BAKAL A RSK A PR ACE. Jan Homann Izoperimetricka nerovnost

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik aln  fakulta

 RSK  A  PRACE  BAKALA

Jan Homann

Izoperimetricka nerovnost Katedra matematick e anal yzy

Vedouc  bakal a rsk e pr ace: doc. RNDr. Dalibor Pra z ak, Ph.D., Katedra matematick e anal yzy Studijn  program: Matematika Studijn  obor: Obecn a matematika Zam e ren : Pravd epodobnost, matematick a statistika a ekonometrie 2009

Rad bych podekoval panu doc. RNDr. Daliboru Prazakovi, Ph.D., ktery byl mym vedoucm bakalarske prace, za nabdnut zajmaveho tematu, tipy na podnetnou literaturu, cenne rady pri tvorbe prace a velkou vstrcnost pri konzultacch. Dale chci podekovat vsem, kter mi potrebnou literaturu zap ujcili, a take vsem, kter mi pri praci s programem TeX pomohli dobrymi radami.

Prohlasuji, ze jsem svou bakalarskou praci napsal samostatne a vyhradne s pouzitm citovanych pramen u. Souhlasm se zap ujcovanm prace a jejm zverejnovanm. V Praze dne 28. 5. 2009

Jan Homann 2

Obsah

1 Par slov uvodem o izoperimetricke uloze

6

2 Zakladn poznatky o izoperimetrii

9

3 Geometricky d ukaz izoperimetrie

13

4 Aproximace oblast mnohouhelnky a Bonnesenova nerovnost 20 5 Pouzit Brunn-Minkowskeho nerovnosti v R2

29

Literatura

36

3

Nazev prace: Izoperimetricka nerovnost Autor: Jan Homann Katedra (ustav): Katedra matematicke analyzy Vedouc bakalarske prace: Doc. RNDr. Dalibor Prazak, Ph.D., Katedra matematicke analyzy e-mail vedoucho: [email protected].cuni.cz Abstrakt: V predlozene praci se zabyvame izoperimetrickou nerovnost, ktera je analytickym vyjadrenm zname izoperimetricke ulohy. V praci se soustredme na izoperimetrickou nerovnost v R2 a snazme se na n ukazat r uzne prstupy k teto matematicke uloze. V prvn kapitole predstavme izoperimetrickou ulohu v jejch historickych souvislostech a ukazeme uzkou souvislost izoperimetricke ulohy s izoperimetrickou nerovnost. V dals kapitole potom uvedeme nekolik zakladnch poznatk u o izoperimetricke nerovnosti. Ve tret kapitole ukazeme geometricky d ukaz izoperimetricke nerovnosti v rovine. V predposledn kapitole zuzme tutez nerovnost na Bonnesenovu nerovnost, kterou nasledne dokazujeme pomoc aproximace oblast mnohouhelnky. V posledn kapitole pote predvedeme, jak se izoperimetricka nerovnost dokazuje uzitm Brunn-Minkowskeho nerovnosti a pojm u Minkowskeho souctu mnozin a Minkowskeho delky hranice. Klcova slova: Symetrizace, Bonnesenova nerovnost, Izoperimetricka porucha, Brunn-Minkowskeho nerovnost, Minkowskeho delka hranice Title: Isoperimetric inequality Author: Jan Homann Department: Department of Analysis Supervisor: Doc. RNDr. Dalibor Prazak, Ph.D., Department of Analysis Supervisor's e-mail address: [email protected].cuni.cz Abstract: In the present work we study the isoperimetric inequality as a description of well-known isoperimetric problem. In this work we are contentrating upon the isoperimetric inequality in R2 . Our goal is to show dierent approaches to this mathematical problem. In the Chapter 1, we will introduce the isoperimetric problem in its historical context and we will show close connection between the isoperimetric problem and the isoperimetric inequality. In next chapter, we will show some basic ndings about the iso4

perimetric inequality. In the Chapter 3, we will show geometrical proof of the isoperimetric inequality in plane. In next chapter we will restrict the isoperimetric inequality to the Bonnesen inequality and we will prove this new inequality by aproximation of domains by polygons. In the last chapter, we will show how to prove the isoperimetric inequality using the BrunnMinkowski inequality and using terms of the Minkowski sum of sets and the Minkowski length of boundary. Keywords: Symmetrization, Bonnesen inequality, Isoperimetric defect, BrunnMinkowski inequality, Minkowski length of boundary

5

Kapitola 1 P ar slov u  vodem o izoperimetrick e u  loze Izoperimetrickou ulohou se lidstvo zabyvalo od nepameti. Samotne slovo izoperimetricky nam ukazuje, ze se zabyvame otazkou, jak pri zachovan stejneho (izo) obvodu (perimetr) maximalizovat obsah. Nejjednoduss formulac byla otazka: ,,Mezi vsemi moznymi obrazci se stejnym obvodem, existuje nejaky, ktery ma vets obsah nez vsechny ostatn obrazce?" Tato uvaha mela praktickou motivaci, nebot' ve staroveku se casto jako vymera pouzval obvod. Protoze se takto evidovaly i pozemky, vsimli si lide brzy, ze dlouhy tenky obdelnk ma vyrazne mens obsah nez ctverec o stejnem obvodu. Odtud prirozene vyplynula otazka na tvar maximalizujc obsah. Vcelku se dalo vytusit, ze nejvets obsah ma kruh, a tak se snazili star  Rekov e najt d ukaz, ze mezi vsemi obrazci stejneho obvodu ma prave kruh nejvets obsah. Snahy o d ukaz, ze kruh res izoperimetrickou ulohu se tak  y matematik Zenodostaly soucast reckeho zlateho veku geometrie. Reck rus dokazal, ze obsah kruhu je vets nez obsah jakehokoli mnohouhelnku o stejnem obvodu.  S izoperimetrickou ulohou take uzce souvisela ,,Uloha kralovny Ddo": ,,Mame danu prmku a delku dals krivky. Jaky tvar ma mt tato krivka, aby byl vymezeny obsah nejvyss?" Odpoved' je pochopitelne takova, ze krivka ma mt tvar p ulkruznice. Kralovna Ddo byla podle legend zakladatelkou a prvn panovnic Kartaga. Protoze Zenodor uv d ukaz optimality kruznice ve srovnan s mnohouhelnkem  u nad tmto problemem, ciste geomebyl, podobne jako uvahy dalsch Rek tricky, neslo o korektn d ukaz s presne precizovanymi pojmy obsahu a ob6

vodu. A tak byl prvn matematicky korektn d ukaz, ze kruh res izoperimetrickou ulohu, podan az v 19. stolet. Prvn krok smerem k resen tehdy ucinil svycarsky geometr Jacob Steiner (1796 - 1863) v roce 1838. Ten pouzil geometrickou metodu, ktera je dnes znama jako Steinerova symetrizace. Steiner dokazal nasledujc: ,,Pokud resen izoperimetricke ulohy existuje, pak je tmto resenm kruznice." D ukaz, ze resen izoperimetrickeho problemu opravdu existuje, dodalo pozdeji r uznymi cestami nekolik matematik u. Od te doby byla podana rada dalsch alternativnch d ukaz u r uzne obecnosti a slozitosti. Prechod od izoperimetricke ulohy k izoperimetricke nerovnosti je zrejmy. Jestlize plat, ze krivka o delce L vymez oblast s nejvetsm obsahem, je-li to kruznice, pak obsah maximaln oblasti je S

