15

2.21. C9 ∼ = C ⊗R R(16) Izomorfismus je dán zobrazením Φ z předchozí věty. Podívejme se, jak zobrazuje generátory e1 , e2 , . . . , e9 algebry C9 . Uvažujeme-li prostor R9 ⊆ C9 jako přímý součet R ⊕ R8 , pak vektor e1 generuje algebru C1 ∼ = C a vektory e2 , e3 , . . . , e9 generují algebru C8 ∼ = R(16). Buďte g1 , g2 , . . . , g8 ∈ R(16) matice popořadě odpovídající generátorům e2 , e3 , . . . , e9 a položme ε = g1 g2 . . . g8 . Pro zobrazení Φ potom platí: e1 7→ i ⊗ ε,

e2 7→ 1 ⊗ g1 ,

e3 7→ 1 ⊗ g2 ,

...

, e9 7→ 1 ⊗ g8 .

2.22. C17 ∼ = C ⊗R R(16) ⊗R R(16) Izomorfismus obdržíme užitím věty 2.20 a předchozího příkladu. Uvažme tedy generátory e1 , e2 , . . . , e17 ∈ R17 = R9 ⊕ R8 algebry C17 . Posledních 8 vektorů e10 , e11 , . . . , e17 generuje algebru C8 ∼ = R(16). Nechť dále g1 , g2 , . . . , g8 ∈ R(16) jsou jim odpovídající matice (tytéž jako výše) a ε = g1 g2 . . . g8 . Pro kompozici C17 → C9 ⊗R R(16) → C ⊗R R(16) ⊗R R(16) potom platí: e1 7→ e1 ⊗ ε 7→ i ⊗ ε ⊗ ε, e2 7→ e2 ⊗ ε 7→ 1 ⊗ g1 ⊗ ε, . . . , e9 7→ e9 ⊗ ε 7→ 1 ⊗ g8 ⊗ ε, e10 7→ 1 ⊗ g1 7→ 1 ⊗ E ⊗ g1 , . . . , e17 7→ 1 ⊗ g8 7→ 1 ⊗ E ⊗ g8 , kde E ∈ R(16) je jednotková matice. Z těchto dvou příkladů je patrná jistá pravidelnost v předpisech pro generátory ei algeber C8k+1 . Obecný případ popisuje následující věta. Věta 2.23. Buďte g1 , g2 , . . . , g8 ∈ R(16) matice odpovídající generátorům e1 , e2 , . . . , e8 algebry C8 ∼ = R(16) a položme ε = g1 g2 . . . g8 . Nechť k ∈ N a m ∈ {1, 2, . . . , 8} jsou libovolná. Následující předpis na generátorech algebry C8k+m definuje izomorfimus mezi algebrami C8k+m a Cm ⊗R R(16) ⊗R . . . ⊗R R(16): | {z } k  1 ≤ i ≤ m, ei ⊗ |ε ⊗ .{z . . ⊗ ε}      k k ei 7→ }| { z   1 ⊗ E ⊗ . . . ⊗ E ⊗g ⊗ ε ⊗ . . . ⊗ ε m + 1 ≤ i ≤ 8k + m, ρ(i)  | {z }   [(i−m−1)/8]

kde E ∈ R(16) je jednotková matice a ρ(i) ∈ {1, 2, . . . , 8} takové, že ρ(i) ≡ i − m (mod 8). Důkaz. Buď m ∈ {1, 2, . . . , 8} libovolné. Důkaz provedeme indukcí vzhledem ke k. Pro k = 1 tvrzení plyne z věty 2.20 s přihlédnutím k izomorfismu C8 ∼ = R(16). Opravdu, jsou-li e1 , e2 , . . . , em+8 ∈ Rm+8 = Rm ⊕ R8 generátory algebry Cm+8 , potom posledních 8 prvků em+1 , em+2 , . . . , em+8 generuje algebru C8 a pro zobrazení Φ z důkazu této věty platí:  ei ⊗ ε 1 ≤ i ≤ m, Φ(ei ) = 1 ⊗ gi−m m + 1 ≤ i ≤ m + 8. Předpokládejme, že tvrzení platí pro nějaké k ∈ N a dokažme, že potom platí i pro k + 1. Buďte opět e1 , e2 , . . . , e8(k+1)+m ∈ R8(k+1)+m = R8k+m ⊕ R8 generátory algebry 16

C8(k+1)+m . Pak prvky e8k+m+1 , e8k+m+2 , . . . , e8(k+1)+m generují algebru C8 a pro izomorfismus Φ : C8(k+1)+m → C8k+m ⊗R R(16) z důkazu věty 2.20 platí:  ei ⊗ ε 1 ≤ i ≤ 8k + m, Φ(ei ) = 1 ⊗ gi−8k−m 8k + m + 1 ≤ i ≤ 8k + m + 8. Aplikujeme-li nyní na první činitele izomorfismus z indukčního předpokladu, obdržíme požadovaný předpis.  Podobně jako algebry Ck a Ck0 jsme mohli uvažovat Cliffordovy algebry prostoru Rk vybaveného regulární kvadratickou formou obecné signatury (p, q). Jejich klasifikace se ovšem převádí na klasifikaci algeber Ck a Ck0 . Podrobněji viz. [8]. V závěru kapitoly budeme studovat komplexifikace algeber Ck a Ck0 . Nechť V je reálný vektorový prostor a Q kvadratická forma na V . Komplexifikací formy Q rozumíme kvadratickou formu QC na komplexifikovaném prostoru VC = V ⊗R C danou předpisem QC (v ⊗ z) = Q(v)z 2 pro všechna v ∈ V a z ∈ C. Věta 2.24. Nechť (V, Q) je konečněrozměrný reálný vektorový prostor s kvadratickou formou a nechť (VC , QC ) je jeho komplexifikace. Potom jsou následující C-algebry izomorfní: C(VC , QC ) ∼ = C(V, Q) ⊗R C. Důkaz. Nechť ι : V → C(V, Q) je vložení z definice Cliffordovy algebry. Definujme zobrazení ω : V ⊗R C → C(V, B) ⊗R C předpisem ω(v ⊗ z) = ι(v) ⊗ z pro všechna v ∈ V a všechna z ∈ C. Potom platí: ω(v ⊗ z)2 = (ι(v) ⊗ z)2 = ι(v)2 ⊗ z 2 = (Q(v) · 1) ⊗ z 2 = Q(v)z 2 · 1 ⊗ 1 = QC (v ⊗ z) · 1. Podle univerzální vlastnosti algebry C(VC , QC ) existuje jediné rozšíření zobrazení ω na homomorfismus algeber Ω : C(VC , QC ) → C(V, B) ⊗R C. Je-li v1 , v2 , . . . , vn polární báze kvadratické formy Q, potom prvky 1, vj1 vj2 . . . vjm ⊗ 1, kde 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jm ≤ n, tvoří bázi algebry C(VC , QC ) nad C. Zobrazení Ω zobrazuje tuto bázi na bázi algebry C(V, Q) ⊗R C, a tedy je Ω izomorfismus.  Důsledek 2.25. Následující C-algebry jsou izomorfní: C(Ck , z12 + z22 + . . . + zk2 ) ∼ = Ck ⊗R C ∼ = Ck0 ⊗R C. Důkaz. Tvrzení plyne z předchozí věty, neboť komplexifikace forem x21 + x22 + . . . + x2k a  −x21 − x22 − . . . − x2k jsou ekvivalentní. Z důkazu věty 2.24 dále plyne, že involuce α : Ck ⊗R C → Ck ⊗R C indukující struktury Z2 -graduované algebry je dána komplexifikací příslušné reálné involuce na Ck . Odtud pak máme (Ck ⊗R C)0 = Ck0 ⊗R C a (Ck ⊗R C)1 = Ck1 ⊗R C. Přiřazení x 7→ x⊗1 definuje vložení algebry Ck do Ck ⊗R C a můžeme ji tedy považovat za podalgebru. Je-li e1 , e2 , . . . , ek ortonormální báze prostoru Rk ⊆ Ck ⊆ Ck ⊗R C, potom tyto prvky generují algebru Ck ⊗R C, přičemž platí: e2i = −1, ei ej + ej ei = 0 pro i 6= j. Prvky 1, ei1 ei2 . . . eim , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ k, tvoří bázi Ck ⊗R C nad C. 2.26. C1 ⊗R C ∼ =C⊕C Máme: C1 ⊗R C ∼ = C10 ⊗R C ∼ = (R ⊕ R) ⊗R C ∼ = C ⊕ C. Přitom e1 7→ (i, −i). 17

2.27. C2 ⊗R C ∼ = C(2) Máme: C2 ⊗R C ∼ = C20 ⊗R C ∼ = R(2) ⊗R C ∼ = C(2). Pro výše popsané generátory platí:       i 0 0 i 0 −1 e1 7→ , e2 7→ , e1 e2 7→ . 0 −i i 0 1 0 V případě algeber Ck jsme viděli, že platí Ck+8 ∼ = Ck ⊗R R(16). V komplexním případě je situace jednodušší. Věta 2.28. Následující algebry jsou izomorfní: Ck+2 ⊗R C ∼ = (Ck ⊗R C) ⊗C C(2). Důkaz. Podle předchozích výsledků platí: Ck+2 ⊗R C ∼ = (C 0 ⊗R C2 ) ⊗R C ∼ = (C 0 ⊗R C) ⊗C (C2 ⊗R C) ∼ = (Ck ⊗R C) ⊗C C(2). k

k

 Závěrem tedy můžeme shrnout, že pro k = 2n sudé je Ck ⊗R C ∼ = C(2n ) a pro k = 2n + 1 n n ∼ liché je Ck ⊗R C = C(2 ) ⊕ C(2 ). Podobně jako u algeber Ck lze nalézt explicitní popis generátorů e1 , e2 , . . . , ek algebry Ck ⊗R C – viz. [4]. Tabulka 1. Reálné a komplexní Cliffordovy algebry k Ck Ck0 Ck ⊗R C 1 C R⊕R C⊕C 2 H R(2) C(2) 3 H⊕H C(2) C(2) ⊕ C(2) 4 H(2) H(2) C(4) 5 C(4) H(2) ⊕ H(2) C(4) ⊕ C(4) 6 R(8) H(4) C(8) 7 R(8) ⊕ R(8) C(8) C(8) ⊕ C(8) 8 R(16) R(16) C(16)

18

3. Cliffordovy moduly Tato kapitola se zabývá graduovanými moduly nad algebrami Ck a Ck ⊗R C. V tomto kontextu budeme definovat jisté volné komutativní grupy, které následně určíme. V průběhu úvah též dokážeme větu o existenci jediného ireducibilního modulu nad okruhy matic nad libovolným tělesem. Definice 3.1. Nechť R = R0 ⊕ R1 je Z2 -graduovaný okruh. Levý R-modul M nazýváme Z2 -graduovaný, jestliže jej lze rozložit v přímý součet podmodulů M = M 0 ⊕ M 1 , přičemž pro i, j ∈ Z2 platí Ri M j ⊆ M i+j . Homomorfismem Z2 -graduovaných modulů M = M 0 ⊕ M 1 a N = N 0 ⊕ N 1 rozumíme homomorfismus modulů f : M → N takový, že f (M i ) ⊆ N i pro i ∈ Z2 . Pro jednoduchost zápisu budeme dále předponu Z2 vynechávat, tj. graduovaným modulem budeme vždy rozumět Z2 -graduovaný modul. Modulem pak budeme rozumět obecný modul. Definice 3.2. Buď C(V, Q) Cliffordova algebra. Libovolný graduovaný C(V, Q)-modul nazýváme Cliffordovým modulem algebry C(V, Q). Nás budou zajímat zejména Cliffordovy moduly algeber Ck a Ck ⊗R C. Operace v následujících grupách lze interpretovat jako přímý součet modulů. Definice 3.3. Označme: • M (Ck ) - volnou komutativní grupu nad množinou všech navzájem neizomorfních ireducibilních graduovaných Ck -modulů (ireducibilním modulem rozumíme nenulový modul M , jehož jedinými podmoduly jsou 0 a M ), • N (Ck ) - volnou komutativní grupu nad množinou všech navzájem neizomorfních ireducibilních Ck -modulů, • N (Ck0 ) - volnou komutativní grupu nad množinou všech navzájem neizomorfních ireducibilních Ck0 -modulů. Analogicky definujeme grupy M c (Ck ), N c (Ck ), N c (Ck0 ) pro algebry Ck ⊗R C. V dalším ukážeme, že studium graduovaných Ck -modulů, resp. Ck ⊗R C-modulů, můžeme převést na studium Ck−1 -modulů, resp. Ck−1 ⊗R C-modulů. Věta 3.4. Buď R zobrazení přiřazující každému graduovanému Ck -modulu M = M 0 ⊕ M 1 Ck0 -modul M 0 . Pak R indukuje izomorfismus grup M (Ck ) ∼ = N (Ck0 ). Důkaz. Buď M 0 libovolný Ck0 -modul. Poněvadž Ck je pravý Ck0 -modul a levý graduovaný Ck -modul, je předpisem S(M 0 ) = Ck ⊗Ck0 M 0 definováno zobrazení S přiřazující každému Ck0 -modulu graduovaný Ck -modul. Akce Ck na Ck ⊗Ck0 M 0 je dána násobením v Ck zleva a graduovanost je dána graduovaností Ck , tj. Ck ⊗Ck0 M 0 = (Ck0 ⊗Ck0 M 0 ) ⊕ (Ck1 ⊗Ck0 M 0 ). Ukážeme, že S ◦ R(M 0 ⊕ M 1 ) = Ck ⊗Ck0 M 0 ∼ = M 0 ⊕ M 1 . Definujme proto lineární zobrazení ϕ : Ck ⊗Ck0 M 0 → M 0 ⊕ M 1 předpisem ϕ(x ⊗ u) = x · u pro x ∈ Ck a u ∈ M 0 . Zřejmě ϕ(Ck0 ⊗Ck0 M 0 ) ⊆ M 0 a ϕ(Ck1 ⊗Ck0 M 0 ) ⊆ M 1 . Pro libovolné u ∈ M 1 je e1 u ∈ M 0 a ϕ(−e1 ⊗ e1 u) = u. Pro u ∈ M 0 je ϕ(1 ⊗ u) = u. Je tedy ϕ surjektivní. Dokážeme dále, že ϕ je i injektivní. 19

P Libovolný prvek t ∈ Ck ⊗Ck0 M 0 lze psát ve tvaru t = eI ⊗ uI , kde sčítáme přes všechny konečné rostoucí posloupnosti I ⊆ {1, 2, . . . , m}, přičemž eI = ei1 ei2 . . . eim pro I : i1 < i2 < . . . < im , resp. eI = 1 pro I = ∅, a uI ∈ M 0 . Buď nyní t ∈ Ck ⊗Ck0 M 0 takové, P že ϕ(t) = eI uI = 0. Je-li t ∈ Ck0 ⊗Ck0 M 0 , pak eI ∈ Ck0 a X X X t= eI ⊗ uI = 1 ⊗ eI uI = 1 ⊗ eI ui = 1 ⊗ ϕ(t) = 0. Je-li t ∈ Ck1 ⊗Ck0 M 0 , pak eI ∈ Ck1 a X X X t= eI ⊗ uI = −e1 e1 eI ⊗ uI = −e1 ⊗ e1 eI uI = −e1 ⊗ e1 ϕ(t) = 0. Konečně, je-li t = t0 + t1 pro tj ∈ Ckj ⊗Ck0 M 0 , tak ϕ(t0 ) = −ϕ(t1 ) ∈ M 0 ∩ M 1 = {0}, a tedy podle předchozího t0 = 0 = t1 , tj. t = 0. Ukázali jsme, že S ◦R(M 0 ⊕M 1 ) ∼ = M0 = M 0 ⊕M 1 . Protože též R◦S(M 0 ) = Ck0 ⊗Ck0 M 0 ∼ a obě zobrazení R i S zachovávají operaci přímého součtu modulů, plyne odtud, že R  indukuje izomorfismus grup M (Ck ) ∼ = N (Ck0 ). Věta 3.5. Ck0 ∼ = Ck−1 Důkaz. Předpokládejme nejdříve, že k ≥ 2. Buďte e1 , e2 , . . . , ek generátory algebry Ck . Definujme zobrazení ϕ : Rk−1 → Ck0 na bázi Rk−1 předpisem ϕ(ei ) = ei ek pro i = 1, 2, . . . , k−1. Potom platí: ϕ(ei )2 = ei ek ei ek = −1,

ϕ(ei )ϕ(ej ) + ϕ(ej )ϕ(ei ) = ei ek ej ek + ej ek ei ek = ei ej + ej ei = 0

pro i, j ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, i 6= j. Z univerzální vlastnosti algebry Ck−1 plyne, že existuje jediné rozšíření zobrazení ϕ na homomorfismus algeber Φ : Ck−1 → Ck0 . Poněvadž se různé prvky báze algebry Ck−1 zobrazují na různé prvky báze algebry Ck0 a obě tyto algebry mají stejnou dimenzi, je Φ izomorfismus. Ve zbývajícím případě k = 1 je C1 ∼  = C a C10 ∼ = R = C0 . Analogická tvrzení platí i pro komplexní algebry Ck ⊗R C. Výsledkem předchozích vět je tedy tento důsledek: Důsledek 3.6. Následující grupy jsou izomorfní: M (Ck ) ∼ = N (Ck−1 ), M c (Ck ) ∼ = N c (Ck−1 ). Důkaz. Tvrzení plyne přímo z vět 3.4 a 3.5.



Algebry Ck a Ck ⊗R C jsou izomorfní maticovým algebrám F(n) nebo F(n) ⊕ F(n), kde F = R, C nebo H. Budou nás nyní zajímat moduly nad těmito algebrami. Věta 3.7. Buď F(n) okruh matic řádu n nad (ne nutně komutativním) tělesem F. Pak Fn je až na izomorfimus jediný levý ireducibilní F(n)-modul. Akce F(n) na Fn je dána násobením maticí zleva. Důkaz. Označme E jednotkovou matici a Eij pro i, j = 1, 2, . . . , n matici mající 1 na pozici (i, j) a 0 jinde. Ukážeme nejdříve, že Fn je ireducibilní F(n)-modul. Buď U ⊆ Fn nenulový podmodul a a ∈ U, a 6= 0. Je-li aj nenulová složka vektoru a, pak pro i = 1, 2, . . . , n je fi = a−1 j Eij a ∈ U , 20

kde fi ∈ Fn je vektor mající 1 v i-té složce a 0 jinak. Tyto vektory však vygenerují celý modul Fn . Proto U = Fn a Fn je ireducibilní. Nechť nyní M je libovolný ireducibilní F(n)-modul. Buď Fj , j = 1, 2, . . . , n, množina všech matic z F(n) mající libovolné prvky v j-tém sloupci a ostatní sloupce nulové. Zřejmě platí, že F(n)Fj ⊆ Fj a Fj +Fj ⊆ Fj . Proto pro libovolné x ∈ M je Fj x podmodul modulu M . Poněvadž M je ireducibilní, tak Fj x = 0, nebo Fj x = M . Z rovnosti E11 x + E22 x + . . . + Enn x = Ex = x plyne, že pro x 6= 0 existuje j tak, že Fj x = M . Buďte nadále toto x a příslušné j zvolena pevně. Uvědomme si, že těleso F lze považovat za podokruh okruhu F(n), a tedy M za vektorový prostor nad F. Ukážeme, že prvky E1j x, E2j x, . . . , Enj x tvoří bázi prostoru M . Protože matice E1j , E2j , . . . , Enj generují Fj jakožto vektorový prostor nad F, tak naše prvky generují M . Nechť c1 , c2 , . . . , cn ∈ F jsou takové, že c1 E1j x + c2 E2j x + . . . + cn Enj x = 0. Kdyby existovalo i ∈ {1, 2, . . . , n} tak, že ci 6= 0, pak násobením rovnice maticí Eii zleva dostaneme Eij x = 0. Potom Ekj x = Eki Eij x = 0 pro všechna k = 1, 2, . . . , n, což je spor. Jsou tedy E1j x, E2j x, . . . , Enj x lineárně nezávislé a tvoří bázi prostoru M nad F. Odtud plyne, že lineární zobrazení ϕ : M → Fn definované na bázi M předpisem ϕ(Eij x) = fi pro i = 1, 2, . . . , n je izomorfimus vektorových prostorů. Ukážeme, že ϕ zachovává i akci F(n). P Buďte A = (akl ) ∈ F(n) a y ∈ M libovolné. Nechť y = ni=1 ci Eij x. Potom: n X n n n n X X X X ci aki fk , aki Ekj x) = ϕ(Ay) = ϕ( ci AEij x) = ϕ( ci i=1

i=1

i=1 k=1

k=1

n n n n n X X X X X Aϕ(y) = Aϕ( ci Eij x) = A ci fi = ci Afi = ci aki fk . i=1

i=1

i=1

n

i=1

k=1

Je tedy ϕ izomorfimus F(n)-modulů M a F . Tím je důkaz dokončen.