=

πr2

=π



L 2π

2

L2 =π 2 4π

=

L2 . 4π 2

Potom tedy kazda uzavrena krivka delky L ohranicuje plochu S ≤ L4π , tedy 2 plat nerovnost L4π −S ≥ 0, coz prenasobenm dostane podobu L2 − 4πS ≥ 0. Pro kruznici a j vymezeny kruh pak nastava rovnost. Jelikoz kruznice je jedinym resenm, nastava rovnost tehdy a jen tehdy, jde-li o kruznici. Tm jsme se tedy dostali od izoperimetricke ulohy k jejmu jadru - k izoperimetricke nerovnosti. Nyn tedy vme, ze izoperimetricka nerovnost porovnava druhou mocninu obvodu uzavrene krivky v rovine s obsahem vnitrn oblasti, kterou tato krivka vymezuje. Smysl pojmu izoperimetricka nerovnost je vsak sirs, existuj totiz cetna zobecnen izoperimetricke nerovnosti z R2 do vcerozmernych prostor u, do zakrivenych oblast na povrsch teles, vztahem Lebesgueovych mer vyss a nizs dimenze pro nejr uznejs mnoziny, atp. S vyjimkou Kapitoly 2, kde se kratce zmnm take o izoperimetricke uloze v obecnem Rn , se budu ve sve praci zabyvat vyhradne izoperimetrickou nerovnost v R2 . Pro uvodn konkretn ilustraci v rovine R2 si uvedomme, ze i pomerne pravidelny utvar, jakym je ctverec, nen ani zdaleka r2esenm izoperimetricke  ulohy. Ctverec o strane L4 totiz ma vnitrn obsah L16 , coz je zretelne mene 2 nez obsah kruhu vymezeneho stejne dlouhou kruznic L4π . Nyn lehce naznacme, jakym zp usobem resil ulohu Jacob Steiner, pozdeji se k jeho postupu vratme podrobneji. Steiner ve svych uvahach vysel od jednoduchych geometrickych tvar u, na 7

nichz bylo problem snadne ilustrovat. Krivky vymezujc nekonvexn plochy slo snadno pozmenit, aby se neprodlouzily a pritom plocha narostla. Nesymetricke krivky slo symetrizovat, elipsy spravnym zp usobem stlacit, apod. Jediny tvar, ktery je dokonale konvexn a symetricky, je kruznice. To vsak stale jeste nebyl korektn d ukaz. V roce 1902 publikoval nemecky matematik Adolf Hurwitz (1859 - 1919) pomerne kratky d ukaz vyuzvajc Fourierovych rad. Roku 1938 podal E. Schmidt d ukaz zalozeny na porovnan hladke uzavrene krivky s kruznic. V tomto d ukazu vyuzil Schmidt vzorec pro delku oblouku, vyjadren pro obsah rovinne plochy a Cauchy-Schwarzovy nerovnosti. My se v nas praci zamerme na podrobne proveden steinerovskeho d ukazu a pote na dva dals prstupy. Jeden je zalozen na aproximaci oblast mnohouhelnky a nalezen souvislosti mezi tzv. izoperimetrickou poruchou (velikost rozdlu L2 − 4πS ) a velikost opsane a vepsane kruznice - tuto souvislost popisuje tzv. Bonnesenova nerovnost. Druhy prstup je zalozen na formalizaci intuitivn predstavy, ze obvod oblasti uzce souvis s rychlost r ustu objemu pri rozpnan teto oblasti. Shrnme si jeste jednou, k cemu jsme v teto uvodn kapitole dosli.  sen izoperimetrickeho problemu obvykle formalizujeme pomoc nerovRe nosti vyjadrujc vztah mezi delkou L uzavrene krivky a obsahem S plosne oblasti, kterou tato krivka uzavra. Izoperimetricka nerovnost rka, ze 4πS ≤ L2 ,

(1.1)

pricemz rovnost nastava, prave kdyz krivka je kruznice. Zrejme oblast kruhu s polomerem r je πr2 a obvod tohoto kruhu je 2πr, takze obe strany nerovnosti jsou v tomto prpade rovny 4π2 r2 . Pri analytickem prstupu vetsinou nerovnost (1.1) uvadme v podobe L2 − 4πS ≥ 0.

S temito nerovnostmi budeme v dalsm pracovat.

8

(1.2)

Kapitola 2 Z akladn  poznatky o izoperimetrii V teto kapitole si precizneji predstavme predmet nas prace a vybudujeme si potrebne teoreticke zaklady a pojmoslov pro dals zkouman ulohy. Nejprve popseme klasickou izoperimetrickou nerovnost v euklidovskem prostoru vsech dimenz a vyslovme zakladn tvrzen, ktera plat v rovine. Nejjednodussm prpadem je izoperimetrie na prmce, tj. v R1 . Bud' A nejaka omezena oblast na realne prmce, tj. otevreny interval. Diskretn mra jejho obvodu, tj. pocet jejch hranicnch bod u, je 2. Bud' B nejaka omezena podmnozina realne prmky. Potom je zrejme diskretn mra jejho obvodu vets nebo rovna 2, kde rovnost nastava pouze v prpade, ze cela B je jednm otevrenym intervalem. Celkove tedy m uzeme rci, ze resenm izoperimetrickeho problemu na prmce je otevreny interval, ktery nen nicm jinym nez otevrenou koul v tomto specialnm prostoru. Nyn se presuneme s izoperimetrickou nerovnost do roviny, kde se setkame s jejmi tremi r uznymi formulacemi. Nejprve se zmnme o prvnch dvou: (A) Uvazujeme vsechny omezene oblasti v R2 s pevne danym obvodem, tj. delkou jejich hranice, a hledame oblast o nejvetsm obsahu. Odpoved na nasi otazku je pochopitelne kruh. Je d ulezite si povsimnout, ze samotna hodnota obvodu pro nasi otazku nehraje zadnou roli, nebot' vsechny oblasti obvodu L1 jsou zobrazitelne dky podobnosti v R2 na oblasti obvodu L2 pro jakekoliv dane hodnoty L1 , L2 a optimaln resen obou uloh se zobrazuj na sebe. (B) M uzeme uvazovat i naopak. Vezmeme vsechny omezene oblasti s pevne 9

danym obsahem a hledame cestu k minimalizaci obvodu. Jak uz bylo naznaceno v predchoz kapitole, tret a nejpreciznejs cestou je popsat izoperimetrickou ulohu jako analytickou nerovnost. Proto je dobre prevadet izoperimetricky ulohu na dokazan izoperimetricke nerovnosti v podobe (1.1) nebo (1.2). (Pro obecne n pak v podobe, kterou za chvli uvedeme.) Nasm ukolem po preveden na jednu z techto nerovnost je potom dokazat, ze prslusna nerovnost plat pro vsechny oblasti v rovine a rovnost nastava tehdy a jen tehdy, kdyz je oblast kruh, jde-li o n = 2. Pro obecne n se pak dokazuje nerovnost a rovnost nastavajc, prave kdyz jde o n-rozmernou kouli. Nyn se kratce podvame na slbene zobecnen do vyssch prostor u, tedy n obecne pro R , n ≥ 2.  Umluva: Pri zkouman izoperimetrie pro Rn budeme n-rozmernou mru nazyvat objemem V a (n − 1)-rozmernou mru budeme nazyvat obsahem A, tak jak jsme byli dosud zvykl pro n = 3. Vyse formulovana analyticka izoperimetricka nerovnost (1.1) dostava pro obecny prpad n ≥ 2 podobu A(∂ )

1− 1

[V ( )]

n

≥

A(S n−1 )

1

[V (B n )]1− n

,

(2.1)

kde je nejaka omezena oblast v Rn a ∂ je jej hranice, V oznacuje nrozmernou mru a A oznacuje (n−1)-rozmernou mru, B n je jednotkova koule v Rn a S n−1 je jej hranice, tedy jednotkova sfera v Rn . Tato nerovnost nerka nic jineho, nez ze pomer obsahu hranice a objemu (vhodne umocneneho) mnoziny touto hranic vymezene je nejprznivejs (nejmens) pro sferu a j vymezenou kouli. Oznacme ωn n-rozmerny objem B n a oznacme cn−1 (n− 1) - rozmerny obsah sfery S n−1 . Je znamo, ze plat vzorce 2π 2 cn−1 = n , (2) n

ωn

=

cn−1 , n

(2.2)

kde (x) je gama funkce. (Z techto vzoreck u snadno plynou vzorce pro jednotkove koule a jednotkove sfery r uznych dimenz, ktere se daj snadno zobecnit pro libovolny polomer. Takto dostavame mimo jine i zname vzorce pro objem V (standardn trrozmerne) koule a pro obsah S jejho povrchu V = 43 πr3 , S = 4πr2 ). 1 −1 n−1 n 1− n1 = c 1− 1 n Odtud po upravach A(Sn 1−) n1 = c1n−− n11 = cn−1 ( cn− ) ·c n− 1 n− 1 ·n n = 1 [V (B )]

ωn

10

1

1

1− n cn− 1·n n

1

1

1 n ) = nωnn dostavame novy tvar nerovnosti (2.1) = n( cn− n

A(∂ )

1

1− 1

[V ( )]

(2.3)

≥ nωnn .

n

V nasledujc poznamce overme, ze izoperimetricka nerovnost v R2 je opravdu pouze specialnm prpadem obecne izoperimetricke nerovnosti v Rn . V dals poznamce ukazeme, jak se da izoperimetricka nerovnost pro oblasti v Rn zobecnit na sjednocen oblast. Poznamka 2.1: Podvejme se, jak vypada nerovnost (2.3) pro n = 2: A(∂ ) = L, √ 1 V ( )1− n = S, r √ 1 1 c1 √ √ nωn n = 2 = 2 c1 = 2 π p

2

Dostavame tedy coz je to same jako

(1)

√

= 2 π.