Věta 3.8. Buď F(n) okruh matic řádu n nad (ne nutně komutativním) tělesem F. Pak existují až na izomorfimus právě dva ireducibilní (F(n) ⊕ F(n))-moduly. Množinově jsou oba rovny Fn , přičemž akce F(n) ⊕ F(n) na Fn je dána projekcí na 1., resp. 2. sčítanec, a následným násobením maticí zleva. Důkaz. Provede se podobně jako u předchozího tvrzení. Za Fj bereme pro j = 1, 2, . . . , n množinu všech prvků z F(n) ⊕ F(n) majících v první složce matici s nenulovým j-tým sloupcem a ostatními nulovými a v druhé složce nulovou matici. Pro i = 1, 2, . . . , n pak Fn+i je množina všech prvků z F(n) ⊕ F(n) majících v první složce nulovou matici a v druhé složce matici s nenulovým i-tým sloupcem a ostatnímí nulovými. Ukážeme, že moduly uvedené ve znění věty nejsou izomorfní. Nechť ϕ : Fn → Fn je nějaké lineární zobrazení z prvního do druhého modulu. Pak pro libovolné x ∈ Fn platí ϕ(x) = ϕ((E, O)x) = (E, O)ϕ(x) = 0, a tedy ϕ je nulové zobrazení.  Můžeme konečně přistoupit k určení grup M (Ck ) a N (Ck ) (viz. tabulka 2). Jestliže Ck ∼ = F(n), kde F = R, C nebo H, pak existuje jediný ireducibilní Ck -modul, a to Fn . N (Ck ) je tedy volná komutativní grupa s jedním generátorem, tj. N (Ck ) = Z. V případě Ck ∼ = F(n)⊕F(n) existují právě dva ireducibilní Ck -moduly, oba množinově opět Fn . N (Ck ) je tak volná komutativní grupa se dvěma generátory, tj. N (Ck ) = Z ⊕ Z. 21

Podle důsledku 3.6 je pak M (Ck ) izomorfní N (Ck−1 ). Připomeňme, že C0 = R, a tedy M (C1 ) ∼ = N (C0 ) = Z. Označme dále ak dimenzi nad R prvního sčítance M 0 (jediného) ireducibilního graduovaného Ck -modulu M = M 0 ⊕ M 1 . Z vět 3.4 a 3.5 přímo plyne, že M 0 je izomorfní ireducibilnímu Ck−1 -modulu. Je-li tedy Ck−1 ∼ = F(n) nebo Ck−1 ∼ = F(n) ⊕ F(n), pak M 0 ∼ = Fn . Pro F = R je tedy ak = n, pro F = C je ak = 2n a pro F = H je ak = 4n. Význam těchto čísel naznačíme v příští kapitole. Poznamenejme ještě, že z izomorfismu Ck+8 ∼ = Ck ⊗R R(16) plyne: ∼ N (Ck+8 ) = N (Ck ), M (Ck+8 ) ∼ = M (Ck ) a ak+8 = 16ak . Grupy M c (Ck ) a N c (Ck ) se určí zcela analogicky. Jestliže Ck ⊗R C ∼ = C(n), pak jediný n c ∼ ireducibilní Ck ⊗R C-modul je C a N (Ck ) = Z. Je-li Ck ⊗R C = C(n) ⊕ C(n), pak existují dva ireducibilní Ck ⊗R C-moduly, množinově rovny Cn , a N c (Ck ) = Z ⊕ Z. Konečně, podle důsledku 3.6 platí M c (Ck ) ∼ = N c (Ck−1 ). Připomeňme opět, že C0 ⊗R C = C, a tedy M c (C1 ) ∼ = N c (C0 ) = Z. Podobně jako v reálném případě označme ack dimenzi nad C prvního sčítance M 0 ireducibilního graduovaného Ck ⊗ C-modulu M = M 0 ⊕ M 1 . Platí, že M 0 je izomorfní ireducibilnímu Ck−1 ⊗R C-modulu. Pro Ck−1 ⊗R C ∼ = C(n) nebo Ck−1 ⊗R C ∼ = C(n) ⊕ C(n) 0 ∼ n c je tedy M = C a ak = n. Poznamenejme nakonec, že z izomorfismu Ck+2 ⊗R C ∼ = (Ck ⊗R C) ⊗R C(2) plyne: N c (Ck+2 ) ∼ = N c (Ck ), M c (Ck+2 ) ∼ = M c (Ck ) a ac = 2ac . k+2

k

Tabulka 2. Cliffordovy moduly k Ck N (Ck ) M (Ck ) ak Ck ⊗R C N c (Ck ) M c (Ck ) ack 1 C Z Z 1 C⊕C Z⊕Z Z 1 2 H Z Z 2 C(2) Z Z⊕Z 1 3 H⊕H Z⊕Z Z 4 C(2) ⊕ C(2) Z ⊕ Z Z 2 4 H(2) Z Z⊕Z 4 C(4) Z Z⊕Z 2 5 C(4) Z Z 8 C(4) ⊕ C(4) Z ⊕ Z Z 4 6 R(8) Z Z 8 C(8) Z Z⊕Z 4 7 R(8) ⊕ R(8) Z ⊕ Z Z 8 C(8) ⊕ C(8) Z ⊕ Z Z 8 8 R(16) Z Z⊕Z 8 C(16) Z Z⊕Z 8

22

4. Vektorová pole na sférách V této kapitole naznačíme užitečnost Cliffordových algeber v geometrii či topologii. Ukážeme, jak jich lze využít při studiu klasického problému existence ortonormálních systémů vektorových polí na sférách. V celé kapitole bude S n = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} spolu s indukovanou topologií podprostoru označovat n-rozměrnou sféru v euklidovském prostoru Rn+1 . Definice 4.1. Tečným vektorovým polem na sféře S n nazýváme libovolné spojité zobrazení ξ : S n → Rn+1 takové, že hx, ξ(x)i = 0 pro všechna x ∈ S n . Systém ξ1 , ξ2 , . . . , ξk tečných vektorových polí na sféře S n se nazývá ortonormální, jestliže pro všechna x ∈ S n platí hξi (x), ξj (x)i = 0 pro i 6= j a kξi (x)k = 1. V dalším budeme často slovo „tečnéÿ vynechávat. Problém existence ortonormálních systémů vektorových polí na sférách budeme studovat čistě algebraicky pomocí tzv. ortogonálního součinu. Definice 4.2. Bilineární zobrazení µ : Rk × Rn → Rn se nazývá ortogonální součin, jestliže kµ(y, x)k = kykkxk pro všechna y ∈ Rk a všechna x ∈ Rn . Ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn se nazývá normalizovaný, jestliže pro všechna x ∈ Rn platí µ(ek , x) = x , kde ek = (0, . . . , 0, 1) ∈ Rk . Z definice přímo plyne, že pro pevné y ∈ S k−1 , resp. x ∈ S n−1 , je zobrazení definované předpisem x 7→ µ(y, x), resp. y 7→ µ(y, x), ortogonální. Lemma 4.3. Pro libovolný ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn je zobrazení dané předpisem (y, x) 7→ µ(y, ν −1 (x)) pro y ∈ Rk a x ∈ Rn , kde ν(x) = µ(ek , x), normalizovaný ortogonální součin. Důkaz. Podle předchozí poznámky je ν : Rn → Rn ortogonální zobrazení, a tedy je injektivní a existuje inverzní zobrazení ν −1 . Zřejmě µ(y, ν −1 (x)) je ortogonální součin a platí: µ(ek , ν −1 (x)) = µ(ek , −) ◦ (µ(ek , −))−1 (x) = x.  Věta 4.4. Jestliže existuje ortogonální součin µ : Rk ×Rn → Rn , pak na sféře S n−1 existuje ortonormální systém k − 1 vektorových polí. Důkaz. Podle lemmatu lze předpokládat, že µ je normalizovaný. Je-li e1 , e2 , . . . , ek kanonická báze Rk , pak pro libovolné x ∈ S n−1 je systém vektorů µ(e1 , x), µ(e2 , x), . . . , µ(ek−1 , x) a µ(ek , x) = x ortonormální. Předpisem ξi (x) = µ(ei , x) pro x ∈ S n−1 a 1 ≤ i ≤ k − 1 je tedy definován ortonormální systém k − 1 vektorových polí na sféře S n−1 .  Následující věta a její důsledek nám odpoví na otázku, kdy (normalizovaný) ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn existuje.

23

Věta 4.5. Buď Ti : Rn → Rn , i = 1, 2, . . . , k − 1, systém lineárních zobrazení. Zobrazení T1 , T2 , . . . , Tk−1 splňují následující vlastnosti: (1) Ti je ortogonální, (2) Ti2 = −idRn , (3) Ti Tj + Tj Ti = 0 pro i 6= j právě tehdy, když bilineární zobrazení µ : Rk × Rn → Rn definované formulemi: µ(ei , x) = Ti (x) pro i = 1, 2, . . . , k − 1 a µ(ek , x) = x, kde e1 , e2 , . . . , ek je kanonická báze Rk a x ∈ Rn je libovolné, je normalizovaný ortogonální součin. Důkaz. Nechť zobrazení T1 , T2 , . . . , Tk−1 splňují výše uvedené vlastnosti. Pro i 6= j a x ∈ Rn pak platí: hTi (x), Tj (x)i = 21 (h−x, Ti Tj (x)i + hTj Ti (x), −xi) = 0 a hx, Ti (x)i = hTi (x), −xi, tedy hx, Ti (x)i = 0. Nechť P µ je bilineární zobrazení definované v tvrzení věty a položme Tk = idRn . Pak pro y = yi ei ∈ Rk a x ∈ Rn platí: k k k k X X X X hµ(y, x), µ(y, x)i = hµ( yi ei , x), µ( yj ej , x)i = h yi Ti (x), yj Tj (x)i = i=1

=

k X k X

j=1

yi yj hTi (x), Tj (x)i =

i=1 j=1

k X

i=1

yi2 hTi (x), Ti (x)i =

i=1

j=1

k X

yi2 hx, xi = hy, yihx, xi.