√ L √ ≥ 2 π, S √ L ≥ 2 πS,

odkud jiz umocnenm dostavame nerovnost (1.1). Poznamka 2.2: V techto uvahach jsme zuzili izoperimetrickou nerovnost na oblasti v Rn , ale tuto nerovnost lze zobecnit i na otevrene mnoziny sestavajc z konecneho mnozstv omezenych oblast. Predpokladejme, ze nerovnost (2.1) je splnena pro oblasti v Rn . Jestlize

= 1 ∪ 2 ∪ ..., kde j , j ∈ N, jsou kompaktn oblasti s po dvou disjunktnmi uzavery, tj.

j ∩ k = ∅,

∀j 6= k,

potom m uzeme prejt k odvozen dalsch nerovnost. Oznacme si s := 1 − n1 , pak plat s ∈ (0, 1), tudz funkce f urcena predpisem f (x) = xs , x ∈ [0, +∞) je konkavn. Jelikoz pro x, y ≥ 0 plyne z konkavnosti funkce f nerovnost f (x + y) ≤ f (x) + f (y), dostavame z rovnosti V ( ) =

X j∈N

11

V ( j )

nerovnost

1

[V ( )]1− n ≤

X

1

[V ( j )]1− n .

j∈N

Z nerovnosti (2.3) plyne snadnou aplikac A(∂ j ) 1

nωnn

odkud sectenm dostavame 1 X 1

nωnn

1

≥ [V ( j )]1− n ,

A(∂ j ) ≥

j∈N

X

1

[V ( j )]1− n .

j∈N

Z disjunktnosti uzaver u j vyplyva disjunktnost hranice, takze dostavame X

A(∂ j ) = A(∂ ).

j∈N

Dohromady potom mame 1

[V ( )]1− n ≤

X j∈N

1 X

1

[V ( j )]1− n ≤

1

nωn n

j∈N

A(∂ j ) =

A(∂ ) 1

nωn n

.

(2.4)

Tm jsme zobecnili izoperimetrickou nerovnost i na sjednocen oblast. Jak ale bylo receno, hloubeji se izoperimetrickou nerovnost v obecnem Rn zabyvat nebudeme. Pri dokazovan izoperimetricke nerovnosti v Rn lze postupovat mnoha zp usoby, jeden z nich je zobecnenm postupu, ktery na prpadu R2 ukazujeme v 5. kapitole teto prace. Zajemce se s touto problematikou m uze seznamit hloubeji v knize [2], str. 68 - 77, 83 - 86.

12

Kapitola 3 Geometrick y d ukaz izoperimetrie V teto kapitole si podrobneji ukazeme, jakym zp usobem resil izoperimetrickou ulohu v R2 Jacob Steiner. Jelikoz jde o d ukaz geometricky a my se omezme na oblasti ohranicene po castech hladkymi krivkami, bude de nice obsahu oblasti a delky jej hranice intuitivne zrejma. Obsahem oblasti tedy rozumme jej dvojrozmernou Lebesgueovu mru a delku po castech hladke hranice (tj. delku vymezujc krivky) chapeme jako soucet delek jejch jednotlivych hladkych cast.

Veta 3.1 Necht' ⊂ R2 je oblast vymezena uzavrenou krivkou = ∂ . Oznacme L := L( ) delku teto vymezujc krivky (obvod oblasti). Dale znacme pro kazdou oblast 0 ⊂ R2 jej hranici 0 := ∂ 0 a L0 := L( 0 ). (Toto znacen budeme pouzvat v cele teto kapitole.) Jestlize pro kazdou oblast 0 splnujc L0 = L plat S ( 0 ) ≤ S ( ), potom je kruh. Nyn ukazeme Steiner uv geometricky d ukaz tohoto tvrzen. Nejprve vyslovme a dokazeme pomocna tvrzen, ze kterych vlastn veta 3.1 vyplyva. Nejprve si ukazeme, ze resenm izoperimetricke ulohy m uze byt jedine konvexn oblast.

13

Lemma 3.1 Pokud pro oblast ⊂ R2 plat, ze S ( ) ≥ S ( 0 ) pro jakoukoliv oblast 0 ⊂ R2 se stejnym obvodem (tj. takovou, ze plat L0 = L) (dale budeme pro takovou pouzvat obratu, ze ma maximalizacn vlastnost), potom

je konvexn. D ukaz: Toto lemma dokazeme sporem. Predpokladejme, ze nen konvexn a ma maximalizacn vlastnost. Pak vyuzijeme toho, ze existuje takova prmka P protnajc v bodech A, B, C, D, ze u secky AB a CD lez v , zatmco usecka BC lez naopak mimo (viz Obr. 1).

Obrazek 1: Mnozina je vyznacena ble, mnozina 00 vznikne z mnoziny

pridanm sede vyznacene plochy. Nahradme-li obvodovy oblouk BC useckou BC , zskame tak oblast 00 s mensm obvodem (jelikoz usecka je vzdy nejkrats spojnic dvou bod u) a vetsm obsahem (jelikoz plocha ohranicena useckou BC a obloukem CB je nyn zahrnuta navc oproti p uvodn situaci). Polozme-li si L00 := L( 00 ) a L 0 00

:= (1 + ε) , kde ε = L00 − 1 > 0, pak L0 = L a zaroven S ( 0 ) = (1 + 2ε + ε2 )S ( 00 ) > (1 + 2ε + ε2 )S ( ) > S ( ). To je ovsem spor s maximalizacn vlastnost oblasti , cmz je lemma dokazano. 

Pri resen izoperimetricke ulohy se tedy v dalsm zamerme na konvexn oblasti. Ukazeme, ze oblast splnujc maximalizacn podmnku mus byt symetricka. K tomu stac ukazat, ze symetrizac oblasti s maximalizacn vlastnost uz nezmenme jej obvod ani obsah. Oznacme si pro libovolne body x, y ∈ jejich vzdalenost po krivce symbolem d (x, y). Necht' tedy A, B ∈ jsou takove body, ze d (A, B ) = L2 . Pak plat = γ1 + γ2 (spojen krivek), kde γ1 , γ2 jsou takove krivky spojujc body A a B , ze plat L(γ1 ) = L(γ2 ) = L2 . Z konvexity vyplyva, ze γ1 , γ2 protnaj usecku AB pouze v bodech A, B . Oznacme stred usecky A, B jako 14

O.

Dale si de nujme γj0 jako stredovou symetrii γj podle O (j = 1, 2). Nyn si oznacme j oblast ohranicenou oblouky γj , γj0 (j = 1, 2). Tomuto procesu rkame symetrizace oblasti . (Viz Obr. 2a, 2b, 2c)

Obrazek 2a: Oblast ohranicena krivkou .

Obrazek 2b: Symetrizovana oblast 1 ohranicena krivkou

1

= γ1 + γ10 .

Obrazek 2c: Symetrizovana oblast 2 ohranicena krivkou

2

= γ2 + γ20 .

15

Lemma 3.2 Necht' ⊂ R2 vymezena krivkou je oblast s maximalizacn vlastnost. Necht' γ je usecka spojujc nejake dva body A, B ∈ . Pokud usecka γ del nap ul obvod, potom del nap ul take obsah. D ukaz: Zavedeme si nejprve znacen. j = oblast vymezena krivkami γj a 0 seckou γ a krivkou γj , j = 1, 2. γj , j = 1, 2. βj = oblast vymezena u Jelikoz usecka γ del obvod nap ul, plat rovnost L(

) = L(γj ) + L(γj ) = 2L(γj ) = L( ), j = 1, 2. 0

j

Z maximalizacn vlastnosti plyne S ( ) ≥ S ( j ), j

= 1, 2.

A ze symetrie plyne S ( j ) = 2S (βj ), j

= 1, 2.

Proto plat S ( 1 ) + S ( 2 ) = 2S (β1 ) + 2S (β2 ) = 2S ( ), j

= 1, 2.

Dohromady tedy dostavame, ze mus platit S ( 1 ) = S ( 2 ) = S ( ).

Podle rovnosti S ( 1 ) = S ( 2 ) tedy plat 2S (β1 ) = 2S (β2 ), cili S (β1 ) = S (β2 ), cmz je dokazano, ze u secka γ del nap ul take obsah. 

Lemma 3.3 Necht' ⊂ R2 vymezena krivkou je oblast s maximalizacn vlastnost. Necht' γ je usecka spojujc nejake dva body A, B ∈ . Pokud usecka γ del nap ul obsah, potom del nap ul take obvod. 16

D ukaz: Pokud usecka γ del nap ul obsah, znamena to, ze S (β1 ) = S (β2 ) = S ( ) ze podle symetrie S ( 1 ) = S ( 2 ) = S ( ). Dale postupujeme spo2 , tak rem. Predpokladejme, ze usecka γ nedel obvod oblasti nap ul, tedy L(γ1 ) 6= L(γ2 ), tj. jedna z krivek γ1 , γ2 je krats nez druha. Bez u jmy na obecnosti predpokladejme, ze L(γ1 ) < L(γ2 ). To logicky znamena, ze L(γ1 ) < L(2 ) , takze pro oblast 1 vzniklou symetrizac β1 a jej hranici 1 mus platit L( 1 ) < L( ). Tato oblast ma pritom podle symetrie stejn y obsah jako , takze jej mens obvod vede ke sporu s maximalizacn vlastnost oblasti . Proto mus γ delit obvod oblasti . 

Lemma 3.4 Necht' ⊂ R2 vymezena krivkou je oblast s maximalizacn vlastnost. Necht' γ je usecka spojujc nejake dva body A, B ∈ . Pak usecka γ del nap ul obvod, prave kdyz del nap ul obsah. D ukaz: Lemma je zrejmym d usledkem predchozch dvou lemmat. 

Lemma 3.5 Necht' ⊂ R2 je oblast s maximalizacn vlastnost, γ je usecka, ktera del nap ul jej obsah a obvod, j ⊂ R2 , j = 1, 2, jsou oblasti vznikle symetrizac βj , j = 1, 2. Pak j , j = 1, 2, maj take maximalizacn vlastnost. D ukaz: Jelikoz γ del nap ul obsah i obvod , mus mt j stejny obvod i stejny obsah jako . Odtud je zrejme, ze take j ma maximalizacn vlastnost. 

Lemma 3.6 1 a 2 vznikle vyse popsanou symetrizac konvexn oblasti

⊂ R2 s maximalizacn vlastnost jsou kruhy. ^ je D ukaz: Je-li ξ uzavrena krivka a jsou-li A, B takove body, ze uhel ACB pravy pro kazde C ∈ ξ , potom podle Thaletovy vety je ξ kruznice s polomerem AB . Nam proto stac dokazat (nezavisle na volbe γ = AB ), ze pro kazde C ∈ j , ^ pravy uhel. j = 1, 2 je ACB 17

Bud' C∗ obraz C podle O. Ze symetrie j plyne, ze C∗ lez take v j . Dale si rozdelme j do disjunktnch cast T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , kde T5 je rovnobeznk ACBC∗ , T1 je oblast vymezena u seckou AC a obloukem CA, T2 je oblast vymezena useckou CB a obloukem BC , T3 je oblast vymezena useckou BC∗ a obloukem C∗ B , T4 je oblast vymezena useckou C∗ A a obloukem AC∗ . (Viz obrazek 3a.)

Obrazek 3a ^ nen pravy uhel. PoNyn postupujme sporem. Predpokladejme, ze ACB tom si p uvodn oblast j modi kujme na novou oblast 0j . Jako 0j budeme uvazovat oblast sestavajc z obdelnku T50 = A0 C 0 B 0 C∗0 (s delkou strany A0 C 0 shodnou s delkou AC , delkou C 0 B 0 shodnou s CB , atd.) a nasledujcch 4 oblast: T10 je oblast vymezena useckou A0 C 0 a obloukem C 0 A0 , T20 je oblast vymezena useckou C 0 B 0 a obloukem B 0 C 0 , T30 je oblast vymezena useckou B 0 C∗0 a obloukem C∗0 B 0 , T40 je oblast vymezena u seckou C∗0 A0 a obloukem  arkovane oblouky pritom budou odpovdat oblouk A0 C∗0 . (C um p uvodnm. Viz obrazek 3b.)

18

Obrazek 3b Jelikoz oblouky T1 z A do C , T10 z A0 do C 0 maj stejne delky a stejne tak T2 a T20 , T3 a T30 , T4 a T40 maj stejne delky, maj take j a 0j stejny obvod. Jelikoz obsah obdelnka je roven soucinu jeho podstavy a vysky, mus platit S (T50 ) > S (T5 ),

nebot' vyska se zmenou nepravouhleho rovnobeznku na obdelnk nutne zvysila. Proto ze zrejme rovnosti S (Tk ) = S (Tk0 ), k = 1, 2, 3, 4, dostavame S ( 0j ) =

5 X k=1

S (Tk0 ) =

4 X k=1

S (Tk ) + S (T50 ) >

5 X k=1

S (Tk ) = S ( j ).

^ mus byt pravy To je ale spor s maximalizacn vlastnost j , takze ACB uhel, cmz je d ukaz hotov. 

D ukaz vety 3.1: Jelikoz 1 a 2 jsou kruhy, mus byt γ1 a γ10 p ulkruznice, tudz je kruh. 

19

Kapitola 4 Aproximace oblast  mnoho uheln ky a Bonnesenova nerovnost V teto kapitole si ukazeme, jak resit izoperimetrickou ulohu prstupem, ktery chape tuto ulohu jako dokazan izoperimetricke nerovnosti v podobe (1.1) nebo (1.2) a nalezen podmnek, za kterych tato nerovnost prechaz v rovnost. Jadrem tohoto prstupu je zuzen izoperimetricke nerovnosti na tzv. Bonnesenovu nerovnost, hlavn metodou je aproximace konvexn oblasti mnohouhelnky. Jak v teto kapitole ukazeme, Bonnesenova nerovnost nam dava doln odhad rozdlu L2 − 4πS pomoc rozdlu polomer u kruznice opsane a vepsane. Stejne jako v predchoz kapitole se zamerme na oblasti s po castech hladkou hranic. Takove oblasti lze dobre aproximovat mnohouhelnky. Zade nujeme si tedy aproximaci zevnitr.

De nice 4.1 Pod pojmem mnohouhelnk budeme pro jednoduchost chapat oblast vymezenou krivkou v tomto tvaru. O oblasti ⊂ R2 rekneme, ze je aproximovatelna zevnitr, jestlize existuje posloupnost mnohouhelnk u {Mk }∞ k=1 takova, ze kazdy mnouhelnk Mk je podmnozinou a max{d(x, Mk ), x ∈ ∂ } → 0 pro k → ∞, pricemz pro k → ∞ jsou splneny take podmnky S (Mk ) → S ( ), L(∂Mk ) → L(∂ ). Aproximace zevnitr tedy spocv a v tom, ze existuje posloupnost mnohouhelnk u obsazenych v , ktera k teto oblasti stejnomerne konverguje, pricemz obsahy a obvody techto mnohouhelnk u konverguj k obsahu a obvodu aproximovane mnoziny. 20

De nice 4.1 nam naznacuje zakladn myslenku cele kapitoly, ktera vychaz prave z aproximovatelnosti mnozin s po castech hladkou hranic pomoc mnohouhelnk u. Podstatnou vlastnost aproximace zevnitr je skutecnost, ze pri oznacen polomeru kruznice vepsane mnohouhelnku Mk symbolem rk a polomeru kruznice opsane mnohouhelnku Mk symbolem Rk , plat pro k → ∞ vztahy rk → r a Rk → R, kde r a R jsou polomery kruznice vepsane a opsane oblasti . Tato vlastnost je pro ideu d ukazu vyhodna.