i=1

Odtud plyne, že µ je normalizovaný ortogonální součin. Naopak, nechť µ : Rk × Rn → Rn je normalizovaný ortogonální součin a Ti (x) = µ(ei , x) pro i = 1, 2, . . . , k − 1, resp. Tk (x) = µ(ek , x) = x. Protože e1 , e2 , . . . , ek je ortonormální n báze, tak zobrazení Ti jsou ortogonální a pro i 6= j a x ∈ RP platí hTi (x), Tj (x)i = 0. Odtud P k−1 plyne, že pro libovolné a = ai ei ∈ S je i zobrazení P ai Ti ortogonální. Označme Ti∗ zobrazení adjungované k Ti . Potom Ti Ti∗ = idRn a protože ai Ti je ortogonální, tak: idRn = (

n X

n n X X ai Ti )( ai Ti∗ ) = a2i Ti Ti∗ +

i=1

= idRn

i=1 n X i=1

a2i +

i=1

X

X

ai aj (Ti Tj∗ + Tj Ti∗ ) =

1≤i<j≤n

ai aj (Ti Tj∗ + Tj Ti∗ ) = idRn +

1≤i<j≤n

X

ai aj (Ti Tj∗ + Tj Ti∗ ),

1≤i<j≤n

a tedy i<j ai aj (Ti Tj∗ + Tj Ti∗ ) = 0. To je však, vzhledem k libovolnosti volby a, možné tehdy a jen tehdy, když Ti Tj∗ + Tj Ti∗ = 0 pro všechna j a všechna i < j. Zejména, protože Tk = idRn , pro i = 1, 2, . . . , k − 1 platí Ti = −Ti∗ = −Ti−1 , čili Ti2 = −idRn . Odtud pak pro i 6= j máme 0 = Ti Tj∗ + Tj Ti∗ = Ti (−Tj ) + Tj (−Ti ), tj. Ti Tj + Tj Ti = 0. Ukázali jsme, že zobrazení Ti splňují všechny požadované vlastnosti.  P

Důsledek 4.6. Ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn existuje právě tehdy, když Rn je Ck−1 -modul. Důkaz. Algebra Ck−1 je generována prvky e1 , e2 , . . . , ek−1 splňujícími rovnosti e2i = −1 a ei ej + ej ei = 0 pro i 6= j. K tomu, aby prostor Rn byl Ck−1 -modul je tedy nutné a stačí, aby 24

byly dány lineární zobrazení Ti : Rn → Rn , i = 1, 2, . . . , k − 1, splňující tytéž vlastnosti, tj. Ti2 = −idRn a Ti Tj + Tj Ti = 0 pro i 6= j. Nechť existuje ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn . Z předchozí věty plyne, že existují taková lineární zobrazení Ti : Rn → Rn pro i = 1, 2, . . . , k − 1, že platí: Ti2 = −idRn a Ti Tj + Tj Ti = 0 pro i 6= j. Předpisem ei 7→ Ti je tedy definována akce algebry Ck−1 na Rn . Nechť naopak Rn je Ck−1 -modul. Pak pro i = 1, 2, . . . , k − 1 existují lineární zobrazení Ti : Rn → Rn s vlastnostmi: Ti2 = −idRn a Ti Tj + Tj Ti = 0 pro i 6= j. Ukážeme, že na Rn existuje skalární součin hh·, ·ii takový, že pro všechna x, y ∈ Rn a i = 1, 2, . . . , k − 1 platí hhTi (x), Ti (y)ii = hhx, yii. Nechť G je podgrupa multiplikativní grupy všech lineárních transformací prostoru Rn generovaná prvky ±Ti , i = 1, 2, . . . , k − 1. Libovolný prvek grupy G je tvaru ±Ti1 Ti2 . . . Tir , kde 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ k − 1, nebo ±idRn . Řád grupy n G tedy není vyšší než 2k . Buď h·, ·i standartní nový P skalární součin na R a definujme skalární součin hh·, ·ii předpisem hhx, yii = σ∈G hσ(x), σ(y)i pro x, y ∈ Rn . Pro všechna i = 1, 2, . . . , k − 1 je pak hhTi (x), Ti (y)ii = hhx, yii. Zvolme ortonormální bázi prostoru (Rn , hh·, ·ii). Zobrazení F : (Rn , hh·, ·ii) → (Rn , h·, ·i) přiřazující prvku x ∈ Rn jeho souřadnice v této bázi je pak izomorfismus zachovávající skalární součin. Pro i = 1, 2, . . . , k − 1 položme Si = F ◦ Ti ◦ F −1 . Pro x, y ∈ Rn platí: hSi (x), Si (y)i = hF Ti F −1 (x), F Ti F −1 (y)i = = hhTi F −1 (x), Ti F −1 (y)ii = hhF −1 (x), F −1 (y)ii = hx, yi, tj. zobrazení Si jsou ortogonální. Dále: Si2 = F Ti F −1 F Ti F −1 = F Ti2 F −1 = F (−idRn )F −1 = −idRn a pro i 6= j je: Si Sj + Sj Si = F Ti F −1 F Tj F −1 + F Tj F −1 F Ti F −1 = F (Ti Tj + Tj Ti )F −1 = 0. Zobrazení Si : Rn → Rn tedy splňují předpoklady věty 4.5, a proto existuje ortogonální součin µ : Rk × Rn → Rn .  Vraťme se nyní k naší úloze o existenci vektorových polí na sférách. Buď n ∈ N a nechť ρ(n) označuje takové přirozené číslo, že na sféře S n−1 lze metodou ortogonálního součinu (viz. věta 4.4) sestrojit ortonormální systém nejvýše ρ(n) − 1 vektorových polí. Podle důsledku 4.6 je ρ(n) největší přirozené číslo k takové, že Rn je Ck−1 -modul. Pro k ∈ N označme dále ak nejmenší přirozené číslo m takové, že Rm je Ck−1 -modul. Uvědomme si, že ak jsou právě čísla ak definovaná v předchozí kapitole. Pak ρ(n) je největší přirozené číslo k takové, že ak |n. Tabulka 3. Čísla ak . Další hodnoty získáme ze vztahu ak+8 = 16ak . k Ck−1 ak

1 2 3 4 5 6 7 8 9 R C H H ⊕ H H(2) C(4) R(8) R(8) ⊕ R(8) R(16) 1 2 4 4 8 8 8 8 16

25

Věta 4.7. Nechť n = 2n1 16n2 m, kde 0 ≤ n1 ≤ 3 a m je liché. Pak ρ(n) = 2n1 + 8n2 . Důkaz. Všimněme si, že pro 0 ≤ r ≤ 3 je 2r největší index k takový, že ak = 2r . Odtud a ze vztahu ak+8 = 16ak plyne: n = 2n1 16n2 m = a2n1 16n2 m = a(2n1 +8n2 ) m. Protože čísla ak jsou neklesající mocniny 2 a m je liché, tak nutně 2n1 + 8n2 = ρ(n).



Pro lichá n je tedy ρ(n) = 1, tj. na sférách sudé dimenze nelze sestrojit pomocí ortogonálního součinu žádné vektorové pole. Tento výsledek je v souladu s tzv. větou o vlasatém míči (Hairy Ball Theorem). Tabulka 4. Čísla ρ(n) pro sudá n. n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 ρ(n) 2 4 2 8 2 4 2 9 2 4 2 8 2 4 2 10 Na sféře S n−1 lze metodou ortogonálního součinu sestrojit ortonormální systém nejvýše ρ(n) − 1 vektorových polí.

26

5. Pin a spin grupy Cílem poslední kapitoly je podat definici grup P in(k) a Spin(k) a ukázat, že tyto grupy jsou dvojnásobnými nakrývacími grupami grup O(k), resp. SO(k). Grupy P in(k) a Spin(k) budeme definovat jako podgrupy tzv. Cliffordovy grupy Γk . Později ale ukážeme, že jsou to právě podgrupy grupy invertibilních prvků algebry Ck , resp. Ck0 , generované jednotkovou sférou S k−1 ⊆ Rk ⊆ Ck . Dokážeme dále, že pro malá k jsou grupy Spin(k) izomorfní některým klasickým grupám. V závěru si pak všimneme grupy SpinC (k). Nechť Ck∗ označuje grupu všech invertibilních prvků algebry Ck a R∗ multiplikativní grupu tělesa R. Lemma 5.1. Nechť Γk = {x ∈ Ck∗ | (∀y ∈ Rk ) α(x) · y · x−1 ∈ Rk }. Potom Γk je grupa a zobrazení ρ : Γk → Aut(Rk ) definované předpisem ρ(x)(y) = α(x) · y · x−1 pro x ∈ Γk a y ∈ Rk je homomorfismus grup. Důkaz. Zřejmě 1 ∈ Γk , tedy Γk 6= ∅. Nechť x1 , x2 ∈ Γk a y ∈ Rk jsou libovolné. Pak:1 −1 −1 ρ(x1 x2 )(y) = α(x1 x2 ) · y · (x1 x2 )−1 = α(x1 )α(x2 ) · y · x−1 2 x1 = α(x1 ) · ρ(x2 )(y) · x1 =

= ρ(x1 ) ◦ ρ(x2 )(y) ∈ Rk , a tedy x1 x2 ∈ Γk . Dříve, než dokážeme uzavřenost Γk na inverze, ukažme, že ρ(x) : Rk → Rk je automorfismus. Jistě je ρ(x) lineární zobrazení. Nechť y1 , y2 ∈ Rk jsou takové, že: ρ(x)(y1 ) = α(x) · y1 · x−1 = α(x) · y2 · x−1 = ρ(x)(y2 ). Násobením prostřední rovnosti zleva α(x−1 ) a zprava x, obdržíme y1 = y2 . Tedy ρ(x) je injektivní endomorfismus prostoru Rk , tudíž automorfismus. Nechť opět x ∈ Γk je libovolné a y ∈ Rk . Potom: ρ(x−1 )(y) = α(x−1 ) · y · x = α(x−1 ) · ρ(x)(z) · x = α(x−1 ) · (α(x) · z · x−1 ) · x = z pro vhodné z ∈ Rk . Tedy x−1 ∈ Γk a Γk je grupa. To, že ρ je homomorfimus grup, plyne z výpočtu uvedeného výše.  Definice 5.2. Grupa Γk = {x ∈ Ck∗ | (∀y ∈ Rk ) α(x) · y · x−1 ∈ Rk } se nazývá Cliffordovou grupou algebry Ck . Zobrazením ρ : Γk → Aut(Rk ) budeme rozumět zobrazení dané předpisem ρ(x)(y) = α(x) · y · x−1 pro x ∈ Γk a y ∈ Rk . Připomeňme, že algebry Ck jsou izomorfní maticovým algebrám F(n) nebo F(n) ⊕ F(n), kde F = R, C nebo H. Γk je pak uzavřená množina v Ck , a protože maticové násobení a operace inverze jsou spojité, je Γk topologická grupa. Navíc přímo z definice plyne, že ρ je akce grupy Γk na prostoru Rk . Lemma 5.3. Zobrazení α : Ck → Ck a τ : Ck → Ck zachovávají grupu Γk a indukují tak automorfimus, resp. antiautomorfismus grupy Γk . Pak i konjugace x 7→ x¯ je antiautomorfismus grupy Γk . 1Zde

se dopouštíme jisté nepřesnosti, neboť definiční obor zobrazení ρ je Γk , a proto zápis „ρ(x1 x2 )ÿ není zcela korektní. Protože ale nakonec ukážeme, že x1 x2 ∈ Γk , tak tato nepřesnost není na závadu. Pro zjednodušení zápisu se jí budeme dopouštět ještě několikrát. 27