Veta 4.1 Necht' ⊂ R2 je oblast v rovine s obsahem S a delkou hranice L. Potom plat nerovnost L2 − 4πS ≥ 0. (4.1) Rovnost nastava v (4.1) prave tehdy, kdyz je kruh. Tuto formulaci izoperimetricke nerovnosti budeme nyn dokazovat. K tomu si pripravme nekolik d ulezitych tvrzen, bez kterych se pri d ukazu Vety 4.1 neobejdeme.

Veta 4.2 Necht' je oblast v rovine R2 ohranicena krivkou k. Necht' ma obsah S a k ma delku L. Bud'te R > 0 a r > 0 polomery kruznice opsane (nejmens kruznice obsahujc ) a kruznice vepsane (nejvets kruznice obsazene v ). Potom plat nasledujc nerovnosti L2 − 4πS ≥ π 2 (R − r)2 L2 − 4πS ≥ S 2



1

1

2

− r R 2  R−r 2 2 L − 4πS ≥ L R+r √ √ L − L2 − 4πS L + L2 − 4πS ≤r≤R≤ 2π 2π

(4.2) (4.3) (4.4) (4.5)

Nerovnost (4.2) se nazyva Bonnesenova nerovnost. Zade nujeme-li si, ze pod pojmem izoperimetricka porucha budeme chapat rozdl L2 − 4πS , pak mame v nerovnostech (4.2), (4.3) a (4.4) doln odhady teto izoperimetricke poruchy. Z techto odhad u take vyplyva, ze izoperimetricka porucha je 21

nezaporna a pritom plat, ze nulova je prave v prpade, ze popisovana oblast je kruhem. √ √ Poznamka 4.1: Povsimneme si, ze zlomky L− L2π2 −4πS a L+ L2π2 −4πS , ktere se vyskytuj v nerovnosti (4.5), tvor koreny e √rovnice iπt2 − Lt + S = h kvadratick √ 0. Proto plat πt2 − Lt + S ≤ 0 pro t ∈ L− L2π2 −4πS , L+ L2π2 −4πS , coz m uzeme zapisovat nekolika ekvivalentnmi zp usoby Lt ≥ S + πt2 L2 − 4πS ≥ (L − 2πt)2   2S 2 2 L − 4πS ≥ L − t

(4.6) (4.7) (4.8)

Nerovnosti (4.7) a (4.8) jsou opet dolnm odhadem izoperimetricke poruchy. Poznamka 4.2: Podvejme se na odvozen nerovnost. K p uvodn nerovnosti πt2 − Lt + S ≤ 0

pricteme Lt. Dale odvozujeme

Lt ≥ S + πt2 −S ≥ πt2 − Lt −4πS ≥ 4π 2 t2 − 4πLt

L2 − 4πS ≥ L2 + 4π 2 t2 − 4πLt = (L − 2πt)2 .

Nerovnost (4.8) ma odvozen slozitejs a nebudeme se jm v teto praci zabyvat.

D usledek 4.1 Nerovnosti (4.6), (4.7) plat take ve specialnch prpadech t = r a t = R. V prpade r ≤ R plat jako ostre nerovnosti pro jakekoli t z intervalu (r, R). D ukaz nerovnost z Vety 4.2: Abychom si d ukaz zjednodusili na dokazovan jedne nerovnosti, ukazeme, ze k dokazan vsech nerovnost z Vety 4.2 nam stac dokazat nerovnost (4.5). Nejprve si ukazeme, jak nerovnost (4.2) vyplyva z nerovnosti (4.5). Nerovnost (4.5) rozdelme na tri nerovnosti

22

1 2

r≤R 1√

πR ≤ L +

2

(4.9) L2 − 4πS

(4.10)

1√ 2 1 L − 4πS 2 2 Sectenm nerovnost (4.10) a (4.11) dostavame nerovnost −πr ≤ − L +

π (R − r) ≤

√

(4.11)

L2 − 4πS,

kterou m uzeme na zaklade platnosti (4.9) umocnit na dokazovanou nerovnost (4.2). Dale si uvedomme, ze z nerovnosti (4.8) plyne √

a

√

L2 − 4πS ≥

2S r

(4.12)

−L

L2 − 4πS ≥ L −

2S

(4.13)

R

Sectenm techto nerovnost dostavame (4.3), po prenasoben nerovnost csly r a R dostavame take (4.4). Tm jsme ukazali, ze opravdu stac pouze dokazat nerovnost (4.5), k jejmuz d ukazu nyn  prikrocme. √ L− L2 −4πS Prvn z nerovnost tvorcch (4.5), tj. ≤ r, ma velmi slozit y 2π d ukaz, kterym se v teto praci nebudeme zabyvat. Zajemci se s nm mohou seznamit v knize [2], str. 11-14. √

Ukazeme vsak d ukaz posledn nerovnosti v ramci (4.5), tj. R ≤ L+ L2π2 −4πS . Jelikoz oblast z vety 4.2 lze stejnomerne aproximovat konvexnmi mnohouhelnky, bude nam stacit d ukaz pro prpad, kdy je konvexn mnohouhelnk. Nyn si prichystame prpravna tvrzen pro d ukaz zkoumane nerovnosti:

Lemma 4.1 Necht' γ je jednoducha lomena cara delky L(γ ) v rovine R2 . Necht' E je mnozina vsech bod u v rovine, jejichz vzdalenost od γ je nejvyse rovna R. Necht' lomena cara ma N vrchol u a Ek , k = 0, 1, 2, ..., 2N + 2 jsou mnoziny bod u x ∈ R2 , pro ktere kruznice k(x, R) protna γ prave v k bodech.

23

Oznacme Sk := S (Ek ). Pak plat rovnost 2X N +2 i=1

kSk

= 4RL(γ ).

(4.14)

D ukaz: Provedeme jej indukc pres pocet vrchol u N lomene cary γ . Nejprve tedy dokazeme, ze rovnost plat pro prpad, kdy N = 0, tj. pro usecku γ .

Zacneme jednodussm prpadem, kdy γ je takova usecka, ze plat L(γ ) ≥ 2R. (Viz obrazek 4.) Potom plat E = {x ∈ R2 : dist(x, γ ) ≤ R} = P ∪ K ∪ L, kde P je vnitrn plocha vymezena 4 prmkami: 2 rovnobeznymi s useckou γ , kazdou ve vzdalenosti R a 2 kolmicemi na γ spusten ymi v koncovych bodech γ . Kruhy K, L maj polomer R a kazdy ma stred v jednom koncovem bode usecky γ . V takovem prpade plat E1 = K ∪ L, E2 = E \ E1 . Odtud jiz dostavame prslusne obsahy S1 = 2πR2 , S2 = 2RL(γ ) − πR2 . Plat tedy P 2N +2 2 2 z jsme chteli dokazat. i=1 kSk = 2πR + 4RL(γ ) − 2πR = 4RL(γ ), co

Obrazek 4: Mnoziny pro prpad, kdy L(γ ) ≥ 2R, svetle seda barva znac plochy spadajc pod E1 , tmave seda pod E2 Nyn se podvame na prpad, kdy L(γ ) < 2R. (Viz obrazek 5.) Pro snazs praci s vyrazy si oznacme L := L(γ ). Ve zkoumanem prpade plat E = (P ∪ Q) ∪ (S ∪ T ), kde P, Q jsou kruhy o polomeru R, kazda se stredem v jednom koncovem bode usecky γ a S, T jsou dve mnoziny (navzajem symet24

ricke podle γ ), z nichz kazda je vymezena prslusnou rovnobezkou ke γ bezc ve vzdalenosti R a obema kruznicemi vymezujcmi kruhy P, Q. Potom plat E1 = (P ∪ Q) \ (P ∩ Q), E2 = S ∪ T . V tomto prpade se v ypocet obsah u jev jako slozitejs zalezitost.

Obrazek 5: Mnoziny pro prpad, kdy L(γ ) ≤ 2R, svetle seda barva znac plochy spadajc pod E1 , tmave seda pod E2 My vsak spocteme soucet S1 + 2S2 jednoduchou uvahou. Nejprve nasctame obsah obou kruh u, tedy 2πR2 , jako kdyby oba kruhy lezely cele v E1 a neprotnaly se. Protoze vsak je to prave pr useck obou kruh u, ktery lez v E0 , zacneme odectat prslusny obsah. Do S1 se z prvnho kruhu v ubec nezapocta kruhova usec urcena useckou p ulc pr unik kruh u a take se nezapocte mnozina k n symetricka podle teto usecky. Analogicke mnoziny v ramci druheho kruhu se do S1 taktez nezapoctou. Proto dostavame pr ubezny 2 soucet 2πR − 4S (M1 ), kde M1 je oznacen prslusne kruhove usece. Nyn prejdeme k pridan 2S2 . Nejprve pripocteme dvojnasobek obsahu obdelnku o srce L a vysce 2R, jako kdyby cely tento obdelnk lezel v E2 , takze se dostavame k pr ubeznemu souctu 2πR2 − 4S (M1 ) + 4RL. Nasledne si uvedomme, jake podmnoziny tohoto obdelnku do E2 nespadaj. Jsou jimi dva mnozinove rozdly p ulkruh u a prslusnych kruhovych usec obou kruh u. Nezapomeneme, ze se vse mus prenasobit dvakrat a odectame 4S (M2 ), kde M2 je mnozinovy rozdl p ulkruhu a prslusne kruhove usece. Tak se dostavame k rovnici S1 + 2S2 = 2πR2 − 4S (M1 ) + 4RL − 4S (M2 ). Nyn 25

si dobre povsimneme, ze odectame ctyrikrat obsah kruhove usece a take ctyrikrat odectame obsah p ulkruznice bez teto kruhove usece, takze m uzeme jednoduse odectat 4 obsahy p ulkruznice, tedy odectat 2πR2 . Tm se ale vykrat clen na zacatku prave strany a my tak snadnou cestou zskavame dokazovany vzorecek S1 + 2S2 = 4RL. Nezli pristoupme k indukcnmu kroku, uvazujme nasledovne: Sk je dvojrozmerna Lebesgueova mra mnoziny Ek . Pritom pocet pr unik u kruznice se stredem v bode x ∈ R2 a polomerem R s krivkou γ lze chapat jako funkci Kγ dvojrozmerne promenn na R2 . To ale neznamena nic jineho R Pe∞x de novanou nez, ze m uzeme psat k=1 = R2 Kγ (x)dx. Pak ale z aditivity integralu plyne, ze pro krivku γ , ktera vznikne spojenm krivek γ1 , γ2 plat P rovnost Kγ (x) = Kγ1 (x) + Kγ2 (x). Odtud je zrejme, ze = 4RL(γj ) plat pro krivky γj , j = 1, 2, potom pokud rovnosti ∞ k=1 kSkP e pro krivku γ vzniklou plat analogicka rovnost ∞ k=1 kSk = 4RL(γ ) tak jejich spojenm. Pak uz je ale indukcn krok snadny. Plat-li dokazovana nerovnost pro vsechny krivky o 0, 1, 2, 3, ..., N − 1 vrcholech, pak libovolnou krivku o N vrcholech m uzeme slozit ze dvou vhodnych krivek o mene nez N vrcholech, typicky z vhodne krivky o N − 1 vrcholech a vhodne usecky (tj. krivky o 0 vrcholech). A dokazovana nerovnost pritom z ustane zachovana, cmz je d ukaz hotov. 

Lemma 4.2 Pro uzavrenou lomenou caru γ je S2m−1 = 0, m ∈ N. Jinak receno, pri formulaci podmnky (P): ,,Bod x ∈ R2 splnuje podmnku (P), jestlize kruznice o stredu x a polomeru R protna lomenou caru γ v lichem poctu bod u." plat toto: Mnozina bod u, splnujcch podmnku (P), ma dvojrozmernou Lebesgueovu mru (obsah) 0. D ukaz: Rozlisme dva typy protnut: ostre protnut a dotek. Pri ostrem protnut kruznice vstupuje do oblasti vymezene lomenou carou nebo ji naopak opoust. Pri doteku k takove zmene nedochaz. Pro body, jejichz kruznice vytvarej pouze ostra protnut je zrejme, ze pocet celkovych protnut mus byt sudy. (Pri behu po obvodu kruznice skoncme vzdy tam, kde jsme jej zacali.) Lichy pocet protnut pro nejaky bod nastava, prave kdyz tento bod generuje lichy pocet dotek u. K tomu vsak m uze (i nemus) dojt jedine v situaci, kdy tento bod generuje alespon jeden dotek sve kruznice s lomenou carou. Obsah (dvojrozmernou Lebesgueovu mru) mnoziny bod u s takovouto

26

vlastnost vsak odvodme snadno. Uvazujme lomenou caru γ o 0 vrcholech, tj. o jedinem useku, tedy usecku. Dotek s useckou γ v takovem prpade nastava jen pro kruznice, jejichz stred lez ve vzdalenosti R od teto usecky. Mnozina takovych bod u sestava ze dvou usecek, ktere jsou rovnobezne a bez ve vzdalenosti R od usecky γ . Takovato mnozina ma ale obsah 0. Uvazujme dale lomenou caru γ o kladnem poctu vrchol u, tj. nejake konecne sjednocen usecek. Pak ale z aditivity dostavame opet obsah 0. A tak dostavame, ze mnozina bod u, ktere takovou vlastnost maj, ma obsah 0. Mnozina, kde se realizuje lichy pocet dotek u je podmnozinou teto mnoziny, procez ma take obsah 0. Proto plat dokazovane tvrzen. 

Nyn pripravenych lemmat pouzijeme k vlastnmu d ukazu. D ukaz posledn nerovnosti v ramci (4.5): Uvedomme si, co vlastne chceme pri dokazovan nerovnosti dokazat. Postupujeme upravami √

L2 − 4πS , 2π √ 2πR ≤ L + L2 − 4πS, √ 2πR − L ≤ L2 − 4πS, R≤

L+

4π2 R2 + L2 − 4πRL ≤ L2 − 4πS, 4π2 R2 + 4πS − 4πRL ≤ 0, πR2 + S − RL ≤ 0. Nyn se tedy zamerme na dokazan posledn nerovnosti. V nem vyuzijeme aproximovatelnosti zkoumanych oblast (s po castech hladkou hranic) pomoc mnohouhelnk u. Predpokladejme, ze je konvexn mnohouhelnk o plose S ohraniceny uzavrenou lomenou carou o delce L, kde polomer opsane kruznice je R. Stac nam dokazat, ze πR2 − LR + S ≤ 0. Znacme x = (x1 , x2 ) ∈ R2 a uvazujme obsah SR mnoziny vsech bod uv 2 rovine R , jejichz vzdalenost od nen vets nez R. Pro takovou mnozinu MR = {x ∈ R2 : (x, ) ≤ R} zrejme plat SR = S (MR ) = S + LR + πR2 , nebot' merena mnozina je jakysi ,,zvetseny n-uhelnk se zaoblenymi rohy". Srovnejme to s jinou metodou vypoctu SR . 27

Predpokladejme, ze γ je libovolna (nemus byt nutne konvexn ani uzavrena) jednoducha lomena cara delky L(γ ) a E je mnozina vsech bod u v rovine, jejichz vzdalenost od γ nen vets nez R. Mnozinu E rozdelme do cast Ek , z nichz kazda sestava ze vsech bod u x, pro ktere kruznice s polomerem R a stredem x protna γ prave v k bodech. Predpokladejme, ze Sk je plocha Ek . Podle Lemmatu 5.6 dostavame P kSk = 4RL(γ ). Pokud aplikujeme tento vztah na uzavrenou lomenou caru a vezmeme v uvahu, ze podle Lemmatu 5.7 plat S2m−1 = 0, m ∈ N, dostavame nerovnost S (R) = S2 + S4 + ... ≤ 21 (2S2 + 4S4 + ...) = 2RL, ktera dohromady s S (R) = S + LR + πR2 dava k yzenou nerovnost πR2 − LR + S ≤ 0. 

D ukaz Vety 4.1: Nerovnost (4.1) plyne trivialne z dokazane nerovnosti (4.2). Zbyva dokazat tvrzen o prpadu rovnosti. Nejprve dokazeme, ze pro kruh nastava v nerovnosti (4.1) rovnost. To vychaz z prmeho vypoctu, ktery jsme ukazali jiz v pocatcch nas prace. Uvedomme-li si, ze pro nekruhove oblasti je rozdl polomer u opsane a vepsane kruznice R−r kladny, dochazme podle (4.2) k zaveru, ze izoperimetricka porucha je pro nekruhove oblasti zdola omezena kladnym cslem. Proto z rovnosti vyplyva, ze jde o kruh. Tyto dve implikace davaj dohromady d ukaz Vety 4.1. 