Důkaz. Stačí dokázat, že pro všechna x ∈ Γk je i α(x), τ (x) ∈ Γk . Nechť y ∈ Rk je libovolné. Potom platí: ρ(α(x))(y) = α(α(x)) · y · α(x)−1 = −α(α(x) · y · x−1 ) = −α(ρ(x)(y)) = ρ(x)(y) ∈ Rk , kde jsme užili toho, že α(y) = −y. Podobně máme: ρ(τ (x))(y) = α(τ (x)) · y · τ (x)−1 = τ (x−1 · y · α(x)) = τ (ρ(α(x−1 ))(y)) ∈ Rk , kde užíváme toho, že τ (y) = y.



Budeme nyní studovat vlastnosti grupy Γk a reprezentace ρ. Nejdříve spočteme jádro zobrazení ρ a potom dokážeme, že pro všechna x ∈ Γk je ρ(x) ortogonální zobrazení. Věta 5.4. Jádro zobrazení ρ : Γk → Aut(Rk ) je právě multiplikativní grupa nenulových násobků 1 ∈ Ck , tj. Ker(ρ) = R∗ . Důkaz. Nechť x ∈ Ker(ρ), tj. α(x)y = yx pro všechna y ∈ Rk . Nechť x = x0 + x1 , kde xi ∈ Cki . Pak předchozí rovnost znamená, že platí: (1)

x0 y = yx0 ,

x1 y = −yx1 .

Buď e1 , e2 , . . . , ek ortonormální báze Rk a pišme x0 = a0 + e1 b1 , kde a0 ∈ Ck0 , resp. b ∈ Ck1 , neobsahují prvek e1 . Položíme-li v (1) y = e1 , potom: 1

1 −1 0 −1 2 1 −1 1 a0 + e1 b1 = a0 e−1 1 e1 + e1 b e1 e1 = e1 a e1 + e1 b e1 = a0 − e1 b , −1 0 −1 1 1 −1 1 kde poslední rovnost plyne z toho, že a0 e−1 1 = e1 a , resp. b e1 = −e1 b . Proto b = 0, a tedy rozvoj x0 v bázi ej1 ej2 . . . ejk algebry Ck neobsahuje e1 . Je zřejmé, že analogickým postupem se ukáže, že tento rozvoj neobsahuje žádný z prvků e1 , e2 , . . . , ek . Nutně tedy x0 je násobkem 1 ∈ Ck . Podobně, je-li x1 = a1 + e1 b0 , kde a1 ∈ Ck1 , resp. b0 ∈ Ck0 , neobsahují e1 , pak opět pro y = e1 z rovnosti (1) plyne: 0 −1 1 −1 2 0 −1 1 0 a1 + e1 b0 = a1 e−1 1 e1 + e1 b e1 e1 = −(e1 a e1 + e1 b e1 ) = a − e1 b .

Proto b0 = 0 a rozvoj x1 neobsahuje e1 . Analogicky se ukáže, že rozvoj x1 neobsahuje žádný z prvků e1 , e2 , . . . , ek . Je tedy x1 násobkem 1 ∈ Ck . Protože však zároveň x1 ∈ Ck1 , tak x1 = 0. Ukázali jsme, že x = x0 ∈ R. Poněvadž x je invertibilní, tak x ∈ R∗ .  Pro další úvahy zaveďme následující užitečné zobrazení. Definice 5.5. Zobrazení N : Ck → Ck definované předpisem N (x) = x¯ x pro x ∈ Ck nazýváme (Cliffordovou) normou na Ck . P 2 Je-li x = (xi ) ∈ Rk ⊆ Ck , pak N (x) = x¯ x = x(−x) = −x2 = xi , tj. N (x) je čtverec euklidovské normy prvku x. Na grupě Γk se zobrazení N chová obzvláště pěkně. Věta 5.6. Je-li x ∈ Γk , pak N (x) ∈ R∗ . Důkaz. Nechť x ∈ Γk je libovolné a nechť y ∈ Rk . Potom α(x) · y · x−1 = z ∈ Rk . Protože τ (z) = z pro všechna z ∈ Rk , aplikací zobrazení τ tak dostáváme: (τ (x))−1 · y · τ (α(x)) = α(x) · y · x−1 , čili τ (x)α(x) · y · (α(τ (x))x)−1 = y. 28

To znamená, že ρ(¯ xx) = ρ(α(τ (x))x) = idRk , a tedy podle věty 5.4 je N (¯ x) = x¯x ∈ R∗ . Podle lemmatu 5.3 je konjugace antiautomorfismus grupy Γk , a proto i N (x) ∈ R∗ .  Důsledek 5.7. N : Γk → R∗ je homomorfismus. Navíc pro x ∈ Γk platí: N (α(x)) = N (x). Důkaz. Pro libovolné x1 , x2 ∈ Γk platí: x1 = x1 x¯1 N (x2 ) = N (x1 )N (x2 ) N (x1 x2 ) = x1 x2 x1 x2 = x1 x2 x¯2 x¯1 = x1 N (x2 )¯ a podobně: N (α(x1 )) = α(x1 )α(x1 ) = α(x1 x¯1 ) = α(N (x1 )) = N (x1 ).



Nyní již můžeme použít Cliffordovu normu N k důkazu následující věty a přistoupit k definici grup P in(k) a Spin(k). Věta 5.8. Nechť x ∈ Rk , x 6= 0. Pak x ∈ Γk a ρ(x) je symetrie podle nadroviny v Rk kolmé k vektoru x. Dokonce ρ(Γk ) ⊆ O(k). Důkaz. Nechť x ∈ Rk , x P 6= 0. Zvolme ortonormální bázi e1 , e2 , . . . , ek prostoru Rk tak, že e1 = x/kxk a nechť y = yi ei ∈ Rk . Potom platí: ρ(x)(y) = α(x)·y·x

−1

k k k X X X −1 = α(kxke1 )·( yi ei )·(kxke1 ) = e1 ·( yi ei )·e1 = −y1 e1 + yi ei . i=1

i=1

i=2

Tedy ρ(x)(y) ∈ Rk je obraz vektoru y v symetrii podle nadroviny v Rk kolmé k vektoru x. Užitím předchozího důsledku pro x ∈ Γk a y ∈ Rk dostáváme: N (ρ(x)(y)) = N (α(x) · y · x−1 ) = N (x) · N (y) · N (x−1 ) = N (y). Z poznámky za definicí Cliffordovy normy N pak plyne, že ρ(x) : Rk → Rk je ortogonální zobrazení, a tedy ρ(Γk ) ⊆ O(k).  Definice 5.9. Položme P in(k) = {x ∈ Γk | N (x) = 1}, tj. P in(k) je jádro homomorfismu N : Γk → R∗ . Dále definujeme Spin(k) = P in(k) ∩ Ck0 . Grupy P in(k) a Spin(k) jsou uzavřené topologické podgrupy grupy Γk . Jejich význam objasňuje následující věta. Věta 5.10. Zobrazení ρ|P in(k) : P in(k) → O(k) je surjektivní homomorfismus grup s jádrem Ker(ρ|P in(k) ) = {±1} ∼ = Z2 . Přitom (ρ|P in(k) )−1 (SO(k)) = Spin(k). Máme tak krátké exaktní posloupnosti: 1 → Z2 → P in(k) → O(k) → 1, 1 → Z2 → Spin(k) → SO(k) → 1. Navíc je ρ|P in(k) lokálně homeomorfní zobrazení, a tedy grupa P in(k), resp. Spin(k), je dvojnásobné nakrytí grupy O(k), resp. SO(k). Důkaz. Ve větě 5.8 jsme ukázali, že ρ(Γk ) ⊆ O(k). Přitom pro x ∈ S k−1 ⊆ Rk je ρ(x) symetrie podle nadroviny v Rk kolmé k x. Tyto symetrie ale vygenerují celou grupu O(k). Protože S k−1 ⊆ P in(k), plyne odtud, že ρ|P in(k) je surjektivní zobrazení. Je-li x ∈ Ker(ρ|P in(k) ) pak podle věty 5.4 je x = a · 1 pro nějaké a ∈ R∗ . Přitom musí platit, že 1 = N (x) = N (a · 1) = a2 . Tedy a = ±1. 29

Protože libovolná ortogonální transformace prostoru Rk může být zapsána jako kompozice nejvýše k symetrií podle nadroviny v Rk , plyne ze zatím dokázaného, že i libovolný prvek x ∈ P in(k) může být zapsán jako součin nejvýše k jednotkových vektorů, tj. x = x1 x2 . . . xm , kde xi ∈ S k−1 a m ≤ k. Přitom x ∈ Spin(k) právě tehdy, když m je sudé. Na druhou stranu, ρ(x) = ρ(x1 )◦ρ(x2 )◦. . .◦ρ(xm ) je kompozice m symetrií podle nadroviny, a tedy je prvkem SO(k) právě tehdy, když m je sudé. Tedy (ρ|P in(k) )−1 (SO(k)) = Spin(k). Z daného vyjádření dále plyne, že grupy P in(k) a Spin(k) jsou kompaktní, neboť topologie v Ck je topologie euklidovského prostoru, kde je kompaktnost ekvivalentní uzavřenosti a ohraničenosti. Protože maticové násobení je spojité, lze z vyjádření ρ(x)(y) = α(x)·y·x−1 v souřadnicích náhlednout spojitou závislost zobrazení ρ na x. K tomu, abychom dokázali, že ρ|P in(k) je lokálně homeomorfní, stačí ukázat, že projekce p : P in(k) → P in(k)/Ker(ρ|P in(k) ) je lokální homeomorfismus, neboť P in(k)/Ker(ρ|P in(k) ) ∼ = O(k) (plyne z toho, že ρ|P in(k) je spojité zobrazení z kompaktního prostoru). Nechť x ∈ P in(k) je libovolné a předpokládejme sporem, že v libovolném okolí U prvku x existuje y ∈ P in(k) tak, že y ∈ U i −y ∈ U . Pak existuje posloupnost {xn }∞ n=1 ⊆ P in(k) taková, že x = lim xn = lim (−xn ) = − lim xn = −x. n→∞

n→∞

n→∞

Potom 0 = x ∈ P in(k), což je spor. Proto pro libovolné x ∈ P in(k) existuje okolí U tak, že p|U je bijekce, tudíž homeomorfismus.  Důsledek 5.11. P in(k) je právě podgrupa grupy invertibilních prvků algebry Ck generovaná jednotkovou sférou S k−1 ⊆ Rk ⊆ Ck . Přitom Spin(k) = P in(k) ∩ Ck0 . Důkaz. Platnost tohoto tvrzení jsme ukázali v důkazu předchozí věty.