28

Kapitola 5 Pou zit  Brunn-Minkowsk eho nerovnosti v

R2

V teto kapitole budeme vychazet z myslenky, ze delka hranice oblasti v R2 uzce souvis s r ustem obsahu pri rozpnan mnoziny. Teto myslenky lze take dobre vyuzt k d ukazu izoperimetricke nerovnosti. Uvodem ucinme dve d ulezite de nice.

De nice 5.1 Bud'te P, Q ⊂ R2 neprazdne mnoziny. Body v R2 budeme znacit notac x = (x1 , x2 ) ∈ R2 . Mnozinu P + Q = {p + q : p ∈ P, q ∈ Q} pak nazyvame Minkowskeho souctem mnozin P a Q. Msto pojmu Minkowskeho soucet se nekdy pouzva pojem vektorovy soucet. Poznamka 5.1: Pokud P, Q jsou kompaktn (napr. uzavrene a omezene) mnoziny, potom P + Q je take kompaktn mnozina. V takovem prpade ma kazda z mnozin P, Q, P + Q sv uj obsah (Lebesgueovu mru). Oznacme tyto obsahy S (P ), S (Q), S (P + Q). Dale znacme P h soucet mnoziny P s koul o polomeru h a stredu 0, tj. jakesi ,,prifouknut mnoziny P o h. My budeme pouzvat termnu ,,expanze mnoziny P o h". Plat tedy P h = {z ∈ R2 : dist(z, P ) ≤ h}. De nice 5.2 Pod pojmem konvexn teleso rozumme mnozinu, ktera ma nenulovy objem, je kompaktn a konvexn. 29

De nice 5.3 Limitu podlu S (P h ) − S (P ) L+ (P ) = lim inf h→0 h

nazveme vnejs Minkowskeho delkou hranice ∂P mnoziny P , zkracene budeme rkat, ze L+ (P ) je Minkowskeho obvod mnoziny P . Pokud P ⊂ R2 je mnozina s po castech hladkym obvodem nebo jde o konvexn teleso, potom je Minkowskeho obvod mnoziny P stejny jako obvod mnoziny P .

Poznamka 5.2: Vnejs Minkowskeho delka hranice je specialnm prpadem vnejsho Minkowskeho obsahu hranice pro n = 2. Vnejs Minkowskeho obsah se hranice se de nuje v obecnem Rn analogicky a podobne je i vyuzit tohoto pojmu pri d ukazu izoperimetricke nerovnosti v obecnem Rn . Nyn uvedeme a dokazeme Brunn-Minkowskeho nerovnost v R2 .

Veta 5.1 Pro neprazdne kompaktn mnoziny P, Q ⊂ R2 plat Brunn-Minkowskeho nerovnost p p p S (P + Q) ≥ S (P ) + S (Q). (5.1) Vetsina d ukaz u Brunn-Minkowskeho nerovnosti vychaz z jednoho ze dvou zakladnch prstup u. Prvn prstup spocva v delen obsah u mnozin P, Q pomoc rovnobeznych prmek a vysctan cast lezcch v jednotlivych pasech. Druhy prstup spocva ve vzajemne symetrizaci mnozin P, Q. My ukazeme d ukaz zalozeny na prvnm prstupu. Samotnemu d ukazu ale bude predchazet nekolik uvah a pomocnych tvrzen. Nejprve ukazeme, proc stac dokazat Brunn-Minkowskeho nerovnost pro specialn elementarnch prpad (prpad tzv. jednoduchych mnozin), abychom odtud nasledne dokazali Brunn-Minkowskeho nerovnost v plne obecnosti. De nice 5.4 Necht' P, Q jsou kompaktn mnoziny v R2 . Potom metriku ρ(P, Q) = {inf h : P ⊂ Qh , Q ⊂ P h } nazveme Hausdorova vzd alenost mnozin P, Q. To znamena, ze Hausdorova vzdalenost odpovda na otazku: ,,O jake h musm mnoziny P, Q expandovat, aby se navzajem pohltily?" Pokud ρ(Pi , P ) → 0, potom rkame, ze posloupnost kompaktnch mnozin Pi konverguje k P v Hausdorove smyslu. Pro takovou konvergenci plat S (P ) ≥ lim supi→∞ S (Pi ). 30

De nice 5.5 Necht' mnozina N ⊂ R2 je kartezskym soucinem dvou nedegenerovanych uzavrenych interval u v R, tedy N = [p1 , q1 ] × [p2 , q2 ], p1 < q1 , p2 < q2 . Potom rekneme, ze mnozina N je standardn obdelnk. De nice 5.6 Necht' mnozina M ⊂ R2 sestava z konecneho mnozstv standardnch obdelnk u tak, ze jednotlive standardn obdelnky maj navzajem disjunktn vnitrky. Pak rekneme, ze M je jednoducha mnozina. Tyto de nice jsme si zavedli z toho d uvodu, ze kazda kompaktn mnozina je aproximovatelna jednoduchymi mnozinami, tj. pro kazdou kompaktn mnozinu A ⊂ R2 existuje posloupnost {Ai }i∈N jednoduchych mnozin v R2 , ze Ai → A v Hausdorove smyslu. 2 Aproximujeme-li ych mnozin, dostavame p⊂ R pomoc p  jednoduch p mnoziny P, Q z nerovnosti S (Pi + Qi ) ≥ S (Pi ) + S (Qi ) limitnm prechodem

p

S (P

+ Q) ≥ lim sup S (Pi + Qi ) p

i→∞

p p p p ≥ lim sup[ S (Pi ) + S (Qi )] = S (P ) + S (Q). i→∞

To ale znamena, ze k d ukazu Brunn-Minkowskeho nerovnosti pro vsechny mnoziny v rovine nam stac dokazat tuto nerovnost pro jednoduche mnoziny.

Veta 5.2 Bud'te F, G prmky rovnobezne se stejnou rdc osou, a P, Q bud'te neprazdne jednoduche mnoziny, ktere jsou po rade deleny prmkami F, G a necht' λ ∈ (0, 1). Necht' pritom F del P na mnoziny P 0 , P 00 v pomeru λ : (1 − λ), zatmco G del ve stejnem pomeru Q na mnoziny Q0 , Q00 . Potom plat nerovnost S (P

+ Q) ≥ S (P 0 + Q0 ) + S (P 00 + Q00 ).

D ukaz: Bez ujmy na obecnosti predpokladejme, ze F, G jsou rovnobezne s osou x, tj. jsou kolme na osu y. Pak pro vsechna p0 ∈ X 0 , p00 ∈ P 00 plat pro jejich y-ove souradnice p0y ≥ p00y a pro vsechna q0 ∈ Q0 , q00 ∈ Q00 plat pro jejich y-ove souradnice qy0 ≥ qy00 . Proto plat (P 0 + Q0 ) ∩ (P 00 + Q00 ) = ∅ (velikost y-ove souradnice pro body z mnoziny P 0 + Q0 je omezena zdola, zatmco velikost y-ove souradnice pro body z mnoziny P 00 + Q00 je omezena shora). Jelikoz P 0 + Q0 ⊂ P + Q, P 00 + Q00 ⊂ P + Q, mame dky disjunktnosti dokazovanou nerovnost S (P + Q) ≥ S (P 0 + Q0 ) + S (P 00 + Q00 ).