Někteří autoři užívají právě tuto vlastnost grup P in(k), resp. Spin(k), k jejich definici, neboť vede rychleji k požadovanému cíli. Viz. např. [4]. Věta 5.12. Pro k ≥ 2 je Spin(k) obloukově souvislá. Důkaz. Ukažme nejdříve, že lze spojit cestou v Spin(k) prvky 1 a −1 jádra Ker(ρ|Spin(k) ). Touto cestou je například:             πt πt πt πt e1 + sin e2 · cos e1 − sin e2 , t ∈ I. γ(t) = cos 2 2 2 2 Je-li x ∈ Spin(k) libovolné, pak γx (t) = x · γ(t), t ∈ I, je cesta v Spin(k) spojující prvek x s prvkem −x. Nechť x, y ∈ Spin(k), x 6= ±y, jsou libovolná. Pak ρ(x) 6= ρ(y), a poněvadž SO(k) je pro k ≥ 2 obloukově souvislá, existuje cesta δ : I → SO(k) spojující ρ(x) s ρ(y). Protože dále ρ|Spin(k) je nakrytí, existuje cesta γ : I → Spin(k) taková, že γ(0) = x a ρ|Spin(k) ◦ γ = δ. Tedy γ(1) = ±y. Avšak y a −y lze spojit cestou v Spin(k), a proto lze spojit i x s y.  Věta 5.13. Pro k ≥ 3 je Spin(k) jednoduše souvislá, a tedy ρ|Spin(k) : Spin(k) → SO(k) je univerzální nakrytí grupy SO(k). 30

Důkaz. Připomeňme, že pro k ≥ 3 je SO(k) obloukově souvislá a π1 (SO(k)) = Z2 . Nechť F označuje dvoubodový diskrétní prostor a uvažme dlouhou exaktní posloupnost fibrace ρ|Spin(k) : Spin(k) → SO(k): · · · → π1 (F, ∗) → π1 (Spin(k)) → π1 (SO(k)) → π0 (F, ∗) → π0 (Spin(k)) → π0 (SO(k)). Protože, podle předchozí věty, je π0 (Spin(k)) = 0 a také π1 (F, ∗) = 0, máme tak krátkou exaktní posloupnost: 0 → π1 (Spin(k)) → Z2 → π0 (F, ∗) → 0. Přitom je π0 (F, ∗) dvoubodová množina, a tedy nutně π1 (Spin(k)) = 0.



Přejdeme nyní k určení grup Spin(k) pro malá k. Ukážeme, že pro k ≤ 6 jsou grupy Spin(k) izomorfní některým klasickým lineárním grupám. Pro k ≥ 7 takovéto izomorfismy již neexistují. 5.14. Spin(1) ∼ = Z2 Připomeňme, že C1 ∼ = C a C10 = R, resp. C11 = Ri. Je-li ι : R → C1 vnoření z definice Cliffordovy algebry, pak ι(R) = Ri. Odtud plyne, že P in(1) je generována prvky ±i, tedy P in(1) = {−1, 1, −i, i} ∼ = Z4 a Spin(1) = P in(1) ∩ C10 = {−1, 1} ∼ = Z2 . 5.15. Spin(2) ∼ = U (1) ∼ = S1 Připomeňme, že C2 ∼ = H, přičemž C20 = {a + dk | a, d ∈ R} a C21 = {bi + cj | b, c ∈ R}. Je-li ι : R2 → C2 vnoření z definice, pak ι(R2 ) = C21 . Grupa P in(2) je tedy generována množinou {ci + dj | c, d ∈ R : c2 + d2 = 1}. Nechť a + dk ∈ C20 , a2 + d2 = 1. Pak a + dk = i(−ai + dj), přičemž N (i) = 1 = N (−ai + dj). Odtud plyne, že {x ∈ C20 | N (x) = 1} ⊆ Spin(2). Opačná inkluze je však triviální. Tedy Spin(2) = {a + dk | a, d ∈ R : a2 + d2 } ∼ = U (1). V dalším budeme potřebovat následující lemma. Lemma 5.16. Nechť ϕ : G → H je homomorfismus Lieových grup s diskrétním jádrem Ker(ϕ). Jestliže grupy G, H jsou souvislé a dim G = dim H, pak ϕ je grupové nakrytí. Důkaz. Protože Ker(ϕ) je diskrétní a dim G = dim H, je Te ϕ : Te G → Te H izomorfismus tečných prostorů. Odtud plyne, že ϕ je lokálně homeomorfní zobrazení. Zbývá dokázat, že ϕ je surjektivní zobrazení. Jednotkový prvek e ∈ H je vnitřním bodem podgrupy ϕ(G). Proto existuje okolí U prvku e v H tak, že U ⊆ ϕ(G), a tedy ϕ(G) je otevřená. Potom i levé třídy h · ϕ(G) ⊆ H jsou otevřené, tj. doplněk množiny ϕ(G) v H je otevřená množina. Pak ovšem ϕ(G) je též uzavřená a ze souvislosti grupy H plyne, že ϕ(G) = H.  5.17. Spin(3) ∼ = Sp(1) ∼ = S3 Grupu Spin(3) určíme nejdříve elementárně (postupem částečně převzatým z [5]) a potom užitím lemmatu 5.16 a faktu, že Spin(3) je univerzální nakrytí grupy SO(3). 1. způsob: Ukážeme, že Spin(3) = {x ∈ C30 | N (x) = 1}. Inkluze zleva doprava je triviální. Nechť tedy x ∈ C30 s N (x) = 1 je libovolné. Pak α(x) = x a x−1 = x¯. Protože pro libovolné 31

y ∈ R3 je ρ(x)(y) ∈ C31 , platí tedy ρ(x)(y) = x · y · x¯ = z + a · e1 e2 e3 pro vhodné z ∈ R3 a a ∈ R. Aplikací zobrazení konjugace dostáváme: −z + a · e1 e2 e3 = z + a · e1 e2 e3 = ρ(x)(y) = x · y · x¯ = −x · y · x¯ = −z − a · e1 e2 e3 . Proto a = 0 a ρ(x)(y) ∈ R3 . Ukázali jsme, že x ∈ Γ3 . Protože navíc podle předpokladů je x ∈ C30 a N (x) = 1, tak x ∈ Spin(3). Nechť dále ϕ : C2 ∼ = H → C30 je izomorfismus z věty 3.5. Zobrazení ϕ je dáno předpisem ϕ(a + bi + cj + dk) = a + be1 e3 + ce2 e3 + de1 e2 . Přímým výpočtem se ukáže, že pro libovolné x = a + be1 e2 + ce1 e3 + de2 e3 ∈ C30 , kde a, b, c, d ∈ R je N (x) = a2 + b2 + c2 + d2 . Odtud a z předpisu pro zobrazení ϕ plyne, že |y| = N (y) = N (ϕ(y)) pro všechna y ∈ C2 ∼ = H. Proto: Spin(3) = {x ∈ C 0 | N (x) = 1} ∼ = {y ∈ C2 ∼ = H | |y| = 1} ∼ = Sp(1) ∼ = S 3. 3

2. způsob: Prostor R3 můžeme ztotožnit s podprostorem U = {u ∈ H | u¯ = −u} „ryzíchÿ kvaternionů. Libovolný prvek u ∈ U je tedy tvaru u = ai + bj + ck, kde a, b, c ∈ R. ¯ · u¯ · h ¯=h ¯ = −h · u · h, ¯ a tedy h · u · h ¯ ∈ U. Pro všechna h ∈ H a u ∈ U platí: h · u · h ∼ ¯ Zobrazení ϕ : H → EndR (U ) = R(3) dané předpisem ϕ(h)(u) = h · u · h pro všechna h ∈ H a u ∈ U je zřejmě homomorfismus vzhledem k násobení. Je-li navíc h ∈ Sp(1), tj. |h| = 1, potom: ¯ = |h| · |u| · |h| ¯ = |u|, |ϕ(h)(u)| = |h · u · h| a tedy ϕ(h) je ortogonální zobrazení, tj. ϕ(h) ∈ O(3). ¯ = u pro Ukažme dále, že Ker(ϕ|Sp(1) ) = {±1}. Nechť h ∈ Sp(1) je takové, že h · u · h −1 ¯ = h , tak poslední rovnost znamená, že h komutuje se všemi všechna u ∈ U . Protože h ryzími kvaterniony, a tedy h ∈ R. Z |h| = 1 pak plyne, že h = ±1. Poněvadž Sp(1) je souvislá, tak ϕ(Sp(1)) ⊆ SO(3). Tedy ϕ|Sp(1) : Sp(1) → SO(3) je (zřejmě hladký) homomorfismus Lieových grup s dvouprvkovým jádrem. Protože dále dim Sp(1) = 3 = dim SO(3), tak podle lemmatu 5.16 je ϕ|Sp(1) dvojnásobné nakrytí grupy SO(3). Přitom je Sp(1) jednoduše souvislá, a tedy Sp(1) ∼ = Spin(3), neboť Spin(3) je univerzální nakrytí grupy SO(3). 5.18. Spin(4) ∼ = Sp(1) × Sp(1) Grupu Spin(4) opět určíme nejdříve elementárně a potom užitím lemmatu 5.16. 1. způsob: Analogicky jako u grupy Spin(3) ukážeme, že Spin(4) = {x ∈ C40 | N (x) = 1}. Jedna inkluze je triviální, dokažme tedy opačnou. Nechť x ∈ C40 a N (x) = 1. Pak pro všechna y ∈ R4 platí: X ρ(x)(y) = x · y · x¯ = y + aijk · ei ej ek pro vhodné y ∈ R4 a aijk ∈ R. 1≤i<j
Aplikací konjugace pak dostaneme, že aijk = 0, a tedy ρ(x)(y) ∈ R4 . Proto x ∈ Spin(4). Nechť ϕ : C 3 ∼ = H ⊕ H → C40 je izomorfismus z věty 3.5. Přímým (avšak zdlouhavým) výpočtem se ověří, že pro všechna y = (g, h) ∈ C 3 ∼ = H ⊕ H platí N (y) = 1 právě tehdy, když N (ϕ(y)) = 1, přičemž N (y) = N (g, h) = 1 právě tehdy, když |g| = 1 = |h|. Tedy: Spin(4) = {x ∈ C 0 | N (x) = 1} ∼ = {(g, h) ∈ C 3 ∼ = H ⊕ H | |g| = 1 = |h|} ∼ = Sp(1) × Sp(1). 4

32

2. způsob: Uvažme zobrazení ϕ : H × H → EndR (H) ∼ = R(4) definované pro všechna g, h, u ∈ H ¯ Zřejmě je ϕ homomorfismus vzhledem k násobení. předpisem ϕ(g, h)(u) = g · u · h. Nechť (g, h) ∈ Sp(1) × Sp(1), tj. |g| = 1 = |h|. Pak pro všechna u ∈ H platí: ¯ = |g| · |u| · |h| = |u|, |ϕ(g, h)(u)| = |g · u · h| a tedy ϕ(g, h) je ortogonální zobrazení. ¯=u Spočítejme dále Ker(ϕ|Sp(1)×Sp(1) ). Nechť (g, h) ∈ Sp(1) × Sp(1) je takový, že g · u · h ¯ = 1, tedy g = h. Odtud plyne, že g · u = u · g pro pro všechna u ∈ H. Pak zejména g · h všechna u ∈ H. Proto g = h = ±1 a Ker(ϕ|Sp(1)×Sp(1) ) = {±1}. Ze souvislosti grupy Sp(1) × Sp(1) plyne, že ϕ(Sp(1) × Sp(1)) ⊆ SO(4). Ukázali jsme, že ϕ|Sp(1)×Sp(1) : Sp(1) × Sp(1) → SO(4) je (zřejmě hladký) homomorfismus grup s dvouprvkovým jádrem. Poněvadž dim Sp(1) × Sp(1) = 6 = dim SO(4), plyne z lemmatu 5.16, že ϕ|Sp(1)×Sp(1) je dvojnásobné nakrytí grupy SO(4). Protože Sp(1) × Sp(1) je jednoduše souvislá a Spin(4) je univerzální nakrytí SO(4), tak Sp(1) × Sp(1) ∼ = Spin(4). Určení grup Spin(5) a Spin(6) již bude pracnější. Postup je s drobnými obměnami převzatý z [9]. Začněmě s grupou Spin(6). 5.19. Spin(6) ∼ = SU (4) Uvažme nejdříve grupu SL(4, C). Libovolná matice A ∈ SL(4, C) indukuje endomor˜ ∧ y) = Ax ∧ Ay pro x, y ∈ C4 . Nechť fismus A˜ : Λ2 (C4 ) → Λ2 (C4 ) daný předpisem A(x u1 , u2 , u3 , u4 je standartní báze prostoru C4 . Pak ui ∧ uj , i < j, uspořádané lexikograficky tvoři bázi Λ2 (C4 ). Nechť A ∧ A ∈ GL(6, C) je matice operátoru A˜ v této bázi. Definujme na Λ2 (C4 ) kvadratickou formu Q : Λ2 (C4 ) → C předpisem: X Q( pij ui ∧ uj ) = p12 p34 + p23 p14 − p13 p24 . i<j

Ukážeme, že pro libovolnou matici A = (aij ) ∈ SL(4, C) indukovaný operátor A˜ zachovává ˜ i ∧ uj ) = P (ak al − al ak )uk ∧ ul , tedy kvadratickou formu Q. Pro 1 ≤ i < j ≤ 4 je A(u i j k
i<j k
Počítejme: X X X ˜ Q(A( pij ui ∧ uj )) = pij (a1i a2j − a2i a1j ) · pkl (a3k a4l − a4k a3l )+ i<j

i<j

+

X

=

XX

p

ij

(a2i a3j

i<j

−

a3i a2j )

·

X

k
p

kl

(a1k a4l

−

a4k a1l )

−

X

pij (a1i a3j − a3i a1j ) ·

i<j

k
X

pkl (a2k a4l − a4k a2l )

k
pij pkl (a1i a2j a3k a4l − a1i a2j a4k a3l − a2i a1j a3k a4l + a2i a1j a4k a3l + a2i a3j a1k a4l − a2i a3j a4k a1l −

i<j k
=

X

− a3i a2j a1k a4l + a3i a2j a4k a1l − a1i a3j a2k a4l + a1i a3j a4k a2l + a3i a1j a2k a4l − a3i a1j a4k a2l ) = X pij pkl · det(Aijkl ) = p12 p34 − p13 p24 + p14 p23 = Q( pij ui ∧ uj ), i<j

i<j,k
33

kde Aijkl ∈ C(4) je matice složená z i-tého, j-tého, k-tého a l-tého sloupce matice A. Protože kvadratická forma Q je plné hodnosti, existuje polární báze, v níž má Q diagonální tvar, tj. v souřadnicích je Q součtem čtverců. Jedna z těchto bází je báze následující: v 1 = u1 ∧ u2 + u3 ∧ u4 , v4 = iu2 ∧ u3 − iu1 ∧ u4 , v2 = iu1 ∧ u2 − iu3 ∧ u4 , v5 = u1 ∧ u3 − u2 ∧ u4 , v 3 = u2 ∧ u3 + u1 ∧ u4 , v6 = iu1 ∧ u3 + iu2 ∧ u4 . Pro matici přechodu od báze v1 , v2 , . . . v6 k bázi ui ∧ uj , i < j, uspořádané lexikograficky, tj. matici P ∈ GL(6, C) takovou, že (v1 , v2 , . . . , v6 ) = (u1 ∧ u2 , u1 ∧ u3 , . . . , u3 ∧ u4 ) · P , platí:     1 i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 i 0 i 0 0 0 0 −i 0 0 0     1 1 0 0 1 −i 0 0 0 0 1 1 0 0 1 T    P =  , P −1 =   = P = P ∗. 0 0 0 0 1 i 2  0 0 i −i 0 0 2 2 0 0 0 0 −1 i   0 1 0 0 −1 0 1 −i 0 0 0 0 0 −i 0 0 −i 0 Matice operátoru A˜ v bázi v1 , v2 , . . . , v6 je ortogonální, tj. P −1 (A ∧ A)P ∈ O(6, C). Ukážeme, že zobrazení ϕ : SL(4, C) → O(6, C) přiřazující matici A matici P −1 (A ∧ A)P je homomorfismus a najdeme jeho jádro. Nechť A, B ∈ SL(4, C). Potom platí: ϕ(AB) = P −1 (AB ∧ AB)P = P −1 (A ∧ A)P P −1 (B ∧ B)P = ϕ(A)ϕ(B). Je-li ϕ(A) = E, pak A˜ = idΛ2 (C4 ) a pro sloupce ai matice A platí ai ∧ aj = ui ∧ uj pro všechna i, j. Odtud plyne, že pro libovolnou dvojici (i, j) vektory ai , aj generují stejný podprostor v C4 jako vektory ui , uj . To je ale možné jen tehdy, když ai = λi ui . Přitom pro všechna i, j platí λi λj = 1. Proto buď λi = 1, nebo λi = −1 pro všechna i. Tedy A = ±E a Ker(ϕ) = {E, −E}. Uvažme nyní podgrupu SU (4) grupy SL(4, C). Pro A ∈ SU (4) platí AA∗ = E, odkud ϕ(A)ϕ(A∗ ) = E. Ovšem ϕ(A) ∈ O(6, C), a tedy též ϕ(A)ϕ(A)T = E. Potom:  ∗ 1 ∗ 1 ∗ T −1 ∗ −1 ∗ ∗ ∗ ϕ(A) = ϕ(A) = ϕ(A ) = P (A ∧ A )P = P (A ∧ A) P = P (A ∧ A)P = 2 2 = (P −1 (A ∧ A)P )∗ = ϕ(A)∗ . Odtud plyne, že ϕ(A) ∈ O(6). Protože SU (4) je souvislá, je dokonce ϕ(SU (4)) ⊆ SO(6). Zúžení zobrazení ϕ na SU (4) je tak homomorfismus grup ϕ|SU (4) : SU (4) → SO(6) s dvouprvkovým jádrem. Navíc je ϕ polynomiální zobrazení, a tedy hladké. Poněvadž dále dim SU (4) = 15 = dim SO(6), plyne z lemmatu 5.16, že ϕ|SU (4) je dvojnásobné nakrytí grupy SO(6), a protože SU (4) je jednoduše souvislá, tak SU (4) ∼ = Spin(6). 5.20. Spin(5) ∼ = Sp(2) Ponechejme v platnosti všechna označení z předchozího odstavce. V grupě SU (4) je obsažena grupa symplektických matic Sp(2), jejíž prvky splňují rovnost AT JA = J, kde 34

J=

0 −E E 0




∈ C(4). To  1 a1 a21 A= a31 a41

T

spolu s rovností AA = E dává rovnost:    3 a3 a34 −a31 −a32 a12 a13 a14  4  a22 a23 a24  a44 −a41 −a42   a3  =   = J T AJ. a32 a33 a34  −a13 −a14 a11 a12  a42 a43 a44 −a23 −a24 a21 a22

Ukážeme, že pro libovolnou matici A ∈ Sp(2) indukovaný operátor A˜ zobrazuje bázový vektor v6 na sebe: X ˜ 6 ) = A(iu ˜ 1 ∧ u3 + iu2 ∧ u4 ) = i · A(v (ak1 al − al ak + ak al − al ak )uk ∧ ul = 3