31



D ukaz Vety 5.1: Pri d ukazu Brunn-Minkowskeho nerovnosti chceme tuto nerovnost dokazat pro 2 jednoduche mnoziny, ktere maj dohromady k ≥ 2 vytvorujcch standardnch obdelnk u. Budeme tedy postupovat indukc podle k. Pri d ukazu Brunn-Minkowskeho nerovnosti pro jednoduche mnoziny P, Q zacneme prpadem, kdy k = 2. Jde tedy o nejtrivialnejs mozny prpad kazda z techto mnozin je standardnm obdelnkem. V takovem prpade je vypocet obsah u snadny, nebot' P = [p1 , p2 ]×[p3 , p4 ], Q = [q1 , q2 ] × [q3 , q4 ], P + Q = [p1 + q1 , p2 + q2 ] × [p3 + q3 , p4 + q4 ], kde plat p1 < p2 , p3 < p4 , q1 < q2 , q3 < q4 , pi ∈ R, qi ∈ R, i = 1, 2, 3, 4. Pokud si pro zjednodusen zavedeme znacen a := p2 −p1 , b := pp −q3 , 4 −p3 , c := q2 −q1 , d√:= q4 √ potom se vse redukuje na dokazan nerovnosti (a + c)(b + d) ≥ ab+ cd, kde a, b, c, d > 0. D ukaz teto nerovnosti vychaz z aritmeticko-geometricke nerovnosti (zkracene AG - nerovnost), ktera rka, ze geometricky pr umer nekolika (v nasem prpade dvou) nezapornych csel je mens nebo roven aritmetickemu pr umeru techto b a csel. Pokud AG - nerovnost aplikujeme na dvojice csel { a+c , b+d } a { a+c c , b+d d }, dostavame nerovnosti s

ab ≤ (a + c)(b + d)

1 a b ( + ), 2 a+c b+d

s

cd ≤ (a + c)(b + d)

1 c d ( + ), 2 a+c b+d

jejichz sectenm dostavame nerovnost s

ab + (a + c)(b + d)

s

cd ≤ (a + c)(b + d)

1 a b 1 c d ( + )+ ( + ) = 1. 2 a+c b+d 2 a+c b+d

Prenasobenm teto nerovnosti cinitelem (a + c)(b + d) pak dostavame dokazovanou nerovnost. Platnost Brunn-Minkowskeho nerovnosti jsme tedy dokazali pro takove jednoduche mnoziny P, Q, kde P i Q byly standardnm obdelnkem, tj. pro k = 2. p

32

Nyn zbyva dokazat Brunn-Minkowskeho nerovnost pro prpad, kdy k ≥ 3. Jiz vme, ze BM-nerovnost plat, kdyz celkovy pocet standardnch obdelnk u je nejvyse roven k − 1. Bez ujmy na obecnosti predpokladejme, ze je to mnozina P , ke ktere jsme pridali jeden standardn obdelnk a chceme dokazat, ze BM-nerovnost bude i nadale platit. (Viz obrazek 6a.)

Obr. 6a: Mnoziny P a Q, pridavanym obdelnkem je P4 slozka mnoziny P Nyn uvazujeme prmku F rovnobeznou s osou x (psano bez ujmy na obecnosti, m uze byt rovnobezna i s osou y, podle potreby), ktera protna mnozinu P , takze ji del na dve neprazdne jednoduche mnoziny P 0 a P 00 , ktere jsou umstene v rozdlnych poloprostorech. Prmku F uvazujme takovou, ze pocet standardnch obdelnk u v kazde z mnozin P 0 , P 00 bude mens nez pocet techto obdelnk u v P , tj. do kazde poloroviny vytvorene prmkou P spadne alespon jeden cely obdelnk z p uvodn mnoziny P . (Viz obrazek 6b.)

33

Obrazek 6b: Prmka F del P na P 0 = P1 ∪ P2 a P 00 = P3 ∪ P4 ∪ P5 , pricemz doln cast P1 jsme museli preznacit na P5 Jelikoz jsou obdelnky nedegenerovane, dostavame pro nejakou λ ∈ (0, 1) rovnost S (P 0 ) = λS (P ). Nyn si na prmce F vyberme pocatek nove soustavy souradnic, oznacme ho O. Pote posunutm rovnobeznym s libovolne zvolenou kolmic na prmku F (tato kolmice je v nove soustave souradnic zarove n osou y) premstme mnozinu Q tak, aby prmka F (zaroven osa x) delila mnozinu Q na mnoziny Q0 , Q00 , pricemz S (Q0 ) = λS (Q). (Viz obrazek 6c.)

Obrazek 6c: Stav po posunut mnoziny Q 34

D ulezite je, ze tyto posuny nijak nezmen obsahy S (P ), S (Q), S (P + Q). Casti Q0 , Q00 jsou take neprazdne jednoduche mnoziny, z nichz ani jedna neobsahuje vets pocet obdelnk u nez Q. 0 0 00 Dvojice mnozin P , Q a P , Q00 tedy kazda lez ve svem vlastnm poloprostoru vzhledem k F a v zadne dvojici nen vcepnez k − 1pobdelnk u. 0 0 00 00 0) + 0 )]2 + S ( P S ( Q Proto plat  S ( P + Q ) ≥ S ( P + Q ) + S ( P + Q ) ≥ [ p p p p p p [pS (P 00 )+p S (Q00 )]2 = λ[ S (P )+ S (Q)]2 +(1 −λ)[ S (P )+ S (Q)]2 = [ S (P ) + S (Q)]2 . Tm je Brunn-Minkowskeho nerovnost dokazana. 

Nyn jiz m uzeme prejt k uvaham, ktere povedou k snadnemu d ukazu izoperimetricke nerovnosti v R2 . Kruh o polomeru h se stredem v pocatku budeme znacit hD. Jestlize k mnozine P ⊂ R2 pricteme kruh hD, potom P + hD je mnozina P h = {x ∈ R2 : ρ(x, P ) ≤ h}. Brunn-Minkowskeho nerovnost tedy m uzeme prepsat do tvaru p p √ S (P h ) ≥ S (P ) + h π. (5.2) Navc pro obsah S (K ) kruhu s polomerem r plat dobre znamy vzorec S (D) = πr2 (5.3) Znacme r(P ) polomer kruhu o obsahu S (P ). Potom plat S (P ) = πr2 (P ) a nerovnost 5.2 dostane podobu r(P h ) ≥ r(P ) + h. (5.4) Navc m uzeme nerovnost (5.2) prepsat jako p p S (P h ) − S (P ) √ ≥ π. (5.5) h h →

Podvejme se, jak vypada pro 0+ limita zlomku z leve strany (5.5). Mame p p S (P h ) − S (P ) 1 1 S (P h ) − S (P ) √ lim inf = p lim inf ≥ π (5.6) h→0+ h 2 S (P ) h→0+ h Pokud prejdeme k vyjadren pomoc Minkowskeho obvodu, mame tedy nerovnost √ 1 p L+ (P ) ≥ π. (5.7) 2 S (P ) Z toho uz dokazeme izoperimetrickou nerovnost snadno. 35

Veta 5.3 Necht' P ⊂ R2 je mnozina s po castech hladkou hranic a obsahem S (P ). Jestlize r(P ) je polomer kruhu, ktery m a take obsah S (P ), potom je obvod tohoto kruhu mens nebo roven obvodu mnoziny P . D ukaz: Z vyse uvedenych uvah vyplyva, ze L+ (P ) = L(P ) a podobne L+ (c + = L(c + rD), kde c + rD, c ∈ R2 , r > 0, znac libovolny kruh (lze ho zskat posunutm stredu a volbou vhodneho polomeru). Chceme tedy dokazat, ze L+ (P ) ≥ L+ (DP ) = 2πr(P ), kde DP je kruh charakterizovany obsahem S (P ). Pokud r(P ) splnuje predpoklady vyrcene ve vete, potom plat S (P ) = πr2 (P ). Z nerovnosti (5.7) dostavame prenasobenm rD)

√ p √ p L+ (P ) ≥ 2 π S (P ) = 2 π πr2 (P ) = 2πr(P ),

(5.8)

cmz jsme dokazali vetu. 

A jelikoz Veta 5.3 rka, ze kruh v ramci oblast o stejnem obsahu minimalizuje obvod, cmz veta popisuje izoperimetrickou nerovnost v R2 , je tm dokazana prave tato zkoumana nerovnost. Zaverem pripomenme, ze existuje analogicky d ukaz pro Rn , se kterym se zajemce m uze seznamit v knize [2], str. 68 - 77, 83 - 86.

36

Literatura [1] Chavel, I.: Isoperimetric Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 2001. [2] Burago, Yu. D., Zalgaller, V. A.: Geometric inequalities, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg, 1988. [3] Zajcek, L.: Vybrane partie z matematicke analyzy pro 1. a 2. rocnk, MATFYZPRESS, Praha, 2003. [4] Lukes, J., Maly, J.: Mra a integral, Karolinum, Praha, 2002. [5] Korner, T. W.: Fourier Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

37