1 3

2 4

2 4

k
=i·

−

4 X j=1

a1j a4j

· u1 ∧ u2 +

4 X X

! akj al−2 j

· uk ∧ u l

= i · (u1 ∧ u3 + u2 ∧ u4 ) = v6 .

k
Odtud plyne, že obraz grupy Sp(2) v zobrazení ϕ je izomorfní grupě SO(5). Protože dále dim Sp(2) = 10 = dim SO(5), je zobrazení ϕ|Sp(2) dvojnásobné nakrytí grupy SO(5). Tedy Sp(2) ∼ = Spin(5), neboť Sp(2) je jednoduše souvislá. Na závěr si všimneme komplexní analogie Cliffordovy grupy Γk a jejích podgrup P in(k) a Spin(k). Na komplexní algebře Ck ⊗R C definujme následující zobrazení: αc (x ⊗ z) = α(x) ⊗ z, resp. τ c (x ⊗ z) = τ (x) ⊗ z¯, kde x ∈ Ck , z ∈ C. Zobrazení αc : Ck ⊗R C → Ck ⊗R C je involuce indukující strukturu Z2 -graduované algebry a zobrazení τ c : Ck ⊗R C → Ck ⊗R C je antiinvoluce. Obraz prvku u ∈ Ck ⊗R C v zobrazení αc ◦ τ c = τ c ◦ αc budeme opět značit u¯ a toto zobrazení nazývat konjugací. Je-li u = x ⊗ z, pak u¯ = x¯ ⊗ z¯. Přiřazení x 7→ x ⊗ 1, x ∈ Ck , definuje vložení algebry Ck do její komplexifikace Ck ⊗R C. Budeme tedy Ck považovat za podalgebru v Ck ⊗R C. Potom zejména Rk ⊆ Ck ⊗R C. Nechť (Ck ⊗R C)∗ označuje grupu všech invertibilních prvků algebry Ck ⊗R C a C∗ multiplikativní grupu tělesa C. Definice 5.21. Grupa ΓCk = {u ∈ (Ck ⊗R C)∗ | (∀y ∈ Rk ) αc (u) · y · u−1 ∈ Rk } se nazývá Cliffordovou grupou algebry Ck ⊗R C. Zobrazením ρc : ΓCk → Aut(Rk ) budeme rozumět zobrazení dané předpisem ρ(u)(y) = αc (u) · y · u−1 pro u ∈ ΓCk a y ∈ Rk . Podobně jako v reálném případě se ověří, že ΓCk je opravdu grupa a že ρc je reprezentace v prostoru Rk . Připomeňme, že algebry Ck ⊗R C jsou izomorfní algebrám matic C(n) nebo C(n) ⊕ C(n). Grupa ΓCk je tak topologická grupa, která je uzavřenou množinou v Ck ⊗R C. Poněvadž pro y ∈ Rk platí αc (y) = −y a τ c (y) = y, snadno se ukáže, že zobrazení αc , resp. τ c , zachovávájí grupu ΓCk a indukují tak automorfismus, resp. antiautomorfismus. Definice 5.22. Zobrazení N c : Ck ⊗R C → Ck ⊗R C definované předpisem N c (u) = u¯ u pro všechna u ∈ Ck ⊗R C se nazývá (Cliffordova) norma na Ck ⊗R C. Pro y ∈ Rk opět platí, že N c (y) je čtverec euklidovské normy vektoru y. Pro grupu ΓCk a zobrazení ρc , resp. N c , platí analogická tvrzení jako v reálném případě. Jejich důkazy se provádí zcela stejným postupem, a proto je vynecháme. 35

Věta 5.23. Jádro zobrazení ρc : Γk ⊗R C → Aut(Rk ) je právě multiplikativní grupa nenulových násobků 1 ∈ Ck ⊗R C, tj. Ker(ρc ) = C∗ . Věta 5.24. Je-li u ∈ ΓCk , pak N (u) ∈ C∗ . Důsledek 5.25. N c : ΓCk → C∗ je homomorfismus a pro u ∈ ΓCk platí: N c (αc (u)) = N c (u). Věta 5.26. Nechť u ∈ Rk , u 6= 0. Pak u ∈ ΓCk a ρc (u) je symetrie podle nadroviny v Rk kolmé k vektoru u. Potom ρc (ΓCk ) ⊆ O(k). Přistupme konečně k definici grup P inC (k) a SpinC (k) a formulaci analogie věty 5.10. Definice 5.27. Položme P inC (k) = {u ∈ ΓCk | N c (u) = 1}, tj. P inC (k) je jádro homomorfismu N c : ΓCk → C∗ . Dále definujeme SpinC (k) = P inC (k) ∩ (Ck0 ⊗R C). Z definice plyne, že P inC (k) a SpinC (k) jsou uzavřené topologické podgrupy v ΓCk . Navíc je zřejmé, že P in(k) ⊆ P inC (k), resp. Spin(k) ⊆ SpinC (k). Věta 5.28. Zobrazení ρc |P inC (k) : P inC (k) → O(k) je spojitý surjektivní homomorfismus grup s jádrem Ker(ρc |P inC (k) ) = {1 ⊗ z ∈ Ck ⊗R C | |z| = 1} ∼ = U (1). Úplným vzorem grupy c C SO(k) v zobrazení ρ |P inC (k) je grupa Spin (k). Máme tak krátké exaktní posloupnosti: 1 → U (1) → P inC (k) → O(k) → 1, 1 → U (1) → SpinC (k) → SO(k) → 1. Důkaz. Podle věty 5.26 je ρc (P inC (k)) ⊆ O(k), přižemž pro u ∈ S k−1 ⊆ P inC (k) je ρc (u) symetrie podle nadroviny v Rk kolmé k vektoru u. Ty ale vygenerují celou grupu O(k), a tedy ρc |P inC (k) je surjektivní zobrazení. Je-li u ∈ Ker(ρc |P inC (k) ), potom podle věty 5.23 je tvaru u = a · 1, kde a ∈ C∗ . Přitom platí: 1 = N c (u) = N c (a · 1) = a¯ a, a tedy a ∈ U (1). Libovolnou ortogonální transformaci prostoru Rk lze zapsat jako kompozici nejvýše k symetrií podle nadroviny. Odtud a ze zatím dokázaného plyne, že libovolné u ∈ P inC (k) lze zapsat ve tvaru u = (x1 x2 . . . xm ) ⊗ z, kde xi ∈ S k−1 , z ∈ U (1) a m ≤ k. Pak u ∈ SpinC (k) právě tehdy, když m je sudé. Na druhou stranu, ρc (u) = ρc (x1 ) ◦ ρc (x2 ) . . . ◦ ρc (xm ) je kompozice m symetrií, a tedy je prvkem SO(k) právě tehdy, když m je sudé. Ukázali jsme tak, že (ρc |P inC (k) )−1 (SO(k)) = SpinCk . Z předchozího vyjádření libovolného prvku u ∈ P inC (k) navíc plyne, že grupy P inC (k) a SpinC (k) jsou kompaktní, neboť topologie v Ck ⊗R C je topologie euklidovského prostoru, kde je kompaktnost ekvivalentní uzavřenosti a ohraničenosti. Konečně, spojitost zobrazení ρc plyne ze spojitosti násobení v Ck ⊗R C a z vyjádření v souřadnicích.  Viděli jsme, že grupy P in(k) a Spin(k) jsou podgrupy Ck∗ , resp. (Ck0 )∗ , generované jednotkovou sférou S k−1 . Poznamenali jsme též, že tato vlastnost je často užívána k jejich definici. Jak ukazuje následující důsledek, grupy P inC (k) a SpinC (k) lze opět definovat přímo pomocí grup P in(k) a Spin(k), aniž bychom budovali aparát Cliffordovy grupy ΓCk . Další informace o grupě SpinC (k) a její důležitosti v teorii Diracova operátoru lze najít v monografii [4]. 36

Důsledek 5.29. Následující grupy jsou izomorfní: P inC (k) ∼ = P in(k) ×Z2 U (1), C Spin (k) ∼ = Spin(k) ×Z U (1), 2

přičemž Z2 operuje na P in(k), resp. U (1), jako {±1}. Důkaz. V důkazu předchozí věty jsme ukázali, že libovolný prvek u ∈ P inC (k) je tvaru u = (x1 x2 . . . xm ) ⊗ z, kde xi ∈ S k−1 a z ∈ U (1). Protože x1 x2 . . . xm ∈ P in(k), plyne odtud, že zobrazení ϕ : P in(k) × U (1) → P inC (k) definované předpisem ϕ(x, z) = x ⊗ z pro x ∈ P in(k) a z ∈ U (1) je surjektivní homomorfismus grup. Nechť ϕ(x, z) = 1 = 1 ⊗ 1. Potom nutně z ∈ R, a tedy z = ±1. Je-li z = 1, pak x = 1, a je-li z = −1, pak x = −1. Proto Ker(ϕ) = {±(1, 1)}. Podle hlavní věty o faktorových grupách je P inC (k) ∼ = (P in(k) × U (1))/{±(1, 1)} ∼ = P in(k) ×Z2 U (1). Zúžením zobrazení ϕ na Spin(k) × U (1) dostaneme i izomorfismus SpinC (k) ∼ = Spin(k) ×Z2 U (1). Protože ϕ je spojité zobrazení a grupy P in(k) × U (1), resp. Spin(k) × U (1), jsou kompaktní, uvedené izomorfismy jsou též homeomorfismy. 

37

Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

J. F. Adams, Lectures on Lie groups, The University of Chicago Press, Chicago, 1982. M. F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, Clifford modules, Topology 3, suppl. 1, 1964, 3-38. D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons, Hoboken, 2004. T. Friedrich, Dirac operators in Riemannian geometry, Graduate studies in mathematics 25, American Mathematical Society, Providence, 2000. J. Gallier, Clifford algebras, Clifford groups and a generalization of the Quaternions: the Pin and Spin groups, verze z 10. dubna 2005, . A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002, elektronická verze, dostupné na . D. Husemoller, Fibre bundles, ruský překlad: Rasslojennyje prostranstva, Mir, Moskva, 1970. M. Karoubi, K-theory, an introduction, ruský překlad: K-teorija: vvedenie, Mir, Moskva, 1981. M. M. Postnikov, Gruppy i algebry Li, Lekcii po geometrii, Semestr 5, Nauka, Moskva, 1982. The MacTutor history of mathematics archive, životopis W. K. Clifforda, elektronicky dostupné na .

38